UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO DIPLOMSKO DELO ZDENKA MIHELIČ

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Študijski program: matematika in fizika KROŽNICE IN HERMITSKE MATRIKE DIPLOMSKO DELO Mentor: prof. dr. Matija Cencelj Somentor: dr. Tadej Starčič Kandidatka: Zdenka Mihelič Ljubljana, junij 2016

i Zahvala Najlepše se zahvaljujem mentorju dr. Matiji Cenclju in somentorju dr. Tadeju Starčiču za vsestransko pomoč, nasvete, potrpežljivo pregledovanje in strokovno vodenje pri pisanju diplomske naloge. Za podporo hvala družini in Simonu, ki mi vedno stoji ob strani in me spodbuja.

ii Program dela Raziščite zvezo med krožnicami v kompleksni ravnini in hermitskimi matrikami dimenzije 2 2 in to uporabite za obravnavo inverzije preko krožnice in stereografske projekcije. Osnovna literatura naj vam bo prvo poglavje naslednje knjige: H. Schwerdtfeger, Geometry of Complex Numbers, Circle Geometry, Moebius Transformation, Non-Euclidean Geometry, Dober Publications, inc., New York 1979. Ljubljana, april 2016. Mentor: Dr. Matija Cencelj

iii Povzetek Vsako krožnico v kompleksni ravnini predstavimo kot rešitev neke kompleksne enačbe in s tem kot hermitsko matriko dimenzije 2 2. Na ta način ne dobimo vseh hermitskih matrik, zato pa razumemo hermitske matrike kot posplošene krožnice, ki vključujejo tudi premice v kompleksni ravnini. To uporabimo za obravnavo inverzije preko krožnice in stereografske projekcije. Ključne besede: analitična geometrija krožnic, kompleksna števila, krožnica, hermitska matrika, inverzija, stereografska projekcija.

iv Abstract Every circle in the complex plane is presented as a solution of a complex equation and thus as a hermitian matrix of dimension 2 2. Not every hermitian matrix is obtained in this way, but we take the hermitian matrices as generalized circles, these include also lines in the complex plane. We use this to study inversion in a circle and the stereographic projection. Keywords: analytic geometry of circles, complex numbers, circle, hermitian matrix, inversion, stereographic projection.

KAZALO v Kazalo 1 UVOD 1 1.1 Geometrija............................. 1 1.2 Polje kompleksnih števil..................... 4 1.3 Hermitske matrike........................ 9 2 Predstavitev krožnic s hermitskimi matrikami 13 2.1 Ena krožnica........................... 13 2.2 Dve krožnici............................ 22 2.3 Svinčniki krožnic......................... 27 3 Inverzija 32 3.1 Definicija in osnovne lastnosti.................. 32 3.2 Ostale lastnosti inverzije in primeri............... 39 4 Stereografska projekcija 50 4.1 Definicija............................. 50 4.2 Osnovne lastnosti stereografske projekcije............ 53 4.3 Stereografska projekcija in polarnost.............. 56 5 Zaključek 60

1 UVOD 1 1 UVOD Za začetek bomo opredelili nekaj pojmov, ki jih bomo uporabili v nalogi v nadaljevanju. Najprej poglejmo, kaj sploh je geometrija in njen zgodovinski okvir. 1.1 Geometrija Vsebina tega podrazdelka je povzeta po [6]. Kaj je geometrija? Beseda geometrija izvira iz grščine (Gea zemlja, metros merjenje) in njen dobesedni pomen je zemljemerstvo. Geometrija, ki je ena najstarejših vej matematike, je posvečena proučevanju točk, črt, kotov, prostora in raznih oblik, velikosti različnih likov in teles, njihovih odnosov in lastnosti. Kratek zgodovinski oris Prve geometrijske pojme opazimo pri narodih, ki so že pred več tisočletji živeli v Egiptu in Mezopotamiji. Egiptovska reka Nil je vsako leto poplavila rodovitne doline in zbrisala meje zemljiških posestev med posameznimi območji, ki jih je bilo nato potrebno ponovno določiti. To so lahko naredili le ljudje, ki so znali natančno meriti, risati in računati. V povezavi s tem je ta veja matematike dobila tudi ime: merjenje zemlje. Od 7. stoletja pred našim štetjem so razvoj geometrije intenzivno nadaljevali stari Grki v antični Grčiji, kamor so jo iz Egipta prinesli trgovci. Tales iz Mileta (624 547 pred našim štetjem) je v Grčijo prinesel egipčanske metode, ki so jih Grki podprli z dokazi ter intenzivno nadaljevali z razvojem geometrije (Silvester, 2001). Približno v 5. stoletju pred našim štetjem sta se

1 UVOD 2 izoblikovala pojma trditve in njenega strogega dokaza. Hipokrat, Evdoks in Arhit so imeli pri tem pomembne zasluge. Dve stoletji kasneje, v 3. stoletju, je bilo nakopičenega že toliko gradiva in različnih metod, da so nastali prvi poskusi združitve geometrijskih znanj v enoten sistem. Najznamenitejši geometer tedanjega časa je bil Platonov učenec Evklid. Aksiomi evklidske geometrije Temelje geometrije evklidske oziroma običajne je postavil starogrški matematik Evklid (tudi Evklides) [evklíd/evklídes] (starogrško Eυκλɛιδης: Eukleídes), ki velja za začetnika ali očeta sodobne geometrije, že okoli leta 300 pred našim štetjem. In sicer tako, da je določil pet aksiomov temeljnih resnic. Znano je le to, da je od leta 305 pred našim štetjem živel na Ptolomejevem dvoru v Aleksandriji, čas Ptolomejeve vladavine se začne leta 323 pred našim štetjem in zaključi leta 285 ali 283 pred našim štetjem. Evklid je tam osnoval visoko šolo, na kateri je predaval geometrijo. Šola je postala znana po vsem tedanjem kulturnem svetu. Kasneje je živel tudi v Egiptu. Njegov čas je označeval prehod nadvlade v znanosti iz Aten v Aleksandrijo. Umrl je leta 275 pred našim štetjem. Evklidovo glavno delo Elementi ali Osnove (včasih se naslov Stoihea prevaja tudi kot Začetki) obsega trinajst knjig in velja za eno od najpomembnejših znanstvenih del vseh časov. Najstarejši znani izvod te knjige je iz leta 876. Peta, sedma, osma, deveta in deseta knjiga so pretežno posvečene aritmetiki, podani v geometrijski obliki, druge pa dejansko govorijo o geometriji. Zasnova dela je celo za današnjega bralca neverjetno sodobna. Evklid

1 UVOD 3 je izhajal iz manjšega števila aksiomov oziroma postulatov osnovnih resnic, ki so tako očitne, da jih ni treba dokazovati. Na podlagi teh aksiomov je potem dokazal veliko število precej bolj zapletenih lastnosti. Pri uvajanju novih pojmov je uporabljal jasne in natančne definicije, pri dokazovanju izrekov pa matematično strogost, ki je bila vzor naslednjim rodovom še stoletja. Aksiomatična metoda razvijanja matematične teorije se je uveljavila šele več stoletij pozneje. Geometrija je torej nabor matematičnih objektov, ki zadoščajo naslednjim aksiomom oziroma postulatom osnovnim resnicam. Te so: Aksiom 1: Skozi poljubni dve točki poteka točno ena premica. Aksiom 2: Premica je neomejena lahko jo podaljšamo v neskončnost. Aksiom 3: Za katero koli daljico obstaja krožnica, ki ima to daljico za polmer in eno od krajišč za središče. Aksiom 4: Vsi pravi koti so med seboj skladni. Aksiom 5: Če poljubni premici sekamo s tretjo premico (prečnico) in je vsota notranjih kotov na eni strani prečnice manjša od dveh pravih kotov, potem se dani premici sekata na tej strani prečnice. Peti postulat je nekoliko nerodno formuliran. Poznejši matematiki so ga nadomestili z aksiomom o vzporednici, ki je razumljivejši, po matematičnem pomenu pa je enakovreden: Skozi poljubno točko T, ki ne leži na premici p, poteka natanko ena vzporednica k premici p. Zanimivo je, da je ravno ta aksiom pritegnil še posebno zanimanje nekaterih matematikov in pozneje pripeljal do odkritja neevklidskih geometrij.

1 UVOD 4 Analitična geometrija Pomemben del sodobne evklidske geometrije je tudi analitična geometrija. Za začetnika te veje geometrije velja: René Descartes (latinsko Renatus Cartesius), francoski filozof in prirodoslovec, ki se je rodil 1. marca 1596 v francoskem kraju La Haye en Touraine (zdaj Descartes) v Indre-et-Loire. Umrl je 11. februarja 1650 v Stockholmu na Švedskem. Uvrščamo ga med racionaliste in začetnike sodobne filozofije. Vpeljal je svoje metode za raziskovanje v znanosti in jih objavil v delu Razprava o metodi. Najbolj poznan je njegov rek Cogito, ergo sum. (Mislim, torej sem.). Zelo pomembni so tudi njegovi dosežki in odkritja v matematiki, predvsem v geometriji, in fiziki. Descartes je v svojih delih postavil osnove kartezičega koordinatnega sistema, s pomočjo katerega je utemeljil analitično geometrijo (uporaba algebre pri razlagi geometrijskih lastnosti teles). Tako je omogočil povezavo med geometrijo in računsko usmerjenimi matematičnimi panogami: aritmetiko, analizo in algebro. Koordinatni sistem omogoča, da točko zapišemo s števili (koordinatami), premico ali krivuljo pa z enačbo. Posledično lahko geometrijsko reševanje geometrijskih problemov nadomestimo z računskimi postopki. 1.2 Polje kompleksnih števil Kompleksna števila Ker bomo obravnavali krožnice s kompleksnimi števili in z njimi pojem krožnice tudi posplošili, podrobno predstavimo kompleksna števila.

1 UVOD 5 V pomoč nam je bila knjiga [3]. V množici realnih števil R ne moremo rešiti enačbe: x 2 = 1. Zato polje realnih števil razširimo do polja kompleksnih števil, označimo ga s C, kjer lahko rešujemo omenjeno enačbo. Kompleksna števila lahko zapišemo v obliki z = x + yi, kjer je i imaginarna enota, in kjer realno število x, ki nastopa v tem zapisu, imenujemo realna komponenta števila z in to zapišemo: Re z = x, realno število y, ki nastopa v tem zapisu, imenujemo imaginarna komponenta števila z in to zapišemo: Im z = y. Seštevanje in odštevanje kompleksnih števil Dve kompleksni števili seštejemo (oziroma odštejemo) tako, da med sabo seštejemo (odštejemo) obe realni komponenti in potem še obe imaginarni komponenti. Torej: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i. Primera: (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i, (2 + 3i) (4 + 5i) = 2 2i. Množenje kompleksnih števil Dve kompleksni števili zmnožimo tako, da upoštevamo distributivnostni zakon (pomnožimo vsak člen prvega oklepaja z vsakim členom drugega oklepaja) in pravilo i 2 = 1: (a + bi)(c + di) = (ac bd) + (ad + bc)i.

1 UVOD 6 Primer: (2 + 3i)(4 + 5i) = 8 + 10i + 12i + 15i 2 = 8 + 22i 15 = 7 + 22i. Torej je množica kompleksnih števil: C = {x + yi; x, y R}. Če je imaginarna komponenta števila z enaka 0, ima število z samo realno komponento. V tem primeru je število z realno število. To pomeni, da realna števila razumemo kot podmnožico množice kompleksnih števil: R C. Konjugirana vrednost kompleksnega števila Konjugirano vrednost kompleksnega števila x + yi dobimo tako, da spremenimo predznak pri imaginarnem delu. Konjugirana vrednost števila z = x + yi je torej število z = x yi. Za konjugiranje veljajo naslednje lastnosti: z + w = z + w, z w = z w, zw = z w, ( z ) = z, w w (z) = z, zz = x 2 + y 2, z = z, če in samo če je z realno število. Obratna vrednost kompleksnih števil in deljenje kompleksnih števil Deljenje s številom a + bi je standardno definirano kot množenje z obratno vrednostjo. Pomagamo si tako, da deljenje zapišemo v obliki

1 UVOD 7 ulomka in potem števec in imenovalec pomnožimo s konjugirano vrednostjo imenovalca. (a+bi) (c+di) Primer: = (a + bi)( c d (c 2 +d 2 ) (c 2 +d 2 ) i) = (ac+bd) c 2 +d 2 (2+3i) = (2+3i) (4 5i) = (8+15) = 22+2i. (4+5i) (4+5i) (4 5i) ( 10+12i) 41 Geometrijska upodobitev kompleksnih števil + i (bc ad) c 2 +d 2 = (a+bi)(c di) (c+di)(c di). Realna števila smo upodobili na realni osi, ki jo realna števila popolnoma pokrijejo. Zato seveda kompleksnih števil ne moremo upodobiti na številski premici. Za upodobitev kompleksnih števil potrebujemo ravnino z ustreznim koordinatnim sistemom. Na vodoravno os (ki predstavlja realno os, Re) nanašamo realni del kompleksnega števila, na navpično os (imaginarna os, Im) pa nanašamo imaginarni del kompleksnega števila. Kompleksno število x+yi upodobimo s točko, ki ima koordinati T (x, y). Včasih uporabljamo tudi geometrijsko upodobitev kompleksnih števil z ravninskimi vektorji. Pri tem kompleksno število x + yi upodobimo kot vektor, ki poteka od izhodišča do točke T (x, y) (tj. točke T (x, y)). Absolutna vrednost kompleksnega števila krajevni vektor Kompleksna števila lahko naravno identificiramo s točkami v ravnini, če vanjo vpeljemo pravokotni koordinatni sistem. Absolutna vrednost kompleksnega števila z je oddaljenost točke, ki predstavlja to število v kompleksni ravnini, od izhodišča koordinatnega sistema. To je hkrati tudi dolžina krajevnega vektorja, ki ponazarja to število v kompleksni ravnini (glej Sliko 1). Absolutno vrednost kompleksnega števila z = x + yi izračunamo po

1 UVOD 8 Slika 1: Geometrijska upodobitev kompleksnega števila s točko in ravninskim vektorjem. naslednjih dveh formulah: z = x 2 + y 2, z = zz. Za absolutno vrednost kompleksnega števila veljajo naslednje lastnosti: zw = z w, z w = z w, z + w z + w.

1 UVOD 9 Slika 2: Prikaz kompleksne ravnine, kompleksnega števila z in njegove konjugirane vrednosti z. 1.3 Hermitske matrike Poglejmo si najprej, kaj so matrike, kakšne zakonitosti veljajo zanje in nekaj njihovih lastnosti. Matrike Matrika A reda m n z m-vrsticami in n-stolpci: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A =... = [a jk] a m1 a m1 a mn j-ta vrstica matrike A: A j = [ a 11 a 12 a jn ]. k=1,..., n j=1,..., m.

1 UVOD 10 k-ti stolpec matrike A: a 11 A k a 21 =.. a mk Komponenta oz. element matrike a jk leži v j-ti vrstici in k-tem stolpcu. Med matrikami istega reda veljata naslednji operaciji: Seštevanje matrik: k=1,..., n vsota matrik A, B; A = [a jk ] j=1,..., m, B = [b jk] A+B = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n... a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn k=1,..., n j=1,..., m, = [a jk + b jk ] k=1,..., n j=1,..., m. Primer: [ 3 1 2 0 5 2 ] + [ 1 1 2 3 2 1 ] = [ 4 2 4 0 7 3 ]. Množenje matrike s skalarjem: k=1,..., n A = [a jk ] j=1,..., m, λa = λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n... λa m1 λa m2 λa mn = [λa jk] k=1,..., n j=1,..., m. Primer: [ 2 4 1 2 2 ] [ = 8 2 4 4 ]. Množica matrik reda m n s kompleksnimi elementi tvori za ti dve operaciji vektorski prostor nad množico kompleksnih števil (C).

1 UVOD 11 Transponiranje in konjugiranje transponiranje matrik. k=1,..., n Matriki A = [a jk ] j=1,..., m priredimo transponirano matriko (transponiranko): A T (vrstice in stolpci se pri transponiranju zamenjajo). Primer: A = k=1,..., n = [a kj ] j=1,..., m [ 4 2 4 0 7 3 ], A T = Matriki A H k=1,..., n = [a kj ] j=1,..., m 4 0 2 7 4 3. pa pravimo konjugirana transponiranka matrike A (elementi [ v vrsticah ] in stolpcih se [ zamenjajo ] ter konjugirajo). 1 i 1 2 i Primer: A =, B = A 2 + i 4 + i H =. i 4 i Lastnosti pri transponiranju oziroma konjugiranem transponiranju: (A T ) T = A, (A H ) H = A (involucija), (A + B) T = A T + B T, (A + B) H = A H + B H, (λa) T = λa T, (λa) H = λa H. Posebni primeri kvadratnih matrik (to so matrike, ki imajo enako število vrstic in stolpcev A m m ): Simetrična matrika: A T = A, a jk = a kj, za vse j, k. 2 5 1 Primer: A = 5 3 4. 1 4 7 Diagonalna matrika: d jk = 0, če j k, matrika ima le po diagonali od 0 različne elemente (lahko pa je 0 tudi na diagonali). Diagonalna 2 0 0 matrika je tudi simetrična. Primer: A = 0 0 0. 0 0 7

1 UVOD 12 Enotska matrika ali identiteta (je tudi diagonalna matrika): 1 0 0 d 11 = d 22 = = d nn = 1. Primer: I = 0 1 0. 0 0 1 Ničelna matrika: je matrika samih 0, 0 m n = A, a jk = 0, za vse j, k. 0 0 0 0 = 0 0 0 0 0 0 Hermitske matrike: A H = A, a jk = a kj, za vse j, k. Nekaj značilnosti hermitskih matrik: Diagonalni elementi hermitske matrike so realna števila. Hermitska matrika, ki ima realne elemente, je realna in simetrična. Determinanta hermitske matrike je realno število ([5]). a jj = a jj R. Za matrike 2 2 se to hitro vidi: saj a 11 a 22 R. Primeri 2 2 in 3 3 hermitskih matrik: ( ) ( ) 1 1 + i 2i 1 i 3 2 + i,, 1 i 5 3 i 1 2 i 2 2i 3 0 a 11 a 12 a 12 a 22 = a 11a 22 a 12 a 12 R, V nadaljevanju se bomo ukvarjali samo s kvadratnimi matrikami 2 2..

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 13 2 Predstavitev krožnic s hermitskimi matrikami Pri pisanju tega razdelka je uporabljen glavni vir [1]. 2.1 Ena krožnica Vse točke z = x + yi kompleksne ravnine, ki ležijo na krožnici z radijem ρ okoli središča γ = α + iβ, so natanko vse rešitve enačbe (x α) 2 + (y β) 2 = ρ 2. Primer 1: x 2 + y 2 = 16. Ta enačba nam pove, da je središče krožnice v koordinatnem izhodišču A(0, 0), radij pa je ρ = 4, glej Sliko 3. Slika 3: Krožnica s središčem v koordinatnem izhodišču Primer 2: (x 3) 2 + (y 4) 2 = 9. Središče krožnice je v A(3, 4), radij krožnice je 3 ima tako premaknjeno središče, in sicer je središče v točki A(3, 4), glej Sliko 4.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 14 Slika 4: Krožnica s premaknjenim središčem Enačbo krožnice (x α) 2 + (y β) 2 = ρ 2 zapišimo v kompleksni notaciji s spremenljivkama z = x + yi in z = x yi. Označimo γ = α + βi. Enačba krožnice s središčem γ in radijem ρ dobi najprej obliko z γ 2 = ρ 2 in ko upoštevamo še (z γ)(z γ) = z γ 2 ter zmnožimo, sledi zz γz γz + γγ ρ 2 = 0. (1) Za naše namene je priporočljivo začeti z bolj splošno enačbo C(z, z) = Azz + Bz + Cz + D = 0, (2) kjer sta A in D realni, B in C pa konjugirani kompleksni števili. Matrika ( ) A B C = C D je tako hermitska matrika. Enačba (2) bo predstavljala krožnico (1), če (3) A 0, B = Aγ, C = Aγ = B, D = A(γγ ρ 2 ). (4)

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 15 V nadaljevanju bomo pojem krožnice razširili. Vsaki množici točk, ki jo določa enačba (2) (razen za A = B = C = 0), bomo rekli krožnica. Vsaka hermitska matrika C je povezana z enačbo (2). Zatorej je oznaka C uporabljena tako za označitev krožnice kot tudi pripadajoče hermitske matrike. Dve hermitski matriki C in C 1 predstavljata isto krožnico, če in samo če je C 1 = λc, kjer je λ realno, od 0 različno število. Da bi razlikovali med različnimi tipi krožnic, vključenih v tej definiciji, predstavljamo determinanto = C = AD BC = AD B 2, (5) očitno realno število (AD je realno število, saj sta A in D realni števili, B 2 pa je prav tako realno število), ki se imenuje diskriminanta krožnice C. Krožnici C, podani z enačbama (2) in (4), bomo rekli navadna realna krožnica. Za tako krožnico je diskriminanta enaka = AA(γγ ρ 2 ) Aγ 2 = A 2 ρ 2. (6) Zdaj zlahka vidimo, da je krožnica C, podana z enačbo (2), navadna realna krožnica, če in samo če je A 0 in < 0. Njeno središče γ in radij ρ lahko sedaj dobimo iz (4), (6) in krožnico označimo z (γ, ρ). Dobimo Ker je < 0, je ρ = A 2. γ = C A, ρ2 = A 2. Realne krožnice so v R R C, naše posplošene krožnice pa v C C.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 16 Krožnica se izrodi v premico, če je A = 0: izkaže se, da je to linearna enačba in sta x in y realna koeficienta. Azz + Bz + Cz + D = 0, A = 0 Enačba premice je tako: Bz + Cz + D = 0 (B + C)x + (B C)yi + D = 0 y = (B + C) (C B)i x + D (C B)i. Smerni koeficient in začetna vrednost premice sta realna, ker je (B + C) realno število, (C B) pa imaginarno. Za vsak A 0 in = 0 krožnica postane točkovna krožnica: ρ = 0. Primeri: Primer 1 Realna krožnica (Slika 5): ( 2 2 3i 2 + 3i 3 ), = AD B 2 = 6 13 = 7. Pogoja A 0 in < 0 sta izpolnjena. Zapišimo enačbo krožnice ter poiščimo njeno središče (γ = α + βi) in radij (ρ) v kartezičnih koordinatah. (x α) 2 + (y β) 2 = ρ 2 Azz + Bz + Cz + D = 0 2(x + yi)(x yi) + (2 3i)(x + yi) + (2 + 3i)(x yi) + 3 = 0 2x 2 + 2y 2 + 2x + 2yi 3xi + 3y + 2x 2yi + 3xi + 3y + 3 = 0

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 17 2x 2 + 2y 2 + 4x + 6y + 3 = 0 x 2 + y 2 + 2x + 3y + 3 = 0 2 (x + 1) 2 1 + (y + 3 2 )2 9 + 3 = 0 4 2 (x + 1) 2 + (y + 3 2 )2 7 = 0 4 Enačba krožnice: Radij krožnice: Središče krožnice: (x + 1) 2 + (y + 3 2 )2 = 7 4. ρ 2 = 7 4 > 0, ρ = 7 2. γ = 1 3 2 i. Če uporabimo formuli (4) in (6), dobimo seveda isti rezultat za γ in ρ. Slika 5: Primer realne krožnice.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 18 Primer 2 Krožnica, izrojena v premico: ( 0 1 + i 1 i 2 ), = AD B 2 = B 2 = 2. Pogoja A = 0 in < 0 sta izpolnjena. Zapišimo enačbo krožnice oziroma premice. Azz + Bz + Cz + D = 0 Bz + Cz + D = 0 (1 + i)(x + yi) + (1 i)(x yi) + 2 = 0 x + xi + yi y + x xi yi y + 2 = 0 2x 2y + 2 = 0 x y + 1 = 0 Dobili smo linearno enačbo in x, y sta realna koeficienta. Enačba premice v kartezičnih koordinatah se glasi: y = x + 1. Prikaz premice je na Sliki 6. Primer 3 Točkovna krožnica: ( 1 2 + i 2 i 5 ), = AD B 2 = 5 5 = 0. Pogoja A 0 in = 0 sta izpolnjena. Zapišimo enačbo krožnice. Azz + Bz + Cz + D = 0 x 2 + y 2 + (2 + i)(x + yi) + (2 i)(x yi) + 5 = 0

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 19 Slika 6: Primer krožnice, izrojene v premico. x 2 + y 2 + 2x + xi + 2yi y + 2x xi 2yi y + 5 = 0 x 2 + y 2 + 4x 2y + 5 = 0 x 2 + 4x + y 2 2y + 5 = 0 (x + 2) 2 4 + (y 1) 2 1 + 5 = 0 (x + 2) 2 + (y 1) 2 = 0 Dobili smo enačbo krožnice z radijem 0: (x + 2) 2 + (y 1) 2 = 0. Radij krožnice: ρ 2 = 0, ρ = 0. Prepričajmo se, da je radij 0, še s pomočjo diskriminante : = A 2 ρ 2, 0 = 1ρ 2, ρ 2 = 0, ρ = 0. Središče krožnice: γ = 2 + i.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 20 Krožnica s središčem γ in radijem ρ = 0 je točkovna krožnica, glej Sliko 7. S( 2 + i, 0). Slika 7: Primer točkovne krožnice. Vpeljemo še imaginarno krožnico. To je krožnica z enačbo (1) z radijem ρ 2 < 0. Ta krožnica je še vedno lahko predstavljena s simbolom (γ, ρ) in kot v primeru realne krožnice, γ in ρ dobimo iz (4) in (6). Velja pa > 0. Imaginarna krožnica nima realnih točk, kar pomeni: nobena točka ni predstavljena s kompleksnim številom z = x + yi, kjer sta x in y realni števili. Primer 4 Imaginarna krožnica: Kot primer vzemimo imaginarno enotsko krožnico ( ) 1 0 zz + 1 = 0, C =. (7) 0 1 Očitno ta enačba ne more biti rešena z običajnim kompleksnim številom z. Vendar pa jo lahko zapišemo v obliki x 2 + y 2 = 1 in ta enačba je

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 21 rešljiva s točkami (x, y), kjer koordinati x in y nista obe realni števili, na primer: x = 0 in y = i. Primer ( 5 ) Imaginarna krožnica: 5 i, = AD B i 2 2 = 10 1 = 9. Pogoja A 0 in > 0 sta izpolnjena. Zapišimo enačbo krožnice in poiščimo njeno središče (γ) in radij (ρ) v kartezičnih koordinatah. (x α) 2 + (y β) 2 = ρ 2 Azz + Bz + Cz + D = 0 5(x + yi)(x yi) + i(x + yi) + ( i)(x yi) + 2 = 0 5x 2 + 5y 2 + xi y xi + y + 2 = 0 5x 2 + 5y 2 + 2 = 0 5x 2 + 5y 2 = 2 x 2 + y 2 = 2 5 Enačba krožnice: x 2 + y 2 = 2 5. Kvadrat radija krožnice je negativen: ρ 2 = 2 5 < 0. Središče krožnice je v koordinatnem izhodišču: γ = 0 + 0i = 0. Krožnica s središčem γ in radijem ρ: S(0, 2). 5

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 22 Klasifikacija krožnic A 0 : < 0 Realna krožnica ρ 2 > 0 = 0 Točkovna krožnica ρ 2 = 0 > 0 Imaginarna krožnica ρ 2 < 0. A = 0 : Potem vedno drži = B 2 0 < 0 Premica = 0 Ni krožnice: B = C = 0. Po (6) je A = ± 1 ρ ( ). (8) Realna krožnica C je pozitivno orientirana, če je A > 0. V tem primeru bo C ista krožnica z negativno orientacijo. Orientacija usmerjene krožnice je lahko nakazana s puščico na obsegu. Pozitivna orientacija ustreza gibanju na obsegu v nasprotni smeri urinega kazalca, puščajoč notranjost krožnice na levi strani. Idejo orientacije bi lahko posplošili do imaginarne krožnice, način usmeritve pa označili s predznakom A. 2.2 Dve krožnici Naj C 1 in C 2 predstavljata dve različni krožnici; to pomeni, da dve hermitski matriki C 1 in C 2 nista linearno odvisni, tako ni realnega števila λ 0, da bi veljalo C 2 = λc 1. Sedaj obravnavamo družino krožnic z enim parametrom C = λ 1 C 1 + λ 2 C 2, λ 1, λ 2 sta realna, ne oba 0.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 23 To se imenuje svinčnik krožnic. Diskriminanta tega svinčnika je po definiciji determinanta C = λ 1A 1 + λ 2 A 2 λ 1 B 1 + λ 2 B 2 λ 1 C 1 + λ 2 C 2 λ 1 D 1 + λ 2 D 2 = 1λ 2 1 + 2 12 λ 1 λ 2 + 2 λ 2 2, (9) to je kvadratna forma v realnih spremenljivkah λ 1 in λ 2 z realnimi koeficienti 1 = C 1, 2 = C 2, 2 12 = A 1 D 2 + A 2 D 1 B 1 C 2 B 2 C 1. (10) Naj bo sedaj A 1 A 2 0. Če sta C 1, C 2 krožnici, določeni s središčema in radijema (γ 1, ρ 1 ), (γ 2, ρ 2 ), potem po (4) in (6) 1 = A 2 1ρ 2 1, 2 = A 2 2ρ 2 2, 2 12 = A 1 A 2 (δ 2 ρ 2 1 ρ 2 2), (11) kjer je δ = γ 1 γ 2 razdalja med njunima središčema. Nadalje privzemimo, da sta C 1 in C 2 obe realni krožnici (A j 0, j < 0, j = 1, 2) in da imata vsaj eno skupno realno točko (glej Sliko 8). Pri teh krožnicah je orientacija s predznakom koeficientov A j. Potem bo kot ω med tema dvema usmerjenima krožnicama C 1, C 2 definiran kot kot med tangentama na skupni točki, vzeto v smeri, določeni z orientacijo. Če je orientacija krožnic v isti smeri urinega kazalca (kot je na primer na Sliki 8), potem za kot med tangentama vzamemo ostri kot. Če se orientaciji krožnic ne ujemata, vzamemo topi kot. Pri oznakah kot na Sliki 8, kjer ω označuje ostri kot, po kosinusnem izreku velja δ 2 = ρ 2 1 + ρ 2 2 2ρ 1 ρ 2 cos ω. Če pa bi z ω označili topi kot, bi se v tej enačbi predznak zadnjega člena spremenil.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 24 Slika 8: Realni krožnici s skupno realno točko. Če ω označuje kot med tangentama, lahko zapišemo δ 2 = ρ 2 1 + ρ 2 2 2ρ 1 ρ 2 cos ω, (12) kjer je predznak zadnjega člena, če se orientaciji krožnic ujemata, sicer pa +.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 25 Zato je 2 12 = A 1 A 2 (δ 2 ρ 2 1 ρ 2 2) = 2A 1 A 2 ρ 1 ρ 2 cos ω = 2 ( 1 ) ( 2 ) cos ω, predznak je enolično določen z orientacijo teh dveh krožnic C j in 12 cos ω = = ± 12. (13) 1 2 1 2 Velja: 1 cos ω +1 oziroma cos ω 1. (14) Po (13) je to ekvivalentno z 1 2 2 12 0, (15) saj: cos ω 1 12 1 1 2 2 12 1 2 1 2 12 1 2 0 1 2 2 12 0. Če λ 0, lahko kvadratno formo (9) preoblikujemo v: C = 1 λ 2 1 + 2 12 λ 1 λ 2 + 2 λ 2 2 = = λ 2 2( 1 ( λ 1 λ 2 ) 2 + 2 12 ( λ 1 λ 2 ) + 2 ). Ker je 1 < 0 (realna krožnica), bo C ne-negativna za (2 12 ) 2 4 1 2 0 oziroma 1 2 2 12 0, je kvadratna forma (9) ne-pozitivna za vse realne vrednosti λ 1, λ 2.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 26 Domnevajmo, da sta obe krožnici pozitivno orientirani. Če je cos ω = +1, potem je ω = 0 in zato δ 2 = (ρ 1 ρ 2 ) 2, tako da se manjša krožnica dotika večje z notranje strani. Podobno velja, če je cos ω = 1, potem je ω = π, δ = ρ 1 + ρ 2, in se ti dve krožnici dotikata z zunanje strani. Očitno predstavlja desni člen v (13) realno število za kateri koli par realnih ali imaginarnih orientiranih (usmerjenih) krožnic. V primeru realnih krožnic C 1, C 2 bo tako. Če kvadratna forma (9) zavzame tako pozitivne kot tudi negativne vrednosti za različna para λ 1, λ 2, to pomeni, če 1 2 2 12 < 0; (16) potem je ali cos ω > +1, označujoč, da je manjša krožnica popolnoma vsebovana v večji, ali cos ω < 1, v tem primeru krožnici ležita zunaj druga druge. To vidimo, če (12) zapišemo v obliki (ρ 1 ρ 2 ) 2 δ 2 = 2ρ 1 ρ 2 (cos ω 1). (17) Dejansko cos ω > 1 pomeni ρ 1 ρ 2 > δ in cos ω < 1 podobno ρ 1 + ρ 2 < δ. Po (12) sta dve realni krožnici C 1, C 2 pravokotni, to pomeni pravokotni druga na drugo, če in samo če δ 2 = ρ 2 1 + ρ 2 2. (18) Glede na (13) lahko idejo o pravokotnosti razširimo. Za par krožnic, ne nujno realnih, vendar ne točkovnih krožnic ( j 0, je = 1, 2), rečemo, da

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 27 sta pravokotni, če 12 = 0, (19) kar je v primeru realnih krožnic ekvivalentno (18). 2.3 Svinčniki krožnic Za dve krožnici C 1, C 2 rečemo, da sta generatorja svinčnika λ 1 C 1 + λ 2 C 2. Kateri koli dve krožnici svinčnika lahko vzamemo za generatorja istega svinčnika. Naj bosta C 3 = µ 1 C 1 + µ 2 C 2, C 4 = ν 1 C 1 + ν 2 C 2, kjer µ j, ν j nista hkrati 0, j = 1, 2, različni krožnici svinčnika. Potem C 3 in C 4 generirata svinčnik λ 3 C 3 + λ 4 C 4 = (λ 3 µ 1 + λ 4 ν 1 )C 1 + (λ 3 µ 2 + λ 4 ν 2 )C 2, kjer λ 3, λ 4 nista hkrati 0, ki sovpada s svinčnikom, ki ga generirata C 1 in C 2, če izraza λ 3 µ 1 + λ 4 ν 1 in λ 3 µ 2 + λ 4 ν 2 nista hkrati 0. Kdaj pa velja: λ 3 µ 1 + λ 4 ν 1 = 0, in λ 3 µ 2 + λ 4 ν 2 = 0? Gre za sistem enačb. Če naj ima ta sistem netrivialno rešitev, mora biti determinanta sistema enaka 0. µ 1 ν 1 µ 3 ν 2 = µ 1ν 2 µ 2 ν 1 = 0. To pa pomeni, da so µ 1, µ 2 in ν 1, ν 2 sorazmerni, kar pomeni, da krožnici C 3, C 4 sovpadata in zato ne moreta tvoriti svinčnika. Obstajajo trije različni tipi svinčnikov:

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 28 (i) Eliptični svinčnik 1 2 2 12 > 0 ali cos ω < 1. Kvadratna forma (9) je očitno negativna: vse krožnice svinčnika so zato realne krožnice, ki potujejo skozi dve različni točki z 1, z 2, skupni točki C 1, C 2. Pravzaprav vse krožnice skozi ti dve točki pripadajo svinčniku. Katera koli taka krožnica ( ) A B C = C D mora zadovoljiti dvema pogojema C(z 1, z 1 ) = Az 1 z 1 + Bz 1 + Cz 1 + D = 0 C(z 2, z 2 ) = Az 2 z 2 + Bz 2 + Cz 2 + D = 0. To je sistem dveh linearnih homogenih enačb v A, B, C, D z matriko ( ) z1 z 1 z 1 z 1 1, z 2 z 2 z 2 z 2 1 (20) ki ima rang 2, ker z 1 z 2. Zatorej ima enačba 4 2 = 2 linearni neodvisni rešitvi, kjer pa za komponente A, B, C, D ni treba, da so elementi hermitske matrike. Toda opazimo, da sta za kateri koli podani A in B vrednosti C in D enolično definirani, ker je determinanta njihovih koeficientov v (20) enaka z 1 1 z 2 1 = z 1 z 2 0. ( ) ( ) A B A C Če je C = rešitev sistema (20), potem je tudi C C D H = B D rešitve sistema (20). Če konjugiramo enačbi v (20), dobimo enačbi Az 1 z 1 + Bz 1 + Cz 1 + D = 0 Az 2 z 2 + Bz 2 + Cz 2 + D = 0. Če za C vzamemo neko nehermitsko rešitev, potem bosta neodvisni hermitski rešitvi. C 1 = C + C H, C 2 = i(c C H ) (21) C = λ 1 C 1 + λ 2 C 2, z realnima λ 1, λ 2 (22) podajata najbolj splošno hermitsko rešitev.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 29 (ii) Parabolični svinčnik 1 2 2 12 = 0 ali cos ω = 1. Kvadratna forma (9) je popoln kvadrat z negativnim koeficientom: [ ( 1 )λ 1 + ( 2 )λ 2 ] 2 ; zato vsebuje svinčnik natanko eno realno točkovno krožnico: λ 1 = ( 2 ), λ 2 = ( 1 ), locirano na edino skupno točko vseh krožnic svinčnika. Tu se dotikajo druga druge (ω = 0 ali π). Vse krožnice svinčnika so realne. (iii) Hiperbolični svinčnik 1 2 2 12 < 0 ali cos ω > 1. Kvadratna forma (9) je nedoločena; zato svinčnik vsebuje realne krožnice, imaginarne krožnice in dve različni točkovni krožnici. Dve krožnici hiperboličnega svinčnika ne moreta imeti skupne točke. Trije tipi svinčnikov so prikazani na slikah 9 in 10.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 30 Slika 9: Pravokotna parabolična svinčnika.

2 PREDSTAVITEV KROŽNIC S HERMITSKIMI MATRIKAMI 31 Slika 10: Pravokotna svinčnika rdeči eliptični in modri hiperbolični.

3 INVERZIJA 32 3 Inverzija Obravnavana vsebina tega razdelka je povzeta po glavnem viru [1], v pomoč pa sta bila tudi vira [2] in [4]. 3.1 Definicija in osnovne lastnosti Najprej se spomnimo klasične definicije inverzije. Naj bo C(S, r) krožnica v ravnini. Inverzija I glede na to krožnico je preslikava I, I : R 2 \ {S} R 2 \ {S}, T = I(T ), ki poljubno točko T (pri čemer T ni središče krožnice inverzije) preslika v točko T, ki leži na poltraku ST tako, da velja: ST ST = r 2. Krožnico C imenujemo krožnica inverzije, točka S je središče inverzije, r je polmer inverzije in r 2 moč inverzije. Inverzija se od ostalih transformacij ravnin, ki jih poznamo (kot so na primer translacija, razteg, rotacija), razlikuje v tem, da lahko pri preslikavi zamenja krožnico in premico. S pomočjo naslednjega izreka bomo klasično definicijo inverzije razširili za bolj splošne krožnice. Izrek 1 Naj bo C 0 krožnica (ne točkovna krožnica) in z točka, niti ne na krožnici C 0 niti v njenem središcu. Potem obstaja ena in edina točka z, ki je različna od z in je skupna vsem krožnicam skozi z, ki so pravokotne na C 0. Točka z kot v Izreku 1 se imenuje inverz od z glede na krožnico C 0, ki je lahko realna, imaginarna ali premica. Transformacija, ki slika z v z, se imenuje inverzija glede na krožnico C 0.

3 INVERZIJA 33 Posebej definirajmo, da inverzija točko z na krožnici preslika samo vase. Inverzija je involucijska transformacija, to je transformacija, ki sovpada s svojim inverzom (če tako transformacijo naredimo dvakrat, pridemo nazaj v začetno stanje); saj je po Izreku 1 točka z hkrati tudi inverz z. Če je C 0 realna krožnica (γ 0, ρ 0 ), je premica skozi γ 0 in z pravkotna na krožnico C 0. Zato mora z ležati na tej premici in bo določena s še eno pravokotno krožnico. Oglejmo si primer: ( ) 1 0 Naj bo C 0 enotska krožnica zz 1 = 0, C 0 = in naj bo z = x 0 1 realen (x 0, x ±1). Potem je z = 1. Središča vseh krožnic C skozi x x in 1/x imajo zato absciso α = 1(x + 1). Od tod sledi tudi: 2xα = 2 x x2 + 1. Če je ρ radij krožnice C, po Pitagorovem izreku velja β 2 = ρ 2 (α x) 2 = ρ 2 α 2 x 2 + 2αx = ρ 2 α 2 + 1 (glej Sliko 11). Kvadrat razdalje med središčema krožnic C in C 0 (δ 2 ) je enak δ 2 = α 2 + β 2 = ρ 2 + 1. Kar po (18) pomeni, da sta krožnici C in C 0 pravokotni. Obratno: Naj gre krožnica C, podana z enačbo Azz + Bz + Cz + D = 0, pravokotna na C 0, skozi točko x 1. Po (10) in (19) dobimo za pravokotni pogoj 0 = 12 = A D. Če je x 1 en koren enačbe Ax 2 + (B + C)x + A = 0, je drugi koren x 2 = 1 x 1, saj velja ( ) 2 1 A + (B + C) 1 ( ) 2 1 + A = (Ax 2 1 + (B + C)x 1 + A) = 0. x 1 x 1 x 1 Krožnica C gre torej tudi skozi 1 x 1.

3 INVERZIJA 34 Slika 11: Primer, kjer je C 0 enotska krožnica in sta C in C 0 pravokotni krožnici. Dokaz Izreka ( 1 ) A0 B Naj bo C 0 = 0 hermitska matrika krožnice inverzije. Vzemimo C 0 D 0 sedaj z, ki ni v središču krožnice, torej ( velja ) z C 0 /A 0. A B Določiti moramo vse krožnice C =, ki gredo skozi z in so pravokotne C D na C 0, in pokazati, da gredo vse skozi določeno točko z. Tako dobimo tri

3 INVERZIJA 35 linearne homogene enačbe v štirih neznankah A, B, C, D: C(z, z) = Azz + Bz + Cz + D = 0 : z C 01 = AD 0 BC 0 CB 0 + DA 0 = 0 : C C 0 C(z, z ) = Az z + Bz + Cz + D = 0 : z C. (23) Te imajo vedno ne-ničelne rešitve. Obratno pa posamezna linearna neodvisna hermitska rešitev C utreza posamezni pravokotni krožnici C skozi z in z. Z namenom, da bi dobili dvo-parametsko družino rešitev, moramo najti z tako, da ima matrika treh enačb (23), to je zz z z 1 D 0 C 0 B 0 A 0 (24) z z z z 1 rang 2. Opazimo, da matriki (ne nujno hermitski) ( ) ( ) 1 z 1 z C (1) = z z, C (2) = z z zz = C H (25) rešita prvo in tretjo enačbo v (23). Rešiti pa morata tudi drugo enačbo v (23), zato mora veljati: A 0 z z + B 0 z + C 0 z + D 0 = C 0 (z, z) = 0, (26) kjer je z enolično definirana kot funkcija od z: S tem se dokaz zaključi. z = C 0z + D 0 A 0 z + B 0. (27) Če točka z leži na C 0, velja enačba C 0 (z, z) = A 0 zz + B 0 z + C 0 z + D 0 = 0 in ves razmislek v dokazu ostane v veljavi. Ob upoštevanju (26) dobimo (z z )(A 0 z + B 0 ) = 0.

3 INVERZIJA 36 Ker z C 0 /A 0, potem A 0 z + B 0 = A 0 z + C 0 0 ter nadalje sledi, da z = z. Zato je vsaka točka, ki leži na krožnici inverzije C 0, svoj lasten inverz. Te točke imenujemo negibne točke inverzije. Za krožnico C 0 se je do sedaj predvidelo, da ni točkovna krožnica; zato je determinanta C 0 = 0. Če je determinanta C 0 = 0 (in A 0), da je C 0 točkovna krožnica, potem Zatorej je po (27) D 0 = B 0C 0 A 0. z = C 0 A 0 = konst. neodvisna od z. To pomeni, da transformacija slika vsako točko z v eno in isto točko z ; zato ne more biti obrnljiva. Inverzija (27) se imenuje tudi simetrija glede na krožnico inverzije C 0 za z in z rečemo, da sta simetrični glede na C 0. Enačba (26) definira simetrijo med dvema točkama, z, z ; iz enačbe C 0 (z, z) = 0 krožnice inverzije C 0 je dobljena s formalno nadomestitvijo z z z in puščajoč z nespremenjen. Če zapišemo enačbo krožnice inverzije v obliki (z γ 0 )(z γ 0 ) = ρ 2 0 lahko izpeljemo z = (C 0z+D) A 0 z+b 0 = A 0C 0 z A 0 D 0 +B 0 C 0 B 0 C 0 A 2 0 (z+ B 0 ) A 0 = (B 0C 0 A 0 D 0 ) + C 0( A 0 z B 0 ) A 2 0 (z γ) A 2 0 (z+ B 0 ) A 0 = = A 2 0 (z γ) C 0 A 0 = γ 0 + ρ2 0 z γ 0. z = γ 0 + ρ2 0 z γ 0. (28) Ta definicija se seveda ujema s klasično definicijo, ki smo jo podali na začetku, saj je: z γ 0 z γ 0 = z γ 0 ρ 2 0 z γ = ρ2 0. 0 in

3 INVERZIJA 37 Če je C 0 realna (ρ 2 > 0), se inverzija imenuje hiperbolična. Z realno krožnico C 0 (γ 0, ρ 0 ) se povezuje imaginarna krožnica (γ 0, iρ 0 ). Glede na to krožnico je inverzna točka z od z dana z To je eliptična inverzija. z = γ 0 ρ2 0 z γ 0. (29) Eliptično inverzijo dobimo lahko tudi kot kompozitum hiperbolične inverzije in preslikave: z = 2γ 0 z. (30) Primera: ( ) 1 2 Primer 1: Dana je realna krožnica C =. 2 0 Poiščimo sliko te krožnice, ki jo dobimo ( z inverzijo ) glede na enotsko 1 0 krožnico z 2 = zz 1 = 0 oziroma C 0 =. 0 1 Po (28) inverzija preslika z v 1. z Naša krožnica: C(z, z) = zz 2z 2z = 0, z = x + yi. Krožnica ima središče v ρ = A = 2 in polmer γ = C A = 2. Gre skozi koordinatno izhodišče in središče enotske krožnice, ki je krožnica inverzije. Zgornja enačba se pri inverziji transformira v (glej Sliko 12): 1 ( 1) 2 1 2( 1) = 0 z z z z 1 1 2 1 2 1 = 0 z z z z 1 2z 2z = 0

3 INVERZIJA 38 1 2x 2yi 2x + 2yi = 0 4x = 1 premico, vzporedno z osjo y in z enačbo x = 1 4. Slika 12: Inverzija realne krožnice C v premico x = 1 4. Primer 2: Dana je krožnica, ki je izrojena v premico C = Enačba naše premice je: y = x + 1. ( ) 1 1 + i. 1 i 2 Poiščimo sliko te premice, ki jo dobimo ( z inverzijo ) glede na enotsko 1 0 krožnico z 2 = zz 1 = 0 oziroma C 0 =. 0 1 Po (28) inverzija preslika z v 1. z Enačba naše premice oz. krožnice, izrojene v premico: C(z, z) = (1 + i)z + (1 i)z + 2 = 0, z = x + yi.

3 INVERZIJA 39 Zgornja enačba se pri inverziji transformira v (glej Sliko 13): (1 + i) 1 z + (1 i)( 1 z ) + 2 = 0 (1 + i)z + (1 i)z + 2zz = 0 (1 + i)(x + yi) + (1 i)(x yi) + 2(x + yi)(x yi) = 0 x 2 + x + y 2 y = 0 (x + 1 2 )2 1 4 + (y 1 2 )2 1 4 = 0 krožnico z enačbo: (x + 1 2 )2 + (y 1 2 )2 = 1, s središčem v γ = 1 + 1 i 2 2 2 1 in polmerom ρ =. 2 3.2 Ostale lastnosti inverzije in primeri Vsaka točka v ravnini, razen središča z = γ 0 = C 0 /A 0 krožnice inverzije, se preslika z inverzijo v določeno točko z, določeno z (27) ali (28). bo z = f(z) ta relacija. Z namenom, da bi inverzija slikala celotno ravnino samo vase, je potrebno dopolniti običajno ravnino kompleksnih števih z dodajanjem nadaljnjega elementa, ki se imenuje točka neskončnosti in je predstavljena s simbolom. Zato dopolnimo definicijo inverzije s predpisom Naj f(γ 0 ) =. (31) Ker je inverzija involucija, to je, f(z ) = z, bi bilo naravno postaviti f( ) = γ 0, (32) po kateri je inverzija z = f(z) bijekcija dopolnjene ravnine C { } vase. Iz (27) ali (28) izhaja lim f(z) =, lim f(z) = γ 0, ki glede na (31) in z γ0 z (32) pomeni zveznost inverzije v središču γ 0 in v.

3 INVERZIJA 40 Slika 13: Inverzija premice y = x + 1 v krožnico C. Za transformacijo Z = φ(z) z-ravnine v Z-ravnino (za katero se lahko smatra, da se pokriva z z-ravnino, z ujemajočimi koordinatnimi sistemi in enakimi merili na oseh) rečemo, da je izogonalna v točki z 0, če preslika kateri koli dve krivulji, da se sekata v z 0 in oklepata kot 1 ω, v dve krivulji, ki se sekata pod kotom Ω = ±ω v Z 0 = φ(z 0 ). Transformacija se imenuje konformna v z 0, če Ω = ω. točki. 1 Kot med dvema krivuljama v točki preseka je, po definiciji, kot njunih tangent v tej

3 INVERZIJA 41 Dokazali bomo naslednja dva izreka. Izrek 2 Vsaka inverzija slika krožnice v krožnice, realne krožnice (vključujoč premice) v realne krožnice, imaginarne krožnice v imaginarne krožnice. Izrek 3 Inverzija je izogonalna transformacija, ki kota med krivuljema slika v negativni kot: ω = ω. Dovolj bo, da dokažemo te izjave le za primer hiperbolične inverzije. Zares je očitno, da z = 2γ 0 z (30) preslika krožnice v krožnice in je konformna transformacija. Če komponiramo krožnico-ohranjajočo izogonalno preslikavo s tako simetrijo (30), bo rezultat še ena krožnico-ohranjajoča izogonalna preslikava. Dokaz Izreka 2 Naj bo krožnica inverzije C 0 prava realna krožnica ( C 0 < 0, A 0 0). Zaradi geometrične definicije inverzije (osnovane na Izreku 1) njene geometrične lastnosti niso odvisne od položaja C 0 v ravnini ali dimenzije radija ρ 0. Zato izberimo γ 0 = 0, ρ 0 = 1. Po (28) je inverzija podana z z = 1. Naj bo C z katerakoli krožnica. Njena slika z inverzijo je dobljena z zamenjavo z = 1 z (2). Po množenju s pozitivnim faktorjem z z dobimo enačbo z z C( 1 z, 1 z ) = Dz z + Bz + Cz + A = 0. (33) ( ) D B To je enačba slike krožnice C 0 =. Njena diskriminanta je C A =, zatorej je C realna, če je C realna; in imaginarna, če je C imaginarna. Opomba. Krožnica C, ki gre skozi središče γ 0 krožnice inverzije (γ 0 = 0 v dokazu), se bo preslikala z inverzijo v krožnico, ki bo potovala skozi točko, to je premico. V resnici nobena realna krožnica ne vsebuje. Algebraično v

3 INVERZIJA 42 (v smislu dokaza): Če gre krožnica C skozi 0, potem je D = 0 in zato je C premica. Dokaz Izreka 3 Za dve krožnici C 1, C 2 poiščemo sliki C 1, C 2 glede na (33). Potem 1 = 1, 2 = 2 in tudi 12 = 12 ; zato po (13) velja cos ω = cos ω, (34) saj inverzija obrne orientacijo katere koli realne krožnice v nasprotno. Z istim argumentom lahko sklepamo tudi, da je ω = ω. Slika 14: Geometrijska konstrukcija pri dokazu Izreka 3. Če točka z leži na realni krožnici C, ki je pravokotna na (realno ali imaginarno) krožnico C 0, potem po Izreku 1 inverz z glede na C 0 leži na isti

3 INVERZIJA 43 krožnici C. In obratno, če obe z in z ležita na krožnici C, potem je C pravokotna na C 0. Zato: Posledica. Realna krožnica C C 0 se ohranja pri inverziji glede na C 0, če in samo če sta C in C 0 pravokotni. Če je C 0 realna, inverzija glede na C 0, preslika notranjost C vase. Primeri: Polara točke Polara točke z 0 0, glede na krožnico C + = (0, ρ) (ali C = (0, iρ)), je predstavljena z enačbo z 0 z + z 0 z = 2ρ 2 (ali = 2ρ 2 ). Polara točke z 0 potuje skozi inverzno točko z 0 od z 0 glede na to krožnico. Je pravokotna na vektor radija 0z 0. Če je z 0 točka krožnice, potem je polara tangenta na to krožnico v z 0. Naj bo z 0 zunaj realne krožnice C + ; njena polara preseka krožnico v dveh točkah z 1, z 2. Potem se tangente na to krožnico v z 1 in z 2 stikajo v z 0. Moč točke Naj bo γ 0 točka, a ne na krožnici C. Potem lahko najdemo krožnico C 0 = (γ 0, ρ 0 ), ki je pravokotna na C. Če je C realna, bo C 0 realna, če γ 0 leži zunaj C; imaginarna, če γ 0 leži znotraj C; če je C imaginarna, bo krožnica C 0 vedno realna. Naj bo C = (γ, ρ), potem je po (18) ρ 2 0 = γ γ 0 2 ρ 2. Ta konstanta se imenuje potenca točke γ 0 glede na krožnico C. Pozitivna je, če γ 0 leži zunaj C; negativna, če γ 0 leži znotraj C (glej Sliko 15).

3 INVERZIJA 44 Slika 15: Levo γ 0 leži zunaj C, desno γ 0 leži znotraj C. Negibne točke Točka z 0 se imenuje negibna ali invarianta točka transformacije Z = f(z), če zadošča enačbi f(z 0 ) = z 0. Hiperbolična inverzija izmenuje notranjost in zunanjost vsakega radija temeljne krožnice; zato ima ima točke krožnice in nobene druge kot negibne točke. Eliptična inverzija (imaginarna krožnica inverzije) ne poseduje nobene negibne točke. Za krožnico, popolnoma definirano s tremi točkami, je jasno, da je katerakoli hiperbolična inverzija definirana s tremi njenimi negibnimi točkami. Svinčnik in inverzija Rešitev enačb v (23), ki se glasijo:

3 INVERZIJA 45 C(z, z) = Azz + Bz + Cz + D = 0 : z C 01 = AD 0 BC 0 CB 0 + DA 0 = 0 : C C 0 C(z, z ) = Az z + Bz + Cz + D = 0 : z C. Domnevajmo, da z ni točka krožnice inverzije C 0. Če privzamemo pogoj (26), ki pravi A 0 z z + B 0 z + C 0 z + D 0 = C 0 (z, z) = 0, elementi dveh matrik C (1), C (2) (25) tvorijo bazo za rešitev (23). Z ustrezno linearno kombinacijo C (1), C (2) lahko dobimo hermitsko bazo: C 1 = 1 2 (C(1) + C (2) ), C 2 = 1 2 i(c(1) C (2) ). Dejansko, saj C (1)H = C (2), zato sledi, da C H 1 = C 1, C H 2 = C 2. Zato sta C 1 in C 2 hermitski matriki dveh različnih krožnic, ki potujeta skozi z in z : C 1 (z, z) = 0, C 1 (z, z ) = 0, C 2 (z, z) = 0, C 2 (z, z ) = 0. Generirata svinčnik λ 1 C 1 + λ 2 C 2 vseh krožnic, ki potujejo skozi z in so pravokotne na C 0. Naj bo C 0 krožnica inverzije in naj bo C 1 še ena podana krožnica (realna ali imaginarna). Krožnica C 1, slika C 1 glede na inverzijo preko C 0, je krožnica svinčnika, generiranega C 0 in C 1. Zato C 1 = λ 0 C 0 + λ 1 C 1 (35) z realnima λ 0, λ 1, ki nista oba 0. To je gemetrijsko razvidno, če imata C 0 in C 1 eno ali dve realni skupni točki. V tem primeru je svinčnik paraboličen ali eliptičen. Če ni skupne točke, je svinčnik hiperboličen. Pripadajoči točki z C 1 in z C 1 ležita na krožnici, ki poteka skozi z in je pravokotna na C 1 in na C 0.

3 INVERZIJA 46 Slika 16: Krožnica svinčnika (C 1), generiranega s C 0 in C 1, ko imata C 0 in C 1 dve realni skupni točki. Slika 17: Primer, ko krožnici C 0 in C 1 nimata skupnih točk in je svinčnik hiperboličen. Ob uporabi (27), kjer je z enolično definirana kot funkcija z, se enačba C 1 (z, z) = 0 transformira v C 1(z, z ) = 0, ki mora biti

3 INVERZIJA 47 enaka kot (λ 0 C 0 + λ 1 C 1 )(z, z ) = 0. Zato poračunamo in dobimo λ 0 = 2 01 = A 0 D 1 + A 1 D 0 B 0 C 1 B 1 C 0 λ 1 = 0 = B 0 C 0 A 0 D 0. (36) V primeru realnih krožnic C 0, C 1 je geometrična konstrukcija C 1 prikazana na Slikah 16, 17, 18 za tri različne situacije. Slika 18: Krožnici C 0 in C 1 nimata skupnih točk tako kot na Sliki 17, vendar je v tem prikazu krožnica C 1 znotraj krožnice C 0. S pomočjo (36) lahko rešimo obraten problem: za dve podani

3 INVERZIJA 48 krožnici C 1, C 2 (obe realni ali obe imaginarni) poiščemo krožnico inverzije C 0, tako da C 2 = C 1, to je (simetrični) inverz krožnice C 1 glede na C 0. Očitno mora C 0 pripadati svinčniku, generiranem s C 1 in C 2. Zato po (36) C 1 = 2 01 (C 1 + λc 2 ) 0 C 1, kjer je 2 01 = 2 1 + 2 12 λ, 0 = 1 + 2 12 λ + 2 λ 2. Sedaj določimo λ tako, da 2 01 0 = 1 2 λ 2 = 0, to je λ = ± Ta je vedno realno število. 1 2. (37) V splošnem obstajata dve rešitvi problema. odvisna od predznaka diskriminante C 0 = C 1 1 ± C 2 2 = 2 12 1(1 ± ). 1 2 Njuna realnost je V primeru realnih krožnic C 1 = (γ 1, ρ 1 ), C 2 = (γ 2, ρ 2 ) ima ena zato iz (11) dve vrednosti { (1) 0 = A 2 ρ 1 1 ρ C 0 = 2 [δ 2 (ρ 1 + ρ 2 ) 2 ] (2) 0 = A 2 ρ 1 1 ρ 2 [(ρ 1 ρ 2 ) 2 δ 2 ]. Vedno obstaja ena realna krožnica C 0, kjer bo ena od vrednosti negativna.

3 INVERZIJA 49 Obe sta negativni, če in samo če imata C 1 in C 2 dve različni skupni točki. Vse možne situacije so prikazane na Sliki 19. Slika 19: Svinčnik in inverzija, prikaz vseh možnih situacij.

4 STEREOGRAFSKA PROJEKCIJA 50 4 Stereografska projekcija Vsebino tega razdelka smo črpali v glavnem viru [1], pomagali pa smo si tudi z [2]. 4.1 Definicija Definicija. Dopolnjena ravnina, kot je predstavljena v poglavju 5.2 (Ostale lastnosti inverzije in primeri), se pogosto izkaže za nezadovoljivo kot faza za geometrijo krožnice in njeno uporabo zaradi izoliranega položaja enega izmed njenih elementov, točke neskončno. Zato je zaželeno nadomestiti dopolnjeno ravnino z drugim geometrijskim nosilcem kompleksnih števil, kjer nobena točka ne zavzema izstopajočega položaja. Geometrijska zamisel, da bi postavili točko na zelo veliko razdaljo od opazovalca v ravnini, predlaga, da bi s tem elementom zapolnili obstoječo luknjo ali vrzel v običajni ravnini in se na ta način približali neskončnosti. S tem postopkom se ravnina spremeni v geometrijsko površje narave sfere. Ostane nam, da podamo natančen opis tega postopka z vzpostavitvijo določenega natančnega ujemanja med točkami v dopolnjeni ravnini in točkami krogle v prostoru. Tako ujemanje se lahko vzpostavi na več različnih načinov. Eden izmed načinov, ki je še posebej pomemben za naš sedanji namen, je stereografska projekcija. V kartezičnem koordinatnem sistemu (ξ, η, ζ) v prostoru vzemimo enotsko sfero: ξ 2 + η 2 + ζ 2 = 1 (38) in postavimo kompleksno z-ravnino v ξ, η-ravnino tako, da za točko z = x+yi v tej ravnini velja ξ = x, η = y, ζ = 0. Stereografska slika P (ξ, η, ζ) na sferi (38) točke z = x + yi v ravnini se izkaže kot drugo presečišče s sfero premice

4 STEREOGRAFSKA PROJEKCIJA 51 skozi južni pol sfere S(0, 0, 1) in točke z. Za vsako točko z v ravnini obstaja enolično določena ustrezna točka P na sferi. Južni pol S, to je center projekcije, ne nastopa kot slika točke z, zato lahko vzamemo S kot sliko točke dopolnjene ravnine. Tako stereografska projekcija predstavlja natančno ujemanje med točkami z dopolnjene ravnine in točkami P na sferi. Predstavimo sedaj enačbe stereografske projekcije. Naj bosta P 1 (ξ 1, η 1, ζ 1 ) in P 2 (ξ 2, η 2, ζ 2 ) točki na sferi. Katera koli točka Q(ξ, η, ζ) na premici P 1 P 2 je podana v naslednji obliki Q = (1 λ)p 1 + λp 2 (λ je realni parameter), to je: ξ = (1 λ)ξ 1 + λξ 2 η = (1 λ)η 1 + λη 2 ζ = (1 λ)ζ 1 + λζ 2. Da bi našli stereografsko sliko P točke z = x + yi, naj bosta (39) P 1 = S(0, 0, 1), P 2 = (x, y, 0). Po (39) je (ξ, η, ζ) = (1 λ)(0, 0, 1) + λ(x, y, 0), ξ = λx, η = λy, ζ = (1 λ). Vrednost λ je določena s pogojem (38): ξ 2 + η 2 + ζ 2 = λ 2 (x 2 + y 2 ) + 1 2λ + λ 2 = 1, od koder (izključujoč vrednost λ = 0, ki odgovarja točki S): λ = Zato so koordinate P (ξ, η, ζ) podane z ξ + ηi = 2 (1 + x 2 + y 2 ) = 2 (1 + zz). 2z (1 zz), ζ = (1 + zz) (1 + zz). (40)

4 STEREOGRAFSKA PROJEKCIJA 52 Da bi našli točko z za podano točko P na sferi, ponovno uporabimo (39), kjer vzamemo P 1 = S, P 2 = P in Q = (x, y, 0), zato: (x, y, 0) = λ(ξ, η, ζ) + (1 λ)(0, 0, 1) in Zato je λ = 1 (1+ζ) x = λξ, y = λη, 0 = (1 λ) + λζ. in nadalje z = ξ + ηi 1 + ζ. (41) Za vsako točko P S na sferi (to je ζ 1) po (40) ustreza točka z ravnine kompleksnih števil. Ko se P približuje točki S, ζ 1 in ker je z 2 = ξ2 + η 2 (1 + ζ) 2 = 1 ζ2 (1 + ζ) 2 = 1 ζ 1 + ζ, sledi, da z, to je z. Stereografska projekcija sfere v dopolnjeno ravnino je zato zvezna povsod na sferi, vključujoč točko S. Vsaki točki z po (40) ustreza točka P na sferi. Če gre sedaj z, potem gre 1 z = 1 + ζ ξ + ηi 0 in zato ζ 1 in ξ 2 + η 2 0, to je ξ 0 in η 0, kar pomeni, da se P približuje točki S. Zato je tudi stereografska projekcija ravnine na sfero zvezna preslikava, tudi v točki. Preslikava ploskve na drugo ploskev, ki je zvezna in obrnljiva in katere inverzna preslikava je tudi zvezna, se imenuje homeomorfizem. Za dve poskvi, ki se preslikata ena v drugo s homeomorfizmom, rečemo, da sta homeomorfni. Zato:

4 STEREOGRAFSKA PROJEKCIJA 53 Izrek 4 Stereografska projekcija je homeomorfizem sfere na dopolnjeno ravnino; ti ploskvi sta zato homeomorfni. Primer: Naj bo z 1 stereografska slika točke P 1 (ξ 1, η 1, ζ 1 ) na sferi (38). Označimo s P 2 točko, ki je diametralno nasprotna točki P 1 na sferi, z z 2 pa njeno stereografsko sliko v ravnini. z 1 in z 2 sta medsebojna inverza glede na imaginarno enotsko krožnico (0, i). Ozirajoč se na položaj P 1 in P 2 na sferi, imenujemo z 1 in z 2 par antipodalnih točk. 4.2 Osnovne lastnosti stereografske projekcije V analogiji z dvema izrekoma poglavja 5.2 (Preproste lastnosti inverzije), imamo tudi tu dva izreka, ki upravičujeta aplikacijo stereografske projekcije v geometriji krožnic in povezanih tem. Izrek 5 Stereografska projekcija preslika krožnice ravnine v krožnice sfere in obratno; še posebej realne krožnice (vključujoč premice) v realne krožnice na sferi, imaginarne krožnice v imaginarne krožnice. Izrek 6 Stereografska projekcija je konformna preslikava. Dokaz Izreka 5 Vsaka premica v ravnini je vsebovana v določeni ravnini skozi točko S; ta ravnina seka sfero v določeni krožnici skozi S, stereografsko sliko premice. Obratno: vsaka krožnica skozi S je projicirana na premico v ravnini. Za splošni primer dokažimo izrek analitično. Dana naj bo krožnica C s svojo enačbo (2, Azz + Bz + Cz + D = 0). Ustrezno krivuljo na sferi bomo