Κεφάλαιο 6 Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας u Έλεγχος στο Πεδίο της Συχνότητας Τόπος Ριζών Διάγραµµα Bode Διάγραµµα Nyquist Ψηφιακός PID
Τόπος Ριζών Για τον τόπο των ριζών δεν χρειάζεται καµία ιδιαίτερη αλλαγή στην µεθοδολογία εφαρµογής του σε σχέση µε αυτή που εφαρµόζεται στο συνεχές πεδίο. Ο Τόπος των ριζών απλά εξετάζει τον γεωµετρικό τόπο των ριζών ενός πολυωνύµου (του χαρακτηριστικού πολυωνύµου). Η µόνη διαφορά στην περίπτωση των ψηφιακών συστηµάτων ελέγχου είναι ότι το ενδιαφέρον µας θα εστιασθεί στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου αντί για το αριστερό ηµιεπίπεδο. Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές
Συσχέτιση Πόλων στα Επίπεδα s και z jω ω = π T 3 4 ω = π T σ 3 4 4 3 4 3 ω = π T ω = π T z = e Ts = e T ( σ + jω ) = e σt e jωt = e σt cosωt + j sinωt s = 0 + jω, ω << z = e 0 T! ωt = 0 + s = 0 + j π T z = e 0 T! π T T s 3 = σ + j π T,σ >> z 3 = e σ T! π T T ( ) =! ( 0 + ) ( ) =! ( π ) ( ) = 0! ( π ) ( ) = 0! ( π ) s 4 = σ + jω, ω <<,σ >> z 4 = e σ T! π T T ( ) = e σt! ( ωt ) s ' = 0 jω, ω << z ' = e 0 T! ( ωt = 0 ) =! ( 0 ) s ' = 0 j π T z ' = e 0 T! π T T s 3' = σ j π T,σ >> z 3' = e σ T! π T T ( ) =! ( π ) ( ) = 0! ( π ) ( ) = 0! ( π ) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 3 s 4' = σ jω, ω <<,σ >> z 4' = e σ T! π T T
Διαγράµµατα Bode και Nyquist O σύµµορφος µετασχηµατισµός - W : wt z + w= z = Tz+ wt µετασχηµατίζει το εσωτερικό, την περιφέρεια και το εξωτερικό του µοναδιαίου κύκλου από το επίπεδο - Ζ, στο αριστερό ηµιεπίπεδο, στον φανταστικό άξονα και στο δεξί ηµιεπίπεδο στο πεδίο W, αντίστοιχα. Εποµένως µπορούµε να εφαρµόσουµε στη συνάρτηση µεταφοράς του ψευδοσυνεχούς συστήµατος G w = G z ( ) ( ) + wt z= wt τα ίδια ακριβώς εργαλεία σχεδίασης του συνεχούς πεδίου αναφορικά µε τα διαγράµµατα Bode και Nyquist. Πρέπει να τονιστεί ότι το επίπεδο - W δεν είναι το ίδιο µε το επίπεδο - S (Lalace) της συνεχούς διεργασίας που αντιστοιχεί στην φυσική διεργασία. Όταν, βάσει των εργαλείων του συνεχούς πεδίου, σχεδιασθεί ο κατευθυντής G µπορούµε να πάρουµε τον ισοδύναµο κατευθυντή c ( w) στο πεδίο Ζ G ( z) = G ( w) c c z για να υλοποιηθεί σε µορφή εξίσωσης διαφορών. w = Tz + Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 4
Ο Ψηφιακός PID ( ) = K e( t) G c ( s) = K "P" : u t u k = K e k G c ( z) = K "D" : u( t) = K!e ( t) G c ( s) = K s u k = K e e k k G T c "I " : u( t) = K t e( τ ) dτ G T c ( s) = K t 0 i u k = u k + K T K e T k G c ( z) = T i T i z "PD": G c ( z) = K + T D T z z "PID": G c ( z) = K + T z T i ( z ) D T z z z ( z) = K T T i s ( ) = K T z T i ( z ) = K z T z Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 5
Κεφάλαιο 7 Σχεδίαση στο Χώρο Κατάστασης u Σχεδίαση στο Χώρο Κατάστασης Έλεγχος µε Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης
Αν σε ένα σύστηµα εφαρµοσθεί ένας νόµος ελέγχου της µορφής τότε Έλεγχος µε Ανάδραση Μεταβλητών ( ) x A B K x Κατάστασης x A x B u A B n n n k k k, + = + R R και η χαρακτηριστική εξίσωση είναι του οποίου οι ρίζες θα πρέπει να είναι εν γένει εντός του µοναδιαίου κύκλου, για να εξασφαλίσουµε ασυµπτωτική ευστάθεια. Αν θέλουµε όµως να επιτύχουµε και συγκεκριµένη απόδοση στην απόκριση του συστήµατος τότε πρέπει να τοποθετήσουµε τους πόλους του συστήµατος κλειστού βρόχου στις θέσεις β τότε το επιθυµητό,β,,β n χαρακτηριστικό πολυώνυµο γράφεται και προφανώς επιζητούµε την εύρεση ενός Κ τέτοιου ώστε Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 7 u k = K x = k+ k z I A+ B K = 0 ( z β )( z β )! z β n ( ) = z n + α z n +!+ α n z + α n = α c ( z) z I A + B K = z n + α z n +!+ α n z + α n = α c k ( z)
Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης Μία Είσοδος, Πολλές Καταστάσεις (Single Inut, Multile States - SIMS) Το ζητούµενο Κ δίδεται από την σχέση του Ackermann ( ) α ( c A) K = 00!0 C A, B n n n n n Πολλές Είσοδοι, Πολλές Καταστάσεις (Multile Inuts, Multile States - MIMS) n n n m Αν για το σύστηµα θεωρήσουµε τότε παίρνουµε το σύστηµα (όπως προηγουµένως, δηλαδη) όπου αν το ζεύγος τότε µε βάση τη προηγούµενη περίπτωση µπορεί να ευρεθεί ώστε B Οπότε η κατάλληλη επιλογή του κέρδους Αυτό ισχύει γιατί πράγµα που σηµαίνει ότι x = A x + B u A R B R = B w, w R x = A x + B u n n A R B R k+ k k, m n k k k, + που είναι και το ζητούµενο από τον πίνακα κέρδους ( AB, ) είναι ελέγξιµο, z I A + B K = z n + α z n +!+ α n z + α n K για το MIMS σύστηµα είναι K = w K BK = B w K = B K z I A + B K = z I A + B K Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 8 K K = z n + α z n +!+ α n z + α n
Ανάδραση Μεταβλητών Κατάστασης : Παράδειγµα Αν επιζητούµε την τοποθέτηση των πόλων του συστήµατος 0 0 x + = x + u 0 στις θέσεις β = 0., β = 0., τότε αν θεωρήσουµε k k k 0 w w w w ( ) B = B w= C A, B C( A, B ) ( w ) w 0 w = w = w w w = + Οπότε για w = w = εξασφαλίζεται η ελεγξιµότητα του ζεύγους AB, = ABw, και ( ) C A, B ( ) 0.75 0.5 C A, B = 3 = 0.5 0.5 Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο είναι 0.98.8 α ( ) ( )( ) ( )( ) c z = z β z β = z 0. z 0. = z 0.3z+ 0.0 αc( A) =.3 3.6 οπότε χρησιµοποιώντας τον τύπο του Ackermann K C A B αc A και κατά συνέπεια 0.85.475 K = w K = [ 0.85.475] = 0.85.475 ( ) ( ) 0.75 0.5 0.98.8 = = 0.5 0.5 =.3 3.6 [ 0 ] (, ) ( ) [ 0 ] [ 0.85.475] Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Συστήµατα Ελέγχου µε Μικροϋπολογιστές 9