Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός

Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία (και μόνο) μία αριθμητική τιμή δίδεται σε κάθε αποτέλεσμα. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( )

Ω αποτελέσματα Ω Χ μετρούμενος χώρος Οι τυχαίες μεταβλητές περιγράφουν μετρούμενες ποσότητες ενός τυχαίου πειράματος. Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ : μία συνάρτηση Ω -> R P(X=) = P(ζ Ω : X(ζ)=) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 2 )

Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) Cumulative desity uctio (cd) Έστω τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) X ορισμένη στο Ω X = { } Ορίζουμε την αθροιστική συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) ως: F PX PX, Η σ.κ.π. F() υπολογίζει την αθροιστική πιθανότητα του διαστήματος τιμών της μεταβλητής (-, ]. Χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό της πιθανότητας οποιουδήποτε διαστήματος τιμών της μεταβλητής. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 3 )

Ιδιότητες σ.κ.π. F PX PX, (). 0 F() (2). lim F lim F 0 (3). αν < 2 τότε F( ) F( 2 ) (4). (5). (6). F limf h F( ) Αν P h0 X b F( b Fa a b P a ) X a F a F a (7). P(X>) = - P(X ) = -F() Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 4 )

Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Χ είναι διακριτή εάν το σύνολο τιμών της είναι πεπερασμένο ή το πολύ απείρως αριθμήσιμο. Ω X = {, 2,, } Η μεταβλητή έχει ποσό πιθανότητας μόνο πάνω στις τιμές PX : 0 PX : 0 P() Ισχύει ότι: 0 i P X i 2 3 4 - Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 5 )

Διακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Η σ.κ.π. F() = P( X ) είναι μη φθίνουσα, δεξιά συνεχής και κλιμακωτή με άλματα στις τιμές της μεταβλητής. F() P(X= )=F(X= ) - F(X= - ) P(X= 3 ) =F( 3 ) - F( 2 ) P(X= )=F( ) P(X= 2 )=F( 2 ) F( ) 0 2 3 4 - Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 6 )

Η συνάρτηση πυκνότητας (ή μάζας) πιθανότητας (probability desity (or mass) uctio pd) Το σύνολο πιθανοτήτων των τιμών μιας διακριτής τ.μ. Χ ορίζει μία συνάρτηση: X,,, ( ) P 2 X που ονομάζεται συνάρτηση πυκνότητας (ή μάζας) πιθανότητας (σ.π.π.) Ισχύουν: ( ) 0 X i i Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 7 )

Σχέση συνάρτησης κατανομής (σ.κ.π.) F() και πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) () σε διακριτούς χώρους Η σ.κ.π. F() είναι το άθροισμα όλων των τιμών της σ.π.π. ( i ) για τιμές μικρότερες τιμές του ( i ) : F PX PX i i Η τιμή της σ.π.π. ( i ) σε ένα σημείο i είναι το άλμα της σ.κ.π. F() στο σημείο αυτό: i i PX F F i i i i Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 8 )

Παράδειγμα Έστω πείραμα τύχης ρίψης 2 ζαριών και έστω ζ και ζ 2 τα αντίστοιχα αποτελέσματα. Μελετήστε τις επόμενες μεταβλητές: α) X = ma(ζ, ζ 2 ), β) Υ = mi(ζ, ζ 2 ), γ) Z = ζ - ζ 2 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 9 )

Παράδειγμα 2 Δίνεται τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πυκνότητας: ()=c/ 2, =, 2,. α) Να βρείτε την τιμή της σταθεράς c, β) Να υπολογίσετε την πιθανότητα P( X > 4 ) γ) Να υπολογίσετε την πιθανότητα P( 6 X 8 ) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 0 )

Ειδικές κατανομές διακριτών τ.μ. Γνωστές κατανομές διακριτών τυχαίων μεταβλητών που περιγράφουν μεταβλητές του φυσικού κόσμου. Ομοιόμορφη (Uiorm) (U) Beroulli (Beroulli) Διωνυμική (Biomial) (Bi) Αρνητική Διωνυμική (Negative Biomial) (Nb) Γεωμετρική (Geometrical) (G) Poisso (P). Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( )

() Ομοιόμορφη (Uiorm) κατανομή Υπόθεση: όλες οι τιμές της τυχαίας μεταβλητής είναι ισοπίθανες, (π.χ. ρίψη ζαριού ή νομίσματος). Συμβολίζουμε ως X ~ U() Σύνολο τιμών της μεταβλητής: Ω X = {, 2,, } ή Ω X = {, 2,, } Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 2 )

() Ομοιόμορφη (Uiorm) κατανομή (συν.) σ.π.π. 2 3. Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.) PX, i,, i i Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 3 )

() Ομοιόμορφη (Uiorm) κατανομή (συν.) σ.κ.π. Συνάρτηση κατανομής πιθανότητας (σ.κ.π.) F P X i 2 3. i 0 Μόνο σε περίπτωση που οι τιμές της μεταβλητής είναι {, 2, 3,, } ακέραιο μέρος του Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 4 )

(2) Beroulli κατανομή, X~Beroulli(ρ) Beroulli πείραμα ή δοκιμή: τυχαίο πείραμα το αποτέλεσμα του οποίου είναι δυαδικό: επιτυχία () με πιθανότητα P(X=) = ρ και αποτυχία (0) με πιθανότητα P(X=0) = -ρ. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 5 )

(2) Beroulli κατανομή, X~Beroulli(ρ) Beroulli πείραμα ή δοκιμή: τυχαίο πείραμα το αποτέλεσμα του οποίου είναι δυαδικό: επιτυχία () με πιθανότητα P(X=) = ρ και αποτυχία (0) με πιθανότητα P(X=0) = -ρ. Σύνολο τιμών της μεταβλητής Ω X = {0,} Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 6 )

(2) Beroulli κατανομή, X~Beroulli(ρ) Beroulli πείραμα ή δοκιμή: τυχαίο πείραμα το αποτέλεσμα του οποίου είναι δυαδικό: επιτυχία () με πιθανότητα P(X=) = ρ και αποτυχία (0) με πιθανότητα P(X=0) = -ρ. Σύνολο τιμών της μεταβλητής Ω X = {0,} σ.π.π. 0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 7 )

(2) Beroulli κατανομή, X~Beroulli(ρ) Beroulli πείραμα ή δοκιμή: τυχαίο πείραμα το αποτέλεσμα του οποίου είναι δυαδικό: επιτυχία () με πιθανότητα P(X=) = ρ και αποτυχία (0) με πιθανότητα P(X=0) = -ρ. Σύνολο τιμών της μεταβλητής Ω X = {0,} σ.π.π. 0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 8 )

(2) Beroulli κατανομή, X~Beroulli(ρ) Beroulli πείραμα ή δοκιμή: τυχαίο πείραμα το αποτέλεσμα του οποίου είναι δυαδικό: επιτυχία () με πιθανότητα P(X=) = ρ και αποτυχία (0) με πιθανότητα P(X=0) = -ρ. Σύνολο τιμών της μεταβλητής Ω X = {0,} σ.π.π. σ.κ.π. 0 0 0 X P F 0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 9 )

παράδειγμα Beroulli κατανομής σ.π.π. σ.κ.π. F() () p Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 20 )

(3) Διωνυμική (Biomial) κατανομή X ~ Bi(,ρ) Μετρά το πλήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες Beroulli δοκιμές με πιθανότητα επιτυχίας ρ ανά πείραμα. Συμβολίζουμε ως τ.μ. X ~ Bi(,ρ) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 2 )

(3) Διωνυμική (Biomial) κατανομή X ~ Bi(,ρ) Μετρά το πλήθος των επιτυχιών σε ανεξάρτητες Beroulli δοκιμές με πιθανότητα επιτυχίας ρ ανά πείραμα. Συμβολίζουμε ως τ.μ. X ~ Bi(,ρ) Σύνολο τιμών της μεταβλητής Ω X = {0,,, } δηλ. το πολύ επιτυχίες όσες και τα πειράματα. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 22 )

Υπολογισμός της σ.π.π. της διωνυμικής κατανομής X~Bi(,ρ) ()=P(X=)=P( επιτυχίες σε ανεξ. πειράματα ) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 23 )

Υπολογισμός της σ.π.π. της διωνυμικής κατανομής X~Bi(,ρ) ()=P(X=)=P( επιτυχίες σε ανεξ. πειράματα ) Έστω μία ακολουθία 0000 0 από πειράματα με επιτυχίες () και - αποτυχίες (0). Τότε, η πιθανότητα αυτής της (συγκεκριμένης) διάταξης είναι: Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 24 )

Υπολογισμός της σ.π.π. της διωνυμικής κατανομής X~Bi(,ρ) ()=P(X=)=P( επιτυχίες σε ανεξ. πειράματα ) Έστω μία ακολουθία 0000 0 από πειράματα με επιτυχίες () και - αποτυχίες (0). Τότε, η πιθανότητα αυτής της (συγκεκριμένης) διάταξης είναι: P ' συγκεκριμενη διαταξη' Συνολικά όμως υπάρχουν επιτυχίες. πλήθος τέτοιων διατάξεων με Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 25 )

Υπολογισμός της σ.π.π. της διωνυμικής κατανομής X~Bi(,ρ) ()=P(X=)=P( επιτυχίες σε ανεξ. πειράματα ) Έστω μία ακολουθία 0000 0 από πειράματα με επιτυχίες () και - αποτυχίες (0). Τότε, η πιθανότητα αυτής της (συγκεκριμένης) διάταξης είναι: P ' συγκεκριμενη διαταξη' Συνολικά όμως υπάρχουν επιτυχίες. Έτσι: πλήθος τέτοιων διατάξεων με Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 26 )

Υπολογισμός της σ.π.π. της διωνυμικής κατανομής X~Bi(,ρ) ()=P(X=)=P( επιτυχίες σε ανεξ. πειράματα ) Έστω μία ακολουθία 0000 0 από πειράματα με επιτυχίες () και - αποτυχίες (0). Τότε, η πιθανότητα αυτής της (συγκεκριμένης) διάταξης είναι: P ' συγκεκριμενη διαταξη' Συνολικά όμως υπάρχουν επιτυχίες. Έτσι: πλήθος τέτοιων διατάξεων με P X Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 27 )

Παρατηρήσεις της Διωνυμικής κατανομής Αν ρ=0.5 τότε η σ.π.π. είναι συμμετρική καθώς 2 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 28 )

Αναδρομικός τύπος: - Εύρεση αναδρομικού τύπου (+) = a * () a!!!!!! Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 29 )

Αναδρομικός τύπος: a Έτσι, αν ο συντελεστής α() => + (+) ρ τότε (+)>() κορυφή αυξ. φθιν. Για *=[(+)ρ] έχουμε την μέγιστη τιμή (κορυφή της κατανομής) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 33 )

Παραδείγματα.Η πιθανότητα να αντέξει ένα μηχάνημα στην καταπόνηση είναι 0.8. Ποια είναι η πιθανότητα τουλάχιστον 2 μηχανήματα ενός συνόλου 8 μηχανημάτων να αντέξουν στην καταπόνηση. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 34 )

2.Μια αεροπορική εταιρεία γνωρίζει ότι το 5% των ατόμων που κάνουν κράτηση δεν εμφανίζονται. Αν η εταιρεία κάνει κράτηση για 52 άτομα σε μία πτήση με αεροπλάνα 50 θέσεων, τότε να βρεθεί η πιθανότητα να υπάρχει ένα κάθισμα για κάθε επιβάτη που εμφανίζεται να ταξιδέψει. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 35 )

(3) To 35% των πολιτών μιας πόλης προτιμούν για δήμαρχο τον Α. Να υπολογιστεί η πιθανότητα για 5 επιλεγμένους πολίτες, να προτιμούν για δήμαρχο τον Α: (α) και οι πέντε από αυτούς, (β) περισσότεροι από δύο, (γ) το πολύ τρεις Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 36 )

(4) Αν η γέννηση ενός κοριτσιού και ενός αγοριού είναι ίσης πιθανότητας, πόσα παιδιά πρέπει να αποκτήσει μια οικογένεια ώστε να έχει τουλάχιστον αγόρι και κορίτσι με πιθανότητα 90%? Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ7 ( 37 )