Διδιάστατες Καταομές Διδιάστατες Καταομές Πίαας συοτήτω διδιάστατης αταομής Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβητές X, Y αι ζεύγη παρατηρήσεω,,,,,, από δείγμα μεγέθους Τόσο τα,,, όσο αι τα,,, δε είαι απαραιτήτως διαφορετιοί μεταξύ τους αριθμοί αι συεπώς, άποια από τα ζεύγη μπορεί α είαι ίδια Μπορούμε επομέως α παρουσιάσουμε τις παρατηρήσεις με άο τρόπο α συμβοίσουμε: με,,, τις διαφορετιές μεταξύ τους τιμές της X με,,, τις διαφορετιές μεταξύ τους τιμές της Y με τη συότητα του ζεύγους,, δηαδή το φυσιό αριθμό που εφράζει πόσες φορές εμφαίζεται στα ζεύγη το συγεριμέο ζεύγος, Το σύοο τω διατεταγμέω τριάδω,, αποτεεί τη μιτή πειραματιή αταομή τω X, Y ή τη από οιού αταομή τω X, Y Ο πίαας συοτήτω της γράφεται σε μορφή πίαα διπής εισόδου του οποίου οι γραμμές ατιστοιίζοται στις τιμές της X αι οι στήες στις τιμές της Y Σε άθε, «εί» του πίαα γράφεται η ατίστοιη συότητα Υ Προφαώς ισύει: Πίαας σετιώ συοτήτω διδιάστατης αταομής Α συμβοίσουμε με τη σετιή συότητα του ζεύγους,, δηαδή το ποσοστό τω ατόμω στα οποία η X παίρει τη τιμή αι η Y παίρει τη τιμή δηαδή, ο πίαας σετιώ συοτήτω της από οιού αταομής τω X, Y γράφεται σε μορφή πίαα διπής εισόδου του οποίου οι γραμμές ατιστοιίζοται στις τιμές της X αι οι στήες στις τιμές της Y αι σε άθε, «εί» του πίαα γράφεται η ατίστοιη σετιή συότητα Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo
Διδιάστατες Καταομές Υ Προφαώς ισύει: Περιθωριαές ή περιθώριες αταομές ζεύγους μεταβητώ Α συμβοίσουμε με το άθροισμα συοτήτω της γραμμής αι με το άθροισμα συοτήτω της στήης, δηαδή, α αι Δηαδή, το συμβοίζει το πήθος τω ατόμω στα οποία η παίρει τη τιμή αεξάρτητα από τις τιμές που παίρει η Υ αι το συμβοίζει το πήθος τω ατόμω στα οποία η Υ παίρει τη τιμή τότε αεξάρτητα από τις τιμές που παίρει η αι συεπώς ορίζοται οι μοοδιάστατες αταομές, με αι, με Α συμπηρώσουμε το πίαα συοτήτω με μια στήη που περιέει τα,,, αι μια γραμμή που περιέει τα,,, τότε παίρει τη μορφή: Υ Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 9
Διδιάστατες Καταομές Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo Οι μοοδιάστατες αταομές,,,, αι,,,, έγοται περιθωριαές ή περιθώριες αταομές του ζεύγους,υ αι έου πίαες συοτήτω: Άθροισμα Άθροισμα Ααόγως συμπηρώεται αι ο πίαας σετιώ συοτήτω Υ Η μέση τιμή αι η διασπορά τω αι Υ υποογίζοται από τους γωστούς τύπους τω μοοδιάστατω αταομώ:
Διδιάστατες Καταομές Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo Α επομέως γωρίζουμε τη διδιάστατη αταομή εός ζεύγους,υ τότε μπορούμε α βρούμε αι τις μοοδιάστατες αταομές τω αι Υ Οι αταομές όμως τω αι Υ δε αρού για α ορισθεί η διδιάστατη αταομή του ζεύγους,υ ετός, όπως θα δούμε παραάτω, α είαι αεξάρτητες αι μόο τότε Επίσης, η συδιαύμαση x αι ο συτεεστής γραμμιής συσέτισης του Pearon r υποογίζοται από τους τύπους:, x Y X Cov x x r Παράδειγμα-: Ο Πίαας- που αοουθεί δίει τη αταομή 00 πρωτοετώ φοιτητώ μιας σοής ως προς τις βαθμοογίες τους στα Μαθηματιά μεταβητή αι στη Φυσιή μεταβητή Υ Πίαας- Υ [0- [- [-6 [6- [-0] [0-0 6 0 0 [- 5 [-6 9 [6-0 7 0 0 [-0] 0 0 7 Κατασευάζουμε το πίαα συοτήτω αι το πίαα σετιώ συοτήτω της από οιού αταομής τω αι Υ ως τιμές τω αι θεωρούμε τις ετριές τιμές τω ατίστοιω άσεω
Διδιάστατες Καταομές Πίαας συοτήτω Υ 5 7 9 0 6 0 0 0 5 9 5 9 5 7 0 7 0 0 5 9 0 0 7 7 5 5 00 Πίαας σετιώ συοτήτω Υ 5 7 9 0,050 0,00 0,00 0 0 0,00 0,00 0,090 0,055 0,05 0,005 0,95 5 0,05 0,05 0,0 0,060 0,00 0,60 7 0 0,05 0,050 0,50 0,055 0,90 9 0 0 0,00 0,05 0,0 0,55 0,05 0,00 0,55 0,70 0,90 Οι περιθωριαές αταομές της,υ έου πίαες συοτήτω 0 7 9 5 5 5 5 7 5 7 5 9 9 Άθροισμα 00 Άθροισμα 00 Από τους οποίους υποογίζουμε τα,, :, 0 0 0 9 7 5 5 5 60 00 7 5 6 9 79 5 Άθροισμα 00 0 70 0 5, 00 70 00 5, 99, 5, Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo
Διδιάστατες Καταομές Ομοίως βρίσουμε, 5,56 5,99, Για α υποογίσουμε τη συδιαύμαση γιομέω x δημιουργούμε το πίαα τω Υ 5 7 9 Άθροισμα 0 0 0 0 6 65 05 7 7 5 5 5 600 0 50 7 0 7 50 70 69 660 9 0 0 90 7 6 Άθροισμα 7 6 5 6 6 αι βρίσουμε: 6 00 5,5,56,5 99,5 r 0,7,, Δεσμευμέη αταομή της Υ Εά περιορισθούμε στα άτομα στα οποία η παίρει τη τιμή τότε η αταομή τω ατόμω αυτώ ως προς τις τιμές της Υ έγεται δεσμευμέη αταομή της Υ υπό τη συθήη X αι έει πίαα συοτήτω: % 00 00 00 Άθροισμα 00 Είαι φαερό ότι έουμε δεσμευμέες αταομές της Υ όσες αι οι διαφορετιές τιμές της Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo
Διδιάστατες Καταομές Δεσμευμέη μέση τιμή της Υ: E Y / X,,,, Για τη αταομή του Πίαα-, η δεσμευμέη αταομή της Υ για X 7 είαι 0 5 00 7 5 00 0 5 00 % 0 0 7, 07 5 0 7, 7 0 0 00 5, 7 9 00, 97 Άθροισμα 5 00 με μέση τιμή, E Y / X 7 0 + 7 + 50 + 7 0 + 9 6,55 5 5 5 Δεσμευμέη αταομή της Εά περιορισθούμε στα άτομα στα οποία η Υ παίρει τη τιμή τότε η αταομή τω ατόμω αυτώ ως προς τις τιμές της έγεται δεσμευμέη αταομή της υπό τη συθήη Y αι έει πίαα συοτήτω: Άθροισμα % 00 00 00 00 Είαι φαερό ότι έουμε δεσμευμέες αταομές της όσες αι οι διαφορετιές τιμές της Υ Δεσμευμέη μέση τιμή της : E X / Y,,,, Για τη αταομή του Πίαα-, η δεσμευμέη αταομή της για Y είαι Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo
Διδιάστατες Καταομές 6 00 00 00 7 00 0 00 % 6 5 5 5 9, 5 7 7 7, 5 9 0 0 Άθροισμα 00 με μέση τιμή, E X / Y 6 + + 59 + 7 7 + 9 0,5 Αάογα ορίζοται οι δεσμευμέες διασπορές τω αι Υ Στατιστιά αεξάρτητες μεταβητές Θεωρούμε δυο μεταβητές αι Υ Α η διαμόρφωση τω τιμώ της Υ δε επηρεάζεται ούτε σετίζεται ατά οποιοδήποτε τρόπο από τη διαμόρφωση τω τιμώ της τότε έμε ότι η Υ είαι στατιστιά αεξάρτητη της Α η μεταβητή Υ είαι στατιστιά αεξάρτητη της τότε αι η είαι στατιστιά αεξάρτητη της Υ αι γι αυτό στη συέεια θα ααφερόμαστε στη «αεξαρτησία δυο μεταβητώ αι Υ» ωρίς διάριση μεταξύ της αεξαρτησίας της ως προς τη Υ αι της Υ ως προς τη Συθήη αεξαρτησίας δύο μεταβητώ Δύο μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες α αι μόο α η σετιή συότητα άθε ζεύγους, στη διδιάστατη αταομή τους είαι ίση με το γιόμεο τω σετιώ συοτήτω τω τιμώ αι στις ατίστοιες περιθωριαές αταομές Δηαδή, α αι μόο α ισύει: ή Α, επομέως, οι αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες αι μόο τότε η διδιάστατη αταομή του ζεύγους,υ ορίζεται από τις μοοδιάστατες περιθωριαές αταομές τω αι Υ Πρόταση Α δύο μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες τότε E XY E X E Y Το ατίστροφο δε ισύει Απόδειξη: E XY E X E Y Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 5
Διδιάστατες Καταομές Παράδειγμα-: Στο Πίαα- φαίεται η από οιού αταομή δύο μεταβητώ, Υ Πίαας- Υ 0 0 6 6 6 Εύοα διαπιστώεται ότι για άθε, ισύει η αι συεπώς οι αι Υ είαι αεξάρτητες Εύοα, επίσης, επαηθεύεται η σέση E XY E X E Y Πράγματι: E X 0 + 6 + E Y 0 + + + Για το υποογισμό της EXY δημιουργούμε το πίαα τω γιομέω Υ 0 Άθροισμα 0 0 0 0 0 0 0 6 6 0 6 6 Άθροισμα 0 E XY E X E Y Παρατηρήσεις Εύοα αποδειύεται ότι Cov X, Y E XY E X E Y Πράγματι από το ορισμό της συδιαύμασης έουμε: X, Y E[ X E X Y E Y ] [ X Y X E Y Y E X + E X E Y ] Cov E E XY E X E Y E X E Y + E X E Y E XY E X E Y Συεπώς α οι μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες θα ισύει Cov X, Y 0 αι επομέως θα είαι αι γραμμιά ασυσέτιστες Το ατίστροφο δε ισύει Δηαδή οι γραμμιά ασυσέτιστες μεταβητές δε είαι ατ αάγη αι αεξάρτητες Α για παράδειγμα θεωρήσουμε τη διδιάστατη αταομή Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 6
Διδιάστατες Καταομές Υ 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 εύοα διαπιστώουμε ότι οι αι Υ είαι γραμμιά ασυσέτιστες αφού E XY E X E Y αά δε είαι αεξάρτητες αφού δε ισύει η 9 9 σέση για όα τα ζεύγη, Α οι μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες τότε: [] όες οι δεσμευμέες αταομές της Υ είαι ίδιες αι ατιστρόφως [] όες οι δεσμευμέες αταομές της είαι ίδιες αι ατιστρόφως Για παράδειγμα, οι δεσμευμέες αταομές της Υ του Πίαα- είαι 0 0 00, 5 00, 5 00, 5 6 00 7, 5 6 00 7, 5 00 7, 5 6 00 7, 5 6 00 7, 5 00 7, 5 6 00, 5 00, 5 00, 5 6 00 00 00 αι οι δεσμευμέες αταομές της είαι 0 0 00 5 00 5 00 5 00 5 00 6 6 50 00 50 00 50 00 50 00 5 00 5 00 5 00 5 00 00 00 00 Είαι φαερό ότι α δύο μεταβητές αι Υ είαι στατιστιά αεξάρτητες τότε οι δεσμευμέες μέσες τιμές άθε μεταβητής είαι σταθεροί αριθμοί αεξάρτητοι από τις τιμές της άης αι ισύει: E Y / X E Y E X / Y E X Δηαδή οι δεσμευμέες μέσες τιμές άθε μεταβητής είαι ίσες με τις ατίστοιες μέσες τιμές τω μοοδιάστατω αταομώ Για παράδειγμα, οι δεσμευμέες μέσες τιμές της Υ του Πίαα- είαι: Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo 7
Διδιάστατες Καταομές E Y / X E Y / X E Y / X 0 0 + + + 0 + 6 + 6 + 6 0 + + + Δηαδή για όες τις τιμές της είαι Ομοίως βρίσουμε E X / Y E X E Y E Y E Y E Y / X E Y Στατιστιά εξαρτημέες μεταβητές Δυο μεταβητές αι Υ έγοται στατιστιά εξαρτημέες α δε είαι στατιστιά αεξάρτητες Για παράδειγμα, οι μεταβητές του Παραδείγματος- είαι προφαώς εξαρτημέες αι συεπώς οι δεσμευμέες μέσες τιμές E Y / X δε είαι αεξάρτητες τω τιμώ της Α θεωρήσουμε ότι E Y / X α + β X τότε η ετιμήτριά της με τη μέθοδο τω εαίστω τετραγώω Yˆ ˆ α + ˆ β X είαι η Yˆ,7 + 0, 706 X αφού ˆ,5 β 0, 706 αι ˆ α 5,56 0,706 5,, 7 5, Εργ Μαθηματιώ & Στατιστιής / Γ Παπαδόπουος wwwauagr/gpapadopoulo