ài toán rotassov và ứng dụng Nguyễn Văn Linh Năm 2017 1 Giới thiệu ài toán rotassov được phát biểu như sau. ho tam giác với là tâm đường tròn nội tiếp. Một đường tròn () bất kì đi qua và. ựng một đường tròn () tiếp xúc với, và tiếp xúc trong với () tại điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ không chứa. Khi đó là phân giác của. ó thể thấy phát biểu của bài toán trên chỉ là một trong nhiều trường hợp hình vẽ. Một đường tròn có thể tiếp xúc trong hoặc ngoài với (), tiếp xúc tại một điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa hoặc không chứa. o đó bài toán rotassov còn có thể phát biểu qua một số dạng khác như các hình vẽ dưới đây. ạn đọc có thể quan sát và phán đoán đề bài. 1
a b a ác hình vẽ luôn thiên biến vạn hóa vì vậy chúng ta không nên có cái nhìn máy móc về bài toán và cho rằng chỉ có một dạng duy nhất. 2 hứng minh ách 1. rước tiên ta phát biểu một bổ đề sau. ổ đề 1. ho tứ giác nội tiếp đường tròn (), cắt tại. Gọi ω là đường tròn tiếp xúc với tia, lần lượt tại M, N và tiếp xúc trong với () tại., lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác,. Khi đó,,, N, cùng thuộc một đường tròn. 2
L K N M hứng minh. Gọi K, L lần lượt là giao của M, N với (). heo định lý Sawayama-hebault ta có nằm trên MN. Suy ra N = 90 1 =. ừ đó N,,, cùng thuộc một đường tròn. 2 Mặt khác, là tâm vị tự ngoài của ω và () nên LK MN. Suy ra N = LK = N hay N,,, cùng thuộc một đường tròn. Vậy,,, N, cùng thuộc một đường tròn. rở lại bài toán. F Gọi, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn () với,. heo bổ đề 1 ta có tứ giác F và đều nội tiếp. o đó = F = =. Vậy là phân giác của. ách 2- (ean Louis yme) (xem [5]). a chứng minh bài toán trong dạng phát biểu thứ hai như sau. ho tam giác. là điểm bất kì nằm trên. ựng một đường tròn () tiếp xúc với, và tiếp xúc ngoài với đường tròn () tại G. Khi đó phân giác của G đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. rước tiên ta phát biểu một bổ đề. 3
ổ đề 2. ho 4 điểm,,, theo thứ tự cùng nằm trên một đường thẳng. Gọi ω 1, ω 2, ω 3, ω 4 lần lượt là đường tròn bất kì qua các cặp điểm (, ), (, ), (, ), (, ). X, Y, Z, lần lượt là giao điểm thứ hai của các cặp đường tròn ω 1 và ω 2, ω 2 và ω 3, ω 3 và ω 4, ω 4 và ω 1. Khi đó X, Y, Z, cùng thuộc một đường tròn. hứng minh. Z X Y ổ đề 2 có thế chứng minh bằng một số phép cộng góc đơn giản hoặc xét phép nghịch đảo cực phương tích bất kì biến bài toán thành định lý điểm Miquel của tam giác. rở lại bài toán. M K G N Gọi K, lần lượt là tiếp điểm của () với,. (KG) cắt (G) lần thứ hai tại., lần lượt cắt K tại N, M. 4
Áp dụng định lý điểm Miquel cho tam giác KN với bộ 3 điểm K,, ta có (K) cắt (KK) tại G nên G là điểm Miquel của tam giác KN ứng với 3 điểm K,,, hay N (G). ương tự, M (KG). Gọi là giao của (MN) và (N). Áp dụng bổ đề 2 cho 4 điểm M, K,, N và 4 đường tròn (MK), (), (N), (MN) ta thu được (G ) tiếp xúc với ( 1 ). ừ đó suy ra hay tứ giác, M, N, nội tiếp. Suy ra = MK =, = N = hay là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác. a có G = M = N = G hay G là phân giác G. 3 Ứng dụng Sau đây ta xem xét một số ứng dụng của bài toán rotassov cũng như của bổ đề 1. ài 1. (M Shortlist 2002). ho tam giác. Đường tròn nội tiếp () tiếp xúc với tại. M là trung điểm của đường cao H. M lại cắt () tại N. hứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác N tiếp xúc với (). N M H K L a hứng minh. Gọi a là tâm đường tròn bàng tiếp góc của tam giác. giao tại K. N là tiếp điểm của đường tròn qua, và tiếp xúc với (). heo bài toán rotassov, N a là phân giác của N. Lại có N là phân giác của N nên N,, a thẳng hàng. a có (K a ) = 1 nên (K a ) = 1. hiếu lên đường thẳng H suy ra a đi qua trung điểm H. Vậy, a, M thẳng hàng. Vậy N là giao của M với (). Suy ra N N hay (N) tiếp xúc với (). Nhận xét. ạn đọc có thể nhận thấy trung điểm a cũng nằm trên đường tròn (N). hật vậy nếu hạ a L thì trung điểm của a nằm trên đường trung bình của tam giác L a. Mà và L đối xứng qua trung điểm nên nằm trên trung trực của. a có N là phân giác N nên nằm trên (N). Đây là một nhận xét quan trọng trong phép chứng minh bài toán 3 trong kỳ thi chọn đội tuyển M của Việt Nam năm 2017 (xem [6]). 5
ài 2. (Nguyễn Văn Linh) ho tam giác nội tiếp đường tròn (). ựng đường tròn () tiếp xúc với () tại và tiếp xúc với. iếp tuyến khác kẻ từ, tới () cắt nhau tại. cắt () lần thứ hai tại. ừ kẻ hai tiếp tuyến tới (), cắt tại G, H. hứng minh rằng (GH) tiếp xúc với (). G H t hứng minh. Gọi () là đường tròn tiếp xúc với, và tiếp xúc trong với () tại khác. Áp dụng định lý Monge- lembert cho 3 đường tròn (), (), () suy ra,, thẳng hàng. o đó. Áp dụng bài toán rotassov ta thu được là phân giác của. ừ đó G, H đẳng giác trong. Kẻ tiếp tuyến t của (). a có tg = t + G = + H = GH. Suy ra t cũng là tiếp tuyến của (GH). Vậy (GH) tiếp xúc với (). ài 3. ho tứ giác nội tiếp đường tròn (). giao tại. Một đường tròn () tiếp xúc với tia, lần lượt tại K, L và tiếp xúc trong với () tại. Gọi là tâm đường tròn nội tiếp tam giác, phân giác cắt phân giác tại. hứng minh rằng,, thẳng hàng. 6
L 2 1 K M hứng minh. Gọi 1, 2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp tam giác,. heo bổ đề 1,,,, 2, L đồng viên và,, 1, K đồng viên. Gọi M là giao của 2 và 1 thì M là điểm chính giữa cung. heo kết quả quen thuộc, M = M = M 1 = M 2. o đó,, 1, 2 đồng viên. Xét trục đẳng phương của ba đường tròn ( ), ( ), ( 2 1 ) ta có 2, 1, đồng quy tại. ài 4. ho tứ giác nội tiếp đường tròn (). giao tại. Gọi () là đường tròn tiếp xúc với tia, và tiếp xúc trong với (); () là đường tròn tiếp xúc với, và tiếp xúc trong với () tại một điểm nằm trên cung không chứa,. Khi đó (), (), () có chung một tiếp điểm. Q Z Y M N X hứng minh. Gọi là tiếp điểm của () với (), X, Y, Z lần lượt là tâm nội tiếp các tam giác,,. M, N là tiếp điểm của () với, ; MN cắt, lần lượt tại, Q. Hiển nhiên các bộ 3 điểm, Z, X;, Z, Y thẳng hàng. heo định lý Sawayama-hebault, X, Y nằm trên MN. 7
Áp dụng bổ đề 1 suy ra ZNX, ZMY nội tiếp. Suy ra Y M = = 180. a thu được Y nội tiếp. ương tự QX nội tiếp. ừ đó = Y = X = Q hay tiếp xúc với ( Q ). ương tự tiếp xúc với ( Q ). Đồng thời = Y = MZ = 1 2 = 1 nên là phân giác. Suy 2 ra ( Q) tiếp xúc với () tại. Vậy ( Q) (). a có đpcm. ài 5. (Nguyễn Văn Linh). ho tứ giác nội tiếp đường tròn (). giao tại, giao tại F. Gọi ( 1 ) là đường tròn tiếp xúc với tia, và tiếp xúc trong với (). ( 2 ) là đường tròn tiếp xúc với tia F, F và tiếp xúc ngoài với () tại một điểm trên cung không chứa,. hứng minh rằng giao của hai tiếp tuyến chung ngoài của ( 1 ) và ( 2 ) nằm trên (). F L K hứng minh. Gọi (L) là đường tròn tiếp xúc với tia, và tiếp xúc trong với () tại K., lần lượt là tiếp điểm của (), () với (). heo bài toán 6, tồn tại đường tròn ω 1 và ω 2 tiếp xúc với, và lần lượt tiếp xúc trong với () tại, K. hứng minh tương tự bài toán 6 ta cũng thu được tồn tại đường tròn ω 3 tiếp xúc với, và tiếp xúc ngoài với () tại. Áp dụng định lý Monge lembert cho 3 đường tròn (), ω 2, () suy ra F,, K thẳng hàng; cho 3 đường tròn ω 3, (L), () suy ra,, K thẳng hàng. Lại áp dụng định lý Monge lembert cho 3 đường tròn (), (), ω 1 suy ra tâm vị tự ngoài của () và () nằm trên F ; cho 3 đường tròn (), (), ω 3 suy ra tâm vị tự ngoài của () và () nằm trên. Mà F giao tại K nên K là tâm vị tự ngoài của () và (). a có đpcm. ài 6. (Nguyễn Văn Linh) ho tam giác. là một điểm bất kì trên. Gọi ( 1 ) là đường tròn tiếp xúc với, và tiếp xúc ngoài với đường tròn ngoại tiếp tam giác, ( 2 ) là đường tròn tiếp xúc với, và tiếp xúc ngoài với đường tròn ngoại tiếp tam giác. Gọi, F lần lượt là tiếp điểm của ( 1 ) và ( 2 ) với, G là tiếp điểm của ( 1 ) với (), H là tiếp điểm của ( 2 ) với (). hứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp các tam giác HF, G và đường tròn đường kính đồng quy. 8
1 G H 2 F L hứng minh. Áp dụng bổ đề 1 và dạng thứ hai của định lý rotassov ta có (G) đi qua và G là phân giác G. ương tự (HF ) đi qua và H là phân giác H. Gọi L là giao điểm thứ hai của (HF ) và (G). a có L = L + L = H + G = 1 2 ( H + G) = 1 2 ( + ) = 90. Suy ra đpcm. ài 7. ho đường tròn () ngoại tiếp tam giác. Một đường tròn ω tiếp xúc với các cạnh, lần lượt tại F, và tiếp xúc ngoài với (). hứng minh rằng F chia đôi với là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. F \ 9
hứng minh. Gọi là tiếp điểm của ω với (). heo bổ đề 1 và bài toán rotassov ta có các tứ giác, F nội tiếp và là phân giác của. Suy ra F = = 1 2 = 1 = = 2 F. 2 Suy ra tam giác F cân tại F. a thu được F = F. ương tự = suy ra F là trung trực của đoạn thẳng. ạn đọc có thể tìm thấy lời giải khác tại [7]. ài 8. (Nguyễn Văn Linh). ho tam giác, các đường cao,, F. X, Y, Z lần lượt là trung điểm của,,. Gọi a, b, c lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác F, F,. hứng minh rằng các đường tròn đường kính a X, b Y, c Z đồng quy tại một điểm nằm trên đường tròn uler của tam giác. a F e F X hứng minh. a biết rằng đường tròn nội tiếp () và đường tròn uler () của tam giác tiếp xúc nhau tại điểm Feuerbach F e. heo bài toán rotassov, F e a là phân giác của F e F. Lại có X = XF = X = X nên F e X cũng là phân giác của F e F. Vậy a F e X = 90. hứng minh tương tự suy ra ( a X), ( b Y ), ( c Z) đồng quy tại điểm Feuerbach của tam giác. ài 9. ho tam giác nội tiếp đường tròn (). iếp tuyến tại của () cắt tại. Một đường tròn () tiếp xúc với đoạn thẳng tại M, tiếp xúc với và tiếp xúc ngoài với (). hứng minh rằng M = M khi và chỉ khi = M. M 10
hứng minh. Gọi là tiếp điểm của () với (). là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. heo bổ đề 1 và bài toán rotassov ta có là phân giác và M,,, đồng viên. Khi đó M = = 1 2 = 1 2. Suy ra M = M = 1 2 ( ) = 1 2. o đó M = M khi và chỉ khi M = M hay tứ giác M nội tiếp. Điều này tương đương M = = 90 + 1 hay tam giác M cân tại. 2 Nhận xét. ó thể thấy điều kiện M là phân giác còn tương đương tam giác vuông tại. hật vậy, tứ giác M nội tiếp khi và chỉ khi M = hay 1 2 = 1 2 ( + ) = 1 2 ( + ). Điều này tương đương = 90. ài 10. ho tam giác với () là đường tròn nội tiếp. () tiếp xúc với,, lần lượt tại,, F. Đường cao H cắt đường tròn (, ) tại điểm M nằm trong tam giác. M cắt tại. hứng minh rằng đường tròn đường tròn đường kính tiếp xúc với (). N X b c t F M L H hứng minh. Gọi là giao của với. X là giao điểm thứ hai của M với (). M cắt () lần thứ hai tại N. Kẻ tiếp tuyến Mt của () suy ra Mt. a có XNM = XMt = M suy ra tứ giác XN nội tiếp. Suy ra N = X. Lại có M X = 2 = 2 nên X = M = MH = MN = NM. o đó NM = X = N, suy ra N,, thẳng hàng. o N = M và M nên = N. Suy ra = N = N = = =. Suy ra các tứ giác và lần lượt bàng tiếp các đường tròn ( b ), ( c ). o đó b c = b c = 90. Suy ra tứ giác c b nội tiếp. Gọi L là tiếp điểm của đường tròn qua, với tiếp xúc với (). heo bài toán rotassov, tồn tại vị trí của L để L b, L c là phân giác của L. Suy ra c L b = 90, do đó L,, ( b c ). 11
a có L b = L b = b = 45. Suy ra L = 90. Vậy ( ) tiếp xúc với () tại L. 4 ài tập ài 11. ho tam giác ngoại tiếp đường tròn (). () tiếp xúc với tại. Một đường tròn qua, và tiếp xúc với () tại. cắt ( ) lần thứ hai tại Q. hứng minh rằng tứ giác Q nội tiếp. ài 12. (ean Louis yme). ho tam giác ngoại tiếp đường tròn (). () tiếp xúc với tại. ựng một đường tròn qua, và tiếp xúc với () tại. cắt () lần thứ hai tại U. Gọi M là điểm chính giữa cung của ( ). hứng minh rằng M vuông góc với U. ài 13. (Nguyễn Văn Linh). ho tam giác ngoại tiếp đường tròn (, r). () tiếp xúc với, lần lượt tại, F. rên các tia, F lần lượt lấy các điểm, Q sao cho = F Q = r. ựng đường tròn () tiếp xúc với, lần lượt tại, F. hứng minh rằng () tiếp xúc với đường tròn đường kính. ài 14. (M 2016). ho tam giác nội tiếp đường tròn (). a là tâm đường tròn bàng tiếp góc. Đường cao H. M là trung điểm, N là trung điểm H. là điểm chính giữa cung của (). MN cắt tại. a cắt đường tròn -mixtilinear ω tại điểm thuộc nửa mặt phẳng bờ chứa. hứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác tiếp xúc với ω. ài 15. (Nguyễn Văn Linh). ho tam giác nhọn có () là đường tròn uler, là tâm đường tròn nội tiếp. Gọi X, Y, Z lần lượt là trung điểm,,. Qua kẻ các đường thẳng vuông góc với,, cắt () tại các điểm M, N, sao cho M, N, nằm trên các nửa mặt phẳng bờ chứa, chứa và chứa. hứng minh rằng MX, NY, Z đồng quy tại điểm Feuerbach của tam giác. ài 16. (Nguyễn Văn Linh). ho tứ giác nội tiếp đường tròn (). giao tại. Gọi () là đường tròn tiếp xúc với tia, và tiếp xúc trong với () tại X, (K) là đường tròn tiếp xúc với tia, và tiếp xúc ngoài với () tại Y. X cắt đường tròn nội tiếp tam giác tại Z, Y cắt đường tròn bàng tiếp góc của tam giác tại. Gọi, F lần lượt là tiếp điểm của đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp góc của tam giác với. hứng minh rằng Z,,, F nội tiếp một đường tròn có tâm là điểm chính giữa cung của (). ài 17. (Việt Nam S 2017). ho tam giác ngoại tiếp đường tròn (). () tiếp xúc với các cạnh,, lần lượt tại,, F. Gọi b, c lần lượt là các tâm đường tròn bàng tiếp góc, của tam giác., Q lần lượt là trung điểm b, c F. ( ) cắt tại R, (Q) cắt tại S. a) hứng minh rằng R, QS, đồng quy. b), F lần lượt cắt b c tại K,. cắt F K tại M., QF cắt ( ), (Q) lần lượt tại X, Y. hứng minh rằng Y, X, M đồng quy. ài 18. (Nguyễn Văn Linh) ho tam giác. ựng một đường tròn () qua và, () cắt, lần lượt tại,. Gọi ω là đường tròn tiếp xúc với các tia, và tiếp xúc trong với () tại X. Y là điểm bất kì nằm trên (). Gọi ω 1 và ω 2 lần lượt là các đường tròn tiếp xúc với các cặp đường thẳng Y, và Y,, đồng thời cùng tiếp xúc trong với () sao cho chúng nằm ngoài tam giác Y. ω 1 giao tại N, ω 2 giao tại M. hứng minh rằng X, Y, N, M đồng viên. 12
ài liệu [1] os topic MG is it mixtilinear again?!. https://artofproblemsolving.com/community/q1h1359250p7445257 [2] os topic angent circles. https://artofproblemsolving.com/community/c6h367279 [3] os topic angent circles. https://artofproblemsolving.com/community/c6h345684p2666282 [4] os topic n interestig perpendicularity (own). https://artofproblemsolving.com/community/c6h368888p2031835 item os topic geometry. https://artofproblemsolving.com/community/c6h296243p1642691 [5] ean Louis yme, Un remarquable resultat de Vladimir rotassov, Geometry blog. http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/vol2.html [6] Nguyễn Văn Linh, Lời giải bài toán số 3 trong kì thi chọn đội tuyển M của Việt Nam năm 2017, uclidean Geometry log. https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2017/03/25/proof-of-vietnam-tst-2017/ [7] Nguyễn Văn Linh, Đường tròn mixtilinear, uclidean Geometry log. https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2013/11/23/mixtilinear-circles/ mail: Nguyenvanlinhkhtn@gmail.com 13