1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ηµ + συν = 1. Α. Ν σημειώσετε το σωστό Σ ή το λάθος Λ i. Οι ντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο π ii. ηµ = 0 = κπ +, κ iii. Εν πολυώνυμο P( ) διιρείτι με το -ρ ν κι μόνο ν P( ρ ) = 0 κ iv. log θ = κlog θ, θ>0 κι 0< 1 1 v. Ισχύει πάντ < < 1 Α3. Πως ορίζετι ο λογάριθμος ενός θετικού ριθμού θ, με βάση 0< 1 ΘΕΜΑ Β Β1. Ν λυθεί το σύστημ: + y + y = 3 (1) + y = 1 () Β. Ν λυθεί η εξίωσωση ( ηµ )( συν ) + 1 = 0 ΘΕΜΑ Γ Δίνετι το πολυώνυμο Ρ()= 3 + +β- το οποίο έχει πράγοντ το -. Γ1. Ν δείξετε ότι: +β=-3 μον.6 Γ. Αν το υπόλοιπο της διίρεσης του πολυωνύμου P() με το με το (Χ-3) είνι ίσο με 4 τότε i. Ν δείξετε ότι =-4 κι β=5. μον.9 ii. Γι =-4 κι β= 5 δείξτε ότι το (-1) είνι πράγοντς του Ρ(). μον.10 Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 1
ΘΕΜΑ Δ Δίνετι η συνάρτηση f ( ) = log( 8+ 17) Δ1. N βρείτε το πεδίο ορισμούτ ης συνάρτησης Μονάδες 8 Δ. Ν δείξετε ότι f ( ) f ( ) Δ3. Ν λυθεί η νίσωση f ( ) f ( ) = 1 log Μονάδες 8 > Μονάδες 9 ΕΙΣΗΓΗΤΕΣ ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΣ ΑΓΓΕΛΟΣ ΤΣΙΩΝΑΣ ΒΗΣΣΑΡΗΣ ΖΩΙΤΣΑΚΟΥ ΤΡΙΑΝΤΑΦΥΛΛΙΑ ΠΠΑΛΟΥ ΑΓΛΑΙΑ Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr
Σημείωση: Τις εκφωνήσεις τις βρήκ στο http://eisatopon.blogspot.gr/013/05/013_1.html Τις λύσεις τις έκν εγώ. Αν εντοπίσετε λάθη ή έχετε άλλες πρτηρήσεις πρκλώ ν μπορέσετε ν μου τις επισημάνετε. ΘΕΜΑ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ηµ + συν = 1 Αν M (, y) είνι το σημείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίς ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο, τότε θ είνι : = συνω κι y = ημω Επειδή όμως, (OM) =1 κι (OM) = + y (Πυθγόρειο Θεώρημ) = + y (ιδιότητ των πόλυτων τιμών = ) θ ισχύει : + y = 1 οπότε θ έχουμε : ημ ω + συν ω = 1 Α. Ν σημειώσετε το σωστό Σ ή το λάθος Λ i. Οι ντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο ημίτονο Λάθος έχουν ντίθετ ημίτον π ii. ηµ = 0 = κπ +, κ Λάθος.Το σωστό θ ήτν ηµ = 0 = κπ, κ iii. Εν πολυώνυμο P( ) διιρείτι με το -ρ ν κι μόνο ν P( ρ ) = 0 Σωστό.(θεώρημ σ.135) κ iv. log θ = κlog θ, θ>0 κι 0< 1 Σωστό. Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 3
1 v. Ισχύει πάντ < < 1 Λάθος.Η συνάρτηση είνι γνησίως ύξουσ μόνο γι >1. Α3. Πως ορίζετι ο λογάριθμος ενός θετικού ριθμού θ, με βάση 0< 1 Ο log θ είνι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει ν υψώσουμε τον γι ν βρούμε τον θ. Από τον ορισμό προκύπτει μέσως ότι: log = κι ΘΕΜΑ Β Β1. Ν λυθεί το σύστημ: log θ = θ + y + y = 3 (1) + y = 1 () Β. Ν λυθεί η εξίωσωση ( ηµ )( συν ) + 1 = 0 Λύση: Β1. + y + y = 3 (1) + y = 1 () Επιλύουμε την (), ως προς ένν άγνωστο, ως προς y, κι ντικθιστούμε στη (). Έχουμε + y = 1 y = 1 (3). ( ) ( ) + 1 + 1 = 3 + 1 + Eίνι = 1, β = 1, γ = ( ) ( ) = β γ = = + = 4 1 41 1 8 9 + = = 3 0 1, 1 β ± 1± 9 1± 3 = = = 1 1+ 3 4 = = = 1 3 = = = 1 Από την (3) έχουμε: y1 1 1 1 1 = = = κι y ( ) Αρ το σύστημ έχει δύο λύσεις τις (, 1) κι ( 1, ) = 1 = 1 1 = 1+ 1=. Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 4
ηµ + 1 συν = 0 ηµ + = 0 ή 1 συν = 0 ηµ = ή συν = 1 Β. ( )( ) π ηµ = ηµ ή συν = 1 4 π π π ηµ = ηµ = κπ, κ ή = κπ + π, κ 4 4 4 π 5π = κπ, κ ή = κπ +, κ 4 4 συν = 1 = κπ, κ ΘΕΜΑ Γ Δίνετι το πολυώνυμο Ρ()= 3 + +β- το οποίο έχει πράγοντ το -. Γ1. Ν δείξετε ότι: +β=-3 μον.6 Γ. Αν το υπόλοιπο της διίρεσης του πολυωνύμου P() με το με το (Χ-3) είνι ίσο με 4 τότε i. Ν δείξετε ότι =-4 κι β=5. μον.9 ii. Γι =-4 κι β= 5 δείξτε ότι το (-1) είνι πράγοντς του Ρ(). Λύση: μον.10 Γ1. Αφού έχει πράγοντ το - θ ισχύει: ( ) 3 P = 0 + + β = 0 8+ 4 + β = 0 4 + β = 6 + β = 3 (1) Γ. i. Από γνωστό θεώρημ γνωρίζουμε ότι: ( ) 3 P 3 = 4 3 + 3 + β3 = 4 7 + 9 + 3β = 4 5 + 9 + 3β = 4 9 + 3β = 4 5 9 + 3β = 1 3 + β = 7 () Λύνουμε το σύστημ των (1) κι () ( ) 4 + β = 6 4 + 3 7 = 6 4 6 14 = 6 = 8 3 + β = 7 β = 3 7 β = 3 7 β = 3 7 = 4 = 4 = 4 β = 3( 4) 7 β = 1 7 β = 5 P 4 + 5 = 0 Αρ ( ) 3 Αφού μς δίνετι ότι το - είνι πράγοντς εφρμόζω το σχήμ Horner: Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 5
Συντελεστές του P() ρ 1-4 5 - -4 1-1 0 Συντελεστές Πηλίκου Υπόλοιπο Αρ ( ) ( )( ) ( )( ) P 1 1 = + = (Χρησιμοποιήσμε την τυτότητ β β ( β ) P. Aρ φού P( ) = ( )( 1), το ( 1) είνι πράγοντς του ( ) + = ). ΘΕΜΑ Δ Δίνετι η συνάρτηση f ( ) = log( 8+ 17) Δ1. N βρείτε το πεδίο ορισμούτ ης συνάρτησης Μονάδες 8 Δ. Ν δείξετε ότι f ( ) f ( ) Δ3. Ν λυθεί η νίσωση f ( ) f ( ) = 1 log Μονάδες 8 > Μονάδες 9 Δ1. Πρέπει 8+ 17 > 0 Eίνι = 1, β = 8, γ = 17 ( ) = β γ = = = 4 8 4 1 17 64 68 4 Λύση: Aφού η δικρίνουσ του τριωνύμου 8+ 17 είνι ρνητική, τότε (όπως μάθμε στην Α Λυκείου) το τριώνυμο θ είνι γι κάθε ομόσημο του =1>0 (με συμβολίζουμε τον συντελεστή του δηλδή γι κάθε θ είνι θετικό.οπότε το πεδίο ορισμού είνι domain) D f = (το D πό την λέξη ) Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 6
Δ. ( ) ( ) ( ) f = log 8 + 17 = log 4 16 + 17 = log 5 (1) ( ) ( ) ( ) f 1 log = log 1 8 1+ 17 log = log 1 8 + 17 log = 10 log10 log = log = log 5 () Αφού κι το 1 ο κι το ο μέλος είνι ίσ με log5 θ είνι κι μετξύ τους ίσ δηλδή : f ( ) f ( ) = 1 log Δ3. Αφού όπως δείξμε στο Δ1 η f() ορίζετι γι όλ τ, η νίσωση ορίζετι γι όλ τ. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f > f log 8+ 17 > log 8 + 17 log 8+ 17 > log 5 Επειδή η συνάρτηση log είνι γνησίως ύξουσ πό την τελευτί σχέση πίρνουμε ισοδύνμ: 8 + 17 > 5 8 + 17 5 > 0 8 + 1 > 0 Eίνι = 1, β = 8, γ = 1 ( ) = β γ = = = 4 8 4 1 1 64 48 16 1, β ± 8 ± 16 8 ± 4 = = = 1 1 8 + 4 1 = = = 6 8 4 4 = = = Ζητάμε τ γι τ οποί το τριώνυμο είνι θετικό δηλδή ομόσημο του =1>0, το οποίο όπως γνωρίζουμε συμβίνει γι τ εκτός των ριζών, οπότε: ( ) ( ) 8 + 1 > 0 < ή > 6, 6, +. Αθνσίου Δημήτρης (Μθημτικός) asepfreedom@yahoo.gr peira.gr 7