Θεωρία Χρεοκοπίας για στοχαστικές διαδικασίες πλεονάσματος υπό την ύπαρξη ενός κατωφλίου.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΠΜΣ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Θεωρία Χρεοκοπίας για στοχαστικές ιαικασίες πλεονάσματος υπό την ύπαρξη ενός κατωφλίου Ανριτσάκη Μαγαληνή (ΜΑΕ14029) Διπλωματική Εργασία που υποβλήθηκε στο Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς ως µέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ειίκευσης στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινύνου Συμβουλευτική επιτροπή: Χατζηκωνσταντινίης Ευστάθιος (Αναπληρωτής Καθηγητής)-Επιβλέπων Νεκτάριος Μιλτιάης (Αναπληρωτής Καθηγητής) Πολίτης Κωνσταντίνος (Αναπληρωτής Καθηγητής) Πειραιάς Μάρτιος 2017

Η παρούσα ιπλωµατική Εργασία εγκρίθηκε οµόφωνα από την Τριµελή Εξεταστική Επιτροπή που ορίσθηκε από τη ΓΣΕΣ του Τµήµατος Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς στην υπ αριθµ συνερίασή του σύµφωνα µε τον Εσωτερικό Κανονισµό Λειτουργίας του Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουών στην Αναλογιστική Επιστήμη και Διοικητική Κινύνου Τα µέλη της Επιτροπής ήταν: - Χατζηκωνσταντινίης Ευστάθιος Αναπληρωτής Καθηγητής (Επιβλέπων) - Νεκτάριος Μιλτιάης Αναπληρωτής Καθηγητής - Πολίτης Κωνσταντίνος Αναπληρωτής Καθηγητής Η έγκριση της ιπλωµατική Εργασίας από το Τµήµα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήµης του Πανεπιστηµίου Πειραιώς εν υποηλώνει αποοχή των γνωµών του συγγραφέα 1

UNIVERSITY OF PIRAEUS DEPARTMENT OF STATISTICS AND INSURANCE SCIENCE POSTGRADUATE PROGRAM IN ACTUARIAL SCIENCE AND RISK MANAGEMENT R Theory for tochatc rpl procee der a threhold Adrtak Magdal (ΜΑΕ14029) MSc Dertato bmtted to the Departmet of Stattc ad Irace Scece of the Uverty of Prae partal flflmet of the reqremet for the degree of Mater of Scece Actaral Scece ad Rk Maagemet Commttee member: Chadjkotatd Eftatho (Aocate Profeor) - Spervor Nektaro Mltad (Aocate Profeor) Polt Kotato (Aocate Profeor) Prae March 2017 2

Th the wa approved amoly by the three-member commttee appoted by the Departmet of Stattc ad Irace Scece Uverty of Prae accordace wth the rle of the MSc program Actaral Scece ad Rk Maagemet Commttee member were: - Chadjkotatd Eftatho Aocate Profeor (Spervor) - Nektaro Mltad Aocate Profeor - Polt Kotato Aocate Profeor 3

Στο Γιάννη 4

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Φτάνοντας στο τέλος αυτής της ιαρομής θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον κ Χατζηκωνσταντινίη Ευστάθιο για τη ιαρκή καθοήγηση την πολύτιμη βοήθειά του την υπομονή του αλλά και το χρόνο που μου αφιέρωσε για την ολοκλήρωση αυτής της ιπλωματικής εργασίας Θα ήθελα επίσης να ευχαριστήσω τον κ Νεκτάριο Μιλτιάη και τον κ Πολίτη Κωνσταντίνο για το χρόνο που αφιέρωσαν ως μέλη της συμβουλευτικής μου επιτροπής Τέλος θέλω να ευχαριστήσω βαθύτατα την οικογένεια μου που με στηρίζει ιαρκώς σε κάθε μου επιλογή ΘΤΡΤΘΤΘΤΘΤΡΤΘΤΡΘΤΥΘΤΥΘΤΡΘΤΘΤΘ 5

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΛΗΨΗ 8 ABSTRACT 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 11 Το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου 11 21 Η στοχαστική ιαικασία του αριθμού των κινύνων 11 22 Η στοχαστική ιαικασία των συνολικών αποζημιώσεων 15 23 Η στοχαστική ιαικασία πλεονάσματος 16 24 Πιθανότητα χρεοκοπίας 18 25 Η συνάρτηση Gerber-Sh 28 251 Η ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση Gerber-Sh 33 252 Η ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση για την πιθανότητα χρεοκοπίας ως ειική περίπτωση της Gerber-Sh 37 253 Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Gerber-Sh 37 254 Γενικευμένη εξίσωση Ldberg 39 255 Τελεστής των Dcko-Hpp 41 256 Η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση της συνάρτησης των Gerber-Sh 42 257 Γενική λύση ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης μέσω εξιάς ουράς σύνθετης γεωμετρικής κατανομής 46 258 Γενική λύση της ελλειμματικής ανανεωτικής εξίσωσης της συνάρτησης Gerber- Sh μέσω εξιάς ουράς σύνθετης γεωμετρικής κατανομής 48 259 Εφαρμογή για Χ~Exp(β) 49 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 51 Ένα μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου υπό την ύπαρξη τυχαίου κατωφλίου 51 31 Ορισμός του μοντέλου και οι συναρτήσεις Gerber-Sh 51 32 Ολοκληρο-ιαφορικές εξισώσεις και μετασχηματισμοί Laplace των m 321 Ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων m 54 56 33 Οι ολοκληρο-ιαφορικές εξισώσεις και οι μετασχηματισμοί Laplace των πιθανοτήτων χρεοκοπίας και επιβίωσης στο μοντέλο με τυχαίο κατώφλι 60 34 Σύγκριση με το μοντέλο με ανεξαρτησία 64 6

35 Αριθμητικά Παραείγματα 65 Εφαρμογή 1 65 Εφαρμογή 2 69 36 Παρόμοια μοντέλα με ομή εξάρτησης 71 Μοντέλο 1 71 Μοντέλο 2 73 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 74 Το ημι-μαρκοβιανό μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου 74 41 Ορισμός του μοντέλου και η συνάρτηση Gerber-Sh 74 42 Ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση και μετασχηματισμός Laplace της m 76 43 Μηενικό αρχικό κεφάλαιο 81 44 Ασυμπτωτική συμπεριφορά 84 45 Οι ροπές τριών χαρακτηριστικών της ιαικασίας πλεονάσματος 85 451 Ροπές του χρόνου χρεοκοπίας Τ 85 452 Ροπές του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία UT 88 453 Ροπές του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας UT 90 46 Ειικές περιπτώσεις του μοντέλου με ημι-μαρκοβιανή εξάρτηση 93 461 Το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου 93 462 Το ανανεωτικό μοντέλο για το οποίο οι ενιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινύνων ακολουθούν τη γενικευμένη Erlag() κατανομή 100 463 Το ανανεωτικό μοντέλο για το οποίο οι ενιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινύνων ακολουθούν μια phae type κατανομή 106 464 Το μοντέλο με τυχαίο κατώφλι ως ειική περίπτωση αυτού του μοντέλου 112 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 119 7

ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Αναλογιστική Επιστήμη χρησιμοποιεί μαθηματικά μοντέλα για να εκτιμήσει τη φερεγγυότητα ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου Τέτοια μοντέλα χρεοκοπίας ίνουν τη υνατότητα να μελετηθούν χαρακτηριστικές ποσότητες όπως η πιθανότητα και ο χρόνος χρεοκοπίας το πλεόνασμα πριν τη χρεοκοπία και το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας Στην παρούσα εργασία θα παρουσιάσουμε αρχικά το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου και την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής των Gerber-Sh Στη συνέχεια θα μελετήσουμε ένα μοντέλο με εξάρτηση ανάμεσα στα ύψη των απαιτήσεων και τους ενιάμεσους χρόνους εμφάνισης αυτών χρησιμοποιώντας μια τυχαία μεταβλητή που εκφράζει ένα κατώφλι στα ύψη των ζημιών Τέλος θα γενικεύσουμε με τη μελέτη ενός μοντέλου με ημι-μαρκοβιανή ομή εξάρτησης Συγκεκριμένα το πρώτο κεφάλαιο είναι μια σύντομη εισαγωγή για το τι θα μελετηθεί στη συνέχεια Στο εύτερο κεφάλαιο αρχικά ίνονται κάποιες εισαγωγικές έννοιες μέσω των οποίων στη συνέχεια παρουσιάζουμε το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου και τη συνάρτηση των Gerber-Sh Μέσω των ολοκληρο-ιαφορικών τους εξισώσεων και των μετασχηματισμών Laplace παίρνουμε αποτελέσματα για τη συνάρτηση των Gerber-Sh και τις πιθανότητες χρεοκοπίας και επιβίωσης Τελικά αποεικνύεται η γενική λύση της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής μέσω εξιάς ουράς σύνθετης γεωμετρικής κατανομής Στο τρίτο κεφάλαιο εξετάζουμε μια γενίκευση του κλασικού μοντέλου χρεοκοπίας όπου η κατανομή του ενιάμεσου χρόνου μεταξύ ύο απαιτήσεων εξαρτάται από το ύψος της προηγούμενης απαίτησης Στη συνέχεια μελετάμε τη συνάρτηση των Gerber-Sh και τις πιθανότητες χρεοκοπίας και επιβίωσης για το μοντέλο αυτό μέσω μετασχηματισμών Laplace Επίσης παρουσιάζεται η μελέτη κάποιων παρόμοιων μοντέλων με εξάρτηση και μέσω αριθμητικών παραειγμάτων γίνεται σύγκριση με το μοντέλο με ανεξαρτησία Τέλος στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζουμε ένα πιο γενικό μοντέλο με ημι-μαρκοβιανή ομή εξάρτησης Για το μοντέλο αυτό στη συνέχεια γίνεται μελέτη της συνάρτησης των Gerber-Sh και παίρνουμε αναλυτικές εκφράσεις για το μετασχηματισμό Laplace και για την περίπτωση όπου έχουμε μηενικό αρχικό αποθεματικό Επιπλέον εξετάζεται η ασυμπτωτική συμπεριφορά της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής για ύψη ζημιών που ακολουθούν κατανομές με ελαφριά ουρά και είχνεται ένας τρόπος ώστε να εξάγουμε τις ροπές του χρόνου χρεοκοπίας του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία και του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας Τελικά είχνουμε ότι αυτό το γενικό μοντέλο περιέχει σαν ειικές περιπτώσεις το κλασικό μοντέλο της σύνθετης Poo το ανανεωτικό μοντέλο με τους ενιάμεσους χρόνους να ακολουθούν τη γενικευμένη Erlag () κατανομή το ανανεωτικό μοντέλο με τους ενιάμεσους χρόνους να ακολουθούν τη phae type κατανομή και το μοντέλο με εξάρτηση που περιγράψαμε στο προηγούμενο κεφάλαιο 8

ABSTRACT Actaral Scece e mathematcal model to etmate the olvecy of a race portfolo R model help to tdy bac qatte of teret ch a the probablty ad tme of r ad the rpl pror to ad defct at r I th the at frt we wll preet the Clacal Model of R Theory ad the dcoted pealty fcto Sbeqetly we wll tdy a r model wth depedecy betwee clam ze ad ter-arrval tme Fally we wll coder a more geeralzed model wth a em-markova depedece trctre More pecfcally the frt chapter a trodctory ecto The ecod chapter preet the clacal model of R Theory ad the dcoted pealty fcto We obta relt for the dcoted pealty fcto r ad rvval probablte by ther tegro-dfferetal eqato ad Laplace traform ad derve a geeral olto for the dcoted pealty fcto term of compod geometrc dtrbto tal I the thrd chapter a geeralzato of the clacal r model codered where the dtrbto of the tme betwee two clam occrrece deped o the prevo clam ze For th pecfc model we derve exact olto for the dcoted pealty fcto r ad rvval probablte by mea of Laplace traform We alo dc abot everal related model that allow for a mlar treatmet gve ome mercal lltrato ad vetgate the effect of gorg the depedece trctre Fally the forth chapter we coder a more geeral model wth a em- Markova depedece trctre For th model we derve a explct expreo for the Laplace traform of the dcoted pealty fcto ad a explct formla for the dcoted pealty fcto for zero tal captal We alo vetgate the aymptotc behavor of the pealty fcto for lght-taled clam ze ad t how how to obta arbtrary momet of the tme to r rpl before r ad the defct at r I the ed t how that th geeral model cota a pecal cae the clacal compod Poo model the Sparre Adere model wth geeralzed Erlag() terclam dtrbto the Sparre Adere model wth phae type terclam dtrbto ad the model wth depedecy of the prevo chapter 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ O αναλογισμός έγινε επίσημη μαθηματική επιστήμη κατά τα τέλη του 17 ου αιώνα λόγω της αυξημένης ζήτησης για μακροπρόθεσμη ασφαλιστική κάλυψη Ιστορικά χρησιμοποιούσε ντετερμινιστικά μοντέλα για τη μελέτη και κατασκευή πινάκων και ασφαλίστρων Ωστόσο τα τελευταία 30 χρόνια εμφανίζει ραγαία εξέλιξη και με την ενσωμάτωση στοχαστικών αναλογιστικών μοντέλων στη σύγχρονη οικονομική θεωρία Στόχος της αναλογιστικής επιστήμης είναι η εκτίμηση των κινύνων όχι μόνο στον τομέα της ασφάλισης αλλά και στον τομέα των χρηματοοικονομικών καθώς και άλλων βιομηχανιών και επαγγελμάτων Βασικότερο κομμάτι της αναλογιστικής επιστήμης αποτελεί η Θεωρία Κινύνου η οποία καλείται να προβλέψει και να μελετήσει το ρυθμό εμφάνισης το ύψος και την πιθανότητα εμφάνισης των κινύνων έτσι ώστε να επιτευχθεί η καλύτερη υνατή ιαχείριση πριν και μετά την επέλευση των κινύνων Η εξέλιξη των τιμών των συνολικών αποζημιώσεων ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου στη ιάρκεια του χρόνου αποτελεί ένα από τα βασικά αντικείμενα μελέτης της Θεωρίας Κινύνου Για παράειγμα η βιωσιμότητα και κεροφορία ενός ασφαλιστικού οργανισμού εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τη ημιουργία επαρκών αποθεματικών έτσι ώστε να έχει τη υνατότητα να καλύψει τα λειτουργικά του έξοα και τις βραχυπρόθεσμες αλλά και μακροπρόθεσμες υποχρεώσεις του τόσο έναντι των ασφαλισμένων αλλά και έναντι τρίτων Στην αναλογιστική ορολογία χρησιμοποιείται ο όρος πλεόνασμα για να περιγράψει τη ιαφορά ανάμεσα στα αποθεματικά της ασφαλιστικής εταιρίας και τις υποχρεώσεις της Είναι λοιπόν πολύ σημαντική είναι η μελέτη της πιθανότητας το πλεόνασμα ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου να πέσει κάτω από το μηέν ηλαή η πιθανότητα χρεοκοπίας των επιμέρους ασφαλιστικών χαρτοφυλακίων Τα θεμέλια της ανάπτυξης της μαθηματικής θεωρίας κινύνου έθεσε ο Σουηός μαθηματικός Flp Ldberg το 1903 Το 1930 ο Harald Cramér βασιζόμενος στη ιακτορική ιατριβή του Ldberg ενσωμάτωσε στη θεωρία κινύνου τη θεωρία των στοχαστικών ανελίξεων Έτσι ημιουργήθηκε το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου στο οποίο το πλήθος των κινύνων περιγράφεται από μια στοχαστική ιαικασία Poo Τη γενίκευση του κλασικού μοντέλου εισήγαγε αργότερα ο Νορβηγός Sparre Adere με το ανανεωτικό μοντέλο σύμφωνα με το οποίο οι ενιάμεσοι χρόνοι εμφάνισης των κινύνων περιγράφονται από μια ανανεωτική ιαικασία Στην παρούσα εργασία περιγράφονται κάποια χαρακτηριστικά του κλασικού μοντέλου της Θεωρίας Κινύνου και γενικεύοντας περιγράφονται τα βασικά χαρακτηριστικά μοντέλων με εξάρτηση ανάμεσα στους χρόνους εμφάνισης και τα μεγέθη των απαιτήσεων 10

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Το κλασικό μοντέλο της Θεωρίας Κινύνου Το 1903 ο Σουηός αναλογιστής Flp Ldberg με τη ημοσίευση της ιακτορικής ιατριβής του με τίτλο «Approxmerad fremtällg a aolkheet fctoe» έθεσε τα θεμέλια για την ανάπτυξη της μαθηματικής θεωρίας κινύνου Το 1930 ο Harald Cramér ημοσίευσε μια σειρά εργασιών με βάση τη ιακτορική ιατριβή του Ldberg στις οποίες ενσωμάτωσε τη θεωρία των στοχαστικών ιαικασιών Έτσι ημιουργήθηκε το πρώτο μοντέλο που περιγράφει τη υναμική εξέλιξη του πλεονάσματος στο χρόνο και ονομάστηκε κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινύνου ή μοντέλο των Cramér- Ldberg Βασικό χαρακτηριστικό του μοντέλου αυτού είναι η παραοχή ότι το πλήθος των ζημιογόνων ενεχομένων ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου περιγράφεται από τη στοχαστική ιαικασία Poo Γενίκευση του μοντέλου των Cramér- Ldberg αποτελεί το ανανεωτικό μοντέλο του Sparre Adere το οποίο εισήχθη το 1957 όταν ο Νορβηγός Sparre Adere παρουσίασε στο 15 ο Αναλογιστικό Συνέριο την εργασία του με τίτλο «O the collectve theory of rk cae of cotago betwee the clam» στην οποία υπέθεσε ότι ο αριθμός των κινύνων σε ένα ασφαλιστικό χαρτοφυλάκιο περιγράφεται από μια ανανεωτική στοχαστική ιαικασία 21 Η στοχαστική ιαικασία του αριθμού των κινύνων Για τη μοντελοποίηση και τη μελέτη του πλεονάσματος ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου τα πρώτα βήματα είναι ο προσιορισμός του πλήθους των κινύνων ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου και το ύψος των απαιτήσεων που ακολουθούν αυτούς τους κινύνους μεγέθη που περιγράφονται κατάλληλα από τις στοχαστικές ανελίξεις Αρχικά θα ώσουμε τον ορισμό των στοχαστικών ιαικασιών οι οποίες χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την τυχαία εξέλιξη φαινομένων στο χρόνο ή το χώρο σύμφωνα με τους νόμους των πιθανοτήτων ανεξάρτητα από την περιοχή του επιστητού στην οποία υπάγεται το φαινόμενο Εφαρμογές τους εκτός της θεωρίας κινύνου εκτείνονται και σε πολλούς κλάους της επιστήμης και της τεχνολογίας ΟΡΙΣΜΟΣ 21 Στοχαστική ιαικασία (ή ανέλιξη) είναι μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών X t : t T Το σύνολο Τ καλείται σύνολο εικτών της ανέλιξης και το σύνολο των τιμών Ι των τυχαίων μεταβλητών Xt: t T καλείται χώρος καταστάσεων της στοχαστικής ανέλιξης Συνήθως το t συμβολίζει χρόνο 11

Στο σημείο αυτό μας ενιαφέρει ένα μοντέλο που να περιγράφει κατάλληλα το πλήθος των απαιτήσεων ενός ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου ΟΡΙΣΜΟΣ 22 Έστω N t : t η στοχαστική ιαικασία ( ή ανέλιξη) η οποία εκφράζει των αριθμό των κινύνων που εμφανίζονται στο ιάστημα απαριθμήτρια στοχαστική ιαικασία αν και μόνο αν Nt με N t Τότε η Nt είναι ιακριτή αν t τότε N Nt και η τυχαία μεταβλητή Nt N των ενεχομένων στο ιάστημα t N t : t ονομάζεται ισούται με το πλήθος Έτσι μια απαριθμήτρια ιαικασία είναι μη φθίνουσα και παίρνει ακέραιες και μη αρνητικές τιμές Θα λέμε επίσης ότι μια απαριθμήτρια στοχαστική ιαικασία έχει: Ανεξάρτητες προσαυξήσεις αν το πλήθος των ενεχομένων σε ξένα χρονικά ιαστήματα είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές Ισόνομες προσαυξήσεις αν το πλήθος των ενεχομένων σε ένα χρονικό ιάστημα t t x ακολουθεί μια κατανομή η οποία εξαρτάται μόνο από το μήκος του ιαστήματος x Τόσο στη θεωρία κινύνου όσο και σε άλλα ερευνητικά πεία χρησιμοποιούνται συχνά οι ανανεωτικές στοχαστικές ιαικασίες οι οποίες ανήκουν στην οικογένεια των απαριθμητριών ιαικασιών Ο ορισμός τους βασίζεται στους ενιάμεσους χρόνους άφιξης των απαιτήσεων Έστω T μια ακολουθία ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών με T συμβολίζει τη χρονική στιγμή άφιξης του -κινύνου Τότε η ακολουθία W με W T T είναι μια ακολουθία μη-αρνητικών ανεξάρτητων τυχαίων μεταβλητών που αναπαριστά τους ενιάμεσους χρόνους άφιξης των κινύνων Δηλαή η W εκφράζει το χρόνο που απαιτείται για την εμφάνιση της πρώτης απαίτησης ενώ η W εκφράζει το χρόνο από την εμφάνιση του κινύνου μέχρι την εμφάνιση του κινύνου Αν W τότε T W W W ονομάζεται ακολουθία ανανεώσεων και η ακολουθία T Σχήμα 21 Οι χρόνοι άφιξης των απαιτήσεων TT οι ενιάμεσοι χρόνοι WW και τα μεγέθη των αποζημιώσεων X X 12

Έτσι η ανανεωτική ιαικασία N t : t ορίζεται ως εξής: ΟΡΙΣΜΟΣ 23 Έστω W μια ακολουθία μη-αρνητικών και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών και T μια ακολουθία ανανεώσεων με TW W W και T W Τότε η απαριθμήτρια ιαικασία Nt: t που ορίζεται από τη σχέση ονομάζεται ανανεωτική στοχαστική ιαικασία και παριστά τον αριθμό N t I T t των ανανεώσεων στο t Η στοχαστική ιαικασία T W ονομάζεται συνήθης ή απλή ανανεωτική ιαικασία ιακριτού χρόνου με συνεχή χώρο καταστάσεων Η στοχαστική ιαικασία N t : t ονομάζεται απαριθμήτρια στοχαστική ιαικασία συνεχούς χρόνου με ιακριτό χώρο καταστάσεων Από τον ορισμό 22 προκύπτει ότι για κάθε ανανεωτική ιαικασία N t N t N t αν και μόνο αν T t αν και μόνο αν T t αν και μόνο αν T t T N t : t ισχύει ότι Δηλαή το ενεχόμενο να έχουμε ακριβώς γεγονότα σε χρόνο t ισουναμεί με το ενεχόμενο ο χρόνος αναμονής μέχρι να συμβούν γεγονότα να είναι t Είναι επίσης φανερό ότι Nt max : T t και P N t P T t ΟΡΙΣΜΟΣ 24 O αναμενόμενος αριθμός ανανεώσεων (γεγονότων) στο ιάστημα t καλείται ανανεωτική συνάρτηση mt και ορίζεται από τη σχέση m t E N t ΠΡΟΤΑΣΗ 21 Η ανανεωτική συνάρτηση mt ικανοποιεί την ανανεωτική εξίσωση t m t F t m t x df x όπου F η αθροιστική συνάρτηση κατανομής των ενιάμεσων χρόνων 13

ΟΡΙΣΜΟΣ 25 Γενικά ανανεωτική εξίσωση καλείται μια εξίσωση της μορφής όπου φ είναι μια σταθερά έτσι ώστε φ η άγνωστη συνάρτηση t μ t Z t φ Z t x df x F μια αθροιστική συνάρτηση κατανομής και Z Οι ανανεωτικές εξισώσεις ιακρίνονται ανάλογα με την τιμή της σταθεράς φ σε: ελλειμματικές (defectve) για φ και κανονικές (proper) ή μη ελλειμματικές (o-defectve) για φ ΠΡΟΤΑΣΗ 22 Η γενική λύση μιας ανανεωτικής εξίσωσης είναι η συνάρτηση που ίνεται από τη σχέση όπου k k Mt φ F t k t μ t g t φ g t x dm x και g είναι μια φραγμένη συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ 21 Έστω N t : t μια ανανεωτική στοχαστική ανέλιξη Τότε ισχύει ότι lm Nt t t E W ΘΕΩΡΗΜΑ 22 (ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΕΣ ΑΝΑΝΕΩΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ) Έστω ανανεωτική στοχαστική ανέλιξη Τότε ισχύει ότι lm E N t t t E W N t : t μια Αν υποθέσουμε ότι οι ενιάμεσοι χρόνοι άφιξης των απαιτήσεων ακολουθούν την εκθετική κατανομή τότε το απλούστερο παράειγμα ανανεωτικής ανέλιξης αποτελεί η στοχαστική ιαικασία Poo Στο κλασσικό μοντέλο της θεωρίας κινύνων (Ldberg 1903) μια από τις κύριες υποθέσεις είναι ότι ο αριθμός των κινύνων περιγράφεται από την απαριθμήτρια στοχαστική ιαικασία Poo 14

ΟΡΙΣΜΟΣ 26 Μια απαριθμήτρια στοχαστική ιαικασία N t : t με ενιάμεσους χρόνους άφιξης εκθετικά κατανεμημένους με παράμετρο λ καλείται ιαικασία Poo με ένταση λ όταν ικανοποιεί τις παρακάτω συνθήκες: N για κάθε t η τυχαία μεταβλητή Nt N είναι ανεξάρτητη της μεταβλητής Nt ή πιο γενικά έχει ανεξάρτητες προσαυξήσεις σε ένα πολύ μικρό χρονικό ιάστημα μήκους dt μπορεί να συμβεί το πολύ ένα γεγονός με πιθανότητα ανάλογη με το μήκος του ιαστήματος λdt o dt k PNt dt k Ntλdt odt k odt k όπου odt μια συνάρτηση που συγκλίνει στο μηέν πιο γρήγορα από το dt καθώς το dt Συνεπώς έχει στάσιμες προσαυξήσεις 22 Η στοχαστική ιαικασία των συνολικών αποζημιώσεων Κάθε ασφαλιστικός οργανισμός με την ανάληψη κινύνων αναλαμβάνει και την υποχρέωση να αποζημιώσει τους ασφαλισμένους όταν επέλθει ο ασφαλιστικός κίνυνος Για να είναι αυτό υνατό ακόμα και σε ακραίες περιπτώσεις είναι ανάγκη η μοντελοποίηση όχι μόνο του πλήθους των ενεχόμενων απαιτήσεων αλλά και του ύψους αυτών όπου Έστω X μια ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνομων τυχαίων μεταβλητών X εκφράζει το ύψος της -οστής ζημιάς που προκάλεσε το -οστό ζημιογόνο ενεχόμενο Θεωρούμε ότι η τυχαία μεταβλητή f x PX x X έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας συνάρτηση κατανομής F xpx x μέση τιμή k k k-τάξης γύρω από το μηέν μ x df x x f x dx max : k EX και ροπές Προηγουμένως ορίσαμε την N t T t που είναι η στοχαστική ιαικασία του πλήθους των ζημιογόνων ενεχομένων που εμφανίζονται έως το χρόνο t Τότε ΟΡΙΣΜΟΣ 27 Η στοχαστική ιαικασία του ύψους των συνολικών αποζημιώσεων S t : t στο ιάστημα t ορίζεται ως εξής St Nt Nt S t X X X t ή Nt X Nt 15

Σχήμα 22 Η στοχαστική ιαικασία του ύψους των αποζημιώσεων Στο σχήμα (22) φαίνεται ότι οι συνολικές αποζημιώσεις είναι μηενικές μέχρι τη στιγμή άφιξης της πρώτης απαίτησης και στη συνέχεια το γράφημα της St εμφανίζει άλματα προς τα πάνω ύψους ίσου με το μέγεθος της κάθε αποζημίωσης ενώ παραμένει σταθερή κατά τη ιάρκεια των ενιάμεσων χρόνων W ηλαή για όσο ιάστημα εν επέρχονται κίνυνοι Έτσι η ειγματοσυνάρτηση της St είναι μια εξιά συνεχής κλιμακωτή συνάρτηση 23 Η στοχαστική ιαικασία πλεονάσματος ΟΡΙΣΜΟΣ 28 Η στοχαστική ιαικασία του πλεονάσματος t ως όπου ιάστημα ορίζεται για κάθε UtPt St (21) St η στοχαστική ανέλιξη του ύψους των συνολικών αποζημιώσεων στο χρονικό t το αρχικό αποθεματικό U Pt το σύνολο των ασφαλίστρων που t εισπράττονται στο χρονικό ιάστημα Τα ασφάλιστρα καθορίζονται από τον ασφαλιστή θα θεωρήσουμε λοιπόν εώ ότι εν υπάρχει αβεβαιότητα ως προς την εξέλιξή τους στο χρόνο γι αυτό και η Pt είναι μια αύξουσα συνάρτηση (αν και στην πραγματικότητα φυσικά επηρεάζονται από πολλούς παράγοντες όπως τον πληθωρισμό και τις πιθανότητες θανάτου εξαγοράς κτλ) Στο κλασικό πρότυπο της θεωρίας κινύνου η συνάρτηση των ασφαλίστρων θεωρείται αιτιοκρατική συνάρτηση (determtc) και ειικότερα μια γραμμική συνάρτηση του χρόνου U t : t 16

Έτσι τα συνολικά ασφάλιστρα στη μονάα του χρόνου υπολογίζονται ως Pt ct για t όπου λύνοντας ως προς t παίρνουμε Pt c και c μια θετική σταθερά t Θεωρούμε ηλαή ότι ο ρυθμός είσπραξης των ασφαλίστρων ή γενικότερα των εσόων του ασφαλιστικού χαρτοφυλακίου παραμένει σταθερός στη μονάα του χρόνου Η σταθερά c ονομάζεται ένταση ασφαλίστρου (premm rate στη ιεθνή βιβλιογραφία) Έτσι σύμφωνα με τα παραπάνω η στοχαστική ιαικασία του πλεονάσματος μπορεί να γραφεί ως εξής U t ct X t όπου όπως αναφέραμε στην προηγούμενη παράγραφο η Nt (22) N t : t είναι η στοχαστική ιαικασία του αριθμού των κινύνων και στο κλασικό μοντέλο υποθέτουμε πως περιγράφεται από μια ομογενή ιαικασία Poo Στο παρακάτω σχήμα (23) φαίνεται ότι οι ειγματοσυναρτήσεις της Ut είναι ευθύγραμμα τμήματα με κλίση ίση με την ένταση του ασφαλίστρου c και εμφανίζουν κατακόρυφα άλματα προς τα κάτω τις χρονικές στιγμές άφιξης των ζημιογόνων ενεχομένων τα οποία είναι του ίιου μεγέθους με τα αντίστοιχα προς τα πάνω άλματα της St Σχήμα 23 Η στοχαστική ιαικασία πλεονάσματος 17

Συνοψίζοντας μιλάμε για το κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινύνου όταν ισχύουν οι παρακάτω υποθέσεις: Το πλήθος των αποζημιώσεων στο χρόνο N t : t περιγράφεται από μια στοχαστική ιαικασία Poo συνεπώς η στοχαστική ιαικασία των αποζημιώσεων S t : t είναι μια σύνθετη ιαικασία Poo και η ακολουθία των ενιάμεσων χρόνων ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ ενώ η ακολουθία των χρόνων άφιξης την κατανομή Erlag Οι μεταβλητές X που ηλώνουν το μέγεθος των αποζημιώσεων είναι ανεξάρτητες και ισόνομες μεταξύ τους και ανεξάρτητες από τον αριθμό των αποζημιώσεων Nt Η συνάρτηση των ασφαλίστρων είναι μια γραμμική συνάρτηση Pt c ct για κάποιο 24 Πιθανότητα χρεοκοπίας ΟΡΙΣΜΟΣ 29 Η χρονική στιγμή κατά την οποία το πλεόνασμα γίνεται για πρώτη φορά αρνητικό (έλλειμα) ονομάζεται χρόνος χρεοκοπίας (tme to r) και ίνεται από τη σχέση f t: U t για κάθε t T γιαu t Σχήμα 25 Η στοχαστική ιαικασία πλεονάσματος και ο χρόνος χρεοκοπίας Τ 18

ΟΡΙΣΜΟΣ 210 Η πιθανότητα χρεοκοπίας με αρχικό αποθεματικό σε άπειρο χρονικό ορίζοντα ηλαή η πιθανότητα το πλεόνασμα να γίνει κάποια χρονική στιγμή αρνητικό ορίζεται από τη σχέση ψ P T U (23) Από τα παραπάνω φαίνεται πως το ενεχόμενο το πλεόνασμα να είναι θετικό για κάθε χρονική στιγμή t είναι ισοπίθανο με το ενεχόμενο ο χρόνος χρεοκοπίας να είναι άπειρος Πρέπει να σημειωθεί ότι στην πραγματικότητα τα ασφάλιστρα εν είναι το μόνο έσοο για έναν ασφαλιστικό οργανισμό όπως όπως και οι αποζημιώσεις εν είναι το μόνο έξοο Έτσι η μαθηματική χρεοκοπία όπως την ορίσαμε εν ταυτίζεται απαραίτητα με την πραγματική είναι όπως ένα βασικό μέτρο που χρησιμοποιείται για να εξετάσουμε τη φερεγγυότητα του χαρτοφυλακίου και να ιαμορφώσουμε ανάλογη οικονομική πολιτική Από τον ορισμό της στοχαστικής ιαικασίας πλεονάσματος προκύπτει άμεσα ότι για να μην είναι βέβαιη η χρεοκοπία η ένταση ασφαλίστρου c εν μπορεί να πάρει οποιαήποτε τιμή Υποθέτουμε για το σκοπό αυτό ότι η ένταση του ασφαλίστρου c στο t είναι αυστηρά μεγαλύτερη από το μέσο ύψος ζημιών E S t που εμφανίζονται στο ίιο χρονικό ιάστημα ιαφορετικά η χρεοκοπία είναι βέβαια από την πρώτη κιόλας ζημιά Λόγω των παραπάνω μια ακόμα βασική υπόθεση που κάνουμε στο κλασικό μοντέλο είναι ότι c λμ που σημαίνει ότι υποθέτουμε ότι η μέση τιμή των εσόων του ασφαλιστή στη μονάα του χρόνου είναι μεγαλύτερη από το μέσο ρυθμό των αποζημιώσεων στη μονάα του χρόνου πολλαπλασιασμένο επί τη μέση αποζημίωση (ηλαή τη μέση τιμή των εξόων του ασφαλιστή) Συνεπώς η παραπάνω συνθήκη απαιτεί τα έσοα να υπερβαίνουν κατά μέσο όρο τα έξοα στη μονάα του χρόνου γι αυτό και αναφέρεται ως συνθήκη του καθαρού κέρους (et proft codto) Μια ακόμη τυχαία μεταβλητή που σχετίζεται με τη στοχαστική ιαικασία του πλεονάσματος και παρουσιάζει έντονο ενιαφέρον είναι το μέγεθος όπως κάθετης πτώσης του πλεονάσματος κάτω από το αρχικό αποθεματικό ΟΡΙΣΜΟΣ 211 Η σύνθετη τυχαία μεταβλητή που εκφράζει τη συνολική πτώση του πλεονάσματος κάτω από το αρχικό αποθεματικό ονομάζεται μέγιστη σωρευτική απώλεια (maxmal aggregate lo) και ορίζεται ως k L max U t L L L L (24) t Οι τυχαίες μεταβλητές L L Lk καλούνται κλιμακωτά ύψη (ladder heght) και εκφράζουν τη σταιακή πτώση του πλεονάσματος από την αρχική τιμή έως την ελάχιστη τιμή της ανέλιξης του πλεονάσματος Συγκεκριμένα η μεταβλητή L μας ίνει το μέγεθος της πρώτης πτώσης του πλεονάσματος κάτω από το αρχικό αποθεματικό Έστω τώρα ότι η k 19

πρώτη πτώση του πλεονάσματος κάτω από συμβαίνει τη χρονική στιγμή t και το πλεόνασμα γίνεται U t τότε L Η τυχαία μεταβλητή L τώρα μας πληροφορεί για το μέγεθος της πτώσης του πλεονάσματος κάτω από το έτσι L Έτσι ορίζεται επαγωγικά η ακολουθία L L Lk Όπου Κ η τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το πλήθος των κλιμακωτών υψών Η ακολουθία των κλιμακωτών υψών είναι πεπερασμένη εφόσον λόγω της συνθήκης του καθαρού κέρους το πλεόνασμα από κάποια χρονική στιγμή και μετά θα αυξάνεται Ut καθώς t έτσι εν είναι υνατό να εμφανίζει άπειρο αριθμό ελαχίστων ενώ η πιθανότητα να έχουμε πτώση από σε ισούται με την πιθανότητα χρεοκοπίας για μηενικό αρχικό αποθεματικό από το ψ και είναι ανεξάρτητη Σχήμα 25 (Πολίτης 2012) Η στοχαστική ιαικασία πλεονάσματος τα κλιμακωτά ύψη και η μέγιστη σωρευτική απώλεια ΠΡΟΤΑΣΗ 23 Στο κλασικό μοντέλο όταν υπάρχει πτώση του πλεονάσματος τα κλιμακωτά ύψη είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τυχαίες μεταβλητές και ακολουθούν μια συνεχή κατανομή με πυκνότητα fe x F x μ η οποία ονομάζεται κατανομή ισορροπίας της F και συμβολίζεται με e x F Δηλαή F x PL x F x e μ 20

Στην προσπάθεια του ασφαλιστή να ελαχιστοποιήσει την πιθανότητα χρεοκοπίας ένας ακόμα κρίσιμος παράγοντας είναι να έχει την αίσθηση του πόσο μεγαλύτερα είναι τα έσοα από τα έξοα του Με βάση τη συνθήκη του καθαρού κέρους μας ενιαφέρει να ξέρουμε πόσο μεγαλύτερο της μονάας είναι το κλάσμα που προκύπτει από τα μέσα έσοα προς τα μέσα έξοα του ασφαλιστή ΟΡΙΣΜΟΣ 212 Το περιθώριο ασφαλείας (premm loadg factor) ή αλλιώς συντελεστής ασφαλείας θ στο κλασικό μοντέλο ορίζεται από τη σχέση c θ (25) λμ Για να μην είναι βέβαιη η χρεοκοπία πρέπει το θ να παίρνει πάντα θετικές τιμές έτσι όσο μεγαλύτερο είναι το θ τόσο μικραίνει η πιθανότητα χρεοκοπίας Διαισθητικά ο συντελεστής θ εκφράζει το ποσοστό κέρους του ασφαλιστή και στην πράξη συνήθως παίρνει τιμές στο ιάστημα θ ( ή αν εκφραστεί σαν ποσοστό από 0 έως 100%) έτσι ώστε το χαρτοφυλάκιο να είναι ανταγωνιστικό και για τον ασφαλιστή και για τον ασφαλισμένο Νωρίτερα ορίσαμε την πιθανότητα χρεοκοπίας σε άπειρο χρονικό ορίζοντα ηλαή την πιθανότητα το πλεόνασμα να γίνει αρνητικό ή μηέν αν το χαρτοφυλάκιο λειτουργεί υπό τις ίιες υποθέσεις για πολύ μεγάλο χρονικό ιάστημα Στην πράξη όμως κάτι τέτοιο είναι αμφίβολο και έτσι ο ασφαλιστής ενιαφέρεται να μελετήσει την πιθανότητα χρεοκοπίας σε ψ t και ορίζεται από τη σχέση πεπερασμένο χρόνο η οποία συμβολίζεται ως ψ t PU τ για κάποιο τ t Ισχύει ότι η ψ t είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς t και φθίνουσα ως προς και ότι lm ψ t ψ t Στη συνέχεια θα μελετήσουμε την πιθανότητα να μη συμβεί χρεοκοπία (probablty of rvval) όταν το αρχικό αποθεματικό είναι ΟΡΙΣΜΟΣ 213 Η πιθανότητα μη χρεοκοπίας (ή επιβίωσης) ορίζεται από τη σχέση H σε αντίθεση με την ψ P T U PU t t ψ είναι αύξουσα συνάρτηση ως προς και lm Για τη μελέτη των πιθανοτήτων χρεοκοπίας και επιβίωσης θα είξουμε ότι και οι ύο ικανοποιούν ολοκληρο-ιαφορικές εξισώσεις 21

ΠΡΟΤΑΣΗ 24 Στο κλασικό μοντέλο η πιθανότητα μη χρεοκοπίας παρακάτω ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση ικανοποιεί την Ενώ η πιθανότητα χρεοκοπίας λ x f x dx c (26) ψ την λ λ ψ ψ ψ x f xdx F c (27) c ΑΠΟΔΕΙΞΗ Αν η στοχαστική ιαικασία πλεονάσματος έχει την ανανεωτική ιιότητα τότε η πιθανότητα μη χρεοκοπίας μπορεί να εκφραστεί ως η πιθανότητα μη χρεοκοπίας όταν επέλθει η πρώτη απαίτηση και στη συνέχεια η πιθανότητα μη χρεοκοπίας λαμβάνοντας υπόψιν το πλεόνασμα που απομένει μετά την πρώτη απαίτηση Έστω t η χρονική στιγμή εμφάνισης του πρώτου ζημιογόνου ενεχομένου και x το ύψος της αντίστοιχης αποζημίωσης και έστω ότι εν έχουμε χρεοκοπία από αυτή την αποζημίωση (συνεπώς το πλεόνασμα ct πρέπει να είναι μεγαλύτερο από το ύψος x της αποζημίωσης) Στη συνέχεια θέλουμε να μη συμβεί χρεοκοπία με αρχικό αποθεματικό ct x Έτσι από το νόμο ολικής πιθανότητας έχουμε όπου (28) ct bt ct x f xdx dt bt είναι η πυκνότητα των ενιάμεσων χρόνων στο κλασικό μοντέλο όπου η ιαικασία bt λe αποζημιώσεων είναι σύνθετη Poo έχουμε λt Τότε η (28) γίνεται (29) ct λt λe ct x f xdx dt Στην (29) θέτοντας ct άρα x ct ολοκλήρωσης από t t και συνεπώς dt d και αλλάζοντας τα όρια c c x σε έχουμε λ c λe x f x dx d c λ λ e c x f x dx d c (210) Για την παραγώγιση της σχέσης (210) χρειαζόμαστε τον παρακάτω κανόνα του Lebtz για την παραγώγιση υπό ολοκλήρωμα d d φ φ g xdx g φ φ g φ φ g xdx φ φ 22

Έτσι αν φ λ c τότε από την (210) θα είναι φ λ c g e x f x dx και g λ e x f x dx c Συνεπώς έχουμε λ λ λ x f x dx e x f x dx d c c c εώ παρατηρούμε ότι το εύτερο ολοκλήρωμα είναι η Άρα όπως προέκυψε στη σχέση (210) λ λ x f x dx c c (211) Επίσης εφόσον ψ θα είναι ψ χρεοκοπίας θα έχουμε Άρα όπου F x F x οπότε για την πιθανότητα λ λ ψ ψ ψ x f xdx c c λ λ λ λ ψ f xdx ψ xf xdx c c c c λ λ λ λ F ψ ψxf xdx c c c c λ λ λ ψ ψ ψ x f xdx F c c (212) c είναι η ουρά της κατανομής των αποζημιώσεων ΠΡΟΤΑΣΗ 25 Στο κλασικό μοντέλο η συνάρτηση όπου F x F x ικανοποιεί την εξίσωση λ xfxdx (213) c είναι η ουρά της κατανομής των αποζημιώσεων ΠΡΟΤΑΣΗ 26 Στο κλασικό μοντέλο της θεωρίας κινύνου η πιθανότητα μη χρεοκοπίας με θ μηενικό αρχικό αποθεματικό είναι ενώ η αντίστοιχη πιθανότητα χρεοκοπίας θ είναι ψ θ 23

ΑΠΟΔΕΙΞΗ Με βάση την πρόταση (25) και τη σχέση (213) γνωρίζοντας ότι έχουμε lm λ lm x F x dx c όπου παρατηρούμε ότι lm x και ότι lm προκύπτει ότι λμ c άρα και το περιθώριο ασφαλείας είναι c θ λμ c ή θ λμ λμ ή c θ Τελικά είναι έτσι F x dx F x dx μ λμ (214) c θ θ θ (215) Σχήμα 26 (Πολίτης 2012) Η πιθανότητα χρεοκοπίας με αρχικό αποθεματικό 24

Υπολογίσαμε έτσι την πιθανότητα μη χρεοκοπίας με μηενικό αρχικό αποθεματικό από την οποία μπορούμε να υπολογίσουμε και την αντίστοιχη πιθανότητα χρεοκοπίας εφόσον ψ θα είναι: θ ψ θ θ (216) Σχήμα 26 (Πολίτης 2012) Η πιθανότητα μη χρεοκοπίας με αρχικό αποθεματικό ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Εφόσον το πλήθος των κλιμακωτών υψών Κ είναι πεπερασμένο είναι εύκολο να παρατηρήσουμε ότι θ PK θ θ PKψ θ θ PK ψ θ θ θ θ και γενικά PK k ψ k θ θ γεωμετρική κατανομή k k ηλαή η K ακολουθεί τη 25

ΠΡΟΤΑΣΗ 27 Στο κλασικό μοντέλο η πιθανότητα μη χρεοκοπίας παρακάτω ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση ικανοποιεί την ενώ η πιθανότητα χρεοκοπίας την λμ λμ xdh x c c λμ λμ ψ H ψxdh x c c ΑΠΟΔΕΙΞΗ Χρησιμοποιώντας την (214) η (213) γράφεται λμ λ xfxdx c c (217) Ορίζοντας μια αθροιστική συνάρτηση κατανομής τότε η (217) παίρνει τη μορφή x F y dy H x μ Hx από τη σχέση λμ λμ xdh x c c (218) Παρατηρούμε ότι (218) είναι μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση αφού λμ c από τη συνθήκη καθαρού κέρους Από την (218) μπορούμε επίσης να βρούμε μια ανανεωτική εξίσωση για την πιθανότητα χρεοκοπίας ψ λμ λμ ψ ψ xdh x c c έτσι παίρνουμε ότι και αφού H H λμ λμ λμ ψ h x dx ψ x dh x c c c λμ λμ λμ H ψxdh x c c c λμ λμ ψ H ψ xdh x c c (219) 26

Προφανώς και η (219) είναι μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση η οποία όμως μπορεί να μετατραπεί σε κανονική αν υπάρχει ένα R τέτοιο ώστε να ισχύει ότι c θ Rx e dh x (220) λμ ή ισούναμα η σταθερά R είναι η θετική λύση της παρακάτω εξίσωσης ως προς r όπου η ροπογεννήτρια των αποζημιώσεων λcr λμχ r (221) rx rx Mx r Ee e f x dx (222) Η παραπάνω σχέση ονομάζεται εξίσωση Ldberg στο κλασικό μοντέλο και η σταθερά R ονομάζεται συντελεστής προσαρμογής Ο συντελεστής προσαρμογής εξαρτάται μόνο από τη μέση τιμή των αποζημιώσεων και το περιθώριο ασφαλείας θ και απαραίτητη προϋπόθεση για την ύπαρξή του είναι η ύπαρξη της ροπογεννήτριας της κατανομής των αποζημιώσεων Με προϋπόθεση την ύπαρξη του συντελεστή προσαρμογής η παρακάτω σχέση γνωστή ως ανισότητα του Ldberg μας ίνει ένα άνω φράγμα για την πιθανότητα χρεοκοπίας R ψ e Μια ακόμα χαρακτηριστική σχέση που ισχύει για την πιθανότητα χρεοκοπίας με την Rx προϋπόθεση ότι xe Fx dx είναι ο παρακάτω ασυμπτωτικός τύπος των Cramer-Ldberg Αυτό σημαίνει ότι R ψ Ce ψ lm R Ce καθώς για κάποιο C 27

25 Η συνάρτηση Gerber-Sh Οι Ha U Gerber και Ela SW Sh το 1998 με την εργασία τους O the tme vale of r εισήγαγαν την αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής μέσω της οποίας μπορούσαν να μελετήσουν ταυτόχρονα το χρόνο χρεοκοπίας το έλλειμμα κατά τη χρεοκοπία και το πλεόνασμα ακριβώς πριν τη χρεοκοπία μέτρα χρεοκοπίας τα οποία μέχρι τότε προσεγγίζονταν μεμονωμένα Αρχικά μοντελοποίησαν την από κοινού κατανομή του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία (rpl pror to r) και του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας (defct at r) ενώ στη συνέχεια ενσωμάτωσαν στο μοντέλο τους και το χρόνο χρεοκοπίας μέσω προεξόφλησης Στην ίια εργασία απέειξαν ότι η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση Δύο ιιαίτερα σημαντικές ποσότητες για τη μελέτη της στοχαστικής ιαικασίας του πλεονάσματος ενός χαρτοφυλακίου και κατά συνέπεια της φερεγγυότητας αυτού είναι το πώς ιαμορφώνεται το μέγεθος του πλεονάσματος ακριβώς πριν πληρωθεί η αποζημίωση που έφερε τη χρεοκοπία καθώς και το έλλειμμα που σημειώνεται αμέσως μετά τη χρεοκοπία Συγκεκριμένα ΟΡΙΣΜΟΣ 214 Συμβολίζουμε με: UT την τυχαία μεταβλητή η οποία εκφράζει το πλεόνασμα ακριβώς πριν την άφιξη της απαίτησης που μας οηγεί στη χρεοκοπία UT την τυχαία μεταβλητή που εκφράζει το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας (σε απόλυτη τιμή) ή αλλιώς η σφορότητα της χρεοκοπίας το μέγεθος ηλαή της πτώσης του πλεονάσματος κάτω από το μηέν Στο σχήμα 27 μπορούμε να ούμε το γραφικά τις ύο παραπάνω ποσότητες στο γράφημα της ιαικασίας πλεονάσματος Σχήμα 27 Η στοχαστική ιαικασία πλεονάσματος ο χρόνος χρεοκοπίας T το πλεόνασμα πριν τη χρεοκοπία UT UT και το έλλειμμα αμέσως μετά 28

ΟΡΙΣΜΟΣ 215 Για 0 και η συνάρτηση των Gerber-Sh ή αλλιώς η αναμενόμενη προεξοφλημένη συνάρτηση ποινής ορίζεται ως ακολούθως T m E e w U T U T I T U όπου η ένταση ανατοκισμού ή παράγοντας προεξόφλησης (dcot factor) ή η παράμετρος του μετασχηματισμού Laplace T ο χρόνος χρεοκοπίας ηλαή η πρώτη στιγμή κατά την οποία το πλεόνασμα γίνεται αρνητικό ή μηέν (223) UT το πλεόνασμα ακριβώς πριν τη χρεοκοπία UT το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας ή αλλιώς η σφορότητα της χρεοκοπίας w U T U T η συνάρτηση ποινής (pealty fcto) I μια είκτρια συνάρτηση η οποία επισημαίνει ότι η ποινή ασκείται μόνο στην περίπτωση που συμβαίνει χρεοκοπία Προφανώς ισχύει όπου wx y IT U αν συμβαίνει χρεοκοπία αν εν συμβαίνει χρεοκοπία t (224) m e w x y f x y t dxdydt η συνάρτηση ποινής (pealty fcto) και f x y t η από κοινού συνάρτηση κατανομής του πλεονάσματος πριν τη χρεοκοπία του ελλείμματος μετά τη χρεοκοπία και του χρόνου χρεοκοπίας Διαισθητικά η συνάρτηση Gerber-Sh μπορεί να ερμηνευθεί ως η προεξοφλημένη ποινή που ασκείται όταν συμβαίνει χρεοκοπία Από τον ορισμό της m και για ιάφορες μορφές της συνάρτησης ποινής προκύπτουν ιάφορα μέτρα χρεοκοπίας τα χαρακτηριστικότερα από αυτά θα αναφέρουμε παρακάτω: Για w UT UT χρόνου χρεοκοπίας Για w UT UT και προκύπτει ο μετασχηματισμός Laplace του T m E e I T U και προκύπτει η πιθανότητα χρεοκοπίας T m E e I T U P T U ψ 29

wu T U T I U T xi U T y κοινού προεξοφλημένη συνάρτηση κατανομής των Για χρεοκοπίας T και προκύπτει η από UT UT τη στιγμή της m E e I U T x I U T y I T U F x y κοινού συνάρτηση κατανομής των v Για w U T U T I U T x I U T y και προκύπτει η από UT UT τη στιγμή της χρεοκοπίας ηλαή η πιθανότητα να συμβεί χρεοκοπία με αρχικό αποθεματικό και το πλεόνασμα ακριβώς πριν τη χρεοκοπία να είναι το πολύ x ενώ το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας το πολύ y v Για P UT x UT y T U m E I U T x I U T y I T U F x y wu T U T I U T xi U T y κοινού προεξοφλημένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των στιγμή της χρεοκοπίας T και προκύπτει η από UT τη UT m E e I U T x I U T y I T U f x y wu T U T I U T xi U T y κοινού συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας των v Για και προκύπτει η από UT UT τη στιγμή της χρεοκοπίας ηλαή η πιθανότητα να συμβεί χρεοκοπία με αρχικό αποθεματικό και το πλεόνασμα ακριβώς πριν τη χρεοκοπία να είναι ίσο με x ενώ το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας ίσο με y P UT x UT y T U m E I U T x I U T y I T U f x y 30

προεξοφλημένη περιθώρια συνάρτηση κατανομής της UT v Για w U T U T I U T x I U T και προκύπτει η χρεοκοπίας T τη στιγμή της m E e I U T x I U T I T U F x v Για wu T UT I U T xi U T και προκύπτει η περιθώρια συνάρτηση κατανομής της UT τη στιγμή της χρεοκοπίας ηλαή η πιθανότητα να συμβεί χρεοκοπία με αρχικό αποθεματικό και το μέγεθος του πλεονάσματος ακριβώς πριν τη χρεοκοπία να είναι το πολύ x P UT x UT T U m E I U T x I U T I T U F x x Για w U T U T I U T I U T y και προκύπτει η προεξοφλημένη περιθώρια συνάρτηση κατανομής της χρεοκοπίας T UT τη στιγμή της m E e I U T I U T y I T U F y x Για w U T U T I U T I U T y και προκύπτει η περιθώρια συνάρτηση κατανομής της UT τη στιγμή της χρεοκοπίας ηλαή η πιθανότητα να συμβεί χρεοκοπία με αρχικό αποθεματικό και το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας να είναι το πολύ y P UT UT y T U m E I U T I U T y I T U F y x Για wu T UT I U T x και προκύπτει η προεξοφλημένη περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της UT τη στιγμή της χρεοκοπίας T m E e I U T x I T U f x 31

συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της UT x Για w U T U T I U T x και προκύπτει η περιθώρια τη στιγμή της χρεοκοπίας ηλαή η πιθανότητα να συμβεί χρεοκοπία με αρχικό αποθεματικό και το πλεόνασμα ακριβώς πριν τη χρεοκοπία να είναι ίσο με x m E I U T x I T U P U T x T U f x Για x w U T U T I U T y και προκύπτει η προεξοφλημένη περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της xv Για UT τη στιγμή της χρεοκοπίας T m E e I U T y I T U f y w U T U T I U T y και προκύπτει η περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της UT τη στιγμή της χρεοκοπίας ηλαή η πιθανότητα να συμβεί χρεοκοπία με αρχικό αποθεματικό και το έλλειμμα τη στιγμή της χρεοκοπίας να είναι ίσο με y y m E I U T y I T U P U T y T U f xv Για k w U T U T U T και προκύπτει η ροπή k-τάξης του πλεονάσματος ακριβώς πριν τη χρεοκοπία και για k m E U T I T U k w U T U T U T και η ροπή k-τάξης του ελλείμματος τη στιγμή της χρεοκοπίας k m E U T I T U 32

251 Η ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση για τη συνάρτηση Gerber-Sh Στο πρόβλημα εύρεσης ενός αναλυτικού τύπου για τον υπολογισμό της αναμενόμενης προεξοφλημένης συνάρτησης ποινής οι Gerber-Sh απέειξαν ότι η m ικανοποιεί μια ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση τύπου Voltera Η λύση της εξίσωσης αυτής όπως θα ούμε παρακάτω γίνεται με χρήση μετασχηματισμών Laplace Τη γενική λύση της συνάρτησης Gerber-Sh έωσαν το 1999 οι L και Wllmot σε όρους της ουράς μιας σύνθετης γεωμετρικής κατανομής ΠΡΟΤΑΣΗ 28 Η συνάρτηση Gerber-Sh ικανοποιεί την παρακάτω ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση όπου γ cm λ m λ m x f x dx λγ x w x f x dx 1 Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ Από τη σχέση (224) εσμεύοντας ως προς το χρόνο t και το μέγεθος x της πρώτης απαίτησης (ηλαή T t και X x ) και αν οι ενιάμεσοι χρόνοι ακολουθούν την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ τότε με βάση το νόμο ολικής πιθανότητας έχουμε m m t x f x f t dxdt X T λt λe m t x f xdx dt (225) Για τη χρονική στιγμή t άφιξης της πρώτης απαίτησης το πλεόνασμα είναι και επομένως αν x ct x ct τότε εν εμφανίζεται χρεοκοπία τότε εμφανίζεται χρεοκοπία Ut ct x Έτσι αν x ct αφού εν εμφανίζεται χρεοκοπία τη χρονική στιγμή t η ιαικασία ανανεώνεται ξεκινώντας με αρχικό αποθεματικό ct x Ενώ αν x ct τότε η χρεοκοπία είναι βέβαιη ηλαή UT x ct Συνεπώς η (225) γίνεται IT και τότε UT ct και λt ct t t ct m λe e m ct x f x dx e w ct x ct f x dx dt ή λt ct λ t ct λ e m ct x f x dxdt λ e w ct xct f x dxdt 33

εώ θέτοντας ct που σημαίνει ότι t και κατά συνέπεια dt d και c c αλλάζοντας τα όρια ολοκλήρωσης όπως παρακάτω t c επομένως Παίρνουμε λ λ λ λ m c c e m x f xdxd e w x f xdxd c c και θέτοντας το γ w x f x dx είναι λ λ c c (226) cm λ e m x f x dxd λ e γ d Στη συνέχεια παραγωγίζουμε την (226) ως προς με τη βοήθεια του παρακάτω κανόνα του Lebtz d d φ φ φ g x dx g φ φ g φ φ g xdx φ Για να υπολογίσουμε το πρώτο κομμάτι θέτουμε λ g e c m x f x dx και συνεπώς θα είναι d d λ e m x f x dx g g d λ λ c m x f xdx e m x f xdxd c c Για το εύτερο κομμάτι της (219) θέτοντας λ c η g e γ d παράγωγος είναι λ d d e c γd g d d d g g d λ λ γ c e γd c 34

Καταλήγουμε έτσι στην παράγωγο της σχέσης (226) ή λ λ cm c λ m x f xdx e m x f xdxd c λ λ λ γ c e γ d c ή λ λ λ λ cm λ e m x f x dxd e γ d c c c c λγ m x f x dx cm λ m λ m x f x dx λγ (227) Η σχέση (227) είναι η ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση που μας ενιαφέρει 2 Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ Εναλλακτικά για να κατανοήσουμε τη συνάρτηση των Gerber-Sh θα μπορούσαμε να σκεφτούμε ως εξής: Έστω ένα μικρό απειροστό ιάστημα μήκους dt τότε αφού οι ενιάμεσοι χρόνοι άφιξής των απαιτήσεων είναι εκθετικά κατανεμημένοι με παράμετρο λ και συνεπώς η στοχαστική ιαικασία του πλήθους των αποζημιώσεων ακολουθεί τη ιαικασία Poo θα είναι: Αν στο ιάστημα μήκους dt εν έχουμε ζημιογόνο ενεχόμενο η m ανανεώνεται με αρχικό αποθεματικό cdt και έτσι θα είναι λdt m cdt Αν στο ιάστημα αυτό έχουμε ένα ζημιογόνο ενεχόμενο τότε αν το ύψος της αποζημίωσης είναι x cdt εν έχουμε χρεοκοπία και η ιαικασία ανανεώνεται με αρχικό αποθεματικό cdt x και έχουμε cdt ενώ αν το ύψος της αποζημίωσης είναι λdt m cdt x f x dx x cdt τότε έχουμε χρεοκοπία οπότε επιβάλλεται η συνάρτηση ποινής και έχουμε λdt cdt Τελικά με προεξόφληση έχουμε w cdt x cdt f x dx dt cdt m e λdt m cdt λdt m cdt x f x λdt w cdt x cdt f x o dt (228) cdt 35

ox όπου ox : lm ηλαή στη ική μας περίπτωση μια συνάρτηση του dt που τείνει x x στο μηέν πιο γρήγορα από το dt Με ανάπτυγμα σειράς Taylor έχουμε: Αν εν συμβεί ζημιογόνο ενεχόμενο στο απειροστό ιάστημα dt λdt dt λdt odtλdt dt λ dt odt dt e λdt dt o dt λdt Ενώ αν συμβεί dt e λdt dt o dt λdt λdt λ dt o dt λdt λdt o dt Έτσι η σχέση (228) γίνεται cdt m λ dt m cdt λ m cdt x f x dx odt w cdt x cdt f x dx cdt Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί και ως m m cdt cdt c λ m cdt λ m cdt x f x dx cdt cdt λ w cdt x f x dx o dt Συνεπώς cdt λ wcdt x cdt f xdx odt cdt cm λ m cdt λ m cdt x f x dx Οπότε για dt και θέτοντας γ (229) w x f x dx καταλήγουμε στη σχέση (227) που αποείξαμε παραπάνω 36

252 Η ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση για την πιθανότητα χρεοκοπίας ως ειική περίπτωση της Gerber-Sh Όπως αναφέρθηκε και προηγούμενα η πιθανότητα χρεοκοπίας αποτελεί ειική w x y και Έτσι μέσω της σχέσης περίπτωση της συνάρτησης Gerber-Sh για (220) μπορούμε να βρούμε την ολοκληρο-ιαφορική εξίσωση που ικανοποιεί η πιθανότητα χρεοκοπίας και κατά συνέπεια να πάρουμε ανάλογο αποτέλεσμα για την πιθανότητα μη- w x y και χρεοκοπίας (επιβίωσης) Συγκεκριμένα από τη σχέση (220) και για έχουμε cm λm λ m x f x dx λγ (230) στην περίπτωση αυτή όμως το γ w x f x dx f x dx F x F x Τελικά για την πιθανότητα χρεοκοπίας είναι cψ λψ λ ψ x f x dx λf x 253 Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Gerber-Sh Για τη λύση της παραπάνω ολοκληρο-ιαφορικής εξίσωσης θα χρησιμοποιήσουμε μετασχηματισμούς Laplace (Laplace Traform) Αρχικά θα θυμίσουμε τον ορισμό και λίγες πληροφορίες για τους μετασχηματισμούς αυτούς ΟΡΙΣΜΟΣ 216 Έστω h(x) μια συνάρτηση που ορίζεται για x>0 Ο μετασχηματισμός Laplace της h(x) συμβολίζεται με ĥ και ορίζεται ως ˆ x h x e h x dx Αποεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Laplace ĥ μιας συνάρτησης hx υπάρχει αν η συνάρτηση είναι συνεχής (ή τμηματικά συνεχής) και α β τέτοια ώστε να ισχύει ax h x ae x β Μπορεί επίσης να αποειχτεί ότι υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ μιας συνάρτησης και του αντίστοιχου μετασχηματισμού Laplace 37

Μπορούμε έτσι να μιλάμε για το μετασχηματισμό Laplace που αντιστοιχεί σε μια συνάρτηση αλλά και για την αντίστροφη συνάρτηση που αντιστοιχεί σε ένα οθέντα μετασχηματισμό Laplace (αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace) Συνεπώς όταν γνωρίζουμε το μετασχηματισμό Laplace μιας συνάρτησης μπορούμε αντίστροφα να οηγηθούμε στον υπολογισμό της συνάρτησης Στο σημείο αυτό είναι χρήσιμο να ώσουμε τον ορισμό της συνέλιξης συναρτήσεων και το μετασχηματισμό Laplace αυτής ΟΡΙΣΜΟΣ 217 Έστω οι συναρτήσεις f και g Η συνέλιξη (covolto) των f και g είναι μια νέα συνάρτηση έστω h που συμβολίζεται με h f g και ορίζεται ως εξής: Έστω ότι οι f και g είναι συνεχείς συναρτήσεις που ορίζονται στο ιάστημα τότε x h x f g x f y g x y dy Έστω ότι οι f και g είναι ιακριτές συναρτήσεις (ακολουθίες πραγματικών αριθμών) που ορίζονται στο σύνολο τότε hx f gx f ygx y x y ΘΕΩΡΗΜΑ 23 Έστω hx f gx x η συνέλιξη των συνεχών συναρτήσεων f και g Τότε ισχύει ότι όπου h ˆ ˆ f g ˆ x x x hˆ e h x dx ˆf e f x dx gˆ e g x dx είναι οι μετασχηματισμοί Laplace των συναρτήσεων hx f x και gx x αντίστοιχα Όπως αναφέραμε και νωρίτερα το επόμενο βήμα για τη λύση της ολοκληροιαφορικής εξίσωσης (σχέση 227) είναι να βρούμε το μετασχηματισμό Laplace αυτής ΠΡΟΤΑΣΗ 29 Ο μετασχηματισμός Laplace της ολοκληρο-ιαφορικής εξίσωσης cm λm λ m x f xdx λγ ίνεται από τη σχέση ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ξεκινώντας τμηματικά έχουμε: ˆ λγ ˆ cm mˆ c λ λf mˆ e m d 38

ˆ x f e f x dx γˆ e γ d ' mˆ e m d e m e m d m e m d mˆ m είναι η συνέλιξη των Και επειή όπως είναι προφανές το ολοκλήρωμα m x f x dx συναρτήσεων m x και μετασχηματισμών Laplace των συναρτήσεων αυτών Προκύπτει έτσι ο μετασχηματισμός Laplace της (227) f x ο μετασχηματισμός Laplace θα είναι το γινόμενο των ή ˆ cm ˆ ˆ ˆ ˆ m λ m λm f λγ ˆ ˆ ˆ c λ λf m cm λγ ή mˆ ˆ λγ ˆ cm c λ λf (231) 254 Γενικευμένη εξίσωση Ldberg Ας εξετάσουμε τον παρονομαστή της σχέσης (223) Σε προηγούμενη παράγραφο είαμε ότι ο συντελεστής προσαρμογής R είναι η θετική λύση της εξίσωσης Ldberg (σχέση 214) λ cr λmx r Όπου για r η παραπάνω εξίσωση γράφεται ως λ c λmx λc λf ˆ συνεπώς και Άρα για ο παρονομαστής της (223) είναι η εξίσωση Ldberg και για το λόγο αυτό θα αποκαλούμε γενικευμένη εξίσωση Ldberg την εξίσωση ˆ c λ λf (232) 39

Θα είξουμε ότι η (232) έχει μοναική θετική ρίζα Έστω l λf ˆ όπου l λ c Τότε η (224) είναι η l λf ˆ Παρατηρούμε όμως ότι l λ ενώ λf ˆ λ άρα αφού l λf ˆ η κλίση της l είναι αρνητική Επίσης παραγωγίζοντας την λf ˆ παίρνουμε ότι είναι φθίνουσα ως προς Όπως φαίνεται και στο παρακάτω σχήμα λοιπόν η (231) έχει μοναική θετική ρίζα έστω ρ Σχήμα 28 Οι λύσεις της γενικευμένης εξίσωσης Ldberg Στόχος είναι να βρούμε την στη σχέση (230) m για το σκοπό αυτό θα συνεχίσουμε να ουλεύουμε πάνω ΠΡΟΤΑΣΗ 210 Ο μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης Gerber-Sh για ρ να είναι η μοναική θετική ρίζα της εξίσωσης Ldberg μπορεί να γραφεί και ως: γˆ ρ γˆ λ ˆ ρ m ˆf ρ ˆf c λ ρ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Έστω A cm ˆ λγ και B c λ λf ˆ mˆ και ρ η μοναική θετική ρίζα της είναι και εφόσον B τότε θα είναι και ρίζα της A Έτσι θα 40

ή ή Όμως ισχύει έτσι το ˆ ˆ B B B ρ c λ λf cρ λ λf ρ ˆ ˆ B c ρ λ f ρ f ˆf ρ ˆf B ρc λ ρ cm λγˆ ρ Aρ που συνεπάγεται ότι άρα cm λγˆ ρ A γράφεται γˆ ρ γˆ A λγˆ ρ λγˆ λρ ρ (233) και (234) Από τις (233) (234) και (231) παίρνουμε mˆ γˆ ρ γˆ λρ ρ ˆf ρ ˆf ρ c λ ρ ή mˆ γˆ ρ γˆ λ ρ ˆf ρ ˆf c λ ρ (235) 255 Τελεστής των Dcko-Hpp Στο σημείο αυτό θα ώσουμε τον ορισμό ενός τελεστή ο οποίος θα μας βοηθήσει να προχωρήσουμε παρακάτω ΟΡΙΣΜΟΣ 218 Έστω Dcko-Hpp συμβολίζεται με r fx μια ολοκληρώσιμη συνάρτηση και r Τότε ο τελεστής T f x και ορίζεται ως r ryx ry x T f x e f y dy e f y x dy ΛΗΜΜΑ 21 (ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ DICKSON-HIPP) Έστω T f x ο τελεστής Dcko-Hpp μιας ολοκληρώσιμης συνάρτησης ry T f e f ydy ˆf r r r fx Τότε ισχύουν τα παρακάτω: 41

^ ˆ f ˆ f r Tr f r r ^ κάτι που προκύπτει από τα παρακάτω x x ry x r x T f e T f x dx e e f y dydx x x y και με αλλαγή των ορίων ολοκλήρωσης από σε x y y έχουμε ^ y y r x Tr f e e f y dx dy e f y e dx dy x ryx ry r y ry e y ry e f y dy e f ydy e f ydy r r ˆf ˆf r r 256 Η ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση της συνάρτησης των Gerber-Sh Η σχέση (234) με χρήση της ιιότητας () του τελεστή Dcko-Hpp γράφεται ή ισούναμα mˆ ^ ρ ^ λtργ c λt f (236) ˆ cmˆ λm T f λt γ ρ ρ ^ ^ Με χρήση αντίστροφων μετασχηματισμών Laplace παίρνουμε λ λ m m xtρ f xdx Tρ γ c c (237) λ T ρ f x τότε c Θέτοντας z x ^ ˆ ˆ ˆ λ λ λ f f ρ λ f ρ z x dx Tρf x dx Tρf (238) c c c ρ c ρ 42

Επειή από την εξίσωση Ldberg σχέση (238) γίνεται λcρ λf ˆ ρ συνεπάγεται λ ˆ f ρ cρ η cρ zx dx (239) cρ cρ Θέτουμε επίσης zx dx ξ ξ και G cρ z x dx z x dx είναι συνάρτηση κατανομής και έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας την g G z z x dx Συνεπώς G ξ zxdx και g ξz ρ Τότε ηg Έτσι η σχέση (237) γίνεται λ m m xzxdx Tργ c λ m xξ zxdx ξ T γ ξ ξ c λ ρ έχουμε c m m xg xdx H ξ (240) ξ Θέτοντας τώρα H ξ T γ Άρα σύμφωνα με τον ορισμό (25) είξαμε ότι η συνάρτηση των Gerber-Sh ικανοποιεί μια ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση αφού και η g είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ξ ΛΗΜΜΑ 22 Ισχύει ξ θ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω ότι ρ ρ τότε lm lm lm ξ ξ cρ cρ όπου εφαρμόζοντας κανόνα De L Hoptal είναι ξ c lm ρ cρ (241) 43

ˆ Όμως λ cρ λf ρ cρ λρ ˆf ρ και για =0 είναι cρ λρ ˆf ρ και παραγωγίζοντας ως προς έχουμε και εφόσον ρ και ˆ x f xe f xdx θα έχω cρ λρ ˆf λρ EX ρ και από τον ορισμό του περιθωρίου ασφαλείας η σχέση (233) και λύνοντας ως προς γίνεται λe X λe X ξ c θ λe X θ Ώστε είξαμε το παρακάτω άρα και ξ θ ΘΕΩΡΗΜΑ 23 Η συνάρτηση Gerber-Sh ικανοποιεί την παρακάτω ελλειμματική ανανεωτική εξίσωση: m m xg xdx H ξ (242) ξ όπου ˆ f ρ λ ξ c ρ cρ ˆ λcρ λf ρ με ξ θ ρ ρ η θετική ρίζα της εξίσωσης Ldberg λ c και g ξ T f H ξ T γ ρ λ c ρ Παρακάτω θα ώσουμε μερικά ακόμη αποτελέσματα για τη συνάρτηση κατανομής τη εξιά ουρά της βοηθήσουν στη συνέχεια G και τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας G g τα οποία θα μας Θα ξεκινήσουμε με το μετασχηματισμό Laplace της εξιάς ουράς της κατανομής των αποζημιώσεων ^ x x F e F xdx e F xdx x x e F x e F xdx x (243) ˆ x f e f xdx Από τη (230) παίρνουμε ^ λ ˆf ρ λ zxdx F ρ ξ c ρ c 44