ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() = F() + c, c είναι παράγουσες της f στο και κάθε άλλη παράγουσα G της f στο παίρνει τη µορφή G() = F() + c, c Μονάδες 6 A. Πότε η ευθεία = 0 λέγεται κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης µιας συνάρτησης f; Μονάδες 4 A3. Έστω µια συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Πότε λέµε ότι η f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο ; Μονάδες 5 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. α) Η διανυσµατική ακτίνα της διαφοράς των µιγαδικών αριθµών α + β i και γ + δ i είναι η διαφορά των διανυσµατικών ακτίνων τους. β) Έστω συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστηµα και παραγωγίσιµη στο εσωτερικό του. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο, τότε η παράγωγός της δεν είναι υποχρεωτικά θετική στο εσωτερικό του. γ) Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα και συνεχής σε ένα ανοικτό διάστηµα (α, β), τότε το σύνολο τιµών της στο διάστηµα αυτό είναι το διάστηµα (Α, Β), όπου Α= lim f() και B= f() + lim. α β δ) (συν ) = ηµ,. ε) Αν lim f() < 0, τότε f()<0 κοντά στο 0. 0 Μονάδες 0
ΘΕΜΑ Β ίνεται η εξίσωση z+ =, όπου z C µε z 0. z B. Να βρείτε τις ρίζες z και z της εξίσωσης. B. Να αποδείξετε ότι z 00 00 + z = 0 B3. Αν για τους µιγαδικούς αριθµούς w ισχύει w 4 + 3i = z z Μονάδες 6 τότε να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων των w στο µιγαδικό επίπεδο. B4. Για τους µιγαδικούς αριθµούς w του ερωτήµατος Β3, να αποδείξετε ότι 3 w 7. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνάρτηση f()=+ln( +),. Γ. Να µελετήσετε ως προς τη µονοτονία τη συνάρτηση f. Γ. Να λύσετε την εξίσωση: (3 ) + + = 4 + ( 3 ) ln Μονάδες 5 Γ3. Να αποδείξετε ότι η f έχει δύο σηµεία καµπής και ότι οι εφαπτόµενες της γραφικής παράστασης της f στα σηµεία καµπής της τέµνονται σε σηµείο του άξονα ψ ψ. Μονάδες 6 Γ4. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωµα I = f()d
ΘΕΜΑ ίνεται η συνεχής συνάρτηση f: η οποία για κάθε ικανοποιεί τις σχέσεις: f() t f() = 3+ dt f(t) t. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο µε παράγωγο 0 f() f'() = f(), Μονάδες 5. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g() = (f ()) f(),, είναι σταθερή. 3. Να αποδείξετε ότι 4. Να αποδείξετε ότι f() 9 + + + = + +, f(t)dt< f(t)dt, για κάθε Μονάδες 6 3
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 9 ΜΑΪΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, θεώρηµα, σελίδα 304 σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, ορισµός, σελίδα 79 σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, ορισµός, σελίδα 73 σχολικού βιβλίου. Α4. ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ Β. Είναι: z+ = z z+ = 0. z i + i Άρα z = = i, z = = + i. Β. Είναι: 005 005 00 00 00 00 z + z = ( i) + ( + i) = ( i) + ( + i) = 005 005 = ( i ) + (+ i ) = 005 50 005 50 = ( ) ( i ) i+ ( i ) i= η λύση: Είναι: Β3. Είναι ( ) ( ) ( ) ( ) 005 005 i + i = 00 00 i + + i = ( i) 00 [ i( i) ] 00 00 00 00 = ( i) + i ( i) = + = ( ) 005 005 005 005 i + i = 005 005 005 005 ( ) i+ ( ) i= i+ i= 0 00 00 ( i) ( i ) w 4 + 3i = z z = i i = i = 00 + = ( i) ( ) = 0 Έστω w = + ψ i, τότε + ψi 4 + 3i = ( 4) + (ψ + 3)i = ( 4) + (ψ + 3) = 4
Εποµένως ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του w είναι ο κύκλος µε κέντρο το σηµείο Κ (4, 3) και ακτίνα ρ =. Β4. Το w είναι η απόσταση της εικόνας Μ(w) από την αρχή Ο(0, 0), δηλαδή το µήκος (ΟΜ). Από τη Γεωµετρία όµως, γνωρίζουµε ότι αν η ευθεία ΟΚ τέµνει τον κύκλο στα σηµεία Α και Β τότε (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) () που σηµαίνει ότι η µέγιστη τιµή του w είναι το µήκος (ΟΒ) και η ελάχιστη το µήκος (ΟΑ). Όµως (ΟΑ) = (ΟΚ) ρ = 5 = 3 () και (ΟΒ) = (ΟΚ) + ρ = 5 + = 7 (3) O A K(4,-3) B M(w) Εποµένως, λόγω των (),() και (3) έχουµε 3 w 7. η λύση: Γράφουµε : w = w+ ( 4+ 3 i) ( 4+ 3 i) Οπότε σύµφωνα µε την τριγωνική ανισότητα έχουµε: w+ ( 4+ 3 i) 4+ 3 i w+ ( 4+ 3 i) ( 4+ 3 i) w+ ( 4+ 3 i) + 4+ 3i ή z z 4+ 3i w z z + 4+ 3i ή 5 w + 5. Άρα 3 w 7.
ΘΕΜΑ Γ Γ. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε παράγωγο: + + ( + + ) f ( ) = + ( + ) = + = = + + + + Επειδή + + > 0 καθώς και R. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Γ. Η δοσµένη εξίσωση γράφεται ισοδύναµα: Γ3. Είναι + = + + 4 ( 3 ) ln (3 ) ln( ) = + + 4 (3 ) ln (3 ) ln( ) + + = + + 4 ln( ) ln (3 ) (3 ) + + = + + 4 ln( ) (3 ) ln (3 ) Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, θα είναι και -. Εποµένως από την () προκύπτει = 3 3 + = 0. Άρα = ή =. + > 0 για κάθε R, είναι f ( ) 0 f f ( ) = (3 ) () ( + ) ( + ) f ( ) = + = = = + + ( + ) + ( ) = =. ( ) ( ) + + Είναι f ( ) = 0 = ή=, ενώ είναι f ( ) > 0 (,) και f ( ) < 0 (, ) (, + ). Έτσι η C f έχει σηµεία καµπής στα σηµεία µε τετµηµένες =, =. Η εφαπτόµενη της C f στο = έχει εξίσωση (ε ): y f( ) = f ( )( + ) y ( + ln ) = ( + ) y = + ln. > για κάθε Για = 0 προκύπτει y = ln 3
Η εφαπτόµενη της C f στο = έχει εξίσωση (ε ): Γ4. ΘΕΜΑ y f() = f ()( ) y ( + ln ) = 3( ) y = 3 + ln Για = 0 προκύπτει y = ln. Οι (ε ) και (ε ) τέµνονται στο σηµείο Μ(0, ln ) του άξονα yy. f( d ) = ( + ln( + )) d= d+ ( + ) ln( + ) d= = d+ [( + )ln( + )] ( ) ln( ) d + + = = d+ ( + )ln( + ) ( + ) d= ( + ) 3 4 3 3 3 = + 0 = ( ) = t. Η συνάρτηση ϕ () t = f() t t είναι α) ορισµένη σε όλο το R αφού f (t) t για κάθε t R και β) συνεχής σε όλο το R, ως πηλίκο συνεχών. Έτσι η συνάρτηση f( ) = ϕ ( t)dt+ + 3 είναι παραγωγίσιµη στο R, µε 0 + f( ) f( ) f '( ) = ϕ ( ) + = + = = f( ) f( ) f( ), R.. Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο R, ως αποτέλεσµα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιµων συναρτήσεων µε παράγωγο: g ( ) = ( f ( ) ) f ( ) = f( ) f ( ) f( ) f ( ) = 3. Είναι: = ( )( ( ) ) ( ) = ( ) ( ) f f f Άρα η g είναι συνεχής στο R. 0 t f(0) = 0 + 3 + dt 3 0 f() t t =.. f( ) f( ) f( ) = 0, R. f( ) Λόγω του είναι g () = c, c R, για κάθε R, άρα ( ) κάθε R. f( ) f( ) = c, για Για = 0 προκύπτει ( ) c= f(0) 0 f(0) = 9. 4
4. Έστω Έτσι ( f( ) ) f( ) = 9 ( ) f f ( ) f ( ) = + 9. () ( ) ( ) + = + 9 Αν θέσουµε h () = f (), έχουµε ότι η συνάρτηση h είναι συνεχής στο R και h () 0 για κάθε R, αφού f (), R. Άρα η h διατηρεί σταθερό πρόσηµο στο R, δηλαδή είναι ή h () > 0 για κάθε R ή h () < 0 για κάθε R. Όµως h (0) = f (0) 0 = 3 > 0 άρα h () > 0, R και f () >, R. (). Από την () προκύπτει ότι () ( ) = + 9 f Είναι + F( ) = f( t) dt, R. + f( ) = + 9 F( ) = f( t) dt f( t) dt, R c, c R. και F ( ) = f( + ) f( ), R. () Όµως c f( ) = + + 9, R. + 9 + + + f ( ) = + = > = 0, R. + 9 + 9 + 9 + 9 ηλαδή f ( ) > 0 για κάθε R, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο R. Προκύπτει έτσι: < + f( ) < f( + ) f( + ) f( ) > 0, R. () Λόγω των (), () η F είναι γνησίως αύξουσα στο R. + Εποµένως: < + F( ) < F( + ) + f () t dt < f () t dt η λύση:. Η F( ) = f ( t) dt είναι µια αρχική της f στο R και η προς απόδειξη ανισότητα γράφεται a F( + ) F( ) F( + ) F( + ) F( + ) F( ) < F( + ) F( + ) <. ( + ) ( + ) ( + ) + 5
Από Θ.Μ.Τ. για την F στα διαστήµατα [, + ] και [ +, + ] προκύπτει ότι υπάρχουν αντίστοιχα ξ (, + ) και ξ ( +, + ) ώστε F( + ) F( ) F( + ) F( + ) = F ( ξ) = f ( ξ) και = F ( ξ) = f ( ξ). ( + ) ( + ) ( + ) Έτσι αρκεί να δειχθεί f (ξ ) < f (ξ ) µε ξ < ξ, ή ισοδύναµα ότι η f είναι γνησίως αύξουσα. Πράγµατι: ( ) f ( ) = + + 9 = + = + 9 + > = 0, για κάθε + 9 + 9 + 9 + 9 + + R, δηλαδή f () > 0 για κάθε R και η f γνησίως αύξουσα στο R. 6