Εξετάσεις 9 Ιουνίου 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου (Θετικών Σουδών και Σουδών Οικονομίας-Πληροφορικής) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 777 59 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 993 99 www.syghrono.gr
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 ΘΕΜΑ Α Α. Αόδειξη σελίδα 35 (νέο βιβλίο) ή σελίδα 53 (αλιό βιβλίο) Α. α) Η ρόταση ου διατυώθηκε ήταν Ψ (ψευδής) β) αν θεωρήσουμε την συνάρτηση f συνεχής στο σημείο αραγωγίσιμη στο αφού,, αφού διαιστώνουμε ότι είναι f lim f lim f χ αλλά δεν είναι f f f f lim lim lim lim (είναι τα γνωστά γωνιακά σημεία μιας συνάρτησης) Α3. Θεωρία σελίδα 73 (νέο βιβλίο) ή σελίδα 9 (αλιό βιβλίο) Α. α) Λ (το όριο όως διατυώνεται είναι αροσδιοριστία άρα δεν μορούμε να γνωρίζουμε την τελική του τιμή) β) Σ (είναι θεωρία ου διατυώνεται με σαφήνεια όταν ορίζεται η σύνθεση συναρτήσεων) γ) Λ (η συνθήκη f είναι μια αναγκαία συνθήκη αλλά όχι ικανή για την ύαρξη ακροτάτου) δ) Σ (είναι θεωρία ου διατυώνεται με σαφήνεια στα όρια) ε) Σ (είναι θεωρία ου διατυώνεται με σαφήνεια στα θεωρήματα συνέχειας) Σελίδα αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 ΘΕΜΑ Β Β. Αρχικά ροσδιορίζουμε το εδίο ορισμού της f g Α f g A g / g Af / Ειλύουμε την Άρα Α, f g f g f g ln B., ορίζεται η σύνθεση και έχει τύο Η συνάρτηση h ln είναι αραγωγίσιμη στο διάστημα, με h άρα η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ, είναι μια αντιστρέψιμη συνάρτηση. άρα είναι - και συνεώς Θα ορίσουμε το εδίο ορισμού της αντίστροφης, το οοίο είναι το σύνολο τιμών της h και εειδή είναι γνησίως αύξουσα θα είναι h Δ Α lim h, lim h Υολογίζουμε τα όρια: Εειδή lim και lim h ω lim lnω, αν θέσουμε h ω θα έχουμε Εειδή lim (αφού και lim ), αν θέσουμε ω θα έχουμε lim h ω lim lnω Συνεώς καταλήξαμε ότι h Δ Α lim h, lim h h Σελίδα 3 αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Για να βρούμε τον τύο της αντίστροφης συνάρτησης έχουμε: y y y y h y ln y y Και έτσι έχουμε ότι h, B3. Η συνάρτηση Φ είναι αραγωγίσιμη με Η συνάρτηση Φ είναι αραγωγίσιμη με Φ Το ρόσημο της Φ το καθορίζει η αράσταση και Κατασκευάζουμε τον ίνακα μεταβολών της δεύτερης αραγώγου Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα άνω (κυρτή) στο διάστημα, Η συνάρτηση στρέφει τα κοίλα κάτω (κοίλη) στο διάστημα, Και έχει σημείο καμής το σημείο Φ Μ,Φ δηλαδή το σημείο Μ, αφού Σελίδα αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Β. Αναζητούμε την οριζόντια ασύμτωτη στο lim Φ lim αφού lim Αναζητούμε την οριζόντια ασύμτωτη στο lim Φ lim lim dl αφού lim Άρα η συνάρτηση έχει στο οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y (άξονας ' ) και έχει στο οριζόντια ασύμτωτη την ευθεία y Η συνάρτηση Φ είναι γνησίως αύξουσα στο (αφού Και η γραφική της αράσταση είναι Φ ) Σελίδα 5 αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 ΘΕΜΑ Γ Γ. f ημ, Έστω f συν Μ,f το σημείο εαφής. Η εξίσωση της εφατομένης στο σημείο Μ είναι y f f την οοία την εαληθεύει το σημείο ημ συν συν ημ Α, άρα έχουμε Αναζητούμε λοιόν τις ρίζες της συνάρτησης Φ συν ημ,, Η συνάρτηση είναι αραγωγίσιμη με Φ συν ημ συν ημ Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο, και γνησίως φθίνουσα στο, Φ, Φ, Φ Για κάθε, Φ Φ έχουμε Φ Φ και για κάθε, έχουμε Άρα οι μοναδικές ρίζες της Φ είναι και Δηλαδή υάρχουν μόνο δύο εφατόμενες ου άγονται αό το σημείο Α. Στο έχουμε την εφ : y f f y Στο έχουμε την εφ : y f f y Σελίδα 6 αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Γ. Θα κατασκευάσουμε ένα γράφημα με την συνάρτηση και τις ευθείες του ροηγούμενου ερωτήματος E ημ χ d ημχ d συν συν Ε ημχ d συν Και έτσι Ε Ε 8 Γ3. f lim f Αναζητούμε το ρόσημο του αρονομαστή στην αράσταση του ορίου:, f ημχ για κάθε, f συν άρα η συνάρτηση f είναι κυρτή στο, και σύμφωνα με την θεωρία θα είναι άνω αό την εφατομένη Δηλαδή f και το ίσον ισχύει μόνο στο σημείο εαφής δηλαδή στο Εειδή lim f και lim f αλλά f του θα έχουμε ότι lim f f στην εριοχή Σελίδα 7 αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Γ. Εφόσον f με το ίσον ισχύει μόνο στο σημείο εαφής δηλαδή στο για κάθε θα ισχύει, Άρα και f f f f f f d d d d ln f d ΘΕΜΑ Δ Δ. Η συνάρτηση είναι συνεχής στα διαστήματα της συνάρτησης στο με τον ορισμό., και,. Θα εξετάσουμε την συνέχεια lim f lim 3 και αφού lim f f f lim f lim ημ και κατά συνέεια είναι συνεχής και στο εδίο ορισμού της το, η συνάρτηση είναι συνεχής στο Τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης είναι τα σημεία στα οοία μηδενίζει η ρώτη αράγωγος ή δεν ορίζεται η ρώτη αράγωγος (όντας όμως συνεχής) Εξετάζουμε με τον ορισμό αν η συνάρτηση είναι αραγωγίσιμη στο f f ημ lim lim ημ αφού είναι γνωστό ότι lim Για 3 3 3 ρέει να θυμηθούμε ότι και 3 3 f f lim lim lim lim lim 3 3 Άρα η συνάρτηση δεν είναι αραγωγίσιμη στο f 3 Όταν,, f 3 και 3 Σελίδα 8 αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Όταν,, f ημ και f ημ συν f ημ συν συν ημ συν συν και έχουμε κ ή κ η ρώτη μορφή δεν αοδίδει λύσεις ενώ αό την η μορφή έχουμε κ κ και για κ ροκύτει η λύση Άρα τα κρίσιμα σημεία της συνάρτησης είναι τα και 3 3 Δ. Θα μελετήσουμε το ρόσημο της ρώτης αραγώγου. f 3 Έχουμε δει ότι όταν,, 3 η οοία έχει μία ρίζα την 3 Όταν,, f ημ συν Η f είναι συνεχής και διατηρεί σταθερό ρόσημο στο διάστημα 3, Όμως, 3 και f άρα f στο 3, Η f είναι συνεχής και διατηρεί σταθερό ρόσημο στο διάστημα 3, Όμως 3, και f άρα f στο 3, Τώρα θα κατασκευάσουμε τον ίνακα μεταβολών της συνάρτησης Σελίδα 9 αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στα διαστήματα, και 3, Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα 3, Στο αρουσιάζει τοικό μέγιστο το f Στο αρουσιάζει τοικό ελάχιστο το f Στο 3 3 αρουσιάζει τοικό μέγιστο το 3 f 3 Στο αρουσιάζει τοικό ελάχιστο το f Εειδή όμως η συνάρτηση είναι ορισμένη σε κλειστό διάστημα θα αρουσιάζει ολικά ακρότατα Άρα η συνάρτηση έχει ελάχιστη τιμή την τιμή και μέγιστη τιμή την τιμή 3 Δηλαδή το σύνολο τιμών της είναι το f Α, Δ3. 5 5 Ε f d ημ d ημ d 3 Θα ρέει να βρούμε το ρόσημο της αράστασης ημ Γνωρίζουμε ότι ημ Άρα 5 5 Ε ημ d d ημ d Θα υολογίσουμε χωριστά τα δύο ολοκληρώματα: Σελίδα αό
Σύγχρονο Φροντιστήριο Πανελλαδικές Εξετάσεις 7 Ι 5 d 5 5 5 5 κ.. Ι ημ d ημ συν d συν ημ d Ι Άρα Ι Ι Και έτσι 5 Ε Ι Ι 5 Δ. 3 3 Την εξίσωση 6 f 3 8 θα ροσαθήσουμε να την συνδέσουμε με την συνάρτηση. Αρχικά ολλαλασιάζουμε με το 3 και έχουμε 3 6 f 3 8 τώρα αρατηρούμε ότι το δεύτερο μέλος μορεί να γίνει η μέγιστη τιμή ου υολογίσαμε αρκεί να διαιρέσουμε με το 6. Έτσι έχουμε 3 3 3 3 3 3 f f f f 6 6 6 Η αραάνω εξίσωση έχει ροφανή ρίζα την 3 και δεν έχει άλλη ρίζα αφού για κάθε 3 θα είναι 3 6 οσότητα 3 3 f fα 6 και εειδή 3 f είναι η μέγιστη τιμή της συνάρτησης η Σελίδα αό