Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 Partea îtreagă, partea fracţioară a uui umăr real ABSTRACT: Materialul coţie câteva proprietăţi şi rezultate legate de partea îtreagă şi cea fracţioară a uui umăr real, precum şi uele probleme reprezetative Lecţia se adresează clasei a VIII a Recomadăm şi parcurgerea materialului propus clasei a VII a petru aceeaşi etapă Data: 9 octombrie 0-0-07 Autor: Lucia Dragomir, Liceul Băăţea Oţelu Roşu I Defiiţii, otaţii, proprietăţi Dacă u umăr real a are scrierea zecimală a = a0, aa a (evidet 0 defieşte pri [ a] a Z şi a, a, a, { 0,,,,9 } ), atuci partea îtreagă a lui a se otează cu [ ] a0, dacă a 0 = a0, dacă a < 0 a şi se Mai simplu de reţiut: partea îtreagă a lui a este cel mai mare umăr îtreg care u îl depăşeşte pe a (este aşadar cel mult egal cu a); dacă facem apel la reprezetarea pe axă a umerelor reale, atuci [ a] este primul umăr îtreg di stâga lui a Î baza axiomei lui Arhimede, se poate spue şi: petru orice umăr real a, există u uic umăr îtreg, otat cu [ a ], astfel îcât [ a] a < [ a] + ; aşadar, petru orice a R avem: [ a] umai dacă k a < k + Pri defiiţie, partea fracţioară a umărului real a este { a} = a [ a] ; evidet { } [ 0,) = k Z dacă şi a Vom trece î revistă câteva proprietăţi şi rezultate utile, des folosite î rezolvarea problemelor, fără să uităm a spue că acestea vor uşura trecerea peste uele obstacole apărute, de exemplu, î aritmetică, î aaliza matematică, î chestiui de umărare şi combiatorică P [ ] a < a a, a R P a < k [ a] < k, a R, k Z P [ k + α ] = k k Z α [ ),, 0, P [ a + k] = [ a] + k, a R, k Z Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
P 5 { a + k} = { a}, a R, k Z Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 P 6 [ ] [ ] { } { } { } { } {[ ]} a = a, a = a, a = a = 0, a R P 7 Dacă, a b R şi [ a] [ b] =, atuci a b < ( Reciproca este falsă; e suficiet u cotraexemplu: a =, b = ) P 8 { a} = { b} ( a b) Z, a, b R P 9 [ a] + [ b] [ a + b] [ a] + [ b] +, a, b R P 0 [ x] + [ x] =, x R \ Z a + a + = a, a R (idetitatea lui Hermite; de remarcat că aceasta admite o P [ ] [ ] a + a + a a a, a, + + + + + = R N ) geeralizare destul de des utilizată: [ ] [ ] P Expoetul umărului prim p di descompuerea î factori primi ai umărului! este + p + + p p Să se arate că [ a] [ b], II Probleme istructive = Ndacă şi umai dacă a = b Soluţie: Dacă a = b prima egalitate este evidetă Presupuâd că a b şi [ a] [ b], (Gheorghe Adrei, OJ Costaţa, 996) = N,obţiem a { a} b { b} ( a b) { a} { b} (,) = =, N Dacă a > b, membrul stâg al ultimei egalităţi poate fi oricât de mare, cotradicţie Aalog dacă a < b, aşadar a = b Dacă, a b R, să se arate că { a} + { b} = dacă şi umai dacă ( a b) + Z şi a, b R \ Z Soluţie: Dacă a, b R \ Z şi ( a + b) Z,atuci { a} + { b} [ 0, ); cum { a} + { b} = a [ a] + b [ b] Z,deducem că { a} + { b} { 0, } Deoarece { a} { b} 0 am ajuge la, a b Z, cotradicţie), obţiem { a} + { b} = Reciproc, dacă { a} { b} { a} 0, { b} 0 şi, di = { a} + { b} = a [ a] + b [ b], deducem ( a b) + Z (Gheorghe Adrei) + (î caz cotrar + =, avem Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
Să se determie partea îtreagă a umărului Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 +, N (Cocurs Florica TCâmpa,00) Soluţie: Deoarece + + + < + +, N,deducem că + + < + şi astfel + = +, N Să se arate că partea fracţioară a umărului +, N este mai mică decât 0,5 Soluţie: Deoarece < + < +, N, avem că { } cu + = + Rămâe de arătat că (Cocurs Uirea,00) + = şi deci + < 0, 5, ceea ce este echivalet + < 0, 5 + + < + + 0, 065, ultima iegalitate fiid evidet adevărată 5 Să se calculeze suma + + + + S = + + + + +, N (Cocurs Reghi,005) + Soluţie: Folosid P, avem imediat S = + + + + + + + + ; k + deoarece 0 < <, k N, k (iegalitate imediată), ajugem la S = + + = + k 6 Să se rezolve ecuaţia [ x] [ x] [ x] [ x] + + + + = 0 (Adrei Eckstei, OL Timiş, 009) Soluţie: Este aturală folosirea proprietăţii P 0 (cu evideta observaţie că [ x] + [ x] = 0, x Z ) Avem astfel că, dacă x Z, ecuaţia coduce la 0 + 0 + = 0, evidet fals, deci ecuaţia u are soluţii îtregi Dacă x Z şi x Z, se ajuge la egalitatea + ( ) + = 0 (falsă şi aceasta) Dacă x Z, dar x Z, atuci [ x] [ x] [ x] [ x] + + + + = 0 + ( ) + = 0, aşadar orice x Z petru care x Z este soluţie a ecuaţiei, mulţimea soluţiilor acesteia fiid + S = Z Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 7 Să se calculeze suma S = 5 + 6 + 7 + + 00 0 (OL Arad,006) Soluţie: Pri ridicări la pătrat se arată imediat că + ( + ) < +, N, şi deci ( + ) = +, N Folosid acest rezultat, deducem imediat că S = + + 5 + + 0 = 58 8 Se cosideră umerele p, q, q p N şi ( ) are partea fracţioară strict mai mare decât 0,75 Soluţie: Di q p rezultă că Deducem astfel că p a = p + q + p Să se arate că a este iraţioal şi p < p + q p + p < p + p + şi astfel (Adria PGhioca,ON 000) p < p + q < p + + q R \ Q Deoarece a = p + q + p p + q şi p, obţiem şi că a R \ Q Cosiderăm acum ( ) b p q p < + <, rezultă că b < Să observăm acum că a + b = ( p + q) = c N, aşadar c < c b = a < c, de ude [ a] = c şi deci { a} = a [ a] = c b c + = b > = + Deoarece 0 ( p q p) 9 Să se arate că + =, + + N (Gheorghe Eckstei) Soluţie: Dacă = k N, atuci k k k ( k ) k ( k ) < + < + + (aţi sesizat ultimul pas!?) Evidet acum : + > k + + şi + + + + = + = + + ( k ) ( k ) + + + + < k + Ultima iegalitate este adevărată deoarece ea este succesiv echivaletă cu: ( ) ( ) k + + + k + < ( k + ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) ( k ) + + + < + + < + Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
Aşadar + = k =, + + N Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 k k 0 Să se arate că pri împărţirea lui k Zla N se obţie câtul şi restul Soluţie: Notăm câtul şi restul cu q, respectiv r şi avem: k = q + r, cu 0 r < Deducem acum: q + r k q + k q = < = q +, aşadar q = Pe de altă parte, k k k q + r = = q = r Observaţie: Această problemă pue î evideţă faptul că, dacă N, atuci î mulţimea {,,,,k } avem exact k multipli de Să se determie câte umere aturale eule, mai mici decât 00, u sut divizibile ici cu, ici cu Soluţie: Ne referim aşadar la mulţimea {,,,,99 } î care avem 99 = 9 de umere divizibile cu 99 şi = de umere divizibile cu Am fi poate tetaţi să dăm rezultatul 99 (9 + ), îsă trebuie să remarcăm că uele umere au fost umărate de două ori (de exemplu 6,, 8, ) 99 umărul acestora este egal cu = 6 Abia acum putem da rezultatul corect: avem 99 (9 + 6) = de umere cu proprietatea di euţ Observaţie: Să remarcăm aici că soluţia foloseşte de fapt u biecuoscut pricipiu de umărare, aume Pricipiul icluderii şi excluderii Este vorba despre următorul rezultat: () Dacă A şi B sut două mulţimi fiite, atuci A B = A + B A B (pricipiul icluderii şi excluderii petru două mulţimi) () Dacă A, B, C sut trei mulţimi fiite, atuci A B C = A + B + C A B B C C A + A B C (pricipiul icluderii şi excluderii petru trei mulţimi) Să se determie care este expoetul lui î descompuerea î factori primi ai umărului 00! = 00 00 Soluţie: Î mulţimea {,,,,00 } avem = 50 de umere divizibile cu ; ditre aceste 50 de 5 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
umere, fiecare al doilea este divizibil cel puţi cu puterea a doua a lui sut de umere; ditre acestea, fiecare al doilea este divizibil cel puţi cu cotiuare, ţiem cot că ( ) k+ cu k { } Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 00 5 = de astfel Raţioăm la fel î 7 > 00 şi că fiecare factor al lui 00! care este divizibil cu k, dar u şi,,,,,5,6,, se socoteşte, î modul idicat, de k ori ca fiid divizibil cu,,,, k Expoetul căutat este astfel 00 00 00 50 5 6 97 + + + 6 = + + + + + = Observaţie: Evidet, puteam folosi direct proprietatea P, ţiâd cot doar de faptul că 00 0,, 7 k = k N k ; am preferat îsă aici să vedem efectiv cum se ajuge la aceasta Dacă a, b, c, d sut patru umere aturale cosecutive eule,să se arate că a + b + c + d = a + b + c + d Soluţie: Cosiderăm a =, b = +, c = +, d = +, N şi otăm (Daa Piciu,Cocurs GhŢiţeica,006) + + + + + + x =, y = + 6 Pri ridicări la pătrat se arată imediat că + 5 + + < + 6 şi + 5 + + + < + 6, de ude ajugem la + < + = ; deducem astfel că + 5 [ x] + 6 = [ y] 5 x 6 y Deoarece + 6 u este pătrat perfect ( pătratele perfecte sut de forma m sau 8p + ), rezultă + 5 = + 6, adică [ x ] [ y ] = Să se determie x, y R petru care [ x] { y} { x} [ y] = = (Cocurs GM, 006) Soluţie: Deoarece { y} [ 0,), di prima ecuaţie deducem că [ x ] =, de ude { y } = ; aalog, di a doua ecuaţie avem că [ y ] = şi { } x =, deci x = +, y = 6 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
5 Să se arate că, dacă,,, { a b x y } mi, < Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 a b x ysut umere reale astfel îcât [ ax by] [ bx ay] + = +,atuci Soluţie: Folosid P7 avem [ ax + by] = [ bx + ay] ( ax + by) ( ay + bx) <, de ude a( x y) + b( y x) < ( a b)( x y) <, cocluzia fiid imediată 6 Să se determie umerele aturale petru care = + Soluţie: Dacă = k N, atuci avem = k +, adică k + = k, de ude (Traia Duţă,OL Braşov,006) (Bulleti Math,Caada) k k + < k + ; pri ridicare la pătrat, prima iegalitate coduce la k ( k ) şi, deoarece k N, obţiem k { 0,,,} (codiţie ecesară,u şi suficietă); este îsă suficiet să îlocuim valorile obţiute şi ajugem doar la k = sau k =, de ude = 7 sau = 0 7 Să se determie cel mai mare umăr atural x petru care 000!este divizibil cu Soluţie: Numărul este prim şi divide fiecare al -lea umăr atural, aşadar există 6+x (Juriu OBMJ,000) 000 = 86 umere care sut mai mici sau egale cu 000 şi sut divizibile cu Aalog, doar trei umere mai mici sau egale cu 000 sut divizibile cu mare umăr atural căutat este x = 89 6 = 8, deci 8 Determiaţi umerele aturale care verifică următoarele proprietăţi: 89 divide 000!; rezultă că cel mai a) este u umăr atural de trei cifre, ultimele două fiid egale cu 0 + 6 b) ordie) este u umăr atural de patru cifre, acestea fiid,0,, ( u eapărat î această (Lucia Dragomir, Cocurs RMCS, 0) Soluţie : = a00 00 a < 00 a + () Notăm cu A mulţimea umerelor de patru cifre formate cu cifrele, 0,, ; cel mai mic elemet al acestei mulţimi este 0, iar cel mai mare ot + 6 + 6 0; di = k A deducem că 0 şi 7 + 6 <, de ude Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
< Di () rezultă astfel că {,,5} a = se ajuge la { 6000, 600, 600} 00 6597 a = Petru 5 euţ Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 a Petru a = se obţie k A, la fel petru 9 Să se arate că dacă m şi sut umere aturale prime ître ele, atuci m m ( ) m ( m )( ) + + + =, umere care verifică ambele codiţii di Soluţie: Cosiderăm î pla puctele A(,0), B(, m), C(0, m) Î iteriorul dreptughiului OABC se află ( m )( ) pucte de coordoate îtregi; deoarece ( ) astfel de pucte, iar sub diagoală se află ( m )( ) m, =, pe diagoala OB u se află pucte de forma ( k h) (Gauss),, cu k, h N Petru k km fixat, există pucte şi astfel, î total, sub diagoala OB sut km pucte Idetificâd cele două rezultate ajugem la ( m )( ) k= 0 km = Observaţie: Soluţia geometrică oferă şi avatajul de a remarca faptul că egalitatea di cocluzie este adevărată şi dacă umerele m şi,,schimbă locurile 0 Se cosideră umerele aturale m şi, Să se determie umerele reale x petru care [ x + ] + x + x x m + + + + + = k= 0 (Mircea Becheau,ON,988) Soluţie: Presupuem că pri împărţirea lui m la se obţie câtul q şi restul r Petru ca egalitatea di euţ să fie adevărată, deoarece părţile îtregi di membrul stâg pot diferi pri cel mult o uitate, trebuie ca cei mai mici termei di membrul stâg să fie egali cu q, iar r ditre ei să fie egali cu q + r = atuci [ ] Dacă 0, x + = x + = = x + = q coduce la q x + x, < + < < x + < q + de ude Dacă r 0, trebuie să avem x x + [ ] r + + + + r x + = q +, de ude x q, q x + x x q = + = = + = r + şi 8 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0
Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0 q x + < < x + < q + x + < < x + < q + x q, q r + r + + r r + III Probleme propuse x x () Rezolvaţi ecuaţia = () Petru orice x, y, z, x y z se otează α = + + y + z z + x x + y Determiaţi α Ioaa şi Gheorghe Crăciu, Plopei () Demostraţi că, petru orice x ( 0,), există Z petru care { x} + 8 7 8 + () Arătaţi că + = 0, N < Olimpiada locală Bucureşti, 007 Olimpiada locală Iaşi, 007 (5) Determiaţi umărul elemetelor mulţimii M = { +, 0} N Bibliografie: [] Gheorghe Adrei, Io Cucurezeau, Costati Caragea Probleme de algebră, Fucţiile parte îtreagă şi parte fracţioară, Editura Gil, 996 [] Mihai Oucu Drimbe 00 de idetităţi şi iegalităţi cu partea îtreagă, Editura Gil, 00 [] (colectiv) Matematică (olimpiade şi cocursuri şcolare) Editura Paralela 5, 009, 00, 0 [] Gazeta Matematică (GM), colecţia 000 0 [5] Revista de Matematică di Timişoara, colecţia 00 0 [6] Revista de matematică a elevilor şi profesorilor di Caraş Severi (RMCS), colecţia 008 0 9 Cocursul Gazeta Matematică și ViitoriOlimpiciro Ediția a IV-a 0-0