APITOLUL II FUNŢII OMPLEXE orpl merelor complee ostrcţ ş repreetre merelor complee Imposbltte reolvăr or ecţ lgebrce î corpl merelor rele R cos pe lgebrşt tle î secoll XVI să trocă o epres e orm b b R mte mere mgre Nmerele "mgre" pr petr prm oră î lcrărle l r sec XVI Demre e mere mgre ost trbtă tortă ptl că î epoc respectvă s- ptt o repreetre ttvă cestor mere Î 763 Eler îtrepre petr prm oră st sstemtc l cestor mere trocâ ş smboll " " Î 797 Gss ă terpretre geometrcă merelor complee c pcte le pl Fe R prosl crte l perechlor orote e mere rele Dem pe R operţle e re ş îmlţre pr : '' ' ' ; '' '- ' '' Pr eţe mlţme merelor complee este mlţme R ottă c operţle e re ş îmlţre R; mlţme îestrtă c cele oă operţ re o strctră e corp comttv Elemetele corpl se mesc mere complee Fe A mlţme merelor complee e orm ec A{ R} A ş A este sbcorp l l eorece: A ş A Să em plcţ : R A pr R Acestă plcţe este o bjecţe ş coservă operţle e re ş îmlţre : ş Reltă că este omorsm e corpr e l R pe A Acest lcr permte etcre mlţm A c R Astel vom ot mărl comple c ec Î prtclr erol ş tte corpl merelor complee se etcă c mărl rel ş tte relă Î cosecţă ptem scre ş 34
Fe B { R } Observăm că B se pote etc c pctele R stte pe O Observăm că : ' ' B ş ' -' B Acest rtă că B este sbcorp l corpl merelor complee Î prtclr - - Vom ot ş stel - R Nmărl comple se m meşte ş tte mgră r merele complee e orm R mere pr mgre Dcă este măr comple orecre tc : cre repretă epres lgebrcă merelor complee Î cestă screre Re ş Im repretă respectv prte relă ş prte mgră mărl comple Pr moll mărl comple se îţelege mărl eegtv et pr relţ : Pr cojgtl măr comple se îţelege mărl - Î ră e cestă repreetre geometrcă pctlă m este cosctă ş repreetre vectorlă merelor complee Astel mărl comple se tşeă vectorl lber le căr compoete pe ele e coorote st ş Î cest el se releă o bjecţe ître corpl ş mlţme vectorlor lber Screre merelor complee sb ormă trgoometrcă Operţ c mere complee Î clcll c mere complee este orte tlă screre cestor sb ormă trgoometrcă Nmărl comple se pote scre sb ormă trgoometrcă : ρcosθ sθ e ρ tgθ ρ cos θ ρ sθ Ughl ăct e vectorl corespător l c sesl potv l e O se meşte rgmet ş se oteă : θ rg 35
M ρ θ Acelş măr comple î coresp o tte e etermăr le rgmetl cre eră ître ele prtr- mltpl e π Vom m etermre prcplă rgmetl l ottă rg ce etermre cre vercă egltăţle : - π < rg π Are respectv scăere merelor complee ş se eesc pr : ± ± ± Aceste operţ c semcţe geometrcă re respectv scăere vectorlor corespător : Se observă că repretă stţ tre pctele ş Fe ρcosθ sθ ş ρ cosθ sθ Îmlţre merelor complee ş se eeşte stel : 36
3 ρ ρ [cos θ θ s θ θ ] Observăm că ş rg rg rg Dcă ρ cosθ sθ { tc : 4 ρ ρ ρ [cos θ θ θ s θ θ θ ] Dcă ρcosθ sθ tc : 5 ρ cos θ s θ Dcă lăm pe ρ se obţe orml l Movre : 6 cosθ sθ cos θ s θ Împărţre merelor complee se eecteă pă regl : ρ 7 [cos θ θ s θ θ ] ρ Observăm că : ş rg rg rg Răăc e orl se eeşte stel : 8 θ π θ π ρ cos s { } D pct e veere geometrc cele răăc le l st vârrle polgo reglt c ltr îscrs î cercl c cetrl î orge ş e ră ρ O ormă mporttă e repreetre merelor complee se θ toreă l Eler Notâ cos θ sθ e orml l Eler mărl comple se pote scre sb orm: ρe θ ρ θ rg mtă orm epoeţlă merelor complee Elemete e topologe î corpl merelor compleeproecţ stereogrcă Fe mlţme merelor complee Aplcţ : X R etă pr : se meşte metrcă s stţă pe mlţme Î cotre vom ce eosebre ître mărl comple ş pctl M mge l geometrcă pll Gss Deţ Vom m sc eschs c cetrl î pctl ş e ră r > mlţme : r { <r} 37
Pr sc îchs c cetrl î ş e ră r > vom îţelege mlţme : 3 r { r} Deţ Nmm cerc c cetrl î ş e ră r > mlţme : 4 Sr { r} M jos st repreette cele tre mlţm: * * * * * * * * * * * * * * * * * * r * * r * * * r r * * * * r * * S r 38
Mlţme pe cre s- et metrc este spţ metrc Pe mlţme reltv l stţ vom troce topolog τ mtă topolog soctă stţe Mlţme e părţ τ spţl metrc etă pr : 5 τ { U Ρ ; U r > r U} e Ρ repretă mlţme ttror părţlor mlţm este o topologe pe mtă topolog soctă stţe r r V Deţ 3 Sbmlţme V se meşte vecătte pct că estă scl r V gr e m ss` Dcă V este o vecătte l tc pctl se meşte pct teror l V Mlţme pctelor terore le e mlţm V se meşte terorl l V ş se oteă c V s ItV Pctl este pct e cmlre petr mlţme V că orce sc r coţe pct stel îcât : V r \{ } Mlţme pctelor e cmlre o vom ot c V' ş o vom m mlţme ervtă l V Dcă V ş estă r stel îcât r V { } tc pctl este pct olt l mlţm V Îchere mlţm V repretă mlţme V V V O mlţme V este eschsă că V V Mlţme V este îchsă că V V Se pote răt că V este îchsă V V 39
Mlţme V este o mlţme mărgtă că estă scl r stel îcât V r O mlţme mărgtă ş îchsă se meşte compctă U pct se meşte pct roteră petr mlţme A că orce vecătte V pctl coţe pcte tât mlţme A cât ş complemetr s A Mlţme pctelor roteră mlţm A se oteă Fr A ş se meşte roter l A Dcă cel pţ l merele Re Im este t vom scre ş vom spe că repretă pctl e l t l pll comple Deţ 4 Nmm vecătte pctl eterorl cerc c cetrl î orge că mlţme : 6 V { > r} Petr obţe mge geometrcă pctl l pll comple vom e proecţ stereogrcă cre stbleşte o corespoeţă bvocă ître pctele e sere ş pctele pll comple l l Gss Acestă corespoeţă ost ctă e B Rem Să coserăm o seră S e metr tgetă î pctl O l pll ecl rportt l ssteml e e rectglre O î cre m repreett merele complee Fe N pctl e pe ser S metrl ops l O Vom coser spţl ecl trmesol rportt l ssteml e e rectglre O ξης e O ξ ş O η coc c O respectv c O r O ς se sprpe peste metrl ON N Fe M pct orecre pll O e ş să otăm c P P ξ η ς pctl ert e N e rept MN te ser S : N P* O M 4
Î cest el ecăr pct M pl s ecăr măr comple î v corespe pct c P l sere S P N Ivers â-se pct P P S P N rept cre trece pr N ş P v tersect pll O îtr- pct c M Vom spe că pctl M este proecţ stereogrcă N l pctl P Relţle tre coorotele pctl P ξ η ς ş coorotele pctl M st : 7 ξ ; η ; ς â tc P N ec proecţ stereogrcă poll or N este pctl e l t l pll comple ξ Mlţme merelor complee împreă c pctl repretă îchere l ec { } Deţ 5 Mlţme E este coveă că petr orce escompere î oă mlţm sjcte ş eve A ş B cel pţ ceste mlţm re pct e cmlre î celltă mlţme ec : A B E A B A B s A B Dcă o mlţme este eschsă ş coveă vom spe că ce mlţme este ome O mlţme eschsă este coveă că ş m că orcre oă pcte le sle pot te prtr-o le polgolă coţtă î ce mlţme Deţ 6 U ome D este smpl coecă orce crbă smplă îchsă Γ coţtă î D elmteă ome mărgt vâ roter Γ este cls î Dcă D : D Γ 4
U ome cre este smpl coe vom spe că este mltpl coe Pr trocere or tăetr că o rotere omel pote eve smpl coe Orl e coee se obţe ăgâ o tte l mărl mm e tăetr petr c omel respectv să evă smpl coe Eempl Domel D gr e m jos este trpl coe : D 3 A B B * A T T Pr tăetrle T ş T el eve ome smpl coe vâ c roteră mlţme : Γ 3 A B B A A B B A 3 Şrr ş ser e mere complee A Şrr e mere complee Deţ Nmm şr e mere complee plcţ * : N R R Vom ot : * s smpl N Spem că şrl este mărgt că c R stel îcât : c N* Deţ c vecătăţ Spem că şrl este coverget că estă stel îcât î r orcăre vecătăţ V l se lă măr t e terme şrl Notăm lm s Deţ 3 c ε Spem că este coverget că estă stel îcât petr orce ε > estă rg ε N c proprette că petr orce N să vem : ε 4
< ε Geometrc eţ 3 re rmătore terpretre : toţ terme c ε se lă î terorl cercl c cetrl î ş e r ε Teorem U şr este coverget că ş m că ş st covergete; î pls lm lm lm Demostrţe Dcă este coverget tc stel îcât petr ε > ε N stel îcât ε să vem < ε Dr < ε ş < ε e e rmeă că ş st covergete către ş respectv ş ec Recproc că ş obţem Deţ 4 Şrl e mere complee se meşte şr ch metl că petr orce ε > estă măr trl ε stel îcât petr orce > ε ş orce p N să vem : < ε p Are loc: Teorem oţ ecesră ş scetă c şr să e şr ch este c şrrle ş să e şrr ch Necestte coţe reltă egltăţle : r sceţ egltte : p p ş p p p p p B Ser e mere complee Pr sere e mere complee îţelegem sm termelor şr w e mere complee ş se oteă : w w w w Sere e mere complee w se socă şrl smelor prţle S et stel : S w w w {3} 43
Dcă şrl smelor prţle S este coverget ş re lmt S spem că ser w este covergetă ş re sm S că: şrl S este verget spem că ser w este vergetă O sere e mere complee pote scrsă : Are loc : w v e v R w S Dcă Teorem O sere e mere complee w este covergetă că ş m că ş v st covergete Demostrţe Notăm S w w w s ş τ v v v Avem S s τ Dr w este covergetă că ş m că şrl S este coverget cee ce re loc că ş m că şrrle s ş τ st covergete că că ş m că serle ş v st covergete Deţ Ser w se meşte bsolt covergetă că ser w este covergetă Deţ Dcă ser w este covergetă r w este vergetă ser w se meşte sem-covergetă Observţe O sere bsolt covergetă este covergetă r recproc este î geerl vlblă O sere e mere complee este bsolt covergetă că ş m că tât ser părţlor rele cât ş ser părţlor mgre st bsolt covergete 44
Observţe Petr stl covergeţe bsolte serlor e mere complee se tleă crterle e covergeţă petr ser c terme potv Petr stl tr serlor e mere complee pot tlte crterle e covergeţă petr serle e mere rele 4 Fcţ complee e o vrblă relă Lmt îtr- pct ottte Dervt ş ereţl Itegrl Rem Prmtvă Fe E R Deţ Nmm cţe compleă e vrblă relă plcţ : : E R s t t t t R e t Re t ş t Im t Reltă că o cţe compleă e vrblă relă este etermtă e o pereche orotă t ş t t E e cţ rele e vrblă relă Deţ Spem că măr comple l este lmt cţe t î pctl t E' că petr orce ε > estă măr η ε > stel îcât orcre r t E t t că t t < η ε tc t l < ε Se scre lm t l t t Are loc: Propoţ lm t l lm t Rel t t t t ş lm t Iml Deţ 3 Spem că cţ compleă t este cotă î pctl t E R că petr orce ε > estă η ε > stel îcât petr t t < η t E să vem : t t < ε t ε Dcă t E E tc cţ compleă t este cotă î pctl lm t t t t Propoţ oţ ecesră ş scetă petr c cţ compleă t t t să e cotă î pctl t E R este c cţle rele tş t să e cote î t t Fe : E R ş t E E Deţ 4 Spem că cţ compleă este ervblă î pctl t că estă ş este tă lmt : 3 t t lm t t t t t t 45
Vlore ceste lmte se oteă t s t ş se meşte ervt cţe î pctl t E Propoţ 3 oţ ecesră ş scetă c o cţe compleă să e ervblă îtr- pct este c cţle rele t ş t să e ervble î cel pct Se pote scre : t t t t t t t E \{ t} e e t t t t t t trecâ l lmtă câ t t obţem egltte : 4 t t t Meţoăm că reglle e ervre petr cţle rele se păstreă ş î cl cţlor complee e vrblă relă Fe o cţe compleă ervblă pe E R Pr ereţl l î pctl t E vom îţelege mărl comple: 5 t t t t t t Eplctâ relţ 5 pote scrsă ş stel : 6 t t t e t t t ş t t t Reglle e ereţere coscte petr smă pros ş cât se păstreă ş petr cţle complee Deţ tegrle Rem petr cţle complee e vrblă relă este logă c ce tă petr cţle rele Fe cţ compleă t t [ b] R Să coserăm o ve l [ b] pr pctele: ottă t < t < t < < t < t < < t b t { 3 : Notăm δ [ t ] e } Pr orm v γ se îţelege mărl rel : 7 γ m t t Fcţe complee ş v compctl [ b] l se socă mărl comple τ mt smă tegrlă Rem vâ epres : 8 τ ξ t t e pctele ξ [ t t ] { 3 } se mesc pcte termere le v l [ b] Deţ 5 Fcţ compleă t t [ b] este tegrblă pe [ b] că estă măr comple I c proprette rmătore : petr orce t 46
ε > estă măr ε > η stel îcât orcre r ve c ş orcre r legere pctelor termereξ să vem : 9 I τ < ε υ < η ε b Nmărl I se oteă t t ş se meşte tegrl cţe t pe tervll [ b] Î cl câ tegrl estă vom scre : b I t t lm τ υ Propoţ 4 Fcţ compleă t este tegrblă pe [ b] că ş m că cţle rele t ş t st tegrble pe [ b]acest reltă met egltăţle : Re I τ t I τ Re I τ t Im I τ t eorece Im I τ t τ τ t τ t D egltte e m ss găsm orml : b b t t t t t t b Propretăţle tegrle Rem loc ş petr cţle complee Deţ 6 Spem că cţ compleă Ft t [ b] este prmtv l t t [ b] că Ft este ervblă pe [ b] ş F tt t [ b] Dcă o cţe re o prmtvă F tc re o tte e prmtve me mlţme: Ft t [ b] Acestă mlţme prmtvelor l se meşte tegrl eetă cţe cre se oteă : 9 t t F t Î prtclr că cţ este cotă pe [ b] tc cţ t compleă τ τ este prmtvă petr cţ pe [ b] ş F t t t [ b] ş î cl cţlor rele se rtă că : b b t t F b F F t cre costte orml Leb-Newto petr tegrl etă e cţ complee 5 Fcţ moogee Dervt e cţ complee oţle e moogeette l ch-rem Propretăţ 47
Deţ Spem că cţ compleă etă î omel D este ervblă î pctl D că estă ş este că: lm Vlore ceste lmte se oteă ş se meşte ervt cţe î pctl D O cţe ervblă îtr- pct se meşte moogeă î cel pct O cţe moogeă î ecre pct l omel D se meşte olomoră pe omel D s moogeă moos l geos ştere pe omel D Propoţ oţle e moogeette l ch-rem Petr c cţ compleă v etă î omel D să e moogeă î pctl D este ecesr c cţle ş v să mtă ervte prţle e orl îtâ î pctl ş să stscă relţle: v v mte coţle e moogeette le l ch-rem Demostrţe Petr D ptem scre: [ ] [ v v ] 3 Să prespem că pe rm prlel c O: ş D 3 obţem: v v 4 lm Dr esteţ ervte ' mplcă esteţ lmtelor: 48
49 5 lm ş 6 lm v v v D relţle 4 5 ş 6 obţem: 7 v Prespâ că pe rm prlel c mgră O tc ş D 3 obţem: 8 lm v v cre mplcă esteţ lmtelor: 9 lm ş lm v v v D 8 9 ş găsm: v omprâ relţle7 ş reltă ecestte coţlor ş stel propoţ este emostrtă Propoţ Fe v olomoră î omel D se oteă HD Dcă ş v mt ervte prţle e orl o cote î D tc cţle ş v st rmoce că: v e repretă opertorl l Lplce 6 Determre e cţ olomore pe ome câ se coşte prte relă s prte mgră Eempl Să prespem că v este o cţe moogeă pe ome D Fcţle ş v vercă coţle l ch- Rem:
v ş v Să prespem că se coşte cţ Fcţ prte relă cţe moogee este o cţe rmocă î D oscâ cţ vom clcl ervtele cţe v: v v ş ereţl s: v Î prte reptă egltăţ vem o ereţlă totlă ectă eorece cţe rmocă Fcţ v se pote eprm prtr-o tegrlă crble epeetă e rm v AM A pct r M pct rbtrr D Drml e l A l M se prcrge e obce pe oă segmete e reptă prlele c ele e coorote gr că ceste st cprse î omel D M D A B lclâ tegrl pe rml ABM se obţe: v t r că se lege rml AM t t t 5
v t t t t Itegrl etermă cţ v î r e costte tve ec cţ v v etermtă î r e costte tve Se observă şor că stel etermtă este moogeă Îtrevăr eorece sb seml e tegrlă este o ereţlă ectă vem: v v v e e reltă Î mo log se rtă că tă o cţe v rmocă î D estă o cţe v moogeă pe D Fcţ este etermtă î r e costte tve pr tegrl crble epeetă e rm: v v AM ş c cest este etermtă î r e costte tve Eempl Se ă v e s Să se eterme cţ moogeă v şt că Se vercă şor că v este rmocă D coţle e moogeette obţem: v v e cos e s Dec: e cos e s ş e cos e s AM Itegrâ pe rml ABM gr e m ss obţem: o e cos e s e cos e cos e cos e cos ş ec: e cos - costtă rbtrră e cos Reltă că: e cos e s D coţ găsm Obţem cţ moogeă: e cos e s 5
s ş ec: e cos s e e e e 7 Iterpretre geometrcă ervte Trsormre coormă Eempl Fe v o cţe etă î omel D Prespem că este moogeă î pctl D ş Vom ot w ş w Fcţ etermă trsormre: v v ître plele ş w Î pll l vrble se coseră rc e crbă cre re o etremtte î M gr Γ w v Nw U M T α α β β M N w Vom ot c Γ mge crbe pr trsormre pctlă ître plele complee ş w Deorece ptem scre: w w w w lm ; lm s w w lm rg rg 5
Trsormtele pctelor M ş M e pe crb st respectv pctele N ş N e pe crb Γ Fe α ş α ghrle ormte e sect M M ş tget M T î M l crb c O Imgle cestor pr trsormre vor ghrle β ş β le secte N N ş le tgete N U î N l crb mge Γ pll w c O Observăm că: ' ' 3 N M e α w w N N e β ş otâ c s rcl e crbă M M pe ş S rcl N N e pe crb Γ obţem: N M β α ' N M β ' α ' β α 4 lm lm s S S e lm e e M M S M M s s M N N M eorece lm ş lm M M s N N S D relţle ş 4 obţem: S 5 lm s ş 6 rg β α Am obţt : Propoţ O cţe moogeă îtr- pct vâ ervt ertă e ero trsormă elemetele e rc vecătte pctl M î elemete e rc proporţole c moll ervte î pctl Argmetl ervte cţe î este ghl c cre trebe rottă î ses rect tget M T petr eve prlelă c tget N U l crb Γ [Se mte că ele e coorote plele ş w st prlele] Deţ Trsormre pctlă ître plele ş w se meşte trsormre coormă că păstreă ghrle Propoţ O cţe olomoră îtr- ome D vâ ervt ertă e ero î D eeşte o trsormre coormă Demostrţe Fe oă crbe pll ce trec pr pctl M D ş Imgle cestor crbe î pll w vor Γ ş Γ 53
rbele mge Γ Γ trec pr pctl N w w gr v U T T U ω Γ w ω Γ α α β β M N w Fe α α ghrle pe cre le ormeă tgetele M T ş M T î pctl M l crbele ş c O ş β β ghrle pe cre le ormeă tgetele mge N U N U î pctl N l crbele Γ Γ c O Ughrle ω α α ş ω β β repretă ghrle sb cre se te respectv perechle e crbe ş Γ Γ Obţem: 7 rg β α β α e e: 8 ω β β α α ω s ω ω ec crbele ş se te sb celş gh c ş crbele mge Γ ş Γ cest propoţ este emostrtă Eempl oserăm cţ w Deorece că reltă că releă o trsormre coormă î tot pll comple c ecepţ org Observăm că v ş că este olomoră î Imgle reptelor ş pll vor prbolele: Γ v R ş Γ v R : Γ vω 9 Γ N ' ω 9 - M - 54
Imge repte este prbol Γ vâ ecţ v 4 r mge repte este prbol Γ e ecţe v 4 Aceste oă prbole st ortogole ş trec pr N pll w mge pctl M pll Observăm că se păstreă ghrle pr trsormre coormă ω ω 9 8 Itegrl crble î pll comple Eempl Deţe Prcpl e clcl Propretăţ Fe AB rc e crbă î pll comple et prmetrc pr ecţle: t t t [ b] Vom prespe că cţle t ş t st cote împreă c ervtele e orl îtâ pe [b] : D M * B M M * * P M * A M Să coserăm o ve tervll [b] pr pctele e ve t < t < t < < t < t < t b Deorece ecţ î comple rcl e crbă AB este t t t [ b] ve ce pe rcl AB o ve ' pr pctele e ve: A M M M M B 55
e t { } Norm v tervll [b] este mărl v m t t Î ecre sbtervl t t ] legem pct [ rbtrr υ Acest pct î corespe pr t t [ b] pe rcl M M pct termer P α υ α corespător mărl comple Arcl AB ş corespător v tervll [b] î socem c jtorl cţe mărl comple σ AB Deţ Fcţ D este tegrblă pe rcl D că estă măr comple I c proprette că petr orce ε > estă măr η ε > stel îcât orcre r ve c v < η ε ş orcre r legere pctelor termere υ să vem: 3 σ I < ε Î cest c vom scre: I lm σ v AB ş vom spe că I este tegrl crble pe rcl cţe Propoţ Dcă cţ compleă v D este cotă pe rcl e crbă AB ete pe porţ tc tegrl crble cţe pe rcl AB estă ş re epres: 4 v v AB AB Demostrţe Notăm t t ş ξ η υ { } Deorece: υ AB α ξ η v ξ η obţem petr sm σ epres: 5 σ σ σ e: ş σ [ ξ η v ξ η ] σ [ v ξ η ξ η ] 56
Ţâ sem e eţ tegrle crbl ş e ptl că cţle ş v st cote pe AB r t t ervte cote c ecepţ măr t e pcte reltă: ş b { [ t t] t v[ t t] t } lm σ v t v lm σ v AB b { v[ t t] t [ t t] t } v AB Propretăţ le tegrle crbl : ; ; AB BA β [ α βg ] α β g α ; AB 3 AB AB AB A B AB AB ; 4 M L e M sp ş L este lgme rcl AB AB Observţe Itegrlele crbl pe cotrr îchse lte î ses rect se oteă Eempl Să se clclee tegrl: I e este cerc c cetrl î pctl ş e ră r gr cre este prcrs î ses rect: t r θ M 57
θ Pâ re θ [π ] obţem: θ θ e re θ r ş π I r 9 Teorem l ch π θ θ e re θ θ π Petr e tegrl crble e cţ pe o crbă m presps că este cotă pe ără lte potee reertore l esteţ s comportre cţe î pcte cre prţ crbe Î cele ce rmeă vom prespe că este olomoră îtr- ome D ş că este coţtă î D Itegrlele crbl propretăţ cre ep e orl e coee l omel Vom coser m îtâ cl omel smpl coe Teorem l ch Dcă este olomoră îtr- ome smpl coe D tc: orcre r crb îchsă coţtă î D Demostrţe Vom prespe î pls că este cotă pe D eş cestă poteă este ecesră pt ovet e EGorst Fe v ; vem: v v Să prespem că este o crbă smplă ş să otăm c omel cre re roter D gr : D 58
Itegrlelor membrl rept l relţe l se pote plc orml l Gree: Q P P Q Q P î pote că ş st cote pe ottte l v v mplcă cottte ervtelor ş plcâ orml l Gree obţem: v v 3 ş v v Dr este olomoră î D Deorece D î tote pctele omel st stsăcte coţle e moogeette ch- v v Rem: ş ; ec cele oă tegrle 3 st le ş pe b relţe găsm ş teorem este emostrtă Teorem l ch pote etsă ş î cl câ omel este mltpl coe Astel e o cţe olomoră î omel bl coe elmtt e crbele îchse ş coorm gr: D B A 59
Eectâ tăetr AB obţem omel smpl coe D \ { AB} vâ c roteră crb Γ AB BA e este prcrs î ses rect r î ses vers Aplcâ teorem l ch petr omel smpl coe D elmtt e crb Γ obţem: 4 m AB ş AB orml 4 e ă: BA 5 BA Pr m ott ptl că ş se prcrg î ses rect Î cl ome mltpl coe elmtt e crbele e st eterore ître ele ş terore e crbe gr vem: că este olomoră î omel î mo log pr prctcre or tăetr ître ş crbele obţem orml l ch petr ome mltple coee: c 3 6 crbele st prcrse î ses rect 6
Forml tegrlă l ch Fe o cţe olomoră îtr- ome smpl coe D ş o crbă smplă îchsă coţtă î D Notăm c omel mărgt cre re roter gr D D γ r * Teorem Dcă se vlorle cţe pe crb tc cţ este complet etermtă î ş me: π Demostrţe Fe γ cerc c cetrl î pctl ş e ră r teror l gr Fcţ este olomoră î omel bl coe elmtt e crb ş cercl γ oorm teoreme l ch petr omele bl coee vem: Observăm că π γ γ γ Fcţ moogeă î pctl este cotă î cest pct ş stel ptem scre evlre 3 < ε petr < η ε D oserâ r < ηε petr γ vem < ηε ş pe b propretăţ moll tegrle ptem scre: s γ γ γ ε r γ πε 6
e s repretă elemetl ereţl e crbă pe rcl γ m ε > este rbtrr ăcâ ε obţem: Ţâ sem e relţle ş e cele e m ss obţem orml mtă orml tegrlă l ch Forml tegrlă l ch pote scrsă ş petr ome mltpl coe Astel î b ormle l ch petr ome mltpl coee că este pct omel e olomore l cţe vem orml tegrlă l ch petr ome mltpl coee: 4 π π γ K Are loc ş: Teorem Fe o cţe olomoră î omel smpl coe D elmtt e crb îchsă eteă pe porţ Atc cţ este et ervblă î D ş:! 5 π e este pct orecre stt î terorl l Forml 5 se obţe şor pr cţe ervâ î rport c sb seml tegrle egltte: Acest jstcă ptl că o cţe π olomoră este et ervblă ş este olomoră { } Ser e pter Teorem l Abel Devoltăr î sere Tlor Fe şrl e cţ D D Spem că şrl e cţ cosert este coverget î pctl D că şrl e mere complee este coverget Deţ Şrl e cţ D este orm coverget pe mlţme A D către cţ A că petr orce măr ε > estă măr trl ε stel îcât petr > ε să vem: < ε A 6
Fe ser e cţ Spem că ser este covergetă î D că ser este covergetă Mlţme pctelor e covergeţă le sere le mm mlţme e covergeţă Deţ Ser e cţ este orm covergetă pe mlţme A D ş re sm cţ S A că şrl smelor prţle S l sere e: S D coverge orm pe mlţme A către S Are loc: Propoţ Fe sere covergetă Dcă petr orce ser e cţ Dcă c Are loc: D o sere e cţ ş > o A D ş N tc este orm covergetă pe mlţme A D c s c c ş obţem serle e pter: c s Teorem l Abel Petr orce sere e pter c estă măr R mt ră e covergeţă căr î corespe î pll comple cercl ΙΙR mt cerc e covergeţă vâ rmătorele propretăţ: Î terorl cercl e covergeţă < R ser e pter este bsolt covergetă; Î eterorl cercl e covergeţă > R ser este vergetă; 3 Î orce sc teror cercl e covergeţă r < R ser este orm covergetă ş î cl serlor e pter rele r e covergeţă se etermă coorm teoreme ch - Hmr 63
64 c R lm ω ω s c c R lm ω ω Devoltăr î sere Tlor Fe o cţe olomoră îtr- ome D ş pct teror l D oserăm cerc c cetrl î pctl ş e ră r stt î omel e olomore gr D r ρ Vom ot c pct teror cercl ş ş c pct orecre e pe r oorm ormle l ch ptem scre: π Observăm că : 3 Îloc relţ 3 î vom obţe: 4 R π π π e 5 R ] [ π
Ţâ sem e epres ervtelor e cţ olomore! egltte 4 eve: π 6 R!! Notâ M sp obţem petr termel complemetr R : că R R π Mr ρ r ρ r M ρ r ρ π r ρ m < r r ρ lm reltă R ş 6 obţem: 7! cre repretă evoltre î sere Tlor cţe olomore Ser l Lret Pcte sglre D r : Fe o cţe olomoră îtr-o coroă crclră { } γ D r * * γ *v r r Vom ot c γ ş γ cercrle ce elmteă coro crclră D Ne propem să găsm petr cţ o repreetre sb ormă e sere pă pterle l - Devoltre găstă se v m evoltre cţe î sere Lret î coro crclră D Acest e v coce l o geerlre serlor e pter jgâ-se l ser blterle c oc căror se v troce ş oţe e re Fe pct teror coroe D Atc coorm ormle tegrle l ch petr omele bl coee petr vlore cţe vem epres: v v π v π γ γ 65
66 Pctl teror cercl γ proceâ c ş î cl sere Tlor prm tegrlă se pote scre sb orm e ser Tlor: c v v v γ π e: 3 } { v v v c γ π A o tegrlă se pote scre sb orm γ γ γ π π π Notâ c pct orecre e pe cercl γ ş ρ vem < ρ r Dec: 4 γ γ π π R e 5 R γ π Aplcâ proprette moll tegrle î comple ş otâ sp M γ obţem: r r r M R ρ ρ Deorece < ρ r reltă lm R ş stel relţ 4 eve: c π γ e 6 c γ π Îloc epresle ş 6 î obţem petr cţ î coro
crclră D rmătore evoltre: e 7 c c c 8 c Z π γ r γ este cerc orecre c cetrl î pctl ş e ră r r < r < Serle c c r se mesc respectv prte prcplă ş prte tloră sere Lret Pcte sglre Deţ Fe o cţe etă î omel D ş pct prţâ omel D Spem că pctl D este pct orr l cţe că estă o vecătte V pctl clsă î D e se pote evolt î sere Tlor ec ptem scre: 9 c V D U pct cre este pct orr petr cţ se meşte pct sglr U pct D este ero mltpl e orl m l cţe că estă cerc c cetrl î pctl cls î D stel îcât: m [ cm cm ] cm Propoţ Zerorle e cţ olomore îtr- ome st pcte olte Deţ U pct D este pol l cţe că estă cerc c cetrl î pctl cls î omel D î cre cţ pote scrsă sb orm e ser Lret c măr t e pter egtve l - că: c m c c m Nmărl m repretă orl poll l cţe U pct sglr cre este pol petr o cţe se meşte pct sglr eseţl Observăm că că este pct sglr olt petr cţ tc estă coro crclră {<Ι- Ι r } î cre re o evoltre î sere Lret c o tte e terme c pter egtve le l - Dec î cest c ptem scre ser Lret: 67
c prte prcplă sere Lret vâ măr t e terme O cţe cre îtr- ome D re ecât pcte orre s pol se meşte cţe meromoră î D P Propoţ Dcă este o cţe rţolă rectblă Q tc erorle e orl m l Q st pol e orl m petr cţ 3 Re Teorem rerlor Eempl Fe pol s pct sglr eseţl olt l cţe Î coro crclră ε < < R c ε > rbtrr e mc cţ este olomoră Fe Γ cerc c cetrl î ş e ră ρ coţt î cestă coroă crclră ε < ρ < R gr R ε ρ Γ O crbă îchsă smplă coţtă î coro crclră pote îcojr s pctl Î prml c este echvletă c Γ ş vem: Γ Î l ole c tegrl pe este lă Deţe Pr rel cţe reltv l poll s pctl sglr eseţl olt ott re îţelegem: re π Γ Rel e cţ reltv l se pote obţe îtote evoltre î ser Lret î jrl pctl Obţem : 68
re c e c este coecetl l cţe î jrl pctl evoltre î sere Lret Metoe e clcl rel e cţ Fe pol l cţe ş p orl să e mltplctte Atc cţ p ϕ re î pct orr ş ϕ Ţâ sem e cest eve: ϕ re p π Γ s ţâ sem e mol e clcl ervtelor: p re ϕ p > p! Îloc pe ϕ c epres s obţem rmătorele ormle e clcl rel: că este pol mltpl e orl p l cţe tc: Dcă c: p p 3 re [ ] ; p! că este pol smpl 4 re [ ] 5 g ş că re pe pol smpl tc h Î cest h g re h Teorem rerlor Eempl Fe o cţe olomoră îtr- ome D ş o crbă îchsă smplă coţtă î D Să otăm c omel mărgt cre re roter 69
Dcă D că că î estă sglrtăţ le cţe î vrtte teoreme l ch Să prespem cm că î se lă măr t e sglrtăţ le cţe pol s pcte sglre eseţle gr Γ D Γ Γ Γ O Aceste sglrtăţ st evet olte Petr ecre pct vom coser cerc Γ c cetrl î ş c r ρ scet e mcă stel c î terorl l să m este o ltă sglrtte cţe ertă e Dcă ρ ρ ρ st scet e mc cercrle Γ Γ Γ pcte come ş st coţte î Aplcâ teorem l ch petr ome mltpl coee Γ Γ Γ Ţâ sem că π re { } obţem o teoremă Γ mporttă pr plcţle sle: Teorem rerlor ch Dcă î terorl omel mărgt e crb cţ re măr t e sglrtăţ pol s pcte sglre eseţle tc: 6 π re 7
Observăm că î o teorem rerlor este o trcere coveblă teoreme l ch petr ome mltpl coee olos oţe e re Utltte s costă î ptl că petr clcll rerlor vem mjloce reltv smple Eempl Să se clclee tegrl: π s I e este elps 4 9 Î terorl omel mărgt e st oă sglrtăţ le π s cţe ş me pol smpl ş pct sglr eseţl olt Folos teorem rerlor vem: I π [ re re ] Observăm că: π re [ ] s Petr clcl rel reltv l pctl sglr eseţl vom evolt pe î sere Lret î jrl cest pct: 3 π 3 s 3 π π! 3! vlblă petr < < D prosl celor oă ser reţem m coecetl l : 3 5 π π re c π sπ 3! 5! Reltă I π Rel e cţ reltv l pctl e l t Să prespem că pctl e l t este pol s pct sglr eseţl l cţe Notâ c reltă că este pol; î vecătte org ptem scre ser Lret: cm c c c c m că c c 7 cm c c R < vlblă î coro crclră { } Pr eţe coecetl c 7 se meşte rel cţe reltv l pctl e l : c re[ ] 7
Notâ c o crbă îchsă ce coţe orge ş prcrsă î ses rect obţem ţâ sem e oţe e re 8 re[ ] π D 6 ş 8 ecem şor egltte: 9 re re[ ] 4 Aplcţ le teoreme rerlor Teorem semrerlor Eemple Î cele ce rmeă vom câtev clse e tegrle ce pot clclte olos teorem rerlor Î cl câ tegrl cre trebe clcltă este o tegrlă pe o crbă îchsă rcl e crbă pe cre se tegreă trebe complett prtr lt rc e crbă covebl les De obce cestă completre se ce pr rce e cerc s repte Itegrlele cre pr se clcleă olos rmătore Lemă Jor lm Dcă R stel îcât α rg β tc Dcă lm R lm R lm R tc I lcll tegrlelor e orm: ş este rc e cerc e pe cercl P Q e P Q este rectblă Petr c tegrl să este ş să e covergetă vom prespe că poloml Q re m răăc complee ş că grl poloml Q este m mre ecât grl l P c cel pţ oă tăţ oserăm 7
P cţ compleă e răăcle le poloml Q Q stte î pll comple espr e rele vor pol petr cţ Dcem semcerc Γ e ră R ş c cetrl î orge stt espr e rele gr cre cpre toţ pol cţe : Γ * R * * -R R Notăm c Γ [ R R] prcrsă î ses rect Aplcâ teorem rerlor obţem: P Q R P Q π Γ R lm Deorece lmtă câ vem R î obţem: re lm R Γ K P ceste trecâ l Q P π re Q e membrl rept repretă sm rerlor cţe PQ reltv l pol stţ espr e rele II lcll tegrlelor e orm: R sθ cosθ θ e R este θ rţolă Dcă se ce schmbre e vrblă e câ θ prcrge tervll [ π ] escre cercl o tă ş m o tă î ses rect π 73
Folosm ormlele l Eler: sθ cosθ D relţ e θ θ reltă θ Itegrl eve: I R pă cre plcăm teorem rerlor petr clcll tegrle pe θ Eempl Să se clclee: I 5 4sθ θ sbsttţ e tegrl eve: I ; I 5 5 π Fcţ e sb seml tegrlă re pol smpl tre cre m prml este terorl cercl Rel reltv l cest pct este: re π ş ec I 3 3 3 Teorem semrerlor Eempl Fe o crbă îchsă eteă pe porţ ce cpre î teror măr t e pcte sglre olte le cţe : D * * Q β B α A Γ * P Dcă pe crb se lă pctl pol l cţe ş î crb re tgetă că tc: 3 π re π re[ ] 74
Demostrţe Fe Γ cerc c cetrl î pctl ş e ră R oorm teoreme rerlor ptem scre relţle: 4 π \ QP PAQ re π re π re \ QP PBQ c c c c Observăm că: 5 lm lm c π c π R PAQ PBQ R PAQ PBQ Petr R tegrlele ser Tloră st le Aâ relţle 4 ş trecâ l lmtă R î b relţe 5 obţem orml 3 Observţe Î geerl teorem semrerlor pote scrsă sb orm: p re K re π π e p ş α j j m repretă respectv pctele sglre terorl l ş e pe crb le cţe Eempl Să se clclee tegrl: I m j j Fcţ re pol smpl ş ercl Γ e ecţe trece pr poll Aplcâ teorem semrerlor obţem: I π re π re 75
Avem: re ş re [ ] Dec: I π lm 5 Fcţ elemetre Fcţ rcl: lm θ Fe ρ e ; obţem petr oă vlor: θ θ ρ e ρ e Dec cţ rcl este o cţe mltormă Fcţle ş se mesc rmrle cţe Fe M ş M oă pcte pll comple w gr vâ respectv rgmetele θ ş θ Dcă pctl escre rcl M M ără să îcojore orge tc rgmetl l vră e l θ l θ r vlorle cţlor ş î pctl M vor : θ ρ e θ ρ e M D M θ θ 76
Dcă pctl escre rc ce eşte pe M c M îcojrâ orge tc rgmetl l vră e l θ l θ π Vlorle cţlor ş î pctl M vor : θ * θ π ρ e ρ e θ * θ π ρ e ρ e Dec vlorle cţlor ş se schmbă câ pctl escre rc ce îcojoră orge D cest motv pctl se meşte pct e rmcţe s pct crtc l cţe mltorme Dcă î pll comple eectăm o tăetră pă o semreptă ce plecă orge tc rgmetl pctl pote l vlor m ître ş π eorece m pote escre rcl cre să îcojore orge Pr tăetr ăctă cţle mltorme ş ev cţ orme Fcţ este o cţe mltormă vâ rmr: θ π ρ e { } Pctl este pctl e rmcţe s pct crtc l cţe Pr eectre e tăetr î pll comple prtr-o semreptă ce plecă orge cţle ev orme b Fcţ epoeţlă ş cţ logrtmcă Dem cţ epoeţlă e pr: 3 e lm e cos s Acest este o cţe olomoră î tot pll Fcţ e orce vlore pll comple î ră e Fe θ θ w ρ e ρ Să etermăm pe stel îcât: e w ρ e Scr θ obţem e ρ e e e e: 4 l ρ ş θ π Z Solţ geerlă ecţe e w se meşte logrtml l w se oteă L w ş re epres: 5 L w l ρ θ π s 6 L w l w rg w π 77
e rg w este rgmetl prcpl l l w Petr obţem Lw l w rg w cre se meşte vlore prcplă l L w ş se oteă l w Dec: 7 l w l w rg w oserâ pe w vrbl pâ î 6 î locl l w pe obţem cţ logrtmcă: 8 L l rg π r petr vlore prcplă 9 l l rg Fcţ logrtmcă este o cţe mltormă vâ o tte e rmr Aceste rmr ev cţ orme că eectăm o tăetră pă o semreptă ce plecă orge α c Fcţ Dcă tc: α αl α l π α e e e Î rport c α stgem tre cr: π α α Z ecem e ş α α l e este o cţe ormă î tot pll comple p α Q α q pq îtreg prme ître ele q Obţem cţ q p mltormă α cre re q rmr ş pct e rmcţe α 3 α cţ este o cţe mltormă c o tte e rmr Fcţ crclre ş versele lor Fcţ hperbolce Fcţle crclre s cos pr eţe st te e relţle: e e e e s cos Deorece e re pero π s ş cos pero π Devoltre î sere e pter este: 3 s 3! s cos!!! Fcţ tg se eeşte stel: s e 3 tg cos e 78
ş re pero π Fcţ w etă e 4 cosw se meşte rccos ş se oteă:w Arccos D ş 4 obţem: e w ± ş ec: 5 Arc cos L ± Fcţ 6 rccos l ± se meşte etermre prcplă cţe mltorme Arccos Fcţ 5 re o tte e rmr ş oă pcte crtce ± Aceste rmr ev cţ orme că eectăm î pll comple oă tăetr e orm: - Fcţ w Arcs este etă e ecţ s w Obţem: 7 Arc s L ± Fcţ 8 Arc s l ± se meşte etermre prcplă l Arcs Ptem scre: 9 π rcs Arc s π rcs 79
Fcţ w Arctg se eeşte pr ecţ tg w e e e w ± ec Arctg l cre este o cţe mltormă vâ o tte e rmr ş c pcte crtce pe ± Determre prcplă l Arctg este : rctg l Fcţle hperbolce sh ş ch se eesc pr ormlele: e e sh ch e e De c observăm că: cos ch s sh ch -sh Aceste cţ hperbolce c ş e st cţ peroce e peroă π 6 Probleme propse Să se stee serle rmătore: ; b cos ; Să se clclee: c e 3 3 t t t 3 Să se eterme cţ olomoră v câ: l ; R : l ; 8
sh π b v ; R : tg ; cos ch 4 c ϕ ;ϕ ervblă R : 4 Să se stee trsormre coormă: w ş să se le mge cercl pll 5 Să se evolte î sere Lret cţ: 3 î omele: < ; b < < ; c > 3 π e 6 Să se clclee : e : 4 4 7 Folos teorem rerlor să se clclee: e ; b e : ; 8
c e : 3 4 8 Să se clclee tegrlele: 6 ; b e cosb > b R tegrl l Posso; c s I 6 3 ş cos I 6 3 ; π θ 5 4cosθ ; π cos θ * e θ > N cosθ 9 Să se clclee : Să se reolve ecţle: s ; ; b sh b 3 tg ; 5 c sh ch 8