Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported
Sisukord Ülesanne 2/25 2 Lõikemeetod 5 3 Lõikega II-II eraldatud vasakpoolne osa 6 Varda 0 mõjujoon 7 5 Varda 8 mõjujoon 8 6 Varda 9 mõjujoon 9 7 Varda mõjujoon 0 8 Sõlme tasakaal 9 Sõlme tasakaal (järg) 2
0 Sõlme 7 tasakaal 3 Varda 3 mõjujoon 2 Varda 3 mõjujoon (järg) 5 3/25 3 Lõikega II-II eraldatud parempoolne osa 6 Sõrestiku mõjujooned 7 5 Lihtala mõjujooned 9 6 Varraste siinused ja koosinused 20 7 Varraste siinused ja koosinused (järg) 2 8 Arvutiprogrammiga saadud tulemused 22 9 Viited 25
Ülesanne Konstrueerida joonisel esitatud sõrestiku kolmanda paneeli varraste ja varda 3 mõjujooned. Sõrestiku mõõtmed on joonisel. /25 6 8 0 8 2 6 20 2 2 2 3 5 9 7 2 8 23 28 2 5 7 27 C 9 25 6 000 3 3 6 5 0 7 9 22 3 26 5 29 00 000 00 "" d = 3 m C2 C3 L = 2 m 2. 3.6.0 x z Joonis. Sõrestik 2
Lõikemeetod Nummerdame sõlmed ja vardad ning teostame lõiked I, II, III, IV (vt joonis 2). Joonisel 2 olevad toereaktsioonid C 2, C 3 vastavada lihttala C III II V 8 6 2 8 I 6 0 20 2 2 α 2 8 α β 3 5 8 8 9 7 2 23 28 2 β 5 7 27 25 6 000 3 3 6 5 0 7 9 9 22 3 26 5 29 00 000 00 C2 z I II IV V L = 2 m d = 3 m Joonis 2. Varraste lõikamine 2. C3 3.6.0 toereaktsioonidele. Lõikame kolmandas paneelis (lõige II-II) läbi kolm varrast ja vaatame lõikest vasakule poole jäävat osa või paremale poole jäävat osa. x 5/25
Lõikega II-II eraldatud vasakpoolne osa 6 r I 6= 3.568 m N 8 2 α 8 α β 8 K 3 α 2 β 5 7 8 C 000 3 3 6 5 N 7 000 0 a 3 = 2 m r 5 6 = 2.6 m C2 z I L = 2 m Joonis 3. Lõikega II-II eraldatud vasakpoolne osa L~oikega II-II eraldatud parempoolne osa N 9 II II "" 6/25
Varda 0 mõjujoon Varda 0 momendipunktiks on sõlm 6 (joonis 3). Varda momendipunkti otsimiseks teeme lõike II II läbi kolme varda. Fikseerime varda, mille sisejõudu otsime. Selle varda momendipunkt on seal, kus kaks ülejäänud varrast lõikuvad. Sisejõu N 0 sihi kaugus sõlmest 6 on r 5 7 =.0 m. Momendipunkti kohta koostatud tasakaalutingimusest M6 = 0 : N 0 r 5 7 + C 2 3d = 0 () 7/25 saame N 0 = M o 6 r 5 7 = C 2 9 siin tähistab M6 o vastava lihttala paindemomenti punkti 6 suhtes ühikkoormusest. Mõjujoon on toodud joonisel 0. (2)
Varda 8 mõjujoon Varda 8 momendipunktiks on sõlm 5. Varda momendipunkti otsimiseks teeme lõike II II läbi kolme varda. Fikseerime varda, mille sisejõudu otsime. Selle varda momendipunkt on seal, kus kaks ülejäänud varrast lõikuvad. Sisejõu N 8 sihi kaugus sõlmest 5 on r 6 = h 2 cos α 8 = 3.568 m. Siin h 2 = 3.6 m. Momendipunkti 5 kohta koostatud tasakaalutingimusest M5 = 0 : N 8 r 6 C 2 2d = 0 (3) tuleneb N 8 = M o 5 r 6 = C 2 6 3.568 kus M5 o tähistab vastava lihttala paindemomenti punkti 5 suhtes ühikkoormusest. Märk - näitab, et ülemised kiud on surutud. Mõjujoon on toodud joonisel 0. () 8/25
Varda 9 mõjujoon Varda 9 momendipunkti otsimiseks teeme lõike II II läbi kolme varda. Fikseerime varda 9, milles otsime sisejõudu. Selle varda momendipunkt on seal, kus kaks ülejäänud varrast (vardad 0 ja 8) lõikuvad. Joonisel 3 on see punkt tähistatud K 3 -ga. Koostame selle punkti kohta tasakaaluvõrrandi MK3 = 0 : N 9 r 5 6 C 2 a 3 = 0 (5) 9/25 kus r 5 6 = 2.6 m ja a 3 = 2 m. Tasakaaluvõrrandist (5) saame N 9 = C 2 2 2.6 Kui koormus asub vaskul, siis vaatame lõikest paremale jäävat osa. MK3 = 0 : N 9 r 5 6 + C 3 (a 3 + L) = 0 (7) Tasakaaluvõrrandist (7) saame 2 + 2 N 9 = C 3 2.6 Mõjujoon on toodud joonisel 0. = C 3 5 2.6 (6) (8)
Varda mõjujoon I r = 3.325 m 2 α 2 K 2 β 5 7 2 000 C 3 3 6 5 000 I F C2 3 z "" Joonis. Varda mõjujoon Sõrestikuvarda momendipunktiks on sõlm 5. Analoogiliselt varda 8 sisejõuga saame N = M o 5 r 2 = C 2 N 6 3.325 siin on sisejõu N sihi kaugus sõlmest 5 r 2 = h 2 cos α = 3.325 m, kus h 2 = 3.6 m. (9) 0/25
Sõlme tasakaal /25 N α 8 β N7 N α8 β 8 Joonis 5. Sõlme tasakaal Sõlme tasakaalutingimusest Z-teljele Z = 0 : N7 N 8 cos β 8 + N cos β = 0 (0) saame avaldisi () ja (9) kasutades N 7 = M o 5 r 6 cos β 8 M o 5 r 2 cos β ()
Sõlme tasakaal (järg) Võttes arvesse seosed r 6 = h 2 cos α 8 ja r 2 = h 2 cos α, saame N 7 = M ( 5 o cos β8 cos β ) (2) h 2 cos α 8 cos α 2/25 ehk siin M o 5 = C 2 6 Mõjujoon on toodud joonisel 0. N 7 = M 5 o (tan α tan α 8 ) = h 2 = C 2 6 (.2 3.6 3 0. ) 3 (3)
Sõlme 7 tasakaal N 0 N 7 N 3/25 Joonis 6. Sõlme 7 tasakaal Varda sisejõu leidmiseks lõikame sõlme 7 välja. Sõlme 7 tasakaalutingimusest Z-teljele Z = 0 : N + = 0 ehk N = 0 () saame Mõjujoon on toodud joonisel 0. N = ehk N = 0 (5)
Varda 3 mõjujoon Lõikame neljandas paneelis (l~oige V-V). läbi kolm varrast ja vaatame lõikest paremale (vasakule) poole jäävat osa (joonis 7) V N 2 8 6 0 8 6 20 2 2 2 9 5 8 ϕ 7 2 23 28 2 5 7 3 25 27 6 000 3 3 6 5 0 7 N 9 9 22 3 26 5 29 00 000 00 "" F 9 F 3 F C2 V 5 C3 3 m L = 2 m z N3 Joonis 7. Varda 3 mõjujoon Z = 0 : N3 cos (ϕ) C 3 = 0 (6) N 3 = C 3 / cos(ϕ) = C 3 0.8 Arvutusjärgneb. Mõjujoon on toodud joonisel 0. (7) /25
Varda 3 mõjujoon (järg) Lõikame neljandas paneelis (l~oige V-V). läbi kolm varrast ja vaatame lõikest vasakule (paremale) poole jäävat osa (joonis 8) V N 2 8 6 0 8 6 20 2 2 2 9 5 8 ϕ 7 2 23 28 2 5 7 3 25 27 6 000 3 3 6 5 0 7 N 9 9 22 3 26 5 29 00 000 00 "" C2 V 3 m C3 L = 2 m z N3 Joonis 8. Varda 3 mõjujoon (järg) Z = 0 : N3 cos (ϕ) + C 2 = 0 (8) N 3 = C 2 / cos(ϕ) = C 2 0.8 Mõjujoon on toodud joonisel 0. (9) 5/25
Lõikega II-II eraldatud parempoolne osa 6/25 a 3 II N 8 6 8 0 2 6 8 20 2 2 2 9 3 5 8 7 2 23 28 2 5 7 N 0 25 27 6 000 3 3 6 5 0 7 9 9 22 3 26 5 29 00 000 00 "" II d = 3 m C3 L = 2 m z N 9 Joonis 9. Lõikega II-II eraldatud parempoolne osa L~oikega II-II eraldatud vasakpoolne osa
Sõrestiku mõjujooned Joonis on järgmisel leheküljel. 7/25
II I 6 8 0 8 2 6 20 2 2 α 2 8 α β 3 5 9 2 8 8 7 23 28 2 C β 5 7 25 27 6 000 3 3 6 5 0 7 9 9 22 3 26 5 29 00 000 I 00 II "" d = 3 m C2 C3 L = 2 m 2. 3.6.0 x 8/25 z 9 N 0 mj 0.8 0.667 0.562 } 0.3333 0.325 0.2778 0.688.0 0.9375.063.250 0.838 0.5625 0.283 0.6305.26.0509 0.807 0.6305 0.20 0.202 N 8 mj 6 3.568 2 2.6 6 (0. 0. ) 3.6 3 0.260 0.5208 0.6076 o.588 } 0.86 0.2222 0.5250 0.366 0.667 0.688 0.23 0. 0.325 0.25 0.0556 0.562 5 2.6 N 9 mj N 7mj Nmj 0.8 N 3mj Joonis 0. Sõrestiku mõjujooned
Lihtala mõjujooned Joonisel on sõrestikule vastava lihttala mõjujooned. 9/25 C 000 000 C2 3 5 7 9 3 "" L = 2 m 5 00 6 00 C3 C2 mj Joonis. Tala mõjujooned C3 mj
Varraste siinused ja koosinused c ) 3 a ) b ) 20/25 L2 3 α.2 L3 3 α 8 0. 5 ϕ Joonis 2. Varda siinus ja koosinus octave-2..73:2> diary VarrasteSinCos.out octave-2..73:2> diary on octave-2..73:3> L3=sqrt(3^2+0.^2) L3 = 3.0265 octave-2..73:> L2=sqrt(3^2+.2^2) L2 = 3.23 octave-2..73:5> cosa8=3.0/l3 coaa8 = 0.9923 octave-2..73:6> sina8=0./l3 sina8 = 0.326 octave-2..73:7> cosa=3.0/l2 cosa = 0.9288
Varraste siinused ja koosinused (järg) octave-2..73:8> sina=.2/l2 sina = 0.3739 octave-2..73:9> sinfi=3.0/5.0 sinfi = 0.60000 octave-2..73:0> cosfi=.0/5.0 cosfi = 0.80000 octave-2..73:> diary off 2/25
Arvutiprogrammiga saadud tulemused %srstkn2 ============================= Ühikj~oud s~olmedes JrNr X-suunas Z-suunas ----------------------------- 0 2 0 0 3 0 0 0 5 0 6 0 0 7 0 8 0 0 9 0 0 0 0 0 2 0 0 3 0 0 0 5 0 6 0 ----------------------------- 22/25
============================= M~ojujooned N(i)-le s~olmedes. Viimased kolm on toereaktsioonide m~ojujooned ----------------------------- 0.0000 -.007 -.2006 -.0005-0.800-0.6003-0.002-0.200 0.0000 2 0.0000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 3 0.0000.0938 0.9375 0.783 0.6250 0.688 0.325 0.563 0.0000 0.0000-0.673 -.363 -.29-0.8975-0.673-0.88-0.22 0.0000 5 0.0000-0.6003 0.002 0.3335 0.2668 0.200 0.33 0.0667 0.0000 6 0.0000.0938 0.9375 0.783 0.6250 0.688 0.325 0.563 0.0000 7 0.0000 0.667 0.3333 0.2778 0.2222 0.667 0. 0.0556 0.0000 8 0.0000-0.6305 -.26 -.0509-0.807-0.6305-0.20-0.202 0.0000 9 0.0000 0.260 0.5208-0.6076-0.86-0.366-0.23-0.25 0.0000 0 0.0000 0.688 0.9375.062.250 0.837 0.5625 0.282 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 2 0.0000-0.3750-0.7500 -.250 -.5000 -.250-0.7500-0.3750 0.0000 3 0.0000-0.562-0.325-0.688 0.6250 0.687 0.325 0.562 0.0000 0.0000 0.688 0.9375.062.250 0.837 0.5625 0.282 0.0000 5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 6 0.0000-0.3750-0.7500 -.250 -.5000 -.250-0.7500-0.3750 0.0000 7 0.0000 0.562 0.325 0.688 0.6250-0.687-0.325-0.562 0.0000 8 0.0000-0.25-0.23-0.366-0.86-0.6076 0.5208 0.260 0.0000 9 0.0000 0.282 0.5625 0.837.250.062 0.9375 0.687 0.0000 20 0.0000-0.202-0.20-0.6305-0.807 -.0509 -.26-0.6305 0.0000 Tabel järgneb 23/25
2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000.0000 0.0000 0.0000 0.0000 22 0.0000 0.282 0.5625 0.837.250.062 0.9375 0.687 0.0000 23 0.0000 0.0556 0. 0.667 0.2222 0.2778 0.3333 0.667 0.0000 2 0.0000-0.22-0.88-0.673-0.8975 -.29 -.363-0.673 0.0000 25 0.0000 0.0667 0.33 0.200 0.2668 0.3335 0.002-0.6003 0.0000 26 0.0000 0.562 0.325 0.688 0.6250 0.782 0.9375.0938 0.0000 27 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000.0000 0.0000 28 0.0000-0.200-0.002-0.6003-0.800 -.0005 -.2006 -.007 0.0000 29 0.0000 0.562 0.325 0.688 0.6250 0.782 0.9375.0938 0.0000 30-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000-0.0000 3 -.0000-0.8750-0.7500-0.6250-0.5000-0.3750-0.2500-0.250-0.0000 32 0.0000-0.250-0.2500-0.3750-0.5000-0.6250-0.7500-0.8750 -.0000 --------------------------- ============================= M~ojujoone x koordinaadid ----------------------------- 0 3 6 9 2 5 8 2 2 ----------------------------- %diary off 2/25
Viited. S~orestiku 2 arvutus: http://staff.ttu.ee/~alahe/konspekt/mycd/ehitmehi00/ node5.html#mjoon 25/25 2. S~orestiku arvutamise programm: http://staff.ttu.ee/~alahe/konspekt/mycd/ octaveprogrammid/srstkn2.m