τις διαφορετικές μεταξύ τους τιμές της Y ( λ ν )

Σχετικά έγγραφα
78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.

ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνονται οι παρατηρήσεις που πήραμε για το ύψος και το βάρος 16 εργατών μιας βιομηχανίας.

ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου

Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές

4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες

ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΝΥΣΤΩΝ. 1. Εισαγωγικά. Υποθέτουµε ότι ο αναγνώστης γνωρίζει τα περιεχόµενα στην ενότητα Γραµµικές Μορφές.

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ονοµάζεται γεωµετρική πολλαπλότητα αυτής. Τα ιδιοδιανύσµατα αυτά είναι βάση του διανυσµατικού υποχώρου E ( λ 0 ), που ονοµάζεται ιδιόχωρος

Βασικές διακριτές κατανομές

2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

Ε 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)

στους μιγαδικούς αριθμούς

ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΣΕ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΟ ΠΡΟΤΥΠΟ ΚΑΤΑΛΗΨΗΣ

ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΑΣΙΜΟΥ ΚΥΜΑΤΟΣ ΣΕ ΧΟΡΔΗ ΣΤΕΡΕΩΜΕΝΗ ΣΤΑ ΑΚΡΑ ΤΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Κριτήρια διαιρετότητας

(Καταληκτική ημερομηνία αποστολής 15/11/2005)

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.

Ασκήσεις7 80. AU διαγώνιο. αποτελούμενη από ιδιοδιανύσματα του A. Πρόσθετες ιδιότητες κανονικών πινάκων: Έστω A o

Μιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ

Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικών αριθµών. Μιγαδικό επίπεδο. Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικών αριθµών.

{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]

ειγματοληπτικές κατανομές

Μαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς

Ορισμός : Ακολουθία ονομάζεται κάθε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο Ν* των θετικών ακεραίων και παίρνει τιμές στο R. a: Ν* R

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΜΕ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

10. Στατιστικές συναρτήσεις και δειγματοληπτικές κατανομές

Συνδυαστική Ι. Περιληπτική Θεωρία Τμήμα κ. Οικονόμου. Χατζηδάκης Αλέξανδρος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ

4. Δεσμευμένη Πιθανότητα - Ανεξαρτησία Ενδεχομένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

lim f (x) = +. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μη πεπερασμένο όριο στο x 0 R

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς

, θα παίρνουμε πάντα την ίδια τιμή για το Υ. Για παράδειγμα, Υ 12

Δεσμευμένη πιθανότητα και Ανεξαρτησία ενδεχομένων

Ανάλυση Παλινδρόμησης. Εργαστήριο. Μαθηματικών & Στατιστικής / Γ. Παπαδόπουλος ( 252

, όπου x = 0,1,..., Έτσι, για την πιθανότητα σε ένα έτος να μην υπάρξουν θάνατοι ζώων από τον εμβολιασμό έχουμε, 2! !

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών

υπολογίζεται πιο εύκολα από την πιθανότητα P(A). Συγκεκριµένα, το ενδεχόµενο A περιλαµβάνει τις διατάξεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0

Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΥΣΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης

ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΓΙΑΝΝΗΣ ΞΕΙ ΑΚΗΣ

ΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

1. * Η ακολουθία είναι µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α. Q Β. Ζ* Γ. Ν. Ν* Ε. R

Επίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2

o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Intuitionistic Fuzzy Sets. Ανέστης Χατζημιχαηλίδης Μαθηματικός, Υπ. Διδάκτορας

ΘΕΩΡΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ. 1. Τι ονομάζουμε σύνολο Μιγαδικών Αριθμών; Τι ονομάζουμε πραγματικό μέρος - φανταστικό μέρος ενός μιγαδικού αριθμού z = α + βi.

Α. Οι Πραγματικοί Αριθμοί

1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )

Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ = Γ. β1 = β2

Ασκήσεις στη Στατιστική

Κυρτότητα και εφαρµογές. Ανισότητες Jensen

iii. Ακόμα, αλλάζουμε πρόσημα (όλα!) όποτε θέλουμε : α α, α β β α

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

i) Αν ο φυσικός αριθμός n δεν είναι τετράγωνο ακεραίου, τότε ο n είναι άρρητος.

14SYMV

5. Περιγραφική Στατιστική

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. (Πρόοδοι) ΠΡΟΟΔΟΙ

Τι είναι εκτός ύλης. Σχολικό έτος

Όταν πραγματοποιείται το Α πραγματοποιείται και το Β.

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

5. Περιγραφική Στατιστική

Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

TO ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΠΟΘΕΤΗΣΗΣ ΠΟΛΩΝ ΜE ΑΝΑΤΡΟΦΟΔΟΤΗΣΗ ΤΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

εδάφιο 3, σελ. 181 υπερβολή ή παραβολή. Η ταξινόµηση αυτή παρουσιάζεται στον 1 ο πίνακα, T

Ιγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα

xf(y) + yf(x) = (x + y)f(x)f(y)

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Transcript:

Διδιάστατες Καταομές Διδιάστατες Καταομές Πίαας συοτήτω διδιάστατης αταομής Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβητές X, Y αι ζεύγη παρατηρήσεω,,,,,, από δείγμα μεγέθους Τόσο τα,,, όσο αι τα,,, δε είαι απαραιτήτως διαφορετιοί μεταξύ τους αριθμοί αι συεπώς, άποια από τα ζεύγη μπορεί α είαι ίδια Μπορούμε επομέως α παρουσιάσουμε τις παρατηρήσεις με άο τρόπο α συμβοίσουμε: με,,, τις διαφορετιές μεταξύ τους τιμές της X με,,, τις διαφορετιές μεταξύ τους τιμές της Y με τη συότητα του ζεύγους,, δηαδή το φυσιό αριθμό που εφράζει πόσες φορές εμφαίζεται στα ζεύγη το συγεριμέο ζεύγος, Το σύοο τω διατεταγμέω τριάδω,, αποτεεί τη μιτή πειραματιή αταομή τω X, Y ή τη από οιού αταομή τω X, Y Ο πίαας συοτήτω της γράφεται σε μορφή πίαα διπής εισόδου του οποίου οι γραμμές ατιστοιίζοται στις τιμές της X αι οι στήες στις τιμές της Y Σε άθε, «εί» του πίαα γράφεται η ατίστοιη συότητα Υ Προφαώς ισύει: Πίαας σετιώ συοτήτω διδιάστατης αταομής Α συμβοίσουμε με τη σετιή συότητα του ζεύγους,, δηαδή το ποσοστό τω ατόμω στα οποία η X παίρει τη τιμή αι η Y παίρει τη τιμή δηαδή, ο πίαας σετιώ συοτήτω της από οιού αταομής τω X, Y γράφεται σε μορφή πίαα διπής εισόδου του οποίου οι γραμμές ατιστοιίζοται στις τιμές της X αι οι στήες στις τιμές της Y αι σε άθε, «εί» του πίαα γράφεται η ατίστοιη σετιή συότητα Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo

Διδιάστατες Καταομές Υ Προφαώς ισύει: Περιθωριαές ή περιθώριες αταομές ζεύγους μεταβητώ Α συμβοίσουμε με το άθροισμα συοτήτω της γραμμής αι με το άθροισμα συοτήτω της στήης, δηαδή, α αι Δηαδή, το συμβοίζει το πήθος τω ατόμω στα οποία η παίρει τη τιμή αεξάρτητα από τις τιμές που παίρει η Υ αι το συμβοίζει το πήθος τω ατόμω στα οποία η Υ παίρει τη τιμή τότε αεξάρτητα από τις τιμές που παίρει η αι συεπώς ορίζοται οι μοοδιάστατες αταομές, με αι, με Α συμπηρώσουμε το πίαα συοτήτω με μια στήη που περιέει τα,,, αι μια γραμμή που περιέει τα,,, τότε παίρει τη μορφή: Υ Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 9

Διδιάστατες Καταομές Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo Οι μοοδιάστατες αταομές,,,, αι,,,, έγοται περιθωριαές ή περιθώριες αταομές του ζεύγους,υ αι έου πίαες συοτήτω: Άθροισμα Άθροισμα Ααόγως συμπηρώεται αι ο πίαας σετιώ συοτήτω Υ Η μέση τιμή αι η διασπορά τω αι Υ υποογίζοται από τους γωστούς τύπους τω μοοδιάστατω αταομώ:

Διδιάστατες Καταομές Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo Α επομέως γωρίζουμε τη διδιάστατη αταομή εός ζεύγους,υ τότε μπορούμε α βρούμε αι τις μοοδιάστατες αταομές τω αι Υ Οι αταομές όμως τω αι Υ δε αρού για α ορισθεί η διδιάστατη αταομή του ζεύγους,υ ετός, όπως θα δούμε παραάτω, α είαι αεξάρτητες αι μόο τότε Επίσης, η συδιαύμαση x αι ο συτεεστής γραμμιής συσέτισης του Pearon r υποογίζοται από τους τύπους:, x Y X Cov x x r Παράδειγμα-: Ο Πίαας- που αοουθεί δίει τη αταομή 00 πρωτοετώ φοιτητώ μιας σοής ως προς τις βαθμοογίες τους στα Μαθηματιά μεταβητή αι στη Φυσιή μεταβητή Υ Πίαας- Υ [0- [- [-6 [6- [-0] [0-0 6 0 0 [- 5 [-6 9 [6-0 7 0 0 [-0] 0 0 7 Κατασευάζουμε το πίαα συοτήτω αι το πίαα σετιώ συοτήτω της από οιού αταομής τω αι Υ ως τιμές τω αι θεωρούμε τις ετριές τιμές τω ατίστοιω άσεω

Διδιάστατες Καταομές Πίαας συοτήτω Υ 5 7 9 0 6 0 0 0 5 9 5 9 5 7 0 7 0 0 5 9 0 0 7 7 5 5 00 Πίαας σετιώ συοτήτω Υ 5 7 9 0,050 0,00 0,00 0 0 0,00 0,00 0,090 0,055 0,05 0,005 0,95 5 0,05 0,05 0,0 0,060 0,00 0,60 7 0 0,05 0,050 0,50 0,055 0,90 9 0 0 0,00 0,05 0,0 0,55 0,05 0,00 0,55 0,70 0,90 Οι περιθωριαές αταομές της,υ έου πίαες συοτήτω 0 7 9 5 5 5 5 7 5 7 5 9 9 Άθροισμα 00 Άθροισμα 00 Από τους οποίους υποογίζουμε τα,, :, 0 0 0 9 7 5 5 5 60 00 7 5 6 9 79 5 Άθροισμα 00 0 70 0 5, 00 70 00 5, 99, 5, Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo

Διδιάστατες Καταομές Ομοίως βρίσουμε, 5,56 5,99, Για α υποογίσουμε τη συδιαύμαση γιομέω x δημιουργούμε το πίαα τω Υ 5 7 9 Άθροισμα 0 0 0 0 6 65 05 7 7 5 5 5 600 0 50 7 0 7 50 70 69 660 9 0 0 90 7 6 Άθροισμα 7 6 5 6 6 αι βρίσουμε: 6 00 5,5,56,5 99,5 r 0,7,, Δεσμευμέη αταομή της Υ Εά περιορισθούμε στα άτομα στα οποία η παίρει τη τιμή τότε η αταομή τω ατόμω αυτώ ως προς τις τιμές της Υ έγεται δεσμευμέη αταομή της Υ υπό τη συθήη X αι έει πίαα συοτήτω: % 00 00 00 Άθροισμα 00 Είαι φαερό ότι έουμε δεσμευμέες αταομές της Υ όσες αι οι διαφορετιές τιμές της Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo

Διδιάστατες Καταομές Δεσμευμέη μέση τιμή της Υ: E Y / X,,,, Για τη αταομή του Πίαα-, η δεσμευμέη αταομή της Υ για X 7 είαι 0 5 00 7 5 00 0 5 00 % 0 0 7, 07 5 0 7, 7 0 0 00 5, 7 9 00, 97 Άθροισμα 5 00 με μέση τιμή, E Y / X 7 0 + 7 + 50 + 7 0 + 9 6,55 5 5 5 Δεσμευμέη αταομή της Εά περιορισθούμε στα άτομα στα οποία η Υ παίρει τη τιμή τότε η αταομή τω ατόμω αυτώ ως προς τις τιμές της έγεται δεσμευμέη αταομή της υπό τη συθήη Y αι έει πίαα συοτήτω: Άθροισμα % 00 00 00 00 Είαι φαερό ότι έουμε δεσμευμέες αταομές της όσες αι οι διαφορετιές τιμές της Υ Δεσμευμέη μέση τιμή της : E X / Y,,,, Για τη αταομή του Πίαα-, η δεσμευμέη αταομή της για Y είαι Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo

Διδιάστατες Καταομές 6 00 00 00 7 00 0 00 % 6 5 5 5 9, 5 7 7 7, 5 9 0 0 Άθροισμα 00 με μέση τιμή, E X / Y 6 + + 59 + 7 7 + 9 0,5 Αάογα ορίζοται οι δεσμευμέες διασπορές τω αι Υ Στατιστιά αεξάρτητες μεταβητές Θεωρούμε δυο μεταβητές αι Υ Α η διαμόρφωση τω τιμώ της Υ δε επηρεάζεται ούτε σετίζεται ατά οποιοδήποτε τρόπο από τη διαμόρφωση τω τιμώ της τότε έμε ότι η Υ είαι στατιστιά αεξάρτητη της Α η μεταβητή Υ είαι στατιστιά αεξάρτητη της τότε αι η είαι στατιστιά αεξάρτητη της Υ αι γι αυτό στη συέεια θα ααφερόμαστε στη «αεξαρτησία δυο μεταβητώ αι Υ» ωρίς διάριση μεταξύ της αεξαρτησίας της ως προς τη Υ αι της Υ ως προς τη Συθήη αεξαρτησίας δύο μεταβητώ Δύο μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες α αι μόο α η σετιή συότητα άθε ζεύγους, στη διδιάστατη αταομή τους είαι ίση με το γιόμεο τω σετιώ συοτήτω τω τιμώ αι στις ατίστοιες περιθωριαές αταομές Δηαδή, α αι μόο α ισύει: ή Α, επομέως, οι αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες αι μόο τότε η διδιάστατη αταομή του ζεύγους,υ ορίζεται από τις μοοδιάστατες περιθωριαές αταομές τω αι Υ Πρόταση Α δύο μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες τότε E XY E X E Y Το ατίστροφο δε ισύει Απόδειξη: E XY E X E Y Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 5

Διδιάστατες Καταομές Παράδειγμα-: Στο Πίαα- φαίεται η από οιού αταομή δύο μεταβητώ, Υ Πίαας- Υ 0 0 6 6 6 Εύοα διαπιστώεται ότι για άθε, ισύει η αι συεπώς οι αι Υ είαι αεξάρτητες Εύοα, επίσης, επαηθεύεται η σέση E XY E X E Y Πράγματι: E X 0 + 6 + E Y 0 + + + Για το υποογισμό της EXY δημιουργούμε το πίαα τω γιομέω Υ 0 Άθροισμα 0 0 0 0 0 0 0 6 6 0 6 6 Άθροισμα 0 E XY E X E Y Παρατηρήσεις Εύοα αποδειύεται ότι Cov X, Y E XY E X E Y Πράγματι από το ορισμό της συδιαύμασης έουμε: X, Y E[ X E X Y E Y ] [ X Y X E Y Y E X + E X E Y ] Cov E E XY E X E Y E X E Y + E X E Y E XY E X E Y Συεπώς α οι μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες θα ισύει Cov X, Y 0 αι επομέως θα είαι αι γραμμιά ασυσέτιστες Το ατίστροφο δε ισύει Δηαδή οι γραμμιά ασυσέτιστες μεταβητές δε είαι ατ αάγη αι αεξάρτητες Α για παράδειγμα θεωρήσουμε τη διδιάστατη αταομή Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 6

Διδιάστατες Καταομές Υ 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 εύοα διαπιστώουμε ότι οι αι Υ είαι γραμμιά ασυσέτιστες αφού E XY E X E Y αά δε είαι αεξάρτητες αφού δε ισύει η 9 9 σέση για όα τα ζεύγη, Α οι μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες τότε: [] όες οι δεσμευμέες αταομές της Υ είαι ίδιες αι ατιστρόφως [] όες οι δεσμευμέες αταομές της είαι ίδιες αι ατιστρόφως Για παράδειγμα, οι δεσμευμέες αταομές της Υ του Πίαα- είαι 0 0 00, 5 00, 5 00, 5 6 00 7, 5 6 00 7, 5 00 7, 5 6 00 7, 5 6 00 7, 5 00 7, 5 6 00, 5 00, 5 00, 5 6 00 00 00 αι οι δεσμευμέες αταομές της είαι 0 0 00 5 00 5 00 5 00 5 00 6 6 50 00 50 00 50 00 50 00 5 00 5 00 5 00 5 00 00 00 00 Είαι φαερό ότι α δύο μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες τότε οι δεσμευμέες μέσες τιμές άθε μεταβητής είαι σταθεροί αριθμοί αεξάρτητοι από τις τιμές της άης αι ισύει: E Y / X E Y E X / Y E X Δηαδή οι δεσμευμέες μέσες τιμές άθε μεταβητής είαι ίσες με τις ατίστοιες μέσες τιμές τω μοοδιάστατω αταομώ Για παράδειγμα, οι δεσμευμέες μέσες τιμές της Υ του Πίαα- είαι: Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 7

Διδιάστατες Καταομές E Y / X E Y / X E Y / X 0 0 + + + 0 + 6 + 6 + 6 0 + + + Δηαδή για όες τις τιμές της είαι Ομοίως βρίσουμε E X / Y E X E Y E Y E Y E Y / X E Y Στατιστιά εξαρτημέες μεταβητές Δυο μεταβητές αι Υ έγοται στατιστιά εξαρτημέες α δε είαι στατιστιά αεξάρτητες Για παράδειγμα, οι μεταβητές του Παραδείγματος- είαι προφαώς εξαρτημέες αι συεπώς οι δεσμευμέες μέσες τιμές E Y / X δε είαι αεξάρτητες τω τιμώ της Α θεωρήσουμε ότι E Y / X α + β X τότε η ετιμήτριά της με τη μέθοδο τω εαίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β X είαι η Yˆ,7 + 0, 706 X αφού ˆ,5 β 0, 706 αι ˆ α 5,56 0,706 5,, 7 5, Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo