TITULARIZARE 2000 Varianta 1. cot 2p+1 = 1

Transcript

1 TITULARIZARE 2000 Varianta 1 1. a) Teoremele lui Bernoulli-L Hôpital. b) Relații binare. Relații de echivalență și mulțimi cât. Relații de ordine. Exemple. 2. a) Exemple și contraexemple în predarea noțiunilor de șir monoton, șir mărginit, șir convergent. b) Teorema celor trei perpendiculare și reciprocele. 3. a) Fie n N. i. Descompuneți în factori ireductibili în C[X] polinomul p n = (X +1) n (X 1) n. ii. Demonstrați că pentru orice p N are loc egalitatea: b) Fie D = { x R p kπ cot 2p+1 = 1 2p+1. k=1 } 2x x 2 1 > 0 și f : D R, f(x) = ln 2x x 2. Să se determine α D pentru 1 care există lim n ( 1)n α n f (n) (α), unde f (n) : D R este derivata de ordinul n N a funcției f : D R. 1

2 Varianta 2 1. a) Teorema lui Lagrange pentru grupuri. Consecințe. Mica teoremă a lui Fermat. Teorema lui Euler. b) Proprietatea lui Darboux. Enunț și exemple. Teorema: Orice funcție continuă pe un interval are proprietatea lui Darboux. 2. a) Distanța dintre două drepte necoplanare, perpendiculara comună, diverse metode de determinare. b) Legături între primitivabilitate și integrabilitate Riemann pe un interval real. 3. a) Fie n N și a 1, a 2,..., a n numere reale astfel încât 0 < a 1 < a 2 <... < a n. Pentru fiecare n permutare σ S n, se notează S σ = a j a σ(j). Determinați permutările σ pentru care S σ are valoarea minimă. j=1 b) i. Dovediți că pentru orice x [0, 1], au loc inegalitățile: ii. Calculați lim 2n n k=n+1 sin 2 1 k. x 2 x4 3 sin2 x x 2. 2

3 Varianta 3 1. a) Inelul polinoamelor cu o nedeterminată cu coeficienți într-un inel comutativ. Gradul unui polinom. Funcție polinomială. b) Continuitate uniformă. 2. a) Metoda inducției matematice. Principiile 1 și 2. Ilustrarea în probleme cu identități, inegalități și divizibilitate. b) Reprezentarea trigonometrică a numerelor complexe. 3. a) Să se determine funcția polinomială p : R R astfel încât funcția f : R R, definită prin {e 1 x f(x) = 2 1, x < 1 p(x), x 1 să fie indefinit derivabilă pe R. b) Determinați în mulțimea numerelor reale marginea inferioară și marginea superioară a mulțimii: { } 1 A = n +( 1)n R n N. 3

4 Varianta 4 1. a) Corpul numerelor reale. Prezentări axiomatice echivalente. Schița construcției unui model. b) Cicli și transpoziții în S n. Definiții, proprietăți, descompunerea unei permutări în produs de cicli. 2. a) Logaritmul unui număr pozitiv. Definiție și proprietăți. b) Drepte perpendiculare, dreapta perpendiculară pe un plan, plane perpendiculare. 3. a) Pentru fiecare x R, să se calculeze: sin 2 x 0 arcsin tdt+ cos 2 x 0 arccos tdt. b) Pe aceeași mulțime suport, două legi de compoziție interne definesc câte o structură de grup. Știind că una dintre aceste legi este distributivă față de cealaltă, aflați cardinalul mulțimii suport. 4

5 Varianta 5 1. a) Mulțimea numerelor complexe: forma algebrică și forma matriceală. b) Definirea unitară a unei conice ca loc geometric. 2. a) Îmbinarea aspectelor intuitive, desene, modele, etc. cu rigoarea în predarea proprietăților funcțiilor derivabile: teoremele lui Fermat, Rolle, Lagrange. b) Aspecte metodice privind rezolvarea ecuației a sinx+b cosx+c = 0, a, b, c R. 3. a) Calculați lim n 2 n k=1 descrescătoare pe [0, ). n 1 n 2 folosind, eventual, faptul că funcția f : R R, f(x) = +k2 1+x 2 este b) Fie f : (1, ) ( 2, ), f(x) = x 3 3x. Să se arate că funcția f admite, în raport cu operația de compunere a funcțiilor, o inversă g : ( 2, ) (1, ) de două ori derivabilă și să se calculeze g (2) și g (2). 5

6 Varianta 6 1. a) Subgrupurile grupului aditiv al numerelor întregi. b) Puterea unui punct față de un cerc. 2. a) Metode de rezolvare a problemelor de aritmetică. b) Drepte paralele, dreaptă paralelă cu un plan, plane paralele. 3. a) Determinați numerele întregi x care îndeplinesc simultan condițiile: x 2 (mod 7), x 1 (mod 8) și x 3 (mod 9). b) Fie d o dreaptă, iar A și B două puncte în spațiu nesituate pe d. Determinați poziția punctului M pe dreapta d astfel încât MA+MB să fie minimă. c) Fie ecuația x 2 x 2+1 = 0 cu soluțiile complexe x 1 și x 2. Să se calculeze: E = x5 1 x4 1 +x 1 +1 x 5 1 +x4 1 x x5 2 x4 2 +x 2 +1 x 5 2 +x4 2 x

7 Varianta 7 1. a) Grupul rădăcinilor complexe de ordinul n ale unității. b) Teorema împărțirii cu rest pentru numere întregi. 2. a) Metoda inducției complete. b) Drepte perpendiculare, dreaptă perpendiculară pe un plan, teorema celor trei perpendiculare. 3. a) Fie A = (0, )\{1} și funcția f : A A R, f(u, v) = log u v log v u. Să se rezolve ecuația unde a A, b A, a b. f(a, b x ) f(b, a x ) = 2f(a, b) cu necunoscuta x R, b) Pe dreapta d se consideră două puncte mobile P și Q. Fie AB un segment de lungime 2a, paralel cu d și la distanța h de d. Se notează PA QB = {M} și PB QA = {N}. i. Să se arate că dreapta MN trece printr-un punct fix. ii. Să se afle locul geometric al punctelor M și N în ipoteza că PQ = 2k, pentru k a. iii. Considerând poziția în care MN AB, să se afle valorile lui k în funcție de a și h pentru care N este centrul cercului înscris în triunghiul MAB. 7

8 Varianta 8 1. a) Inel, subinel, omomorfisme de inele. b) Mica teoremă a lui Fermat. 2. a) Funcții injective, surjective, bijective. b) Teoremele lui Menelaus și Ceva și aplicații ale lor în probleme de coliniaritate și concurență. 3. a) Fie m R. În raport cu necunoscuta x R să se rezolve și să se discute după m R inecuația x m 1 mx 1. b) Fie ABCD un patrulater convex și M un punct pe diagonala AC. Paralelele prin M la AB, respectiv CD, intersectează BC în P, respectiv AD în Q. Arătați că: Precizați în ce caz are loc egalitatea. MP 2 +MQ 2 AB2 CD 2 AB 2 +CD 2. 8

9 Varianta 9 1. a) Relații binare, relații de echivalență, clase de echivalență, mulțimi cât. b) Teorema lui Cramer. 2. a) Relații metrice: teorema lui Pitagora generalizată și relația lui Stewart. b) Unghiul a două drepte necoplanare, unghiul format de o dreaptă cu un plan, unghiul a două plane. 3. a) Fie a, b R și n N cu proprietatea n 2. Să se rezolve și să se discute ecuația cu necunoscuta x: n a x+ n x b n a x = 3 n a x n x b n x b. b) Pe segmentul fix AB se ia punctul mobil M și se construiesc, de aceeași parte a segmentului, triunghiurile echilaterale AM C și M DB. i. Să se găsească locul geometric al centrului de greutate al triunghiului DMC. ii. Să se determine poziția punctului M astfel încât aria triunghiului DMC să fie maximă. 9

10 Varianta a) Corp, subcorp, omomorfism de corpuri. b) Calculul rădăcinilor raționale ale unei ecuații polinomiale cu coeficienți întregi. 2. a) Progresii geometrice. b) Probleme de extrem în geometria plană. Tehnici de abordare. 3. a) Fie ABCD un tetraedru. Demonstrați că următoarele afirmații sunt echivalente: i. AB CD, AC BD, AD BC; ii. înălțimile tetraedrului sunt concurente; iii. AB 2 +CD 2 = AC 2 +BD 2 = AD 2 +BC 2. b) Se dă funcția f : R R, f(x) = x 2 +2(k p)x+k 2, unde k și p sunt numere naturale nenule. Determinați valorile lui p N, știind că punctul de minim al funcției f aparține produsului cartezian [0, 2] [ 2p, 0]. 10

11 Satu Mare 1. a) Grupuri ciclice. Ordinul unui element. b) Teoremele lui Bernoulli-L Hôpital. 2. a) Rolul primei derivate în studiul funcțiilor. b) Formule pentru aria unui triunghi. 3. a) i. Să se demonstreze că cercul înscris într-un triunghi ABC trece prin centrul cercului circumscris dacă și numai dacă sin A 2 sin B 2 sin C =. 4 ii. Să se arate că OI R B C sin 2, notațiile fiind cele cunoscute. b) Să se discute după valorile parametrului real a numărul soluțiilor reale ale sistemului următor: { x 2 +y 2 = z. x+y +z = a 11

12 Dej 1. a) Clase de funcții integrabile Riemann. b) Forma analitică a izometriilor planului. 2. a) Hiperbola. b) Compunerea funcțiilor, funcții inversabile: definiții, proprietăți. 3. a) Fie n N, x R și E n (x) = xc 0 n + x2 2 C1 xn+1 n + + n+1 Cn n. i. Să se rezolve ecuația E n (x) = 0 și să se verifice numărul rădăcinilor reale ale acesteia. ii. Să se calculeze 1 0 E n (x)e n ( x)dx. b) Să se afle cel mai mare element al mulțimii: { A = (2n 2 +3n) 3 (3n 2 +2n) } 2 R n N. 12

13 Baia Mare 1. a) Funcții cu proprietatea lui Darboux. b) Relațiile de echivalență induse de un subgrup și indicele unui subgrup. Teorema lui Lagrange. 2. a) Demonstrați teorema lui Ceva și reciproca ei. Ilustrați teorema directă printr-un exemplu și precizați o aplicație pentru teorema reciprocă. b) Proprietățile determinanților. 3. a) Pe laturile triunghiului ABC se construiesc în exterior triunghiurile echilaterale ABP, ACN, BCM. Fie {I} = BN CP. Să se arate că: i. punctele A, I și M sunt coliniare; ii. dacă O 1, O 2, O 3 sunt centrele de greutate ale triunghiurilor echilaterale construite, atunci triunghiul O 1 O 2 O 3 este echilateral. b) Fie n N. Dându-se I n = I n lim. n J n 1 n 1 n+1 arctan 2 nxdx și J n = 1 n 1 n+1 arcsin 3 nxdx, să se calculeze 13

14 Zalău 1. a) Integrala Riemann (definiție, exemple). Criterii de integrabilitate Riemann. b) Teorema împărțirii cu rest în Z și Z[X]. 2. a) Rezolvarea ecuațiilor trigonometrice elementare: sinx = a, cosx = a, tanx = a. b) Logaritmi. Definiție. Proprietăți. Schimbarea bazei. x 2 e t2 dt 0 3. a) Să se calculeze lim x 0 sin 2 x. b) Fie a R și n N. Calculați: a a a a a a a a a n. 14

15 Alba Iulia 1. a) Funcții cu proprietatea lui Darboux. b) Sisteme de ecuații liniare. Definiție. Teoremele lui Kronecker-Capelli și Rouche. c) Fie p, q N cu proprietatea p, q 2. Să se calculeze: lim n p n x dx. q n x dx d) Să se arate că ecuațiile sin x = sin x și cos x = cos x sunt echivalente. 2. a) Funcția logaritmică. b) Progresii geometrice. 15