//008 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΦΥΕ 4 007-08 ΕΝ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ 4 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ Προθεσµία παράδοσης //08 Άσκηση Θεωρούµε τα σστήµατα αναφοράς όπως φαίνονται στο σχήµα µε 0.65 και 0.5. (α και β) Στο ΣΑ των καθηγητών (Β) η εξέταση διαρκεί ( ) 45min. Όµως το σύστηµα ατό κινείται ως προς το διαστηµόπλοιο Α στο οποίο λαµβάνει χώρα η εξέταση µε ταχύτητα (σχετική ταχύτητα το Β ως προς το Α ) η οποία σύµφωνα µε τη σχέση (.8 το βιβλίο των Serway-Moses-Moyer) είναι 0.5 0.65 0.478 0.5 0.65 των εξετάσεων στο Α είναι ιδιοχρόνος το Α, αφού η Η χρονική διάρκεια ( ) έναρξη και η λήξη γίνονται στην ίδια χωρική σντεταγµένη, άρα σνδέεται µε την στο Β, µε τη σχέση διαστολής το χρόνο (.7 το βιβλίο των Serway- ( ) Moses-Moyer) 45.0 min 0.478 ( ) γ ( ) ( ) ( ) ( ) 9.5min Γνωρίζοντας το ( ) µπορούµε να πολογίσοµε τη διάρκεια της εξέτασης στη Γη η οποία κινείται ως προς το Α µε ταχύτητα ( ) γ ( ) ( ) 9.5min 5.0 min Γ 0.65 Σηµειώνεται ότι θα ήταν λάθος να χρησιµοποιήσοµε την ( ) γ ( ) για να βρούµε τη διάρκεια στη Γη µε βάση τη διάρκεια στο Β, γιατί ούτε στο ΣΑ το Β ούτε σε ατό της Γης τα δύο γεγονότα (η αρχή και το τέλος της εξέτασης) λαµβάνον χώρα στο ίδιο σηµείο το χώρο. Γ
Άσκηση Α) Έστω u η ζητούµενη ταχύτητα το Z στο ΣΑ το Υ. Η ταχύτητα το Χ ως προς το Υ µπορεί να εκφραστεί σαν σύνθεση της ταχύτητας το Χ ως προς Ζ ( ΧΖ ) και της ταχύτητας το Υ ως προς Ζ ( ΥΖ ) µέσω της σχέσης XZ YZ XY (). Ισχύει YZ ZY u XZYZ προβλήµατος θέλοµε να ισχύει XZ u ενώ σύµφωνα µε τα δεδοµένα το (τα Χ και Υ πλησιάζον µεταξύ τος µε ίσες ταχύτητες ως προς το Ζ). Θέτοντας ατές τις τιµές στη σχέση (), u ( u) u u u u 0 u u u ± 4 4 u Η λύση µε το απορρίπτεται γιατί οδηγεί σε > Β)Στο ΣΑ το Υ ( XZ) ( u ) ( ZY ) u γ Γ) Στο όριο η (Α) δίνει u... πο είναι το αποτέλεσµα της Νετώνιας Μηχανικής. Άσκηση ) Στο ΣΑ το ποζιτρόνιοµ (Σ ) τα δύο φωτόνια θα πρέπει να έχον ίσες και αντίθετες ορµές για να διατηρείται η ορµή. Έστω η ορµή το ενός και E η ενέργειά το τότε από τη διατήρηση της ενέργειας XY ZY u Χ Ζ Υ
Eb me Eb E E me Για την ορµή E Eb ± ± ± me Η σχνότητα των φωτονίων θα είναι E me Eb f f f h h h και η ταχύτητά τος θα είναι φσικά ± Β) Μπορούµε να πολογίσοµε τα ζητούµενα αποτελέσµατα, θεωρώντας ότι οι πολογισµοί το Α) ισχύον στο ιδιοσύστηµα το σωµατιδίο (Σ ) το οποίο κινείται µε ταχύτητα ως προς το σύστηµα αναφοράς το εργαστηρίο (Σ). Το τετράνσµα P E /, και µετασχηµατίζεται κατά orenz όπως και το της ορµής είναι το ( ) τετράνσµα της θέσης. Σνεπώς χρησιµοποιώντας τον µετασχηµατισµό orenz έχοµε E / β E / γ β Eb µε β /. Για το φωτόνιο µε ορµή me και ενέργεια Eb E me εποµένως Eb Eb Eb E γ ( E β ) γ me γ me γ me Eb b E m e me και E Eb f me h h Eb Για me και ενέργεια Eb E me έχοµε Eb Eb Eb E γ ( E β ) γ me γ me γ me και Eb b E m e me
f E h h me Eb Σηµειώνεται ότι το ερώτηµα Β) µπορεί να λθεί χωρίς τη χρήση το µετασχηµατισµού orenz το τετρανύσµατος της ορµής θεωρώντας τη µάζα το ποζιτρόνιοµ mπ m e E b (εδώ θεωρούµε το Eb αρνητικό). Στο ΣΑ το m h f f και η διατήρηση γ Π εργαστηρίο η διατήρηση ενέργειας γράφεται ( ) γ m h f f. Επιλύοντας το σύστηµα προσδιορίζοµε τα f, f της ορµής ( ) / Π Γ) Οι σχνότητες των δύο φωτονίων δίνονται από E Eb f f me h h f. E Eb f f me h h f Άσκηση 4 Α) Έστω ότι το τρίτο σωµατίδιο κινείται µε ταχύτητα και σχηµατίζει γωνία θ µε τη διεύθνση το άξονα των x. Από τη διατήρηση της ορµής έχοµε: ( x) : γ m osθ γ m γ os θ γ () ( y) : γ m sinθ γ m γ sin θ γ () Υψώνοντας στο τετράγωνο τις () και () και αθροίζοντας έχοµε γ γ γ γ γ γ γ ( γ γ ) γ γ γ γ γ γ 0.84 γ γ γ γ Β) Από τα δεδοµένα το προβλήµατος και το αποτέλεσµα το (Α) έχοµε γ.88, γ.667, γ.50. ιαιρώντας κατά µέλη τις () και () βρίσκοµε γ γ Γ) Από τη διατήρηση της ενέργειας anθ 0.56 θ 9.4 m M γm γ m γ m 0. M γ γ γ 4
Άσκηση 5 d ) Ξεκινώντας από την πόδειξη α γ α, έχοµε d d d γ d a d α d α d. / / Χρησιµοποιώντας το ολοκλήρωµα της πόδειξης βρίσκοµε a 0 και επειδή δίνεται ότι ( 0) 0 0 0 και α α ( ) α. α α α ) Από τον ορισµό της ταχύτητας dx και την προηγούµενη σχέση, d α dx α α d dx α d α α α α d Κάνοµε αλλαγή µεταβλητής και θέτοµε y dy. Άρα, dy dy α dx x x x y x x x α α α α 0 0 0 y y Από τις αρχικές σνθήκες x(0) 0 x0 α και α x( ) α Γ) Στο σύστηµα αναφοράς το εργαστηρίο η δύναµη πο ασκείται στο σωµατίδιο είναι d d d( γ) d dγ dγ d F ( γ m ) m F m γ m γα d d d d d d d dγ F mα γ (). Επίσης έχοµε d αντικατάσταση της () στην () βρίσκοµε / dγ γ γ d (). Με 5
F m m m α γ γ γ α γ α F γ m α () γ Η σχέση () δίνει τη σχετικιστική δύναµη πο ασκείται σε σωµατίδιο όταν η ταχύτητα και η επιτάχνσή το είναι σγγραµµικά διανύσµατα. Χρησιµοποιώντας d την πρώτη πόδειξη α γ α, βρίσκοµε ότι η δύναµη πο θα πρέπει να d ασκείται στο σωµατίδιο στο ΣΑ το εργαστηρίο είναι F γ mα mγ γ α mα ίδια δηλαδή µε τη δύναµη στο κινούµενο ΣΑ. β τρόπος α Αντικαθιστώντας στο γ το α d( γ) γ a. Άρα F m ma d βρίσκοµε αµέσως ότι Άσκηση 6 Α) Έστω λ 0 6nm το µήκος κύµατος της φασµατικής γραµµής στο σύστηµα αναφοράς της πηγής (γαλαξίας), λ70nm το µήκος κύµατος της φασµατικής γραµµής στο σύστηµα αναφοράς το παρατηρητή (Γη), και η ταχύτητα της πηγής ως προς τον παρατηρητή (δηλαδή το γαλαξία ως προς τη γη), η οποία λόγω των δεδοµένων της άσκησης ποθέτοµε ότι είναι πάνω στον άξονα διάδοσης το κύµατος, δηλαδή έχει µόνο ακτινική σνιστώσα. Τότε µπορούµε να εφαρµόσοµε τη σχέση (.) σελ. 4 το βιβλίο το Σ. Περσίδη: λ γ ( ) λ 0 όπο γ. Τονίζεται ότι στη σχέση σε ατή η ταχύτητα λαµβάνεται ως θετική όταν η απόσταση παρατηρητή - πηγής µεγαλώνει. Θέτοντας β /, λ β προκύπτει λ0 β Λύνοντας την τελεταία ως προς β παίρνοµε ότι: λ0 λ λ 0 λ 8 m β 0.64. ηλαδή 0.64.9 0. λ λ0 λ0 se λ ηλαδή ο γαλαξίας αποµακρύνεται από τη γη µε ταχύτητα 0.64, κάτι πο δικαιολογεί και την ερθρή µετατόπιση το φάσµατος. ) Σύµφωνα µε τη Νετώνεια θεωρία, η σχνότητα f πο αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής δίνεται από τη σχέση (8.60), το βιβλίο των lonso & Finn: κ ύµατος παρατηρητ ή f fo όπο f o είναι η σχνότητα εκποµπής της πηγής και η κ ύµατος πηγ ής θετική φορά λαµβάνεται από την πηγή προς τον παρατηρητή. Από τα δεδοµένα το προβλήµατός µας προκύπτει: 6
f fo λ λo ( ).4 Το αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει ότι ο γαλαξίας αποµακρύνεται από τη γη, ωστόσο η µη εφαρµογή των σχετικιστικών θεωρήσεων οδηγεί στο εσφαλµένο αποτέλεσµα ότι ο γαλαξίας κινείται µε ταχύτητα µεγαλύτερη της ταχύτητας το φωτός. Άσκηση 7 Α) Μελετάµε τα δύο χωροχρονικά γεγονότα στο ΣΑ το βαγονιού Σ : ) εκποµπή φωτονίο από το W ( x, ) προς τα δεξιά και ) εκποµπή φωτονίο από το Z ( x, ) προς τα αριστερά. Εδώ ως αρχή το Σ, x 0, ορίζοµε αθαίρετα (χωρίς βλάβη της γενικότητας) την θέση το παρατηρητή στον οποίο σύµφωνα µε τα δεδοµένα της άσκησης φτάνον τατόχρονα τα δύο φωτόνια. Επίσης διαλέγοµε αθαίρετα ατό να σµβαίνει την χρονική στιγµή 0. Με βάση ατά τα δεδοµένα, ο χρόνος πο κάνει το φως για να διανύσει την απόσταση WΠ (στο Σ ) είναι 0 0 ( / ) ' 0 x ', ενώ ο χρόνος πο κάνει το φως για να διανύσει την απόσταση ΖΠ (στο Σ ) είναι 0 0 / ' 0 x ' ( ) H διαφορά χρόνο ανάµεσα στο άναµµα των δύο φώτων W και Z για τον παρατηρητή πο βρίσκεται στο βαγόνι είναι λοιπόν Β) Για να βρούµε την αντίστοιχη χρονική διαφορά στο σύστηµα Σ κάνοµε χρήση το µετασχηµατισµού orenz: 5 5 8 ( ) ( γ x x ) ( ) 6 5, 6 5 4 οπότε βρίσκοµε 0.544 6 7
Γ) Μελετάµε πρώτα την εκποµπή φωτός από το W (γεγονός : x, 0 ) και την ανίχνεσή το στο Ζ (γεγονός : x, ). Η χρονική διαφορά στο Σ είναι x x 0 WZ WZ () Από τον µετασχηµατισµό orenz βρίσκοµε τη χρονική διαφορά στο Σ, 5 WZ γ ( ) ( x x ) 6 5 5 4 WZ 0.86 () 6 5 6 Με παρόµοιο τρόπο µελετάµε την εκποµπή φωτός από το Ζ (γεγονός : x, 0) και την ανίχνεσή το στο W (γεγονός : x, ). Η χρονική διαφορά στο Σ είναι x x 0 ZW ZW () ( ) Από τον µετασχηµατισµό orenz βρίσκοµε τη χρονική διαφορά στο Σ, 5 ZW γ ( ) ( x x ) 6 5 5 6 ZW. (4) 6 5 6 Από τις σχέσεις () και () βρίσκοµε. Το αποτέλεσµα ατό είναι προφανές αφού ο παρατηρητής το τρένο είναι ακίνητος στο Σ και το φως διανύει ίσες αποστάσεις W Ζ και Z W µε την ίδια (κατά µέτρο) ταχύτητα. Επίσης από τις σχέσεις () και (4) βρίσκοµε τη σχεση των χρόνων στο σύστηµα Σ, ZW WZ. Άσκηση 8 Από την εκφώνηση εργαζόµαστε έχοντας θέσει για εκολία, µπορούµε να αποκαταστήσοµε τις διαστάσεις στο τέλος. Με ατή τη σύµβαση το τετράνσµα της µ E, και µετασχηµατίζεται κατά orenz, σε σύστηµα πο ορµής ορίζεται ως ( ) κινείται κατά µήκος το άξονα x µε ταχύτητα u ως E γ u γ uu 0 0 E E γ u( E u x) x γ uu γ u 0 0 x x γ u( u E x) y 0 0 0 y y y z 0 0 0 z z z Για τη ζητούµενη ποσότητα έχοµε WZ ZW 8
µ µ ' ' E E i E E x x y y z z ( E u ) ( E u ) ( u E ) ( u E ) γ γ γ γ u x u x u x u x ( ) γ E E u u E E u x x x x y y z z ( ) u EE x x u xe xe y y z z y y z z [ ] γ u ( u ) EE ( u ) x x y y z z γ u( u ) EE x x ( u ) [ E E ] E E i ( u ) µ µ x x y y z z µ µ Εποµένως η τιµή της ποσότητας είναι ίδια σε οποιοδήποτε ΣΑ είναι δηλαδή σταθερή. Για το σγκεκριµένο πρόβληµα, και θεωρώντας κίνηση κατά µήκος το άξονα των x, η διατήρηση της τετραορµής, στο ΣΑ το εργαστηρίο (πο σµπίπτει µε το ΣΑ το κέντρο µάζας καθώς η σνολική ορµή µηδενίζεται) γράφεται m m m m m µ µ µ µ µ γ γ 4 5 γ m γ m 0 0 0 γ m m m m m m m ( γ ) m m m m Καθώς µας δίνεται ότι m m > m > λ από την m m τελεταία σχέση σµπεραίνοµε ότι λ (γ ) λ γ Η ελάχιστη κινητική ενέργεια το ενός σωµατιδίο στο ΣΑ το κέντρο µάζας είναι λοιπόν λ EK ( γ ) m ( γ ) m m Για το ΣΑ το δετέρο σώµατος η διατήρηση της τετραορµής σνεπάγεται µ µ µ µ µ µ µ µ µ µ ( ) ( ) ( 4 5 ) ( 4 5 ) Το πρώτο µέλος ισούται µε γm m γm m mγ 0 mγ 0 µ µ µ µ ( ) ( ) ( γ ) m( γ ) m m ( γ ) m γ m γ m m γ m γ mγ mγ ( ) m γ ( ) m m γ m m m γ m γ όπο η ταχύτητα το πρώτο στο ΣΑ το δεύτερο η οποία σύµφωνα µε το νόµο σύνθεσης των ταχτήτων δίνεται από 9
Λόγω της αναλλοιώτητας µπορώ να πολογίσω το δεύτερο µέλος της ισότητας στο ΣΑ το εργαστηρίο όπο Εποµένως έχοµε ( λ) ( µ ) ( ) ( ) µ 4 µ 5 µ µ 4 µ 5 m m m m m m ( γ ) ( m m m ) ( γ ) ( γ ) ( λ) m γ και η ελάχιστη κινητική ενέργεια το πρώτο σώµατος θα είναι ( λ) λ( λ 4) EK ( γ ) m m m, λ( λ 4) και µε αποκατάσταση των διαστάσεων, EK m. Άσκηση 9 w E i E E E x x y y z z γ( Ex y) γ x E y γ( Ey x) γ y E x Ezz Exx E xx Eyy E yy yx xy Ezz γ Ex E x yy γ E zz Exx Eyy Ezz Ei γ γ u E E E E ( ) ( ) γ x y γ y x z x E y γ y E x z γ γ γ γ γ ( Ex Ey ) ( E y Ey ) ( x y ) ( y x ) E z z ( Exy Eyx xey yex) γ ( Ex Ey ) γ ( x y ) Ez z ( Ex Ey Ez ) ( x y z) E 0
Άσκηση 0 Λύση Έστω το Α µπροστά, το Β πίσω. Το φώς δεξιά µε εξίσωση x σναντά το Α µε εξίσωση x (κοσµική γραµµή Α) όταν στη θέση x, ανακλάται (ταχύτητα ) µε εξίσωση x x ( ) και σναντά το Ο πο έχει εξίσωση x όταν x / στη θέση x /. Το φώς αριστερά µε εξίσωση x σναντά το Β µε εξίσωση x όταν x, ανακλάται (ταχύτητα ) µε εξίσωση x x ( ) και σναντά το Ο (πο έχει εξίσωση x ) όταν x στη θέση x, ίδια µε πριν. / / Άρα οι ανακλώµενοι παλµοί σναντούν το Ο τατόχρονα, πράγµα πο παρατηρεί και ο Ο. Β) Έκτοτε οι σφαιρικοί παλµοί πο ξεκίνησαν µε κέντρα τα ανακλαστικά σφαιρίδια, και άρα έχον εξισώσεις x x ( ή) y z, τέµνονται κατά ή ( ) ( ( )) κύκλο ακτίνας r r ' y z. Αντικαθιστώντας τις τιµές και αφαιρώντας για να απαλειφθεί το r βρίσκοµε x πο τατίζεται µε την θέση το Ο, άρα το επίπεδο το κύκλο αποτελεί το µεσοκάθετο επίπεδο y z το Σ, Το επίπεδο ατό, ως προς τη Γη, µετακινείται µε ταχύτητα, ενώ ως προς το τραίνο είναι σταθερό ως (σνεχώς) µεσοκάθετο επίπεδο. ηλ. ο Ο' µπορεί κάλλιστα να ορίσει ατό ως y'z' επίπεδο στη θέση x'0. Πράγµατι, > x y z > ( x x ) y z ( )
και x x y z ( ) ( ) x x y z > x y z > x x y z Αφαιρώντας την η από την η έχοµε x x ( ) x > x. ( )( ) ( )( ) Άρα οι σφαίρες τέµνονται σε κύκλο µε κέντρο (x, y0, z0) ή (x'0, y'0, z'0) και ακτίνα r r ' y z σνεχώς αξανόµενη. Ως προς το Σ' ο κύκλος είναι σταθερός και βρίσκεται στο µεσοκάθετο επίπεδο y'z', ενώ ως προς τη Γη ατός κινείται µε ταχύτητα ακριβώς στη θέση το Ο'. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ) Η σχετικιστική ορµή το ηλεκτρονίο δίνεται από τη σχέση m m.67, rel 0.8 rel 0.6 rel όπο m η κλασική ορµή το. Η σχετική διαφορά τος είναι rel.67m m 0.40 40% rel.67m ξεπερνάει δηλαδή κατά πολύ το όριο το 5% και εποµένως ο τύπος m δεν αρκεί για την περιγραφή της ορµής ατού το ηλεκτρονίο. ) Η διαφορά χρόνο ανάµεσα στα δύο γεγονότα στο δεδοµένο ΣΑ δίνει ( ). Σύµφωνα µε το µετασχηµατισµό orenz για ένα σύστηµα πο κινείται µε ταχύτητα ως προς το παραπάνω ΣΑ έχοµε
( ) β ( ) γ x β x. Εποµένως για να είναι τατόχρονα µε β / γ( β x) γ 0 Στο ΣΑ λοιπόν πο κινείται µε ταχύτητα τα γεγονότα φαίνονται τατόχρονα. ) Η απάντηση είναι «όχι». Το µήκος της ράβδο δεν φαίνεται µικρότερο αλλά είναι µικρότερο στο δικό µας ΣΑ. Η σστολή το µήκος δεν έχει να κάνει µε το πώς φαίνονται τα αντικείµενα αλλά µε το πο βρίσκονται τα άκρα της ράβδο σε µια τατόχρονη µέτρηση στο δικό µας ΣΑ και η απόσταση ανάµεσα στα άκρα στο δικό µας ΣΑ µπορεί να είναι µικρότερη από την αντίστοιχη απόσταση στο ιδιοσύστηµα της ράβδο. 4) Έχοµε 4 E E γ m E m E E γ m 5) Το σύστηµα το ασανσέρ πο πέφτει ελεύθερα είναι αδρανειακό διότι σε σώµα πο βρίσκεται σε ατό δεν ασκείται καµιά δύναµη. Άρα, στο σύστηµα το ασανσέρ το φως κινείται εθύγραµµα και θα φθάσει απέναντι σε σηµείο Η σε ύψος h. Ως προς τη Γη, το ασανσέρ επιταχύνεται προς τα κάτω και το φως πο οδεύει προς το απέναντι σηµείο Η, φαίνεται επίσης να επιταχύνεται, έλκεται δηλαδή από τη Γη όπως και το ασανσέρ. Τα παραπάνω είναι σε σµφωνία µε την αρχή της ισοδναµίας το Αϊνστάιν σύµφωνα µε την οποία δεν πάρχει τρόπος να διαχωρίσοµε τοπικά ένα οµαλά επιταχνόµενο σύστηµα από ένα σύστηµα σε βαρτικό πεδίο.