Θεωρητικές κατανομές τυχαίων μεταβλητών Έννοια Είδη θεωρητικών κατανομών Κανονική κατανομή Τυπική κανονική κατανομή Υπολογισμός πιθανοτήτων με χρήση τυπικής κανονικής κατανομής Ασκήσεις
«παρόμοιες» κατανομές Για μια τυχαία μεταβλητή Χ, υπολογίζουμε θεωρητικά τις πιθανότητες εμφάνισης τιμών, όταν αυτές μπορούν να υπολογιστούν, χρησιμοποιώντας τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας. (π.χ. ρίξιμο κέρματος, επιτυχία σε λαχείο, επιλογή από δοχείο, ) Παρατηρήθηκε ότι για παρόμοιες τυχαίες μεταβλητές, οι θεωρητικές κατανομές τους είναι ίδιες ή περίπου ίδιες. (π.χ. ρίξιμο κέρματος, φύλο παιδιού, κέρδος σε ρουλέτα, εύρεση ελαττωματικού, κ.α.). (π.χ. επιλογή 3 χαρτιών από τράπουλα, επιλογή 3 ατόμων από μια τάξη, επιλογή 3 προϊόντων από μια παρτίδα παραγωγής,...) (π.χ. επιλογή ατόμων με ύψος μεγαλύτερο από 170cm, επιλογή ατόμων με βάρος μεγαλύτερο από 80 κιλά, επιλογή επιχειρήσεων με κέρδη μεγαλύτερα από 15000 ευρώ,...)
Θεωρητική κατανομή Η «ίδια» ή «περίπου ίδια» κατανομή μιας ομάδας τυχαίων μεταβλητών μελετήθηκε θεωρητικά, υπολογίστηκαν όλα τα χαρακτηριστικά της, και μπορεί πλέον να εφαρμοστεί σε όλες τις τυχαίες μεταβλητές της ομάδας. Ονομάστηκε Θεωρητική κατανομή, και λέμε ότι η τυχαία μεταβλητή, ακολουθεί την κατανομή αυτή. ιακρίνουμε τις θεωρητικές κατανομές σε διακριτές και συνεχείς, ανάλογα με το αν οι τιμές τους είναι ακέραιες ή δεκαδικές.
ιακριτές θεωρητικές κατανομές Κατανομή Bernouli (για 1 επιτυχία ή αποτυχία) ιωνυμική κατανομή. (για n επαναλήψεις με επιτυχία ή αποτυχία κάθε φορά) Κατανομή Poisson (για «απίθανες» εμφανίσεις) Γεωμετρική κατανομή. Υπεργεωμετρική κατανομή
Συνεχείς θεωρητικές κατανομές Κανονική κατανομή Εκθετική κατανομή. Χ 2 κατανομή. F κατανομή.
Κανονική κατανομή Ονομάζεται και κατανομή Gauss ή «φυσική» κατανομήήκατανομήτης «καμπάνας» Εφαρμόζεται σε πάρα πολλές περιπτώσεις που αφορούν μετρήσεις της φύσης (ύψος, βάρος, μήκος, πλάτος, κλπ.) Όταν δεν ξέρουμε το είδος της κατανομής, συνήθως υποθέτουμε κανονική κατανομή. Είναι συμμετρική γύρω από την αναμενόμενη τιμής της (μέσος όρος) και ηκαμπύλητηςέχειτοσχήματης καμπάνας.
Κανονική κατανομή 60 50 40 30 20 10 0 70 60 50 40 30 20 10 0
Χαρακτηριστικά κανονικής κατανομής Μέση τιμή μ. ιακύμανση σ 2. Συμβολίζεται με Ν(μ,σ) Χ ~ Ν(μ,σ), όταν Ε(Χ)=μ καιvar(χ)= σ 2
Ιδιότητες κανονικής κατανομής Συμμετρική γύρω από τη μέση τιμή. Έχει την κορυφή στο μ. μ=μ=τ (μέση τιμή = διάμεσο= επικρατούσα) «απλώνεται» 3σ αριστερά και 3σ δεξιά από το μ. Στο [μ-σ, μ+σ] περιέχεται το 67,5% των τιμών Στο [μ-2σ, μ+2σ] περιέχεται το 95% των τιμών Στο [μ-3σ, μ+3σ] περιέχεται το 99,5% των τιμών
Τυπική κανονική κατανομή (κατανομή Ζ) 60 50 40 30 20 10 0-3,0-2,0-1,0 0 1,0 2,0 3,0 Μέση τιμή μ=0. ιακύμανση σ 2 =1. Συμβολίζεται με Ν(0,1) Ζ ~ Ν(0,1), όταν Ε(Ζ)=0 και Var(Ζ)= 1 Παίρνει τιμές από -3 έως +3
Τυπική κανονική κατανομή (κατανομή Ζ) 60 50 40 30 P(Z<z) 20 10 0 z -3,0-2,0-1,0 0 1,0 2,0 3,0 Ρ(Ζ<0)=0,5 = 50% Ρ(Ζ>0)=0,5 = 50%. Ρ(-1<Ζ<+1)=0,675 Ρ(-2<Ζ<+2)=0,95 Ρ(-3<Ζ<+3)=0,995 Πίνακας με υπολογισμένες όλες τις πιθανότητες Ρ(Ζ<z)
Τυπική κανονική κατανομή (κατανομή Ζ) 60 50 40 30 P(Z<z) 20 10 0 z -3,0-2,0-1,0 0 1,0 2,0 3,0 Ρ(Ζ<z)= πίνακας Ρ(Ζ>z)= 1- Ρ(Ζ<z)=1- πίνακας = Ρ(α<Ζ<β)= Ρ(Ζ<β)- Ρ(Ζ<α)=
Μετατροπή κανονικής κατανομής Χ(μ,σ) σε τυπική κανονική κατανομή Ζ(0,1) 60 50 Χ(μ,σ) 40 30 20 10 0 Ζ= Χ-μ σ 70 60 Ζ(0,1) 50 40 30 20 10 0
Υπολογισμός πιθανοτήτων Χ(μ,σ) με Ζ= Χ-μ σ τυπική κανονική κατανομή Ζ(0,1) Ρ(Χ<c)= Ρ(Χ-μ<c-μ)= Ρ(Ζ<c-μ)= σ σ σ =Ρ(Ζ<z)= πίνακας με υπολογισμένες πιθανότητες Ρ(Χ>k)=1- P(X<k)= 1- P(Z<(k-μ)/σ)= Ρ(α<Χ<β)=Ρ(Χ<β)-Ρ(Χ<α)= =Ρ(Ζ<(β-μ)/σ)- Ρ(Ζ<(α-μ)/σ)=
Υπολογισμός τιμής όταν γνωρίζουμε την πιθανότητα Ρ(Χ<α)= 0,95 Να βρεθεί το α Ρ(Ζ<(α-μ)/σ)=0,95 Από τον πίνακα με υπολογισμένες πιθανότητες της Ζ κατανομής: Ρ(Ζ<1,65)=0,95 Άρα (α-μ)/σ=1,65 και α=1,65*σ+μ
υπολογισμό πιθανοτήτων Ο ιευθυντής αεροπορικής εταιρείας μελετά τις καθυστερήσεις των αναχωρήσεων. Από τα στατιστικά στοιχεία προκύπτει ότι ο μέσος χρόνος καθυστέρησης (μ) είναι 15 λεπτά και η τυπική απόκλιση (σ) είναι 6 λεπτά. 1. Να βρεθεί η πιθανότητα μια πτήση να καθυστερήσει α) το πολύ μέχρι 10 λεπτά. β) πάνω από 20 λεπτά. γ) από 10 έως 20 λεπτά. 2. Πάνω από πόσα λεπτά καθυστερεί το 10% των πιο αργοπορημένων πτήσεων; Χ~Ν(15,6) 1. α) Ρ(Χ<10)=Ρ((Χ-15)/6 < (10-15)/6) = Ρ(Ζ<-5/6)= Ρ(Ζ<-0,83)= β) Ρ(Χ>20)=1-Ρ(Χ<20)=1-Ρ((Χ-15)/6 < (20-15)/6) = =1-Ρ(Ζ<5/6)= 1- Ρ(Ζ<+0,83)= γ) Ρ(10<Χ<20)=Ρ((10-15)/6 < (Χ-15)/6 < (10-15)/6) = = Ρ(-5/6<Ζ<+5/6)= (-0,83<Ζ<+0,83)= = Ρ(Ζ<+0,83) - Ρ(Ζ<-0,83) = - 2. Ρ(Χ>α)=0,10 Ρ(Χ<α)=0,90 Ρ(Ζ<(α-15)/6)=0,90 από τον πίνακα βρίσκουμε Ρ(Ζ<1,28)=0,90 Άρα (α-15)/6= 1,28 και α=1,28*6+15=22,7 λεπτά
ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ηκατανομή2000 μισθωτών ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μισθό μ=1000 ευρώ και τυπική απόκλιση σ=160 ευρώ. Να βρεθεί ο αριθμός των μισθωτών που παίρνει μισθό α) μικρότερο των 900 ευρώ, β) μεγαλύτερο των 1300 ευρώ, γ) μεταξύ 1000 και 1200 ευρώ. (Σημείωση: Βρείτε τις αντίστοιχες πιθανότητες και πολλαπλασιάστε με το σύνολο των μισθωτών) 2. Μια μηχανή κατασκευάζει καρφιά των οποίων το μήκος ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή μ=4cm και τυπική απόκλιση σ=0.2 cm. α) Ποια είναι η πιθανότητα το μήκος ενός καρφιού να είναι μεγαλύτερο από μ+σ; β) Ποια είναι η πιθανότητα το μήκος ενός καρφιού να είναι μικρότερο από μ-σ; γ) Αν το καρφί θεωρείται ελαττωματικό όταν το μήκος του είναιέξωαπότοδιάστημα(μ-σ, μ+σ), να βρείτε το ποσοστό των ελαττωματικών καρφιών. 3. Ο ιευθυντής μιας μονάδας παραγωγής, σκέφτεται να δώσει πριμ παραγωγικότητας στους εργαζομένους αν παράγουν 5% και άνω της υψηλότερης απόδοσης τους σε σχέση με το παρελθόν. Τα στατιστικά στοιχεία του παρελθόντος μελετήθηκαν και έδειξαν ότι η μέση παραγωγή ήταν 4000 μονάδες. Η κατανομή της πλησίαζε την κανονική κατανομή με σ=600 μονάδες. Πόσες μονάδες προϊόντων πρέπει να παράγουν οι εργαζόμενοι για να πάρουν το πριμ παραγωγικότητας; 4. Οι καθαρές πωλήσεις στις βιομηχανίες πλαστικών, ακολουθούν κανονική κατανομή με μέσο μ=180 χιλ. ευρώ και σ=25 χιλ. ευρώ.. Η βιομηχανία«πλαστικά ΑΕ», έχει πωλήσεις 170 χιλ ευρώ α) Μετατρέψτε πωλήσεις και εργαζομένους της «πλαστικά ΑΕ» σε z τιμές της τυπικής κανονικής κατανομής. β). Σχεδιάστε την καμπύλη της τυπικής κανονικής και τοποθετήστε τις τιμές της «πλαστικά ΑΕ», στην καμπύλη της τυπικής κανονικής κατανομής. γ) Συγκρίνετε την βιομηχανία «πλαστικά ΑΕ» με τις υπόλοιπες του κλάδου. Τι ποσοστό βιομηχανιών έχει περισσότερες πωλήσεις απ αυτήν; ( ηλαδή ποια η πιθανότητα μια βιομηχανία να έχει z τιμή μεγαλύτερη από της «πλαστικά ΑΕ»);