Izračun rizične vrijednosti VaR

Transcript

1 MATEMATIKA IZVAN MATEMATIKE Izračun rzčne vrjednost VaR Dušan Munđar 1 Ana Zemljak 2 Sažetak. Clj rada je prkazat jedan model za kvantfkacju rzka tr metode za zračun rzčne vrjednost, kvanttatvne mjere rzka. Metode zračuna rzčne vrjednost (eng. Value at Rsk, skraćeno VaR) statstčke su metode pomoću kojh se mjer upravlja raznom fnancjskog rzka nvestcjskog portfelja kroz određen vremensk perod. U radu ukratko opsujemo povjest kvanttatvnog modelranja rzka pojam rzčne vrjednost. U nastavku prkazujemo tr metode kvantfcranja rzčne vrjednost: povjesnu metodu, parametarsku metodu (metoda varjance kovarjance) pojednostavljenu Monte Carlo smulacju. Izračun su prkazan na prmjerma. Izračun rzka gubtka vrjednost proveden su na portfelju od pet hrvatskh donca na dnevnoj osnov, uz raznu vjerojatnost od 95 %. Rezultat trju metoda daju slčne rezultate, al svak od prstupa ma prednost mane. Ključne rječ. rzčna vrjednost, VaR (Value at Rsk), dobtc/gubtc, povjesna metoda, parametarska metoda, Monte Carlo smulacja 1. Uvod Upoznavanje rzka kojma su organzacja l pojednac zložen prv je korak uspješnog upravljanja rzcma te smanjenju njhovh potencjalnh učnaka. Rad uspješnje komunkacje najvažnje komponente rzka, vjerojatnost nastajanja potencjaln utjecaj na organzacju, občno se prkazuju tablčno. U stuacj gdje događaj nastaju često, al događajma nje unaprjed poznat ntenztet, pokazala se potreba mogućnost zrade modela za kvantfcranje rzka. Jedna od takvh stuacja jest promjena cjena na tržštu. Tržšn rzk je rzk koj se manfestra usljed promjena na tržštu, koje mogu dovest do gubtka vrjednost nvestcje (movne) samm tme organzacja ma nteres mjert zloženost tom rzku. Model rzčne vrjednost (eng. Value At Rsk VaR) metode za mjerenje rzčne vrjednost nastal su prvenstveno za kvantfkacju tržšnog rzka. Tjekom razvjanja sustava mjerenja rzčne vrjednost zdvojla su se tr glavna načna mjerenja rzčne vrjednost, a to su: povjesna metoda, parametarska metoda (metoda varjance kovarjance) Monte Carlo smulacja. Kvantfkacja rzčne vrjednost u fnancjskoj ndustrj znmno je btna za upravljanje portfeljem zračunom adekvatnost kaptala, tj. određvanje potrebnh fnancjskh prčuva za zašttu od tržšnog rzka. 1 Dušan Munđar, Fakultet organzacje nformatke, Sveučlšte u Zagrebu 2 Ana Zemljak, Fakultet organzacje nformatke, Sveučlšte u Zagrebu 71 Poucak 68.ndd :43:12

2 Poučak Povjest rzčne vrjednost Početak analzranja tržšnog rzka kreće razvojem teorje sastavljanja portfelja. Leavens je godne svojm radom objavo jedno od prvh kvantfcranja rzka. Daljnj razvoj kvantfkacje tržšnog rzka napravl su nezavsno Markowtz Roy u pedesetma. Razvoju teorje kvantfkacje tržšnog rzka u narednm godnama prdonjel su drug znanstvenc, od kojh su nek dobl Nobelovu nagradu za ekonomju. Nek od najpoznatjh su Wllam Sharpe, Jack Treynor, John Lntner. Model rzčne vrjednost, u oblku prkazanom u ovom radu, začet je ranh osamdeseth godna prošlog stoljeća kada nvestcjska banka J. P. Morgan razvja mjerenje rzčne vrjednost unutar svoje kompanje. Tadašnj drektor J. P. Morgana (D. Weatherstone) zahtjeva od analtčara dnevn zračun zloženost rzku. Jedan od arhtekata koncepta rzčne vrjednost koj se danas korst bo je Tll Guldmann koj je u to vrjeme bo zadužen za analzu movne obaveza. U ranm devedesetma model je prezentran zvan kompanje. Od godne model pod nazvom RskMetrcs, koj se sastojao od detaljnh tehnčkh dokumenata uz matrcu kovarjance za nekolko stotna ključnh faktora koj su se dnevno ažurral, objavljen je na nternetu te je pobudo značajan nteres za metodu njenu upotrebu. Na daljnju popularzacju modela utječe Bazelsk odbor za supervzju banaka koj je godne zdao drektvu o adekvatnost kaptala te odredo bankama da moraju bt sposobne podnjet gubtke na vlasttom tržšnom portfelju, a za što je prmjena modela rzčne vrjednost vrlo prkladna. Vše o povjest metode može se zmeđu ostalog pročtat u [1]. 3. Pojam rzčne vrjednost Rzčna vrjednost je fleksblna mjera rzka koja je specfcrana za razdoblje h (generalno zmeđu 1 dana 1 mjeseca) s raznom vjerojatnost a (zmeđu %), a može se zrazt kao postotak tržšne vrjednost l u apsolutnom znosu (npr. kn). Ona je aproksmacja budućeg maksmalnog potencjalnog gubtka na portfelju s određenom vjerojatnošću, pr čemu se maksmaln gubtak skazuje jednom brojkom. Dakle, rad se o jednstvenoj, sažetoj statstčkoj mjer mogućh gubtaka vrjednost portfelja koja određuje grančnu vrjednost za koju vrjed da se rzčn događaj s većm gubtkom događaju s manjom od unaprjed određene vjerojatnost 1-a. Prema najpoznatjem edukatvnom web portalu z područja fnancja, Investopeda [2], rzčna vrjednost je statstčka metoda koja služ za mjerenje upravljanje raznom fnancjskog rzka unutar tvrtke l određenog nvestcjskog portfelja u određenom 72 Dstrbucja rasta/pada vrjednost portfelja u promatranom vremenskom perodu pad a VaR 1 a Rast/pad vrjednost portfelju Slka 1: Rzčna vrjednost (VaR) raspodjela dstrbucja rasta/pada vrjednost portfelja rast Poucak 68.ndd :43:12

3 vremenskom razdoblju. Rzčnom vrjednost može se utvrdt zloženost rzcma kao što su: valutn rzk, rzk od promjene kamatne stope, rzk promjene cjene, rzk lkvdnost mnog drug rzc koj se pojavljuju na tržštu kaptalom. 4. Metode zračuna rzčne vrjednost Razvojem sustava za mjerenje rzčne vrjednost zdvojle su se tr domnantne metode zračuna rzčne vrjednost, a to su: povjesna metoda, parametarska metoda (metoda varjance kovarjance) te Monte Carlo smulacja. U nastavku, u pojednostavljenom oblku, prkazujemo teorjske osnove prmjer zračuna rzčne vrjednost tm metodama Povjesna metoda Najjednostavnja metoda za zračun rzčne vrjednost je povjesna metoda. Povjesna metoda spada u skupnu neparametarskh metoda procjene rzčne vrjednost. Temelj se na pretpostavc da će prnos u budućnost bt vrlo slčn prnosma z nedavne prošlost, tj. da će se moć prognozrat rzk u blskoj budućnost pomoću podataka z prošlost. Neka se promatran portfelj sastoj od N vrjednosnca. Za svaku vrjednosncu z portfelja neka postoje opažen prnos R,t za n razdoblja. Smulran povrat portfelja za jedno razdoblje (t) tada je: N Rt = ωrt, = 1 gdje je w udo movne uložen u vrjednosncu, R t, povrat na vrjednosncu u razdoblju t. Navedena formula daje povjesno smulrane scenarje povrata za sadašnj portfelj, te služ kao osnova za zračun rzčne vrjednost putem povjesne metode. Rzčna vrjednost na razn vjerojatnost a % tada je (100-a) percentl, odnosno vrjednost spod koje se nalaz (100-a) % vrjednost. Vrjednost parametra a najčešće je Parametarska metoda (metoda varjance kovarjance) Parametarska metoda je najčešće korštena metoda za zračun rzčne vrjednost. Temelj se na pojednostavljenm pretpostavkama kretanja tržšnh cjena karakterstka portfelja. Pr zračunu se pretpostavlja da dstrbucja povrata odgovara jednoj od teoretskh dstrbucja, poput normalne dstrbucje. Rzčna vrjednost za tržšn rzk jedne donce, prmjenjujuć pretpostavku o normalnost dobtaka/gubtaka l prnosa, zračunava se procjenom dvaju parametara: očekvane vrjednost dobtaka/gubtaka l stopa prnosa promatranog portfelja standardne devjacje promatranh dobtaka/gubtaka l stopa prnosa. 73 Poucak 68.ndd :43:12

4 Poučak 68 Rzčna vrjednost može se zračunat za portfelj procjenjujuć očekvane vrjednost standardne devjacje svake donce (temeljem povjesnh podataka), al pr tome uvažavajuć korelacju dobtaka l povrata među doncama procjenom matrce korelacje l matrce varjanc/kovarjanc. Metoda zračuna rzčne vrjednost za portfelj, uz pretpostavku da su opsan multvarjantnom normalnom dstrbucjom, započnje procjenom parametara: utvrđvanje očekvanh prnosa standardnh devjacja prnosa, procjena matrce varjanc/kovarjanc prnosa. Sljedeć korak je zračunavanje koefcjenta korelacje zmeđu standardzranh pozcja. Koefcjent korelacje zračunava se kao odnos kovarjance prnosa donca te umnoška standardnh devjacja prnosa promatranh donca. cov( R, Rj) ρ( R, Rj) = σ( R) σ( Rj) Kada su poznat udjel pojednh donca u ukupnoj pozcj portfelja w standardne devjacje s 1,..., s n korelacje r j (, j {1,..., n}) standardzranh pozcja, standardna devjacja portfelja zračunava se prema formul teorje portfelja kao: 74 n n 2 2 p= + 2, j j j = 1 = 1 j< σ ω σ ρ ωωσσ Prmjerce, zračun standardne devjacje portfelja koj se sastoj od dvje donce prkazan je sljedećom formulom: σ ( R ) = ωσ + ωσ + 2ωωρ σσ p ,2 1 2 Mjera rzčne vrjednost tada se zračunava putem sljedeće formule: VaR=( ms - pa )P, pr čemu je prosječn (očekvan) povrat portfelja μ za jednčno razdoblje, P ncjalna tržšna vrjednost portfelja, s p standardna devjacja portfelja, a vrjednost standardzrane normalne dstrbucje određene razne vjerojatnost. Kako je prosječn (očekvan) povrat portfelja za mala razdoblja prblžno nula, nerjetko se zostavlja z formula za rzčnu vrjednost Monte Carlo smulacja Monte Carlo smulacja najprecznja je metoda procjene maksmalnog gubtka, a poznata je još kao metoda statstčke smulacje, gdje se statstčka smulacja defnra kao blo koja metoda koja korst sekvence slučajnh brojeva za zvođenje smulacje. Monte Carlo smulacja vrlo je slčna povjesnoj metod jer se kod zračuna korste pretpostavke o budućem rzku dobvene na temelju povjesnh podataka. Razlka Poucak 68.ndd :43:12

5 je što se hpotetske promjene tržšnh faktora ne stvaraju na temelju prošlh opaženh promjena već se statstčkom smulacjom na adekvatan načn generraju povrat slčn onma z prošlost. Također, nakon dobvene smulacje rzčna se vrjednost određuje uz određenu raznu vjerojatnost kao u povjesnoj metod. Metoda dopušta upotrebljavanje procjene parametara teorjskh dstrbucja temeljem povjesnh podataka uz uvažavanje tržšnh očekvanja, čme može postat zahtjevnja precznja po potreb. Za zračun u ovom radu korstmo jednostavnu verzju koja za polazšte ma povjesnu metodu, a nadograđena je upotrebom smulacja. 5. Izračun rzčne vrjednost Izračun rzčne vrjednost donca, proveden prema povjesnoj parametarskoj metod te pojednostavljenoj metod Monte Carlo smulacje, na dnevnoj je osnov, uz raznu pouzdanost od 95 %. Koršten su podatc za razdoblje od do godne. Cjene donca preuzete su s web strance Zagrebačke burze [4], a odabrane donce kotraju na Zagrebačkoj burz duže od pet godna uvrštene su u ndeks CROBEX na dan Odabrane donce su: ADRS-P-A: Adrs d.d.; ATGR-R-A: Atlantc Grupa d.d.; DDJH-R-A: Đuro Đakovć Holdng d.d.; ERNT- R-A: Ercsson Nkola Tesla d.d.; KRAS-R-A: Kraš prehrambena ndustrja d.d Analza rezultata rzčne vrjednost prmjenom povjesne metode Izračun povjesnom metodom za portfelj od 5 odabranh donca (n = 5) uz raznu vjerojatnost od 95 % temelj se na dnevnm promjenama cjena u razdoblju od godne do godne. Povjesn podatc prkupljen kroz navedeno razdoblje daju dnevnh povrata (N). Izračun rzčne vrjednost provodmo za portfelj ncjalne vrjednost kn pr čemu je ulaganje u svaku doncu kn. Portfelj Iznos uloga (kn) težnska vrjednost Donca 1 ADRS-P-A Donca 2 ATGR-R-A Donca 3 DDJH-R-A Donca 4 ERNT-R-A Donca 5 KRAS-R-A Zbroj: Tablca 1. Prkaz ulaganja u portfelj s prpadajućom težnskom vrjednošću 75 Poucak 68.ndd :43:12

6 Poučak 68 Datum Cjene Donca 1 Donca 2 Donca 3 Donca 4 Donca 5 ADRS-P-A ATGR-R-A DDJH-R-A ERNT-R-A KRAS-R-A Tablca 2. Prkaz povjesnh cjena donca Nakon prkupljanja povjesnh podataka, računajuć relatvnu promjenu vrjednost donca, određen su dnevn povrat donca R t, P P P t, t1, Dnevn povrat Donca 1 Donca 2 Donca 3 Donca 4 Donca 5 ADRS-P-A ATGR-R-A DDJH-R-A ERNT-R-A KRAS-R-A t1, Tablca 3. Prkaz dnevnh povrata donca Sljedeć korak je zračun povrata portfelja. Povrat portfelja je težnsk prosjek povrata donca, pr čemu su težne relatvn udjel pojednh donca u portfelju. U našem slučaju relatvn udo svake donce je 20%. R n R t t, 1 w udo movne trenutno uložen u vrjednosncu () R,t povrat na vrjednosncu () u razdoblju (t) Povrat portfelja Sortran povrat Redn broj portfelja opažanja Dnevn dobtak/gubtak Tablca 4. Prkaz povrata portfelja dobvenh dobtaka/gubtaka.. 76 Poucak 68.ndd :43:12

7 Nakon dobvenh dnevnh povrata portfelja sortramo povrate prema znosu te zračunamo dnevn rast/pad vrjednost portfelja. Slka 1. prkazuje hstogram kumulatvnu funkcju dstrbucje dnevnh dobtaka/gubtaka portfelja. Frekvencja Hstogram dnevnog rasta/pada vrjednost portfelja VaR= Dnevn rast/pad vrjednost portfelja (kn) Slka 2. Hstogram dnevnh dobtaka/gubtaka Za promatran portfelj postoj 0.1 % mogućnost za gubtak već od kn 0.1 % mogućnost da će dobtak bt već od kn tjekom jednog trgovanja. Rzčna vrjednost daje odgovor na ptanje kolk je maksmaln moguć gubtak uz određenu raznu vjerojatnost. U uzlazno sortranom nzu vrjednost očta se vrjednost na 50. mjestu ( ). Prema zračunu za promatran portfelj rzčna vrjednost uz raznu vjerojatnost od 95 % znos kn, tj. postoj 5 % vjerojatnost da se u jednom danu zgub vše od kn Analza rezultata rzčne vrjednost prmjenom parametarske metode Izračun rzčne vrjednost prmjenom parametarske metode radmo na osnov parametara: prosječnh povrata, standardnh devjacja povrata korelranost povrata. Za procjenu korstmo podatke z povjesnh podataka koje smo korstl u povjesnoj metod. Prosječan povrat donce računamo na načn da uzmemo artmetčku srednu povrata donca z povjesne metode. Procjenu standardne devjacje povrata dobjemo formulom: N 1 2 s ( Rt, R ) N 1 Donce 1 Vrjednost donce u portfelju Prosječan povrat Standardna devjacja 1 ADRS-R-A % % 2 ATGR-R-A % % 3 DDJH-R-A % % 4 ERNT-R-A % % 5 KRAS-R-A % % Tablca 5. Prkaz podataka za zračun parametarske metode 77 Poucak 68.ndd :43:12

8 Poučak 68 Iz Tablce 5. vdljvo je da povrat treće donce (DDJH-R-A) maju najveću pojednačnu varjablnost dnevnog povrata. U slučaju gdje se portfelj sastoj od vše donca, za zračun volatlnost korst se matrčn račun. Matrca varjance-kovarjance uzma u obzr korelranost povrata donca. Težnska vrjednost donca u portfelju pomnožena matrcom varjance-kovarjance svh donca množ se transponranom težnskom vrjednošću svh donca koje su u portfelju. Izračun varjance povrata portfelja može se jednostavnje provest matrčnm računom. Neka je C matrca korelacja povrata donca koje su u sastavu portfelja. U našem slučaju C matrca znos: C = Neka je S matrca standardnh devjacja dnevnh povrata donca koje su u sastavu portfelja. S matrca za naš portfelj znos: 1.370% % % % S % % % % % % Matrčnm množenjem dolaz se do konačnog rezultata procjene varjance z koje je kvadratnm korjenovanjem moguće dobt standardnu devjacju povrata portfelja. Formula za zračun glas: s 2 t p( R ) SCS Nakon provedenog matrčnog računa dobjemo da varjanca standardna devjacja povrata portfelja znose: s 2 ( R ) VCV t p , s ( R p ) 0.958% %. Uzmajuć u obzr očekvan povrat od %, standardnu devjacju povrata portfelja (0.958 %), vrjednost standardzrane normalne dstrbucje određene razne pouzdanost a (1.645 za 95 %) te ncjalnu vrjednost portfelja, možemo prstupt zračunu VaR-a portfelja. 78 VaR = (0.044 % %) = kn Prema defncj VaR-a, rzčna vrjednost za portfelj uz raznu vjerojatnost od 95 % znos kn, tj. postoj 5 % vjerojatnost da se u jednom danu zgub vše od kn. Poucak 68.ndd :43:12

9 5.3. Izračun rzčne vrjednost prmjenom Monte Carlo smulacje Izračun rzčne vrjednost prmjenom Monte Carlo smulacje vršmo na načn da korstmo dnevn rast/pad vrjednost portfelja koj smo zračunal u povjesnoj metod, te od dobvenh vrjednost generramo 100 nasumčnh rezultata za 30 uzoraka. UZORAK 1 UZORAK 2 UZORAK 29 UZORAK VaR (p = 95 %) Tablca 6. Prkaz smulacje nasumčnh vrjednost dnevnh povrata portfelja Nakon generranja 100 dnevnh rasta/pada vrjednost portfelja te sortranja sth rzčnu vrjednost na razn vjerojatnost 95 % dobjemo kao prosjek peth po vrjednost dnevnh rasta/pada vrjednost stvorenh uzoraka. Prema zračunu, rzčna vrjednost za portfelj na razn vjerojatnost 95 % znos kn, tj. postoj 5 % vjerojatnost da se u jednom danu može zgubt vše od navedenog znosa. 6. Zaključak Rzčna vrjednost razvla se kao alat kojm banke ostale fnancjske nsttucje mogu mjert rzk. Uvođenjem metoda mjerenja rzčne vrjednost došlo je do opće mjere fnancjskog gubtka, odnosno akumulranog rzka u portfelju. Clj korštenja rzčne vrjednost je procjent skazat rzk s obzrom na vremensk perod unaprjed određenu vjerojatnost jednm brojem. Svaka od navedenh metoda ma svoje prednost nedostatke. Uzevš u obzr sve prednost nedostatke, nt jedna metoda nje najbolja za sva tržšta uvjete na tržštu. Model rzčne vrjednost vrlo je važan za utvrđvanje rzka jer omogućava konzstentan ntegrran prstup upravljanju tržšnm rzcma, što za uzrok ma bolje sgurnje poslovanje. U ovom su radu proveden zračun na temelju povjesne parametarske metode te pojednostavljene metode Monte Carlo smulacje za portfelj od 5 hrvatskh donca s ulogom od kn. Na temelju dobvenh rezultata prmjećujemo da razmatrane metode daju slčnu procjenu rzčne vrjednost. Lteratura 1. Holton, A.A. Hstory of Value-at-Rsk. Dostupno na /~steele/courses/434/434context/rskmanagement/varhstlory.pdf ( ) 2. Investopeda, dostupno na ( ) 3. J. P. Morgan/Reuters, RskMetrcs Techncal document, J. P. Morgan/Reuters, New York, Zagrebačka burza, dostupno na ( ) 79 Poucak 68.ndd :43:12