PRIMJERI RJEŠENIH ZADATAKA IZ STATISTIKE Obuhvaćene cjelne su: Srednje vrjednost (, Me, Mo ) Mjere dsperzje ( δ², δ, Q, Q, Iq, Vq, V ) Standardzrano oblježje ( z ) Mjere asmetrje zaobljenost ( α α 4 ) Indes Lnearn trend ( Yc a+bx )
SREDNJE VRIJEDNOSTI.) Radn staž ( u god ) Broj djelatna 0-4 -9 0 0-4 8-9 9 0-4 90 a) Izračunajte prosječan radn staž djelatna. b) Izračunajte srednju pozcjsu revencjsu vrjednost. RJEŠENJE: a) PRAVE GRANICE x 0-, 0-0 7, 0 0-, 0-0 7,. 0-, 47. 0 0, godne 90 AKO JE a, a + d d a d x-a d -0-0 - -00 0 0 9 0 0 - -,+, god. 90 TUMAČ: Prosječn radn staž zaposlena je, godne
AKO JE a, I b a + b ' d ' d a b d (x-a)/b d - -4 - -0 0 0 9 -, + - 90 *, god. b) N/ 4 M N l + med KN manje od 60 (medjaln raz.) 79 90 Me 0 + 4-8 *, god. TUMAČ: 0% zaposlena ma radn staž, godna manje,a ostalh 0%, godna radnog staža vše. c) Mo l + ( b a) ( b a) + ( b c) 0 a 8 b 9 c 8-0 Mo 0 + *,66 god. (8-0) + (8-9) TUMAČ: Najčešć radn staž je,66 godna
. ) Broj automobla Broj obtelj 0 80 0 0 8 Σ 6 a) Izračunajte prosječan broj automobla po obtelj. b) Odredte srednje vrjednost po pozcj revencj. a) RJEŠENJE: x 0 0 60 7 7.9 6 TUMAČ: Prosječan broj automobla po obtelj je.9 b) Broj automobla Broj obtelj 0 80 Me, Mo 0 0 8 Σ 6 KN 80 400 (medjaln modaln razred ) 0 6 N/ 07. (drug član KN ) Me Mo TUMAČ: 0% l ( 07. 08 ) obtelj ma automobl Il nt jedan,a ostalh 0% ma automobl vše. Najčešć broj obtelj ma automobl.
MJERE DISPERZIJE.) Radn staž ( u god ) Broj djelatna 0-4 -9 0 0-4 8-9 9 0-4 90 Izračunat raspon varjacje, ntervartl ao apsolutnu I oecjent vartlne devjacje ( Vq ) ao relatvnu mjeru dsperzje oo Me, prosječno vadratno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža djelatna ( ² ), prosječno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža djelatna ( ) ao apsolutnu I oecjent varjacje ( V ) ao relatvnu mjeru dsperzje oo. RJEŠENJE PRAVE GRANICE 0- -0 0- -0 0- R x max mn R - 0 PRAVE GRANICE Broj djelatna KN 0-4 -9 0 0-4 8 60-9 9 79 0-4 90 90 donj vartln razred (N/4) gornj vartln razred (N/4) N/4 90/4. N/4 70/4 67.
Q l + N 4 Q Q +. - 0 * 7,6 god TUMAČ: ¼ l % djelatna ma 7,6 godne radnog staža manje,a ostalh ¾ l 7% 7,6 godne radnog staža vše. Q l + N 4 Q Q + 67. - 60 9 * 6,97 godna TUMAČ : ¾ l 7% djelatna ma 6,97 godna radnog staža manje,a ostalh ¼ l % ma 6,97 godna radnog staža vše I Q Q Q Vq Q Q Q + Q 9,4 Iq 6,97 7,6 9,4 godne Vq 0,7 godna 4,9 TUMAČ: Sredšnjh 0% djelatna ma radn staž od 9,4 godne u apsolutnom znosu 7% u relatvnom znosu µ N µ ( x ) N
PRVI NAČIN DRUGI NAČIN ( a, ) x x x² dx-a d d², 0 7-0 -0 00 7, 0 - -00 00, 0 47 0 0 0 7,, 88,7 9 47, 47, 68,7 0 0 00 0 696, - 7 PRVI NAČIN 696, 0 ² - 6,6 godna 90 90 TUMAČ: Prosječno vadratno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža je 6, godna 6,0 godne TUMAČ: Prosječno odstupanje radnog staža od prosječnog radnog staža je 6,0 godne DRUGI NAČIN 7 (-) ² - 6,6 godna 90 90 6,0 godna V 00 6,0 V * 00 48,90%, TUMAČ: Postotno odstupanje od prosjea je 48,90%
STANDARDIZIRANO OBILJEŽJE Promatraju se dvje dstrbucje: A) vsna znosa upljene lterature polazna studja B) broj pročtanh njga studenata prve godne Dstrbucja znosa upljene lterature polazna studja Izdvojeno una Strutura polazna 0-0 0, 0-00 0, 00-40 0,0 40-0 0, 0-700 0,0 Σ Dstrbucja pročtanh njga studenata prve godne Broj pročtanh njga Broj studenata 80 0 80 4 0 0 6 0 Σ 800 Izračunajte: a) standardzrane vrjednost numerčog oblježja obju dstrbucja b) odstupa l vše od prosjea polazn oj je upo lterature u znosu od 480 una, l vše odstupa od prosjea onaj student oj je pročtao pet njga c) grač pražte standardzrane vrjednost obju dstrbucja revencja a) Standardzranje svh vrjednost numerčog oblježja obju dstrbucja revencja n % x / z p /( /) p p 4 6 7 8 9 0-0 0, 00 -,90 00 0,64 0,88 00 0-00 0, -0,86 0 0,96 0,66 78,7 78,7 00-40 0,0 7 0,79 0 0,96 0,07 7 8 40-0 0, 00,8 00 0,64 0, 7 700 0-700 0,0 6,879 0 0,96 0,08, 9, Σ - 8 07
8 p 40 (8) 07 x p p x Prosječno odstupanje od prosječne cjene zdvojene za upovnu lterature, dale analzrane dstrbucje, je,40 una. Knjge Student x z p / p /( /) 4 6 7 8 9 80 -,77 0, 0,70 0,87 80 80 0 -,04 0,6 0,70 0,6 60 0 80-0, 0, 0,70 0, 40 60 4 0 0,876 0,6 0,70 0,648 840 60 0,086 0,88 0,70 0,60 70 70 6 0,896 0,06 0,70 0,087 00 800 Σ 800-770 0,46 800 770,869,96 (,46),9 Prosječno odstupanje od prosječnog broja pročtanh njga () je,869 njga (, njge).
b) Odstupa l vše od prosjea polazn oj je upo lterature u znosu od 480 una, l vše odstupa od prosjea onaj student oj je pročtao pet njga? 480 8 z,,4 z,46,09,869 Od prosjea vše odstupa polazn oj je upo lterature u znosu od 480 una. On od prosjea odstupa za, standardnh devjacja. c) Gračo prazvanje standardzranh vrjednost obju dstrbucja revencja x p /( /) x p /( /) z z -,90 0,88 -,77 0,87-0,86 0,66 -,04 0,4 0,79 0,07-0, 0,,8 0, 0,876 0,64,879 0,08,086 0,60,896 0,0867 orgrane relatvne revencje pc - dstrbucja pročtanh njga studenata prve 0,8 godne 0,7 0,6 0, 0,4 0, 0, 0, 0 Standardzrano oblježje -- dstrbucja zdvojenh sredstava za upovnu lterature - - - 0 Z
PRAVILO ČEBIŠEVA Chebyshev's theorem Standardzrana varjabla može poprmt poztvne negatvne vrjednost. One će rjeto odstupat od artmetče sredne za vše od +. - - - Dale, u ntervalu od + će se nać gotovo sva odstupanja ndvdualnh vrjednost numerčog nza od artmetče sredne. Pravlo Čebševa: Najmanja proporcja članova blo oje populacje u ntervalu od +, > znos : p P( < < + ) > Pojas od + obuhvaća najmanje 7% svh podataa, do pojas od + sadrž najmanje 88.89% svh podataa. U navedenom ntervalu je moguće očevat najmanje pn podataa. Za zvonole dstrbucje (posebce normalne dstrbucje): - + prblžno 68% podataa, - + prblžno 9% podataa (najmanje 7% svh podataa), - + prblžno 99,7% podataa (najmanje 88,89% svh podataa). Poznavanje pravla Čebševa omogućuje jednostavnu procjenu moguće vrjednost nee varjable ao raspona varjacja u ojemu se očeuje određen do supa podataa. K je broj standardnh devjacja.
MOMENTI DISTRIBUCIJE FREKVENCIJA Pet poduzeća upošljava razlčt broj djelatna. Prvo poduzeće upošljava djelatna, drugo 6 djelatna, treće 9 djelatna, četvrto djelatna, a peto djelatna. Poduzeća oja upošljavaju djelatna mogu dobt poduzetnč redt pod vrlo povoljnm uvjetma. Za zadan nz zračunajte: ) momente oo sredne (µ, µ, µ, µ 4 ) ) sve pomoćne momente oo nule (-4), oo a ) preo pomoćnh momenata provjerte točnost zračunath momenata oo sredne! Poduzeća s obzrom na broj djelatna 6 9 Σ 4. Centraln moment (moment oo sredne) oje sredne? artmetče sredne ( -9) ( -9) ( -9) ( -9) 4 4-6 6-6 96 6-9 -7 8 9 0 0 0 0 9 7 8 6 6 6 96 4 0 90 0 74 N ( x ) ( x 9) 0 µ 0 const. N
. Pomoćn moment.. oo nule m m m ( -0) 4 6 7 8 9 9 7 8 6 6 6 6 96 9 9 8 79 66 44 78 076 7 06 4 4 49 607 7999 ( x 0) x ( x 0) x 4 9 ( x 0) x 49 99 607.. oo a ( -) ( -) ( -) ( -) 4 0-44 -78 076 6-9 8-79 66 9-6 6-6 96-9 -7 8 0 0 0 0 4-0 70-700 8674 m' ( x a) d 0 6
4 70 ) ( ' d a x m 40 700 ) ( ' d a x m
MJERE ASIMETRIJE I ZAOBLJENOSTI Izračunavanje α za dstrbucju revencja ontnuranog numerčog oblježja Popjene ltre Broj obtelj Sredne razreda Brojn µ Brojn µ Brojn µ 4 ( - ) ( - ) ( - ) 4 4 6-4 0, -07,4,96 4-6 6 9,77 -,4 7,0 6-8 4 7 0,9 4,78 0,4 8-0 8 9 0,0 4,8 0, 0-4 0,0 49,0 6866,0 Σ 70-9,9 8, 067, (µ 0) Σ 070 a) Izračunavanje α preo trećeg momenta oo sredne artmetča sredna (prv moment oo nule): x 070 6,94 ltara 70 varjanca (drug moment oo sredne): µ ( x ) 9,9 70,69 ltara ±,6 ±,70 ltara Treć moment oo sredne (brojn oecjenta asmetrje ala ): µ ( x ) 8, 70 4,9 ltara
Koecjent asmetrje α : µ 4,9 4,9 α,70, 0,69 Za analzranu dstrbucju obtelj prema popjenm ltrama pća, potrebno je zračunat oecjent zaobljenost. Popjene ltre Broj obtelj Sredne razreda Brojn µ ( - ) Brojn µ ( - ) Brojn µ 4 ( - ) 4 4 6-4 0, -07,4,96 4-6 6 9,77 -,4 7,0 6-8 4 7 0,9 4,78 0,4 8-0 8 9 0,0 4,8 0, 0-4 0,0 49,0 6866,0 Σ 70-9,9 8, 067, (µ 0) Σ 070 6,94,69 ltara; ltara; ±,7 ltara µ ( ) 4 4 067, 70 70,98 ltara Koecjent zaobljenost α 4 : µ 70,98 70,98 α 4,7,8 4 4 4,, α 4 α 4 < TUMAČ: Kao je zračunata mjera manja od, moguće je zaljučt ao je s obzrom na tjeme rvulje, pljosnatja od normalne.
INDEKSI Godna Kaznene prjave It Vt Optužbe Vt 99. 69 44 00-6 96-994. 89 76,96 76,96 6 97,0 99. 46 4 67,08 87,7 8 8,6 996. 47 99 68,4 0,04 96,48 997. 4 0 6,9 9, 777 9,04 Y z V t * 00 * 00 Y z- I t- I t 89 76,96 V 94 * 00 * 00 76,96 69 44 00 46 4 67,08 V 9 * 00 * 00 87,7 89 76,96 PRERAČUNAVANJE INDEKSA NA STALNOJ BAZI U VERIŽNE Godna Pojava It Vt 990. 800 00-99. 8 6 47 47 99. 0 904 88 8 99. 006 07 0 994. 4 8 0 99. 4 8 0 996. 0 9 0
47 8 6 V 9 * 00 * 00 47 00 800 88 0 904 V 9 * 00 * 00 8 47 8 6 PRERAČUNAVANJE VERIŽNIH INDEKSA U INDEKSE NA STALNOJ BAZI I t V t * 00 t,,... N I t- I t V t * I t- 00 Godna Pojava It Vt 99.00 99. 448-00 99. 4 98.4 98.4 994. 797 6.0 4.08 99. 7 9.77 8.8 996. 6 9.84. 997. 494 9. 0.6 998. 9 0.0 06.7 999. 76 0.40 08.8 000. 74 0. 0.8 00. 780 0.8.90 It- * Vt It 00
Godna Vt It 00. 00 99. - 8.7 99. 98.4 80.07 994. 6.0 00.96 99. 9.77 96.69 996. 9.84 90.74 997. 9. 8.94 998. 0.0 86.00 999. 0.40 88.4 000. 0. 97.87 00. 0.8 00.00 It It- * 00 Vt Godna Vt It 997. 00 99. - 96.94 99. 98.4 9.8 994. 6.0 0.8 99. 9.77.9 996. 9.84 08.0 997. 9. 00.00 998. 0.0 0.0 999. 0.40 0.48 000. 0. 6.9 00. 0.8 9. It * 00 Vt It 00 It- * Vt 00
LINEARNI TREND TREND S ISHODIŠTEM U POČETKU RAZDOBLJA Vremens ntervaln nz Godna Prozvodnja Y Y ² Yc 99. 84 0 0 0 80,+4, *0 80, 99. 69 69 80,+4, * 6,7 994. 686 7 4 80,+4, * 67, 99. 96 9 80,+4, * 087,7 996. 47 4 900 6 80,+4, *4 00, Σ 76 0 0877 0 76 ΣΧ 0 a) nacrtat graon ; Ν ΣΧΥ - ΧΣΥ 0877 *76 b 4, Σ² - ΣΧ 0 *0 ΣΥ 76 Υ 67, Ν a Υ - Χ b 67, * 4, 80, Yc 80, + 4, * shodšte 0.06.9 Y prozvodnja godna
Prmjer za zračunavanje jednadžbe trenda s shodštem u sredn vremensog nza ~ NEPARAN BROJ RAZDOBLJA ~ Godna Prozvodnja Y ² Yca+bx 99. 84 - -668 4 80, 99. 69 - -69 6,7 994. 686 0 0 0 67, 99. + 087,0 996. 47 + 690 4 00,0 Σ 76 0 4 0 76 ΣΧ ΣΧ 0; Ν ; Χ 0 Ν ΣΧΥ - ΧΣΥ ΣΧΥ - 0 ΣΥ ΣΧΥ b ΣΧ² - ΧΣΧ ΣΧ² - 0 ΣΧ ΣΧ² ΣΥ a Υ - Χ * b - 0 * b Ν ΣΥ 76 a a 67, Ν ΣΧΥ ΣΧΥ 4 b b 4, ΣΧ² ΣΧ² 0 Υc a + bχ Υc 67, + 4, shodšte 0.06.994. Y prozvodnja u tonama godna
Prmjer od parnog broja razdoblja u nzu TRENUTAČNI VREMENSKI NIZ Godna Promet u 000 n. Y ² Yca+bx..994 40 - -700 8..99 9 - -476 9 44..996 666 - -666 70..997 4 4 97..998 8 6776 9 4..999 46 0 7 07 907 70 07 0.6.97............. 94. 9. 96. 97. 98. 99. ΣΥ 07 Polugodšta a Y 87,8 Ν 6 ΣΧΥ 907 b,84 ΣΧ² 70 Yc a + bx Yc 87,8 +,84 shodšte 0.06.997 Y tsuću una prometa polugodšte