ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή Κεφ I Εισαγωγή ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ανάγκη µαθηµατικής περιγραφής και µοντελοποίησης συστηµάτων τα οποία εξελίσσονται χρονικά κατά τρόπο που περιέχει, σε µικρό ή µεγάλο βαθµό, τυχαιότητα, (stochasticity, radomess) και όχι κατά τρόπο προσδιοριστικό (determiistic) οδήγησε στην ανάπτυξη της Θεωρίας των Στοχαστικών Ανελίξεων ή Στοχαστικών ιαδικασιών (Stochastic Processes) Για τη µαθηµατική περιγραφή της τυχαιότητας στην εξέλιξη ενός στοχαστικού συστήµατος ας συµβολίσουµε µε X(t) την κατάσταση του συστήµατος κατά την χρονική στιγµή t (t ) Θεωρούµε ότι για κάθε t η κατάσταση Χ(t) είναι µια τυχαία µεταβλητή η οποία ορίζεται πάνω σε ένα χώρο πιθανότητας (Ω,, P) κοινό για όλα τα t Είναι δηλαδή η X(t), για συγκεκριµένο t, µια απεικόνιση X(ω,t) µε πεδίο ορισµού το δειγµατικό χώρο Ω ενός πειράµατος τύχης και τιµές στο, ή στο k γενικότερα Για συγκεκριµένο ω Ω έχουµε την συνάρτηση Χ(ω,t) = x(t), t, η οποία αποτελεί µια τροχιά (sample path) από όλες τις δυνατές τροχιές που µπορούν να προκύψουν από τον χώρο πιθανότητας (Ω,, P) και την οικογένεια των τµ {Χ(t): t } Γενικεύοντας την ερµηνεία του t ως στοιχείου ενός παραµετρικού συνόλου, και χρησιµοποιώντας τον όρο τυχαία µεταβλητή ενιαία, είτε δηλαδή πρόκειται για µονοδιάστατες είτε πρόκειται για πολυδιάστατες, έχουµε τον παρακάτω ορισµό Ορισµός Ονοµάζουµε Στοχαστική Ανέλιξη κάθε οικογένεια τυχαίων µεταβλητών {X(t): t } πάνω σε ένα κοινό χώρο πιθανότητας (Ω,, P) Το σύνολο των δυνατών τιµών των τυχαίων µεταβλητών X(t) (t ), συµβολιζόµενο µε, ονοµάζεται χώρος καταστάσεων και το σύνολο ονοµάζεται παραµετρικός χώρος Σηµειώνεται εδώ ότι, όπως ο χώρος καταστάσεων έτσι και ο παραµετρικός χώρος δεν είναι κατ ανάγκη µονοδιάστατος Για παράδειγµα, η X(t) µπορεί να είναι διδιάστατη και να αφορά την θερµοκρασία και την υγρασία µε t τετραδιάστατο έτσι ώστε να καθορίζεται ο χρόνος καθώς και οι γεωγραφικές συντεταγµένες του σηµείου στο οποίο αναφερόµαστε Θεωρούµε συνεπώς ότι k και m 7
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή Ανάλογα µε το εάν οι χώροι και είναι συνεχή ή όχι υποσύνολα των k και m αντίστοιχα, η στοχαστική ανέλιξη θα είναι: (α) συνεχής µε συνεχή παραµετρικό χώρο, (β) συνεχής µε διακριτό παραµετρικό χώρο, (γ) διακριτή µε συνεχή παραµετρικό χώρο και (δ) διακριτή µε διακριτό παραµετρικό χώρο εν αποκλείεται βέβαια και η περίπτωση µια στοχαστική ανέλιξη να είναι µικτή µε διακριτό ή συνεχή παραµετρικό χώρο Παραδείγµατα των ως άνω κατηγοριών είναι: Παράδειγµα ο Η τάση του ηλεκτρικού ρεύµατος σε δίκτυο διανοµής κατά τη χρονική στιγµή t (συνεχής σα µε συνεχή παραµετρικό χώρο) Παράδειγµα ο Η ηµερήσια κατανάλωση ύδατος σε συγκεκριµένη περιοχή (συνεχής σα µε διακριτό παραµετρικό χώρο) Παράδειγµα 3ο Ο αριθµός πελατών σε ένα κατάστηµα κατά την χρονική στιγµή t (διακριτή σα µε συνεχή παραµετρικό χώρο) Παράδειγµα 4ο Ο αριθµός των µετοχών µε ανοδική κίνηση σε συγκεκριµένη ηµέρα (διακριτή σα µε διακριτό παραµετρικό χώρο) Για την πιθανοθεωρητική περιγραφή των στοχαστικών ανελίξεων µε συνεχή παραµετρικό χώρο µας χρειάζεται η έννοια της από κοινού κατανοµής για ένα υπεραριθµήσιµο πλήθος τυχαίων µεταβλητών Τούτο όµως θα παραβίαζε το αξίωµα της σ-αθροιστικότητας του µέτρου πιθανότητας P Εν τούτοις, µε βάση το Θεώρηµα Επέκτασης Μέτρου, ο Kolmogorov απέδειξε ότι δια µέσου κατανοµών πεπερασµένης διάστασης είναι δυνατόν να οριστεί κατά µοναδικό τρόπο η κατανοµή πιθανότητας για ένα υπεραριθµήσιµο πλήθος τµ Οι ως άνω κατανοµές πρέπει να ικανοποιούν ορισµένες συνθήκες, γνωστές ως συνθήκες συµβατότητας του Kolmogorov Έστω Τ = {t,, t } ένα πεπερασµένο σύνολο στοιχείων του παραµετρικού χώρου και (x), x, η από κοινού συνάρτηση κατανοµής πιθανότητας των τµ D T Χ(t ),, Χ(t ) Η D T αποτελεί κατανοµή -διάστατης τµ και ως εκ τούτου ονοµάζεται κατανοµή πεπερασµένης διάστασης Έστω τώρα { } η οικογένεια κατανοµών πεπερασµένης διάστασης µε Τ = {t,, t } και Οι κατανοµές της οικογένειας αυτής οφείλουν να ικανοποιούν τις παρακάτω συνθήκες: Συνθήκες Συµβατότητας Για οποιαδήποτε και m µε < m και µε οποιαδήποτε σύνολα δεικτών T και T m µε k κοινά στοιχεία t i,, t ( k ik ), οι περιθώριες κατανοµές ( ) και D ( ) που προκύπτουν από τις DT k x Tk x D T 8
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή υψηλότερης διάστασης κατανοµές DT ( x ) και D T m ( x) πρέπει να συµπίπτουν για κάθε x Οι ως άνω συνθήκες συµβατότητας, εκτός του ότι είναι ικανές για τη µοναδικότητα της επέκτασης του µέτρου πιθανότητας, είναι και αναγκαίες για λόγους πέραν αυτών της επέκτασης Τούτο διότι αν οι κατανοµές πεπερασµένης διάστασης δεν ικανοποιούσαν τις ως άνω συνθήκες θα προέκυπταν αντιφατικά συµπεράσµατα, όπως πχ η τµ X(t) να έχει περισσότερες της µιας κατανοµές ΒΑΣΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΩΝ ΑΝΕΛΙΞΕΩΝ Παρουσιάζουµε τώρα ορισµένες κατηγορίες στοχαστικών ανελίξεων τις οποίες θα µελετήσουµε συστηµατικά στα επόµενα κεφάλαια Από τις γενικότερες κατηγορίες στοχαστικών ανελίξεων είναι αυτή των στασίµων Η στασιµότητα εδώ έχει να κάνει µε τη διατήρηση στο χρόνο όλων, ή τουλάχιστον των βασικότερων, στατιστικών χαρακτηριστικών µιας σα Ορισµός Μια σα {X(t): t } ονοµάζεται στάσιµη υπό αυστηρή έννοια (strict-sese statioary) όταν οι κατανοµές πεπερασµένης διάστασης είναι αναλλοίωτες σε χρονικές µεταθέσεις Τούτο σηµαίνει ότι για κάθε πεπερασµένο σύνολο χρονικών στιγµών, έστω Τ = {t,, t } η κατανοµή DT των τµ Χ(t),, Χ(t ) συµπίπτει µε την κατανοµή D T + s των τµ Χ(t+s),, Χ(t +s) για κάθε s > Τα πλέον βασικά χαρακτηριστικά µιας σα είναι η συνάρτηση του µέσου και η συνάρτηση Αυτοσυνδιακύµανσης µ(t) = Ε[Χ(t)], t, () g(t, s) = Cov[X(t), X(s)] = E[{X(t) µ(t)}{x(s) µ(s)}], t, s () Ανάλογα έχουµε και τη συνάρτηση Αυτοσυσχέτισης ρ(t, s) = Corr[X(t), X(s)] = g(t, s) g(t, t)g(s, s), t, s (3) 9
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή Επειδή για δύο τµ Χ, Υ έχουµε Cov(X, Y) = Cov(Y, X) είναι προφανές ότι οι συναρτήσεις αυτοσυνδιακύµανσης και αυτοσυσχέτισης είναι συµµετρικές, είναι δηλαδή g(t, s) = g(s, t) και ρ(t, s) = ρ(s, t) για κάθε t, s Ορισµός Μια σα {X(t): t } λέγεται στάσιµη υπό ευρεία έννοια (widesese statioary) όταν η συνάρτηση του µέσου είναι: µ(t) = µ, t, και η συνάρτηση αυτοσυνδιακύµανσης είναι: g(t, s) = h( t-s ), για κάθε t, s Ορισµός 3 Μια σα {X(t): t } λέγεται ανεξαρτήτων προσαυξήσεων εάν για κάθε και κάθε t < t < t < < t οι διαφορές είναι ανεξάρτητες τυχαίες µεταβλητές Υ(t j ) = X(t j ) X(t j- ) (j =,, ) Είναι φανερό ότι µια σα είναι ανεξαρτήτων προσαυξήσεων εάν και µόνο εάν οι µεταβολές της σε µη αλληλοεπικαλυπτόµενα χρονικά διαστήµατα είναι ανεξάρτητες Παράδειγµα Εάν Ζ ( =,, ) είναι µια ακολουθία ανεξαρτήτων τµ τότε η σα {X() = Z : } είναι ανεξαρτήτων προσαυξήσεων i Θεώρηµα Αν η σα {X(t): t } είναι ανεξαρτήτων προσαυξήσεων τότε η συνάρτηση Αυτοσυνδιακύµανσης είναι: Var[X(t)], εάν t s, g(t, s) = h(mi{t, s}) = Var[X(s)], εάν t > s (4) Απόδειξη Από τον ορισµό της συνάρτησης αυτοσυνδιακύµανσης µε τ = s t έχουµε g(t, t + τ) = Cov[X(t), X(t+τ)] = Cov[X(t), X(t+τ) X(t) +X(t)] = Cov[X(t), X(t+τ) X(t)] + Cov[X(t), X(t)] = Cov[X(t), X(t)] = h(t) = Var[X(t)] Οµοίως, για τ = t s και λόγω της συµµετρικότητας της g(t, s) έχουµε: g(s + τ, s) = g(s, s + τ) = Var[X(s)]
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή Ορισµός 4 Μια σα {X(t): t } λέγεται ότι έχει στάσιµες προσαυξήσεις όταν οι τµ X(t + s) X(t) έχουν την ίδια κατανοµή για όλα τα t Τούτο σηµαίνει ότι µια σα είναι στάσιµων προσαυξήσεων εάν και µόνο εάν η κατανοµή των µεταβολών µεταξύ δύο χρονικών στιγµών εξαρτάται αποκλειστικά από την απόσταση µεταξύ των χρονικών στιγµών Ορισµός 5 Μια σα {X(t): t } λέγεται Μαρκοβιανή εάν για κάθε < m και κάθε t < t < < t < < t m η δεσµευµένη κατανοµή των Χ(t + ),, X(t m ) δεδοµένων των Χ(t ),, X(t ) εξαρτάται µόνο από την Χ(t ) Τούτο σηµαίνει ότι από όλο το παρελθόν µιας Μαρκοβιανής σα µόνο η πιο πρόσφατη κατάσταση καθορίζει το µέλλον Είναι επίσης προφανές ότι κάθε σα ανεξαρτήτων προσαυξήσεων είναι Μαρκοβιανή Ορισµός 6 Μια σα {X(t): t } ονοµάζεται martigale όταν για κάθε και κάθε t < < t η δεσµευµένη µέση τιµή Ε[Χ(t + ) X(t ),, X(t )] = X(t ) (6) Κάθε Μαρκοβιανή σα µε δεσµευµένη µέση τιµή την τελευταία κατάσταση, καθώς και κάθε σα ανεξαρτήτων προσαυξήσεων µε µέσες προσαυξήσεις Ε[Χ(t+τ) Χ(t)] = για κάθε t, τ, είναι martigale Ορισµός 7 Μια σα {X(t): t } ονοµάζεται Κίνηση Brow (Browia motio) όταν ισχύουν τα παρακάτω: (α) Χ() =, (β) είναι στάσιµων και ανεξάρτητων προσαυξήσεων, (γ) για κάθε t > η Χ(t) έχει Κανονική κατανοµή µε µέση τιµή και διασπορά c t Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι ανεξάρτητες προσαυξήσεις X(t) X(s) µε t > s µιας κίνησης Brow ακολουθούν Κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µηδέν και διασπορά c (t - s) (βλ Άσκηση 9) Ορισµός 8 Μια σα {X(t): t } ονοµάζεται Γκαουσιανή (Gaussia) αν για κάθε και κάθε t,, t οι τµ Χ(t ),, X(t ) ακολουθούν την -διάστατη Κανονική κατανοµή Είναι φανερό ότι η Κίνηση Brow είναι µια Γκαουσιανή σα µε µέση τιµή Ε[X(t)] = και διασπορά Var[X(t)] = c t
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή 3 ΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ύο χρήσιµα µαθηµατικά εργαλεία στον χειρισµό των στοχαστικών ανελίξεων είναι η Γεννήτρια Συνάρτηση Πιθανοτήτων και η Ροπογεννήτρια Συνάρτηση Ορισµός Έστω διακριτή τµ Χ µε σµπ p k = P[Χ = k] (k =,, ) Ονοµάζουµε Γεννήτρια Πιθανοτήτων της τµ Χ τη συνάρτηση π(s) = E[s X ] = k s, s < R k pk (3) µε R την ακτίνα σύγκλισης της ως άνω δυναµοσειράς Επειδή p k µε p = k k, έχουµε R Η ονοµασία γεννήτρια πιθανοτήτων προέρχεται από την προφανή σχέση Έχουµε ακόµα ότι d p = π (s) s=, =,,, (3)! ds d Ε[X(X-) (X-+)] = π (s) s=, =,,, (33) ds γι αυτό και η γεννήτρια πιθανοτήτων είναι επίσης γνωστή ως Γεννήτρια Παραγοντικών Ροπών Παράδειγµα Η γεννήτρια πιθανοτήτων µιας τµ Χ που ακολουθεί τη ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους και p είναι: π(s) = k k k s = s p ( p) = { p( s)}, - < s < k pk k= ( ) k k Παράδειγµα Η γεννήτρια πιθανοτήτων µιας τµ Χ που ακολουθεί την κατανοµή Poisso µε παράµετρο λ (λ > ) είναι: π(s) = k s = k pk λ k k λ se = exp{-λ( - s)}, - < s < k= k! Ορισµός Έστω τυχαία µεταβλητή Χ, µε σµπ p k = P[Χ = k] (k =, -,,, ), εάν είναι διακριτή, και σππ f(x), x, εάν είναι συνεχής Ονοµάζουµε Ροπογεννήτρια της τµ Χ τη συνάρτηση
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή sk g(s) = E[e sx e p k, στη διακριτή περίπτωση ] = k sx e f (x)dx, στη συνεχή περίπτωση (34) µε s, όπου κατάλληλο υποσύνολο του έτσι ώστε η σειρά, αντιστοίχως το ολοκλήρωµα, να συγκλίνει Η ονοµασία ροπογεννήτρια προέρχεται από τη σχέση E[X d ] = g(s) s=, =,,, (35) ds Παράδειγµα 3 Η ροπογεννήτρια συνάρτηση µιας τµ Χ που ακολουθεί την κατανοµή Poisso µε παράµετρο λ (λ > ) είναι: g(s) = k e = sk pk k sk λ λ e e = exp{ λ( e s )}, - < s < k! k= Παράδειγµα 4 Η ροπογεννήτρια συνάρτηση µιας τµ Χ που ακολουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο α (α > ) είναι: g(s) = sx sx αx α e f (x)dx = e αe dx =, s < α α s Παράδειγµα 5 Η ροπογεννήτρια συνάρτηση µιας τµ Ζ που ακολουθεί τη Τυποποιηµένη Κανονική κατανοµή είναι: µε - < s < sz sz e g(s) = e f(z)dz = exp{ z }dz π = exp{ (z sz ± s )}dz π = = π exp{ s } exp{ (z s) }dz exp{ s }, Με τον ίδιο τρόπο αποδεικνύεται ότι η ροπογεννήτρια συνάρτηση τµ Χ µε Κανονική κατανοµή µέσης τιµής µ και διασποράς σ είναι: g(s) = exp{ µ s + σ s }, - < s < (36) 3
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι η γεννήτρια πιθανοτήτων π(s) µιας διακριτής τµ Χ µπορεί να προκύψει από τη ροπογεννήτρια αυτής g(s) θέτοντας s στη θέση του e s, και αντιστρόφως, η ροπογεννήτρια g(s) µιας διακριτής τµ Χ προκύπτει από την γεννήτρια πιθανοτήτων αυτής θέτοντας e s στη θέση του s Θεώρηµα Εάν Χ τµ µε ροπογεννήτρια συνάρτηση g(t), τότε η τµ Υ = αχ + β έχει ροπογεννήτρια την Απόδειξη Έχουµε g Y (s) = e βs g(αs) (37) g Y (s) = E[e sy ] = E[e s(αχ + β) ] = e βs E[e αsx ] = e βs g(αs) Θεώρηµα (Φράγµατα του Cheroff) Έστω Χ τµ µε ροπογεννήτρια συνάρτηση g(s) Τότε για κάθε c > P[X c] e -cs g(s) για s >, και (38) P[X c] e -cs g(s) για s < Απόδειξη κάθε ε > Για µια µη αρνητική τµ Υ από την ανισότητα Markov έχουµε για P[Y ε] Ε[Υ]/ε Ορίζουµε την τµ Υ = e sx ( µε πιθανότητα ), οπότε για s > έχουµε P[X c] = P[e sx e sc ] Ε[e sx ]/ e sc = e -sc g(s), και για s < P[X c] = P[e sx e sc ] Ε[e sx ]/ e sc = e -sc g(s) y y 4 (α) s > (β) s < 4 3 3-4 - 4-4 - 4 c x c x Σχήµα Εκθετική Συνάρτηση: y = e sx, x 4
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή Θεώρηµα 3 (Ανισότητα του Jese) Έστω Χ τµ µε (πεπερασµένη) µέση τιµή µ Για κάθε κυρτή συνάρτηση h ισχύει η ανισότητα Ε[h(Χ)] h(e[x]) (3) Aπόδειξη Λόγω της κυρτότητας της h υπάρχει ευθεία υποστήριξης (support lie) (ε): y = h(µ) + α(x µ) η οποία διέρχεται από το σηµείο (µ, h(µ)) και βρίσκεται κάτω από την καµπύλη y = h(x) για κάθε x Ισχύει συνεπώς η ανισότητα h(x) h(µ) + α(x µ) για κάθε x Θέτοντας στη θέση του x την τµ Χ και λαµβάνοντας τις µέσες τιµές έχουµε: Ε[h(Χ)] h(µ) + α(ε[χ] µ) = h(µ) = h(ε[χ]) y y = h(x) 8 6 y = h(µ)+α(x µ) 4 3 x 4 5 6 7 µ Σχήµα Ευθεία Υποστήριξης διερχόµενη από το σηµείο (µ, h(x)) Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ισότητα ισχύει εάν και µόνο εάν Χ = c µε πιθανότητα 5
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να αποδειχθεί ότι αν Ν(t) και M(t) (t > ) είναι ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν κατανοµή Poisso µε παραµέτρους λ t και λ t αντίστοιχα τότε η δεσµευµένη κατανοµή της Ν(t) όταν δίνεται ότι N(t) + M(t) = ακολουθεί την ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους και p = λ / (λ + λ ) Έστω Χ µη αρνητική συνεχής τµ µε σππ f(x) και σκπ F(x) Ως συνάρτηση διακινδύνευσης (hazard fuctio) της τµ Χ ορίζεται η (α) P[t < X t + t X> t] h(t) = lim για t t Να δείξετε ότι ισχύει η σχέση h(t) = f (t), t > F(t) (β) Να δειχθεί ότι αν η τµ Χ ακολουθεί την Εκθετική κατανοµή παραµέτρου α τότε έχει συνάρτηση διακινδύνευσης την h(t) = α (t > ) 3 Να δειχθεί ότι αν µια µη αρνητική τµ Χ έχει συνάρτηση διακινδύνευσης σταθερά και ίση µε c (c > ) τότε η τµ Χ ακολουθεί την Εκθετική κατανοµή µε παράµετρο c 4 Αν X και X είναι ανεξάρτητες µη αρνητικές συνεχείς τµ µε συναρτήσεις διακινδύνευσης h (t) και h (t) αντίστοιχα τότε P[X < X mi{x, X } = t] = h(t) h (t) + h (t) 5 Να δειχθεί ότι η µόνη µη µηδενική λύση της σχέσης g(x + y) = g(x) g(y) x, y είναι η εκθετική συνάρτηση g(x) = e cx 6 Να δειχθεί ότι αν για µια µη αρνητική τµ Χ ισχύει η σχέση P[X x + c X c] = P[X x] για κάθε c >, τότε η τµ Χ ακολουθεί Εκθετική κατανοµή 7 Αν X, Y είναι ανεξάρτητες τµ που ακολουθούν Εκθετική κατανοµή µε παραµέτρους λ και λ αντίστοιχα να προσδιοριστεί: (α) η κατανοµή της τµ Z = mi{x, Y}, (β) η κατανοµή της τµ W = max{x, Y} και (γ) η δεσµευµένη κατανοµή του Ζ µε δεδοµένο ότι Ζ = Χ 6
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή 8 Εφαρµόζοντας την ανισότητα του Jese να δείξετε ο αριθµητικός µέσος µη αρνητικών αριθµών είναι µεγαλύτερος του γεωµετρικού µέσου εκτός εάν όλοι οι αριθµοί συµπίπτουν µεταξύ τους οπότε συµπίπτουν και οι εν λόγω µέσοι 9 Να συγκριθεί ο αρµονικός µέσος αριθµών x i (i =,,) µε x i, µε τον αριθµητικό τους µέσο Να προσδιοριστεί η γεννήτρια πιθανοτήτων των παρακάτω κατανοµών (α) Γεωµετρική κατανοµή παραµέτρου p (β) Αρνητική ιωνυµική παραµέτρων και p Να προσδιοριστεί η ροπογεννήτρια συνάρτηση των παρακάτω κατανοµών (α) Κατανοµή Γάµµα παραµέτρων α και p (β) Κατανοµή Cauchy παραµέτρων δ και µ Έστω {a } και {b } δύο ακολουθίες αριθµών και c = k= a kb k η συνέλιξη αυτών Έστω επίσης Α(s), B(s) και C(s) οι αντίστοιχες γεννήτριες συναρτήσεις Να δειχθεί ότι ισχύει η σχέση: C(s) = A(s) B(s) 3 ιακριτή τµ Τ έχει συνάρτηση πιθανότητας p = P[Τ = ] ( =,,, ) Αν π(s) είναι η γεννήτρια συνάρτηση των πιθανοτήτων p και Π(s) η γεννήτρια συνάρτηση των πιθανοτήτων P = p ν ν= + ( =,,, ), να δείξετε ότι ισχύει η σχέση Π(s) = π(s), s < s Με βάση την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι η µέση τιµή και η διασπορά της τµ Τ είναι αντίστοιχα: Ε[Τ] = Π() και Var[T] = Π () Π(){ Π()} 4 Έστω G X,Y (s,t) η από κοινού γεννήτρια συνάρτηση πιθανοτήτων των τµ Χ, Υ που ορίζεται από τη σχέση k l G X,Y (s, t) s t P[X = k, Y = = k= l= l] 7
ΓΕ Κοκολάκης Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ Ι Εισαγωγή Να δειχθεί ότι η γεννήτρια πιθανοτήτων της τµ Χ δίνεται από την C Χ (s) = G X,Y (s,) και G Y (t) = G X,Y (,t) Να δειχθεί επίσης ότι = s t E [XY] G(s, t) s= t= 5 Έστω Ν διακριτή τµ µε σµπ p = P[N = ] ( =,, ) και γεννήτρια πιθανοτήτων π(s) Έστω {Υ i : i =,, } ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τµ µε ροπογεννήτρια συνάστηση g(s) Να δειχθεί ότι η ροπογεννήτρια συνάρτηση του αθροίσµατος µε τυχαίο αριθµό όρων Ν, είναι η Χ = Υ + Υ + + Υ Ν g X (s) = π(g(s)) N 6 Να προσδιοριστεί η σππ της τµ X = i= Yi, όπου Yi (i ) ανεξάρτητες και ισόνοµες τµ µε Εκθετική κατανοµή παραµέτρου λ και Ν τµ µε Γεωµετρική παραµέτρου p 7 Να δειχθεί ότι αν G (s) και G (s) είναι γεννήτριες συναρτήσεις και α (, ), τότε και G (s)g (s) καθώς και αg (s) + (-α)g (s) είναι γεννήτριες συναρτήσεις 8 Έστω {Υ : =,, } ακολουθία ανεξάρτητων και ισόνοµων τµ µε διασπορά σ και X = ν= Yν ( =,, ) Να αποδειχθεί ότι για m ισχύουν τα παρακάτω: (α) Cov[X, X m ] = σ (β) Corr[X, X m ] = /m 9 Να αποδειχθεί ότι στη κίνηση Brow οι ανεξάρτητες προσαυξήσεις X(t) X(s) (t > s ) ακολουθούν κατανοµή Ν[, c (t-s)] Να αποδειχθεί ότι στη κίνηση Brow µε c =, η δεσµευµένη κατανοµή της θέσης X(s) µε δεδοµένη τη θέση x, έστω, κατά τη χρονική στιγµή t, δηλαδή µε X(t) = x, για s < t, είναι Ν[xs/t, s(t-s)/t] 8
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος ΑΠΛΟΣ ΤΥΧΑΙΟΣ ΠΕΡΙΠΑΤΟΣ Ας θεωρήσουµε ότι σωµατίδιο ανά µονάδα χρόνου κινείται πάνω επάνω στον οριζόντιο άξονα x x µε βήµατα σταθερού µήκους l = Με πιθανότητα p ( < p < ) κινείται δεξιά και µε πιθανότητα q = - p κινείται αριστερά Έστω Χ η θέση του σωµατιδίου µετά από βήµατα Η ακολουθία των τυχαίων µεταβλητών {Χ : =,, } αποτελεί µια στοχαστική ανέλιξη ανεξαρτήτων προσαυξήσεων, τούτο διότι έχουµε Χ = Χ + Z + Z + + Z ( =,, ), () όπου Χ είναι η θέση εκκίνησης και Ζ i (i =,, ) ανεξάρτητες τµ µε κατανοµή +, µε πιθανότητα p Ζ i =, µε πιθανότητα q Αν υποθέσουµε τώρα ότι το σωµατίδιο έχει ως αρχική θέση Χ =, τότε η θέση του Χ µετά από άρτιο αριθµό βηµάτων = ν (ν =,, ) θα είναι άρτια και συγκεκριµένα θα είναι µια από τις {-ν, -ν-,,,, ν-, ν}, ενώ µετά από περιττό αριθµό βηµάτων = ν+ θα είναι περιττή και συγκεκριµένα θα είναι µια από τις {-ν-, -ν-3,,-,,, ν-, ν+} Η πιθανότητα µε την οποία βρίσκεται το σωµατίδιο σε κάθε µία από τις παραπάνω θέσεις υπολογίζεται ως ακολούθως Θεωρούµε τις τµ και συνεπώς Yi = ( + Z i ) (i =,, ) (), µε πιθανότητα p Υ i =, µε πιθανότητα q 9
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος ηλαδή οι τµ Y i ακολουθούν την κατανοµή Beroulli µε πιθανότητα επιτυχίας p και ως εκ τούτου το άθροισµά τους S = = Y i i = (+ X ) ακολουθεί την ιωνυµική κατανοµή µε παραµέτρους και p Άρα θα έχουµε P[X = m] = P[S = ( + m) ] = p ( + m) (+ m) q ( m), (3) για m = -, -+,, -, Είναι χρήσιµες τώρα οι παρακάτω διαπιστώσεις Έχουµε µ = Ε[Z] = p q, και E[Z ] = p + q =, σ =V[Z] = E[Z ] E[Z] = 4pq X 6 4 4 6 8 - Σχήµα Απλός Τυχαίος Περίπατος µε p = 6 και q = 4 Εφαρµόζοντας τώρα το ΚΟΘ έχουµε: P[-a < X < b] - {Φ( b µ σ ) Φ( a µ )} για, (4) σ
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος όπου Φ είναι η αθροιστική συνάρτηση της τυποποιηµένης Κανονικής Ν(, ) Παρατηρούµε τώρα τα παρακάτω: (α) Όταν p > q τότε µ >, οπότε και οι δύο όροι µέσα στα άγκιστρα τείνουν στο µηδέν (β) Όταν p = q τότε µ =, οπότε και οι δύο όροι µέσα στα άγκιστρα τείνουν στο ½ (γ) Όταν p < q τότε µ <, οπότε και οι δύο όροι µέσα στα άγκιστρα τείνουν στη µονάδα Συνεπώς για οποιοδήποτε p (, ) και οποιουσδήποτε θετικούς αριθµούς a και b θα έχουµε: P[-a < X < b] για (5) Το παραπάνω οριακό αποτέλεσµα µας οδηγεί στο συµπέρασµα ότι οσοδήποτε µεγάλοι και αν είναι οι θετικοί αριθµοί a και b, η πιθανότητα να παραµένει επ άπειρον η σα {Χ : =,, } εντός της περιοχής (-a, b) είναι µηδέν (γιατί;) ιαφορετικά διατυπωµένο αυτό σηµαίνει ότι µε πιθανότητα τη µονάδα η σα {Χ : =,, } θα βγει κάποια στιγµή από την περιοχή (-a, b) όσο µεγάλο και είναι το εύρος της Προκύπτει εύκολα ότι το ίδιο ισχύει για οποιαδήποτε περιοχή (a, b) µε - < a < b < Σε ανάλογα συµπεράσµατα καταλήγουµε µε εφαρµογή του Ισχυρού Νόµου των Μεγάλων Αριθµών (ΙΝΜΑ) Εδώ µάλιστα δεν απαιτείται η ύπαρξη διασποράς των Y i Πράγµατι έχουµε από τον ΙΝΜΑ ότι µε πιθανότητα τη µονάδα Χ / E[Z] = p q για, και συνεπώς η ακολουθία {Χ : =,, } αποκλίνει θετικά όταν p > q και αποκλίνει αρνητικά όταν p < q Επίσης για p = q πάλι αποδεικνύεται ότι µε πιθανότητα τη µονάδα η σα {Χ : =,, } θα βγει κάποια στιγµή από οποιαδήποτε περιοχή της µορφής (-a, b) µε -a < b Τα παραπάνω συµπεράσµατα άµεσα γενικεύονται σε σα µε ανεξάρτητες και ισόνοµες προσαυξήσεις µε µέση τιµή µ και πεπερασµένη ή όχι διασπορά Πρέπει να σηµειώσουµε εδώ ότι τα ως άνω συµπεράσµατα δεν δίνουν απάντηση σχετικά µε το πότε ξεπερνιώνται τα παραπάνω δύο όρια για πρώτη φορά και µε ποια πιθανότητα το καθένα Μ αυτό το πρόβληµα θα ασχοληθούµε στην παράγραφο που ακολουθεί
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος ΑΠΛΟΣ ΤΥΧΑΙΟΣ ΠΕΡΙΠΑΤΟΣ ΜΕ ΑΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΑ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Ας θεωρήσουµε τώρα ένα απλό τυχαίο περίπατο {X : =,,, } µε αρχική κατάσταση Χ = ο οποίος διακόπτεται µόλις το σωµατίδιο περάσει κάποια στιγµή στη κατάσταση s = -a ή στη κατάσταση s = b, όπου a και b θετικοί ακέραιοι Σκεφθείτε δύο παίκτες Α και Β, µε αρχικά χρηµατικά ποσά a και b αντίστοιχα, οι οποίοι παίζουν ένα τυχερό παιχνίδι στο οποίο ο παίκτης Α κερδίζει κάθε φορά µε πιθανότητα p ή χάνει µε πιθανότητα q = p Το παιχνίδι σταµατά όταν ένας από τους δύο παίκτες χάσει το αρχικό του ποσό Οι καταστάσεις -a και b ονοµάζονται απορροφητικά φράγµατα της σα Έχουµε απορρόφηση στο -a όταν Χ = -a για κάποιο Ανάλογα έχουµε απορρόφηση στο b όταν X = b για κάποιο Σύµφωνα µ αυτά που παρουσιάσαµε στην προηγούµενη παράγραφο ο τυχαίος περίπατος θα σταµατήσει σε ένα από τα δύο απορροφητικά φράγµατα -a, b µε πιθανότητα την µονάδα Θα προσδιορίσουµε τώρα τις δύο πιθανότητες απορρόφησης α και β αντίστοιχα Πιθανότητες Απορρόφησης Θεωρούµε την τµ -, εάν η απορρόφηση γίνει στο a I = +, εάν η απορρόφηση γίνει στο b () Με αρχική συνθήκη Χ = και α την πιθανότητα απορρόφησης στο -a έχουµε: Γενικεύοντας παραπάνω το πρόβληµα έστω α = P[I = - X =] () α i = P[I = - X = i] (i = -a, -a+,, b-, b) (3) µε α = α και πλευρικές, ή συνοριακές, συνθήκες α -a = και α b = (4) Κάνοντας ανάλυση της πιθανότητας α i µε βάση το αποτέλεσµα του πρώτου βήµατος έχουµε: α i = P[{I=-}{X =i+} X =i] + P[{I=-}{X =i-} X =i] = P[X =i+ X =i]p[i=- X =i+, X =i] + P[X =i- X =i]p[i=- X =i-, X =i]
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος = P[Z =+]P[I=- X =i+, X =i] + P[Z =-]P[I=- X =i-, X =i] = P[Z =+]P[I=- X =i+] + P[Z =-]P[I=- X =i-] µε την τελευταία ισότητα να οφείλεται στο ότι ο τυχαίος περίπατος, ως σα ανεξαρτήτων προσαυξήσεων, έχει την Μαρκοβιανή ιδιότητα Συνεπώς προκύπτει η παρακάτω σχέση (διαφοροεξίσωση) α i = pα i+ + qα i- (i = -a+,, b-) (5) Επειδή όµως p + q =, έχουµε επίσης και απ αυτήν (p + q)α i = pα i+ + qα i- (i = -a+,, b-) p(α i+ - α i ) = q(α i - α i- ) (i = -a-,, b-) Θέτοντας τώρα και λ = q/p προκύπτει η αναδροµική σχέση Φ i = α i+ - α i (i = -a,, b-) (6) Φ i = λφ i- (i = -a+,, b-) (7) Από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι και Φ = λφ - =λ Φ - = =λ a Φ -a Φ b- = λφ b- = λ Φ b-3 = =λ b- Φ Έχουµε συνεπώς και Φ -a = λ -a Φ (8) Φ b- = λ b- Φ (9) Από τις πλευρικές συνθήκες (4) λαµβάνουµε 3
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος = - (α b α -a ) = - {(α b - α b- ) + (α b- - α b- ) + +(α -a+ - α -a )} = - {Φ b- + Φ b- + + Φ -a } = - {λ b- + λ b- + + λ -a }Φ και συνεπώς Φ = - { λ b- + λ b- + + λ -a } - () Παρόµοια, επίσης από τις πλευρικές συνθήκες (4), έχουµε α = - (α b - α ) = - {(α b - α b- ) +(α b- - α b- ) + + (α - α )} = - {Φ b- + Φ b- + + Φ } = - {λ b- + λ b- + + }Φ και συνεπώς Φ = - α {λ b- + λ b- + + } - () Εξισώνοντας τώρα τα δεύτερα µέλη των ( ) και () λαµβάνουµε α = {λ b- + λ b- + + } / { λ b- + λ b- + + λ -a }, είναι δηλαδή b, για λ = q/p =, a + b α =α=p[i= - X = ] = b λ b a, για λ = q/p, λ λ () όπου {I = -} να εκφράζει το ενδεχόµενο απορρόφηση στο -a Με ανάλογο τρόπο, ή απλούστερα εναλλάσσοντας το a µε το b και το p µε το q (ή ισοδύναµα, το λ µε το /λ), η πιθανότητα απορρόφησης στη θέση b θα είναι: 4
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος ή ισοδύναµα a, για λ = q/p =, a + b β =β=p[i= X = ] = a (/ λ), για λ = q/p, a b (/ λ) (/λ) a, για λ = q/p =, a+ b β =β=p[i= X = ] = λ a, για λ = q/p b a λ λ (3) (4) b Από τα αποτελέσµατα (3) και (4) διαπιστώνουµε ότι α + β =, δηλαδή, χωρίς την εφαρµογή οριακών θεωρηµάτων, προκύπτει ότι ο απλός τυχαίος περίπατος µε απορροφητικά φράγµατα -a και b σταµατά µε πιθανότητα τη µονάδα Κατανοµή του Χρόνου Απορρόφησης Ο χρόνος Τ µέχρι να περάσει ο τυχαίος περίπατος {X } σε µία από τις απορροφητικές καταστάσεις {-a} ή {b} είναι διακριτή τµ µε τιµές k mi{a, b} Ο χρόνος αυτός καλείται χρόνος απορρόφησης και εκφράζει την διάρκεια του τυχαίου περίπατου µε απορροφητικά φράγµατα Έχουµε συνεπώς Y 6 4 Τ = mi{ : X = - a ή b} (5) - 4 6 8 -a Σχήµα Απλός Τυχαίος Περίπατος µε απορροφητικά φράγµατα Έστω τώρα 5
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος p k = P[T = k X = ] ( k =,, ) (6) µε µηδενικές τις πιθανότητες p k για k =,,, mi{a, b}- Ορίζουµε ακόµα τις πιθανότητες µε και (i) p k = P[T = k X = i] (k=,, ) για i {-a,, b}, (7) () p k = p k ( a) (b), για k = k = p k = δ k =, για k (8) p Κάνοντας ανάλυση και πάλι µε βάση το αποτέλεσµα του πρώτου βήµατος και µε χρήση της Μαρκοβιανής ιδιότητας έχουµε για k την παρακάτω σχέση: (i) p k = P[Z =+]P[T=k X = i+] + P[Z =-]P[T=k X = i-] (9) Όµως επειδή η κατανοµή των βηµάτων Z i είναι αναλλοίωτη στο χρόνο µέχρι τη στιγµή της απορρόφησης, θα έχουµε τη σχέση P[T=k X = i+] = P[T=k- X = i+] = (i ) p + k και (i ) P[T=k X = i-] = P[T=k- X = i-] = Συνεπώς η (9) δίνει την παρακάτω διαφοροεξίσωση p k (i ) (i ) p = p + q ( k =,, ) για i {-a+,, b-}, (i) k p + k p k () µε πλευρικές συνθήκες καθοριζόµενες από την (8) Η ως άνω διαφοροεξίσωση είναι ης τάξης ως προς k και ης τάξης ως προς i Με (i) τον δείκτη i σταθερό, έστω π i (s) η γεννήτρια συνάρτηση των πιθανοτήτων { p k : k =,, }, δηλαδή π i (s) = Ε[s T X = i] = = k s k p (i) k (s ) για i {-a,, b} 6
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος όπου κοινή περιοχή σύγκλισης όλων των π i (s) Πολλαπλασιάζοντας τώρα τα µέλη των (8) και () επί s k και αθροίζοντας για k =,,, λαµβάνουµε την παρακάτω διαφοροεξίσωση ( ης τάξης ως προς i) µε πλευρικές συνθήκες π i (s) = s{p π i+ (s) + q π i- (s)} για i {-a+,, b-} () π i (s) = για i = -a, b () Η διαφοροεξίσωση () λύνεται όπως και µια γραµµική διαφορική εξίσωση ας τάξεως Συγκεκριµένα, διαπιστώνουµε ότι η συνάρτηση π i (s) = {α(s)} i (3) µε α(s) τη ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της () x = s{px + q), αποτελεί µια ειδική λύση Η ως άνω χαρακτηριστική εξίσωση για < s < /( pq ) έχει δύο λύσεις και συγκεκριµένα τις α(s) = 4pqs ps και β(s) = + 4pqs ps οι οποίες είναι γραµµικά ανεξάρτητες Συνεπώς, η γενική λύση της () είναι ο γραµµικός συνδυασµός π i (s) = A(s){α(s)} i + B(s){β(s)} i για i {-a+,, b-} (4) µε τις συναρτήσεις A(s) και Β(s) να ικανοποιούν τις πλευρικές συνθήκες () Εισάγοντας την γενική λύση (4) στην () λαµβάνουµε το παρακάτω γραµµικό σύστηµα εξισώσεων: a a A(s) {α(s)} + B(s) {β(s)} = b b A(s) {α(s)} + B(s) { β(s)} = (5) Έχουµε συνεπώς A(s) = b a {β(s)} {β(s)} a b b {α(s)} {β(s)} {α(s)} {β(s)} a (6) 7
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος και Β(s) = {α(s)} a b {α(s)} {β(s)} a b {α(s)} b {α(s)} {β(s)} a (7) Mας ενδιαφέρει η γεννήτρια των πιθανοτήτων p k = δηλαδή η συνάρτηση Για i = στη σχέση (4) έχουµε k = π(s) π (s) = Ε[s T () X = ] = s k p k () p k για k =,,, π(s) = A(s) + B(s) = a b b a [{α(s)} + {β(s)} ] [{α(s)} + {β(s)} ] {α(s)} {β(s)} {α(s)} {β(s)} a b b a (s ), (8) από την οποία µε παραγωγίσεις στη θέση s = λαµβάνουµε τις πιθανότητες p k = π (k) ()} = k! {A (k) () + B (k) ()} (k = m, m+, ) (9) k! µε m = mi{a, b} Σχετικά µε τον χρόνο απορρόφησης Τ έχουµε τα παρακάτω: µε µέση τιµή και διασπορά P[T < X = ] = π() A() + B() = α + β =, (3) µ Τ = Ε[Τ] = π (), (3) σ Τ = V[T] = E[X(X-)] + E[X] E[X] = π () + π (){ π ()} (3) Το γεγονός ότι στον απλό τυχαίο περίπατο, µε a και b άρτιους, ο χρόνος απορρόφησης Τ µπορεί να θεωρηθεί ως άθροισµα ανεξάρτητων και ισόνοµων τυχαίων µεταβλητών Τ i που εκφράζουν τον χρόνο που απαιτείται µέχρι να µεταπηδήσει από µια κατάσταση, έστω j, στην κατάσταση j + ή στην κατάσταση j (το πλήθος των Τ i δεν είναι γνωστό αλλά αυτό δεν έχει ιδιαίτερη σηµασία εφόσον γνωρίζουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά του αθροίσµατός τους), µας επιτρέπει να χρησιµοποιήσουµε το ΚΟΘ για να προσδιορίσουµε προσεγγιστικά πιθανότητες που αφορούν τον χρόνο απορρόφησης Υποτίθεται βέβαια ότι τα απορροφητικά φράγµατα -a και b δεν είναι πολύ κοντά στο µηδέν για να έχει κάποια διάρκεια ο τυχαίος περίπατος Έχουµε συνεπώς για t < t την προσέγγιση: 8
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος P[t < T t X = ] @ Φ( t µ σ T T ) Φ( t µ σ T T ) (33) Η ως άνω προσέγγιση βελτιώνεται εφαρµόζοντας τη διόρθωση συνεχείας, θέτοντας δηλαδή στη θέση των t, t τα t + 5, t + 5 αντίστοιχα 3 ΤΥΧΑΙΟΣ ΠΕΡΙΠΑΤΟΣ ΜΕ ΑΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΑ ΦΡΑΓΜΑΤΑ : ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ WALD Θα γενικεύσουµε τώρα τα αποτελέσµατα της προηγούµενης παραγράφου αναφερόµενοι σε γενικότερης µορφής τυχαίους περιπάτους Ορισµός Τυχαίος περίπατος (τπ) είναι µια σα {Χ : =,, } ανεξάρτητων και ισόνοµων προσαυξήσεων Υ i (i =,, ) µε µέση τιµή µ = Ε[Υ i ] πεπερασµένη Η θέση µετά από βήµατα είναι πάλι: Χ = Χ + Υ + Υ + + Υ ( =,, ) (3) Στα παρακάτω θεωρούµε ότι η θέση εκκίνησης Χ = Όπως και στον απλό τυχαίο περίπατο έτσι και εδώ, µε εφαρµογή είτε του ΚΟΘ είτε του ΙΝΜΑ, προκύπτει ότι µε - < a < b < + έχουµε και από αυτήν ότι P[-a < X < b] για P[-a < X < b για όλα τα ] = Αν θεωρήσουµε τώρα τους αριθµούς -a και b ως απορροφητικά φράγµατα του ως άνω τπ η τελευταία σχέση σηµαίνει ότι ο χρόνος απορρόφησης Τ = mi{: X (-a, b)} (3) δεν απειρίζεται µε πιθανότητα τη µονάδα Μπορούµε συνεπώς να µιλήσουµε για την τµ Χ Τ (είναι πράγµατι τυχαία µεταβλητή;), την κατάσταση δηλαδή την οποία καταλαµβάνει η σα {Χ : =,, } κατά την στιγµή της απορρόφησης Τ Έστω τώρα g(s) = E[e sυ ], s, (33) η ροπογεννήτρια συνάρτηση των ανεξάρτητων και ισόνοµων προσαυξήσεων Υ i 9
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος Αποδεικνύεται ότι η g(s) συνδέεται µε την κατάσταση Χ Τ κατά τη στιγµή της απορρόφησης, είτε αυτή γίνεται στο κάτω φράγµα -a είτε στο άνω φράγµα b, µέσω της παρακάτω σχέσης η οποία είναι γνωστή ως Ταυτότητα του Wald Θεώρηµα (Ταυτότητα του Wald) Έστω ότι η τµ Χ Τ εκφράζει τη θέση της σα κατά τη στιγµή της απορρόφησης Τ µε αρχική κατάσταση Χ = Τότε E[{g(s)} T exp {sx }] =, για κάθε s (34) T Από την παραπάνω σχέση προκύπτουν ορισµένα πολύ ενδιαφέροντα αποτελέσµατα Παραγωγίζοντας ως προς s τα µέλη της ταυτότητας του Wald λαµβάνουµε E[ T{g(s)} T g'(s)e sxt + X T {g(s)} T e sxt ] = για κάθε s (35) Επειδή για s = ( ) έχουµε g() = και g () = µ = Ε[Υ], αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση λαµβάνουµε ή ισοδύναµα Ε[-Τµ + Χ Τ ] =, Ε[Χ Τ ] = µ Ε[Τ] (36) ηλαδή, η µέση θέση κατά τη στιγµή της απορρόφησης δίνεται από το γινόµενο του µέσου βήµατος επί το µέσο χρόνο απορρόφησης Η παραπάνω ισότητα είναι γνωστή ως Ταυτότητα του Little 3 Μέσος Χρόνος Απορρόφησης Υποθέτοντας ότι οι προσαυξήσεις Y i έχουν πεπερασµένη διασπορά σ και παραγωγίζοντας για άλλη µία φορά την (35) ως προς s λαµβάνουµε µετά από λίγες πράξεις µε µ = : Ε[ ] = σ Ε[Τ] (37) X T Συνεπώς, συνδυάζοντας τις (36) και (37) έχουµε: E[X T ]/ µ, για µ, Ε[Τ] = E[X T ]/ σ, για µ = (38) Επειδή τώρα έχουµε X T @ -a ή X T @ b, ανάλογα µε το αν η απορρόφηση γίνεται στο -a ή στο b, θα έχουµε Ε[Χ Τ ] @-αa + βb και Ε[ ]@αa + βb, όπου µε α και β X T 3
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος συµβολίζουµε τις πιθανότητες απορρόφησης στο -a και b αντίστοιχα Οπότε έχουµε: αa + βb, για µ, µ Ε[Τ] @ (39) αa + βb, για µ = σ Σηµείωση: Στον απλό τυχαίο περίπατο όπου κάθε βήµα είναι µήκους l =, µε a, b ακεραίους θα έχουµε κατ ανάγκη Χ Τ = -a ή Χ Τ = b Συνεπώς το παραπάνω προσεγγιστικό αποτέλεσµα ισχύει ακριβώς 3 Πιθανότητες Απορρόφησης Αν παραγωγίσουµε την ροπογεννήτρια συνάρτηση g(s) των προσαυξήσεων Y i δύο φορές έχουµε: g (s) = Ε[Υ e sy ] > για κάθε s Συνεπώς η ροπογεννήτρια συνάρτηση g(s) είναι κυρτή στο, εκτός εάν οι τµ Υ i είναι µηδενική µε πιθανότητα τη µονάδα g(s) g(s) (α) µ < (β) µ > Σχήµα 3 s o s s o s Ροπογεννήτρια συνάρτηση των ανεξαρτήτων προσαυξήσεων Εύκολα διαπιστώνει κανείς ότι όταν οι πιθανότητες P[Υ > ] και P[Y < ] είναι µη µηδενικές, τότε η ροπογεννήτρια g(s) = E[e sy ] αυξάνεται απεριόριστα για s + όπως και για s - Τούτο διότι η g(s) γράφεται 3
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος g(s) = E[e sυ ] = p E[e sυ Υ ] + q E[e sυ Υ < ], όπου p = P[Y ] και q = P[Y<] Οι δύο όροι συνεπώς στα δεξιά της παραπάνω σχέσης είναι θετικοί Ο πρώτος αυξάνεται απεριόριστα για s και ο δεύτερος για s - Συνεπώς, µε µ και µε θετικές τις πιθανότητες P[Y > ] και P[Y < ], υπάρχει µη µηδενική ρίζα της εξίσωσης g(s) = Υπάρχει δηλαδή µέσα στο σηµείο s s τέτοιο ώστε g(s ) = E[e o Y ] = Θέτοντας την ως άνω τιµή του s στην Ταυτότητα του Wald παίρνουµε E[e s o XT ] = (3) Με απορροφητικά φράγµατα -a και b, και έχοντας αποδείξει ότι ο τυχαίος περίπατος σταµατά µε πιθανότητα τη µονάδα, ας θεωρήσουµε και πάλι τα δύο ενδεχόµενα απορρόφησης Α = {I = -} και Β = {I = } στο a και b αντίστοιχα ηλαδή και Α = {I = -} = {ο τπ {X } µε αποροφ φράγµατα -a και b απορροφάται στο -a} Β = {I = } = {ο τπ {X } µε αποροφ φράγµατα -a και b απορροφάται στο b} Με α = α(a, b) = P[Α] και β = - α = P[Β] και µε δέσµευση στα ενδεχόµενα απορρόφησης Α = {I = -} και Β = {I = } έχουµε την παρακάτω ανάλυση: sx E[e T sx ] = α E[e T A] και σύµφωνα µε την (3) θα έχουµε για s = s : sx + (-α) E[e T B] (3) s Α E[e XT s A] + (-α) E[e XT B] =, (3) σχέση από την οποία προκύπτει ότι η πιθανότητα απορρόφησης στο -a είναι: α = E[e sx sxt E[e B] T sxt B] E[e (33) A] Όµως, όταν η απορρόφηση γίνεται στο -a έχουµε Χ T @ -a και όταν η απορρόφηση γίνεται στο b έχουµε Χ T @ b Συνεπώς E[e s XT as A] @ e s και E[e XT bs B] @ e, (34) 3
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος οπότε η σχέση (3) δίνει α @ e e bs bs e as, s για µ (35) Τα παραπάνω αποτελέσµατα προέκυψαν µε βάση την υπόθεση ότι s Αυτό συµβαίνει όταν µέση τιµή των προσαυξήσεων µ Επειδή για µ έχουµε επίσης s, παίρνοντας το όριο στην παραπάνω σχέση για s και κάνοντας χρήση του κανόνα De l Hospital λαµβάνουµε: b α @, a + b για µ = (36) Εισάγοντας τώρα τα παραπάνω δύο αποτελέσµατα στην (39), η οποία αφορά την µέση τιµή του χρόνου απορρόφησης Τ, λαµβάνουµε τελικά bs a( e Ε[Τ] @ µ (e ab, σ ) + b( e as e ) bs as ), για µ, για µ = (37) Σηµειώνουµε εδώ πάλι ότι στον απλό τυχαίο περίπατο µε a και b ακεραίους τα παραπάνω προσεγγιστικά αποτελέσµατα ισχύουν ακριβώς Συµπεράσµατα Από τις σχέσεις (33) και (34) διαπιστώνουµε τα παρακάτω ον Όταν s >, δηλαδή όταν ο τπ έχει αρνητική τάση µ (=Ε[Υ] < ), τότε για την πιθανότητα απορρόφησης στο κάτω φράγµα -a έχουµε: α = α(a, b) για b Αντίστοιχα, για την πιθανότητα απορρόφησης στο άνω φράγµα b έχουµε: β = - α(a, b) / [e s X E T Β] exp{-sb} για a Η παραπάνω ανισότητα ισχύει διότι για µια µονότονα αύξουσα συνάρτηση h(x) έχουµε Ε[h(Χ) X c ] h(c) Οµοίως, για µια µονότονα φθίνουσα συνάρτηση h(x) έχουµε Ε[h(Χ) X c ] h(c), ανισότητα την οποία χρησιµοποιούµε παρακάτω ον Όταν s <, δηλαδή όταν ο τπ έχει θετική τάση µ, τότε για την πιθανότητα απορρόφησης στο άνω φράγµα b έχουµε: 33
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος β = - α(a,b) για a Αντίστοιχα, για την πιθανότητα απορρόφησης στο κάτω φράγµα -a έχουµε: α = α(a, b) / [e s X E T Α] exp{as} για b 33 Ροπογεννήτρια του Χρόνου Απορρόφησης Για τον προσδιορισµό της ροπογεννήτριας του χρόνου απορρόφησης Τ θεωρούµε τις ρίζες της εξίσωσης g(s) = e -t µε t (38) Λόγω κυρτότητας της g µε κατάλληλη επιλογή του θα υπάρχουν δύο ρίζες, έστω s και s, µε s < s Έχουµε δηλαδή s = s (t) < s = s (t), t Αντικαθιστώντας στην Ταυτότητα του Wald λαµβάνουµε τις παρακάτω δύο εξισώσεις: E[ exp {tt + s (t)x }], t (i =, ) (39) i T = Επίσης µε δέσµευση στα ενδεχόµενα απορρόφησης Α και Β αντίστοιχα έχουµε την ανάλυση: E[exp{tT + s i (t)x T }] = α E[exp{tT + s i (t)x T } Α] + β E[exp{tT + s i (t)x T } Β] (i =, ) (3) και συνεπώς η (39) δίνει για κάθε t α E[exp{tT + s i (t)x T } Α] + β E[exp{tT + s i (t)x T } Β] = (i =, ) Όµως, όπως προηγουµένως, όταν η απορρόφηση γίνεται στο -a έχουµε Χ T @ -a και όταν η απορρόφηση γίνεται στο b έχουµε Χ T @ b Οπότε έχουµε: Θέτοντας τώρα α exp{-a s i (t)}e[e tt Α] + β exp{b s i (t)}e[e tt Β] @ (i =, ) (3) και g Α (t) = E[e tt Α] (3) g Β (t) = E[e tt Β], (33) συναρτήσεις οι οποίες αποτελούν τις δεσµευµένες ροπογεννήτριες του χρόνου απορρόφησης Τ σε σχέση µε την περιοχή απορρόφησης, το σύστηµα εξισώσεων (3) γίνεται: 34
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος α exp{-a s (t)}g Α (t) + β exp{ b s (t)}g Β (t) @ α exp{-a s (t)}g Α (t) + β exp{ b s (t)}g Β (t) @, (34) σύστηµα δύο γραµµικών, ως προς τις ποσότητες αg Α και βg Β, εξισώσεων από το οποίο προκύπτει: και bs (t) bs (t) e e α g Α (t) @, t bs (t) as (t) bs (t) as (t) (35α) e e as (t) as (t) e e β g Β (t) @, t (35β) bs (t) as (t) bs (t) as (t) e e Όµως η ροπογεννήτρια συνάρτηση του χρόνου απορρόφησης Τ µπορεί να αναλυθεί σε σχέση µε την περιοχή απορρόφησης ως ακολούθως: και συνεπώς g Τ (t) = E[e tt ] = α E[e tt Α] + β E[e tt Β] = α g Α (t) + β g Β (t) bs (t) as (t) bs (t) (e + e ) (e + e g Τ (t) @ bs (t) as (t) bs (t) as (t) e e as (t) ), t (36) Η παραπάνω σχέση είναι η υπό µορφή ροπογεννητριών αντίστοιχη έκφραση της (8) και ισχύει ακριβώς στον απλό τυχαίο περίπατο Από τη σχέση αυτή µπορούµε να υπολογίσουµε τη µέση τιµή και τη διασπορά του χρόνου απορρόφησης Τ Συγκεκριµένα έχουµε: και Ε[Τ] = g ' T () V[T] = Ε[Τ ] {Ε[Τ]} '' ' = g () {g ()} T T Κάνοντας εφαρµογή του ΚΟΘ και χρησιµοποιώντας τα παραπάνω αποτελέσµατα µπορούµε να προσδιορίσουµε µε ικανοποιητική προσέγγιση τις πιθανότητες που αφορούν στον χρόνο απορρόφησης Τ 35
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ Θα κάνουµε εφαρµογή τώρα των παραπάνω αποτελεσµάτων σε διάφορες ανεξαρτήτων προσαυξήσεων σα 4 Απλός Τυχαίος Περίπατος - Καταστροφή του Παίκτη Έστω {Χ : =,, } απλός τυχαίος περίπατος Έχουµε δηλαδή Χ = Χ + Υ + Υ + + Υ ( =,, ), όπου Χ =, η θέση εκκίνησης, και Υ i (i =,, ) ανεξάρτητες τµ µε κατανοµή +, µε πιθανότητα p Υ i =, µε πιθανότητα q Ο ως άνω τπ µπορεί να θεωρηθεί ως η κατάσταση ενός παίκτη µετά από παιχνίδια στα οποία κερδίζει ή χάνει κάθε φορά µε πιθανότητες p και q αντίστοιχα Η ροπογεννήτρια συνάρτηση των Υ i είναι g(s) = E[e sy ] = p e s + q e -s, s, Για τον προσδιορισµό της µη µηδενικής λύσης s της εξίσωσης g(s) =, γράφουµε από την οποία προκύπτει η εξίσωση p e s + q e -s = = p + q (p e s - q) ( e -s )=, οπότε s = l(q/p) = l λ µε λ = q/p Η λύση αυτή είναι µη µηδενική όταν το λ ή, ισοδύναµα, όταν p q Με εφαρµογή τώρα της (35), η οποία ισχύει ακριβώς εδώ, λαµβάνουµε το γνωστό αποτέλεσµα b λ α = b a λ λ Για τον προσδιορισµό της πιθανότητας α όταν έχουµε p = q λαµβάνουµε το όριο της παραπάνω παράστασης για λ κάνοντας χρήση του κανόνα De l Hospital Οπότε για λ προκύπτει: α = b a + b 36
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος Είναι φανερό ότι όταν έχουµε λ, δηλαδή µ = Ε[Υ] = p q (µη θετική τάση), τότε α α(a, + ) = lim α(a, b) = για b + Όταν όµως έχουµε λ <, δηλαδή µ = p q > (θετική τάση), τότε α = α(a, + ) = lim α(a, b) = λ a για b + Τούτο σηµαίνει ότι όταν ένας παίκτης µε κεφάλαιο a παίζει µε παίκτη ο οποίος διαθέτει απεριόριστο κεφάλαιο, η µόνη περίπτωση να µη χάσει το κεφάλαιό του είναι να παίζει παιχνίδι µε θετική τάση, δηλαδή µε p > q Και πάλι όµως αυτό δεν είναι βέβαιο αλλά είναι µε πιθανότητα - λ a Το αντιστάθµισµα εδώ είναι ότι το αναµενόµενο κέρδος είναι άπειρο σε χρόνο άπειρο! Σχετικά µε τη µέση διάρκεια του παιχνιδιού Τ έχουµε τα παρακάτω Με µ = Ε[Υ] η σχέση (35), η οποία ισχύει ακριβώς εδώ, δίνει Ε[Τ] = b ( α) aα µ και αντικαθιστώντας την πιθανότητα α έχουµε µέση διάρκεια παιχνιδιού: Ε[Τ] = a b λ λ b a b p q λ λ λ λ {b a } (4) a Για τον προσδιορισµό της µέσης διάρκειας του παιχνιδιού όταν µ = λαµβάνουµε το όριο της παραπάνω έκφρασης για λ Έτσι για µ = λαµβάνουµε Ε[Τ] = a b (4) Θεώρηµα Στον απλό τυχαίο περίπατο χωρίς απορροφητικά φράγµατα και µε αρνητική τάση p q, η κατανοµή του M = max{x : =,, } ακολουθεί την Γεωµετρική κατανοµή µε παράµετρο θ =/λ = p/q Απόδειξη Το ενδεχόµενο {Μ m} στον χωρίς φράγµατα απλό τυχαίο περίπατο είναι ταυτόσηµο µε το ενδεχόµενο Β απορρόφησης στο άνω φράγµα b = m του απλού τυχαίου περίπατου µε κάτω φράγµα -a = - Συνεπώς από τα προηγούµενα έχουµε Όµως P[Μ m] = λ -m = θ m 37
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος P[M = m] = P[Μ m] - P[Μ m+], από την οποία αντικαθιστώντας λαµβάνουµε P[M = m] = θ m - θ m+ = θ m ( - θ), m =,,, 4 Τυχαίος Περίπατος Κανονικών Προσαυξήσεων - Ταµείο Τράπεζας Έστω τπ {Χ : =,, } ο οποίος εκφράζει την κίνηση σε ταµείο µιας τράπεζας Οι µεταβολές που γίνονται στο ταµείο από τις καταθέσεις/αναλήψεις των πελατών θεωρούνται ότι ακολουθούν Κανονική κατανοµή µε µέση τιµή µ και διασπορά σ Έχουµε δηλαδή µετά την εξυπηρέτηση του -πελάτη Χ = Υ + Υ + + Υ ( =,, ) µε Υ i (i =,, ) ανεξάρτητες και ισόνοµες τµ µε Ν(µ, σ ) κατανοµή Η ροπογεννήτρια της Ν(µ, σ ) είναι (βλ Παράδειγµα 5 της 3) g(s) = exp { µ s + σ s }, s = µε µη µηδενική ρίζα της εξίσωσης g(s) = την s = -µ/σ Έστω τώρα ότι το ταµείο της τράπεζας ξεκινά κάθε πρωί µε ένα ποσό a για την κάλυψη των αναλήψεων της ηµέρας Έστω επίσης ότι το σύνολο των καταθέσεων που µπορούν να γίνουν σε µια ηµέρα στο συγκεκριµένο ταµείο εκτιµάται ότι είναι b Η πιθανότητα απορρόφησης στο -a, να έλθει δηλαδή στιγµή που δεν θα µπορεί να καλύψει κάποια ανάληψη, µε βάση την (35) για µ είναι: α @ e e bs bs e as bµ / σ e = bµ / σ aµ / σ e e (43) Παίρνοντας τα όρια για µ η πιθανότητα απορρόφησης στο -a µε µέσο µ = είναι: α @ b a + b Για b η απορρόφηση στο -a γίνεται µε βεβαιότητα όταν ο µέσος µ, ενώ όταν µ > γίνεται µε πιθανότητα: 38
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος aµ / σ α @ e (44) Υπενθυµίζεται ότι το δεξιό µέλος της παραπάνω σχέσης αποτελεί ένα άνω φράγµα της πιθανότητας απορρόφησης (βλ Συµπεράσµατα στην 3) Με εφαρµογή του αποτελέσµατος (37) ο αναµενόµενος αριθµός πελατών µέχρι την απορρόφηση στο -a ή b είναι: Ε[Ν] @ a( e µ (e ab, σ µ b / σ µ b / σ ) + b( e e µ a / σ µ a / σ ) ), για µ, για µ = (45) Λύνοντας ως προς s την εξίσωση g(s) = e -t, ή ισοδύναµα την εξίσωση λαµβάνουµε για t < µ /σ σ s + µ s + t =, µ µ σ t s = s (t) = σ µ + µ σ t, s = s (t) = σ (46) Για τις ως άνω τιµές του s η ταυτότητα του Wald δίνει το παρακάτω γραµµικό σύστηµα εξισώσεων [βλ (34)] α exp{-a s (t)}g A (t) + (-α) exp{b s (t)}g B (t) @ α exp{-a s (t)}g Α (t) + (-α) exp{b s (t)}g B (t) @ (47) Λύνοντας το παραπάνω γραµµικό σύστηµα ως προς τις ποσότητες αg A (t) και (-α)g Β (t) προκύπτει ότι η προσεγγιστική έκφραση της ροπογεννήτριας του χρόνου απορρόφησης Ν και συγκεκριµένα της είναι: g Ν (t) = α g Α (t) + ( α) g Β (t) bs (t) bs (t) as (t) [e e ] + [e e g Ν (t) @ bs (t) as (t) bs (t) as (t) e e µε s i (t) (i =, ) από την (46) as (t) ], t = (, µ /σ ) 39
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος Θέτοντας lt στην θέση του t, και συνεπώς µε µ µ σ s = s (t) = σ l t µ + µ σ l t, s = s (t) = σ προκύπτει η γεννήτρια πιθανοτήτων π N (t) του χρόνου απορρόφησης Ν Συγκεκριµένα έχουµε: π Ν (t) @ [{z (t)} b b {z (t)} ] + [{z (t)} b {z (t)} {z (t)} a a {z a b {z (t)} {z (t)} t = (, exp{µ /σ }), (t)} a ], (48) όπου z i (t) = exp{s i (t)} (i =, ) 43 Τυχαίος Περίπατος Ανεξαρτήτων Προσαυξήσεων - Ασφαλιστικά Συµβόλαια Σε ασφαλιστική εταιρεία φθάνουν αιτήµατα αποζηµίωσης ασφαλισµένων σε τυχαίες χρονικές στιγµές T i (i =,, ) µε T i T ι+ Υποθέτουµε ότι οι ενδιάµεσοι χρόνοι X i = T i T i- (i =,, ), µε Τ =, είναι ανεξάρτητες και ισόνοµες (µη αρνητικές) τµ µε µέση τιµή µ Χ (µ Χ > ) Υποθέτουµε επίσης τα ποσά των αποζηµιώσεων Y i (i =,, ) επίσης ανεξάρτητες και ισόνοµες (µη αρνητικές) τµ µε µέση µ Y Αν N(t) είναι ο αριθµός των αιτουµένων αποζηµιώσεων στο χρονικό διάστηµα (, t], τότε το συνολικό ποσό αποζηµίωσης θα είναι: S Y (t) = Y + Y + + Y N(t) Παράλληλα η ασφαλιστική εταιρεία έχει από τα ασφάλιστρα έσοδα τα οποία, αφαιρουµένου του λειτουργικού κόστους στον αντίστοιχο χρόνο, είναι ct Αν Α είναι το αρχικό κεφάλαιο της εταιρείας µας ενδιαφέρει να γνωρίζουµε µε ποια πιθανότητα η ασφαλιστική εταιρεία ενδέχεται να αδυνατεί κάποια στιγµή να υποστηρίξει τα συµβόλαιά της Μας ενδιαφέρει δηλαδή η πιθανότητα p = P[A + ct S Y (t) < για κάποιο t (, + )] Επειδή η χρονική στιγµή της αδυναµίας κάλυψης ασφαλιστικής υποχρέωσης συµπίπτει µε τον χρόνο κάποιου αιτήµατος αποζηµίωσης, είναι χρήσιµο να αναφερόµαστε στις χρονικές κατά τις οποίες προκύπτουν αιτήµατα αποζηµίωσης Έτσι κατά την χρονική στιγµή κατά την οποία προκύπτει το -αίτηµα αποζηµίωσης θα έχουµε τυχαίο συνολικό χρόνο µε συνολικές αποζηµιώσεις T = Χ + Χ + + Χ 4
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος S Y, = Y + Y + + Y Η οικονοµική κατάσταση της εταιρείας θα είναι συνεπώς A i i i= i= i= + c X Y = A U, (49) µε U i = Y i - cx i (i=,, ) Η ζητούµενη πιθανότητα είναι: p = P[S = U > A για κάποιο ] U, i i= i Επειδή τα U i είναι ανεξάρτητα και ισόνοµα η {S U, : =,, } είναι µια σα ανεξαρτήτων και ισονόµων προσαυξήσεων, δηλαδή ένας τυχαίος περίπατος Συνεπώς όταν µ = E[U] = E[Y] - c E[X], τότε µε πιθανότητα τη µονάδα η ασφαλιστική εταιρεία θα αντιµετωπίσει αδυναµία υποστήριξης των συµβολαίων της κάποια στιγµή Όταν όµως E[U] <, τότε υπάρχει θετική πιθανότητα p να µην αντιµετωπίσει τέτοια κατάσταση Η πιθανότητα p αντιστοιχεί στο ενδεχόµενο απορρόφησης στο άνω φράγµα τυχαίου περίπατου µε τάση µ αρνητική, όπου το άνω φράγµα εδώ είναι b = A και το κάτω φράγµα -a = - Η πιθανότητα απορρόφησης συνεπώς είναι: µε s τη µη-µηδενική ρίζα της εξίσωσης p exp{ As } (4) g U (s) = E[e su ] = Λόγω της ανεξαρτησίας µεταξύ των Χ i και Υ i θα έχουµε g U (s) = E[e su ] = E[e s(y-cx) ] = g Y (s) g X (-cs), και συνεπώς θα έχουµε ως s τη µη-µηδενική ρίζα της εξίσωσης Ε[e sy ] E[e -scx ] = (4) Σηµειώνεται ότι η ως άνω ρίζα είναι θετική αφού η ροπογεννήτρια g U έχει παράγωγο στη θέση µηδέν g U () = µ = Ε[U] < 4
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος 44 Συστήµατα Εξυπηρέτησης Θεωρούµε ένα χώρο στον οποίο προσέρχονται πελάτες για να διεκπεραιώσουν µια υπόθεση τους ή γενικότερα να κάνουν χρήση των προσφεροµένων υπηρεσιών Ο χώρος αυτός µπορεί να είναι ένα κατάστηµα τραπέζης, ένα ιατρείο ή µια κλινική, ένα iteret café ή ένα δικτυακό κέντρο, ένας χώρος αναψυχής κλπ Τα κύρια χαρακτηριστικά ενός χώρου εξυπηρέτησης είναι τα εξής: (α) (β) (γ) Ο ρυθµός αφίξεων πελατών και πιο συγκεκριµένα η από κοινού κατανοµή των χρόνων µεταξύ διαδοχικών αφίξεων πελατών Οι χρόνοι αυτοί συµβολίζονται µε X ( =,, ) Ο ρυθµός εξυπηρέτησης και πιο συγκεκριµένα η από κοινού κατανοµή των χρόνων εξυπηρέτησης Οι χρόνοι εξυπηρέτησης συµβολίζονται µε V ( =,, ) Ο αριθµός m των µονάδων εξυπηρέτησης Σχετικά µε το πρώτο χαρακτηριστικό ενός χώρου εξυπηρέτησης πελατών, ή Συστήµατος Εξυπηρέτησης, (ΣΕ) στο εξής, συνήθης πρακτική είναι να θεωρούµε ότι οι πελάτες φθάνουν ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο µε ενδιάµεσους χρόνους µεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων ανεξάρτητες και ισόνοµες τµ µε γενική κατανοµή συµβολιζόµενη µε G Σχετικά µε το δεύτερο χαρακτηριστικό, συνήθως θεωρούµε ότι σε κάθε µονάδα εξυπηρέτησης του συστήµατος οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι πάλι ανεξάρτητες και ισόνοµες τµ µε γενική κατανοµή G, ίδια για όλες τις µονάδες του συστήµατος και µη εξαρτώµενη από το πλήθος των πελατών µέσα στο σύστηµα Αν m είναι ο αριθµός των µονάδων του ΣΕ τότε αυτό συµβολίζεται µε G/G/m Το γράµµα G στους χρόνους αφίξεων και στους χρόνους εξυπηρέτησης αποδίδει την γενικότητα των δύο κατανοµών και δεν σηµαίνει ότι ταυτίζονται Ειδικές περιπτώσεις των ΣΕ έχουµε όταν οι χρόνοι µεταξύ διαδοχικών αφίξεων ακολουθούν Εκθετική κατανοµή, σύστηµα M/G/m, ή όταν οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν Εκθετική κατανοµή, σύστηµα G/M/m ή ακόµα όταν τόσο οι χρόνοι µεταξύ διαδοχικών αφίξεων όσο και οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν Εκθετικές κατανοµές, σύστηµα M/M/m Ο συµβολισµός Μ προέρχεται από την χαρακτηριστική ιδιότητα της Εκθετικής κατανοµής και συγκεκριµένα την ιδιότητα της έλλειψης µνήµης (memoryless) Άλλα ενδιαφέροντα στοιχεία ενός ΣΕ είναι το µέγεθος του χώρου υποδοχής, δηλαδή πόσοι πελάτες το πολύ επιτρέπεται να παραµένουν στο σύστηµα πριν ξεκινήσει η εξυπηρέτησή τους, οι χρόνοι παραµονής στο χώρο υποδοχής, συµβολιζόµενοι µε Q, ο συνολικός αριθµός των πελατών στο σύστηµα, το ποσοστό του χρόνου που το σύστηµα υπολειτουργεί ή βρίσκεται χωρίς απασχόληση κλπ 4
ΓΕ Κοκολάκης, Σηµειώσεις Στοχαστικών Ανελίξεων Κεφ ΙΙ Τυχαίος Περίπατος 44α Σύστηµα Εξυπηρέτησης G/G/ Θα µελετήσουµε το ΣΕ G/G/, µε µια δηλαδή µονάδα εξυπηρέτησης και γενικές κατανοµές για τους χρόνους αφίξεων και τους χρόνους εξυπηρετήσεων Έστω X ο χρόνος που παρήλθε από τη στιγµή προσέλευσης του (-)-πελάτη µέχρι την στιγµή προσέλευσης του -πελάτη και V ο χρόνος εξυπηρέτησης του -πελάτη Έστω επίσης W ο συνολικός χρόνος κατά τον οποίον βρίσκεται µέσα στο ΣΕ ο - πελάτης και Q = W V ο χρόνος αναµονής, δηλαδή ο χρόνος κατά τον οποίον οφείλει να παραµείνει στη γραµµή αναµονής, ή διαφορετικά στην ουρά, µέχρις ότου αρχίσει η εξυπηρέτησή του Μας ενδιαφέρει να υπολογίσουµε την πιθανότητα: p = P[Q c] για c > και >> (4) Είναι φανερό ότι όταν ο συνολικός χρόνος W παραµονής µέσα στο σύστηµα του -πελάτη είναι µικρότερος από τον χρόνο X + που παρέρχεται µέχρι την προσέλευση του επόµενου, τότε ο πελάτης αυτός δεν θα χρειαστεί να περιµένει καθόλου στη σειρά Στην περίπτωση αυτή ο (+)-πελάτης θα έχει συνολικό χρόνο παραµονής στο σύστηµα W + = V + και χρόνο παραµονής στη σειρά Q + = Αντίθετα, όταν ο συνολικός χρόνος W παραµονής µέσα στο σύστηµα του -πελάτη είναι µεγαλύτερος από τον χρόνο X + που παρέρχεται µέχρι την προσέλευση του επόµενου, τότε ο πελάτης αυτός οφείλει να περιµένει στην γραµµή αναµονής για χρόνο Q + = W X + = Q + V X + Έχουµε συνεπώς για τον (+)-πελάτη χρόνο αναµονής στη σειρά: Q + = max{, Q + V X + } ( =,, ) µε Q = (43) Θέτοντας στην παραπάνω σχέση U = V X + λαµβάνουµε διαδοχικά Q + = max{, U + Q } = max{, U + max{, U - + Q - }} = max{, U, U + U - + Q - } µε = max{, U, U + U -, U + U - + U - + Q - } = max{, U, U + U -, U + U - + U -,, U + U - + U -,, + U }, (44) U = V X + ( =,, ) (45) 43