Σηµειώσεις για το µάθηµα ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ιδάσκων: Π. Τσικούρας

Σηµειώσεις για το µάθηµα ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ιδάσκων: Π Τσικούρας ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ 010

Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή 3 υναµικά Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων 5 1 Συµβολισµοί 5 Γραµµική διαφορική εξίσωση (Γ Ε) τάξης n 5 3 Γενική µορφή συστήµατος n Γ Ε πρώτης τάξης 8 4 Λύση συστήµατος οµογενών Γ Ε πρώτης τάξης, µε σταθερούς συντελεστές 8 41 Σύστηµα οµογενών Γ Ε µε διακεκριµένες πραγµατικές ιδιοτιµές 9 4 Σύστηµα n οµογενών Γ Ε µε πραγµατικές ιδιοτιµές, µε άθροισµα γεωµετρικών πολλαπλοτήτων ίσο µε n 13 43 Σύστηµα οµογενών Γ Ε µε σταθερούς συντελεστές και µιγαδικές ιδιοτιµές 14 5 Σηµεία ισορροπίας - Ευστάθεια 19 3 Εξισώσεις ιαφορών - ιακριτά υναµικά Συστήµατα 1 31 Γεωµετρική (γραφική) µέθοδος χαρακτηρισµού των σηµείων ισορροπίας 3 3 Περιοδικότητα 8 33 ιακλαδώσεις 9 4 Μη Γραµµικά υναµικά Συστήµατα 30 41 Σηµεία ισορροπίας - Ευστάθεια (σε µη γραµµικά δυναµικά συστήµατα) 3

1 Εισαγωγή Νεύτωνας (περίπου 1700): Η κίνηση οποιουδήποτε σώµατος είναι δυνατόν να περιγραφεί µε µια εξίσωση που περιλαµβάνει τη ϑέση, την ταχύτητα και την επιτάχυνσή του, αν είναι γνωστή η δύναµη που ασκείται σε αυτό Laplace (περίπου 1800): Αν ένα ον γνώριζε, σε µια συγκεκριµένη στιγµή όλες τις δυνάµεις της ϕύσης, καθώς και τις ϑέσεις και τις ταχύτητες των σωµάτων που υπάρχουν στο Σύµπαν, ϑα είχε πλήρη γνώση του παρελθόντος και του µέλλοντος κάθε αντικειµένου (Η ισχύς των νόµων της ϕυσικής είναι παγκόσµια, και οι µαθηµατικές εξισώσεις που περιγράφουν αυτούς τους νόµους είναι δυνατόν να λυθούν ακριβώς Άρα, η έννοια της πιθανότητας οφείλεται µόνο στην ατελή γνώση των νόµων και των αρχικών συνθηκών του Σύµπαντος) Πουανκαρέ (περίπου 1900): Υπαρξη χαοτικών κινήσεων (δηλαδή κινήσεων των οποίων δεν µπορούµε να προβλέψουµε την εξέλιξη) ακόµη και στα απλούστερα συστήµατα της κλασικής µηχανικής (Ποιοτικοί συλλογισµοί, όχι ποσοτική αίσθηση, όχι σχήµατα, όχι πειράµατα) Η άποψή του δεν έγινε αποδεκτή στην εποχή της Περίπου 1950: Προσπάθεια επίλυσης σχετικών προβληµάτων µε χρήση Η/Υ Lorenz (µετεωρολόγος) (1963): Προσπάθησε να λύσει τις εξισώσεις του απλούστερου δυνατού µοντέλου περιγραφής της ατµόσφαιρας Μετά προχώρησε σε πιο πολύπλοκα µοντέλα, εισάγοντας επιπλέον λεπτοµέρειες Οι λύσεις που υπολόγιζε ο Lorenz δεν ταίριαζαν µε την πραγµατικότητα όσον αφορούσε στην ατµόσφαιρα, διότι ακόµα και µικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες οδηγούσαν σε τελείως διαφορετικές καταστάσεις της ατµόσφαιρας (Το ξεκίνηµα της ϑεωρίας του χάους στη σύγχρονη εποχή) Στα χρόνια που ακολούθησαν την εργασία του Lorenz, η ϑεωρία του χάους αναπτύχθηκε αλµατωδώς, ϐασισµένη τόσο σε πειράµατα (είτε πραγµατικά, είτε προσοµοιώσεις σε Η/Υ), όσο και στην ανάπτυξη νέων ϑεωρητικών εργαλείων και εννοιών (ϑεωρία δυναµικών συστηµάτων, µη γραµµικότητα κτλ) Χαοτικά ϕαινόµενα, ανάλογα µε αυτά που διαπίστωσε ο Lorenz, παρατηρήθηκαν σε όλες τις εξισώσεις αυτής της κατηγορίας, από την κίνηση των πλανητών γύρω από τον Ηλιο, µέχρι τις διακυµάνσεις των χρηµατιστηριακών δεικτών και από την εξάπλωση µιας επιδηµίας, µέχρι τις καρδιακές αρρυθµίες Θα ασχοληθούµε µε τα χαοτικά ϕαινόµενα που παρατηρούνται σε δυναµικά συστήµατα, δηλαδή σε σύνολα σωµάτων που αλληλεπιδρούν και η ϑέση τους εξελίσσεται στο χρόνο Τα µη γραµµικά δυναµικά συστήµατα ασχολούνται πιο συγκεκριµένα µε µη γραµµικά ϕαινόµενα, δηλαδή ϕαινό- µενα στα οποία η σχέση αιτίας και αποτελέσµατος δεν είναι γραµµική (αναλογική) αλλά πιο πολύπλοκη Χαρακτηριστικά παραδείγµατα µη γραµµικών δυναµικών συστηµάτων είναι και το ηλιακό σύστηµα (κινήσεις ουράνιων σωµάτων) αλλά και τα συστήµατα της µετεωρολογίας (κινήσεις αέριων µαζών) Βασικές ιδιότητες όλων των χαοτικών (µη γραµµικών) δυναµικών συστηµάτων είναι: η ύπαρξη γεωµετρικής πολυπλοκότητας, η ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες Αυτό σηµαίνει ότι στις µετρήσεις που κάνουµε χρειάζεται µεγάλη ακρίβεια (πολλά δεκαδικά ψηφία), για να προβλέψουµε την εξέλιξη των ϕαινοµένων Εδώ τίθεται το εύλογο ερώτηµα: Αφού και 3

το ηλιακό σύστηµα και τα µετεωρολογικά ϕαινόµενα είναι µη γραµµικά (χαοτικά), γιατί µπορού- µε και προβλέπουµε ϕαινόµενα του ηλιακού συστήµατος (τροχιές πλανητών, εκλείψεις κτλ) για χιλιάδες χρόνια, ενώ δεν µπορούµε να προβλέψουµε µετεωρολογικά ϕαινόµενα για πάνω από 1- εβδοµάδες; Η απάντηση στηρίζεται στην έντονη εξάρτηση κάθε χαοτικής κίνησης από τις αρχικές συνθήκες ύο τροχιές που ξεκινούν µε αρχικές συνθήκες που ελάχιστα διαφέρουν µεταξύ τους, µετά από λίγο αποµακρύνονται εκθετικά, έτσι ώστε η τελική κατάσταση να είναι τελείως διαφορετική για τις δύο αυτές τροχιές Στην πραγµατικότητα, η κίνηση είναι αιτιοκρατική, δηλαδή στην ίδια αρχική κατάσταση αντιστοιχεί η ίδια τελική κατάσταση Αν είµαστε σε ϑέση να γνωρίζουµε ακριβώς την αρχική κατάσταση (µε απέραντη δηλαδή ακρίβεια) και επιπλέον είµαστε σε ϑέση να εκτελέσουµε τους αριθµητικούς υπολογισµούς µε απόλυτη ακρίβεια (δηλαδή χωρίς να στρογγυλεύουµε τα αριθµητικά αποτελέσµατα), τότε δεν ϑα είχαµε κανένα πρόβληµα στην πρόβλεψη ενός ϕαινοµένου και δεν ϑα κάναµε διάκριση µεταξύ κανονικών και χαοτικών κινήσεων Ποτέ όµως δεν είναι δυνατό να κάνουµε τέτοιες µετρήσεις µε απόλυτη ακρίβεια Αυτό σηµαίνει ότι δεν γνωρίζουµε αν κάνουµε τους υπολογισµούς µας για το πραγµατικό ϕυσικό πρόβληµα, για παράδειγµα την κίνηση της Γης, ή αν υπολογίζουµε την τροχιά µιας ϕανταστικής Γης που ϐρίσκεται πολύ κοντά στη δική µας! Μια ακόµα εφαρµογή της ϑεωρίας του χάους σχετίζεται µε τους αστεροειδείς, οι οποίοι είναι µικρά σώµατα που ϐρίσκονται ανάµεσα στον Άρη και το ία και κινούνται γύρω από τον Ηλιο Άρης Ηλιος Γη Ϲώνη αστεροειδών ίας Τέλος, εισάγοντας και την έννοια της αυτοοµοιότητας, η µη γραµµική δυναµική επεκτάθηκε και στην προσπάθεια µελέτης της χαοτικής µορφολογίας µη γραµµικών συστηµάτων στο χώρο, δηλαδή στατικών αντικειµένων (ή συνόλων) τα οποία χαρακτηρίζονται από µια εξαιρετικά περίπλοκη δοµή, µέχρι τις µικρότερες κλίµακες που µπορούµε να τα παρατηρήσουµε (για παράδειγµα οι ακτές ενός νησιού, ένα σφουγγάρι, το δίκτυο των αιµοφόρων αγγείων του ανθρώπινου νεφρού κτλ) Η ϑεώρηση αυτή οδήγησε στην εισαγωγή και τη µελέτη των µορφοκλασµατικών συνόλων (fractals) Η αξία των γνώσεων της γεωµετρίας των fractals για την περιγραφή και την ανάλυση της πολυπλοκότητας των ϕυσικών µορφών και διαδικασιών, ϑα γίνεται περισσότερο παραδεκτή, όσο πληθαίνουν οι πρακτικά και τεχνολογικά χρήσιµες εφαρµογές τους Ανακεφαλαίωση: Η έλλειψη προβλεψιµότητας σε πολλά συστήµατα του ϕυσικού κόσµου, δεν οφείλεται µόνο σε µια ανεπαρκή µαθηµατική περιγραφή των ϕαινοµένων, ή σε µια ελλειπή γνώση των ϕυσικών νόµων που τα διέπουν Απορρέει, κατά κύριο λόγο, από το γεγονός ότι τα περισσότερα ϕυσικά ϕαινόµενα περιγράφονται από εξισώσεις που είναι µη γραµµικές και περιέχουν πολλές µεταβλητές που εξαρτώνται η µια από την άλλη κατά έναν ιδιαίτερα περίπλοκο τρόπο Τέτοια µη γραµµικά συστήµατα διαθέτουν (για πολλές τιµές των παραµέτρων τους) µεγάλες περιοχές στις οποίες η κίνηση εξαρτάται εξαιρετικά ευαίσθητα από τις αρχικές συνθήκες Οι περιοχές αυτές ονοµάζονται χαοτικές περιοχές, και η εξαιρετική ευαισθησία της κίνησης µέσα σε αυτές ονοµάζεται χάος Τα δυναµικά συστήµατα χρησιµοποιούν κυρίως για την επίλυσή τους διαφορικές εξισώσεις ιακριτά υναµικά Συστήµατα ονοµάζονται τα δυναµικά συστήµατα στα οποία η µεταβλητή (κυρίως ο χρόνος) παίρνει διακριτές τιµές Τα µαθηµατικά µοντέλα τέτοιων συστηµάτων περιγράφονται µε εξισώσεις διαφορών 4

υναµικά Συστήµατα ιαφορικών Εξισώσεων 1 Συµβολισµοί Αν y = y(x), τότε dy dx = y (x) = y Αν y = y(t), τότε dy dt = y (t) = y = ẏ(t) = ẏ Αν λοιπόν x = x(t), τότε dx dt = x (t) = ẋ(t) = ẋ Φυσικά,τότε d x = (ẋ) = ẍ(t) = ẍ, dt d 3 x dt 3 = ( ẍ) = x(t) = x, d n x dt n = x(n) (t) = x (n) Επίσης, αν A(t) είναι η µήτρα A(t) = [ a ij (t) ], (1 i m,1 j n) µε a ij (t) παραγωγίσιµες και ολοκληρώσιµες συναρτήσεις, τότε: [ ] da(t) b [ b ] [ ] daij =, A(t)dt = a dt ij dt, A(t)dt = a ij dt dt Γραµµική διαφορική εξίσωση (Γ Ε) τάξης n a a b n (t) dn x dt n + b n 1(t) dn 1 x dt n 1 + + b 1(t) dx dt + b 0(t)x = g(t), (b n (t) 0) dn x dt n = a n 1(t) dn 1 x dt n 1 + + a 1(t) dx dt + a 0(t)x + f(t) x (n) (t) = a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)ẋ(t) + a 0 (t)x(t) + f(t), όπου a i (t) = b i(t) b n (t), g(t) f(t) = b n (t) Πρόταση Μια γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης n µπορεί να γραφτεί σαν ένα σύστηµα n διαφο- ϱικών εξισώσεων πρώτης τάξης ίνουµε πρώτα ένα απλό παράδειγµα και αµέσως µετά δίνουµε τη γενική µέθοδο µε ένα πιο πολύπλοκο παράδειγµα Παράδειγµα: ẍ + ẋ 8x = e t Ορίζουµε x 1 (t) = x x (t) = ẋ, δηλαδή ẋ = x ẍ = ẋ Άρα η εξίσωση γράφεται: ẍ = ẋ + 8x + e t, δηλαδή: ẋ = x + 8x 1 + e t ẋ 1 = x Ετσι, έχουµε το σύστηµα των δύο διαφορικών εξισώσεων πρώτης τάξης: ẋ = 8x 1 x + e t Παρατήρηση: Το παραπάνω σύστηµα µπορεί να γραφτεί ως χρήση µητρών): ] [ [ẋ1 0x1 + 1x = ẋ 8x 1 x }} Ẋ(t) ] + [ ] [ ] 0 0 1 e t = 8 }} A(t) ẋ 1 = 0x 1 + 1x + 0 ẋ = 8x 1 x + e t [ ] [ ] x1 0 + x e t, }} X(t) }} F(t) και άρα (µε 5

δηλαδή Ẋ(t) = A(t)X(t) + F(t) Επιπλέον, αν δίνονται και οι αρχικές συνθήκες, για παράδειγµα x(0) = 1,ẋ(0) = 4, µπο- ϱούµε κι αυτές να τις γράψουµε (µε χρήση µητρών): [ ] [ ] [ ] [ ] x(0) 1 x1 (0) 1 = = ẋ(0) 4 x (0) 4 }}}} X(0) C δηλαδή X(0) = C Γενική µέθοδος µετατροπής της Γ Ε τάξης n σε σύστηµα n Γ Ε πρώτης τάξης Εστω η Γ Ε τάξης n: x (n) (t) = a n 1 (t)x (n 1) (t) + + a 1 (t)ẋ(t) + a 0 (t)x(t) + f(t), µε αρχικές συνθήκες: x(t 0 ) = c 0,ẋ(t 0 ) = c 1,,x (n 1) (t 0 ) = c n 1 1 Ορίζουµε: x 1 (t) = x(t) x (t) = ẋ(t) x 3 (t) = ẍ(t) x n 1 (t) = x (n ) (t) x n (t) = x (n 1) (t) ẋ 1 (t) = ẋ(t) = x (t) ẋ (t) = ẍ(t) = x 3 (t), οπότε ẋ n 1 (t) = x (n 1) (t) = x n (t) ẋ n (t) = x (n) (t) Άρα η δοθείσα Ε γράφεται: ẋ n (t) = a n 1 (t)x n (t) + + a 1 (t)x (t) + a 0 (t)x 1 (t) + f(t) 3 Εχουµε λοιπόν το n n σύστηµα Γ Ε πρώτης τάξης (µε άγνωστες τις συναρτήσεις x 1 (t),x (t),,x n (t)): ẋ 1 (t) = x (t) ẋ (t) = x 3 (t) ẋ n 1 (t) = x n (t) ẋ n (t) = a n 1 (t)x n (t) + + a 1 (t)x (t) + a 0 (t)x 1 (t) + f(t) x(t 0 ) = c 0 ẋ(t 0 ) = c 1 µε τις αρχικές συνθήκες x (n 1) (t 0 ) = c n 1 x 1 (t 0 ) = c 0 x (t 0 ) = c 1 x n (t 0 ) = c n 1 6

4 Θέτοντας: X(t) = x 1 (t) x (t) x n 1 (t) x n (t),f(t) = X(t 0 ) = 0 0 0 f(t) x 1 (t 0 ) x (t 0 ) x n 1 (t 0 ) x n (t 0 ),A(t) = = 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 a 0 (t) a 1 (t) a (t) a 3 (t) a n 1 (t) x 1 (t 0 ) ẋ 1 (t 0 ) ẋ n (t 0 ) ẋ n 1 (t 0 ) µπορούµε να γράψουµε το σύστηµα σαν εξίσωση µητρών: και C = Ẋ(t) = A(t)X(t) + F(t), X(t 0 ) = C c 0 c 1 c n c n 1,, Παράδειγµα: e td4 x dt 4 d x dt + et t dx dt = 5e t, x(1) =,ẋ(1) = 3,ẍ(1) = 4, x(1) = 5 ιαιρούµε µε e t και λύνουµε ως προς d4 x dt 4 : x (4) (t) = e t ẍ(t) t e t ẋ(t) + 5, δηλαδή x (4) (t) = 0 a 3 (t) x(t) + e t a (t) ẍ(t) t e t a 1 (t) ẋ(t) + 0 a 0 (t) x(t) + 5 f(t) 1 Ορίζοντας λοιπόν x 1 (t) = x(t), x (t) = ẋ(t), x 3 (t) = ẍ(t), x 4 (t) = x(t), (οπότε x (4) (t) = ẋ 4 (t)), έχουµε ẋ 1 (t) = x (t), ẋ (t) = x 3 (t), ẋ 3 (t) = x 4 (t) Άρα η δοθείσα Ε γράφεται: ẋ 4 (t) = e t x 3 (t) t e t x (t) + 5 3 Εχουµε λοιπόν το σύστηµα (τέσσερεις Γ Ε πρώτης τάξης): ẋ 1 (t) = x (t) x 1 (1) = x(1) = ẋ (t) = x 3 (t) x (1) = ẋ(1) = 3, µε ẋ 3 (t) = x 4 (t) x 3 (1) = ẍ(1) = 4 ẋ 4 (t) = e t x 3 (t) t e t x (t) + 5 x 4 (1) = x(1) = 5 7

4 Το σύστηµα γράφεται: ẋ 1 (t) = 0x 1 (t) + 1x (t) + 0x 3 (t) + 0x 4 (t) + 0 ẋ (t) = 0x 1 (t) + 0x (t) + 1x 3 (t) + 0x 4 (t) + 0 ẋ 3 (t) = 0x 1 (t) + 0x (t) + 0x 3 (t) + 1x 4 (t) + 0 ẋ 4 (t) = 0x 1 (t) t e t x (t) + e t x 3 (t) + 0x 4 (t) + 5, οπότε ϑέτοντας x 1 (t) 0 0 1 0 0 X(t) = x (t) x 3 (t), F(t) = 0 0, C = 3 4, A(t) = 0 0 1 0 0 0 0 1, x 4 (t) 5 5 0 t e t e t 0 παίρνουµε την εξίσωση µητρών: Ẋ(t) = A(t)X(t) + F(t), X(1) = C Ασκηση: Να γραφεί το σύστηµα (και η εξίσωση µητρών) που αντιστοιχεί στη Γ Ε: ẍ + ẋ 8x = 0, x(1) =,ẋ(1) = 3 3 Γενική µορφή συστήµατος n Γ Ε πρώτης τάξης ẋ 1 (t) = a 1,1 (t)x 1 (t) + a 1, (t)x (t) + + a 1,n (t)x n (t) + f 1 (t) ẋ (t) = a,1 (t)x 1 (t) + a, (t)x (t) + + a,n (t)x n (t) + f (t) ẋ n (t) = a n,1 (t)x 1 (t) + a n, (t)x (t) + + a n,n (t)x n (t) + f n (t) δηλαδή Ẋ(t) = A(t)X(t) + F(t), όπου: x 1 (t) a 1,1 (t) a 1, (t) a 1,n (t) f 1 (t) x (t) X(t) =, A(t) = a,1 (t) a, (t) a,n (t), F(t) = f (t) x n (t) a n,1 (t) a n, (t) a n,n (t) f n (t) Αν στη µήτρα A(t) = [ a i,j (t) ], όλα τα a i,j (t) είναι σταθερές συναρτήσεις, τότε το σύστηµα είναι σύστηµα Γ Ε µε σταθερούς συντελεστές 4 Λύση συστήµατος οµογενών Γ Ε πρώτης τάξης, µε σταθερούς συντελεστές Η λύση ενός τέτοιου συστήµατος (και άρα και των αντίστοιχων Γ Ε ανώτερης τάξης) γίνεται µε χρήση των ιδιοτιµών της µήτρας A Υπάρχουν διάφορες περιπτώσεις: Πραγµατικές ή µιγαδικές ιδιοτιµές ιακεκριµένες ή πολλαπλές ιδιοτιµές Μήτρα A: ερµητιανή ή όχι ερµητιανή, κτλ Θα ασχοληθούµε µε µερικές από τις περιπτώσεις αυτές: 8

41 Σύστηµα οµογενών Γ Ε µε διακεκριµένες πραγµατικές ιδιοτιµές Εστω λ 1,λ,,λ n R, οι (διακεκριµένες) ιδιοτιµές της µήτρας A του συστήµατος, και v 1,v,,v n τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα Τότε X(t) = c 1 v 1 e λ 1t + c v e λ t + + c n v n e λnt, δηλαδή δηλαδή x 1 (t) v 1,1 (t) v,1 (t) v n,1 (t) x (t) = c v 1, (t) 1 e v, (t) + c e v n, (t) + + c n e, x n (t) v 1,n (t) }} v 1 v,n (t) }} v v n,n (t) }} v n x 1 (t) = c 1 v 1,1 e λ1t + c v,1 e λt + + c n v n,1 e λnt x (t) = c 1 v 1, e λ1t + c v, e λt + + c n v n, e λnt x n (t) = c 1 v 1,n e λ1t + c v,n e λt + + c n v n,n e λnt Παράδειγµα 1: Να λυθεί το σύστηµα ẋ 1 (t) = x 1 (t) + x (t) Εχουµε A = [ ] 1 1 4 1 ẋ (t) = 4x 1 (t) + x (t) Εύρεση των ιδιοτιµών: A λi = 0 1 λ 1 4 1 λ = 0 (1 λ) 4 = 0 λ λ 3 = 0 Εύρεση των ιδιοδιανυσµάτων: (1 λ)u + w = 0 Για λ 1 = 3: Για λ = 1: 4u + (1 λ)w = 0 [ ] u = u u } u + w = 0 w = u Άρα v 4u w = 0 1 = [ ] 1,u 0 } [ ] [ ] u + w = 0 u 1 w = u Άρα v 4u + w = 0 = = u,u 0 u [ ] [ ] 1 1 Για u = 1 παίρνουµε v 1 =,v = [ ] [ ] 1 1 Άρα X(t) = c 1 e 3t + c e t x 1 (t) = c 1 e 3t + c e t x (t) = c 1 e 3t c e t λ 1 = 3 λ = 1 9

Παρατήρηση: Ας ϑεωρήσουµε ότι για τις διάφορες τιµές του t, οι λύσεις (x 1 (t),x (t)) δίνουν την τροχιά ενός σωµατιδίου σε ένα σύστηµα καρτεσιανών συντεταγµένων µε το x 1 (t) στον άξονα των τετµηµένων και το x (t) στον άξονα των τεταγµένων (δηλαδή η τροχιά είναι δοσµένη σε παραµετρική µορφή) Παρατηρούµε ότι: Για c = 0 παίρνουµε x = x 1, δηλαδή η τροχιά είναι µια ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης (που είναι η διεύθυνση του ιδιοδιανύσµατος v 1 ) Για c 1 = 0 παίρνουµε x = x 1, δηλαδή η τροχιά είναι µια ευθεία µε συντελεστή διεύθυνσης (που είναι η διεύθυνση του ιδιοδιανύσµατος v ) Για τη γενική λύση τώρα, παρατηρούµε ότι (για c 1 c 0): Αν t +, τότε το e t (και άρα και οι όροι c e t, c e t ) είναι αµελητέο, δηλαδή κυριαρχούν οι όροι c 1 e 3t,c 1 e 3t και άρα το x (t) τείνει προς το x 1 (t) Αντίστοιχα, αν t, τότε το e 3t είναι αµελητέο και άρα το x (t) τείνει προς το x 1 (t) Ανάλογα λοιπόν µε τα πρόσηµα των c 1,c παίρνουµε 4 δέσµες τροχιών, όπως ϕαίνονται στο επόµενο σχήµα (η µορφή αυτή είναι χαρακτηριστική για συστήµατα της περίπτωσής µας, αν οι ιδιοτιµές είναι ετερόσηµες Η αρχή των αξόνων στην περίπτωση αυτή λέγεται και σαγµατικό σηµείο) x x = x 1 x = x 1 c 1 > 0, c < 0 c 1 < 0,c < 0 c 1 > 0,c > 0 0 x 1 c 1 < 0, c > 0 Μπορούµε πάντως και να σχεδιάσουµε χωριστά τις γραφικές παραστάσεις των x 1 (t) και x (t) ως συναρτήσεις του t Για παράδειγµα, για τη x 1 (t) και για διάφορες τιµές των c 1,c (που εξαρτώνται ϕυσικά από τις αρχικές συνθήκες) παίρνουµε γραφικές παραστάσεις όπως οι επόµενες 10

x 1 c 1 = 0 0 t Αντίστοιχα ϕυσικά και για την x (t) Παράδειγµα : Να λυθεί η γραµµική οµογενής Ε (ης τάξης): Ορίζουµε: x 1 = x x = ẋ ẍ + ẋ 8x = 0, x(1) =, ẋ(1) = 3, οπότε ẋ = x = ẋ 1 ẍ = ẋ, άρα η δοθείσα Ε ẍ = ẋ + 8x, γράφεται Άρα έχουµε το σύστηµα ẋ 1 = x }} Ẋ(t) ẋ = x + 8x 1 Άρα ẋ = 8x 1 x ] [ ][ ] [ ] [ ] [ẋ1 0 1 x1 x1 (1) =, µε = ẋ 8 x x (1) 3 }}}}}}}} A X(t) X(1) C (Αυτή είναι η απάντηση στην άσκηση στο τέλος της παραγράφου ) Ωστε η δοθείσα Ε είναι ισοδύναµη µε το παραπάνω σύστηµα γραµµικών οµογενών Ε Προχωράµε τώρα στη λύση του συστήµατος [ ] αυτού (και άρα στην εύρεση της x 1 (t) = x(t)) 0 1 Εύρεση των ιδιοτιµών της A = : 8 λ 1 8 λ λ 1 = 4 λ 8 = 0 λ = Εύρεση των ιδιοδιανυσµάτων: λu + w = 0 Για λ = 4: Για λ = : 4u + w = 0 8u + w = 0 u + w = 0 8u 4w = 0 8u ( + λ)w = 0 w = 4u Άρα v 1 = w = u Άρα v = [ ] [ ] u 1 = u,u 0 4u 4 [ ] [ ] u 1 = u,u 0 u 11

[ ] 1 Για u = 1 παίρνουµε v 1 =,v 4 = [ ] 1 [ ] [ ] 1 1 Άρα X(t) = c 1 e 4 4t + c e t x 1 (t) = c 1 e 4t + c e t x (t) = 4c 1 e 4t + c e t έχουµε ότι c 1 e 4 + c e = 4c 1 e 4 + c e = 3 και επειδή x 1 (1) = x (1) = 3 Λύνουµε το σύστηµα ως προς c 1, c και ϐρίσκουµε ότι c 1 = 1 6 e4, c = 11 6 e Άρα x(t) = x 1 (t) = 1 6 e4 e 4t + 11 6 e e t Ασκήσεις 1 Να λυθεί η Ε ẍ ẋ x = 0, x(0) = 1, ẋ(0) = 4 Να λυθεί το σύστηµα ẋ 1 (t) = 3x 1 (t) + x (t) ẋ (t) = x 1 (t) x (t) Απαντήσεις 1 x = e t e t [ ] [ ] 1 X = c 1 e t + c e 4t, δηλαδή 1 x 1 = c 1 e t c e 4t x = c 1 e t + c e 4t Παρατήρηση: Στην Άσκηση, οι ιδιοτιµές είναι οµόσηµες Οι τροχιές τώρα ϑα έχουν την παρακάτω µορφή (και η αρχή των αξόνων τότε ϑα λέγεται κόµβος): x x = x 1 x = x 1 0 x 1 1

4 Σύστηµα n οµογενών Γ Ε µε πραγµατικές ιδιοτιµές, µε άθροισµα γεωµετρικών πολλαπλοτήτων ίσο µε n Πρώτα διασπάµε τα ιδιοδιανύσµατα που αντιστοιχούν σε πολλαπλές ιδιοτιµές και έχουν πάνω από έναν ελεύθερο άγνωστο, σε γραµµικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσµατα που περιέχουν από έναν ελεύθερο άγνωστο Αποδεικνύεται ότι αυτό ισχύει πάντα αν η A είναι ερµητιανή (άρα και όταν είναι συµµετρική) Στη συνέχεια, η λύση ευρίσκεται όπως και στην περίπτωση των διακεκριµένων ιδιοτιµών 0 1 1 Παράδειγµα: Να λυθεί η Ẋ = 1 0 1 X 1 1 0 Η µήτρα έχει ιδιοτιµές τις: λ 1 =, λ = λ 3 = 1 u 1 Η λ 1 = δίνει τα ιδιοδιανύσµατα v 1 = u = u 1, u 0, u 1 u + w + z = 0 ενώ οι λ = λ 3 = 1 δίνουν το χαρακτηριστικό σύστηµα u + w + z = 0 z = u w, u + w + z = 0 δηλαδή u u u 0 1 0 v = w = w = 0 + w = u 0 + w 1, u + w 0 z u w u w 1 1 1 1 0 Θεωρώντας λοιπόν τα τρία διανύσµατα 1, 0, 1, παίρνουµε (όπως πριν) τη λύση: 1 1 1 x 1 (t) 1 1 0 X(t) = x (t) = c 1 1 e t + c 0 e t + c 3 1 e t, x 3 (t) 1 1 1 δηλαδή x 1 (t) = c 1 e t + c e t x (t) = c 1 e t + c 3 e t x 3 (t) = c 1 e t c e t c 3 e t 1 1 1 Ασκηση: Να λυθεί η Ẋ = 1 1 1 X 1 1 1 13

43 Σύστηµα οµογενών Γ Ε µε σταθερούς συντελεστές και µιγαδικές ιδιοτιµές Στοιχεία µιγαδικών αριθµών Ο z C µε z = ρ και Arg z = θ, µπορεί να γραφεί στις παρακάτω µορφές: z = (α,β) (Καρτεσιανή), για παράδειγµα, z = ( 1, 3) z = α + iβ ( ιωνυµική), για παράδειγµα, z = 1 + i 3 z = (ρ,θ) (Πολική), για παράδειγµα, z = (, π 3 ) z = ρ(cos θ + isin θ) (Τριγωνοµετρική), για παράδειγµα, z = (cos π 3 + isin π 3 ) z = ρe iθ (Εκθετική), για παράδειγµα, z = e iπ 3 Για να λύσουµε ένα τέτοιο σύστηµα Ẋ(t) = A X(t) (δεδοµένου ότι οι µιγαδικές ιδιοτιµές ϑα είναι συζυγείς, σαν λύσεις της χαρακτηριστικής δευτεροβάθµιας εξίσωσης µε πραγµατικούς συντελεστές), εργαζόµαστε ως εξής: [ ] [ ] Εστω λ, λ u1 u C οι δύο ιδιοτιµές και v 1 =, v w = αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα 1 w (u 1,w 1,u,w C) Τότε οι x 1 (t) = v 1 e λt, x (t) = v e λt είναι δύο λύσεις του συστήµατος Για να ϐρούµε τώρα το σύνολο των πραγµατικών λύσεων του συστήµατος, παίρνουµε µια (οποιαδήποτε) από τις x 1 (t), x (t) (έστω την x 1 (t)) και γράφουµε τον (µιγαδικό) e λt σε τριγωνοµετρική µορφή Αν λοιπόν λ = α + βi, έχουµε Τότε x 1 (t) = e λt = e (α+βi)t = e αt e βti = e αt (cos βt + isin βt) [ u1 w 1 ] [ ] e αt (cos βt + isin βt) = e αt u1 (cos βt + isin βt) w 1 (cos βt + isin βt) Αφού εκτελέσουµε τις πράξεις, καταλήγουµε στη µορφή: [ ] [ ] [ ] x 1 (t) = e αt µ1 (t) + iν 1 (t) = e αt µ1 (t) + ie αt ν1 (t) µ (t) + iν (t) µ (t) ν (t) Το σύνολο των πραγµατικών λύσεων του συστήµατος δίνεται από τη σχέση: [ ] [ ] [ ] x1 (t) X(t) = = c x (t) 1 e αt µ1 (t) + c µ (t) e αt ν1 (t), ν (t) δηλαδή x 1 (t) = c 1 µ 1 (t)e αt + c ν 1 (t)e αt x (t) = c 1 µ (t)e αt + c ν (t)e αt 14

[ ] 1 Παράδειγµα 1: Να λυθεί το σύστηµα Ẋ = 1 1 1 X Βρίσκουµε τις ιδιοτιµές: 1 λ 1 λ = 1 1 λ = 0 (1 + λ) + 1 = 0 1 1 + λ = ±i + i λ = 1 i Βρίσκουµε τώρα το ιδιοδιάνυσµα v 1 : ( 1 λ)u + w = 0 iu + w = 0 u + ( 1 λ)w = 0 1 u iw = 0 w = iu Άρα οπότε (για u = 1) v 1 = Άρα [ ] 1 i [ ] u = v [ ] u = u iu [ ] 1, u 0, i [ ] [ ] [ x 1 1 (t) = e ( 1 +i)t 1 = e t e it 1 = i i i [ ] = e t cos t + isin t = e t i(cos t + isin t) ] e t (cos t + isin t) [ cos t sin t ] + ie t [ ] sint cos t Άρα X(t) = [ ] [ ] x1 (t) = c x (t) 1 e t cos t + c sint e t [ ] sin t, cos t δηλαδή x 1 (t) = c 1 e t cos t + c e t sin t x (t) = c 1 e t sin t + c e t cos t Παρατήρηση: Οι αντίστοιχες τροχιές δίνονται στο επόµενο σχήµα Η αρχή των αξόνων στην περίπτωση του παραδείγµατος αυτού (µιγαδικές ιδιοτιµές µε αρνητικό πραγµατικό µέρος) λέγεται σπειροειδές σηµείο (Στην περίπτωση που οι ιδιοτιµές έχουν ϑετικό πραγµατικό µέρος, οι τροχιές είναι παρόµοιες, αλλά η διεύθυνση κίνησης αποµακρύνεται από την αρχή των αξόνων) 1 Θα µπορούσαµε να διαλέξουµε την λ 15

e t [ ] sint cos t x e t [ ] cos t sin t 0 x 1 Οι γραφικές παραστάσεις των x 1 (t) (lim t x 1 (t) = 0) (Αντίστοιχες είναι και για τις x (t)) x 1 0 t 16

[ ] 0 4 Παράδειγµα : Να λυθεί το σύστηµα Ẋ = X 1 0 Αρχικά ϐρίσκουµε τις ιδιοτιµές: ( λ) λ = i + 4 = 0 λ = i Άρα Στη συνέχεια ϐρίσκουµε τα ιδιοδιάνυσµα v 1 που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ: λu 4w = 0 iu 4w = 0 w = i u λw = 0 u iw = 0 u [ ] 1 οπότε (για u = 1) v 1 = Άρα [ ] x 1 (t) = e it 1 i Άρα i [ ] [ ] [ ] u u 1 = w i u = u i, u 0, [ ] 1 = (cos t + isin t) i = X(t) = [ ] x1 (t) x (t) [ cos t + isin t 1 sin t i cos t [ ] cos t = c 1 1 sin t δηλαδή x 1 (t) = c 1 cos t + c sin t x (t) = 1 c 1 sin t 1 c cos t ] [ ] cos t = 1 sint [ ] sin t + c 1, cos t [ ] sin t + i 1 cos t Παρατήρηση: Οι τροχιές στο παράδειγµα είναι ελλείψεις, αφού x 1 = c 1 cos t + c sin t + c 1 c cos t sin t 4x = c 1 sin t + c cos t c 1 c cos t sin t x 1 +4x = c 1 +c x 1 c 1 + c + x c 1 +c 4 Οι αντίστοιχες τροχιές, δίνονται στο επόµενο σχήµα Η αρχή των αξόνων στην περίπτωση αυτή (ϕανταστικές ιδιοτιµές) λέγεται κέντρο x = 1 0 x 1 17

Ασκήσεις [ ] 1 1 1 Να λυθεί το σύστηµα Ẋ = X, αν x 1 1 (0) = x (0) = x 1 (t) = e t cos(t ) e t sin(t) Απάντηση: x (t) = e t sin(t ) + e t cos(t ) [ ] 0 3 Να λυθεί το σύστηµα Ẋ = X και να γραφούν οι σχετικές τροχιές στο σύστηµα 0 συντεταγµένων (x 1,x ), (παρόµοιο µε το παράδειγµα ) 18

5 Σηµεία ισορροπίας - Ευστάθεια ẋ 1 = F(x 1,x ) Ορισµός 1 Εστω το σύστηµα και µια λύση του ẋ = G(x 1,x ) σταθερές Τότε F(x 0 1,x0 ) = ẋ 0 3 1 = 0 G(x 0 1,x0 ) = ẋ 0 3 = 0 x 1 (t) = x 0 1 x (t) = x 0, όπου x 0 1,x0 Κάθε τέτοιο σηµείο (x 0 1,x0 ) για το οποίο F(x0 1,x0 ) = G(x0 1,x0 ) = 0 λέγεται σηµείο ισορροπίας ή κρίσιµο σηµείο του συστήµατος Στα προηγούµενα παραδείγµατα, το (0, 0) (που ήταν σαγµατικό σηµείο ή κόµβος ή σπειροειδές σηµείο ή κέντρο) ήταν ένα σηµείο ισορροπίας Αυτοί είναι οι τέσσερεις πιο συνηθισµένοι, απλοί τύποι σηµείων ισορροπίας Ορισµός Ενα σηµείο ισορροπίας (x 0 1,x0 ) λέγεται µεµονωµένο, αν υπάρχει περιοχή του που δεν περιέχει άλλο σηµείο ισορροπίας του συστήµατος αυτού Ορισµός 3 Ενα µεµονωµένο σηµείο ισορροπίας (x 0 1,x0 ) του συστήµατος λέγεται ευσταθές, αν για κάθε ε > 0, υπάρχει δ(ε) > 0 τέτοιο ώστε: i) Κάθε τροχιά του συστήµατος που ϐρίσκεται στην περιοχή ακτίνας δ του (x 0 1,x0 ) για κάποιο t = t 0, ορίζεται για κάθε t t 0 ii) Αν µια τροχιά ικανοποιεί το i), παραµένει στην περιοχή ακτίνας ε του (x 0 1,x0 ), για κάθε t t 0 Πρακτικά, αν µια τροχιά ϐρεθεί κάποια στιγµή κοντά στο x 0 1,x0 ), ϑα παραµείνει κοντά του Για t = t 0 δ (x 0 1,x0 ) ε Αφού (x 0 1, x 0 ) είναι λύση του συστήµατος 3 Αφού x 0 1, x 0 είναι σταθερά 19

Ορισµός 4 Ενα ευσταθές σηµείο ισορροπίας (x 0 1,x0 ) λέγεται ασυµπτωτικά ευσταθές, αν επιπλέον ισχύει ότι lim x 1(t) = x 0 1 t + lim x (t) = x 0 t + Πρακτικά, η τροχιά πλησιάζει προς το (x 0 1,x0 ) Για t = t 0 (x 0 1,x0 ) Ορισµός 5 Ενα µεµονωµένο σηµείο ισορροπίας που δεν είναι ευσταθές, λέγεται ασταθές Πρακτικά, η τροχιά αποµακρύνεται από το (x 0 1,x0 ) Για t = t 0 (x 0 1,x0 ) Παραδείγµατα: Στο πρώτο σχήµα των παραδειγµάτων, το (0, 0) είναι ασταθές Στο δεύτερο και στο τρίτο σχήµα, το (0, 0) είναι ασυµπτωτικά ευσταθές Στο τέταρτο σχήµα, το (0, 0) είναι ευσταθές Παρατηρήσεις: 1 Η έννοια της ευστάθειας γενικεύεται και για συστήµατα µε n > εξισώσεις Τα διαγράµµατα µε τις τροχιές ονοµάζονται διαγράµµατα ϕάσεων του συστήµατος 0

3 Εξισώσεις ιαφορών - ιακριτά υναµικά Συστήµατα Ορισµός Εστω η εξίσωση διαφορών (Ε ) πρώτης τάξης: y x+1 = f(y x ), x = 0,1,, (31) Το α λέγεται σηµείο ισορροπίας ή σταθερό σηµείο της (31), αν α = f(α) Παραδείγµατα: 1 y x+1 = (y x + 4)y x + y x+1 = y x + 4y x +, x = 0,1,, Για να ϐρούµε τα σηµεία ισορροπίας της παραπάνω Ε, λύνουµε την εξίσωση: α = α + 4α + α α = 1 + 3α + = 0 α = y x+1 = Ay x + B, A 1, x = 0,1,, (Γραµµική Ε πρώτης τάξης µε σταθερούς συντελεστές) Εφαρµογές: 1 y x+1 = y x + 1 (α = 1 1 = 1) α = Aα + B α = y x+1 y x = 4 y x+1 = 1 y x + (α = 1 1 3 y x+1 = y x + 1 (α = 1 1 ( 1) = 1 ) B 1 A = 4) Παρατήρηση: Για τις τρεις παραπάνω εφαρµογές έχουµε τα εξής: 1 Η γενική λύση της y x+1 = y x + 1 είναι η y x = c 1 x 1 (οπότε, για x = 0 έχουµε ότι y 0 = c 1 1 c 1 = y 0 + 1) Άρα y x = (y 0 + 1) x 1, οπότε lim x y x = +, αν y 0 1 y x = 1, αν y 0 = 1 Η γενική λύση της y x+1 y x = 4 είναι η y x = c 1 ( 1 )x +4, οπότε y 0 = c 1 +4 c 1 = y 0 4 Άρα y x = (y 0 4)( 1 lim )x + 4, y x = 4 = α, αν y 0 4 οπότε x y x = 4, αν y 0 = 4 3 Η γενική λύση της y x+1 = y x + 1 είναι η y x = c 1 ( 1) x + 05, οπότε y 0 = c 1 + 05 c 1 = y 0 05 Άρα y x = (y 0 05)( 1) x + 05 Ετσι, για y 0 = 05 έχουµε ότι y x = 05, ενώ για y 0 05 έχουµε ότι y 0, αν x άρτιος y x =, εποµένως δεν υπάρχει το lim 1 y 0, αν x περιττός y x x 1

Ορισµός Το σηµείο ισορροπίας α της (31) λέγεται ευσταθές αν υπάρχει ε > 0 τέτοιο ώστε για κάθε y 0 µε y 0 α < ε να ισχύει ότι lim x y x = α Οταν το α δεν είναι ευσταθές, λέγεται ασταθές Ειδικά για τις Ε πρώτης τάξης µε σταθερούς συντελεστές, αποδεικνύεται το ακόλουθο ϑεώ- ϱηµα Θεώρηµα Το σηµείο ισορροπίας α = B της Ε 1 A y x+1 = Ay x + B, A 1, x = 0,1,, είναι ευσταθές όταν A < 1 και τότε για κάθε y 0 ισχύει ότι lim x y x = α Οταν A > 1, τότε το α είναι ασταθές και lim x y x = +, για κάθε y 0 α Τέλος, στην ειδική περίπτωση A = 1, έχουµε y 0 = y = y 4 = και y 1 = y 3 = y 5 =, και το α λέγεται ουδέτερο σηµείο ισορροπίας Παραδείγµατα: Από τις τελευταίες τρεις εφαρµογές και τις αντίστοιχες παρατηρήσεις, παίρνουµε ότι τα αντίστοιχα σηµεία ισορροπίας είναι: 1 α = 1: ασταθές, αφού A = > 1 (και πράγµατι ισχύει ότι lim x y x = + ) α = 4: ευσταθές, αφού A = 1 < 1 (και πράγµατι ισχύει ότι lim x y x = 4 = α) 3 α = 05: ουδέτερο, αφού A = 1 (και πράγµατι ισχύει ότι y 0 = y = y 4 =, και y 1 = y 3 = y 5 = )

31 Γεωµετρική (γραφική) µέθοδος χαρακτηρισµού των σηµείων ισορροπίας Παράδειγµα 1: y x+1 = 15y x 1, y 0 = 3 Αρχικά, ϐρίσκουµε το σηµείο ισορροπίας της: α = 15α 1 α = Στη συνέχεια ϐρίσκουµε µερικές αρχικές τιµές προκειµένου να σχεδιάσουµε τη γραφική πα- ϱάσταση: y 0 = 3, y 1 = 15 3 1 = 35, y = 15 35 1 = 45, y 3 = 15 45 1 = 5375, y y 3 = 5375 y = 15x 1 y = x y = 45 y 1 = 35 y 0 = 3 O 3 35 45 5375 x Οπως ϕαίνεται και στο σχήµα, lim x y x = +, άρα το σηµείο ισορροπίας είναι ασταθές Ασκηση: Τι ϑα συνέβαινε µε το lim x y x, αν ήταν y 0 = 1; Παράδειγµα : y x+1 = 08y x + 36, y 0 = 4 Σηµείο ισορροπίας: α = 08α + 36 α = y 1 = 08( 4)+36 = 68, y = 08 68+36 = 184, y 3 = 08( 184)+36 = 507, y y 1 = 68 y = 08x + 36 y 3 = 507 y = x O x y = 184 y 0 = 4 Οπως ϕαίνεται και στο σχήµα, lim x y x =, άρα το σηµείο ισορροπίας είναι ευσταθές 3

Παράδειγµα 3: y x+1 = y x + 4, y 0 = 6 Σηµείο ισορροπίας: α = α + 4 α = y 1 = 6 + 4 =, y = ( ) + 4 = 6, y 3 = 6 + 4 =, y y = x + 4 6 = y 0 = y = y = x O 6 x = y 1 = y 3 = = y 1 = y 3 = και 6 = y 0 = y =, άρα το σηµείο ισορροπίας είναι ουδέτερο Παρατήρηση: Η µέθοδος αυτή γενικεύεται και σε µη γραµµικές Ε πρώτης τάξης ως εξής: υο διαφορετικές (έστω και κοντινές ) αρχικές συνθήκες µπορεί να οδηγήσουν τη λύση στο ίδιο, ή σε διαφορετικά σηµεία ισορροπίας, ή και στο άπειρο Τότε δεν µπορούµε να αποφανθούµε άµεσα για το είδος της ευστάθειάς τους (αφού ο ορισµός που δώσαµε είναι τοπικός, γύρω από κάθε σηµείο ισορροπίας) Αν η f είναι αρκετά οµαλή (για παράδειγµα, παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο ισορροπίας), τότε µπορούµε να προσδιορίσουµε το είδος ευστάθειας του συγκεκριµένου σηµείου ισορροπίας χρησιµοποιώντας τη γραµµική προσέγγιση της εξίσωσης στο α Η συµπεριφορά της λύσης της y x+1 = f(y x ) (για αρχική συνθήκη αρκετά κοντά στο α) είναι ίδια µε τη συµπεριφορά της γραµµικής προσέγγισης στο α (µε εξαίρεση την περίπτωση f (α) = 1 που ϑα εξετάσουµε χωριστά αργότερα) Εστω λοιπόν η Ε y x+1 = f(y x ), α ένα σηµείο ισορροπίας (δηλαδή f(α) = α) και η f παραγωγίσιµη στο α Θέτουµε y x = α + u x Τότε f(y x ) = f(α + u x ) = f(α) + f (α)u x + f (α) u x + f (α) u 3 x + (σειρά Taylor)! 3! Εχουµε f(α + u x ) α + f (α)u x (γραµµική προσέγγιση της f) Ετσι, οπότε τελικά y x+1 = f(y x ) = f(α + u x ) α + f (α)u x = α + f (α)(y x α), y x+1 f (α)y x + α(1 f (α)) Η τελευταία εξίσωση αποτελεί γραµµική προσέγγιση της αρχικής y x+1 = f(y x ) (αφού είναι της µορφής y x+1 = Ay x + B, µε A = f (α) και B = α(1 f (α))) και δεδοµένου ότι είναι γραµµική Ε πρώτης τάξης, από το προηγούµενο ϑεώρηµα έχουµε ότι το σηµείο ισορροπίας α είναι: 1 ευσταθές, αν f (α) < 1 ασταθές, αν f (α) > 1 3 αν f (α) = 1, η γραµµική προσέγγιση δεν επαρκεί για το χαρακτηρισµό του σηµείου ισορροπίας 4

Παράδειγµα 1: y x+1 = 15y x 05yx Εχουµε ότι f(x) = 15x 05x και f (x) = 15 x Σηµείο ισορροπίας: α = 15α 05α α = 0 α = 1 Ετσι, το σηµείο ισορροπίας α = 0 είναι ασταθές, αφού f (0) = 15 > 1, ενώ το σηµείο ισορροπίας α = 1 είναι ευσταθές, αφού f (1) = 05 < 1 Το αποτέλεσµα ερµηνεύεται και γραφικά: y y = x 1 y 3 y 1 y 0 y = 05x + 15x y 3 y y 1 y 0 y0 y 1 y y 0 y 1 y 1 x y 3 Παρατηρούµε ότι όταν το y 0 ϐρίσκεται κοντά στο σηµείο ισορροπίας 1 (όπως το ϑετικό y 0 του σχήµατος), τότε οι διαδοχικές τιµές του y x τείνουν προς το 1 Αντίθετα, δεν υπάρχει τέτοια περιοχή κοντά στο σηµείο ισορροπίας 0 (όπως ϕαίνεται και από το αρνητικό y 0 του σχήµατος) Παράδειγµα : y x+1 = y x Εχουµε ότι f (x) = 1 + y x (1 + x) Σηµείο ισορροπίας: α = α 1 + α α = 0 f (0) = > 1, άρα το 0 είναι ασταθές α = 1 f (1) = 1 < 1, άρα το 1 είναι ευσταθές y y x+1 = y x 1 + y x y = x 1 1 O 1 y x+1 = y x 1 + y x x Ο προσδιορισµός της τεθλασµένης γραµµής του σχήµατος, σε κάθε µια από τις δύο περιπτώσεις (α = 0, α = 1), αφήνεται σαν άσκηση 5

Θα εξετάσουµε τώρα την τελευταία περίπτωση, όταν f (α) = 1 ιακρίνουµε υποπεριπτώσεις: f (α) = 1 Παρατηρούµε πρώτα ότι, αφού f(α) = α, το σηµείο (α,α) ϑα ανήκει και στη γραφική παράσταση της y = f(x) και η εφαπτοµένη της στο (α, α) ϑα είναι η: y f(α) = f (α)(x α) 4 y α = x α y = x Αν f (α) > 0 (άρα η f είναι κυρτή κοντά στο α), αποδεικνύεται ότι για y 0 < α το σηµείο ισορροπίας α είναι ευσταθές, ενώ για y 0 > α είναι ασταθές, όπως ϕαίνεται και στο επόµενο σχήµα Ενα τέτοιο σηµείο ισορροπίας (το οποίο δεν είναι πάντως ευσταθές) λέγεται κάτω ηµιευσταθές y α O α x Αν f (α) < 0 (άρα η f είναι κοίλη κοντά στο α), αποδεικνύεται ότι για y 0 < α, το σηµείο ισορροπίας α είναι ασταθές, ενώ για y 0 > α είναι ευσταθές (το αντίστοιχο σχήµα αφήνεται σαν άσκηση) Στην περίπτωση αυτή, το σηµείο ισορροπίας λέγεται άνω ηµιευσταθές Αν f (α) = 0, τότε ελέγχουµε το πρόσηµο της f (α) κοκ 4 Αφού f(α) = α και f (α) = 1 6

Η γενική περίπτωση καλύπτεται από το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω α σηµείο ισορροπίας της Ε y x+1 = f(y x ) και έστω f (α) = 1 Εστω επίσης ότι f (m) (α) = 0, για κάθε m =,3,,n 1 ενώ f (n) (α) 0 Τότε: Αν n άρτιος, τότε το α είναι κάτω ηµιευσταθές αν f (n) (α) > 0 και άνω ηµιευσταθές αν f (n) (α) < 0 Αν n περιττός, τότε το α είναι ευσταθές αν f (n) (α) < 0 και ασταθές αν f (n) (α) > 0 Παράδειγµα 1: y x+1 = y x y 3 x Για το σηµείο ισορροπίας α έχουµε: α = α α 3 α = 0 f (x) = 1 3x f (0) = 1, f (x) = 6x f (0) = 0, f (x) = 6 f (0) = 6 < 0 Αφού n = 3 περιττός, το α = 0 είναι ευσταθές Παράδειγµα : y x+1 = y 4 x y 3 x + 3y x 1 Σηµείο ισορροπίας: α = α 4 α 3 + 3α 1 (α + 1)(α 1) 3 = 0, άρα α = 1 ή α = 1 f (x) = 4x 3 6x + 3, f (x) = 1x 1x, f (x) = 4x 1 Για α = 1: f ( 1) = 7 = 7 > 1, εποµένως το α = 1 είναι ασταθές Για α = 1: f (1) = 1,f (1) = 0,f (1) = 1 > 0, άρα (n = 3 περιττός) το α = 1 είναι επίσης ασταθές Για τη δεύτερη υποπερίπτωση, όταν δηλαδή f (α) = 1, αποδεικνύεται το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Εστω α σηµείο ισορροπίας της Ε y x+1 = f(y x ) και έστω f (α) = 1 Αν f (α) + 3(f (α)) > 0, τότε το α είναι ευσταθές Αν f (α) + 3(f (α)) < 0, τότε το α είναι ασταθές Αν f (α) + 3(f (α)) = 0, τότε η διερεύνηση συνεχίζεται 7

3 Περιοδικότητα Η ακολουθία τιµών που παράγεται από µια Ε y x+1 = f(y x ), µε αρχική συνθήκη y 0, ονοµά- Ϲεται τροχιά (που αντιστοιχεί στο y 0 ) Γράφοντας f () y 1 = f(y 0 ) (y 0 ) αντί f(f(y 0 )) f (3) (y 0 ) αντί f(f(f(y 0 ))) y = f(y 1 ) = f(f(y 0 )) = f () (y 0 ), έχουµε y 3 = f(y ) = f(f(f(y 0 ))) = f (3) (y 0 ) κτλ κτλ Συνεπώς, η τροχιά που παράγεται από το y 0, είναι η: y 0,f(y 0 ),f () (y 0 ),,f (k) (y 0 ), Φυσικά, αν το y 0 είναι σηµείο ισορροπίας (οπότε f(y 0 ) = y 0 ), παίρνουµε την τροχιά (σταθερή ακολουθία): y 0,y 0,y 0, Αν τώρα έχουµε, για παράδειγµα, την Ε y x+1 = α y x, µε αρχική τιµή y 0, παίρνουµε y 1 = α y 0, y = α y 1 = α (α y 0 ) = y 0, y 3 = α y 1 = α y 0, y 4 = y 0,, δηλαδή η τροχιά είναι η ακολουθία: y 0,α y 0,y 0,α y 0,y 0, Μια τέτοια τροχιά λέγεται περιοδική (ή κύκλος) µε περίοδο, τα δε σηµεία y 0 και α y 0 λέγονται περιοδικά σηµεία Γενικά, το y 0 λέγεται περιοδικό σηµείο µε ϑεµελιώδη περίοδο k για την Ε y x+1 = f(y x ), αν f (k) (y 0 ) = y 0, όπου k ο µικρότερος ακέραιος για τον οποίο ισχύει η τελευταία σχέση Η τροχιά λέγεται περιοδική µε περίοδο k ή k-κύκλος Παρατήρηση: Προφανώς, ένα σταθερό σηµείο είναι περιοδικό µε περίοδο 1, η δε σταθερή τροχιά του είναι ένας 1-κύκλος Παράδειγµα: y x+1 = y x 1, y 0 = 1 y 1 = ( 1) 1 = 0, y = 0 1 = 1, y 3 = 1, Άρα έχουµε την περιοδική τροχιά µε ϑεµελιώδη περίοδο 1,0, 1,0, 1, Παρατήρηση: Προφανώς, από τον ορισµό τους, τα περιοδικά σηµεία µε ϑεµελιώδη περίοδο n, της Ε y x+1 = f(y x ), είναι λύσεις της εξίσωσης f (n) (x) = x Οµως, η εξίσωση αυτή δίνει επίσης όλα τα περιοδικά σηµεία µε ϑεµελιώδη περίοδο m, όπου m διαιρέτης του n Απόδειξη Θέλουµε να δείξουµε ότι f (n) (x) = x, όπου n = mλ, λ N και m ϑεµελιώδης περίοδος Χρησιµοποιούµε επαγωγή στο λ: Αν λ = 1, τότε n = m, άρα f (n) (x) = f (m) (x) = x Αν ισχύει για το λ 1, δηλαδή αν f (m(λ 1)) (x) = x, ϑα το δείξουµε για το λ Πράγµατι, f (n) (x) = f (mλ) (x) = f (m(λ 1)+m) (x) = f (m(λ 1)) (f (m) (x)) 5 = f (m(λ 1)) (x) 6 = x 5 Αφού m είναι ϑεµελιώδης περίοδος 6 Από την υπόθεση της επαγωγής 8

Παράδειγµα: Να ϐρεθούν τα περιοδικά σηµεία µε ϑεµελιώδη περίοδο για την Ε : Λύνουµε την εξίσωση: y x+1 = y x 1 f () (x) = x (x 1) 1 = x x 4 x = 0 x(x + 1)(x x 1) = 0, οπότε x = 0 ή x = 1 ή x x 1 = 0 Οι λύσεις της εξίσωσης x x 1 = 0 είναι τα σηµεία ισορροπίας της Ε, δηλαδή τα περιοδικά σηµεία περιόδου 1 (όπου ϕυσικά το 1 διαιρεί το ) Οι υπόλοιπες λύσεις λοιπόν (x = 0, x = 1) δίνουν τα Ϲητούµενα σηµεία (µε ϑεµελιώδη περίοδο ): y 0 = 0 και y 0 = 1 (το οποίο είχαµε ϐρει και στο παράδειγµα µετά τον ορισµό της περιοδικότητας) 33 ιακλαδώσεις Εστω οι Ε y x+1 = y x c (για τις διάφορες τιµές του c) Οπότε, f(x) = x c, f (x) = x, f (x) =, f (x) = 0 Για να ϐρούµε τα σηµεία ισορροπίας, λύνουµε την εξίσωση: x 1 = 1 + 1 + 4c x = x c x x c = 0 x = 1 1 + 4c Προφανώς, πρέπει c 1 4 Για c = 1 4, έχουµε ένα σηµείο ισορροπίας, το x = 1, µε f (x ) = 1, f (x ) = > 0 Άρα είναι κάτω ηµιευσταθές Για c > 1 4, έχουµε f (x 1 ) = 1 + 1 + 4c > 1, άρα το x 1 είναι ασταθές Για το χαρακτηρισµό του x, παρατηρούµε αρχικά ότι f (x ) = 1 1 + 4c < 1 και διακρίνουµε περιπτώσεις: Για να έχουµε f (x ) < 1, πρέπει να ισχύει ότι 1 1 + 4c > 1 c < 3 Ωστε για 4 c ( 1 4, 3 4 ), το x είναι ευσταθές Αν c > 3 4, έχουµε f (x ) < 1, άρα f (x ) > 1, οπότε το x είναι ασταθές Αν c = 3 4, τότε x = 1, οπότε f (x ) = 1 και f (x ) + 3(f (x )) = 0 + 3 = 1 > 0, οπότε το x είναι ευσταθές Ωστε τα ποιοτικά χαρακτηριστικά της οικογένειας εξισώσεων διαφορών y x+1 = yx c αλλάζουν για τις διαφορετικές τιµές του c Το ϕαινόµενο αυτό λέγεται διακλάδωση 9

4 Μη Γραµµικά υναµικά Συστήµατα Στα γραµµικά δυναµικά συστήµατα ασχοληθήκαµε µόνο µε το σηµείο ισορροπίας (0, 0) Αυτό επιτρέπεται (χωρίς να µας περιορίζει ουσιαστικά) διότι, ϐάσει σχετικού ϑεωρήµατος, όλες οι λύσεις του (µη οµογενούς) γραµµικού δυναµικού συστήµατος Ẋ(t) = A(t) X(t) + C(t) έχουν την ίδια ιδιότητα ευστάθειας (αστάθεια, ευστάθεια, ασυµπτωτική ευστάθεια) µε τη µηδενική λύση του αντίστοιχου οµογενούς γραµµικού δυναµικού συστήµατος Ẋ(t) = A(t) X(t) Τα παραπάνω δεν ισχύουν για τα µη γραµµικά δυναµικά συστήµατα Γενικά, κατά την ανάλυση δυναµικών συστηµάτων, συχνά ϑεωρούµε έναν περιορισµό του πλήρους ή ολικού διαγράµ- µατος ϕάσεων σε µια περιοχή (όσο κοντά ϑέλουµε) ενός σηµείου Ενας τέτοιος περιορισµός λέγεται τοπικό διάγραµµα ϕάσεων στο σηµείο αυτό Αν ϑεωρήσουµε τον περιορισµό ενός απλού γραµµικού δυναµικού συστήµατος σε µια περιοχή π του (0,0), υπάρχει µια περιοχή π π και µια συνεχής και αµφιµονοσήµαντη απεικόνιση που διατηρεί τον προσανατολισµό των τροχιών και απεικονίζει τον περιορισµό του διαγράµµατος ϕάσεων στην π, επί του πλήρους διαγράµµατος ϕάσεων Λέµε, µε άλλα λόγια, ότι το τοπικό διάγραµµα ϕάσεων στην αρχή των αξόνων είναι ποιοτικά ισοδύναµο µε το ολικό διάγραµµα ϕάσεων του συστήµατος Στα µη γραµµικά δυναµικά συστήµατα τώρα, µπορεί να έχουµε πολλά σηµεία ισορροπίας και συχνά µπορούµε να ϐρούµε το τοπικό διάγραµµα ϕάσεων για κάθε ένα από αυτά Παρ όλα αυτά όµως, τα τοπικά αυτά διαγράµµατα ϕάσεων δεν προσδιορίζουν πάντα το ολικό διάγραµµα ϕάσεων Για παράδειγµα, µπορούµε να πάρουµε τα διαγράµµατα ϕάσεων τριών µη γραµµικών δυναµικών συστηµάτων που αντιστοιχούν σε τρία διαφορετικά Ϲεύγη των παραµέτρων α, β του παρακάτω συστήµατος ẋ 1 = αx + x 1 (1 x 1 x ) x (x 1 + x ) ẋ = αx 1 + x (1 x 1 x ) x 1(x 1 + x ) + β έτσι ώστε και για τα τρία συστήµατα να υπάρχουν τρία σηµεία ισορροπίας µε ίδια τοπικά διαγράµ- µατα, αλλά το ένα από τα ολικά διαγράµµατα να είναι διαφορετικό, διότι περιέχει µια αποµονωµένη κλειστή τροχιά (οριακός κύκλος) γύρω από ένα σηµείο ισορροπίας, η οποία δεν εµφανίζεται στα άλλα δύο Η ύπαρξη οριακών κύκλων απαιτεί µια ολική προσέγγιση Κατά συνέπεια, η µελέτη µη γραµµικών συστηµάτων περιλαµβάνει τεχνικές που σχετίζονται και µε την τοπική και µε την ολική συµπεριφορά 30

Μη γραµµικά δυναµικά συστήµατα της µορφής: ẋ 1 = F(x 1,x ) = ax 1 + bx + h 1 (x 1,x ) για τα οποία υποθέτουµε ότι: ẋ = G(x 1,x ) = cx 1 + dx + h (x 1,x ) i) οι F, G καθώς και οι πρώτες παράγωγοί τους είναι συνεχείς κοντά στο (0,0), ii) ad bc 0, h i (x 1,x ) iii) lim = 0, i = 1,, (όπου r = x r 0 1 r + x ) Παρατήρηση: Προφανώς, το (0, 0) είναι σηµείο ισορροπίας του συστήµατος Ενα σηµείο ισορ- ϱοπίας που ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες λέγεται απλό σηµείο ισορροπίας του δοθέντος συστήµατος Το (γραµµικό) σύστηµα: ẋ 1 = ax 1 + bx ẋ = cx 1 + dx λέγεται γραµµικοποίηση του δοθέντος µη γραµµικού συστήµατος Λόγω της υπόθεσης iii), ϕαίνεται ότι το διάγραµµα ϕάσεων του δοθέντος (µη γραµµικού) συστήµατος, ϑα µοιάζει κοντά στο (0, 0) µε εκείνο του γραµµικοποιηµένου συστήµατος Πράγµατι, αυτό εξασφαλίζεται από το επόµενο ϑεώρηµα: Θεώρηµα Αν ϑέσουµε V (x 1,x ) = (F(x 1,x ),G(x 1,x )) και U(x 1,x ) = (ax 1 + bx,cx 1 + dx ), τότε το απλό σηµείο ισορροπίας (0, 0) του µη γραµµικού δυναµικού συστήµατος είναι µεµονωµένο και ισχύουν οι: V lim = 1 και lim(arg V arg U) = 0 r 0 U r 0 31

41 Σηµεία ισορροπίας - Ευστάθεια (σε µη γραµµικά δυναµικά συστήµατα) Στην προσπάθειά µας να χρησιµοποιήσουµε ορολογία αντίστοιχη µε αυτή των γραµµικών δυναµικών συστηµάτων, εξυπηρετεί εδώ η εισαγωγή πολικών συντεταγµένων Εστω ότι έχουµε µια τροχιά C του µη γραµµικού δυναµικού συστήµατος, η οποία περιγράφεται µέσω των x 1 = x 1 (t) και x = x (t) Μπορούµε να αναπαραστήσουµε την C µέσω των όπου r = r(t), θ = θ(t), (r(t) > 0) x 1 (t) = r(t)cos θ(t), x (t) = r(t)sin θ(t) Εχουµε λοιπόν τώρα τους παρακάτω ορισµούς - χαρακτηρισµούς σηµείων ισορροπίας: Το απλό σηµείο ισορροπίας (0,0) του µη γραµµικού δυναµικού συστήµατος λέγεται: Σαγµατικό, αν υπάρχουν δύο τροχιές που διέρχονται από το (0, 0) από αντίθετες διευθύνσεις και όλες οι άλλες τροχιές που ϐρίσκονται κοντά σε οποιαδήποτε από αυτές τις δύο, αποµακρύνονται από το (0,0) καθώς το t τείνει στο άπειρο Κόµβος, αν lim t + r(t) = 0 ή Σπειροειδές, αν lim r(t) = 0 και lim θ(t) = c ή t t + lim θ(t) = c t lim t + r(t) = 0 ή lim r(t) = 0 και lim θ(t) = + ή lim θ(t) = + t t + t Κέντρο, αν υπάρχει µια περιοχή του (0, 0) που περιέχει αριθµήσιµο πλήθος από κλειστές τροχιές, κάθε µια από τις οποίες περιβάλλει το (0, 0) και τείνει να γίνει σηµειώδης (να ταυτιστεί µε το σηµείο (0,0)) Θεώρηµα Αν το (0,0) είναι ασταθές (ή ασυµπτωτικά ασταθές) σηµείο ισορροπίας του γραµµικοποιηµένου συστήµατος, τότε ϑα είναι ασταθές (ή ασυµπτωτικά ασταθές αντίστοιχα) σηµείο ισορροπίας και του αρχικού (µη γραµµικού) συστήµατος Θεώρηµα Αν το (0, 0) είναι σαγµατικό, ή σπειροειδές σηµείο ισορροπίας, ή κόµβος για το γραµµικοποιηµένο σύστηµα, τότε ϑα είναι αντίστοιχα σαγµατικό, ή σπειροειδές σηµείο ισορροπίας, ή κόµβος και για το αρχικό (µη γραµµικό) σύστηµα Ανακεφαλαιώνοντας και γενικεύοντας, έχουµε το επόµενο ϐασικό ϑεώρηµα: ẋ 1 = F(x 1,x ) Θεώρηµα (Γραµµικοποίησης) Εστω ότι το µη γραµµικό σύστηµα έχει ένα απλό ẋ = G(x 1,x ) σηµείο ισορροπίας, το (0,0) Τότε σε µια περιοχή του (0,0) τα διαγράµµατα ϕάσεων του συστήµατος και της γραµµικοποίησής του είναι ποιοτικά ισοδύναµα, µε την προϋπόθεση ότι το (0, 0) δεν είναι κέντρο για το γραµµικοποιηµένο σύστηµα Το γραµµικοποιηµένο σύστηµα είναι το: F F x 1 x Ẋ = AX, όπου A = G G x 1 x (x 1,x )=(0,0) 3

Παράδειγµα: Να ϐρεθούν τα σηµεία ισορροπίας του (µη γραµµικού) συστήµατος: ẋ 1 = x 1 + 4x + e x 1 1 ẋ = x x e x 1 και στη συνέχεια να γραµµικοποιηθεί το σύστηµα στα σηµεία αυτά Λύση: Τα σηµεία ισορροπίας ϐρίσκονται λύνοντας το σύστηµα: x 1 + 4x + e x 1 1 = 0 x x e x 1 = 0 Από τη δεύτερη εξίσωση έχουµε ότι x (1 + e x 1 ) = 0 x = 0 Η πρώτη εξίσωση, για x = 0, γίνεται x 1 + e x 1 1 = 0 7 x 1 = 0 γραµµικοποιηµένο σύστηµα ϑα είναι το F F x 1 x Ẋ = X = G G x 1 x ẋ 1 = x 1 + 4x δηλαδή το ẋ = x (x 1,x )=(0,0) Ωστε το σηµείο ισορροπίας είναι το (0,0) Άρα, το 1 + e x 1 4 x e x 1 1 e x 1 X = (x 1,x )=(0,0) Παρατήρηση: Το παραπάνω γραµµικοποιηµένο σύστηµα έχει A = του ϑα ϐρίσκονται από την λ 4 0 λ = 0 λ = ± [ ] 4 0 (πραγµατικές και ετερόσηµες) [ x1 x ], [ ] 4 Άρα οι ιδιοτιµές 0 Άρα το σηµείο ισορροπίας είναι σαγµατικό σηµείο (και όχι κέντρο) Άρα το γραµµικοποιηµένο σύστηµα είναι ποιοτικά ισοδύναµο µε το αρχικό Άρα και το αρχικό (µη γραµµικό) σύστηµα έχει σαγµατικό σηµείο ισορροπίας το (0,0) Γενίκευση: Στην περίπτωση που το σηµείο ισορροπίας δεν είναι το (0,0) αλλά το (ξ,η), τότε η γραµµικοποίηση δίνεται από το σύστηµα ] [ x1 X = A X, όπου X = = x [ ] x1 ξ x η 7 Η λύση x 1 = 0 είναι µοναδική, αφού f (x 1) = 1 + e x 1 > 0 και άρα η συνάρτηση f(x 1) = x 1 + e x 1 1 είναι γνησίως αύξουσα 33

Παράδειγµα: Να ϐρεθούν τα σηµεία ισορροπίας του συστήµατος: ẋ 1 = e x 1+x x ẋ = x 1 + x 1 x και στη συνέχεια να γραµµικοποιηθεί το σύστηµα στα σηµεία αυτά Λύση: Για τα σηµεία ισορροπίας, λύνουµε το σύστηµα: e x 1+x x = 0 e x 1+x x = 0 x 1 + x 1 x = 0 x 1 (x 1) = 0 e x 1+x x = 0 x 1 = 0 ή x = 1 Για x 1 = 0, η πρώτη δίνει e x x = 0, αδύνατο (από τη γνωστή ανισότητα e x x + 1,x R) Για x = 1, η πρώτη δίνει e x1+1 = 1 x 1 = 1 (προφανής και µοναδική λύση) Άρα, το µοναδικό σηµείο ισορροπίας είναι το (ξ,η) = ( 1,1), οπότε [ e x 1 +x e x 1 = x 1 + 1, x = x 1, A = x ] [ ] 1+x 1 1 0 =, 1 + x x 1 0 1 άρα, το γραµµικοποιηµένο σύστηµα στο (-1,1) είναι το [ ] [ ] ] 1 0 X = 0 1 X 1 0 [ x1 = 0 1 x ή (επιστρέφοντας στις αρχικές συντεταγµένες), αφού παίρνουµε ẋ 1 = x 1 + 1 ẋ = x 1 (x 1,x )=( 1,1) x1 = x 1 x = x, x 1 = x 1 + 1 x = x 1 και άρα x1 = ẋ 1, x = x Παρατήρηση: Πάλι από την 1 λ 0 0 1 λ = 0 παίρνουµε τις πραγµατικές, ετερόσηµες ιδιοτι- µές λ = ±1 και άρα σαγµατικό σηµείο ισορροπίας Ασκηση: ίδονται τα συστήµατα: ẋ 1 = x + x 1 (x 1 + x ) και ẋ = x 1 + x (x 1 + x ) ẋ 1 = x x 1 (x 1 + x ) ẋ = x 1 x (x 1 + x ) 1 Να ϐρεθούν τα σηµεία ισορροπίας τους και µετά να γραµµικοποιηθούν στα σηµεία αυτά Τα αρχικά συστήµατα να γραφούν και µε χρήση πολικών συντεταγµένων dr dt = dr r3 dt = r3 3 Να δειχθεί ότι για το πρώτο παίρνουµε ενώ για το δεύτερο dθ dt = 1 dθ dt = 1 4 Να αιτιολογηθεί γιατί το σηµείο ισορροπίας του πρώτου είναι ασταθές, ενώ του δευτέρου είναι ευσταθές Τι παρατηρείτε για το αντίστοιχο σηµείο ισορροπίας του γραµµικοποιηµένου συστήµατος; ẋ 1 = x Απάντηση: 1 Σηµείο ισορροπίας (0, 0), γραµµικοποιηµένο σύστηµα 4 Στο πρώτο η r είναι ẋ = x 1 γν αύξουσα ενώ στο δεύτερο είναι γν ϕθίνουσα, στο γραµµικοποιηµένο το σηµείο ισορροπίας είναι κέντρο 34