ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση. ( µον.). Έστω z ο µιγαδικός αριθµός z i, µε, R. (α) ίνεται η εξίσωση: z az z. Αν γνωρίζουµε ότι µία ρίζα της είναι η z i, προσδιορίστε την παράµετρο α και βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες της z, z. (β) Προσδιορίστε στο µιγαδικό επίπεδο, το σύνολο των σηµείων που επαληθεύει την εξίσωση: z R(( i) z) 6. ( R(z)Πραγµατικό µέρος του z) Υπόδειξη: Θέστε zi και βρείτε µια εξίσωση µε,. Παρατηρείστε ότι η εξίσωση (- ) (- ) r (όπου όλα είναι πραγµατικοί και r> ) παριστά έναν κύκλο κέντρου (, ) και ακτίνας r. Λύση (α) Αφού η z i είναι µία ρίζα της εξίσωσης, θα ισχύει ότι: i ai i i a i a. Εποµένως η υπό µελέτη εξίσωση παίρνει την µορφή: z z z z ( z ) z ( z ) ( z ) ( zi) ( z i) ( z ) Έτσι, οι ρίζες της είναι οι z i, z i, z. ος τρόπος: Έχουµε ήδη βρει ότι α. Εφόσον το πολυώνυµο z z z έχει πραγµατικούς συντελεστές και µια µιγαδική ρίζα την z i, θα έχει και την συζυγή της z z i. Άρα το z z z διαιρείται από δευτεροβάθµιο πολυώνυµο ( z i) ( z i) z. Εκτελούµε τη διαίρεση z z z z Εποµένως, z z z z z z z z ( z )( z) και η τρίτη ρίζα είναι η z. (β) Θέτοντας zi έχουµε: ( ) ( ) 6 i R(( i)( i)) 6 R( i( )) 6 ( ) 6 6 6 ( ) ( ) Προκύπτει εποµένως ένας κύκλος κέντρου (,) και ακτίνας.
Άσκηση. (8 µον.) ίνονται οι συναρτήσεις f :(,] R, g:(, ) R, h: R R µε f( ), g( ) l( ) και h ( ). (α) Να προσδιορισθεί ακριβώς το πεδίο τιµών τους στο R και να εξηγηθεί αν είναι επί ή /και. (β) Να ορίσετε τις σύνθετες συναρτήσεις : h g f, h f g, h h f και να προσδιορίσετε ακριβώς το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών τους. (α) Προφανώς f( ). Εποµένως, το πεδίο τιµών της f περιέχεται στο διάστηµα [, ). Αντίστροφα, αν θα δείξουµε ότι υπάρχει (,], τέτοιο ώστε. Πράγµατι,. Αλλά, (,] και f ( ) ( ). Εποµένως, το πεδίο τιµών της f είναι το διάστηµα [, ) και η f δεν είναι επί. Είναι όµως - γιατί :. Η γραφική παράσταση της f έχει ως εξής:.5.5.5 - -8-6 - - Σε ότι αφορά την g(): Αρχικά υπενθυµίζουµε ότι η συνάρτηση l : (, ) R του λογαρίθµου έχει πεδίο ορισµού το διάστηµα (, ) και πεδίο τιµών όλο το R. Για να ορίζεται η g ( ) θα πρέπει > >. Έστω τώρα R. Τότε, λύνοντας την εξίσωση l( ), έχουµε: l( ) >. Έτσι, για κάθε R, υπάρχει (, ), µε l( ). ηλαδή, το πεδίο τιµών της g είναι όλο το R και, εποµένως, η g είναι επί. Είναι και -, γιατί αν Γραφικά η g έχει τη µορφή: g ( ) g ( ), τότε l( ) l( ). l - 6 8 - -6-8 Τέλος, για την τρίτη συνάρτηση h() έχουµε: Για να βρούµε το πεδίο τιµών της, θέτουµε ( ) ( ). Η τελευταία εξίσωση θα πρέπει να έχει πραγµατικές ρίζες ως προς.
Για είναι η πρωτοβάθµια. Πράγµατι, ( ) ( ) ( ) h( ) και συνεπώς το ανήκει στο πεδίο τιµών. Αν, τότε είναι τριώνυµο µε διακρίνουσα ( )( ). Άρα η εξίσωση ( ) έχει πραγµατικές ρίζες αν και µόνον αν. Εποµένως το πεδίο τιµών της h είναι το διάστηµα, (αφού αυτό περιέχει και την τιµή που βρήκαµε προηγουµένως). Η συνάρτηση h δεν είναι λοιπόν επί. εν είναι ούτε - γιατί h() h( ). Γενικότερα, αν εξίσωση ( ) έχει δύο διακεκριµένες ρίζες, µε h ( ) h ( ). ( ) Η γραφική παράσταση της h έχει την µορφή: και ±, η δευτεροβάθµια ( ) και.5 - -5 5 -.5 - (β) h ( ) g ( f ( )) g ( ) l( ). Θα πρέπει και > > > <. Άρα τελικά < και το πεδίο ορισµού της h g f είναι το διάστηµα (,). Για το πεδίο τιµών παρατηρούµε ότι: Αν R, τότε h( ) l( ) ( ) Πράγµατι, ( ) (,) και ( ( ) ] ) l( ( ) ) l( [ ( ) ) ( ). h l( ) l( ). Εποµένως, το πεδίο τιµών της h είναι όλο το R. h ( ) f ( g ( )) f (l( )) l( ). Πρέπει > > και l( ) l( ). Εποµένως, <, δηλαδή το πεδίο ορισµού της h είναι το διάστηµα (, ]. Σε ότι αφορά το πεδίο τιµών, παρατηρούµε ότι h ( ) l( ). Αντίστροφα, για κάθε [, ) έχουµε: Πράγµατι, l( ) l( ) l( ). (, ] και h ( ) l( ) l( ) ( ).
Εποµένως, το πεδίο τιµών της h είναι το διάστηµα [, ). Τέλος, για την h έχουµε: ( ) h( ) ( ) h ( ) h( f( )). Ο µόνος περιορισµός είναι (γιατί t t, για κάθε t R, άρα και για t ). Παρατηρούµε ότι, ενώ το διατρέχει το διάστηµα (,], η ρίζα t διατρέχει το διάστηµα [, ). Άρα h ( ) h( t), t. Θα µελετήσουµε τη µονοτονία της h στο [, ). Έστω λοιπόν t < t. Τότε, t t ( t )( t t ) ( t )( t t ) tt t t tt tt ht t t t t t t t t t t t t ht ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) tt ( t t ) ( t t )( t t ) ( t t ) ( tt t t )( t t ) <. ( t t )( t t ) ( t t )( t t ) Άρα ht ( ) < ht ( ) και η h είναι γνησίως αύξουσα στο [, ). (Εναλλακτικά, η h έχει θετική παράγωγο h ( ) ) ( ) t Επιπλέον, h () και ht ( ). Εποµένως, το σύνολο τιµών της t t t t h ( ),, ή ισοδύναµα της ht (), t, είναι το διάστηµα [-, ). Άσκηση. (8 µον.) Να υπολογιστούν τα όρια των κάτωθι ακολουθιών µε N : 5 5 (α) (β) (γ) ( 5 ) (δ) ( ) 5 5 5 5 (α). (β) 5 5 5 ( ) (γ) ( 5 ) ( 5 )( 5 ) 5
5 ( ) 8 8 5 5 5 8 5 (δ) ιαιρούµε µε τη δύναµη του αριθµού που έχει τη µεγαλύτερη απόλυτη τιµή: Άσκηση. ( 5) ( 5) ( ) ( 5) ( 5) ( ). ( ) 5 5 5 (α) Υποθέστε ότι ο µηνιαίος µισθός σας είναι ευρώ, ενώ το κεφάλαιό σας,, µειώνεται κατά τη διάρκεια ενός µηνός κατά τα / αυτού. Με την αρχή του νέου µήνα, εποµένως, το νέο σας κεφάλαιο είναι a a. Αν α, ποιο είναι το κεφάλαιό σας στο -οστό µήνα και σε ποιό ποσό Κ συγκλίνει, a K, καθώς περνούν οι µήνες ( ); (β) είξτε ότι η ακολουθία που παράγεται από την αναδροµική σχέση a a, (µε a > /) είναι γνησίως αύξουσα για < a < και γνησίως φθίνουσα για a >. Χρησιµοποιείστε τη θεωρία της Ενότητας. και τον υπολογιστή σας για να προσδιορίσετε το όριο της ακολουθίας όταν το παίρνει τιµές στις δύο αυτές περιοχές. a (α) Από τον αναδροµικό τύπο a a υπολογίζουµε µερικούς όρους της ακολουθίας: a a a a a ( ) a a a a ( ) a a ( ) a. Με βάση τα παραπάνω εικάζουµε ότι ισχύει a (... ) a,,,... Πράγµατι, η σχέση αυτή αποδεικνύεται άµεσα µε µια επαγωγή. Συνεπώς παίρνουµε Λαµβάνοντας το όριο έχουµε a a a a a 5 K που αντιπροσωπεύει το ποσό των Ευρώ που θα µας µείνει τελικά. a. a 5
(β) Αρχικά θα δείξουµε ότι αν a >, τότε η ακολουθία ορίζεται καλά, δηλαδή ότι το a έχει έννοια. Αρκεί να ελέγξουµε ότι a a, για κάθε,,,. Θα δείξουµε κάτι ισχυρότερο: a >, για κάθε,,, Για, έχουµε a >, που ισχύει από υπόθεση. Αν τώρα a >, τότε a > a >, δηλαδή a >. Άρα, µε βάση την αρχή της τέλειας επαγωγής, a >, για κάθε,,, Παρατηρούµε επίσης ότι a a a a ( a a ) ( a )( a ). Άρα, αν < a <, τότε a a ( a )( a ) >, ενώ αν a >, a a ( a )( a ) <. η περίπτωση: Έστω < a <. Υποθέτουµε ότι < a <. Τότε < a < 6 < a < < a <. Άρα < a <, για κάθε,,,. Έτσι, a a ( a )( a ) > και επειδή οι όροι της ακολουθίας είναι θετικοί, a > a, για κάθε,,,, η ακολουθία είναι γνησίως αύξουσα. Επιπλέον, αφού < <, η ακολουθία είναι άνω φραγµένη από το. Ως αύξουσα και άνω φραγµένη a θα συγκλίνει σ έναν αριθµό. Τότε, a a >. Ακόµη, a a a a. Άρα ή. Επειδή η περίπτωση: Έστω a >. Υποθέτουµε ότι a. Τότε > >, έπεται ότι a. a > 6 a > a >. Άρα a >, για κάθε,,,. Εποµένως a a a a της ακολουθίας είναι θετικοί, a < ( )( ) < και επειδή οι όροι a, για κάθε,,, ηλαδή, η ακολουθία είναι γνησίως φθίνουσα. Επειδή όµως a >, η ακολουθία είναι και κάτω φραγµένη από το. Έτσι, ως φθίνουσα και κάτω φραγµένη η a θα συγκλίνει σ έναν αριθµό. Τότε, a και a a a a. Άρα ή. Επειδή, έπεται ότι a. Άσκηση 5. Κατά τη διάρκεια µιας προεκλογικής περιόδου και στις χρονικές στιγµές,,,...,,... δηµοσιεύονται οι τάσεις του εκλογικού σώµατος που αφορούν δύο υποψήφιους Α, Β. Συµβολίζουµε µε a, τα ποσοστά του δείγµατος που είναι υπέρ των υποψηφίων Α και Β αντίστοιχα, την χρονική στιγµή. Η εξέλιξη των ποσοστών αυτών από την στην δηµοσκόπηση δίνεται από τη σχέση X MX, N, όπου [ ] T, 6, X a και M,, και a (επειδή πρόκειται για ποσοστά). Για να βρείτε τα ποσοστά δηµοτικότητας των δύο υποψηφίων µετά από δηµοσκοπήσεις, υπολογίστε την ποσότητα X ως ακολούθως: M X 6
(α) ιαγωνοποιείστε τον πίνακα M σε ένα πίνακα Λ χρησιµοποιώντας τον πίνακα των ιδιοδιανυσµάτων του Ρ (και τον P ) και εκφράστε τον πίνακα M,( ) µέσω των Ρ, P και του Λ. (β) Κατόπιν βρείτε το όριο του συνθήκη [ ] T X, όταν και δείξτε ότι είναι ανεξάρτητο από την αρχική X a, υπολογίζοντας έτσι και τα τελικά ποσοστά των υποψηφίων. (α) X MX M X M X M X M X. Αν θέσουµε στη θέση του, θα πάρουµε: X M X. λ, 6, Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα Μ είναι: φλ ( ) λ λ µε, λ, ± ρίζες (ιδιοτιµές του Μ): ± ± Υπολογίζουµε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα: Για την ιδιοτιµή : 5 5. Εποµένως,,. 5 5 Για την ιδιοτιµή : 5. Εποµένως,,. 5 5 5 Έστω P ο πίνακας των ιδιοδιανυσµάτων. Τότε P. Ακόµη, P MP και εποµένως M P P. Άρα ( ) ( ) ( ) ( ) M P P ( ) ( ) a (β) ( ( ) ) ( ( ) ) a a. a ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a a a Εποµένως, ( ) ( a ) (γιατί a ) και ( ( ) ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( a ) a a.
Έτσι, X a /, το οποίο είναι πράγµατι ανεξάρτητο από την αρχική συνθήκη. / Άσκηση 6. Να υπολογιστούν τα αθροίσµατα: (α) ( ) 5 (β) 9 Υπόδειξη: 9 ( )( ) (γ) Να συγκριθεί η σειρά µε εκείνη που έχει γενικό όρο (/ ), να δειχθεί ότι συγκλίνει και να βρεθεί, µέσω της σύγκρισης αυτής, ο ελάχιστος αριθµός των όρων που χρειάζονται ώστε το σφάλµα της σειράς (ή η «απόσταση» από το όριό της) να είναι µικρότερο από,. (α) ( ) 5 5 5 (β) Παρατηρούµε ότι 9 9 6 ( ) ( ) ( )( ). Θέτουµε A B A( ) B() ( A B) ( AB) ( )( ) A B A B Άρα. Εποµένως, A B B ( )( ). k k k k k (γ) >. Άρα <. Επειδή η γεωµετρική σειρά συγκλίνει, θα συγκλίνει και η σειρά Έστω A k είναι.. Το σφάλµα της προσέγγισης του Α από το µερικό άθροισµα k k A k k k k 8
k l, Άρα, πρέπει < > k l > l k >, k l,69 Εποµένως, αρκεί να πάρουµε k. Άσκηση. εχόµαστε το ακόλουθο Θεώρηµα (Κριτήριο Liiz): Αν η ακολουθία των θετικών όρων όριο το µηδέν και είναι φθίνουσα, τότε η σειρά ( ) a συγκλίνει σε πραγµατικό αριθµό. (α) Χρησιµοποιώντας το παραπάνω θεώρηµα εξετάστε τη σύγκλιση των σειρών ( ) και ( ) (β) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο του λόγου και το Κριτήριο Liiz δείξτε ότι η σειρά συγκλίνει µόνο για τις τιµές του που ανήκουν στο διάστηµα [,). ( ) ( ) (α) Η σειρά ακολουθίας <. Άρα η σειρά συγκλίνει. ( ) a έχει ικανοποιεί τις υποθέσεις του κριτηρίου Liiz αφού οι όροι της είναι θετικοί, η ίδια ακολουθία τείνει στο µηδέν και είναι φθίνουσα αφού ισχύει: ( ) Αντίθετα, η δεν συγκλίνει γιατί η ακολουθία των όρων της δεν είναι µηδενική. Πράγµατι, (β) Αν ( ). τότε προφανώς. Έστω. Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου: ( ). ( ) Άρα, αν < < < <, τότε η σειρά Αν > > > ή <, τότε η σειρά της σειράς τείνει (απολύτως) στο άπειρο καθώς. Εξετάζουµε ξεχωριστά τη σειρά στα σηµεία ±. Αν, τότε ( ) Αν, τότε η σειρά συγκλίνει. Συµπερασµατικά, η σειρά συγκλίνει στο διάστηµα [-,). συγκλίνει, αφού συγκλίνει απολύτως. δεν συγκλίνει, επειδή ο γενικός όρος ζ (). ικανοποιεί τις υποθέσεις του κριτηρίου Liiz και άρα, 9
Άσκηση 8. ( µον.) (α) Προσδιορίστε τα υποδιαστήµατα του πεδίου ορισµού της συνάρτησης h ( ) 5, - < <. στα οποία αυτή αντιστρέφεται και υπολογίστε τον τύπο, το πεδίο ορισµού και το πεδίο τιµών της αντιστρόφου της σε κάθε ένα από τα διαστήµατα αυτά. (β) Για την συνάρτηση f : R R µε f( ), δείξτε ότι υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση και να προσδιορίστε την, επισηµαίνοντας το πεδίο ορισµού της. f (α) Από τα µαθηµατικά της Α Λυκείου γνωρίζουµε ότι µια συνάρτηση της µορφής h( ) a c, µε a > είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (, ], γνησίως αύξουσα a στο [, ) και παρουσιάζει ελάχιστη τιµή h( ), όπου η διακρίνουσα του a a a τριωνύµου. Ακόµη, h ( ) h ( ). Εποµένως η h έχει σύνολο τιµών το διάστηµα [, ) και αντιστρέφεται στα υποδιαστήµατα του πεδίου ορισµού της (, ] και a a [, ) δίνοντας δύο συναρτήσεις a h :[, ) (, a a ] (γνησίως φθίνουσα) και h :[, ) [, ) (γνησίως αύξουσα). a a ( ) ( 5) Στην περίπτωσή µας, έχουµε και 9. Εποµένως, η h a a αντιστρέφεται στα διαστήµατα (,] και [, ) δίνοντας δύο συναρτήσεις h :[ 9, ) (,] (γνησίως φθίνουσα) και h :[ 9, ) [, ) (γνησίως αύξουσα). - O 5-9 h h Οι τύποι των και υπολογίζονται ως εξής: Λύνουµε την εξίσωση 5 5 (όπου 9) ως προς και βρίσκουµε ± 6 ± 9 ± 9. Προφανώς 9 < < 9 για κάθε >9. Εποµένως, h( ) 9 και h ( ) 9 ή, διατηρώντας ως ανεξάρτητη µεταβλητή το, h ( ) 9 και h ( ) 9. (β) < f ( ) <. Άρα το σύνολο τιµών της f περιέχεται στο διάστηµα (,). Αντίστροφα, έστω (,). Λύνουµε την εξίσωση ως προς : ( ) l. < < και Εποµένως το σύνολο τιµών της f είναι όλο το διάστηµα (,). άρα >
Επίσης, αφού η εξίσωση έχει µοναδική λύση ( (,) ) την l, έπεται ότι η f είναι - και η αντίστροφή της έχει τύπο f ( ) l, < <. Άσκηση 9. ( µον.) (α) Εξετάστε αν οι συναρτήσεις, / f( ) και, / f( ),, είναι συνεχείς στο και δικαιολογείστε την απάντησή σας. (β) Να προσδιορίσετε τα a, R ώστε η συνάρτηση a, f( ) να είναι συνεχής στο., (α) Στην πρώτη περίπτωση έχουµε f( ) / /, f( ). / / Εποµένως υπάρχει το f ( ) και είναι ίσο µε µηδέν. Επιπλέον, f (), οπότε η f είναι συνεχής στο (αλλά και σ όλο το R ). Στη δεύτερη περίπτωση έχουµε f( ) και f( ), όπως / / έχουµε ήδη υπολογίσει. Άρα δεν υπάρχει το f ( ) και εποµένως η f δεν είναι συνεχής στο. (β) Αν η f είναι συνεχής στο, τότε f ( ) f(). Αλλά τότε [( ) f( )]. Όµως, [( ) f( )] a a a. Εποµένως, a a. ( )( ) Τώρα, f () f( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Άσκηση. Να υπολογιστούν τα κάτωθι όρια, στην περίπτωση που αυτά υπάρχουν:
(i) (ii) (iii) π ta( ) π π / ( ) ( ) ( )( ) (i) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 8. ( )( ) (ii) Έχουµε ( )( ). Εποµένως, < για < < και > για >. Άρα, αν < <, τότε ( ). Συνεπώς ( )( ) ( ). Αν > τότε και εποµένως ( )( ) ( ). Εφόσον (iii) π /, δεν υπάρχει το. π ta( ) π. Θέτουµε. Τότε π π π /. π Εποµένως π ta( ) ta ta u ta π u π / u u siu, γιατί cos. u cosu u u cos ---------------------------------------------------