ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΝΑΛΥΣΗΣ 1. ίνεται η συνάρτηση ƒ µε τύπο, + 5 6 < + + 7 5 f( ) = < < 5 ( ) ( 5) 006 ( 11) 1 5 Υπολογίστε τα παρακάτω όρια της συνάρτησης, Α) Β) f ( ) f ( ) 1 Γ) f ( ) + και f ( ) και f ( ) +. ίνονται συναρτήσεις ƒ, g τέτοιες ώστε: f( ) = 1 4 4 και [ g ( ) ( 5+ 4)] = 1 4 i. Υπολογίστε το όριο της συνάρτησης ƒ όταν το χ τείνει στο 4 ii. Υπολογίστε το όριο: ( f ( ) g( )) 4 iii. Υπολογίστε το όριο, αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ βρίσκεται κάτω από τον άξονα χ χ στο διάστηµα (1,5). g ( ) 4. ίνεται συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε: i. f () =; f( ) 1-1 -
ii. iii. f ( ) =; Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της ƒ δεν διέρχεται από το σηµείο (1, ) 4. Υπολογίστε τα όρια: i. ii. iii. iv. 0 ηµ 5 + 4 ( a ηµ συν ) 0 1 + k 5 1 6 = β α για κ R για α,β R v. ( λ 1) + + + + για λ R 5. ίνεται f : R R τέτοια ώστε, Υπολογίστε τα όρια: i. ii. f ( ) 1 1 iii. f ( ) iv. + 1 f( ) =; και + R ( f ( ) ) 1 =; f( ) [ f( ) + 1] + ( 1) =; 1 + f( ) =; ( f ( ) 10 f( ) 100 f( )) + f ( ) ηµ f( ) f( ) + 1 v. + + + =; =; - -
6. ίνονται συναρτήσεις τέτοιες ώστε: ( f og )( ) = + + g ( ) = + 1 1 1 1 ( fog)( ) = + + 1 f( ) = 1 + i. Υπολογίστε τις συναρτήσεις, f1 g ii. Υπολογίστε την σύνθεση συναρτήσεων της f 1 µε την g 7. ίνεται συνάρτηση f : R R τέτοια ώστε: f f ( ) + ( ) = + 1 i. Να αποδείξετε ότι υπάρχει αντίστροφη συνάρτηση της ƒ ii. Βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 1 iii. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ƒ είναι γνησίως αύξουσα iv. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της ƒ διέρχεται από τα σηµεία (-1,0) και (1,1) v. Λύστε την εξίσωση ƒ(χ)=0 vi. Λύστε την ανίσωση, f ( f( + 1) 1) < 1 1 8. ίνεται η συνάρτηση f ( ) = e + 5 i. Εξετάστε την µονοτονία της ƒ ii. Να δείξετε ότι η ƒ είναι «1-1» iii. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ -1 διέρχεται από το σηµείο ( -4,0) iv. Βρείτε το λ=; αν e λ 4 λ e = λ λ + v. Βρείτε τις κοινές λύσεις των γραφικών παραστάσεων της ƒ, ƒ -1 vi. Λύστε την ανίσωση, 1 f ( f( e 1) e) < 0 - -
9. Έστω συνάρτηση f : A R και g: f( A) R. Αν gοƒ είναι 1-1 να δείξετε ότι: α) ƒ είναι 1-1 β) η g είναι 1-1 10. ίνονται οι συναρτήσεις 4κ + f( ) = + ( λ+ κ) λ g( ) = κ,λ R i. Να βρείτε το κ αν η γραφική παράσταση της g διέρχεται από το σηµείο (1, κ 1) ii. Να δείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των ƒ, g έχουν ακριβώς κοινά σηµεία iii. Να λύσετε την ανίσωση: (ƒοg)(χ) + λ + λ (λ ) χ 11. Η συνάρτηση ƒ:r R ικανοποιεί την σχέση: f( f( )) f ( ) Α) Να αποδείξετε ότι η ƒ είναι 1-1. Β) Να λύσετε την εξίσωση + = + R f( ) f(4 ) + = R 1. ίνεται συνάρτηση f στο R τέτοια ώστε f (10)=9 και α) Να υπολογίσετε το f (9) = ; f( ) f( f( )) = 1 R β) Να δείξετε ότι υπάρχει χ ο (9,10) τέτοιο ώστε f (χ ο)=5 γ) Υπολογίστε το f (5) = ; (Θέµα εσµών 1998) 1. ίνεται συνάρτηση ƒ συνεχής R τέτοια ώστε ƒ(χ) 0, χ R και - 4 -
α) Υπολογίστε το ƒ() [ f( ) ( )] = 5 β) Να αποδείξετε ότι: ƒ(χ) < 0, χ R f( ) 10 ( ) γ) Υπολογίστε το όριο: 14. ίνεται συνάρτηση ƒ ορισµένη στο R τέτοια ώστε να ισχύει: ( 1) f( ) +, χ R α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια της συνάρτησης ƒ στο σηµείο χ ο = 1 β) Αν η ƒ είναι συνεχής στο R, υπολογίστε το ƒ(1) = ; γ) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ τέµνει τον άξονα χ χ τουλάχιστον φορά µια φορά στο διάστηµα [-1,1). 15. ίνεται συνάρτηση ƒ και Ρ(χ) πολυωνυµική συνάρτηση τέτοια ώστε, f( ) P( ) + ηµ (5 ) R α) Υπολογίστε τα πλευρικά όρια της ƒ στο σηµείο χ ο= 0 β) Υπολογίστε το σηµείο που τέµνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ τον άξονα χ χ. f( ) + 4 16. ίνεται συνάρτηση ƒ συνεχής στο χ ο =0 και = 0 α) Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης διέρχεται από το σηµείο (0,) f ( ) f (0) β) Υπολογίστε το όριο: 0-5 -
17. ίνεται συνάρτηση ƒ τέτοια ώστε: f y f y y f ( ) = ( ) + ( ) για κάθε χ, y R *. α) Υπολογίστε ƒ(1) β) Αν η ƒ είναι συνεχής στο 1, να αποδείξετε ότι η ƒ είναι συνεχής στο R* f( ) γ) Αν = 1 τότε να αποδείξετε ότι: 1 1 ( ) ( ) + ( ) f f a a f a = 0 a a 18. ίνονται οι συναρτήσεις 006 g( ) a 006 f ( ) a b,για α 0 = + + και η συνάρτηση = + +b. Αν ρ 1 είναι ρίζα της εξίσωσης ƒ(χ)=0 και ρ είναι ρίζα της εξίσωσης g(χ)=0 µε ρ 1 <ρ. α) Να αποδείξετε ότι: ƒ(χ) g(χ) =χ 006, χ R β) Να δείξετε ότι η εξίσωση κƒ(χ)+λg(χ)=0 µε κ,λ>0, έχει µια τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (ρ 1,ρ ) 19. ίνεται συνάρτηση ƒ ορισµένη στο R τέτοια ώστε: και ( ) y f + y = e f ( ) + e f( y) + a y b χ, y R f( ) = γ µε γ R. 0 Να δείξετε ότι: α) ƒ(0)=0 β) Η ƒ είναι συνεχής στο χ ο =0 γ) Η ƒ είναι συνεχής στο R - 6 -
δ) f( ) f( o ) o = f ( o) + γ e + a o o o ( ίνεται: h e 1 = 1 ) h 0 h 0. ίνεται συνάρτηση ƒ γνησίως αύξουσα στο [0,1] και ƒ(0)=, ƒ(1)=ƒ(0). α) Ν.δ.ο η ευθεία y= τέµνει την γραφική παράσταση της ƒ σ ένα ακριβώς σηµείο µε τετµηµένη χ ο (0,1) β) Ν.δ.ο υπάρχει χ 1 (0,1): f( 1 ) = 1 4 f( ) + f( ) + f( ) + f( ) 5 5 5 5 4 1. ίνεται συνάρτηση ƒ τέτοια ώστε: + f ( ) + + α) Ν.δ.ο η γραφική παράσταση της συνάρτησης ƒ βρίσκεται στο πρώτο τεταρτηµόριο β) Υπολογίστε το ƒ(0) γ) Ν.δ.ο η συνάρτηση ƒ είναι συνεχής στο 0 f ( ) f (0) δ) Υπολογίστε το όριο 0. ίνονται συναρτήσεις ƒ,g τέτοιες ώστε: f f g g ( ) + ( ) ( ) + ( ) o, χ R και χ ο R α) Ν.δ.ο: [( f( ) + g ( )) + g ( ) ] = 0 o β) Ν.δ.ο: g ( ) = 0 o γ) Ν.δ.ο: f( ) = 0 o. ίνεται συνάρτηση ƒ µε τύπο, - 7 -
Να βρείτε τα α, b, γ ώστε το a + > 4 f( ) = b + γ 1 < f( ) k k = R.Βρείτε µετά το k=; 4. Έστω ƒ,g συναρτήσεις συνεχείς στο [α,β] και µε τιµές στο [α,β]. Να αποδείξετε ότι υπάρχει γ [α,β] τέτοιο ώστε: (ƒοg)(γ)+(gοƒ)(γ)=γ 5. ίνεται συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύει: α) Να δείξετε ότι η ƒ είναι 1-1 f( ) + f( ) + = 8 για κάθε χ R β) Υπολογίστε την αντίστροφη συνάρτηση της ƒ και το σύνολο τιµών της γ) Υπολογίστε το όριο: f ( ) 6-8 -