CURS 7 STATICA UNCTULUI MATERIAL CURINS 7. Statica punctului material.......... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 7.1. Generalităţi...2 7.2. Echilibrul punctului material liber...3 Test de autoevaluare 1...4 7.3. Legături. Axioma legăturilor...4 7.4. Echilibrul punctului material cu legături ideale...7 Test de autoevaluare 2...8 7.5. Legile frecării de alunecare. Echilibrul punctului material cu legături cu frecare...9 Test de autoevaluare 3...11 Bibliografie modul 11 Rezumat modul.11 Rezolvarea testelor de autoevaluare.. 12 7. Statica punctului material Introducere modul Cu acest modul începe studiul primei părţi a Mecanicii teoretice, Statica. În acest modul se vor introduce noţiuni importante în Mecanică, cum ar fi: grad de libertate, punct material liber, legătură, punct material cu legături (ideale şi cu frecare). Se vor enunţa axioma legăturilor şi legile frecării de alunecare. Mecanica I 1
Obiective modul După parcurgerea acestui modul cursantul va şti: - să definească noţiunile: grad de libertate, punct material liber, legătură, punct material cu legături; - să exprime echilibrul punctului material liber; - să exprime echilibrul punctului material cu legături ideale; - să enunţe legile frecării de alunecare; - să exprime echilibrul punctului material cu legături cu frecare (legături reale). 2 ore Acest interval de timp presupune asimilarea noţiunilor prezentate în acest modul şi realizarea testelor de autoevaluare. Durata medie de studiu individual 7.1. Generalităţi unctul material este unul dintre modelele utilizate de Mecanica teoretică pentru descrierea corpurilor reale. rin punct material se schematizează corpurile cu dimensiunile neglijabile în raport cu dimensiunile problemei studiate sau corpurile pentru care nu interesează geometria în problema studiată. Un punct material ce poate ocupa orice poziţie în spaţiu se numeşte punct material liber. Dacă punctul material nu poate ocupa orice poziţie în spaţiu datorită unor restricţii de natură geometrică (punctul material este obligat să se deplaseze pe o anumită suprafaţă, pe o curbă sau să rămână într-un anumit punct) atunci se va numi punct material cu legături. Fie un punct material liber. oziţia lui în raport cu un sistem de referinţă Oxyz se poate exprima cu ajutorul a trei coordonate scalare, numite parametri de poziţie. Dacă punctul material este liber, cei trei parametri de poziţie variază independent unul în raport cu ceilalţi şi se vor numi parametri de poziţie independenţi. Rezultă, că pentru a caracteriza mişcarea unui punct material liber va fi nevoie de trei parametri de poziţie independenţi pentru problema în spaţiu şi de doi parametri de poziţie independenţi pentru problema plană. entru modificarea poziţiei punctului material liber din poziţia în poziţia 1 (figura 7.1) se pot efectua trei mişcări particulare independente (în spaţiu) şi două mişcări particulare Mecanica I 2
independente (în plan). osibilităţile independente de mişcare ale punctului material se numesc grade de libertate. Rezultă că punctul material liber are trei grade libertate în spaţiu şi două grade de libertate în plan. 1 z y 1 (x,y) O (x,y,z) y O x x Fig. 7.1. Modificarea poziţiei punctului material liber Se observă că, pentru un punct material liber, numărul gradelor de libertate este egal cu numărul parametrilor de poziţie independenţi: 7.2. Echilibrul punctului material liber Fie punctul material liber, aflat în repaus. entru ca punctul să rămână în repaus după acţiunea unui sistem de forţe concurente, trebuie ca sistemul de forţe să producă efect nul (sistemul de forţe să fie în echilibru). Cum pentru un sistem de forţe concurente sistemul echivalent cel mai simplu este rezultanta acelui sistem de forţe, condiţia de echilibru se va exprima vectorial astfel: Scalar, condiţiile de echilibru sunt: entru uşurinţa exprimării se va spune că punctul material este în echilibru, deşi sistemul de forţe care acţionează asupra punctului material este de fapt în echilibru. Se diferenţiază trei tipuri de probleme: problema directă fiind dat un punct material liber acţionat de un sistem de forţe concurente se cere determinarea poziţiei de echilibru a acestuia; Mecanica I 3
problema inversă se cunoaşte poziţia de echilibru a punctului material şi se cere determinarea sistemului de forţe care determină punctul să ocupe acea poziţie; problema mixtă se cunosc o parte din parametrii de poziţie ce definesc poziţia de echilibru şi o parte din forţele ce acţionează asupra punctului material şi se cere determinarea celorlalte forţe şi a parametrilor de poziţie necunoscuţi pentru acea poziţie de echilibru a punctului material considerat. 1. Câte grade de libertate are un punct material în plan? a) 3 b) 1 c) 2 Test de autoevaluare 1 2. Enunţul,,osibilităţile de mişcare ale unui punct material se numesc grade de libertate este: a) adevărat; b) fals. 3. Exprimaţi vectorial condiţia de echilibru a punctului material liber. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. 7.3. Legături. Axioma legăturilor Se numeşte legătură orice restricţie impusă punctului material în posibilitatea de a-şi modifica poziţia. Fie punctul material legat de punctul fix O cu un fir ideal (fir fără masă, inextensibil ce nu fir ideal bară rigidă opune rezistenţă la comprimare) din O O figura 7.2.a. Este evident faptul că l l punctul nu se poate deplasa decât în interiorul sferei de rază l. a) b) În figura 7.2.b firul s-a înlocuit cu o bară rigidă ce se poate roti în jurul Fig. 7.2. Legătură simplă punctului fix O. În acest caz se Mecanica I 4
observă că punctul material este obligat să se deplaseze pe sfera de rază l. În ambele cazuri, punctului i s-a suprimat posibilitatea de a se deplasa pe direcţia firului şi anume: în primul caz într-un singur sens al acestei direcţii (in afara razei l) respectiv în ambele sensuri ale direcţiei firului în cel de-al doilea caz. Rezultă că punctul se poate deplasa pe două direcţii independente (direcţii perpendiculare pe fir, respectiv pe bară), deci va avea două grade de libertate. Cum un punct liber are trei grade de libertate în spaţiu, este clar că această legătură a suprimat un grad de libertate punctului material. Se va spune că această legătura este o legătură simplă De asemenea, dacă o legătură suprimă deplasarea într-un singur sens al unei direcţii se va numi legătură unilateră, iar dacă suprimă deplasarea punctului în ambele sensuri ale unei direcţii se numeşte legătură bilateră. Dacă se consideră un sistem de referinţă cartezian cu originea în punctul O, coordonatele punctului trebuie să respecte condiţiile: pentru legătura unilateră: pentru legătura bilateră: În general, o legătură unilateră va fi exprimată printr-o inegalitate de forma iar o legătură bilateră printr-o egalitate de forma (egalitate ce reprezintă ecuaţia unei suprafeţe). Deoarece o legătură simplă suprimă un grad de libertate punctului material şi introduce o dependenţă între parametrii de poziţie, relaţia este adevărată şi pentru cazul punctului material cu legături. Din alt punct de vedere, există legături simple (suprimă punctului material un singur grad de liberate) sau legături multiple (suprimă punctului material mai multe grade de libertate). Un caz de legătură multiplă este prezentat în figura 7.3, unde s-a considerat un inel de dimensiuni foarte mici aflat pe un cadru circular în plan vertical. După cum se observă, inelul nu se poate deplasa decât pe direcţia tangentei la cadru (deplasările pe direcţia razei cadrului Mecanica I 5
circular şi pe direcţia perpendiculară pe planul cadrului sunt suprimate), adică păstrează un singur grad de libertate (această legătură suprimă punctului material două grade de libertate). O legătură multiplă se exprimă prin mai multe relaţii între Fig. 7.3. Legătură multiplă parametrii de poziţie ai punctului material. Cum fiecare relaţie reprezintă o legătură simplă, se poate spune că o legătură multiplă poate fi considerată ca o combinaţie de legături simple, deci este suficient ca în continuare să se abordeze doar legăturile simple. Fie cadrul circular anterior şi inelul având greutatea. Se observă că punctul rămâne în repaus dacă este aşezat în anumite poziţii de pe cadrul circular. Cum punctul este acţionat doar de forţa de greutate el ar trebui să se deplaseze pe verticală cu o acceleraţie proporţională cu, ceea ce nu se întâmplă, punctul fiind în repaus. Rezultă că acţiunea greutăţii este anulată de o forţă ce provine din răspunsul cadrului circular la acţiunea inelului, adică se poate înlocui cadrul circular cu o forţă (figura 7.4) astfel încât efectul să fie acelaşi (inelul să rămână în repaus). Se poate enunţa astfel axioma legăturilor (sau axioma eliberării): Orice legătură poate fi înlocuită cu o forţă denumită forţă de legătură (sau reaţiune) care să nu modifice starea mecanică a punctului material. Fig. 7.4. Axioma legăturilor Dacă se descompune reacţiunea în două componente (figura 7.4): una pe direcţia normalei la planul tangent în punctul de legătură ( ) şi una în planul tangent ( ) atunci se poate scrie: Mecanica I 6
unde se numeşte reacţiune normală şi se numeşte forţă de frecare. În funcţie de existenţa componentei se evidenţiază două tipuri de legături: legături ideale (legături fără frecare) pentru care ; legături reale (legături cu frecare) pentru care. 7.4. Echilibrul punctului material cu legături ideale Fie un punct material acţionat de un sistem de forţe concurente supus unor legături ideale. Se vor determina condiţiile în care acest punct material aflat în repaus va rămâne în repaus sub acţiunea forţelor ce-l acţionează. entru aceasta, în baza axiomei legăturilor, se înlocuiesc legăturile cu reacţiunile corespunzătoare. O astfel de reacţiune va avea caracteristicile: Mărimea este necunoscută şi trebuie determinată din condiţia ca starea mecanică a corpului să rămână aceeaşi (condiţia de echilibru a punctului material); Direcţia reacţiunii este normală la suprafaţa reprezentând legătura, în punctul de legătură (această direcţie este cunoscută, deoarece este direcţia deplasării suprimate de legătura simplă); Sensul reacţiunii este invers sensului deplasării suprimate pentru legături unilatere. entru legături bilatere sensul reacţiunii este nedeterminat, dar nu este o necunoscută independentă, având doar două valenţe. Această necunoscută se rezolvă alegând iniţial un sens arbitrar pentru reacţiunea corespunzătoare legăturii, semnul rezultatului confirmând (semnul +) sau infirmând (semnul -) sensul ales; unctul de aplicaţie este punctul material. rin aplicarea axiomei legăturilor, punctul material devine un punct material liber acţionat de două sisteme de forţe: sistemul de forţe date (forţe active, încărcări) şi sistemul forţelor de legătură (forţe pasive, reacţiuni). Dacă se notează cu rezultanta sistemului forţelor date şi cu rezultanta sistemului forţeor de legătură, atunci punctul material aflat în echilibru trebuie să îndeplinească condiţia vectorială: Mecanica I 7
Condiţiile scalare de echilibru sunt: Dacă legăturile sunt cunoscute ca ecuaţii ale suprafeţelor pe care punctul material este obligat să se deplaseze, atunci expresiile reacţiunilor normale pot fi redate cu ajutorul noţiunii de gradient: Condiţiile de echilibru ale punctului material cu legături ideale pot fi scrise sub forma: Ca şi în cazul punctului material liber, se disting cele trei tipuri de probleme: problema directă, problema inversă şi problema mixtă. 1. Enunţaţi axioma legăturilor. Test de autoevaluare 2 2. Enunţul,,O legătură unilateră este exprimată printr-o inegalitate de forma este: a) adevărat; b) fals. 3. Scrieţi condiţia vectorială de echilibru pentru un punct material cu legături ideale. Explicitaţi termenii. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. Mecanica I 8
7.5. Legile frecării de alunecare. Echilibrul punctului material cu legături cu frecare Componenta forţă de frecare a reacţiunii se poate pune în evidenţă dacă se consideră un punct aflat în repaus, situat pe o suprafaţă aspră (figura 7.5.a) astfel: pe un plan orizontal aspru se consideră un punct material cu greutatea. unctul este legat cu un fir care trece peste un scripete punctual, la capătul firului fiind aşezată o greutate. Forţele active care acţionează punctul material sunt şi şi, datorită faptului că punctul este în repaus, aceste forţe şi componentele reacţiunii planului (figura 7.5.b) şi trebuie să fie în echibru. a) b) Fig. 7.5 Experimental se observă că există o valoare limită a forţei pentru care punctul material se pune în mişcare. Această valoare limită corespunde valorii maxime a modulului forţei de frecare. Cel care a enunţat legile frecării de alunecare a fost Coulomb (1736 1806). Acestea sunt: 1) Valoarea forţei de frecare maximă nu depinde de mărimea suprafeţei de contact dintre cele două corpuri, iar dacă se produce mişcarea, nici de viteza relativă a suprafeţelor în contact; 2) Valoarea forţei de frecare maximă depinde de natura suprafeţelor în contact şi de gradul de prelucrare al acestora; 3) Valoarea forţei de frecare maximă este proporţională cu apăsarea normală pe suprafaţa de contact, factorul de proporţionalitate fiind denumit coeficient de frecare de alunecare, notat cu μ: Mecanica I 9
Caracteristicile forţei de frecare sunt: Mărimea este necunoscută, dar nu poate depăşi valoarea ; Direcţia este în planul tangent la suprafaţă reprezentând legătura; Sensul este opus sensului deplasării sau tendinţei de deplasare a punctului material; unctul de aplicaţie este punctul material. entru studiul echilibrului punctului material cu legături cu frecare se adaugă la relaţiile obţinute din studiul echilibrului punctului material cu legături ideale condiţiile ca forţele de frecare să nu depăşească valorile lor maxime. Astfel, pentru un punct material cu legături cu frecare, condiţiile de echilibru sunt: În inegalitatea exprimată mai sus, indicele k poate lua valoarea 1 sau 2 pentru un punct material în spaţiu sau 1 pentru un punct material în plan. Se observă că dacă indicele k are valoarea zero atunci nu există frecare iar dacă acest indice are valoarea 3 (respectiv 2 în plan) punctul material este fixat (îi sun suprimate toate gradele de libertate), deci nu mai există nici o tendinţă de mişcare, astfel încât legăturile se comportă ca nişte legături ideale (forţele de frecare nefiind activate). Fie situaţia limită de echilibru, când forţa de frecare are valoare maximă (figura 7.6). Se notează cu unghiul format de direcţia reacţiunii legăturii cu frecare ( ) şi direcţia componentei normale a acestei reacţiuni ( ). Unghiul se numeşte unghi de frecare maximă, iar tangenta acestui unghi este: Fig. 7.6. Unghiul de frecare maximă Din această relaţie rezultă: Mecanica I 10
Această relaţie permite determinarea experimentală a coeficientului de frecare la alunecare. 1. Expresia,, este: a) adevărată; b) falsă. Test de autoevaluare 3 2. Indicaţi enunţul corect: a) Direcţia forţei de frecare este în planul osculator al suprafeţei reprezentând legătura; b) Sensul forţei de frecare este opus sensului deplasării sau tendinţei de deplasare a punctului material; c) Mărimea forţei de frecare poate depăşi valoarea. 3. Scrieţi expresia unghiului de frecare maximă. Explicitaţi termenii. Sugestiile de rezolvare și răspunsurile corecte sunt indicate la finalul modulului. [1]. Hangan, S., Slătineanu, I.,,,Mecanică, Editura Didactică şi edagogică, Bucureşti, 1983, pag. 24-25, 28-33; Bibliografie modul [2]. Szolga, V., Szolga, A. M.,,,Mecanica Teoretică. Note de curs şi îndrumător de seminar. artea I, Editura Conspress, Bucureşti, 2003, pag. 85-98; [3]. Vâlcovici, V., Bălan, Şt., Voinea, R.,,,Mecanica Teoretică, Editura Tehnică, Bucureşti, 1963, pag. 110-129. În acest modul s-a tratat problema echilibrului punctului material. S- au definit noţiunile de punct material liber, punct material cu legături, grad de libertate şi punct material în echilibru. Rezumat modul S-a introdus noţiunea de legătură şi s-au clasificat aceste legături. entru calculul efectiv şi pentru scrierea condiţiilor de echilibru s-a enunţat axioma legăturilor. S-au exprimat condiţiile de echilibru pentru punctul material liber şi Mecanica I 11
pentru punctul material cu legături (ideale şi reale) şi s-au enunţat legile frecării (legile lui Coulomb) pentru frecarea la alunecare. 1. c; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 1 3. Consultare aspecte teoretice pag. 3. 1. Consultare aspecte teoretice pag. 6; 2. a; Rezolvare test de autoevaluare 2 3. Consultare aspecte teoretice pag. 7. 1. b; 2. b; Rezolvare test de autoevaluare 3 3. Consultare aspecte teoretice pag. 10. Mecanica I 12