ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία
8.1 Η Φύση των Ψευδομεταβλητών Οι μεταβλητές που παίρνουν τιμές 0 και 1 ονομάζονται ψευδομεταβλητές (dummy variables). Αυτές οι μεταβλητές είναι συνεπώς και κατ ουσία, ένα εργαλείο για την ταξινόμηση στοιχείων σε αμοιβαία αποκλειόμενες κατηγορίες όπως αρσενικό ή θηλυκό. Οι ψευδομεταβλητές μπορούν να ενσωματωθούν σε υποδείγματα παλινδρόμησης τόσο εύκολα όσο και οι ποσοτικές μεταβλητές. Στην πραγματικότητα, ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης μπορεί να περιέχει παλινδρομητές οι οποίοι είναι όλοι ψευδομεταβλητές ή ποιοτικές μεταβλητές, στη φύση τους. Οικονομετρία 2
8.1 Η Φύση των Ψευδομεταβλητών Σε αρκετές οικονομετρικές εφαρμογές ο ερευνητής υποχρεώνεται να λάβει υπόψιν διάφορους ποιοτικούς παράγοντες όπως το θρήσκευμα, το φύλο, η εθνικότητα, η εκπαίδευση, η γεωγραφική περιοχή, τα πολιτικά κόμματα, οι περίοδοι πολέμων, κλπ., που επηρεάζουν τη συμπεριφορά της εξαρτημένης μεταβλητής Υ. Οι ψευδομεταβλητές μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν για να παραστήσουν όχι μόνο παράγοντες που δεν μπορούν να μετρηθούν, αλλά και παράγοντες ή χαρακτηριστικά που μπορούν να μετρηθούν, όπως π.χ. ηλικία, έτη φοίτησης κλπ. Επιπλέον, σε ένα υπόδειγμα παλινδρόμησης και η ίδια η εξαρτημένη μεταβλητή μπορεί να παριστάνεται με ψευδομεταβλητή. Οικονομετρία 3
Ανάλυση διαχρονικών επιδράσεων: πώς επηρεάζονται διάφορες οικονομικές συναρτήσεις διαχρονικά. Έστω η ακόλουθη συνάρτηση κατανάλωσης της ελληνικής οικονομίας για το χρονικό διάστημα 1920-2005: Y t = β 0 + β 1 X t + u t όπου Υ: κατανάλωση και Χ: εισόδημα Ως γνωστόν, κατά τη διάρκεια της περιόδου 1940-1949, η ελληνική οικονομία συγκλονίστηκε από τη λαίλαπα του Β Παγκοσμίου Πολέμου και την τραγική φάση του εμφυλίου πολέμου. Οι ειδικές συνθήκες που χαρακτηρίζουν την οικονομία σε περίοδο πολέμου οπωσδήποτε έχουν επιπτώσεις στη συμπεριφορά των δαπανών κατανάλωσης. Για την εκτίμηση, επομένως, της συνάρτησης κατανάλωσης θα πρέπει να ληφθεί υπόψη αν η περίοδος είναι πολεμική ή ειρηνική. Οικονομετρία 4
Η μεταβολή της συνάρτησης κατανάλωσης από τη μια περίοδο στην άλλη μπορεί να αναφέρεται μόνο στο σταθερό όρο ή να αναφέρεται μόνο στην κλίση ή και στα δύο. 1 η περίπτωση: επιπτώσεις στο σταθερό όρο (αυτόνομη κατανάλωση). Y t = β 0 + γd t + β 1 X t + u t (1) όπου D t = 1 για τα έτη πολέμου (1940-1949) και D t = 0 για τα έτη ειρήνης. Για την περίοδο ειρήνης θα ισχύει: Y t = β 0 + β 1 X t + u t Ενώ, για την περίοδο πολέμου: Y t = (β 0 + γ) + β 1 X t + u t Ο συντελεστής της ψευδομεταβλητής (γ) αντανακλά τη διαφορά ανάμεσα στο σταθερό όρο της περιόδου πολέμου και στο σταθερό όρο της περιόδου ειρήνης. Οικονομετρία 5
Το υπόδειγμα (1) μπορεί να εκτιμηθεί με την κλασική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και να γίνει έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας της παραμέτρου γ. Παράδειγμα: δίνονται οι εκτιμήσεις του υποδείγματος για την περίοδο 1920-2005 με τα t-statistics στις παρενθέσεις. Y t = 27,35 (2,77) 74,61D t + 0,84 ( 4,48) (5,98) Χ t και R 2 = 0,97 Παρατηρούμε ότι σε επίπεδο σημαντικότητας 5% οι συντελεστές είναι στατιστικά σημαντικοί. Άρα, σε περιόδους ειρήνης η αυτόνομη κατανάλωση είναι 27,35 ενώ σε περιόδους πολέμου 27,35-74,61=-47,26. Η περίοδος πολέμου μειώνει σημαντικά την κατανάλωση. Οικονομετρία 6
2 η περίπτωση: επιπτώσεις στην κλίση (οριακή ροπή προς κατανάλωση). Y t = β 0 + β 1 X t + δd t X t + u t (2) όπου D t = 1 για τα έτη πολέμου και D t = 0 για τα έτη ειρήνης. Για την περίοδο ειρήνης θα ισχύει: Y t = β 0 + β 1 X t + u t Ενώ, για την περίοδο πολέμου: Y t = β 0 + (β 1 +δ)x t + u t Ο συντελεστής της ψευδομεταβλητής (δ) αντανακλά τη διαφορά ανάμεσα στην οριακή ροπή προς κατανάλωση της περιόδου πολέμου και της περιόδου ειρήνης. Το υπόδειγμα (2) μπορεί να εκτιμηθεί με την κλασική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και να γίνει έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας της παραμέτρου δ. Οικονομετρία 7
Παράδειγμα: δίνονται οι εκτιμήσεις του υποδείγματος για την περίοδο 1920-2005 με τα t-statistics στις παρενθέσεις. Y t = 25,22 (3,75) + 0,80X t 0,27 D t Χ t και R 2 = 0,92 (4,29) ( 3,65) Παρατηρούμε ότι σε επίπεδο σημαντικότητας 5% οι συντελεστές είναι στατιστικά σημαντικοί. Άρα, σε περιόδους ειρήνης η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι 0,80 ενώ σε περιόδους πολέμου 0,80-0,27=0,53. Η περίοδος πολέμου μειώνει σημαντικά την οριακή ροπή προς κατανάλωση. Οικονομετρία 8
3 η περίπτωση: επιπτώσεις στον σταθερό όρο (αυτόνομη κατανάλωση) και στην κλίση (οριακή ροπή προς κατανάλωση). Y t = β 0 + β 1 X t + γd t + δd t X t + u t (3) όπου D t = 1 για τα έτη πολέμου και D t = 0 για τα έτη ειρήνης. Για την περίοδο ειρήνης θα ισχύει: Y t = β 0 + β 1 X t + u t Ενώ, για την περίοδο πολέμου: Y t = (β 0 + γ) + (β 1 +δ)x t + u t Οι συντελεστές των ψευδομεταβλητών (γ, δ) αντανακλούν τη διαφορά ανάμεσα στο σταθερό όρο και στην κλίση της περιόδου πολέμου και της περιόδου ειρήνης. Το υπόδειγμα (3) μπορεί να εκτιμηθεί με την κλασική μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και να γίνει έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας των παραμέτρων γ και δ. Οικονομετρία 9
Παράδειγμα: δίνονται οι εκτιμήσεις του υποδείγματος για την περίοδο 1920-2005 με τα t-statistics στις παρενθέσεις. Y t = 22,15 (1,73) + 0,79X t 48,72D t (3,97) ( 2,75) 0,25 D t Χ t και R 2 = 0,89 ( 3,14) Παρατηρούμε ότι σε επίπεδο σημαντικότητας 5% οι συντελεστές είναι στατιστικά σημαντικοί. Άρα, σε περιόδους ειρήνης η αυτόνομη κατανάλωση είναι 22,15 και η οριακή ροπή προς κατανάλωση 0,79. Ενώ σε περιόδους πολέμου η αυτόνομη κατανάλωση είναι 22,15-48,72=-26,57 και η οριακή ροπή προς κατανάλωση είναι 0,79-0,25 = 0,54. Οικονομετρία 10
Ανάλυση εποχικών επιδράσεων: πώς επηρεάζονται διάφορες οικονομικές συναρτήσεις λόγω εποχικότητας. Έστω ότι η τριμηνιαία μεταβλητή Υ αντιστοιχεί στα έσοδα της Ελλάδας από εξαγωγές και η Χ στο ρυθμό πληθωρισμού ανά τρίμηνο. Αν θέλουμε να εξετάσουμε και την επίδραση των εποχικών παραγόντων στη συμπεριφορά των εσόδων από εξαγωγές θα έπρεπε να εκτιμηθεί το ακόλουθο υπόδειγμα: Y t = β 0 + β 1 X t + γ 1 D 1t + γ 2 D 2t + γ 3 D 3t + u t, όπου D 1t = 1 για το πρώτο τρίμηνο και D 1t = 0 αλλού D 2t = 1 για το δεύτερο τρίμηνο και D 2t = 0 αλλού D 3t = 1 για το τρίτο τρίμηνο και D 3t = 0 αλλού Οικονομετρία 11
Το σημείο αναφοράς εδώ είναι το τέταρτο τρίμηνο. Συγκεκριμένα: Για το πρώτο τρίμηνο: Y t = (β 0 + γ 1 )+ β 1 X t + u t Για το δεύτερο τρίμηνο: Y t = (β 0 + γ 2 )+ β 1 X t + u t Για το τρίτο τρίμηνο: Y t = (β 0 + γ 3 )+ β 1 X t + u t Για το τέταρτο τρίμηνο: Y t = β 0 + β 1 X t + u t Δηλαδή, ο σταθερός όρος β 0 αντιστοιχεί στο σταθερό όρο του τέταρτου τριμήνου ενώ οι συντελεστές γ 1, γ 2, γ 3, των ψευδομεταβλητών αντιστοιχούν στη διαφορά ανάμεσα στο σταθερό όρο του τέταρτου τριμήνου και στο σταθερό όρο των υπολοίπων τριμήνων αντίστοιχα. Οικονομετρία 12
Αλληλεπίδραση ψευδομεταβλητών: οι επιδράσεις που ασκούν στην εξαρτημένη μεταβλητή οι ποιοτικές μεταβλητές μπορεί να μην είναι μόνο προσθετικές αλλά μπορεί να αλληλοσυνδέονται, οπότε υπεισέρχονται στο υπόδειγμα και πολλαπλασιαστικά. Έστω το εξής υπόδειγμα: Y i = β 0 + β 1 X i + γ 1 D 1i + γ 2 D 2i + u i όπου Y = ωρομίσθιο σε δολάρια, X = προϋπηρεσία (έτη) D 1i = 1, εάν είναι άνδρας, 0 σε διαφορετική περίπτωση D 2i = 1 εάν γνωρίζει ξένες γλώσσες, 0 σε διαφορετική περίπτωση Παρατηρούμε ότι αν η αμοιβή είναι υψηλότερη για τον εργαζόμενο που γνωρίζει ξένες γλώσσες ισχύει είτε είναι άνδρας είτε γυναίκα. Οικονομετρία 13
Στην πραγματικότητα όμως, μπορεί η αμοιβή να είναι υψηλότερη για τον άνδρα που γνωρίζει ξένες γλώσσες από ότι είναι για τη γυναίκα. Μπορούμε, επομένως, να υποθέσουμε ότι υπάρχουν και επιπτώσεις αλληλεπίδρασης και να εκτιμηθεί το υπόδειγμα: Y i = β 0 + β 1 X i + γ 1 D 1i + γ 2 D 2i + γ 3 D 1i D 2i + u i Έτσι, αν είναι άνδρας που γνωρίζει ξένες γλώσσες θα ισχύει: Y i = (β 0 + γ 1 + γ 2 + γ 3 ) + β 1 X i + u i Ενώ αν είναι γυναίκα χωρίς ξένες γλώσσες: Y i = β 0 + β 1 X i + u i Οικονομετρία 14
Προσοχή στη Χρήση των Ψευδομεταβλητών Ας εξετάσουμε το εξής υπόδειγμα: Y i = β 0 + β 1 X i + γ 1 D 1i + γ 2 D 2i + u i όπου Y = ωρομίσθιο σε δολάρια, X = προϋπηρεσία (έτη) D 1i = 1, εάν είναι άνδρας, 0 σε διαφορετική περίπτωση D 2i = 1 εάν είναι γυναίκα, 0 σε διαφορετική περίπτωση Κατά το σχηματισμό της παραπάνω εξίσωσης όπου υπάρχει μία ψευδομεταβλητή για κάθε κατηγορία ή ομάδα καθώς και ένας σταθερός όρος, εμφανίζεται μία περίπτωση τέλειας πολυσυγγραμμικότητας (perfect collinearity), δηλαδή, τέλεια γραμμική σχέση μεταξύ των μεταβλητών, καθώς: D 1i + D 2i =1 Οικονομετρία 15
Προσοχή στη Χρήση των Ψευδομεταβλητών Αν μία ποιοτική μεταβλητή έχει m κατηγορίες, εισάγουμε μόνο (m - 1) ψευδομεταβλητές. Στο παράδειγμά μας, δεδομένου ότι η ποιοτική μεταβλητή «φύλο» έχει δύο κατηγορίες, εισαγάγουμε μόνο μία ψευδομεταβλητή. Εάν δεν ακολουθήσουμε αυτόν τον κανόνα, θα υποπέσουμε σε αυτό που ονομάζεται η παγίδα των ψευδομεταβλητών (dummy variable trap), δηλαδή, στην κατάσταση της τέλειας πολυσυγγραμμικότητας. Οικονομετρία 16