Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Γραμμικός Μετασχηματισμός ή Γραμμική Απεικόνιση ή Γραμμική Συνάρτηση ή Μορφισμός ή Ομομορφισμός +, Είναι μία συνάρτηση μεταξύ δύο -διανυσματικών χώρων η οποία διατηρεί τις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού, δηλ. ικανοποιεί τις ακόλουθες σχέσεις: Οι πράξεις όπως ορίζονται στον +, Οι πράξεις όπως ορίζονται στον W Πεδίο Ορισμού Ta ( + b) Ta ( ) + Tb ( ), ab, Tka ( ) kta ( ), a k, F T( ku + lv ) kt ( u) + lt ( v), uv,, kl, F O T W W T : Αν Ενδομορφισμός ή Γραμμικός Τελεστής Οι δύο παραπάνω σχέσεις μπορούν να αντικατασταθούν από την: v F Tv () O W W, Εικόνα (ή Εύρος ή Σύνολο Τιμών) T ( ) ή Im( T) Παρατήρηση: Είναι πάντοτε TO ( ) O, T( v) Tv () W

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί (Παραδείγματα) Ο μηδενικός μετασχηματισμός T: W, Tv () O, v Ο ταυτοτικός μετασχηματισμός W I :, I () v v, v Ο πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα m T : R R, T( x) A x, x R m Κάθε πίνακας ορίζει ένα Γρ. Μετασχηματισμό με Im T RA ( ) H παράγωγος μίας συνάρτησης To ολοκλήρωμα μίας συνάρτησης Προσοχή: D C R C R D f f 1 : ( ) ( ), ( ) ' b l: C( R) R, l( f) f( x) dx π.χ. Ο T : R R, T ( x) ax + b δέν είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός ενώ ο S : R R, S( x) ax είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός a

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί ως Διανυσματικός Χώρος Το σύνολο όλων των Γραμμικών Μετασχηματισμών από τον στον W : HomF (, W ) αποτελεί F -διανυσματικό χώρο διάστασης: (dim )(dim W) Επομένως και το σύνολο όλων των ενδομορφισμών του : Ed ( ) Hom (, ) αποτελεί F-διανυσματικό χώρο διάστασης: F F (dim )

Δημιουργία Γραμμικών Μετασχηματισμών από άλλους Γραμμικούς Μετασχηματισμούς Το άθροισμα T + S: U ( T+ S)( v) Tv () + Sv () δύο Γραμμικών Συναρτήσεων T : U, S: U είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. Το γινόμενο αριθμού με Γραμμική Συνάρτηση ( at )() v at () v είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. at : U S T : U ( S T)( u) STu ( ( )) Η σύνθεση δύο Γραμμικών Συναρτήσεων T : U, S: είναι επίσης Γραμμική Συνάρτηση. Γράφεται και ως γινόμενο: ST: U T, Sµονοµορϕισµο ί S Tµονοµορϕισµ ός T, Sεπιµορϕισµοί S Tεπιµορϕισµ ός

Γραμμικός Μετασχηματισμός ορισμένος από μία βάση Αν T : U { } v, v,..., v Γραμμικός Μετασχηματισμός μία βάση του Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( ) οι εικόνες των διανυσμάτων της βάσης Τότε για κάθε στοιχείο θα είναι: w w av 1 1+ av +... + av Tw ( ) atv ( ) + atv ( ) +... + atv ( ) 1 δηλ. Ένας Γραμμικός Μετασχηματισμός του από τις εικόνες μίας βάσης του καθορίζεται πλήρως

Πυρήνας / Εικόνα Γραμμικού Μετασχηματισμού Πυρήνας (Kerel) T : { } ker( T) v : Tv ( ) OW Αποτελεί -διανυσματικό υποχώρο του Εικόνα (Image) ή Εύρος (Rage) F ή rage( T ) ήt( ) { } Im( T) w W: w Tv ( ), v Αποτελεί F -διανυσματικό υποχώρο του W Αντίστροφη εικόνα ενός στοιχείου { } T 1 ( w) v : Tv () w

Μονομορφισμός / Επιμορφισμός / Ίσομορφισμος / Αύτομορφισμος T : Μονομορφισμός: Αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση (1-1) rak( T ) dim dim( imt ) dim Επιμορφισμός: Συνάρτηση Επί rak( T ) dimw dim( imt ) dimw Ισομορφισμός: 1-1 και Επί (Μονομορφισμός και επιμορφισμός) Αυτομορφισμός: Ισομορφισμός T : Ισόμορφοι χώροι W ΙmT W ker( T) { O } Κάθε -διανυσματικός χώρος διάστασης είναι ισόμορφος με τον διανυσματικό χώρο π.χ. F P[ x] F f( ) W : Υπάρχει ισομορφισμός T : + 1 m M m ( ) dim dimw dim dimw dim dimw dim dim W

Μονομορφισμός / Επιμορφισμός T : Μονομορφισμός Όχι Μονομορφισμός Επιμορφισμός Όχι Επιμορφισμός

1-1 και επί σε χώρους ίσων διαστάσεων Έστω οι διανυσματικοί χώροι, W με dim και ο γραμμικός μετασχηματισμός T : τότε οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες dimw Ο Τ είναι ισομορφισμός Ο Τ είναι μονομορφισμός Ο Τ είναι επιμορφισμός

Μονομορφισμός και Γρ. Ανεξαρτησία Έστω ένας μονομορφισμός T : Αν τα v1, v,..., v Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( ) W Αν είναι γραμμικά ανεξάρτητα, τότε και τα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, και ισχύει ότι spa{ v, v,..., v } spa{ T ( v ), T ( v ),..., T ( v )} Επιμορφισμός και spa Έστω ένας επιμορφισμός T : spa{ v1, v,..., v } τότε W spatv { ( 1), Tv ( ),..., Tv ( )} T Γενικότερα, για κάθε Γραμμικό Μετασχηματισμό : με spa{ v1, v,..., v } ισχύει ότι Im( ) { ( ), ( ),..., ( )} T spatv1 Tv Tv

Αντίστροφος Γραμμικός Μετασχηματισμός Ο Γραμμικός Μετασχηματισμός T : καλείται αντιστρέψιμος αν T 1 : W υπάρχει ο αντίστροφος μετασχηματισμός του Ο T 1 είναι και ο ίδιος Γραμμικός Mετασχηματισμός και έχει την ιδιότητα: 1 1 και T T I T T I W T : Ο Γραμμικός Μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος αν και μόνον αν είναι ισομορφισμός (ο είναι επίσης ισομορφισμός) T 1 T : Αν ο Γραμμικός Μετασχηματισμός είναι αντιστρέψιμος και ισχύει T 1 : W ( 1) 1 είναι αντιστρέψιμος τότε και ο T T Για τη σύνθεση αντιστρέψιμων Γραμμικών Μετασχηματισμών ισχύει η σχέση ( ) 1 1 1 S T T S

Προτάσεις T : Μηδενικότητα του ( ) ( ) dim dim ker ( T) + dim Im ( T) dim( + W) dim + dimw dim( W) T Βαθμίδα του T { v, v,..., v } { w, w,..., w } W Αν τα αν τα είναι μία βάση του ( dim ) και είναι τυχαία διανύσματα του W τότε ορίζεται πάντοτε και με μοναδικό τρόπο μία γραμμική συνάρτηση T: W, Tv ( ) w 1 i T : i { v1, v,..., v } { Tv ( ), Tv ( ),..., Tv ( )} W Αν ισομορφισμός και τo είναι μία βάση του, τότε τo i είναι μία βάση του W

Αναπαράσταση διανύσματος ως προς βάση Έστω ένας διανυσματικός χώρος και μία διατεταγμένη βάση του x kv + kv + + kv 1... ( ) [ x] k, k,, k { v, v,..., v } διάστασης Ένα τυχαίο διάνυσμα του γράφεται με μοναδικό τρόπο ως Αναπαράσταση του διανύσματος x ως προς τη βάση Β k [ ] : R Τα καλούνται συντεταγμένες του διανύσματος ως προς τη βάση i ρ ή () x x Στις επόμενες διαφάνειες όπου Βάση θα εννοούμε Διατεταγμένη Βάση, δηλ. έχει σημασία η σειρά γραφής των διανυσμάτων. H συνάρτηση [ ] είναι Γραμμικός Μετασχηματισμός Αν και είναι η κανονική του βάσηe τότε R [ x] E x

Πίνακας Αναπαράστασης Γραμμικού Μετασχηματισμού Κάθε Γραμμικός Μετασχηματισμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα πίνακα και αντιστρόφως κάθε πίνακας εκφράζει ένα Γραμμικό Μετασχηματισμό T : dim dimw m 1 { v1, v,..., v } { w, w,..., w m } Πίνακας αναπαράστασης του T ως προς τις βάσεις και 1 [ T ], [ Tv ( 1) ] a a a a...... a a a a... a 11 1 1 m1 m m Βάση του Βάση του Tv ( 1) aw 11 1 + aw +... + am 1wm Tv ( ) aw 1 1 + aw +... + amwm... Tv ( ) aw 1 1+ aw +... + amwm Αν [ T ] γράφεται απλά ως αν επιπλέον η κανονική βάση γράφεται απλά ως [ T ] ή E [ T ] Ανάλογα με τις βάσεις που επιλέγουμε, παίρνουμε διαφορετικούς πίνακες αναπαράστασης για τον ίδιο γραμμικό μετασχηματισμό W

Ένας τρόπος υπολογισμού του Πίνακα Αναπαράστασης Γραμμικού Μετασχηματισμού T : dim Βάση του Βάση του W 1 { v1, v,..., v } { w, w,..., w m } dimw m Τα διανύσματα της ως στήλες Οι εικόνες της 1 ως στήλες w1 w... wm Tv ( 1) Tv ( )... Tv ( ) 1 0... 0 a a... a 0 1... 0 a a... a Gauss Jorda I m 0 0... 1 a a... a Ταυτοτικός πίνακας 11 1 1 m1 m m [ T ] 1,

Ιδιότητες Πίνακα Αναπαράστασης Έστω οι Γραμμικοί Μετασχηματισμοί: T, S Τότε ισχύουν τα ακόλουθα [ T + S] [ T] + [ S] [ kt ] k[ T ], k F [ S T] [ S][ T] ker( T) N([ T]) Im( T) R([ T]) rak( T ) rak([ T ]) ullity( T ) ullity([ T ]) (όπου ορίζονται οι πράξεις) I : O πίνακας αναπαράστασης του ταυτοτικού μετασχηματισμού ως προς μία βάση του είναι ο ταυτοτικός πίνακας I ανεξαρτήτως της βάσης, ( dim) Για έναν αυτομορφισμό T : αντίστροφου μετασχηματισμού T 1 ο πίνακας αναπαράστασης του είναι ο [ ] 1 T

Μονομορφισμός / Επιμορφισμός Έστω ένας γραμμικός μετασχηματισμός: Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα Ο Τ είναι μονομορφισμός T( x) Om [ T ] ker( T) { O } ullity( T ) 0 rak( T ) T : R x O Το σύστημα έχει μοναδική λύση την τετριμμένη Οι στήλες του είναι γραμμικά ανεξάρτητες R m Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα Ο Τ είναι επιμορφισμός Το σύστημα έχει λύση για κάθε Οι στήλες του παράγουν (spa) τον Im( T) rak T R m T( x) b [ T ] ή R([ T]) ullity( T ) m ( ) m R m R m b R m

Πίνακας Μετάβασης ή Αλλαγής Βάσης I : Ταυτοτικός Μετασχηματισμός dim 1 η Βάση του η Βάση του 1 { v1, v,..., v } { w, w,..., w } Πίνακας μετάβασης από την 1 στην P Τετράγωνος πίνακας x Ταυτίζεται με: [ I ] 1, v1 a11w1 + a1w +... + a 1w v a1w1 + aw +... + aw... v a1 w1+ aw +... + aw a a... a a a... a a a... a 11 1 1 Ισχύει: P P P 1 1 P 1 1

Ένας τρόπος υπολογισμού του Πίνακα Αλλαγής Βάσης 1 { v1, v,..., v } { w, w,..., w } Τοποθετούμε τα διανύσματα των βάσεων ως στήλες πινάκων P1 v1 v v P w1 w w τότε P P P 1 1 και P 1 P P 1 Παρατήρηση Γενικά αν επιθυμούμε αλλαγή βάσης από οποιαδήποτε βάση προς την κανονική βάση Ε τότε απλώς P E v1 v v { v1, v,..., v }

Συντεταγμένες και Πίνακας Αναπαράστασης T : Έστω οι βάσεις των είναι και αντίστοιχα k1, k,..., k 1 l1, l,..., l m Tv () W τότε οι συντεταγμένες ως προς την ενός διανύσματος και οι συντεταγμένες ως προς την του συνδέονται με τη σχέση: W, R W, l1 k1 l k [ T ] 1, lm k ή [ Tv] T [ v] 1, 1 () [ ], 1 W, v Αν και οι κανονικές βάσεις των τότε είναι απλά: Tv () [ Tv ]

Συντεταγμένες και Πίνακας Αλλαγής Βάσης k1, k,..., k l1, l,..., l Έστω ένας διανυσματικός χώρος και δύο βάσεις του, τότε οι συντεταγμένες ως προς τη ενός διανύσματος και οι συντεταγμένες συνδέονται με τη σχέση: I : του ίδιου διανύσματος ως προς τη l1 k1 l k P 1 l k [ I () v ] [ I ] [ v], [ v] P [ v] [ ] I, 1 ή 1 1 1 v

Όμοιοι Πίνακες Οι πίνακες αν υπάρχει αντιστρέψιμος τέτοιος ώστε:, M A καλούνται όμοιοι P M 1 P AP Συμβολίζονται ως: A Θα είναι επίσης και A με 1 Q Q Q P 1 Ιδιότητες όμοιων πινάκων Αν A τότε: Αν ο ένας είναι αντιστρέψιμος τότε είναι και ο άλλος αντιστρέψιμος det( A) det( ) rak( A) rak( ) tr( A) tr( ) Οι A, Προσοχή: Τα αντίστροφα αυτών των προτάσεων δεν ισχύουν αναγκαστικά. έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τις ίδιες ιδιοτιμές Οι πίνακες αναπαράστασης ενός ενδομορφισμού διαφορετικές βάσεις του είναι όμοιοι T : ως προς

Αλλαγή Βάσης και Ομοιότητα T :, : Ξεκινούμε εδώ και κινούμαστε κατά την φορά των βελών πολλαπλασιάζοντας πάντοτε από αριστερά τους πίνακες [ T ] T ( ) T ή ή 1 1,, P 1 I P 1 I 1 T T ( ) 1 [ T ] 1 [ T] [ I ] [ T] [ I ] P [ T] P, 1, Βάσεις του Επιθυμούμε να βρούμε τη σχέση που συνδέει τους πίνακες [ T ] 1 και [ T ] 1 [ T] P [ T] P Επειδή: P 1 1 P 1 [ ] I : 1 I : ( ) ( ) T T I 1 1 [ I ] T I T I Οι πίνακες [ T ] 1 και [ T ] είναι όμοιοι. Βάση Βάση 1 Εκφράζει τη σύνθεση 1

Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο T : R R u Te ( 1) T(1, 0) v Te ( ) T(0,1) Κάθε Γραμμικός Μετασχηματισμός έχει την ιδιότητα να αφήνει ανεπηρέαστη την αρχή των αξόνων και να διατηρεί τις ευθείες ενός πλέγματος παράλληλες και ισαπέχουσες. Η μεταβολή στο εμβαδό ενός κελιού ισούται με ( T ) det [ ] Αρνητική τιμή σημαίνει ότι ο Μετασχηματισμός στέλνει το e στα δεξιά του e 1 Μηδενική τιμή σημαίνει ότι το κελί εκφυλίσετε σε μία ευθεία ή ένα σημείο. (Μείωση διαστάσεων)

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο επίπεδο Διαστολή - Συστολή T : R R, T ( x, y) ( ax, ay), a R a > 1 Στροφή a 0 [ T ] ιαστολή 0 a a < 1 Συστολή T R R Txy x y x y :, (, ) ( cosθ si θ, siθ + cos θ) cosθ siθ [ T ] siθ cosθ (Οι πίνακες αναπαράστασης δίνονται ως προς την κανονική βάση του R ) θ

Ειδικοί Γραμμικοί Μετασχηματισμοί στο Επίπεδο Προβολή πάνω σε ευθεία (Οι πίνακες αναπαράστασης δίνονται ως προς την κανονική βάση του R ) T R R Txy x θ + y θ θ x θ θ + y θ :, (, ) ( cos si cos, si cos si ) [ T ] cos θ siθcosθ siθcosθ si θ θ Ισχύει: Δεν υπάρχει ο [ T] [ T] T 1 Στρέβλωση S R R S x y x + ay y S : R R, S ( x, y) ( x, bx + y) x :, x(, ) (, ) y y [ S ] x 1 a 0 1 [ ] S y 1 0 b 1 Στρέβλωση παράλληλα στον άξονα x x Στρέβλωση παράλληλα στον άξονα y y

Παραδείγματα Μετασχηματισμών στο Επίπεδο