. Introdución. Mtrices: definición. Tipos de Mtrices. Opercións cos mtrices. Sum de mtrices. Diferenz de mtrices Mtrices. Produto dun número por unh mtriz. Produto de mtrices. Produto de mtrices cdrds. Mtriz invers. Cálculo d mtriz invers.. Aplicndo definición.. Aplicndo o método de Guss. Apliccións d mtriz invers: Ecucións mtriciis. As mtrices n resolución de problems. Introdución Son moits s ctividde ns que é conveniente dispoñer ds informcións numérics ordends en tábos de dobre entrd. Ests disposicións rectngulres de dtos numéricos fcilitn sú lectur, interpretción e nálise e dn pé o concepto mtemático de mtriz, sú utilidde v moito más lá dunh mer disposición de números, como se verá o longo do trimestre.. Mtrices: definición Chámse mtriz de orde m x n unh disposición en tábo rectngulr de m x n números reis dispostos en m fils e n columns. A m m m n n n mn ( ij ) Aos números reis ij chámselles elementos d mtriz. O primeiro subíndice i indic fil e o segundo j column n que se top o elemento ij. Por exemplo, o elemento tópse n terceir fil e segund column. O número de fils e de columns é dimensión d mtriz e desígnse sí: m x n. Se m n, fils igul columns, trátse dunh mtriz cdrd de orde n. As mtrices represéntnse sí: A ( ij ), B (b ij ), etc.
Dd mtriz A ( ij ) 8 cl é sú dimensión? E cles son os vlores de e É unh mtriz de dimensión x (tres fils e ctro columns) e os vlores son:, Iguldde de mtrices Dús mtrices A e B son iguis se teñen mesm dimensión (ou mesm orde, se son cdrds) e demis son iguis todos os elementos que ocupn o mesmo lugr. As mtrices A c e d 9 b e B d c serán iguis se, b,. Tipos de Mtrices Mtriz rectngulr é quel mtriz n que o número de fils é distinto o de columns m n. Mtriz cdrd é quel n que o número de fils é igul o de columns m n. s Mtriz rectngulr: A 9 Mtriz cdrd: B 8 Nunh mtriz cdrd chámse digonl principl o conxunto dos elementos d form ii. N mtriz B, do exemplo nterior, digonl principl fórmn os elementos:,, 8. Nunh mtriz cdrd chámse digonl secundri o conxunto dos elementos ij con i + j n +. N mtriz B, do exemplo nterior, digonl secundri fórmn os elementos:,, ; os seus subíndices sumn.
Mtriz fil é unh mtriz que ten unh fil; polo tnto, de dimensión x n. Mtriz column é unh mtriz que ten unh column; polo tnto, de dimensión m x. s A ( ) é unh mtriz fil de dimensión x. B é unh mtriz column de dimensión x. Mtriz opost dunh mtriz A é quel que ten por elementos os opostos de A. Represéntse por A. Dd mtriz A sú opost é mtriz A Mtriz trspost dunh mtriz A é quel que result o escribir s fils de A como columns; e represéntse por A t Dd mtriz A 8 sú trspost é A t ( ) 8 Mtriz simétric é unh mtriz cdrd que coincide co sú trspost, A A t ou ben ij ji. Mtriz ntisimétric é unh mtriz cdrd onde sú trspost coincide co sú negtiv, A A t ou ben ij ji As mtrices A e B 9 son mtrices simétrics.. E s mtrices A e B son mtrices ntisimétrics
Os elementos d digonl principl dunh mtriz ntisimétric cumpren ii ii ; é dicir, son números que coinciden cos seus opostos, polo tnto nulos. Mtriz nul é que ten todos os seus elementos nulos. Denotrse por O () Mtriz digonl é unh mtriz cdrd que ten nulos todos os elementos que non pertencen á digonl principl. Mtriz esclr é unh mtriz digonl n que todos os elementos d digonl son iguis. Mtriz unidde ou identidde é unh mtriz esclr n que os elementos d digonl principl son uns. Mtriz tringulr é unh mtriz cdrd n que todos os elementos situdos por debixo (ou por encim) d digonl principl son cero. s As seguintes mtrices son nuls: O e O x As seguintes mtrices son digonis: A e B As seguintes mtrices son esclres: A e B s As mtrices I e I son mtrices identidde de orde dús e tres respectivmente. As mtrices A e B 8 son mtrices tringulres.
. Opercións cos mtrices Ao conxunto de tods s mtrices de dimensión m x n desígnselle por M mxn. Ns mtrices deste conxunto definense s opercións de sumr e restr.. Sum de mtrices Dds dús mtrices do conxunto M mxn A ( ij ) e B (b ij ), chámse sum de mbs á mtriz C (c ij ) d mesm dimensión cuxo termo xenérico é c ij ij + b ij. A sum de mtrices desígnse A + B ( ij + b ij ) Dds s mtrices A e B de orde x, clculr A + B A + B + 8 A sum de mtrices ( ij + b ij ) obtense o sumr os elementos que ocupn o mesmo lugr nunh e noutr mtriz. Propieddes d sum Asocitiv. Clquer que sexn s mtrices A, B e C de M mxn cúmprese iguldde (A + B) + C A + (B + C) Existenci d mtriz nul en M mxn. A mtriz O () é tl que A + O A Existenci d mtriz opost. Dd mtriz A de M mxn existe mtriz opost A d mesm orde, de modo que A + ( A) O Conmuttiv. Pr todo pr de mtrices A e B de M mxn cúmprese iguldde A + B B + A. Diferenz de mtrices A diferenz de mtrices A e B do conxunto M mxn represéntse por A B e obtense sumndo o minuendo o oposto do subtrendo; é dicir, A B A + ( B) Dds s mtrices A e B de orde x, clculr A B. A B 9 A diferenz de mtrices ( ij ) (b ij ) ( ij b ij ) obtense o restr elementos que ocupn o mesmo lugr nunh e noutr mtriz.
. Produto dun número por unh mtriz Clquer que sexn o número rel k e mtriz A ( ij ) do conxunto M mxn, chámse produto de k por A, á mtriz B (b ij ) d mesm dimensión que A e cuxo termo xenérico é b ij k ij. O produto dun número por unh mtriz k( ij ) obtense o multiplicr por k cd elemento de A ( ij ). Dd mtriz A k A de orde x, clculr k A Propieddes do produto dun número por unh mtriz Clquer que sexn s mtrices A e B do conxunto M mxn e os números reis λ e μ, verifícse: Distributiv respecto d sum de mtrices: λ(a + B) λa + λb Distributiv respecto d sum de esclres: (λ + μ)a λa + μa Asocitiv respecto dos esclres: λ(μa) (λμ)a Elemento unidde: A A. Produto de mtrices Pr multiplicr mtrices, s mtrices fctores deben reunir lgúns requisitos que se describirán neste prtdo. ) Produto dunh mtriz fil por unh mtriz column Sexn A unh mtriz cunh fil e n columns e B unh mtriz con n fils e unh b b column: A n e B b n O produto d mtriz fil A con n columns pol mtriz column B con n fils é mtriz C A B cunh fil e unh column; é dicir, un número c b + b + + n b n. Polo tnto, A B C (c) i n i b i Hi que fcer notr que, pr poder multiplicr A e B, o número de columns do primeiro fctor A debe ser igul o número de fils do segundo fctor B.
Sexn A unh mtriz cunh fil e columns e B con fils e unh column. Achr mtriz produto. unh mtriz A B ( + + ( )) O resultdo é unh mtriz de orde x ; polo tnto, un número. Regr: Obsérvse que pr relizr o produto déixse cer mtriz fil A n mtriz column B; multiplícnse os elementos enfrontdos e súmnse os resultdos. b) Produto de dús mtrices clquer Sexn A unh mtriz do conxunto M mxn, e B unh mtriz do conxunto M nxp ; s columns de A coinciden cos fils de B (neste cso n). O produto de mtrices A do conxunto M mxn e B do conxunto M nxp é outr mtriz C do conxunto M mxp con m fils (s do primeiro fctor A) e p columns (s do segundo fctor B), cuxos elementos se clculn sí: O elemento cij d mtriz produto C é o resultdo de multiplicr fil i d mtriz A pol column j d mtriz B considerds mbs como mtrices fil e column respectivmente. A expresión do elemento c ij d mtriz produto C será: c ij i i in b j b k j ( i b j + i b j + + in b nj ) k bnj n ik b kj Dds s mtrices A e B : ) Indicr dimensión d mtriz produto. b) Clculr A B
8 Propieddes do produto de mtrices O produto de mtrices non é en xerl conmuttivo; é dicir, A B B A O produto de mtrices ten s propieddes seguintes: Asocitiv. Clquer que sexn s mtrices A, B, C nos csos que se poidn multiplicr s tres mtrices verific se que: (A B) C A (B C) Distributiv respecto d sum: A (B + C) A B + A C Sex A e B dús mtrices tles que existe o seu produto entón verifícse: (AB) t B t A t ) A dimensión de A é x. A dimensión de B é x. Como o número de columns de A, tres, coincide co de fils de B, s mtrices pódense multiplicr e demis dimensión d mtriz produto é x ; isto é, número de fils do primeiro fctor e número de columns do segundo fctor. b) As notcións que se empregron no desenvolvemento do produto de mtrices pódense simplificr, medinte seguinte regr. Regr: Os elementos d mtriz produto obtéñense o deixr cer os elementos ds fils d mtriz primeiro fctor sobre s columns d mtriz segundo fctor; multiplicr os elementos que quedron enfrontdos e finlmente sumlos. A B 8 s Sexn s mtrices A x e B x reliz A B e B A A x B x Pero neste cso non se pode fcer B A
9. Produto de mtrices cdrds O produto de mtrices cdrds merece tención especil posto que s mtrices cdrds do conxunto M nxn, ou de orde n, multiplícnse entre si e o resultdo é unh mtriz do conxunto M nxn, ou de orde n. En cnto ás propieddes é evidente que seguen conservndo s propieddes socitiv do produto e distributiv do produto respecto d sum, pero débense destcr outrs propieddes. En cnto á propiedde conmuttiv sempre é posible o dobre produto A B e B A, pero en xerl o resultdo será diferente, como se indic no seguinte exemplo. Sexn s mtrices A x e B x, reliz A B e B A A x B x 8 B x A x 8 Sexn A e B clcul A B e B A. Comprob que o produto dnos unh mtriz do mesmo orde que s iniciis. A B 8 e B A ; obsérvse que A B B A A mtriz produto ten orde dús.
O produto de mtrices cdrds posúe elemento unidde e é mtriz identidde I n ; se A é unh mtriz cdrd de orde n, tense: I n A A I n A A mtriz unidde de orde dús será: I Potencis de mtrices cdrds Como se viu, o produto de dús mtrices cdrds é outr do mesm orde; isto fi que unh mtriz póidse repetir como fctor cnts veces precísese, dndo lugr ás potencis de mtrices, sí: A A A ; A A A A ;... ; A A... n veces... A A n Dd mtriz A ( ) A, A clcul e top unh expresión pr A n A A A ( ) ( ) ( ) A A A A ( ) ( ) ( ) ( ) Podemos comprobr que o temo de cd potenci é o produto de dous pol potenci que fgmos d mtriz, isto é n. Obtemos que mtriz n-sim A n ( n ). Mtriz invers Dd unh mtriz cdrd A de orde n, non sempre existe outr mtriz B chmd mtriz invers de A, tl que A B B A I n Cndo existe mtriz B, dise que é mtriz invers de A e represéntse A ; é dicir, A A A A I n As mtrices cdrds que teñen invers chmáselles mtrices regulres. As mtrices cdrds que non teñen invers chámnse mtrices singulres.. Cálculo d mtriz invers.. Aplicndo definición Pr clculr mtriz invers dunh mtriz dd tendo en cont definición teremos que resolver unh iguldde entre mtrices A X I e obteremos un sistem que s sbemos resolver de cursos nteriores.
.. Aplicndo o método de Guss No método de Guss pr o cálculo d mtriz invers de A, cndo exist, pártese d mtriz (A I n ) e medinte s trnsformcións que se indicn continución chégse á mtriz( I n B ) ; entón mtriz B A é invers de A. As trnsformcións que se poden plicr son s seguintes: Cmbir s fils de lugr. Multiplicr unh fil por un número distinto de cero. Sumr unh fil outr multiplicd por un número. Dd mtriz cdrd de orde dús A, clculr sú invers. Temos que clculr unh mtriz u z y x que cumpr: u z y x Efectúse o produto: u y z x u y z x A iguldde dos dous termos dá lugr os sistems: z x z x e u y u y As solucións dos sistems son: x, z, y, u A mtriz invers será A Clcul invers d mtriz M e comprobr o resultdo. Engádeselle á mtriz M mtriz unidde, sí: (M I) F F ª ª F F ª ª F ª F F ª ª A mtriz invers é M Comprobción:
. Apliccións d mtriz invers: Ecucións mtriciis As opercións cos mtrices e en prticulr o cálculo d mtriz invers permiten resolver situcións problemátics ns que precen mtrices. Ests situcións chámnse ecucións mtriciis; resólvense cos mesmos principios que s ecucións con coeficientes e vribles de números reis, tendo en cont lgunhs ds seguintes considercións: Algunhs mtrices non teñen invers. O produto de mtrices non é conmuttivo; polo que á hor de multiplicr os dous membros dunh iguldde débese ter en cont que multiplicción se fi ben pol esquerd ou ben pol dereit en mbos os membros d iguldde. No cso de ecucións mtriciis que se reducen á form A X B ou X A B e A ten invers; incógnit X clcúlse respectivmente multiplicndo pol esquerd ou pol dereit por A os dous membros d iguldde. N ecución A X B, multiplícnse pol esquerd os dous membros por A : A (A X) A B (A A) X A B I X A B X A B N ecución X A B, multiplícnse pol dereit os dous membros por A : (X A) A B A X (A A ) B A X I B A X B A Resolver ecución mtricil A X + B C, A, B e C Se despexmos mtriz X: A X + B C A X C B A (A X) A (C B) X A (C B) Clcúlse invers de A polo método de Guss: F F ª ª ) :( ª F F F ª ª Logo A ou A Substitúense s vribles polos seus vlores e opérse: X
Ás veces o problem consiste en determinr lgúns elementos dunh ou vris mtrices que figurn nunh ecución mtricil. Dd mtriz A iguldde: A t A y x x, determinr os vlores de x, y e z pr que se verifique z y x z y z Multiplícnse s mtrices e iguálnse s mtrices dos dous membros: x y x z y z y x yz x yz x z y x yz x yz x z y 9 x yz x z D primeir ecución y ±. Se y o sistem x z x z ten como solucións z, x e z, x Se y o sistem x z x z ten como solucións z, x e z, x As terns (x, y, z) que verificn ecución mtricil son: (,, ), (,, ), (,, ) e (,, ). As mtrices n resolución de problems As mtrices precen con frecuenci ns ciencis que trblln con dtos ordendos, como é o cso ds Ciencis Físics, Económics e Sociis. A continución preséntnse lgunhs situcións ns que s mtrices son de utilidde. As mtrices de informción permiten resumir informcións diverss; entre outrs poden estr ligds grfos. Os resultdos dlgunhs opercións entre mtrices socids grfos trnsmiten novs informcións, sobre s situcións que o grfo describe.
An, Xulio, Nereid e Rmón comunícnse trvés de Internet como se indic no seguinte grfo: A mtriz socid o grfo o signr o número á frech do que prte o que cheg será seguinte: R N X A ( ) Desígnse por G mtriz do grfo. Clcúlse G G G O elemento d mtriz G indic que se comunic con A de dús forms diferentes trvés doutro; ests son A N A e A R A. O elemento signific que N non pode comunicrse con X trvés doutro. O elemento signific que X pódese comunicr con N trvés doutro: X A N. A mtriz G indic s forms de comunicrse cd perso con outr trvés doutrs dús. G G G. Por exemplo, o elemento inform que An e Nereid pódense comunicr de tres forms trvés doutros dous internuts: A R A N, A N R N e A N A N. Trducir informción do grfo nunh mtriz de informción G, clculr G e G en cd cálculo interpretr os resultdos. No grfo A represent An, X Xulio, N Nereid e R Rmón. R N X A