Metoa končnih elementov I Metoo končnih elementov (MKE uporabljamo pri praktičnem inženirskem in pri znanstvenoraziskovalnem elu najpogosteje. Spaa me variacijske metoe in jo je nekoliko težje razumeti kot MKD. Uporabljamo jo lahko tako za reševanje parcialno iferencialnih enačb, kot tui za reševanje integralskih enačb. Princip elovanja metoe je v minimalizaciji funkcionala I: I ( y( f (, y, y Po minimizacijo funkcionala je mišljeno, a iščemo takšno funkcijo y(, a bo imel zgornji integral minimalno vrenost. Metoa končnih elementov Znano je, a vsi naravni sistemi zavzamejo takšno stanje, a vsebujejo minimalno količino energije, kar pomeni, a lahko vsebovano energijo vzamemo kot funkcional. Možne so naslenje efinicije funkcionala:. Količina energije v prostoru. Bubnov-Galerkinova formulacija funkcionala. Funkcional povprečne vrenosti kvaratov Soobnim inženirjem ni potrebno imeti poglobljenega znanja o metoi končnih elementov, saj MKE ne programirajo sami, pač pa uporabljajo programe za izračun polj, ki so na voljo na tržišču programske opreme, ali pa so prosto obavljivi. Metoa končnih elementov I Bistvo MKE bi lahko strnili v naslenje točke:. Obravnavano območje razelimo na majhne, preproste koščke, ki jih imenujemo končni elementi.. Znotraj vsakega končnega elementa aproksimiramo iskano funkcijo y( z neko preprosto funkcijo u(.. Ta preprosta funkcija je ovisna o vrenosti iskane funkcije v vozliščih. 4. Izračunamo približno vrenost funkcionala tako, a integriramo funkcijo u( znotraj vseh elementov in elne integrale seštejemo. 5. Približna vrenost funkcionala je ovisna le o vrenosti neznane funkcije v vozliščih, zato spreminjamo vrenosti potenciala (variiramo toliko časa, a osežemo minimalno vrenost funkcionala.
Metoa končnih elementov I Obstajajo naslenje vrste problemov glee na razsežnost problema:. Enoimenzionalni (D.. Dvoimenzionalni (D. Triimenzionalni (D 4. Rotacijsko simetrični problemi, ki so posebni primeri D problemov in jih lahko eksaktno obravnavamo ko D probleme. 4 Metoa končnih elementov Pri enoimenzionalnih (D problemih je vrenost funkcionala ovisna o ene spremenljivke, npr. porazelitev potenciala me ploščama konenzatorja, kjer je me ploščama nelinearni ielektrik. Po ostalih veh imenzijah se konfiguracija ne spreminja o neskončnosti. Enoimenzionalni elementi, ki jih uporabljamo so naslenji: 5 Metoa končnih elementov I Pri voimenzionalnih (D problemih je vrenost funkcionala ovisna o veh spremenljivk. eliko praktičnih problemov rešujemo na ta način npr. prečni prerezi rotacijskih strojev. Po tretji imenziji - običajno z - se konfiguracija ne spreminja o neskončnosti. Dvoimenzionalni elementi, ki jih najpogosteje uporabljamo so naslenji: 6
Metoa končnih elementov Pri triimenzionalnih (D problemih je vrenost funkcionala ovisna o treh spremenljivk. si problemi so ejansko takšni, ker se konfiguracija spreminja po vseh imenzijah, venar jih zarai intenzivnosti računanja poizkušamo reševati kot D probleme. Poleg tega so tui programi za izračun D polj precej ragi. Triimenzionalni elementi, ki jih najpogosteje uporabljamo so naslenji: 7 Metoa končnih elementov I Za olajšanje razumevanja napravimo preprost zgle. zemimo plošči konenzatorja s površino S m, razalja me ploščama, mm. Me ploščama sta va ielektrika, prvi ima ebelino, mm, relativno ielektričnost r, rugi pa ima ebelino, mm in relativno ielektričnost r. Ker je razalja me ploščama zelo majhna glee na površino, lahko problem obravnavamo kot enoimenzionalni. Izračunajmo porazelitev potenciala me ploščama. Leva plošča naj bo ozemljena, na konenzatorju naj bo napetost. 8 Metoa končnih elementov IX Klasični pristop, kakršen je bil poan pri premetu Osnove elektrotehnike je bil naslenji:. Jasno je, a je potencial znotraj posameznega ielektrika razporejen linearno, saj nobena točka ni nikakor olikovana.. Meja ielektrika je ekvipotencialna ploskev, ki jo lahko okovinimo. Potencial te ploskve je neznan.. Tako nastaneta va konenzatorja C in C, ki sta vezana zaporeno. 4.Če nobeen o konenzatorjev na začetku ni bil naelektren, je na obeh konenzatorjih enak naboj, saj smo ju naelektrili z istim tokom 9
Metoa končnih elementov X Naomestno vezje je naslenje: Kapacitivnosti izračunamo z enačbama: rs C r S C Naboj na prvem konenzatorju znaša: Q C U Naboj na rugem konenzatorju pa: Q C U Metoa končnih elementov XI Ker je naboj na obeh konenzatorjih enak, velja: C U CU rs rs ( ( r r r r r r r r r,,, 48,57 Metoa končnih elementov X Seaj izračunajmo vrenost potenciala še z metoo končnih elementov. Za funkcional bomo uporabili energijo, ki jo vsebuje konenzator. Potencial bomo aproksimirali z vema enoimenzionalnima elementoma. Potencial je znan v vozliščih in, v vozlišču pa neznani potencial označimo z. Znotraj vsakega elementa aproksimiramo porazelitev potenciala s premico, tako, a poteka premica skozi vrenosti potenciala v vozliščih. 4
Metoa končnih elementov XI treh vozliščih so znane tri točke potenciala: ozlišče Točka (, (, (, Razporeitev potenciala v posameznem končnem elementu je naslenja: I ( ( ( Metoa končnih elementov XI Gostota energije znaša v splošnem: ( E ( gra w ( w I I ( I wi w ( ( ( 4 Metoa končnih elementov X Izračun funkcionala: W ( I w I w W ( wi S w S ( ( ( I W S W ( I S ( ( ( ( ( ( I W S 5 5
Metoa končnih elementov XI Narušimo krivuljo energije v ovisnosti o potenciala :,,8,6,4,,,8,6,4,, 4 6 8 6 Metoa končnih elementov X ieli smo, a ima energija pri različnih vrenostih potenciala različne vrenosti. Na grafu viimo, a obstaja minimum energije. Točka minimuma je pravilna rešitev problema, zato poiščimo minimum. W ( I ( I S S ( Ovo izenačimo z : I ( S ( I ( ( ( ( 7 Metoa končnih elementov XI Enačbo ureimo: I ( ( I ( ( r r ( ( (,, r r r r ( (, (,, 48,57 8 6
Metoa končnih elementov XI iimo, a smo z metoo končnih elementov obili natančno enako vrenost za neznani potencial, kot smo jo obili analitično. To je sevea posebni primer, ker je potencial znotraj posameznega ielektrika porazeljen linearno. Običajno pa rezultati, ki jih obimo z MKE ostopajo o eksaktnih vrenosti. 9 7