4. FUNCŢII DIFERENŢIABILE. EXTREME LOCALE. 4.. Noţun teoretce ş rezultate fundamentale. 4... Dferenţabltatea funcţlor reale de o varablă reală. Multe robleme concrete conduc la evaluarea aromatvă a creşter une anumte mărm în raort cu creşterea altea. Pentru smltatea e este referată aromarea lnară. Fnd dată o funcţe f : (a, b R ş un unct fat (a, b se caută o funcţe lnară L astfel încât creşterea funcţe f în unctul, relatvă la creşterea a argumentulu, să oată f aromată cu L (, adcă: f( + f( L ( entru sufcent de mc. Pentru ca o asemenea formulă aromatvă să oată f accetată este necesar ca: f ( f ( L ( lm = ceea ce asgură că eroarea în formula de aromare oate f făcută orcât de mcă entru varaţ dn ce în ce ma mc ale argumentulu. Aar în mod natural o sere de robleme, cum ar f: estenţa ş unctatea alcaţe lnare L, recum ş caracterzarea funcţlor f entru care ot f consderate asemenea aromăr lnare. Dn lceu se şte că entru o funcţe f : (a, b R dervablă în unctul (a, b, oate f consderată formula de aromare: f( + f( f ( entru sufcent de mc. Aceste consderaţ conduc, în mod natural, la următoarea defnţe: Defnţa 4... Fe A R o mulţme descsă, f : A R o funcţe arbtrară, A un unct fat. Funcţa f se numeşte dferenţablă în unctul dacă estă o alcaţe lnară L : R R astfel încât: f ( f ( L ( lm = Observaţa 4... a Orce funcţe lnară L: R R este de forma L( = c, R, unde c = L(; recroc, orcare ar f cr, fat, egaltatea L( = c, entru orce R, defneşte o funcţe lnară L: R R. Prn urmare, orce alcaţe lnară de la R la R este bne determnată de o constantă reală. Deducem astfel că funcţa f este dferenţablă în unctul dacă ş numa dacă estă c R, încât: f ( f ( c lm = f ( f ( L ( b Egaltatea lm = oate f scrsă ecvalent: lm f ( f ( L ( = Ultma egaltate rezntă avantaul că oate f uşor transcrsă entru funcţ de la R la R m înlocund modulul dn R cu norma dn R, resectv dn R m. Teorema următoare stableşte fatul că o funcţe reală de o varablă reală este dferenţablă întrun unct fat dacă ş numa dacă ea este dervablă în acest unct.
Teorema 4... Fe A R o mulţme descsă, f : A R o funcţe arbtrară, A un unct fat. Dacă f este dferenţablă în, atunc f este dervablă în ş f ( = f este dferenţablă în ş L : R R, L ( = f (. L (. Dacă f este dervablă în, atunc Observaţa 4... Dn această teoremă se deduce medat că alcaţa lnară L dn defnţa 4... este unc determnată de f ş. Defnţa 4... Fe A R o mulţme descsă, f : A R o funcţe arbtrară. Dacă funcţa f este dferenţablă în unctul fat A, alcaţa lnară L se numeşte dferenţala funcţe f în unctul ş se notează df. Funcţa f se numeşte dferenţablă e mulţmea A dacă este dferenţablă în fecare unct A. În acest caz, notând rn L (R, R mulţmea tuturor alcaţlor lnare de la R la R, funcţa df :A L (R, R defntă rn (df( = df se numeşte dferenţala funcţe f e mulţmea A. Observaţa 4...3. a Cunoaşterea funcţe df :A L (R, R revne la cunoaşterea funcţe df L (R, R entru orce A. Dn teorema 4... deducem că entru orce A ş orce R avem: (df(( = df ( = f ( b Funcţa denttate e A, A : A A, A ( = este dferenţablă e A ş dferenţala sa, notată cu d, este egală, în fecare unct A, cu funcţa denttate e R. Prn urmare, d : A L (R, R ş (d( = R entru orce A, adcă, orcare ar f A ş orcare ar f R, (d(( =. c Cu autorul dferenţale funcţe denttate e A utem erma dferenţala funcţe f dferenţable e A, astfel: df = f d Este evdent că studul funcţlor reale de o varablă reală, dferenţable se reduce la studul funcţlor dervable, cunoscut dn lceu. 4... Dferenţabltatea funcţlor vectorale de o varablă reală. Ţnând seama de observaţa 4... b, defnţa 4... se oate erma astfel: Defnţa 4... Fe A R o mulţme descsă, f : A R m o funcţe vectorală de o varablă reală arbtrară, A un unct fat. Funcţa f se numeşte dferenţablă în unctul dacă estă o alcaţe lnară L : R R m astfel ncât: lm f ( f ( L ( (la numărător se consderă norma eucldană dn R m, m Ţnând seama de fatul că, în R m, oeraţle algebrce ş trecerea la lmtă se fac e comonente, rezultă medat: Teorema 4... Fe A R o mulţme descsă, f : A R m o funcţe vectorală de o varablă reală, de comonente f : A R =,,, m, A un unct fat. Funcţa f este dferenţablă în unctul dacă ş numa dacă toate comonentele sale sunt dferenţable în. Ţnând seama de teorema 4... ş de fatul că L ( = (c, c,, c m, unde c R, =,, m se obţne L ( = (f (, f (,, f m ( = (f (, f (,, f m (. Prn urmare, ş în acest caz, alcaţa lnară L dn defnţe este bne determnată de funcţa f ş unctul, ma eact de vectorul (f (, f (,, f m ( unc determnat de f ş. Vom nota L cu df ş o vom num dferenţala funcţe f în unctul ; vom nota: (f (, f (,, f m ( = f ( ş vom num acest vector dervata funcţe vectorale f în unctul. Atunc, evdent df ( = f ( entru orce R. Să reţnem dec că dervarea ş dferenţerea une funcţ vectorale de o varablă reală se realzează ca ş trecerea la lmtă sau studul contnutăţ, e comonente. =
4..3. Dervate arţale. Dferenţabltatea funcţlor reale de varablă vectorală. Etreme locale. Consderăm R înzestrat cu norma eucldană,, A R o submulţme descsă. Ţnând seama de observaţa 4... b, defnţa 4... se etnde astfel: Defnţa 4..3.. Funcţa f : A R R se numeşte dferenţablă în unctul A dacă estă o alcaţe lnară L : R R astfel încât: f ( f ( L lm (la numtor se consderă norma eucldană dn R, Observaţa 4..3.. Deoarece alcaţa L este lnară, entru orce R, = (,,, avem: L ( = ( = c + c + + c, unde c R, =,,. În deea de a stabl legătura între numerele c, c,, c ş funcţa f, se oate arăta că, dacă f este dferenţablă în, dec alcaţa L estă, f ( c,...,,,,..., f (,...,,..., = lm =,,, Prn urmare, ş în acest caz, alcaţa lnară L dn defnţe este unc determnată de funcţa f ş unctul. Vom nota L cu df ş o vom num dferenţala funcţe f în unctul. Lmta de ma sus se numeşte dervata arţală a funcţe f în raort cu varabla în unctul ş se f f f (,...,,,,..., f (,...,,..., notează (. Dec ( = lm =,,, Rezultă astfel: Teorema 4..3.. Dacă funcţa f este dferenţablă în unctul atunc f are dervate arţale în acest unct în raort cu toate varablele ş: f f f df ( = ( + ( + ++ ( entru orce = (,,, R. Observaţa 4..3.. a Rolul dervate de la funcţ de o varablă îl oacă vectorul f f f (, (,..., ( care se numeşte gradentul funcţe f în unctul ş se notează (grad f(. Evdent, df ( = (grad f(, entru orce R. b Dacă f are dervate arţale în, în raort cu toate varablele nu rezultă, în general, că f este dferenţablă în. De eemlu, dacă f : R R, s y f f f(, y = atunc estă (, =, (, =, dar f nu este dferenţablă în, sau y y (,. Dacă f ar f dferenţablă în (, ţnând seama de teorema recedentă, L (, ( = entru orce R.
f (, f (, L(, (, Raortul = nu are însă lmta zero când, dec f nu este dferenţablă în (,. c Fe {,,,} arbtrar, fat. Fe Π : R R, Π (,,, = alcaţa de roecţe. Orcare ar f o R, Π este dferenţablă în ş (d Π = Π. De obce se notează d Π cu d. Astfel, (d (,,, = = Π (,,, =. Cu autorul dferenţalelor alcaţlor de roecţe, dferenţala une funcţ dferenţable arbtrare se ermă astfel: f f f df = ( d + ( d + + + ( d aceasta fnd o egaltate de alcaţ dn L (R, R. Dacă f este dferenţablă în orce unct dn A, atunc, evdent, obţnem: f f f df = d + d + + d f aceasta fnd o egaltate de alcaţ defnte e A cu valor în L (R, R, unde este funcţa care asocază fecăru unct dn A numărul real care este dervata arţală a funcţe f în raort cu varabla în acest unct. Defnţa 4..3.. Funcţa f : A R R se numeşte dervablă arţal e mulţmea A dacă are dervate f arţale în raort cu toate varablele sale în orce unct dn A. În acest caz se ot defn funcţ : f A R, (, =,,, numte dervatele arţale ale lu f e mulţmea A. Funcţa f este de clasă f C e A ş se notează fc (A dacă f este dervablă arţal e A ş funcţle, =,,, sunt contnue e A. Teorema 4..3.. Dacă funcţa f : A R R este dervablă arţal e o vecnătate descsă V a f unctulu A, ar funcţle : V R, =,,, sunt contnue în, atunc funcţa f este dferenţablă în. Dacă f C (A atunc f este dferenţablă e A. Observaţa 4..3.3. Contnutatea dervatelor arţale în este o condţe sufcentă entru dferenţabltatea funcţe f în acest unct, dar nu neaărat necesară. De eemlu, funcţa f : R R ( y sn,(, y (, f(, y = y,(, y (, este dferenţablă în orgne fără ca dervatele sale arţale să fe contnue în acest unct (vez eercţul 4.3.4.. Defnţa 4..3.3. Fe A R o submulţme descsă, f : A R, = (,,, A ş fe v = (v, v,, v R un versor dat ( v =. Funcţa f se numeşte dervablă în unctul duă versorul v dacă estă în R f ( tv f ( f lm. Notăm această lmtă cu ( ş o numm dervata funcţe f duă versorul t t v v în unctul.
Observaţa 4..3.4. a Notând = + tv rezultă că vectorul este colnar cu v, ar t este abscsa unctulu e dreata determnată de ş v, orentată cu autorul lu v. Cu această notaţe, utem scre: f f ( f ( ( = lm v t tv ceea ce ustfcă termnologa utlzată. f f b Notând cu v * = - v (versorul ous se observă medat că dacă estă ( atunc estă ( * = - v v f f ( ; acest fat ustfcă de ce dervata ( este asocată versorulu ş nu drecţe (care admte do v v versor c Dacă {e, e,, e } este baza canoncă a lu R, atunc dervata funcţe f duă versorul e este tocma dervata arţală în raort cu varabla, adcă f f ( = (, =,,, e Prn urmare, dervatele arţale ale une funcţ într-un unct sunt cazur artculare de dervate duă versor în acel unct. f Teorema 4..3.3. Dacă funcţa f este dferenţablă în, atunc estă f ş ( = df v (v. Ţnând seama de teorema 4..3.. deducem că: f f f ( = (grad f( v = ( v + v f ( v + + ( entru orce versor v R v ( v Dec, dacă f este dferenţablă în, atunc ea are dervată duă orce versor în ş aceasta se oate erma cu autorul dervatelor arţale în acest unct. Defnţa 4..3.4. Fe A R o submulţme descsă, f : A R o funcţe dervablă arţal în raort cu f varabla e o vecnătate V a unctulu fat A. Dacă funcţa : V R este dervablă arţal în raort cu varabla, în unctul, atunc f se numeşte de două or dervablă arţal în unctul, în f f raort cu varablele ş, ar ( se notează ( ş se numeşte dervata arţală mtă de ordnul do a funcţe f în unctul în raort cu varablele ş. Dacă =, în condţle de ma sus, funcţa se numeşte de două or dervablă arţal în unctul, în raort cu varabla, ar f f ( se notează ( ş se numeşte dervata arţală de ordnul do a funcţe f în unctul în raort cu varabla. Dacă funcţa f este de două or dervablă arţal în raort cu varablele ş în fecare unct dn A, sunem că f este de două or dervablă arţal în raort cu varablele ş e A, ar alcaţa f ( se numeşte dervata arţală de ordnul do a funcţe f în raort cu varablele ş. Evdent, ş ot lua orcare dn valorle,,.., dec, entru o funcţe de varable, se ot defn dervate arţale de ordnul do, dntre care sunt mte. Funcţa f se numeşte de clasă C e mulţmea A, dacă toate dervatele arţale de ordnul do estă ş sunt contnue e A.
f Observaţa 4..3.5. Pentru funcţ de două varable estă atru dervate arţale de ordnul do:, f f f f f,,. Pentru unele funcţ dervatele mte ş sunt egale. În scmb, y y y y y entru funcţa y y,(, y (, f :R R, f(, y = y, avem:,(, y (, f f (, =, (, = -. (vez eercţul 4.3.. y y Dec, în acest caz, dervatele arţale mte în (, nu sunt egale. Teorema următoare dă condţ sufcente entru egaltatea dervatelor arţale mte. Teorema 4..3.4. (H.A. Scwarz Fe A R o mulţme descsă, f : A R o funcţe de clasă C e A. Atunc f = f, =,,,. Observaţa 4..3.6. Contnutatea dervatelor mte este o condţe sufcentă, dar nu neaărat necesară, y ln entru egaltatea acestora. De eemlu, entru funcţa f :R R, f(, y =, y y avem, y f f f (, = (,, dar funcţa nu este contnuă în orgne. (vez eercţul 4.3.. y y y Defnţa 4..3.5. Matrcea H f ( = f (,, =,,, se numeşte essana funcţe f în unctul. În cazul în care f este de clasă C matrcea H f ( este o matrce smetrcă. În acest caz, forma f ătratcă determnată de această matrce, adcă alcaţa : R R, ( = ( oacă un rol foarte mortant în determnarea unctelor de etrem local entru o funcţe reală de ma multe varable reale. Defnţe 4..3.6. Fe A R o mulţme descsă, f : A R o funcţe arbtrară. Un unct A se numeşte unct de etrem local al funcţe f dacă estă o vecnătate V a unctulu în care dferenţa f( f( are semn constant. Ma recs, unctul se numeşte unct de mam (resectv de mnm local al lu f dacă entru orce V avem f( f( (resectv f( f(. Un unct A se numeşte unct crtc (sau staţonar entru funcţa f, dacă f are dervate arţale de ordnul întâ nule în, adcă f (, =,,,. Teorema următoare stableşte condţ necesare de etrem. Teorema 4..3.5. (Fermat Fe A R o mulţme descsă. Dacă funcţa f : A R are dervate arţale de ordnul întâ în unctul A ş este unct de etrem local al lu f, atunc este unct crtc (staţonar entru f.,,
Observaţa 4..3.7. Dacă f : A R este o funcţe dervablă arţal în raort cu toate varablele e mulţmea descsă A R atunc unctele de etrem local ale funcţe f se află rntre soluţle stuate în A ale sstemulu f (,,..., =, =,,, Nu orce soluţe a acestu sstem este un unct de etrem. De eemlu, entru funcţa f(, y = 3 y 3, (, y R, sngurul unct crtc este (,, dar f(, y f(, nu ăstrează un semn constant în nc o vecnătate a orgn. Prn urmare, (, este unct crtc, dar nu este unct de etrem entru f. În cele ce urmează, în cazul în care f este de clasă C vom da condţ sufcente rn utlzarea cărora să se oată decde care dn unctele crtce ale une funcţ sunt uncte de etrem. Teorema 4..3.6. Fe A R o mulţme descsă ş conveă, f : A R o funcţe de clasă C e A. Fe A un unct crtc al funcţe f ş forma ătratcă determnată de matrcea essană H f (. Dacă forma ătratcă este oztv defntă (negatv defntă atunc este unct de mnm (resectv de mam local entru f. În demonstraţa aceste teoreme este foarte utlă formula lu Taylor cu restul de ordnul do: Dacă, f : A R este o funcţe de clasă C e mulţmea descsă ş conveă A, ar A este un unct fat, atunc, entru orce A estă ξ e segmentul [, ] astfel încât: f f f( = f( + ( ( ( (!! Observaţa 4..3.8. a Dacă f este de clasă C e A, matrcea essană în orce unct este o matrce smetrcă, dec toate valorle e ror sunt reale. Dacă H f ( are toate valorle ror strct oztve (resectv strct negatve atunc forma ătratcă este oztv defntă (resectv negatv defntă ş dec este unct de mnm (resectv mam local entru f. b Condţle lu Sylvester dn teora formelor ătratce alcate forme de ma sus arată că este unct de mnm dacă mnor rncal Δ, Δ,, Δ a matrc essene sunt strct oztv; este unct de mam dacă Δ <, Δ >, Δ 3 <,, (- Δ >. f c Dacă ( = entru orce, {,,, } atunc se studază semnul creşter f( f( drect, sau cu autorul formule lu Taylor scrsă coresunzător (dacă f este de clasă C n, n 3. 4..4. Dferenţabltatea funcţlor vectorale de varablă vectorală. Matrcea acobană. Ţnând seama de observaţa 4... b, defnţa 4... se oate etnde astfel: Defnţa 4..4.. Fe A R o mulţme descsă,, f : A R m, m o funcţe vectorală de varablă vectorală arbtrară, A un unct fat. Funcţa f se numeşte dferenţablă în unctul dacă estă o alcaţe lnară L : R R m astfel încât: f ( f ( lm L ( (la numărător se consderă norma eucldană dn R m, ar la numtor, norma eucldană dn R Ţnând seama de fatul că în R m oeraţle algebrce ş trecerea la lmtă se face e comonente, rezultă ca ş în cazul 4... : Teorema 4..4.. Funcţa f este dferenţablă în unctul dacă ş numa dacă toate comonentele sale sunt dferenţable în. În acest caz L are dret comonente dferenţalele df, df,, df m ale comonentelor lu f, care sunt alcaţ lnare de la R la R, ermate cu autorul dervatelor arţale ca în =
teorema 4..3.. Prn urmare, ş în acest caz, alcaţa lnară L dn defnţa 4..4.. este bne determnată de funcţa f ş unctul, ma recs de matrcea: f f f ( (... ( f f f ( (... (... f f f m m m ( (... ( numtă matrce Jacob (sau matrce acobană a funcţe f în unctul, notată J f (. Vom nota L cu df ş o vom num dferenţala funcţe f în unctul. Atunc evdent, df ( = J f (, entru orce R. Dacă m = matrcea Jacob este o matrce ătrată, ar determnantul e oartă numele de acoban sau determnant funcţonal al alcaţe f în unctul ş se notează D(f,f,...,f det J f ( = ( D(,,..., Refertor la funcţle comuse se oate demonstra: Teorema 4..4.. Fe A R, B R m mulţm descse, f :A B o funcţe dferenţablă în unctul A, g :B R m o funcţe dferenţablă în unctul f( B. Atunc funcţa comusă g f : A R m este dferenţablă în unctul ş : J ( = J g (f( J f ( g f Observaţa 4..4.. a Dn această egaltate rezultă dverse regul de dervare arţală a funcţlor comuse. De eemlu, dacă = n =, m =, funcţa f este de varable ş y, ar g este de varable u, v, ambele dferenţable, obţnem: ( g f g f (, y (f(, y,f (, y (, y + u + g f (f (, y,f (, y (, y v ( g f g f (, y (f(, y,f (, y (, y + y u y + g f (f (, y,f (, y (, y v y b Dacă = n = m se obţne o relaţe mortantă între determnanţ funcţonal ş anume: det[ J ( ] = det[j g (f( ] det[j f ( ] g f