CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1986 Clasa a V-a 1. Este numărul 1+2+3+ +1985 par? 2. Să se afle cel mai mic număr natural care împărțit la 5 dă restul 4, împărțit la 6 dă restul 5, împărțit la 8 dă restul 7 și împărțit la 9 dă restul 8. 3. Să se afle numerele naturale prime a, b, c astfel ca 3a+3b+4c = 30. 1. Se dau mulțimile A = {x x = 2 n, n N, n 4}, B = {y y N, y = x 2, x A}, C = {z z N, z = y 2, y B}. Calculați (A B) C, (A B) C, A (B C). 2. Este numărul a = 1980 1985 +1981 1985 +1982 1985 +1983 1985 +1984 1985 divizibil cu 10? 3. Să se determine cifrele a, b, c, d, e, f astfel încât 3 abcdef = bcdefa în baza 10. 1
Clasa a VI-a 1. Se consideră un unghi XOY și pe laturile sale segmentele [AO] [OB]. Se duce bisectoarea unghiului AOB și AD OB (D aparține bisectoarei). a) Să se arate că OABD este paralelogram. b) Dacă una din condițiile date nu mai este îndeplinită, mai este OABD paralelogram? 2. În triunghiul ABC, punctele E și F sunt situate pe mediana AD astfel încât [AE] [EF] [F D], iar T este mijlocul lui [BD] și S al lui [DC]. Notăm cu {M} = CE AB și {N} = SF AB. Paralelele duse la SN prin D și T taie [AB] în P și Q. a) Arătați că [AM] [MN] [PQ] [QB]. b) Dacă MC = 4 cm, DF = 2 cm, care sunt lungimile lui [NS] și [QT]? 3. Scrieți în ordine crescătoare numerele: M = ( 1)n n + 1+( 1)n 2, N = n+2n( 1)n, P = 1 ( 1)n, n N. ( 3) n ( 1) n 4. Fie numărul abcd scris în baza 10 și fie S = abcd + dcba. Să se arate că S se divide cu 27 dacă și numai dacă a+b+c+d = 27. 1. În triunghiul dreptunghic isoscel BAC (m(â) = 90 ) se construiește mediana AA 1, în triunghiul AA 1 C se duce mediana A 1 B 1, iar în triunghiul A 1 B 1 C se duce mediana B 1 A 2. Dacă AB = b, BC = a, se cere să se afle BA 2 și B 2 C. 2. Pe latura [BC] a triunghiului ABC se ia punctul E și fie simetricele E și E ale lui E față de AC, respectiv față de AB. Să se arate că E, A, E sunt coliniare dacă și numai dacă triunghiul ABC este dreptunghic. 3. Determinați x, y, z, t pentru care cu xy și zt pătrate perfecte. xyzt = z yt+x zt, 4. Să se găsească toate numerele naturale n pentru care sunt simultan numere prime. n+1, n+5, n+11, n+13, n+23 2
Clasa a VII-a 1. Să se rezolve în mulțimea numerelor naturale ecuația 1 x + 1 y = 5 6. 2. Fie cercul C(O,r) și P un punct fix din interiorul cercului. O dreaptă variabilă ce trece prin P taie cercul în punctele A și B. Demonstrați că cercul circumscris triunghiului AOB trece prin încă un punct fix. 3. Fie numerele a = 19761979 4 + 2 19761978 2 + 4 19761979 1 și b = 19761979 4 2 19761980 2 +4 19761979+3. Arătați că a și b sunt pătrate perfecte. Calculați a și b. 4. Fie ABC un triunghi echilateral și M un punct din interiorul triunghiului. Se construiesc triunghiurile echilaterale MBA, MCB, MAC astfel încât punctele A și C sunt de aceeași parte a lui MB, punctele A și B sunt de aceeași parte a lui MC, punctele B și C sunt de aceeași parte a lui AM. Arătați că patrulaterul ABA B este paralelogram. Ce putem spune despre triunghiul A B C? 1. Suma de 100 lei (în monede de 1 leu) se împarte în 10 plicuri care se lipesc scriind pe fiecare plic suma din interior. Să se găsească o astfel de împărțire încât, fără a desface plicurile, să poată fi plătită orice sumă de bani cuprinsă între 1 și 1000 lei (inclusiv). 2. Prin punctele de intersecție A, B a două cercuri se duc secantele M, A, N și P, B, Q (M, P se găsesc pe un cerc, N, Q pe celălalt). a) Arătați că MP NQ. b) Notând cu R, S și O mijloacele segmentelor [MN], [PQ], respectiv [O 1 O 2 ] (O 1 și O 2 fiind centrele celor două cercuri), să se arate că triunghiul ORS este isoscel. 3. Știind că 1 x 1, să se calculeze expresia E(x) = 3+x+ 3 x, cu o zecimală exactă. 4. În triunghiul ABC bisectoarea [AD, înălțimea BE și mediana CF determină triunghiul MNP. Poate fi acest triunghi echilateral? 3
Clasa a VIII-a 1. Să se arate că nu există niciun număr natural nenul care, prin mutarea primei cifre din scrierea zecimală pe ultima poziție, se dublează. 2. Să se arate că polinomul p = ax 3 +bx 2 +cx +d este divizibil cu polinomul q = cx +d dacă și numai dacă d = 0 sau bc = ad. 3. Fie ABC un triunghi echilateral. Pe laturile [AB] și [AC] se iau punctele E și respectiv F astfel încât AE = 2BE și CF = 2AF. Dreptele BF și CE se intersectează în D. Pe perpendiculara în A pe planul triunghiului ABC, se ia un punct M astfel încât AM = AB = 30. a) Să se arate că (EFM) (FAM) și (CDM) (DAM). b) Să se calculeze distanța de la M la EF și CE. 4. Să se demonstreze că într-un cub ACDA B C D perpendiculara dindpe diagonala[ac ] o taie pe aceasta într-un punct Q astfel încât AQ AC = 1 3. 1. Fie d și g două drepte necoplanare, iar p perpendiculara lor comună, M p astfel încât distanța de la cele două drepte la M este aceeași, iar α un plan cu proprietatea că M α, α d, α g. Să se găsească locul geometric al punctelor din planul α egal depărtate de cele două drepte. 2. Lungimile a, b, c (a b c) a trei muchii ale unui paralelipiped dreptunghic sunt rădăcinile polinomului p = X 3 10X 2 +31X 30. a) Să se arate că a+b+c = 10, a(b+c)+bc = 31, abc = 30. b) Să se determine volumul, aria laterală și lungimea diagonalei paralelipipedului. 3. Să se arate că pentru orice x, y R avem 26x 2 +20y 2 +36xy 28x 28y +11 > 0. 4. Să se rezolve sistemul { (3x 5y)(5x 3y)+3x 5y +9(5x 3y)+9 = 0 18 x +25 y = 21, unde x, y sunt baze de numerație. 4
Clasa a IX-a 1. Să se rezolve sistemul x+y = 4z 1 y +z = 4x 1 x+z = 4y 1. 2. Să se arate că există o funcție surjectivă f : N N cu proprietatea că pentru orice n > 1 există o mulțime infinită A n astfel încât f(x) = n, oricare ar fi x A n. 3. Se consideră trei pătrate distincte cu câte o latură comună: ABCD, BCEF și EF GH. Arătați că m( EDF)+m( HDG) = 45. 4. Pe laturile (BC), (CA) și (AB) ale triunghiului ABC se consideră punctele arbitrare P, Q și R și se notează cu O 1, O 2, O 3 centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor AQR, BRP și CPQ. Să se arate că triunghiul O 1 O 2 O 3 este asemenea cu triunghiul ABC. 1. Determinați toate valorile reale ale parametrului m astfel încât toate rădăcinile ecuației 2mx(2x 1)(2x 2)(2x 3) = 1 să fie reale. 2. Determinați o funcție de gradul doi neinjectivă f : R R cu proprietatea că restricția sa la mulțimea Q a numerelor raționale este injectivă. 3. Fie P 1, P 2, P 3,..., P n (n 4) o mulțime finită de puncte conținute în același plan cu proprietatea că oricare trei puncte sunt coliniare. Să se demonstreze că toate punctele sunt coliniare. 4. Fie ABC un triunghi (AC < AB), M mijlocul laturii (BC), (AA ) bisectoarea unghiului BAC (A (BC)), iar N (CA ) astfel încât m( A AM) = m( A AN). Paralelele prin N la AB, respectiv AC intersectează AC, respectiv AB în punctele B și C. Se notează cu a, b și c lungimile laturilor (BC), (AC), respectiv (AB). Calculați lungimea segmentului (BN) în funcție de a, b, c și arătați că: a) σ(amn) σ(abc) = c2 b 2 2(c 2 +b 2 ) ; b) NB C ABC; c) NR NS = A C, unde R și S sunt proiecțiile punctului N pe AC, respectiv AB. A B 5
Clasa a X-a 1. Să se arate că numărul n = 7 100 3 100 are 85 de cifre și să se determine ultimele patru cifre ale lui n. 2. Demonstrați că pentru orice funcție f : R R, f(x) = x 3 + ax + b există c [ 2;1] astfel încât f(c) 1. 3. Să se arate că dacă într-un triunghi ABC cu unghiurile B și C ascuțite înălțimea din A trece prin mijlocul bisectoarei interioare din B, atunci următoarele afirmații sunt echivalente: a) m(ˆr) = π 3 ; b) σ(abc) = 3 2 AB2. 4. Să se determine locul geometric al punctelor A din spațiu astfel încât în triunghiul ABC, unde B și C sunt fixate, expresia să fie maximă. g(a,b,c) = R 2 sin2bsin2c 1. Se consideră numerele a n = 1 Cn 3 + Cn 6, b n = Cn 1 + Cn 4 Cn 7 + și c n = Cn 2 C5 n +C8 n. Arătați că pentru orice n 2 are loc egalitatea a 2 n +b 2 n +c 2 n a n b n b n c n c n a n = 3 n. [ 2. Se știe că f : 0, π ] [a,b], f(x) = n cosx+ n sinx (n 2) este surjectivă. Precizați 2 numerele a și b și monotonia lui f. 3. Se dau patru puncte A, B, C, D în spațiu dintre care cel mult două sunt la o distanță mai mare decât 1 între ele. Determinați valoarea maximă a expresiei g(a,b,c,d) = AB +BC +AD +CA+DB +DC. 4. Demonstrați că pentru orice patru puncte diferite din spațiu următoarele afirmații sunt echivalente: a) A 1, A 2, A 3, A 4 sunt vârfurile unui dreptunghi; b) pentru orice punct M din spațiu avem că MA 2 1 +MA2 3 = MA2 2 +MA2 4. 6
Clasa a XI-a 1. Să se calculeze limita șirului (x n ) n 1 definit prin x n = n 1, unde a este un număr real pozitiv. a n (1+a)(1+a 2 )...(1+a n ), 2. Fie A o matrice de ordinul doi cu elemente reale strict pozitive. Să se arate că A n I 2, n 1. 3. Fie f : R R, f(x) = 2x+{x}, x R. Să se arate că f este continuă și bijectivă și inversa lui f are aceleași proprietăți. 4. Fie f : (0; 1) R o funcție mărginită cu proprietatea lui Darboux. Atunci: a) Există g : [0;1) R cu proprietatea lui Darboux astfel încât f(x) = g(x), x (0;1). b) Funcția g definită mai sus este unic determinată dacă și numai dacă f are limită în x 0 = 0. 1. Să se arate că pentru orice pereche de numere naturale date m, n (m, n 3) ecuația D n (x) = 0 are exact douărădăcini, unde D n (x) este un determinant de ordinul n, definit astfel: 1 1 m 1 m 1 m 1 m m 1 Cm x 0 0 0 0 D n (x) = 0 1 Cm x 0 0 0. 0 0 0 1 Cm x 0 0 0 0 0 1 Cm x 2. Fie, în planul xoy, dreapta d : 3x + 4y 5 = 0. Notăm cu L locul geometric al punctelor P pentru care distanța de la P la dreapta d este dublul distanței de la P la O(0,0). Determinați locul geometric al mijloacelor segmentelor [B λ C λ ], unde B λ, C λ sunt punctele de intersecție ale lui L cu dreapta y x+λ = 0, unde λ R este un parametru variabil. λ+sin 1 3. Fie f : R R, f(x) = x cos 1 x, x R, unde λ este un parametru real. Să x se cerceteze dacă există limita funcției f în punctul x 0 = 0. 4. Fie f : R R o funcție continuă care are limită la și la + și aceste sunt egale. Atunci f își atinge minimul sau maximul în cel puțin un punct. 7
Clasa a XII-a 1. Fie K, L corpuri și f : K L o aplicație pentru care: (i) f(x+y) = f(x)+f(y), x, y K; (ii) f(1) = 1; (iii) f(x 3 ) = (f(x)) 3, x K. a) Arătați că dacă, în L, 1+1 0 și 1+1+1 0, iar corpurile K, L sunt comutative, atunci f este morfism de corpuri. b) Arătați că pentru orice corp necomutativ K există un corp L și o aplicație f cu proprietățile (i), (ii), (iii) care nu este morfism de corpuri. 2. Fie (K, ) grupul lui Klein. Demonstrați că: a) Există corpuri (K, +, ) pentru care (K, +) (K, ) și toate corpurile K cu această proprietate sunt izomorfe între ele. b) Nu există corpuri (K, +, ) pentru care (K \{0}, +) este izomorf cu (K, ). 3. Fie x 1, x 2, λ 1, λ 2 numere reale fixate. Să se determine polinomul p, de grad minim, astfel încât x 1, x 2 sunt puncte de extrem și p(x i ) = λ i, i = 1, 2. 4. Fie, pentru λ R, F λ mulțimea funcțiilor f : [1,+ ) R continue pentru care a) Arătați că F 0 =. x 2 +λ 2 x b) Arătați că dacă λ 0, atunci F λ. x f(t)dt = 1, x (1,+ ). 1. Determinați toate funcțiile continue f : R + R pentru care (n+1) 2. Demonstrați că mulțimea a b c 3c a b a, b, c Q 3b 3c a, cu operațiile din M 3(R) formează corp. x 0 f(t)dt = nxf(x), x > 0, n N. 3. Fief : [0;2] R o funcție cu derivata continuă pentru caref(0) = f(2) = 1 și f (x) 1, oricare ar fi x [0;2]. Să se arate că 2 f(t)dt > 1. 0 4. Să se arate că toate grupurile G cu 1986 elemente cu proprietatea că pentru orice n N, există cel mult un subgrup al lui G cu n elemente, sunt izomorfe între ele. 8