Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης ΘΕΩΡΗΜΑ Αν για τη συνάρτηση f ισχύουν οι ακόλουθες προϋποθέσεις : Η f είναι συνεχής στο [ α, β ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( αβ, ) ( ξ ) f = f ( β ) f ( α ) Θεωρούμε την συνάρτηση είναι συνεχής στο [, ] και ισχύει, τέτοιο ώστε: ή f ( β ) f ( α) ( β α) f ( ξ) β α = Απόδειξη g x = f x f ( β) f ( α) ( x α ), η οποία β α α, β με f ( β ) f ( α ) g ( x) = f ( x) β α α β, παραγωγίσιμη στο g( α ) = f ( α) = g( β) Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει ξ ( αβ, ) g ( ξ ) =, δηλαδή f β f α f = ή f f β f α ξ ξ = β α β α τέτοιο ώστε 5 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
Γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος Μέσης Τιμής Γεωμετρικά, το θεώρημα της μέσης τιμής σημαίνει ότι αν ισχύουν για τη συνάρτηση f οι παραπάνω προϋποθέσεις, τότε υπάρχει κάποιο ξ ( αβ, ), τέτοιο ώστε η εφαπτόμενη της C f στο σημείο ( ξ, f ( ξ )) να A α, f α και είναι παράλληλη στην ευθεία που ορίζεται από τα σημεία B β, f ( β ) y α x y f ( β ) f ( α ) α εν είναι παραγωγίσιμη η f στο ( α, β ) Μ ( ξ, f ( ξ )) Η ευθεία ΑΒ έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( β ) f ( α ) λ = β α β x y α β x x Παρατηρήσεις Αν κάποια από της προϋποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής δεν ι- σχύει, τότε το θεώρημα δεν εφαρμόζεται εν είναι συνεχής η f στο [ α, β ] β x Το αντίστροφο του θεωρήματος δεν ισχύει ηλαδή μπορεί να μην ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος αλλά να υπάρχει εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f παράλληλη στην ΑΒ y α x ξ ξ β x 6
3 Αν η f παραγωγίσιμη στο [ α, β ] τότε θα είναι και συνεχής στο [ α, β ] άρα το θεώρημα πάλι εφαρμόζεται Λυμένα παραδείγματα Μέθοδος (Προσδιορισμός Παραμέτρων ώστε να ισχύει το ΘΜΤ) Απαιτούμε η f συνεχής στο [ α, β ] Απαιτούμε η f να είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ίνεται η συνάρτηση: αx+ β x f ( x) = ln x x> Να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύει το θεώρημα της μέσης τιμής για την f στο [, ] Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το A = Η f είναι συνεχής στο [, ) και στο (, ] και για να είναι συνεχής στο [, ] πρέπει να είναι συνεχής και στο x =, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: lim f ( x) = lim = f ( ) () Είναι: x + x + x + x lim f x = lim ln x = lim lim ( x ) x x f ( ) = α + β = α + β = α + β Άρα η () γίνεται : α + β = () Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) και στο (, ) και για να είναι παραγωγίσιμη και στο (, ) πρέπει να είναι παραγωγίσιμη και στο x =, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση : 7 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
( ) ( ) f x f f x f lim = lim (3) Είναι: x + x x x f ( x) f ( ) lnx ( α+ β) ln x ( lnx) lim = lim = lim = lim = lim = x + x x + x x + x x + x x + x ( ) αx + β α β α ( ) f x f x lim = lim = lim = α x x x x x x Άρα η (3) γίνεται : α = Με α = από την () έπεται ότι β = Επομένως, μεα = και β = εφαρμόζεται το θεώρημα της μέσης τιμής στη συνάρτηση f στο διάστημα [, ] Ασκήσεις Να βρείτε τα α, β ώστε να ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος μέσης τιμής για τη συνάρτηση f στο διάστημα [,5 ] όταν: f ( x) ίνεται η συνάρτηση f ( x) ln x < x e = αx β x > e αx + βx x = x > x Να βρείτε τα α, β ώ- στε να ισχύουν οι υποθέσεις του ΘΜΤ για την f στο [ ] να λύσετε την εξίσωση f ( x) = f f ( ), και μετά Μέθοδος ( ιαχωρισμός του [ α, β ] σε υποδιαστήματα και εφαρμογή του ΘΜΤ) Συνήθως όταν ζητούμε να αποδείξουμε την ύπαρξη δύο τουλάχιστον ση- α, β ώστε να ισχύει κάποια σχέση, διαχωρίζου- μείων του διαστήματος με το διάστημα ( α, β ) σε δύο τουλάχιστον υποδιαστήματα (συνήθως του ίδιου πλάτους) και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ 8
β α ιαχωρισμός ( α, β ) σε ίσα υποδιαστήματα δύο ( πλάτος) α + β α + β β α α,,, β τρία ( 3 πλάτος) α + β α + β α + β α + β α,,,,, β 3 3 3 3 Αν θέλουμε να δείξουμε μια σχέση της μορφής λ f ( ξ ) + λ f ( ξ ) + + λ f ( ξ ) = λ όπου * λ, λ,, λν και ν ν α β σε ν υποδια- ξ, ξ,, ξν ( α, β), τότε χωρίζουμε το διάστημα [, ] στήματα της μορφής [ α, γ ],[ γ, γ ],,[ γ, β] κ λ β α, λ λ λ + + + λ β α, λ ν + λ λ + + ν β α γ = α + λ λ + λ + + λ ν β α γ = α + λ+ λ λ + λ + + λ ν ( ) β α γν = α + λ+ λ + + λν λ + λ + + λ ν με μήκη το καθένα, β α λ ν λ + λ λ + + ν οπότε,,, και εφαρμόζουμε το Θεώρημα Μέσης Τιμής σε καθένα από τα παραπάνω υποδιαστήματα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ( α, β ) να δειχθεί ότι υπάρχει ξ, ξ, ξ του (, ) f ( ξ ) = f ( ξ ) + f ( ξ ) α β και παραγωγίσιμη στο α β ώστε να είναι: Για τη συνάρτηση f ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα: [ α, β ] α + β Δ = α, και α + β Δ =, β Υπάρχουν ξ, ξ, ξ αντίστοιχα ώστε: β α f ξ = f β f α () α + β α + β α β + Δ=, α f ( ξ ) = f f ( α) ( β α) f ( ξ ) = f f ( α) () 9 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
α β α β α β β + f ( ξ) f ( β) f + ( β α) f ( ξ) f ( β) f + = = (3) Με την πρόσθεση των () και (3) είναι: ( β α) f ( ξ) + f ( ξ) = ( f ( β) f ( α) ) και λόγω της () ( β α) f ( ξ) + f ( ξ) = ( β α) f ( ξ) f ( ξ) = f ( ξ) + f ( ξ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,ν ], ν, ν και παραγωγίσιμη στο (,ν ) Να δείξετε ότι υπάρχουν x, ξ, ξ, ξ3,, ξν (, ν) τέτοια ώστε: f ( ξ ) + f ( ξ ) + f ( ξ ) + + f ( ξ ) = vf ( x ) v 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στα διαστήματα [, ],[, ],[,3 ],,[ v, v] και παραγωγίσιμη στα διαστήματα (, ),(, ),(,3 ),,( v, v) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχουν ξ (, ), ξ (, ), ξ3 (,3 ),, ξ v ( v, v) τέτοιο ώστε να ισχύουν οι σχέσεις: f ( ) f ( ) = f ( ξ ) f f ( ) = f ( ξ ) f ( 3) f = f ( ξ3 ) ( + ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) f v f = f + f + f 3 + + f f ( v) f ( v ) = f ( ξ v ) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [,v ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,v ) Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει x ( v) ώστε: ( ) f v f = vf x () Επομένως, η () λόγω της () γίνεται: vf x = f ξ + f ξ + f ξ + + f ξ 3 v v (), τέτοιο
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Για την συνάρτηση f ισχύουν οι προϋποθέσεις του Θεωρήματος Rolle α β Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) 4f ( ξ ) + 7f ( ξ ) = στο [, ] Η συνάρτηση f Θα είναι συνεχής στο [, ] ( α, β ) και επιπλέων ισχύει ότι f ( α ) f ( β ) σχύει το Θεώρημα Rolle Χωρίζουμε το διάστημα [, ] β α d = τέτοια, ώστε: α β και παραγωγίσιμη στο = αφού για την συνάρτηση ι- α β σε 4+ 7= διαστήματα ίσου πλάτους α β σε Θεωρούμε το σημείο γ τέτοιο, ώστε να χωρίζει το διάστημα [, ] δύο διαστήματα: [ α, γ ] πλάτους 4d και [, ] γ α = 4d και β γ = 7d γ β πλάτους 7d Είναι Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στην f στα διαστήματα [ α, γ ] και [, ] υπάρχουν ξ ( αγ, ) και ξ ( γ, β) τέτοια ώστε: f ( ξ ) = f ( γ) f ( α) f ( γ) f ( α) = 4 f ( ξ ) = f ( γ) f ( α) γ α 4 ( β) ( γ) ( β) ( γ) d γ β Οπότε () και f f f f f ( ξ) = = 7 f ( ξ) = f ( β) f ( γ) () β γ 7 d Προσθέτουμε κατά μέλη τις σχέσεις () και () οπότε θα πάρουμε: f ( β) f ( α) 4f ( ξ) + 7f ( ξ) = = d Ασκήσεις 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοια ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο (, ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ, ξ, ξ ( α, β) ώστε να ισχύει: 3 α β Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
( β ) ( α ) f ( ξ) + f ( ξ) + f ( ξ3) = 3 f f β α 5 ίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο [, ], με f ( ) = 9 Να αποδείξετε ότι υπάρχουν,, 3 (,) f ( ξ ) + 3f ( ξ ) + 4f ( ξ ) = 5 3 f = 4 και ξ ξ ξ τέτοια, ώστε 6 Έστω μια συνάρτηση f, για την οποία ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, 7 ] Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν ξ, ξ, ξ3 (,7) τέτοια, ώστε: f ( ξ ) + f ( ξ ) + 3f ( ξ ) = 3 7 Αν για την συνάρτηση f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [ α, β ] να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) 3f ( ξ ) + f ( ξ ) = τέτοια ώστε: 8 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [,α ] με α >, για την οποία ισχύει f ( x ) = f ( x) για κάθε x [, α ] Να αποδείξετε ότι υπάρχουν f ( α ) ξ, ξ (, α) τέτοια, ώστε: f ( ξ ) + f ( ξ ) = ( α ) 9 Έστω η συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [, ] και f ( ) =, Να δείξετε ότι υπάρχουν, (,) + = f ( ξ ) f ( ξ ) f = ξ ξ τέτοια ώστε να ισχύει: Έστω μια συνεχής συνάρτηση f στο [ αα+, 6] και παραγωγίσιμη στο ( α, α + 6) Αν ισχύει ότι f ( α + 6) = f ( α ) + 6, να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, α + 6) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = ίνεται η συνάρτηση f, συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) με f ( α ) = και f ( β ) =
(α) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x ( α, β ) (β) Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοιο ώστε f( x ) = β α + = f ( ξ ) f ( ξ ) τέτοια ώστε: Μέθοδος 3 (ΘΜΤ - Θ Bolzano - ΘΕΤ) ξ, ξ α, β τέτοια ώστε να τότε εφαρ- Όταν μας ζητείται να δείξουμε την ύπαρξη ισχύει μια συναρτησιακή σχέση μεταξύ των f ( ξ ) και f ( ξ ) μόζουμε σε δύο διαστήματα [ α, x ] και [, ] x β για την f το Θεώρημα Μέσης Τιμής, όπου το x θα μας δίνεται σε προηγούμενα υποερωτήματα της άσκησης ή θα προκύπτει από το θεώρημα Bolzano ή το Θεώρημα Ενδιαμέσων τιμών ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο και f ( α ) f ( β ) = α, (α < β ), να δειχτεί ότι: (α) υπάρχει x ( α β ) ώστε f ( x ) = x, (β) υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = = β, (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = f ( x) x Είναι συνεχής στο [ α, β ] και h( α ) = f ( α) α = β α >, h( β ) = f ( β) β = α β = ( β α) < Έτσι ισχύει το ΘBolzano υπάρχει x ( α, β ) ώστε h x f x x f x = x ( ) = ( ) = και τελικά ( ) (β) Για τη συνάρτηση f ισχύει το ΘΜΤ στα διαστήματα [ α, x ] και [ x β ] Έτσι προκύπτει ότι:, ( α ) f x f x β Υπάρχει ξ ( α, x) ώστε: f ( ξ ) = = () x α x α Υπάρχει ξ ( x, β ) ώστε: f ( β ) f ( x ) α x f ξ = = () β x β x Με πολλαπλασιασμό των () και () κατά μέλη έχουμε: x β α x f ( ξ) f ( ξ) = = x α β x 3 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 :,5,5 και δύο παραγωγί- >, Η συνάρτηση f [ ] είναι συνεχής στο [ ] σιμη στο (,5 ) Αν f ( ) = και για κάθε x (, 5) είναι f ( x) να δείξετε ότι η εξίσωση f ( x ) = έχει μόνο μία ρίζα, 5 και παραγωγίσιμη στο(,5 ) Επο- Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] μένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (,5) τέτοιο ώστε: f f <, από το θεώ- f ( 5) f ( ) = ( 5 ) f ( ξ ) f ( 5) + = 4f ( ξ ) () Επειδή η f είναι συνεχής στο [,5 ] και είναι ( ) ( 5) ρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει ξ (,5) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = ο ξ (,5) είναι ρίζα της εξίσωσης f ( x ) = Υποθέτουμε ότι η εξίσωση f ( x ) = έχει στο της ξ, τη ρ και πχ ρ<ξ για την f έχουμε:, δηλαδή,5 και άλλη ρίζα εκτός Η f είναι συνεχής στο [ ρ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ρ, ξ ) f ( ρ ) = f ( ξ ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει κ ( ρξ, ) στε f ( x) > και για κάθε x (,5) Άρα η εξίσωση f ( x ) = έχει στο ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο[, ] και η συνάρτηση f είναι συνεχής στο (, ) f ( γ) f ( β) τέτοιο ώστε : f > f ( γ) f ( α) ( x) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) τέτοιο ώ-,5 μοναδική λύση τον αριθμό ξ α β και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) α β Αν υπάρχει γ ( αβ, ) (), να δείξετε ότι η εξίσωση α β 4
Η f είναι συνεχής στο [ α, γ ] και παραγωγίσιμη στο(, ) από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( αγ) στε: α γ Επομένως, τέτοιο ώ-, f ( γ ) f ( α) = ( γ α) f ( ξ ) () Η f είναι συνεχής στο [ γ, β ] και παραγωγίσιμη στο(, ) από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται υπάρχει ξ ( γ β) ώστε: ( γ ) ( β) ( γ β) ( ξ ) f f = f (3) γ β Επομένως, τέτοιο, H () λόγω των () και (3) γίνεται: ( γ β) f ( ξ ) β> γ > ( γ β)( γ α) f ( ξ) f ( ξ) > f ( ξ) f ( ξ) < γ α f ξ γ> α Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] f ( ξ) f ( ξ) < Από το θεώρημα Bolzano έπεται ότι υπάρχει κ ( ξ, ξ ) ( α, β) ώστε f ( κ ) = που σημαίνει ότι ο αριθμός κ είναι ρίζα της εξίσωσης τέτοιο f x = Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f, με συνεχή πρώτη παράγωγο στο [, ] και f = f ( ) + Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε f ( ξ) + f ( ξ) = (β) Υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) + f ( ξ ) 3 ίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο [, ], για την οποία ισχύει f ( ) = 4 και f = Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχει x (, ) τέτοιο, ώστε f ( x) = 3x (β) Υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = 9 4 ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f :, [ ] [,] με f ( ) = Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχει γ (,) τέτοιο, ώστε f ( γ ) = γ f = και 5 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
(β) Υπάρχουν α, β (,) με α β τέτοια, ώστε f ( α ) f ( β ) = 5 Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής στο [ α, β ] με f ( α ) f ( β ) και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Να δείξετε ότι: f ( α ) + 3 f ( β ) (α) Υπάρχει x ( α β ) τέτοια, ώστε f ( x ) =, (β) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ ( α, β) 3 τέτοια, ώστε 4 3 4 + = f ξ f ξ f ξ 6 ίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [, ] με f = 4 Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχει x (, ) τέτοιο, ώστε f ( x) = 3 ( x) (β) Υπάρχουν ξ, ξ (,) τέτοια, ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = 4 f = και 7 Έστω μια συνάρτηση f :[ αβ, ] με f ( x) για κάθε x ( α, β ) και f ( α ) f ( β ) Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχει x ( α, β ) τέτοιο ώστε 3f ( x ) = f ( α ) + f ( β ) (β) Υπάρχουν ξ, ξ ( α, β) τέτοια, ώστε f ( ξ )( x α) = f ( ξ )( β x ) (γ) Υπάρχουν ξ, ξ, ξ 3 τέτοια, ώστε Μέθοδος 4 (Ρίζες της f ) 3 + = f f f ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) 3 Για να δείξουμε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( x) τα εξής: = κάνουμε Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f σε δύο διαστήματα [ α, x ] και [ x, β ] και βρίσκουμε ξ ( α, x) και ξ ( x, β ) τέτοια, ώστε f ( ξ) = f ( ξ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την f στο [ ξ, ξ ] και βρίσκουμε ένα ξ ( ξ, ξ ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = 6
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Αν η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύει: f ( ) = 7f ( 7) 6f ( 8) () Να δείξετε ότι υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f ξ = Η ( ) f ( ) f ( 7) = 6 f ( 7) f ( 8) () Η f είναι συνεχής στο [, 7 ] και παραγωγίσιμη στο (, 7 ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (, 7) τέτοιο ώστε: f ( ) f ( 7) = ( 7) f ( ξ) f ( ) f ( 7) = 6f ( ξ) (3) Η f είναι συνεχής στο [ 7,8 ] και παραγωγίσιμη στο ( 7,8 ) Επομένως, από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται υπάρχει ξ ( 7,8) τέτοιο ώ- στε: f ( 7) f ( 8) = ( 7 8) f ( ξ) f ( 7) f ( 8) = f ( ξ) (4) H () λόγω τον (3) και (4) γίνεται: 6f ( ξ) = 6f ( ξ) f ( ξ) = f ( ξ) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ξ, ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, ξ) τέτοιο ώστε f ξ = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Αν η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και τα ση- A, f B, f Γ γ, f γ με α < β < γ είναι συνευ- μεία α ( α ), β ( β ), θεϊακά, να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν δύο εφαπτόμενες της C f που είναι παράλληλες (β) Υπάρχει ξ τέτοιο ώστε f ( ξ ) = (α) Έστω (ε) η ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α, Β, Γ Τότε είναι: 7 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
( β ) ( α) ( γ) ( β) f f f f λε = = () β α γ β α β και[ β, γ ] και παραγωγίσιμη Επειδή η f είναι συνεχής στο διάστημα [, ] στα ( α, β ) και (, ) ξ ( αβ) και ξ ( βγ, ) f ( β ) f ( α ) f ( ξ ) =, β γ, από τα θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχουν τέτοια ώστε: f ξ = β α f ξ = f ξ () και 8 f ( γ ) f ( β ) γ β (3) Επομένως η () γίνεται ( ) Έστω ( ε ) και ( ε ) οι εφαπτόμενες της C f στα σημεία (, f ( ) ) ( ξ, f ( ξ ) ) αντίστοιχα Η ( ε ) έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( ξ ) ( ε ) έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( ξ ) f ( ξ ) = f ( ξ ) ε // ε (β) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ξ, ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, ξ) f ( ξ ) = ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] στο ( α, β ) Αν είναι f f ( α ) f ( β ) υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε ξ ξ και και Επειδή τέτοιο ώστε α β και δύο φορές παραγωγίσιμη α + β = + () Να δείξετε ότι f ξ = Η ( ) f α + β f ( α) f ( β) f α + β = () α + β Η f είναι συνεχής στο α, και παραγωγίσιμη στο, α + β α Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει α + β ξ α, τέτοιο ώστε:
α f + β α β α β β α f ( α) + α f ( ξ) f + = f ( α) = f ( ξ) (3) α + β α + β Η f είναι συνεχής στο, β και παραγωγίσιμη στο, β Επομένως, από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται υπάρχει α + β ξ, β τέτοιο ώστε: α β α β α β β α f ( β ) f + β + f ( ξ) f ( β) f + = = f ( ξ) (4) H () λόγω των (3) και (4) γίνεται: β α β α f ( ξ) = f ( ξ) f ( ξ) = f ( ξ) Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ ξ, ξ ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( ξ, ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, ξ ) ( α, β) f ξ = στε Ασκήσεις τέτοιο ώ- 8 Η συνάρτηση f είναι περιττή στο [ α, α ] Να δειχτεί ότι υπάρχει ξ ( αα, ) ώστε να είναι f ( ξ ) και δύο φορές παραγωγίσιμη = 9 ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,3], για την ο- ποία ισχύει f ( ) = f ( ) + f ( 3) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ξ (,3) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = Η συνάρτηση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ 3,3] και ισχύει f ( 3) = 6f 5f ( 3) Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν εφαπτόμενες στη (β) Υπάρχει ( 3,3) C f που είναι παράλληλες f ξ = ξ τέτοιο ώστε 9 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
Η συνάρτηση f : είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε x ισχύει f ( x) Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν στη γραφική παράσταση της f τρία σημεία που να είναι συνευθεϊακά Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,3 ] με f ( ) + f ( 3) = f + Να δείξετε ότι υπάρχει (,3) f ξ = ξ τέτοιο, ώστε 3 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] και η συνάρτηση g :, [ ] για τις οποίες ισχύει: f ( x+ ) f ( x) = ( x x) g( x) + για κάθε x [,] Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = 4 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο g x = f x f x για κάθε x Να δείξετε και η συνάρτηση ότι υπάρχει ξ (,) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) = 5 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο f γ f 4 = γ +, και υπάρχει γ τέτοιο, ώστε = +, f ( 6) 4γ f ( ξ ) = = + Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ξ τέτοιο, ώστε 6 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ αα+, ] και ισχύουν f ( α + ) = f ( α) + β, f ( α + ) = f ( α) = β Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( α +, β) τέτοια ώστε f ( ξ ) = f ( ξ ) 7 ίνεται η συνάρτηση ( 9 ) π ξ, ξ 3, τέτοια ώστε ξ ξ f x = x συν x Να δείξετε ότι υπάρχουν και f ( ξ ) f ( ξ ) 3 = 8 ίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : ποία ισχύει:, για την ο-
(α) Να υπολογίσετε τα ( ) f και f ( ) ξ τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = 4 x f x x x για κάθε x (β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει (,) 9 ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο, για την οποία f + f = f + f 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ισχύει f ( x) =, έχει τουλάχιστον μία ρίζα Μέθοδος 5 (Πρόσημο της f και f ) Α Για να δείξουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε f ( x) < ή f ( x) > σε ένα διάστημα [ α, β ] αρκεί να εφαρμόσουμε το ΘΜΤ για την f στο [ α, β ] Β Για να δείξουμε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( x) < ή ( x) f > κάνουμε τα εξής: Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f σε δύο διαστήματα [ α, x ] και [ x, β ] και βρίσκουμε ξ ( α, x) και ξ ( x, β ) τέτοια, ώστε f ( ξ) f ( ξ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f στο [ ξ, ξ ] και αποδεικνύουμε το ζητούμενο ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Η συνάρτηση f :[ αβ, ] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με f ( α ) > και f ( β ) = f ( β ) = Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) >, Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α β ] και παραγωγίσιμη στο (, ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( αβ), α β τέτοιο ώστε: f ( α) f ( β) f ( α) = ( β α) f ( ξ) f ( α) = ( β α) f ( ξ) f ( ξ) = β α 3 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ξ β ] και παραγωγίσιμη στο, ξ β Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( ξ, β ) ( α, β ) τέτοιο ώστε: f f α ( β ) f ( ξ) = ( β ξ) f ( ξ) = ( β ξ) f ( ξ) β α () Επειδή f α β α > ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ ξ< β, από () έπεται ότι ( β ξ ) f ( ξ) f ( ξ) > > Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο [, ] στο ( α, β ) τέτοια, ώστε f ( α ) = f ( β ) = και υπάρχει γ ( αβ, ) f ( γ ) < Να αποδειχθεί ότι υπάρχει x ( α, β ) f ( x ) > α β, δύο φορές παραγωγίσιμη με τέτοιο, ώστε α, β, δύο φορές παραγωγίσιμη στο γ β Οπό- Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ ] ( α, β ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την f στα διαστήματα [, ] τε υπάρχουν ξ ( αγ) και ξ ( γ β) τέτοια, ώστε:, ( γ) ( α) ( γ), f f f f ( ξ ) = = < γ α γ α f ( β) f ( γ) f ( γ) f ( ξ ) = = > β γ γ α αφού α γ και [, ] f γ < και γ α > f γ < και β γ > αφού (Αφού η f εί- α β ) Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ για την τέτοιο, ώστε: Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [ ξ, ξ] ( α, β) ναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο (, ) f στο [ ξ, ξ ] Οπότε υπάρχει ένα x ( ξ, ξ) f ( ξ) f ( ξ) f ( x ) = > f ( x ) > >, ιότι f ( ξ ), ξ ξ f ξ > και ξ ξ > ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 3
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ αα, ], α> και είναι f ( α ) f ( a) = a Αν η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α, α ) x ( α, α ) ισχύει f ( x), να δείξετε ότι f ( ) = = α, και για κάθε Η είναι συνεχής στο [ α,] και παραγωγίσιμη στο ( α,) θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( α,) f f α f f f + α ξ = ξ = α τέτοιο ώστε: α,α Από το θεώ- Η είναι συνεχής στο [,α ] και παραγωγίσιμη στο ρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (, α ) f ( α) f α f f ξ f ( ξ ) Από το τέτοιο ώστε: = = α α f x, οπότε και: Για κάθε x ( α, α ) ισχύει f ( ) + α α f α f ( ) f ( ) f ( ) f ξ f + α α α f + α α ξ α α α α α α f ( ) f ( ) = f ( ) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και για κάθε x [ α, β ] ισχύει f ( x) M Να δείξετε το: f ( β ) f ( α) + M ( β α) () Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] έπεται ότι η f είναι συνεχής στο ( α, β ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f ( β ) f ( α) = ( β α) f ( ξ) () Η () γίνεται: f ( β) f ( α) + M( β α) f ( β) f ( α) M( β α) ( β α) f ( ξ) M( β α) π f ( ξ) M x α, β f x M ου είναι αληθής γιατί για κάθε [ ] ισχύει 33 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
Ασκήσεις 3 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με f ( α ) f ( β) = f ( β) f ( α) και f ( x) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) f ( ξ ) > 3 Η συνάρτηση f :, [ ] είναι παραγωγίσιμη με ( ) f ( x ) > για κάθε x (,) Να δείξετε ότι υπάρχουν, x < x < ξ <, τέτοια ώστε ( ξ ) f ( ξ) = f ( ξ) και ξ f ( x ) f ( ξ ) 3 Η συνάρτηση f :5,6 [ ] είναι συνεχής στο [ ] στο ( 5,6 ) και για κάθε x ( 5,6) ισχύει f ( x) > Αν f δείξετε ότι η εξίσωση f ( x ) = έχει μοναδική ρίζα στο ( 5,6 ) f = και ξ με < 5,6 και παραγωγίσιμη 5 =, να 33 ίνεται συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [ 6,8 ], με και παραγωγίσιμη στο ( 6,8 ), με f ( x) x ( 6, 8) Να αποδείξετε ότι f ( 8) 4 f 6 =, για κάθε 34 Έστω μια συνάρτηση f η οποία είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] με f ( x) > για κάθε x [ α, β ] Αν υπάρχει x ( α β ) τέτοιο, ώστε f ( x ) = να δείξετε ότι Μέθοδος 6 (ΘΜΤ-Εφαπτομένη) ( α) f ( β) f + > x α x β, ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,6 ] και παραγωγίσιμη στο (,6 ) και είναι f ( 6) = 3 Να δείξετε ότι υπάρχει ξ (,6) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη της C f στο σημείο A( ξ, f ( ξ )) μα είναι κάθετη με την ευθεία ος τρόπος δ : y = x+ 9 34
Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,6 ] και παραγωγίσιμη στο (,6 ) Ε- πομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (,6) τέτοιο ώστε: f 6 f = 6 f ξ 3 5 = 4f ξ 8= 4f ξ f ξ = ος τρόπος,6 Για θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = f ( x) x η οποία ορίζεται στο [ ] την h έχουμε: Η h είναι συνεχής στο [,6 ] Η h είναι παραγωγίσιμη στο = 6 = 6 = 3 = 9 δηλα-,6 με h ( x) f ( x) h = f 4= 5 4= 9 και h f δή h = h( 6) Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,6) τέτοιο ώστε: ( ξ ) ( ξ) ( ξ) h = f = f = Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο ξ ορίζεται η εφαπτομένη στη = στο σημείο A ξ, f ( ξ ) η οποία έχει συντελεστή διεύθυνσης f ( ξ ) Επειδή σημείο A f ξ = = έπεται ότι η εφαπτομένη της ξ, f ξ είναι κάθετη με την ευθεία ( δ ): y = x+ 9 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 C f C f στο Η συνάρτηση f :,3 [ ] είναι παραγωγίσιμη με f = 4 και f ( 3) = 6 Να δείξετε ότι υπάρχει εφαπτομένη της C f η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη ορίζεται εφαπτομένη σε κάθε σημείο της C f Έστω Α ξ, f ( ξ ) σημείο τηςc f και ( ε ) η εφαπτομένη τηςc f στο Α, η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων Η ( ε ) έχει εξίσωση: y f ( ξ ) = f ( ξ)( x ξ) () Επειδή το σημείο (,) ε, από την() έπεται ότι: = = O ανήκει στην f ( ξ ) ξ f ( ξ) ξ f ( ξ) f ( ξ) 35 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι η εξίσωση xf ( x) f ( x) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [,3 ] f ( x) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = η οποία ορίζεται στο [,3 ] Για την h έχουμε: Η h είναι συνεχής στο [,3 ] x xf x f x Η h είναι παραγωγίσιμη στο(,3 ) με h ( x) = x f 4 f ( 3) 6 h = = = και h ( 3) = = = δηλαδή h = h( 3) 3 3 ξ,3 τέ- Από το θεώρημα Rolle έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ f ( ξ) f ( ξ) τοιο ώστε: h ( ξ) ξ f ( ξ) f ( ξ) = = = που ση- ξ ξ είναι ρίζα της εξίσωσης xf ( x) f ( x) = μαίνει ότι ο αριθμός (,3) Άρα υπάρχει ξ (,3) τέτοιο ώστε η εφαπτομένη στη C f στο σημείο A ξ, f ( ξ ) να διέρχεται από την αρχή των αξόνων Ασκήσεις ξ τέτοιο ώστε η εφαπτο- 35 Η συνάρτηση f :[,6] είναι παραγωγίσιμη με f ( ) = Να δείξετε ότι υπάρχει (,6) μένη στη C f στο σημείο A(, f ) y = x+ 5 f 6 = 8 και ξ ξ να είναι κάθετη στην ευθεία 36 Η συνάρτηση f :[ αβ, ] είναι παραγωγίσιμη στο [, ] f ( α ) = β και f ( β ) = α Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) ώστε η εφαπτομένη στη C f στο σημείο A(, f ) στην ευθεία y = x+ 5 α β με τέτοιο ξ ξ να είναι κάθετη 37 ίνεται συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο [, 3 ], για την οποία ισχύει f ( 3) = και f ( ) = 4 Να αποδείξετε ότι υπάρχει σημείο της γραφι- 36
κής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη να είναι παράλληλη στην ευθεία y = 4x Μέθοδος 7 (Εύρεση σχέσης μέσω ΘΜΤ) Όταν μας δίνεται να αποδείξουμε μία σχέση, τότε σχηματίζουμε τον λόγο μεταβολής και εφαρμόζουμε το ΘΜΤ σε κατάλληλο διάστημα ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 7 α β και δύο παραγωγίσιμη στο f x > Να δείξετε ότι υπάρ- Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] ( α, β ) και για κάθε x [ α, β ] ισχύει f ( ξ ) f ( α ) ( α β) f ( ξ ) χει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε = e f ( β ) Θεωρούμε τη συνάρτηση h( x) = ln f ( x) η οποία ορίζεται στο [ α, β ] Η h f ( x) είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) με h ( x) = f ( x) Επομένως, από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ αβ, τέτοιο ώστε: ( ξ ) ( ξ ) f h( α) h( β) = ( α β) h ( ξ) ln f ( α) ln f ( β) = ( α β) f f ( ξ ) f α f ξ f α ( α β) f ( ξ ) ln = ( α β) = e f β f ξ f β Ασκήσεις 38 ίνεται ότι η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [ α, β ] και παραγωγίσιμη στο ( α, β ) Να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε: f( β ) f( α ) f( ξ ) e e = ( β α) f ( ξ) e 37 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
39 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και για κάθε x [ α, β ] είναι f ( x) Αν f ( α ) = α f ( α), f ( β ) = β f ( β) και f ( x) g( x) =, να δείξετε ότι: f ( x) (α) Υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ώστε g ( ξ ) = (β) f ( ξ) f ( ξ) f ( ξ) f ( ξ) = + Μέθοδος 8 (Απόδειξη διπλών ανισοτήτων) Μετασχηματίζουμε τη διπλή ανισότητα έτσι ώστε στο κέντρο της να f β f α όπου f συνάρτηση που ορίζουμε σχηματιστεί η διαφορά εμείς Εφαρμόζουμε το ΘΜΤ στο (, ) f ( β ) f ( α ) f ( ξ ) = () β α Θέτουμε α ξ β α β και γράφουμε < < και μορφοποιούμε την παράσταση f ( ξ ) σχηματίζεται μία ανισότητα της μορφής Α < f ( ξ ) οπότε <Β (Εδώ μας βοηθάει και η μονοτονία της f )() f ξ από την () και αποδεικνύουμε τη ζητούμενη Θέτουμε στη () το σχέση ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 8 Αν α > β > να δείξετε ότι: (α) α β lnα ln β α < < β () α β ν νβ α β α ν β ν να ν α β (β) ( ) < < ( ) () (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ln [ β, α ] Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ β, α ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( β, α ) ν f x = x η οποία ορίζεται στο διάστημα 38
Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( βα, ) ώστε: ln ln τέτοιο f α f β = α β f ξ α β = α β (3) ξ Η σχέση () γίνεται: α β ( α β) α β < < < < β < ξ < α αληθής α ξ β α ξ β Επομένως α β lnα ln β α < < β με α > β > α β v (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) = x η οποία ορίζεται στο[ β, α ] Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [ β, α ] v Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( β, α ) με f ( x) = vx Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ ( βα, ) ώστε: ( α ) ( β) ( α β) ( ξ) α v β v ( α β) ξ v 39 τέτοιο f f = f = v (4) Η σχέση () γίνεται: ν ν ν ν ν ν νβ α β < α β νξ < να α β β < ξ < α ν ν ν ln β < lnξ < lnα ν ln β < ν lnξ < ν lnα ln β < lnξ < lnα β < ξ < α αληθής Επομένως ν ν ν ν νβ α β α β να ( α β) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 9 Να δείξετε ότι: e (α) < ln< e 5π π 3 (β) συν < + 8 36 < < με α > β > (α) Θεωρούμε τη συνάρτηση ln [,e ] Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο [,e ] f x = x η οποία ορίζεται στο διάστημα Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,e ) Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ (,e) τέτοιο ώ- στε: ( ) ln ln ( ) ln e f f e = e f ξ e= e = + () ξ ξ Η σχέση (α) λόγω της () γίνεται: e e e e e e e < + < < < < < ξ e ξ e ξ e < < < ξ < e e ξ αληθής (β) Θεωρούμε τη συνάρτηση Για την f έχουμε: Η f είναι συνεχής στο 5 π π, 8 3 5 π π Η f είναι παραγωγίσιμη στο, 8 3 f x = συν x η οποία ορίζεται στο 5 π π, 8 3 με f x = ημx 5 π π Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ, 8 3 τέτοιο ώστε: 5π π 5π π 5π π π f f = f ( ξ) συν συν = ( ημξ) 8 3 8 3 8 3 8 () 5π π π π συν = ημξ συν = ημξ + 8 8 8 8 Η σχέση (β) λόγω της () γίνεται: π 3 3 3 ημξ + < + π π ημξ < π ημξ < 8 36 8 36 αληθής, γιατί 5 π π < ξ < 8 3 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ π Αν < α β <, να δείξετε ότι: α β α εφα εφβ β () συν β συν α 4
Αν α = β, τότε η () γίνεται που ισχύει π Αν < α < β < θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) = εφx η οποία ορίζεται στο [ αβ, ], π Για την f έχουμε : Η f είναι συνεχής στο[ α, β ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( α, β ) με f ( x) = συν x ξ αβ, τέτοιο Από το θεώρημα της μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ώστε: f ( α) f ( β) = ( α β) f ( ξ) εφα εφβ = ( α β) () συν ξ Η σχέση () λόγω της () γίνεται: α β α β ( α β) συν β συν ξ συν α συν β συν ξ συν α συν β συν ξ συν α συν β συν ξ συν α συνβ συνξ συνα π και επειδή < α < ξ < β < συνβ > και συνα > και συνξ > έχουμε: συνβ συνξ συνα α ξ β αληθής ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ α+ β Αν α < β, να δείξετε ότι: e < e + e () α + β α+ β α β e e < e e () Η () x Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x) = e η οποία ορίζεται στο [, ] α β Η f εί- α + β ναι συνεχής στο α, x f ( x) = e α β α + β και παραγωγίσιμη στο α, με 4 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
α + β Από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ α, τέτοιο ώστε: α+ β α + β α + β f f α β α ξ ( α) = α f ( ξ ) e e = e (3) α + β α + β Η f είναι συνεχής στο, β και παραγωγίσιμη στο, β α + β Από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ξ, β τέτοιο ώστε: α+ β α + β α + β β β α f ξ ( β) f = β f ( ξ ) e e = e (4) Η () λόγω των (3) και (4) γίνεται: β α ξ β α e ξ e ξ e ξ < < e ξ < ξ αληθής ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Αν η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο με f γνησίως αύ- f + f 4 > f + f 3 ξουσα στο (,+ ) Να αποδείξετε ότι f 4 f 3 > f f Αρκεί αν δείξουμε ότι: Η συνάρτηση f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο άρα και στα διαστήματα [, ], [ ] 3, 4 Σε κάθε ένα από τα προηγούμενα διαστήματα εφαρμόζουμε το θεώρημα μέσης τιμής, οπότε έχουμε ότι: Στο διάστημα [, ] υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f f ( ) f ( ξ ) = = f f ( ) Στο διάστημα [ 3, 4 ] υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( 3, 4) τέτοιο, ώστε: f ( 4) f ( 3) f ( ξ ) = = f ( 4) f ( 3) 4 3 Το ξ (, ) και το ξ ( 3, 4) άρα: f ξ < ξ f ξ < f ξ f f < f 4 f 3 4
ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 3 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5 ] και παραγωγίσιμη στο (,5 ) με f ( ) = και για κάθε x (, 5) ισχύει < f ( x) < 3 Να δείξετε ότι: < f ( 5) < 4 () Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, 5 ] και παραγωγίσιμη στο (,5 ) Επομένως, από το θεώρημα μέσης τιμής έπεται ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ (,5) τέτοιο ώστε f ( 5) f ( ) = ( 5 ) f ( ξ ) f ( 5) = 4f ( ξ) f ( 5) = 4f ( ξ) + Η () γίνεται: < 4 f ( ξ ) + < 4 8 < 4 f ( ξ) < < f ( ξ) < 3 που < f x < 3 ισχύει γιατί για κάθε (,5) Ασκήσεις x είναι 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [,5 ] και παραγωγίσιμη στο (,5 ) με f ( ) = Αν για κάθε x (,5) είναι f ( x) <, να δείξετε ότι 5< f ( 5) < 5 4 Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, 4 ] και παραγωγίσιμη στο (, 4 ) και για κάθε x (, 4) ισχύει < f ( x) < Αν ( ) 5< f ( 4) < 8 4 Να αποδείξετε ότι για κάθε x >, ισχύει: f =, να δείξετε ότι x + < ln < x + x x 43 Αν x, να αποδείξετε ότι: ln < ln( ln ( x + ) ) ln( ln x) < x+ ln x ( x + ) x 44 Έστω f συνεχής και παραγωγίσιμη συνάρτηση στο και έστω ότι η f είναι γνησίως αύξουσα Να αποδείξετε ότι f 4 + f 5 < f 3 + f 6 43 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
45 Η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [ α, δ ] και α < β γ < δ με α + δ = β + γ Να αποδείξετε ότι f α + f δ < f β + f γ x x x x 46 Να λύσετε την εξίσωση 9 + 3 = 5 + 7 π 47 Αν < α < β < να δείξετε ότι: (α) β α β < σφα σφβ < α (γ) εφα < α ημ β ημα εφβ β ln συνα ln συνβ (β) εφα < < εφβ β α 48 Αν α < β, να δείξετε ότι : (α) β α α β ln< < ln β α 49 Για κάθε x, y να δείξετε ότι: (α) ημx ημy x y (β) 5 Για κάθε x, y να δείξετε ότι: (α) x ln y + x y + (β) e α ( β α) < e β e α < e β ( β α) (β) συν x συν y x y x ln e + x y y e + π 5 Αν < x y <, να δείξετε ότι ( y x) συν y ημy ημx ( y x) συν x 5 Αν < x < y <, να δείξετε ότι xσυν x yσυν y < x y 53 Να δείξετε ότι για κάθε x, y ισχύει x + α y + α x y 44
Μέθοδος 9 (Συνδυασμός ΘΜΤ με όρια) ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 ίνεται η συνάρτηση f, παραγωγίσιμη στο, για την οποία ισχύει f x x lim f x =+ +, για κάθε x Να αποδείξετε ότι x + Η συνάρτηση f είναι συνεχής στο άρα και στο [, x ] Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο άρα και στο [, x ] Επομένως βάσει του θεωρήματος μέσης τιμής, υπάρχει ξ (, x) τέτοιο, ώστε: f ( x) f ( ) f ( x) f ( ) f ( ξ) = f ( ξ) = x x Επειδή f ( x) x +, για κάθε x, έχουμε: f ( x) f ( ) f ( ξ) ξ + ξ + f x ξ + x+ f x Επειδή ξ + > είναι lim f ( x) = lim ( ξ + ) x+ f ( ) =+ Ασκήσεις x + x + 54 Αν για κάθε x ισχύει f ( x) M <, να αποδείξετε ότι: (α) f ( x) x M + f ( ) αν x > (β) f ( x) x M + f ( ) αν x < (γ) lim f ( x) = x + (δ) lim f ( x) =+ x (ε) η f είναι αντιστρέψιμη 55 Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο [,+ ) με f γνησίως φθίνουσα (α) Να δείξετε ότι: f ( x ) f ( x) f ( x) f ( x) f ( x ) (β) Αν lim να δείξετε ότι lim f ( x) = f x x + < <, x x 45 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
ιάφορες εφαρμογές στο θεώρημα μέσης τιμής Ασκήσεις 56 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο Αν υπάρχει ε- φαπτόμενη ( ε ) της C f η οποία έχει με την σημεία, να αποδείξετε ότι: (α) η f δεν είναι ένα προς ένα (β) υπάρχει x με f ( x ) = C f δύο τουλάχιστον κοινά 57 Η συνάρτηση f :, [ ] x (, a) ισχύει f ( x) θ, θ > Αν για κάθε x [, a] f ( x) f ( ξ ) με ξ (,a) να δείξετε ότι f ( ) + f ( α ) αθ a είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και για κάθε ισχύει 58 Η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο διάστημα [ α, β ] και f ( x) για κάθε x [ α, β ] Αν f ( α ) = α f ( α) και f ( β ) = β f ( β) να αποδείξετε ότι υπάρχει x ( α, β ) τέτοια, ώστε f ( x) f ( x) = ( f ( x) ) + ( f ( x) ) Να αποδείξετε ότι υπάρ- 59 Η συνάρτηση f :, [ ] είναι παραγωγίσιμη στο διάστημα [ ] f ( ) = και f ( x ) > για κάθε x (,) χουν x και ξ με < x < ξ <, ώστε ( ξ ) f ( ξ) f ( ξ) ξ f ( x ) < f ( ξ ),, με = και 6 Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσημη στο [,5 ] και ισχύει και f ( x) x για κάθε x [, 5], να αποδείξετε ότι: (α) x( x ) + 7 f ( x) x( x ) + 7, (β) 5 f ( 4) 9 f = 7 6 ίνεται η συνάρτηση f, η οποία είναι παραγωγίσιμη στο με f ( x) για κάθε x και της οποίας η γραφική παράσταση C f διέρχεται από τα σημεία A(,) και B(,7) 46
(α) Να δειχθεί ότι η f αντιστρέφεται (β) Να λυθεί η εξίσωση f f ( x ) 6+ 8 = (γ) Να αποδειχθεί ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο της C f, στο οποίο η εφαπτομένη της C f είναι κάθετη στην ευθεία x + y 7= 6 Έστω η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f : < α < β, ώστε f ( α) ότι: = β, f ( β ) και οι αριθμοί = α και f ( α + β ) = Να δείξετε (α) υπάρχει x ( α, β ), ώστε f ( x) = x, (β) υπάρχουν ξ, ξ ( α, β), με ξ < ξ, ώστε f f (γ) η εξίσωση f ( x) = έχει λύση στο ( α, α + β) (ξ ) ξ = ξ >, 63 Η συνάρτηση f :[ αβ, ] είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο ( α, β ) και συνεχής με f ( α ) = f ( β ) = Να αποδείξετε ότι: (α) αν υπάρχει x ( α, β ) με f ( x ) >, τότε υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) < (β) αν υπάρχει x ( α β ) με f ( x ) <, τότε υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο, ώστε f 64 Θεωρούμε συνάρτηση f παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο στο [, ] Για την f ισχύουν: 7 () f () = f () f ( ) > 4 Να αποδείξετε ότι: = (α) Υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, ) τέτοιο ώστε f ( x) x (β) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, ) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = 4ξ 65 Θεωρούμε τη συνάρτηση f ( x ), x [,] με τιμές στο [ ] παραγωγίσιμη και ισχύει f ( x) για κάθε x [,] ότι υπάρχει μοναδικό ξ [,] ώστε f ( ξ ) = ξ,4, που είναι Να αποδείξετε 47 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
66 Μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) με f ( ) = α, α > και f ( ) = (α) Αποδείξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα x (,) ώστε f ( x) = α x (β) Αποδείξτε ότι υπάρχει x, x (,), ώστε f ( x ) f ( x ) = α 67 ίνεται συνάρτηση f :[, ] f ( α ) = f ( β ) = και f ( x ) > για κάθε x ( α, β ) υπάρχει x ( α β ) με f ( x ), αβ, δύο φορές παραγωγίσιμη με Να αποδείξετε ότι 68 ίνεται συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, e ] με f ( e) = e+ και σύνολο τιμών το [, 4] Να αποδείξετε ότι: (α) Υπάρχουν τουλάχιστον δύο τιμές x, x (, e) με x x f ( x) = f ( x) = (β) Υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (, e) τέτοιο ώστε f ( ξ ) = (γ)υπάρχει τουλάχιστον ένα x (, e) τέτοιο ώστε: 4 f ( x ) f ( x ) 4 f ( x ) = x f =, ώστε (γ) Η ευθεία y = x+ e+ τέμνει την γραφική παράσταση της f σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη c (, e) (δ) Υπάρχουν ξ, ξ (,e ) με ξ ξ τέτοιοι ώστε να ισχύει: f ξ f ξ = 69 Α Υποθέτουμε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και ισχύουν f ( α ) >, f ( β ) < (α) ικαιολογήστε γιατί υπάρχει ξ ( αβ, ) στο οποίο η f παίρνει μέγιστη τιμή = (β) Αποδείξτε ότι f ( ξ ) Β Υποθέστε τώρα ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο [ α, β ] και ισχύει f ( α ) f ( β ) < Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ( αβ, ) τέτοιο ξ = ώστε f 48
Γ Αν για μια συνάρτηση f ισχύει f ( x) τα επόμενα: f x (α) > για κάθε x Δ ή f ( x) για κάθε x Δ, αποδείξτε < για κάθε x Δ (β) Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον x x άξονα το πολύ σε ένα σημείο 7 Έστω f :(, + ), δύο φορές παραγωγίσιµη στο,+ και υπάρχουν α, βγ>, µε α β γ f ( γ ) = γ Να αποδείξετε ότι: < < τέτοια ώστε f ( α ) = α, f β = β, (α) Υπάρχουν κλ>, τέτοια ώστε f ( κ ) = κ f ( κ), f ( λ ) λf ( λ) (β) Αν η ευθεία που περνά από τα Α κ, f ( κ ), λ, f ( λ ) = Β περνάει και από την αρχή των αξόνων, δείξτε ότι υπάρχει x > τέτοιος ώστε f ( x ) = 7 Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη και παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα της α + με lim f ( x) = λ Να αποδείξετε ότι: μορφής (, ) x + f( x+ ε ) f( x) (α) lim = λ για κάθε ε > x + ε (β) αν επιπλέον ισχύει ότι lim f( x) κ, κ, +, τότε λ = x + = 7 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [,] με f ( x) για κάθε x [,] Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν ξ, ξ με ξ ξ και f ( ξ ) (β) Υπάρχει ξ ( ξ, ξ ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) f ξ < < < < και ισχύει ξ ξ 73 ίνεται η παραγωγίσιμη στο διάστημα [ a, β ] συνάρτηση f ώστε: f ( a) f ( β ) + a + β = aβ (α) Να δείξετε ότι υπάρχει x ( a, β ) ώστε: f ( x ) = (β) Να δείξετε ότι υπάρχουν ξ, ξ ( a, β) ξ x ξ με < <, ώστε: 49 Μουρατίδης Χρ Τζουβάλης Αθ
f ( ξ) f ( ξ) > (γ) Αν f ( a ) >, να δείξετε ότι υπάρχει ξ ( a, β ) : f ( ξ ) (δ) Υπάρχει περίπτωση να ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος a, β ; Ισχύει το ίδιο διαστή- Rolle για τη συνάρτηση f στο διάστημα [ ] ματα υποσύνολα του [ a, β ]; 74 Έστω μια συνάρτηση f δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με f ( ) + f = f ( ) Να δείξετε ότι: (α) Υπάρχουν ξ, ξ (,) με ξ < ξ τέτοια ώστε f ( ξ) = f ( ξ) + f ( ) (β) Αν f ( x) για κάθε x (,), τότε f ( ) < 5