Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 4ο Παρϊγωγοσ Συναρτόςεων μιασ Μεταβλητόσ.

Μαθηματικϊ για Οικονομολόγουσ Ι-Μϊθημα 4ο Παρϊγωγοσ Συναρτόςεων μιασ Μεταβλητόσ.

Αμϋςωσ μετϊ ο Χαμπϊσ-αλ-Χαςύμπ δημιούργηςε την εφαπτομϋνη. Η εφαπτομϋνη εύναι το ιδανικό εργαλεύο για την μϋτρηςη του ύψουσ. (Το θεώρημα του παπαγϊλου, Ντ. Γκειτζ)

Descartes (1596-1650). Ενοπούηςη γεωμετρύασ-ϊλγεβρασ- La Geometrie (1637) Newton (1642-1727) Leibniz (1646-1716) Ανεξϊρτητα και απο τουσ δύο η ϋννοια του λογιςμού.

Έςτω μια ςυνϊρτηςη f ( x) : A R, A R Η ςυνϊρτηςη f θα λϋγεται ςυνεχόσ ςτο ςημεύο p του A εϊν: lim f ( x ) f ( p ) x p Για να εύναι ςυνεχόσ μια ςυνϊρτηςη ςτο ςημεύο p του πεδύου οριςμού τησ θα πρϋπει να ιςχύουν: 1. Να υπϊρχει το όριο τησ f(x) ςτο p, 2. Το όριο να ιςούται με την τιμό τησ παρϊςταςησ 3. Προφανώσ να υπϊρχει το f(p). Μια ςυνϊρτηςη ςυνεχόσ ςε κϊθε ςημεύο του π.ο Α θα λϋμε ότι εύναι ςυνεχόσ ςε όλο το Α.

Αο ζεωξήζνπκε κηα πξαγκαηηθή ζπλάξηεζε y=f(x) νξηζκέλε ζε έλα δηάζηεκα (α,β) ππνζύλνιν ηνπ R. Αλ ε αλεμάξηεηε κεηαβιεηή κεηαβιεζεί θαηά Δx δειαδή από x0 κέζα ζην (α,β) ζε x0 +Δx ηόηε ε εμαξηεκέλε κεηαβιεηή ζα κεηαβιεζεί θαηά Δy= f(x0 +Δx)-f(x0). Η κέζε κεηαβνιή ηνπ y αλά κνλάδα κεηαβνιήο ηνπ x ζην δηάζηεκα x0 +Δx, x πξνζδηνξίδεηαη από ην f ( x x) f ( x) x εμήο πειίθν: (έλλνηα ξπζκνύ κεηαβνιήο) θαη ηζνύηαη κε ηελ θιίζε ηεο επζείαο πνπ δηέξρεηαη απν (x0, f(x0), (x0 +Δx,f(x0 +Δx)

Εϊν θεωρόςουμε τώρα το παρακϊτω όριο: lim xx 0 f ( x0 x) f ( x0) x και το ςυγκεκριμϋνο όριο εύναι πραγματικόσ αριθμόσ τότε λϋμε ότι η ςυνϊρτηςη f(x) εύναι παραγωγύςιμη ςτο ςημεύο x0 του (α,β). Το ςυγκεκριμϋνο όριο καλεύται παρϊγωγοσ τησ ςυνϊρτηςησ ςτο ςημεύο x0. ά x= x x, lim 0 xx 0 f ( x) f ( x0) x x 0

Εϊν Α το ςύνολο των ςημεύων του διαςτόματοσ (α,β) ςτα οπούα η f εύναι παραγωγύςιμη τότε ορύζεται μια καινούργια ςυνϊρτηςη ςτο Α η οπούα ςε κϊθε x αντιςτοιχεύ τον παρϊγωγο αριθμό τησ f ςτο x. Η ςυνϊρτηςη f(x) ονομϊζεται πρώτη παρϊγωγοσ (first derivative) ό απλϊ παρϊγωγοσ τησ f (ϋχει επικρατόςει ο ςυμβολιςμόσ του Leibnitz) f f df ( x) ( x), dy,. Σε ζημείο dx dx df ( x0 ) ( x0 ), dy, dx xx dx 0

Προφανώσ υπϊρχουν και παρϊγωγοι ανώτερησ τϊξησ εϊν η ςυνϊρτηςη εύναι παραγωγύςιμη ςε κϊποιο διϊςτημα του πεδύου οριςμού τησ. f f f df ( x ) ( x ),,, 2 2 d y 0 0 2 2 dx xx dx df ( x ) ( x ),,, n 3 3 d y 0 0 3 3 dx xx dx n n df ( x0 ) ( x0 ), d y n, n dx dx 0 0 xx 0 ύ Leibnitz n n n d d d f ( x) g( x) f(x) g(x) n n n dx dx dx n n nk n d nd f(x) d g(x) f ( x) g( x) n nk n dx k 0 k dx dx

Το εθνικό ειςόδημα μιασ χώρασαυξϊνεται με βϊςη την ςυνϊρτηςη g(x) ενώ ο πληθυςμόσ με βϊςη την h(x). Ποιοσ ο ποςοςτιαύοσ ρυθμόσ μεταβολόσ του κατα κεφαλόν ειςοδόματοσ την χρονικό ςτιγμό t1;

Ασ θεωρόςουμε μια ςυνϊρτηςη παραγωγόσ για την παραγωγό ενόσ αγροτικού προώόντοσ (π.χ τόνοι ντομϊτασ) όπου χρηςιμοποιούνται διϊφοροι παραγωγικού ςυντελεςτϋσ. Αν ο μόνοσ ςυντελεςτόσ που μπορεύ να μεταβληθεύ εύναι η εργαςύα (οι ϊλλοι θεωρούμε ότι δεν μεταβϊλλονται) η ςυνϊρτηςη παραγωγόσ περιγρϊφει τισ μϋγιςτεσ ποςότητεσ ντομϊτασ που μπορεύ να παραχθεύ και αντιςτοιχούνται ςε εναλλακτικϋσ ειςροϋσ εργαςύασ. Πόςο θα μεταβληθεί η παραγόμενη ποςότητα ντομάτασ όταν μεταβληθεί (μικρέσ απειροςτικέσ μεταβολέσ) η ποςότητα ειςροήσ εργαςίασ;)

Ασ θεωρόςουμε την παρακϊτω ςυνϊρτηςη κατανϊλωςησ: C a bi Έςτω μια μικρό αύξηςη ςτο ειςόδημα τότε: C C a b( I I ) C C a bi bi C C bi b I Ορύζεται η οριακό ροπό προσ κατανϊλωςη

Ιςχύει το παρακϊτω Θεώρημα: Αν μια ςυνϊρτηςη f εύναι παραγωγύςιμη ςε ϋνα ςημεύο x0 του πεδύου οριςμού τησ τότε η ςυνϊρτηςη εύναι ςυνεχόσ ςτο ςημεύο αυτό. Προςοχή: Το αντίςτροφο δεν ιςχύει!!!!!!!!

F(X*) F(x) X0,f(X0) εθω Δy Δx X0 +ΔX, F(X0 +ΔX) X0 X* X0 +ΔX

1. Μια βιοτεχνύα υποδημϊτων, για να παρϊγει x ζευγϊρια υποδημϊτων τον μόνα ϋχει κόςτοσ 2 παραγωγόσ C( x) 1500 6x 0.1x. Να υπολογιςτεύ ο ρυθμόσ μεταβολό τησ ςυνϊρτηςησ κόςτουσ ωσ προσ x. Να ςυγκριθούν οι ρυθμού όταν x=1000 και x=2000. 3 2. Έςτω η εξύςωςη f ( x) x. 3 Να βρεθεύ η κλύςη και η εξύςωςη τησ εφαπτομϋνησ ςτα ςημεύα [2,1] και [-3,6].

Έςτω ότι η ςυνϊρτηςη f ορύζεται ςε ϋνα κλειςτό διϊςτημα [α,β] και ϋςτω ότι εύναι ςυνεχόσ ςε ϋνα ςημεύο του x0 που ανόκει ςτο διϊςτημα αυτό. Θα λϋμε ότι η f ϋχει παρϊγωγο από τα δεξιϊ όταν υπϊρχει το όριο Ομούωσ από αριςτερϊ εϊν lim. xx 0 lim 0 xx f ( x) f ( x0) x x 0 f ( x) f ( x0) x x 0 Εϊν οι δύο πλευρικϋσ παρϊγωγοι υπϊρχουν και εύναι ύςεσ τότε η ςυνϊρτηςη θα εύναι παραγωγύςιμη (Θεώρημα). Να εξετϊςετε την παραγωγιςιμότητα τησ 3 y x

2 1. Δύνεται η ςυνϊρτηςη f ( x ) x 2 x 3 x 2. Να εξετϊςετε εϊν υπϊρχει η παρϊγωγοσ ςτα ςημεύα 2 και 1. 2. Να εξετϊςετε εϊν η παρακϊτω ςυνϊρτηςη ln(1 3 x), 1 x 0 εύναι παραγωγύςιμη f( x) 3 3 xx, 0

ά Σηαθερής Σσνάρηηζης f(x)=a f(x)=x f(x)=ax f(x)=sinx f(x)=cosx f (x)=0 ά Τασηοηικής Σσνάρηηζης f (x)=1 ά Δύναμης f (x)=nax n n-1 ά Ημιηόνοσ f (x)=cosx ά Σσνημιηόνοσ Παράγωγος α f(x)=α f (x) x x x =-sinx f (x)=α ln a Οι αποδεύξεισ καλό θα όταν να γύνουν από εςϊσ

Αλυςωτόσ Κανόνασ (chain rule) ά Σύνθεηης Σσνάρηηζης (f g) (x)=f(g(x)) =f (g(x)) g ( x) ά Δύναμης n n-1 f(x)=ag(x ) f (x)=nax g ( x) ά Ημιηόνοσ f(x)=sing(x) f (x)=cosx g ( x) ά Σσνημιηόνοσ f(x)=cosg(x) f (x)=-sinx ά Εκθεηικής g(x) g(x) f(x)=e f (x)=e g ( x) ά Λογαριθμικής f(x)=ln(g(x)) f (x)= g ( x) g 1 g(x) ( x)

Μϋςο και οριακό κόςτοσ Συνολικϊ και οριακϊ ϋςοδα. Συναρτόςεισ παραγωγόσ και κόςτουσ Ελαςτικότητα και ερμηνεύα αυτόσ.

ά Αθροίζμαηος-Διαθοράς [f(x) g(x)] f (x) g (x) ά Γινομένοσ [f(x) g(x)] f (x) g(x) g (x)f(x) ά Πηλίκοσ f(x) g(x) g (x)f (x)-f(x) ( g(x)) 2 g (x) ά Γινόμενοσ με Πραγμαηικό αριθμό [a g(x)] ag (x) ά Ανηίζηροθης Σσνάρηηζης [f (x)] -1 1 f (x)

Να υπολογύςετε τισ παρακϊτω παραγώγουσ πρώτησ και δεύτερη τϊξησ (Leibnitz) 3 1 x f ( x), g( x) x x 2 1 x f ( x) 1, g( x) 2 1 x x a 3/2 2 2 cos x f ( x), g( x) 1 1 1 sin( x) x n f ( x) cos xsin( nx), g( x) x x 2 x1 x e cos x x q

Η συνάρτηση κερδών μιας επιχείρησης όταν η παραγωγή κυμαίνεται μεταξύ 40 και 70 μονάδων, έχει υπολογιστεί 2 ότι είναι ( ) q q 5 q. 10 3 Να υπολογιστεί το μέσο και το οριακό κέρδος της επιχείρησης για το επίπεδο παραγωγής μεταξύ των 40 και 70 μονάδων.

Για την παρακϊτω ςυνϊρτηςη ζότηςησ νε βρεύτε τισ τιμϋσ όπου η ζότηςη εύναι ελαςτικό, ανελαςτικό ό ϋχει μοναδιαύα ελαςτικότητα. Q 64 P 2

1000 Έςτω η ςυνϊρτηςη ζότηςησ Q P. Να βρεύτε την ελαςτικότητα ζότηςησ όταν η τιμό εύναι P=3 και όταν εύναι P=5 και να εκτιμόςετε τη μεταβολό ςτα ςυνολικϊ ϋςοδα καθώσ η τιμό μεταβϊλλεται μεταξύ αυτών των δύο ορύων.

Μια επιχεύρηςη ϋχει ςταθερό κόςτοσ ύςο με 150.000- χιλιϊδεσ ευρώ ενώ το μεταβλητό τησ κόςτοσ δύνεται από την εξόσ ςυνϊρτηςη: 1000 VC( Q) 200 2 Q Να υπολογύςετε τισ ςυναρτόςεισ ςυνολικού και οριακού κόςτουσ.

Το ςυνολικό κόςτοσ μιασ επιχεύρηςησ περιγρϊφεται από την παρακϊτω ςυνϊρτηςη: TC( Q) 5000000 250Q 0.002Q Πόςεσ μονϊδεσ πρϋπει να παραχθούν για να ελαχιςτοποιηθεύ το μϋςο κόςτοσ; Ποιο το ελϊχιςτο μϋςο κόςτοσ; Ποιο το ςυνολικό κόςτοσ ςτο ςυγκεκριμϋνο επύπεδο παραγωγόσ; 2

Για την παρακϊτω ςυνϊρτηςη κόςτουσ να υπολογύςετε το μϋςο κόςτοσ, το μϋςο ςταθερό και το μϋςο μεταβλητό. Επύςησ το οριακό κόςτοσ και να γύνουν οι γαφικϋσ τουσ παραςτϊςεισ. TC Q Q Q 2 ( ),, 0

Πολλϋσ οικονομικϋσ ϋννοιεσ που εξετϊζονται μεταβϊλλονται κατϊ την διϊρκεια του χρόνου ό και εξαρτώνται από αυτόν. Στην περύπτωςη αυτό ο ρυθμόσ μιασ μεταβλητόσ y ςε ςχϋςη με τον χρόνο βρύςκεται με την χρόςη του αλυςωτού κανόνα dy dt dy dx dx dt

Οι μηνιαύεσ ςυναρτόςεισ εςόδων (R) και κόςτουσ (C) ενόσ προώόντοσ μιασ επιχεύρηςησ 2 3 2 εύναι R( x) 1200x 13 x, C( x) x 10x 100x 250 όπου x οι μονϊδεσ που παρϊγονται. Να υπολογιςτούν οι μηνιαύοι ρυθμού αύξηςησ των εςόδων, του κόςτουσ και των κερδών όταν η παραγωγό εύναι ύςη με 10 μονϊδεσ και πραγματοποιεύται 4 φορϋσ το μόνα.

Μια οικολογικό οργϊνωςη εκτιμϊ ότι ο πληθυςμόσ μιασ πόλησ εύναι x χιλιϊδεσ ϊνθρωποι, το μϋςο επύπεδο L του διοξειδύου του ϊνθρακα θα 2 εύναι L ppm όπου L( x) 10 0.4x 0.0001x. Ο πληθυςμόσ 2 τησ πόλησ εκτιμϊται ότι θα εύναι x 752 23t 0.5t Πόςο γρόγορα αυξϊνει το επύπεδο του διοξειδύου του ϊνθρακα τησ χρονικό ςτιγμό t=2.

Στα οικονομικϊ αρκετϋσ φορϋσ υπολογύζεται και η ϋννοια τησ ποςοςτιαύασ μεταβολόσ. Η ποςοςτιαύα μεταβολό υπολογύζεται από το επύ τισ εκατό πηλύκο τησ μεταβολόσ ςτην ποςότητα προσ την ςυνολικό ποςότητα. Σε ορούσ ωςτόςο παραγώγων η ςχϋςη από την εκφρϊζει δύνεται. f ( x) ί Μεηαβολή= 100 f( x)

Το ΑΕΠ τησ ελληνικόσ βιομηχανύασ για την περύοδο 1955-1989 αναπτυςςόταν ςύμφωνα με την ακόλουθη ςχϋςη (ςταθερϋσ τιμϋσ του 1970): Y( t) 16.907 2.024t 372t 7.4t 2 3 1. Ποιοσ ο ρυθμόσ μεταβολόσ του Υ ωσ προσ τον χρόνο το 1989; 2. Ποια η ποςοςτιαύα μεταβολό για το ύδιο ϋτοσ;

Κατϊ τον υπολογιςμό των ορύων αρκετϋσ φορϋσ εμφανύζονται απροςδιόριςτεσ μορφϋσ: 0 a,,,0 ( ), ( ),0 0, 0,1 0 0 ( ), ( ) Ο προςδιοριςμόσ του ορύου γύνεται με βϊςη τον κανόνα του L Hospital.

Έςτω οι ςυναρτόςεισ f(x),g(x) οι οπούεσ ϋχουν παραγώγουσ ςε κϊθε ςημεύο του ανοικτού διαςτόματοσ (α,β) με εξαύρεςη το x0,x0 ςημεύο ςυςςώρευςησ. Εϊν f ( x ) g( x ) 0, ή f ( x ) g( x ) και 0 0 0 0 0 f ( x) σπάρτει ηο lim ηόηε x0 g ( x) f ( x) f ( x) lim = lim, g ( x) x ( a, ) xx x g( x) g ( x)

sin x 1.lim 1, x0 x tan x 2.lim 1, x0 x 3.lim x x 1 x x e 1 4.lim 1 x0 x ln x 5.lim 1 x1 x 1 x e a 1x 1 * 6.lim a, a R, 1 x 0 x0 x

0,, 1. Μορφϋσ 0 Ο προςδιοριςμόσ του ορύου γύνεται με βϊςη τον κανόνα του L Hospital. 2. Μορφϋσ 0, ( ) Μπορούν να προςδιοριςθούν αφού μετατραπούν ςτισ μορφϋσ 1. 0 0 3. Μορφϋσ 0,1, Οι μορφϋσ αυτϋσ προςδιορύζονται αφού πρώτα μετατραπούν ςε μορφό 0 με λογαρύθμηςη τησ υπό εξϋταςησ παρϊςταςησ

Να υπολογιςτούν τα παρακϊτω όρια με την βοόθεια του κανόνα de L Hospital 2 1 cos x x 3x 2 1 1 lim,lim,lim x 0 x 2 2 x 0 x x x 4 x e 1 log x 2 2 lim, lim log, limsin x x x x x x x0 x0 x x x 2 1 10 5 x sin1/ x1 lim x,lim,lim x1 x0 x x0 log(1 x )

Έςτω y=f(x) μια ςυνϊρτηςη η οπούα εύναι παραγωγύςιμη ςε εϊν διϊςτημα (α,β). Ωσ διαφορικό πρώτησ τϊξησ ορύζεται η ςυνϊρτηςη dy=f (x)dx

X0 +ΔX, Y0+ΔY F(x) Εφαπτομϋνη dy X0,Y0 x dx X0 X0 +ΔX

2 Ασ θεωρόςουμε μια ςυνϊρτηςη y 3x παραγωγόσ. Αν η ειςροό μεταβληθεύ κατϊ μύα μονϊδα από μια αρχικό τιμό ποιο το διαφορικό πρώτησ τϊξησ; Επειδό το διαφορικό εύναι ςυνϊρτηςη μπορεύ να οριςτεύ το διαφορικό του. Δηλαδό: d y d( dy) d[ f ( x) dx] f ( x) dx 2 2 d y f ( x) dx n n n

Οι κανόνεσ διαφόριςησ προϋρχονται από τουσ κανόνεσ παραγώγιςησ απευθεύασ: ζσναρηήζεις f(x)=y,z=g(x) 1. ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] d y z dy dz f x dx g x dx f x g x dx m m1 m1 2. ( ) ( ) [ ( )] ( ) d cy cmy dy cm f x f x dx 3. ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] d yz ydz zdy yg x dx zf x dx f x g x g x f x dx y zdy ydz g( x) f ( x) dx f ( x) g ( x) dx 4. d z z 2 2 [ gx ( )] dy dz 5. d( f g) d[ f ( g( x))] [ f ( g( x)) g ( x)] dx dx dz dx z z g ( x) 6. d( e ) e dz [ g ( x) e ] dx dy f ( x) 7. d(ln y) dx y f ( x) 8. (sin ) cos [cos ( )] ( ) d y ydy f x f x dx

οι παρακάηω ζσναρηήζεις: Να σπολογιζηούν ηα διαθορικά ηοσς 1 3 2 1. y x 4x 5x 2 3 2 2 2. y (3x 2) 3 2 2 2 3. x y 2x y 3xy 8xy 0 2x 3y 4. 8 0 y x

Q 2L 5 e Δύνεται η παρακϊτω ςυνϊρτηςη παραγωγόσ όπου L ο αριθμόσ εργατοωρών. 2L 5 Q e Ποια εύναι η μεταβολό για την ςυνϊρτηςη παραγωγόσ όταν το L μεταβϊλλεται από την τιμό 5 κατϊ 0,01;

Θεώρημα:Έςτω ότι η εξύςωςη f(x)=0 ϋχει μια ρύζα ςτο διϊςτημα [α,b] και ότι ιςχύει f x f ( ) ( x) f ( x) 2 1 για κϊθε x ςτο διϊςτημα [a,b] τότε η μϋθοδοσ NR ςυγκλύνει ςτην ρύζα τησ εξύςωςησ, για οποιαδόποτε αρχικό τιμό x0 ςτο [a,b]. Να βρεθεύ προςεγγιςτικϊ με την μϋθοδο NR μια ρύζα τησ 2 5 x x x 8 r u F(x) x2 x1 x0

Κεφϊλαιο Τϋταρτο Jacques Κεφϊλαια 10-11-12 απο Λουκϊκη Σημειώςεισ από το http://eclass.upatras.gr (Αςκόςεισ & Θεωρύα) Να επιλυθουν και οι αςκόςεισ πολλαπλόσ επιλογόσ!!!