Εφαρμογές Η/Υ στη Ναυπηγική Ι Καμπύλες B-Spline (Κόμβοι Ιδιότητες)

Σχετικά έγγραφα
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ-ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΥΝΘΕΣΗ ΕΙΚΟΝΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ

4.5.6 ΡΗΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΑ ΤΜΗΜΑΤΑ Η ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΜΕ ΒΑΡΟΣ ΤΟ ΚΥΚΛΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

Παραµετρικές Καµπύλες & Επιφάνειες

Μετασχηµατισµοί 2 &3

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Interpolation (1) Τρίτη, 3 Μαρτίου Σελίδα 1

Διπλωματική Εργασία: «Συγκριτική Μελέτη Μηχανισμών Εκτίμησης Ελλιπούς Πληροφορίας σε Ασύρματα Δίκτυα Αισθητήρων»

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Μετασχηµατισµοί 2 & 3

Το στοιχείο που διαφοροποιεί τις γεωγραφικές πληροφορίες από τους υπόλοιπους τύπους πληροφοριών

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών

Γραφικά Υπολογιστών: Spline Αναπαραστάσεις

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

ΖΗΤΗΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Τεχνολογία και Συναρτήσεις Παραγωγής παραγωγή εισροές εκροές επιχείρηση παραγωγικοί συντελεστές

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1

ΜΕΡΟΣ ΙΙΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΚΑΙ ΠΡΟΣΦΟΡΑΣ

II.7 ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος

ΜΟΝΤΕΛΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ CAD/CAM/CNC 1. ΤΕΙ Κρήτης

2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων

Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)

Κεφάλαιο 7. 7 Ψηφιακή επεξεργασία εικόνας. 7.1 Παραμορφώσεις. 7.2 Γεωμετρικές διορθώσεις

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1. Α Μέρος

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

αx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

4 ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΜΩΝ - ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΑΜΠΥΛΩΝ


ΜΕΛΕΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΕ ΧΡΗΣΗ Η/Υ

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

ΕΚΦΕ ΕΥΒΟΙΑΣ. ΠΡΟΚΡΙΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΟΓΗ ΟΜΑΔΑΣ ΜΑΘΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ 13 η ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ EUSO 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ

Διάλεξη 5- Σημειώσεις

Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy

= x. = x1. math60.nb

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου

I.3 ΔΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 3η εργαστηριακή άσκηση

Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα

Υπόδειξη: Στην ισότροπη γραμμική ελαστικότητα, οι τάσεις με τις αντίστοιχες παραμορφώσεις συνδέονται μέσω των κάτωθι σχέσεων:

1. ΣΤΑΤΙΚΗ ΑΡΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

Αριθμητική παραγώγιση εκφράσεις πεπερασμένων διαφορών

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕ Η/Υ (Computer Aided Design)

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ. Ασκήσεις 1 έως 12

II.6 ΙΣΟΣΤΑΘΜΙΚΕΣ. 1. Γραφήματα-Επιφάνειες: z= 2. Γραμμική προσέγγιση-εφαπτόμενο επίπεδο. 3. Ισοσταθμικές: f(x, y) = c

ΕΚΘΕΣΗ ΠΡΟΟ ΟΥ Υποψήφιος ιδάκτορας: Ιωάννης Κυριαζής

lim f ( x) x + f ( x) x a x a x a 2x 1

Θεωρία Χρησιμότητας (utility theory) Το κριτήριο της μέσης χρησιμότητας

Δίκτυα Κινητών και Προσωπικών Επικοινωνιών

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

A N A B P Y T A ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ. 1 (α + β + γ) [(α-β) 2 +(α-γ) 2 +(β-γ) 2 ] και τις υποθέσεις

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων

Κεφάλαιο 4: Στοιχεία της εκδοχής hp της ΜΠΣ στις 2- διαστάσεις

ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ - ΜΕΛΕΤΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ [Π. Μουρούζης, Γ. Παληός, Κ. Παπαμιχάλης, Γ. Τουντουλίδης, Ε. Τσιτοπούλου, Ι.

Σχήμα 2.1α. Πτυσσόμενη και περιελισσόμενη μετρητική ταινία

Μοντέλο OSI 1.8. Κεφάλαιο 1. ΕΠΑ.Λ. Άμφισσας Σχολικό Έτος : Τάξη. : Β Τομέα Πληροφορικής Μάθημα. : Δίκτυα Υπολογιστών I Διδάσκων

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

5 ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΣΥΝΘΕΤΩΝ ΚΑΜΠΥΛΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗΣ ΓΕΩΛΟΓΙΑΣ

gr/ Μιχαήλ Μιχαήλ, Φυσικός

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΔΙΑΤΟΜΗΣ

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2019 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος

Ελαχιστοποίηση του Κόστους

Μηχανική Πετρωμάτων Τάσεις

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

Ασκήσεις 1. Με τα δεδομένα του παρακάτω πίνακα: Τιμή (Ρ) Ποσότητα (Q D )

Απόλυτος Προσανατολισµός

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς. Ολοκληρώματα.

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς.

ΜΕΛΕΤΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ Τάξη, τμήμα: Ημερομηνία:. Επώνυμο-όνομα:..

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

Κεφάλαιο 4 ο : Ταλαντώσεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

UAV Unmanned Aerial Vehicle Ebee Sensefly

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Δύο ημιευθείες OX, OY με κοινό άκρο O, χωρίζουν το επίπεδο σε δύο μέρη και ορίζουν μία κυρτή γωνία ή απλά γωνία και μία μη κυρτή γωνία.

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Παράρτημα Ι. 1 Το ισόχρονο της ταλάντωσης επί κυκλοειδούς

Transcript:

Εφαρμογές Η/Υ στη Ναυπηγική Ι Καμπύλες B-Spline (Κόμβοι Ιδιότητες) 17-12-2015 Διδάσκων: Δρ. Θεόδωρος Π. Γεροστάθης, Επικ. Καθηγητής email: tgero@teiath.gr

Καμπύλες B-Spline: κόμβοι Έστω n+1 ο αριθμός των σημείων ελέγχου, k η τάξη της καμπύλης, d=k-1 ο βαθμός και m+1 ο αριθμός των κόμβων. Ο συνολικός απαιτούμενος αριθμός κόμβων για τον ορισμό της B-Spline είναι m+1=n+k+1, ή m=n+k Ο αριθμός των πολυωνυμικών τμημάτων της καμπύλης: n+1-d t t, t,..., t a, b 0, 1 2 m t0 t 1 tm 1 t m

Καμπύλες B-Spline: πολλαπλότητα των κόμβων Για τους κόμβους ισχύει t i t i+1, που σημαίνει ότι μπορεί να έχουμε συνεχόμενους κόμβους με ίδιες τιμές. Όταν σε κάποια θέση έχουμε k συνεχόμενους κόμβους ίσους τότε μιλάμε για ένα κόμβο πολλαπλότητας k. Όταν για κάποιο t έχουμε πολλαπλότητα k τότε στο αντίστοιχο σημείο η καμπύλη έχει συνέχεια C d k όπου d o βαθμός. Όταν ένας κόμβος δεν επαναλαμβάνεται (k=1) τότε ονομάζεται απλός. Στο αντίστοιχο σημείο η καμπύλη έχει συνέχεια C d 1. Ένας κόμβος μπορεί να έχει το πολύ πολλαπλότητα ίση με το βαθμό d, δηλαδή t i t i+d. Όταν η πολλαπλότητα στα άκρα είναι ίση με τη τάξη τότε τα ακραία σημεία ελέγχου συμπίπτουν με τα άκρα της καμπύλης

Καμπύλες B-Spline βαθμού d=1 (k=2) Βαθμός d=1 Σημεία ελέγχου n+1=3 ή n=2 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1 = 2 1 +1=2 Έχουμε m+1=n+k+1=2+2+1=5 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 5 Σημεία ελέγχου (control points) Κόμβοι της παραμέτρου

Καμπύλες B-Spline βαθμού d=2 (k=3) Βαθμός d=2 Σημεία ελέγχου n+1=3 ή n=2 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=2-2+1 = 1 Τότε: m+1=n+k+1=2+3+1=6 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 6

Καμπύλες B-Spline βαθμού d=2 (k=3) Βαθμός d=2 Σημεία ελέγχου n+1=3 ή n=2 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=2-2+1 = 1 Τότε: m+1=n+k+1=2+3+1=6 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 6 Τα σημεία ελέγχου στα άκρα ταυτίζονται με τα άκρα της καμπύλης! Προσέξτε ότι έχουμε τρεις (d+1) ίδιους κόμβους σε κάθε άκρο!!

Καμπύλες B-Spline βαθμού d=2 (k=3) Βαθμός d=2 Σημεία ελέγχου n+1=6+1 ή n=6 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=6-2+1 = 5 Τότε: m+1=n+k+1=6+3+1=10 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 10 (k=3 ίδιους σε κάθε άκρο και 4 ενδιάμεσους 3x2+4=10)

Καμπύλες B-Spline βαθμού d=3 (k=4) Βαθμός d=3 Σημεία ελέγχου n+1=3+1 ή n=3 Τότε: m+1=n+k+1=3+4+1=8 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 8 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=3-3+1 = 1

Καμπύλες B-Spline βαθμού d=3 (k=4) Βαθμός d=3 Σημεία ελέγχου n+1=3+1 ή n=3 Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=3-3+1 = 1 Τότε: m+1=n+k+1=3+4+1=8 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 8 Τα σημεία ελέγχου στα άκρα ταυτίζονται με τα άκρα της καμπύλης! Προσέξτε ότι έχουμε τέσσερεις (d+1) ίδιους κόμβους σε κάθε άκρο!!

Καμπύλες B-Spline βαθμού d=3 (k=4) Βαθμός d=3 Σημεία ελέγχου n+1=8+1 ή n=8 Τότε: m+1=n+k+1=8+4+1=13 επομένως ο αριθμός των κόμβων είναι: m+1 = 13 (4x2+5) Αριθμός τμημάτων της καμπύλης: n-d+1=8-3+1 = 6

Καμπύλες B-Spline: Ιδιότητες Τοπικός έλεγχος: μεταβολή στο σημείο ελέγχου αντιστοιχεί σε μεταβολή στο τμήμα της καμπύλης που αντιστοιχεί στο διάστημα p i t, i ti d 1

Καμπύλες B-Spline: Ιδιότητες Ιδιότητα της κυρτής περιβάλλουσας: Κάθε σημείο της καμπύλης βρίσκεται στην κυρτή περιβάλλουσα των k σημείων ελέγχου που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του

Καμπύλες B-Spline: Ιδιότητες Αναλλοίωτη σε συσχετισμένους μετασχηματισμούς στροφής, αλλαγής κλίμακας, μεταφοράς. Αναλλοίωτη σε συσχετισμένους μετασχηματισμούς της παραμέτρου. Γραμμική ακρίβεια. Παρεμβολή ακραίων σημείων μόνο όταν ο αρχικός και τελικός κόμβος έχουν πολλαπλότητα k