BIOMDITIINITNIKA KKU lektromgnetväljd j lined LBR5 loengute konspekt. iie inrikus
IJUATU lektrodünmik on os teoreetilisest füüsikst, nimelt elektromgnetilise välj teoorist, j käsitleb suhteliselt kiiretoimelisi dünmilisi protsesse elektro-mgnetilises väljs. Kun rdiotehniks ksuttkse elektromgnetilisi signle, nnb elektrodünmik rdiotehnik füüsiklised lused. Käsolevs kursuses vdeldksegi elektrodünmikt selle tehnilise rkenduse spektist rdiotehniks. Ksegses füüsiks on elektromgnetiliste nähtuste oss teoori lõpettud. Lähtudes füüsiklistest sedustest on põhimõtteliselt lhendtv ig üleknne elektri j mgnetismi vllst. Pljudel juhtudel g ei ole prktiliselt enm vjdust konkreetse ülesnde lhendmisel lähtude üldistest füüsiksedustest. Kui on tegemist suhteliselt väikese kiiruseg muutuvte protsessideg j elektromgnetilise line pikkus on suur võrreldes süsteemide j elementide mõõtmeteg l, võib teoorit tunduvlt lihtsustd, viies sisse pinge j integrlse voolu mõisted. el juhul ksuttkse prktiks mitte enm elektrodünmik, vid koondpr-meetriteg helte rvutusmeetodeid. Kui on tegemist väg kiirete elektro-mgnetiliste protsessideg j linepikkus on äärmiselt väike ngu optilises dipsoonis, on smuti prktiliselt ksuttv lihtsusttud teoori geomeetrilise optik seduste j meetodite näol. Juhul g, kui linepikkused on võrreldvd süsteemide j elementide mõõtmeteg ei ole teoori lihtsustmine võimlik. el juhul tuleb k prktiliselt ksutd üldisi elektrodünmik meetodeid. Otsest rkendust leivd elektrodünmik mee-todid ülikorgsgeduse (meeter-, detsimeeter-, sentimeeter- j millimeeterlined) dipsoonis ning smuti infrpunses j oslt k optilises dipsoonis, eriti kui on tegemist monokromtilise kiirguseg ngu kvntelektroonik süsteemides. Käesolev tehnilise elektrodunmik kursus on seeg otseselt bsiks rele rkendusliku iseloomug kursustele (rdiolinete levimine, ülikõrgsgedus -sedmed j -ntennid, ülikõrgsgedus- j kvntsedised). Kursus koosneb khest osst. Üldteoreetiline os hõlmb Mwelli võrrndid j otsese järelduse-n neist elektromgnetilise välj teoreemid ning elektromgnetilise
kiirguse teoori. Üdteoreetilise os bsil vdeldkse kursuses konkreetseid küsimusi, mis leivd edsist rendmist rkendusliku iseloomug kursustes.
lektromgnetiline väli simeses, om iseloomult ettevlmistvs petükis toome sisse põhilised elektrilised j mgnetilised prmeetrid, mid ksuttkse kogu kursuse jooksul, meenutme põhilisi sedusi j keskkondde ning väljde omdusi.. lektrivälj prmeetrid.. lektrivälj tugevus Mis on väli? ellele lihtsle küsimusele ei ole sugugi kerge vstt. Välj sb mõist inult tem mõju kudu tetud kindltele objektidele, mis selle välj mõjule lluvd. Nii võib välj mõist kui ruumi os, kus on olems tingimused sellise mõju tekkeks. Näiteks elektriväljs tekib jõud, mis mõjutb selles setsevt elektrilengut. Grvittsiooniväljs mõjutb jõud selles setsevt mssi. F q n q Joon.. Välj mõiste selgitmiseks lähtume tuntud fundmentlsedustest. Võtme näiten elektri-välj. Vtleme khest punktlengust q j q koosnevt süsteemi vkumis (joon..). Vstvlt Coulombi sedusele mõjutvd lengud teineteist jõug qq n, (..) 4π r F kusjuures jõud F N on suuntud mööd lenguid ühendvt sirget ühikvektori n suuns. Lengu suurused on ntud kulonites j nendevheline kugus r meetrites. Võrdelisusteguril on I-süsteemis kuju 4π, F kusjuures nn. elektriline konstnt 9 36π m on sisse viidud dimensiooni kindlustmiseks. Nii siin kui k edspidi ksutme inult I-süsteemi. ed sedust võib vdeld khes oss. siteks, süsteemi khest lengust võime vdeld k ekvivlentsel kujul kui lengut q, mis sub lengu q poolt tekittud elektriväljs j millele mõjub jõud (..). Lengut mõjutb elektriline Loreni jõud F L q, (..) on vtluspunktis olems sõltumt sellest, ks sel lengut on või ei. Teiseks võimegi vdeld suurust vtluspunktis. uhet nimettkse elektrivälj tugevuseks. FL q q 4π r n (..3)
***lektrivälj tugevus on jõud, mis mõjutb üht lenguühikut elektriväljs.*** Vlem (..) määrb elektriväljs olevle lengule mõjuv jõu j on luseks liikumisvõrrndi koostmisel. Vlem (..3) seob elektrivälj tem llikg, lengug q j on väljvõrrnd. iit tuleneb, näiteks, et elektrivälj tugevus muutub pöördvõrdeliselt kuguse ruudug selle llikst, punktlengust. n α d Joon.. voog läbi kinnise pinn võrdub q Välj tugevuse vektori voog Ψ läbi pinn määrtkse sed pind läbivte jõujoonte rvug. eeg vektori voog läbi pinnelemendi ds elektriväljs (joon...) d Ψ ds. (..4) Kui ümbritseme lengu q kinnise pinng, siis elektrivälj tugevuse vektori q q cosα q q Ψ ds nds dω, (..5) 4π r 4π r 4π kus dω cos α on ruumnurg element j n on ühikvektor, mis on suuntud piki r pinnnormli. lektrivälj tugevuse vkumis seob lengug Gussi vlem q ds. (..6) ***Kinnisest pinnst väljuv elektrivälj voog on võrdeline piirtud lengug.*** Gussi vlem ei esit piirvid tingimusi lengu iseloomule j on mksev nii sttiliste kui k jliselt muutuvte lengute puhul, liikuvte j liikumtute lengute puhul. Gussi vlem kehtib hjuttud lengute suhtes... lektriline induktsioon Vtleme elektrivälj dielektrilises keskkonns. lektrivälj mõjul leib set dielektriku polriseerumine, kun ine elementrsed elektrilised lengud q e nihkuvd välise elektrivälj mõjul dl võrr. lementrne elektriline polristsiooni moment P qedl, (..7) kus dl on positiivse j negtiivse lengu suhtelise nihke vektor. Dielektriku polristsioonivektor P ΣP. (..8) Ümbritseme dielektrikus elektrivälj tekitv lengu q e kinnise pinng (joon..3). eoses polristsioonig elementrsed lengud nihkuvd j lengu qe poolt tekittud elektrivälj mõjul tetud lengu hulk Q' läbib kinnise pinn
qe -Q Q Joon..3 Ksutme Gussi vlemi Q' Pds (..9) Järelikult tekib pinn sees suvs dielektrikus kompenseerimt leng Q' Pds, (..) mis põhimõtteliselt ei erine primrsest lengust q ds Q' q q e. Pds. (..) iit ( + P) ds q. (..) Integreeritv suurus + P D (..3) C on elektrilise induktsiooni vektor [ ] D. lektrilist induktsiooni seob lengug nn. üldisttud Gussi vlem m D ds q. (..4) ***lektrilise induktsiooni voog läbi kinnise pinn võrdub selle pinn poolt ümbritsetud lengug.*** Linerses keskkonns on polristsioon võrdeline ted tekitnud elektriväljg kus k on dielektriline vstuvõtlikkus. iis (I mterilne võrrnd) D P k, (..5), (..6) kus + k on keskkonn suhteline läbitvus, dimensioonit suurus, mis näitb, mitu kord on elektrilise induktsiooni vektor ntud keskkonns suurem või väiksem kui vkumis. Prktiks ksuttkse sgeli bsoluutset dielektrilist läbitvust, (..7) mis omb dimensiooni F m, ngu.. Mgnetvälj prmeetrid.. Mgnetiline induktsioon j mgnetvälj tugevus Looduses ei ole vbu mgnetilisi lenguid mgnetväli ei mõjut liikumtut elektrilengut. ellepärst võib mgnetvälj prmeetrid sisse tuu, lähtudes liikuvst 3
elektrilengust mgnetväljs. Liikuvle lengule mgnetväljs mõjub mgnetiline Loreni jõud F q v B, (..) m kus v sek on lengu liikumise kiirus j B on vektor, mis peb määrm mgnetiliste jõujoonte suun j tiheduse. eeg vektor B [ T ] on mgnetilise induktsiooni vektor. ***Mgnetvälj jõukrkteristik on mgnetilise induktsiooni vektor B.*** Mgnetilise induktsiooni vektor vkumis on võrdeline mgnetvälj tugevuseg B, (..) kus omb dimensiooni A m j on võrdelisustegur, vlitud dimensiooni 7 kindlustmiseks. I-süsteemis 4π m. Kui vkum sendd mingi keskkonng, siis vektor B muutub. lementrsete momentide ümberorienteerumisel välise mgnetvälj mõjul tekib sisemine mgnetväli, mis muudb vektorit B. Välise mgnetvälj mõjul tekkinud ühikulise ruuml mgnetilist momenti M nimettkse mgneetumuseks. Mgnetilises keskkonns B + M. (..3) Linerses keskkonns M k m, (..4) kus k m on ine mgnetiline vstuvõtlikkus. iis (II mterilne võrrnd) B (..5) j + k m on keskkonn suhteline mgnetiline läbitvus. T on dimensioonit suurus j näitb, mitu kord on mgnetilise induktsiooni vektor B. ntud keskkonns suurem või väiksem kui vkumis. Prktiks ksuttv bsoluutne mgnetilne läbitvus mis omb dimensiooni m, ngu. (..6).. Koguvoolu sedus Anloogiliselt elektrilise induktsioonivektori voole läbi pinn võib välj rvutd k mg-netilise induktsioonivektori voo läbi pinn. lementrne mgnetvoog läbi pinnelemendi ds dψ Bds (..7) M 4
Täielik mgnetvoog läbi kinnise pinn [ ] Ψ M Wb Ψ M B ds (..8) Kun looduses vbu mgnetilisi lenguid ei ole, on kerge näh, et B ds (..9) s.t. mgnetilise induktsioonivektori voog läbi kinnise pinn võrdub nullig. eos (..9) ei võimld sidud mgnetvälj tem llikteg. t sd mgnetvälj j tem llik seost, vtleme kinnise pinn semel kinnise kontuurig L ümbritsetud pind (joon..4), mid läbib vool (liikuv leng). Kui vool on dl suuntud mööd sirget risti pinng, kujutvd ϕ dl mgnetilised jõujooned kontsentrilisi ringe n tsentrig vooluelemendil. Arvutme mgnetvälj tsirkultsiooni mööd kontuuri L. dl r Liikumist piki kontuuri elementi võib jgd liikumiseks mööd mgnetilise jõujoone puutujt d l j liikumiseks mööd normli L Joon..4 jõujoonele ϕ d lr (mis tsirkultsiooni ei nn) dl ( dlϕ + dlr ) dlϕ rdϕ rπ. (..) L L Pik sirge juhtme mgnetvälj suurus on määrtud Biot'-vrt'i seduseg Asenddes (..) seosesse (..), sme L L I. (..) πr L dl I. (..) Vlem (..) on üldise iseloomug, kun sm seos kehtib ig pind läbiv voolu koht j ig pind läbiv voolukomponent peb olem pinng risti, seeg sme koguvoolu seduse dl I. (..3) L ***Mgnetvälj tsirkultsioon mööd pinn kinnist kontuuri võrdub voolude summg, mis läbivd selle kontuuri poolt ümbritsetud pind.*** Σ Σ.3 Üldisttud Ohmi sedus lektrit juhtivs keskkonns tekib elektrivälj toimel elektrivool (III mterilne võrrnd) 5
j σ, (.3.) A kus j m on ruumvoolu tihedus j σ Ωm on keskkonn erijuhtivus. l Vlem (.3.) on üldisttud Ohmi sedus. Ohmi V sedus diferentsilsel kujul on üldise iseloomug, j kehtib piirngutet. edus integrlsel kujul, mis Joon..5 sisldb pinget, on rkendtv inult potentsilsete väljde puhul. Kui on tegemist potentsilsete väljdeg, võib vlemi.3. kergesti teisendd integrlsele kujule. Vtleme näiteks juhtmelõiku pilluseg l, ristlõike pindlg j ruumlg V (joon..5), eelddes, et juhe on homogeenne j väljtugevuse jotus on ühtlne. Integreerime seost.3. üle ruumi V jdv σ dv. (.3.) V Kun kõik suurused omvd ühtlse jotuse, siis võib seose.3. kirjutd kujul jl V σ l. (.3.3) l U Arvestdes, et l U, jn I j R sme I, s.t. Ohmi seduse integrlse σ R kuju. Tvliselt integrlsel kujul ksuttv Ohmi sedus UIR on kehtiv inult potentsilsete väljde puhul, kui võib rääkid pingest. Kui eksisteerivd k kõrvlised elektromotoorsed jõud, lisndub Ohmi seduses kõrvliste jõudude poolt tekittud elektrivälj tugevus j σ( + K ) (.3.4).4 Keskkondde tüübid isseviidud suurused, mid edsises kursuses ksutme, võib jgd kolme gruppi.. lektromgnetilise välj prmeetrid: väljtugevused V A m, m ; C m, induktsioonivektorid D B [ T ] Väljtugevused j induktsioonivektorid on seotud vkumis elektrilise konstndi j mgnetilise konstndi bil:. Väljllikte prmeetrid: 9 F 36π m,. 7 4π m. 6
ruumvoolu tihedus elektrileng q [C]; C lengu ruumtihedus ρ m 3 ; C lengu pindtihedus ρ ' m. A A j m, pindvoolu tihedus j m ; 3. Keskkondde prmeetrid: F bsoluutne või suhteline dielektriline läbitvus, (dimensioonit); m bsoluutne või suhteline mgnetiline läbitvus, (dimensioonit); m erijuhtivus σ Ωm. lektri j mgnetilise induktsiooni vektorid on keskkonns seotud vstvte väljtugevuse vektoriteg keskkonn prmeetrite kudu, nn. mterilsete võrrnditeg D B j σ. (.4.) Olenevlt keskkonn prmeetrite iseloomust eristtkse eri tüüpi keskkondi. Võib eristd kolme üldist jotust.. Keskkonnd jgunevd isotroopseteks j nisotroopseteks. Isotroopses keskkonns on, j σ sklrsed suurused. eeg on väljtugevuse j induktsioonivektorid teineteiseg prlleelsed D ; B ; j. Anisotroopses keskkonns on üks keskkonn prmeetritest teist rngi tensor, elektrilise nisotroopi puhul (või σ), mgnetilise nisotroopi puhul. Näiteks võib üldjuhul omd 9 sõltumtut liiget ij. (.4.) Anisotroopi puhul keskkonn mgnetilised või elektrilised omdused sõltuvd väljvektori orienttsioonist keskkonn suhtes, s.t. keskkond ise omb ngu mingit orienttsiooni. eos induktsiooni- j väljvektorite vhel muutub külllt keeruliseks B + + B B + + + + Z. (.4.3) 7
geli on keskkonn nisotroopi seotud mingi välise fktorig, mis keskkonn mikrostruktuuri mõjutdes orienteerib keskkonn. Näiteks on mgnetiliselt nisotroopne ferriit välises mgnetväljs. Ioonsfääri elektriline nisotroopi on seotud M mgnetväljg.. Keskkonnd jgunevd linerseteks j mittelinerseteks. Linerse keskkonn prmeetrid ei sõltu väljvektorite mplituudist ( ) ( ) ( ) f, f eg σ f. Mittelinerse keskkonn prmeetrid sõltuvd väljvektorite suurusest ( ) f ( ) või ( ) ks f, σ. Näiteks pooljuht kujutb elektriliselt mittelinerset keskkond. uurte väljtugevuste puhul võivd muutud mittelinerseteks k mõõdukte väljtugevuste joks linersed dielektrikud. Näiteks tmosfääris hkkvd ilmnem mittelinersed efektid elektrivälj tugevuse puhul 5kV/cm. 3. Keskkonnd võivd oll ks homogeensed või mittehomogeensed. omogeense keskkonn prmeetrid ei sõltu koordintidest (,, ), (,, ) või σ σ (,, ). Keskkond võib luged homogeenseks inult tetud tingimustel: piirtud ruumis (näiteks õhk tos või linejuhi sees), mitte rvestdes pindefekte jne. omogeensust eeldtkse tetud lähenduses teoreetiliste ülesnnete lhendmisel, kun see hõlbustb oluliselt lhenduse käiku. bhomogeense keskkonn prmeetrid sõltuvd koordintidest, s.t. (,, ), (,, ) või σ σ (,, ). bhomogeense keskkonn omdused on ruumi erinevtes osdes erinevd. Rngelt võttes on peegu lti tegemist mittehomogeense keskkonng. Näiteks tmosfääri dielektriline läbitvus erineb küll ühest väg vähe, mlähedstes kihtides murdumisnäitj n,6-,38. Tempertuurist, suhtelisest niiskusest j rõhust 5 6 tingitud murdumisnäitj muutused on suurusjärgus (murdumisnäitj grdient kõrgusest on 4 5 km-). ellistest väikestest muutustest on külllt, et tekitd tugevid elektromgnetilise kiirguse fluktutsioone optilises dipsoonis, mis on tingitud tmosfääri turbulentsidest j rdioline "pindumist" ümber M..5 klrsed j vektorväljd Vtleme mõningid mtemtilisi mõisteid välj teoorist, mid ksutme hiljem elektromgnetilise välj omduste kirjeldmisel. klrne väli on ruumi os, mille ig punkt iseloomustb tetud sklrse suuruse ϕ väärtus (tempertuuri, tiheduse, potentsili jne. väljd). klrses väljs (vt. joon..6) eksisteerivd nn. ekvipotentsilsed pinnd, millel suurus ϕ omb konstntse väärtuse, s.t. ϕ (,, ) const. i 8
klrse välj bsoluutväärtus, suurus, ei om sgeli tähtsust. Nii võime vlid elektrilise ϕ const potentsili välj väärtuseks ks V või V - n l midgi ei muutu, kuni kõik välj punktid omvd ϕ const sm potentsili. Näiteks loetkse mpinn potentsil võrdseks nullig. Võiks vlid ϕ const mpinn potentsili k võrdseks voldig, midgi ei muutuks. itutsioon muutub oluliselt, Joon..6 kui nullise potentsilig pinn lähedl on - voldise potentsilig pind. Tetvsti töö potentsilses väljs on seotud potentsili muutuseg. Nii k sklrset välj iseloomustb mitte selle suurus, vid muutus, õigemini muutuse kiirus. Välj muutumist iseloomustb sklrse suuruse tuletis tetud suuns. Kui tuletis on võetud ekvipotentsilse pinn perpendikulri n suuns, iseloomustb t ilmselt välj kõige suuremt võimlikku muutust. ellist tuletist nimettkse välj grdiendiks. ϕ grdϕ ϕ n, n (.5.) ϕ ϕ ϕ ϕ i + j + k. ***Grdient on sklrse välj ruumiline tuletis.*** Välj muutuse mingis teises suuns l määrb välj grdiendi projektsioon suunle l dϕ grdϕ dl. (.5.) Kun grdient on seotud suung, on grdient vektor. Grdient on sklrse välj mmendv krkteristik. Vektorväli on ruumi os, mille ig punkti iseloomustb tetud vektor, selle suurus j suund: Vektorväljd on elektri- j mgnetväli, grvittsiooniväli jne. Jooned, millele väljvektorid igs punktis on puutujks, on välj jõujooned (joon..7). Vektorvälj iseloomustmiseks on ilmselt vähe inult välj suuruse muutuse määrmisest. Välj jõujooned võivd omd väg erinevt struktuuri. Joon..7 Põhiliselt võib eristd kht tüüpi jõujooni: lhknevid j keeriselisi. Nii iseloomustvd k vektorvälj kks suurust: vektorvälj hoovus j tsirkultsioon. n Vektorvälj hoovus Ψ läbi pinn (joon..8) n on seotud vektori normlkomponentideg pinnle Joon..8 τ d s Ψ nds ds nds n ds (.5.3) 9
L Vektorvälj tsirkultsioon piki kontuuri L (joon..9) on seotud vektori puutujkomponendig kontuurile L C dl τ dl. (.5.4) L L dl On selge, et hoovus j tsirkultsioon sõltuvd pinn j kontuuri vlikust, mille joks need rvuttkse. Nii ei s Joon..9 need suurused oll vektorvälj üheselt määrtud prmeetriteks. Küll võivd g oll sellisteks prmeetriteks vstvd diferentsilsed suurused, mis rvuttkse lõpmtult väikese ruumi os joks. Vektorivälj omduste kirjeldmiseks ksuttkse khte mtemtilist mõistet: divergentsi j rootorit. Välj divergents ehk hjumine välj ntud punktis on piir, mille svutb vektori voog läbi kinnise pinn sm pinng piirtud ruumis V. div lim V ds. (.5.5) V ***Divergents on vektorvälj sklrne ruumiline tuletis.*** div + +. (.5.6) Välj punktid, kus div >, on välj llikd. Punktid, kus div < kujutvd neelu. Kui div, on tegemist llikvbde väljde ehk nn. solenoidlsete väljdeg. Divergentsi definitsioonist.5.5 on näh, et solenoidlsetes väljdes on jõujooned kinnised. Otseselt divergentsi definitsioonist tuleneb nn. Gussi vlem ds V div dv ds. (.5.7) V Joon.. n ds V α τ Joon.. dl Vektori voog läbi kinnise pinn võrdub selle vektori divergentsi ruumiintegrlig üle selle pinn poolt piirtud ruumi (joon..). Vektorvälj rootor ehk keeris on seotud väljvektori tsirkultsioonig. Rootori komponent n suuns (joon..) on piir, mille svutb vektori tsirkultsioon mööd suung n perpendikulrset pind ümbritsevt kontuuri L, kui,. ( rot ) n lim ***Rootor on vektorvälj vektorilne ruumiline L dl.
tuletis.*** Rootor on vektor j omb vstvlt kolme komponenti. Üldisel kujul rot i j k [ ]. (.5.9) eosest.5.8 järeldub tokesi vlem L Joon.. rot ds dl (.5.) Vektori tsirkultsioon piki kinnist kontuuri võrdub rootori hoovuseg läbi selle kontuuri poolt ümbritsetud pinn (joon.). Kui vektorvälj rootor võrdub nullig, on väli keeristevb. Väljkrkteristikud omvd re mtemtilisi seoseid. Nimetme neist mõned, millel on konkreetne füüsikline mõte.. Kui vektor on mingi sklrse funktsiooni grdient, on väli potentsilne. Näiteks, kui grd ϕ, on tegemist potentsilse elektriväljg, kusjuures ϕ on sklrne elektrosttiline potentsil (üldjuhul elektriväli potentsilne ei ole). rot grd ϕ.. Potentsilne väli on keeristevb. Kui vektorvälj rootor võrdub nullig, võib sed vektorit kujutd mingi sklrse välj grdiendin. Näiteks, kui L rot, võib eeldd, et j tegemist on potentsilse väljg grd ϕ div rot. 3. Rootorväljs llikd puuduvd. Kui mingi vektori divergents võrdub nullig, võib sed vektorit kujutd mingi vektorvälj rootorin. Näiteks tingimusest div B, võib eeldd, et B rot A.
lektromgnetilise välj võrrndid lektromgnetilise välj võrrndid sisldvd re fktide teoreetilist üldistust. Need võrrndid ei ole tulettvd mtemtiliselt. Väljvõrrndid on loodussedus, mis on väljendtud mtemtilisel kujul. lektromgnetilise välj võrrndeid nimettkse Mwelli võrrndeiks, sest esimesen koonds elektromgnetilise välj sedused nelj võrrndisse Jmes Clerk Mwell 873 stl om töös "A Tretise on lectricit nd Mgnetism". ellel võrrndisüsteemil bseerub kogu elektromgnetiliste nähtuste teoori. Mwelli võrrndid määrvd seosed elektriliste j mgnetiliste nähtuste vhel j väljde seosed väljllikteg. Mwelli võrrndeid võib ksutd nii integrlsel kui diferentsilsel kujul. Mõlemd vormid on smväärsed.. lektromgnetilise välj võrrndid integrlsel kujul simene Mwelli võrrnd on koguvoolu seduse üldistus. Koguvoolu seduses (vt...3) dl I. L I Σ on kõikide võimlike voolude summ, mis läbivd kontuurig L piirtud pinn I Σ Σ j ds (..) kus j Σ on summrse voolu tihedus. Juhtivusvoolu pindtiheduse j koht on kehtiv Ohmi sedus (vt..3.) j σ. eeg keskkonns, mis ei juhi elektrit, s.t. σ muutub k juhtivusvool nulliks. Kui vdeld seoses (..3) inult juhtivusvoolu, jõume järeldusele, et elektrit mittejuhtivs keskkonns k mgnetväli puudub (kun mgnetvälj puhul on tegemist solenoidlse väljg, tähendb väljvektori tsirkultsiooni puudumine k välj puudumist), mis ilmselt ei ole õige. Mwell eelds, et seos (..3) kehtib k üldjuhul, s.t. k keskkonns, mis ei juhi elektrit (dielektrikus või vkumis) j tõi sisse nn. nihkevoolu mõiste. lektrilise süsteemi näiten, kus domineerivd nihkevoolud, võib oll kondenstor vhelduvvoolu-hels. Vhelduv vool võib tsirkuleerid ktete vhel isegi sellel juhul kui nd on erldtud idelse dielektrikug või suvd vkumis j järelikult juhtvoolu tekkimine on võimtu. Järelikult vhelduvle elektrilineväljle j juhtvoole ksneb mgnetväljtekkimine. Dielektrikus tekib elektrivälj mõjul polristsioon. Polristsioonileng (vt...8) Q' Pds. Polristsioonilengu muutus nnb voolu, mis kujutb endst nihkevoolu dielektrikus Σ
I nd Q t millele vstb nihkevoolu tihedus dielektrikus j nd P ds, (..) t P. (..3) t Vstvlt Mwelli eeldusele koguvoolu seduse üldisest iseloomust pevd nihkevoolud eksisteerim k vkumis. Vtleme elektrilise induktsioonivektori D (vt...3) jlist muutust D P +. (..4) t t t Teine liidetv summs on nihkevoolu tihedus dielektrikus. Järelikult peb k esimene liidetv omm nihkevoolu tiheduse dimensiooni j vstm nihkevoolu tihedusele vkumis ( P ) jnv. (..5) t ummrse nihkevoolu tihedus D jn jnv + jnd t, (..6) seeg ***elektrilise induktsiooni vektori muutus määrb nihkevoolu tiheduse.*** Voolude summ, mis läbivd pinn (vt...) võib seeg vldd kujul I D Σ jn ( + j ) ds ( j ds t + ). (..7) Asenddes (..7) koguvoolu seduses, sme I Mwelli võrrndi dl ds + L D t jds. (..8) ***Mgnetvälj tsirkultsioon mööd pinn kinnist kontuuri võrdub elektrilise induktsiooni voo muutuseg läbi selle kontuurig piirtud pinn j juhtivusvoolug läbi selle pinn. *** Teine Mwelli võrrnd on elektromgnetilise induktsiooni seduse -- nn. Frd seduse üldistus. Kui juhe lõikb mgnetilisi jõujooni, tekib selle juhtme otstes elkromootor jõud, mis on võrdeline jühikus lõigtud jõujoonte rvug, s.t. induktsioonivoo Ψ M muutuseg ΨM ξ dl. (..9) t L eos..9 on kehtiv inult potentsilse välj erijuhul. Üldjuhul tekitb mgnetilise induktsiooni voo muutus elektrilise väljvektori keerise ΨM dl. (..) t L 3
Asenddes Ψ M seosest..8, sme Mwelli II võrrndi integrlse kuju L B dl ds. (..) t ***lektrivälj tsirkultsioon mööd pinn kinnist kontuuri võrdub mgnetilise induktsiooni voo muutuseg läbi selle kontuurig ümbritsetud pinn.*** Kolms Mwelli võrrnd on üldisttud Gussi teoreem (vt...3) Dds q. Neljs Mwelli võrrnd kinnitb, et looduses vbu mgnetilisi lenguid ei ole j et mgnetvälj jõujooned on kinnised (vt...9) B ds. Mwelli võrrndsüsteemi integrlne kuju on järgmine: D dl ds + jds t L B dl ds t L. (..) Dds q Bds simene võrrnd näitb, et elektrilise induktsiooni voo muutusele j juhtivusvoolule ksneb mgnetvälj tsirkultsioon. Teine võrrnd näitb, et mgnetilise induktsiooni voo muutusele ksneb elektrivälj tsirkultsioon. Kolms võrrnd näitb, et elektrileng tekitb elektrilise induktsiooni voo. Neljs võrrnd näitb, et mgnetvälj jõujooned on kinnised.. Mwelli võrrndid diferentsilsel kujul Teisendme võrrndisüsteemi (..) diferentsilsele kujule. simese võrrndi teisendmiseks ksutme tokesi vlemit (.5.) Asenddes võrrndisse, sme L dl ' rot ds. D t rot ds ds + jds. Kun pinnd j ' on mõlemd piirtud ühe j sm kontuurig L, on ilmselt '. el juhul integrlide võrdsuse korrl pevd olem võrdsed k integreeritvd suurused j sme Mwelli I võrrndi diferentsilsel kujul 4
D rot + j. t Teise võrrndi teisendmiseks ksutme tokesi vlemit.5. Asendme võrrndisse rot ds B. t Pindde j ' võrdsus lähtub sjolust, et nd on piirtud kontuurig L. eeg võime võrdsustd k diferentsilsed suurused j sme II Mwelli võrrndi diferentsilsel kujul rot B t. (..) Kolmnd võrrndi teisendmiseks ksutme Gussi vlemit.5.7 D ds divddv. muti vldme lengu q lengu ruumitiheduse kudu. Asenddes võrrndisse, sme V V q ρ dv V ' div DdV ρdv. Ruumid V j V' on ümbritsetud ühe j sellesm kinnise pinng, järelikult V'V. el juhul järeldub integrlide võrdsusest k integreeritvte suuruste võrdsus j sme Mwelli III võrrndi diferentsilsel kujul V ' div D ρ. (..3) Anloogiliselt teisendme Gussi vlemit ksutdes diferentsilsele kujule k IV Mwelli võrrndi: div B. (..4) eeg on Mwelli võrrndisüsteem diferentsilsel kujul järgmine D rot t rot div D ρ div B B t + j. (..5) I j II võrrnd seovd omvhel elektrilisi j mgnetilisi nähtusi. Mgnetvälj rootor on seotud js muutuv elektrilise induktsioonig j juhtivusvoolug. lektrivälj rootor tekittkse muutuv mgnetilise induktsiooni poolt. eeg on vhelduvd elektri- j mgnetväli lhutmtult seotud: ei s oll vhelduvt elektrivälj ilm mgnetväljt j vstupidi. 5
III j IV võrrnd seovd välju nende llikteg. lektrivälj llikks on lengutihedus. Mgnetväli on lliktevb, solenoidlne väli. Koos mterilsete võrrnditeg (.4.) sisldb Mwelli võrrndisüsteem kogu elektromgnetilise teoori lused..3 Mwelli võrrndid komplekskujul Tehniks pkuvd põhilist huvi vhelduvd elektromgnetilised väljd. geli on tegemist perioodiliste protsessideg, mid võib kujutd kui hrmoonilist võnkumist. elliseid protsesse kirjeldtkse mtemtiliselt hrmooniliste funktsioonide bil. Neid protsesse nimettkse monokromtilisteks. Relseid protsesse võib kujutd kui monokromtiliste protsesside kombintsioone. ellepärst nnb monokromtiliste protsesside vtlemine külllt üldiselt rkendtvid tulemusi j omb suurt tähtsust. Monokromtiliste protsesside puhul muutuvd kõik väljde prmeetrid kui hrmoonilised funktsioonid jst: A A cos( t + ), (.3.) ϕ kus A on mingi väljvektor, A on vektori mplituud, on ringsgedus j ϕ on lgfs. Kun monokromtiliste protsesside puhul jliste muutuste iseloom on ted, võib väljvõrrndeid lihtsustd. elleks ksuttkse komplekssete mplituudide meetodit. Vstvlt uleri vlemile e i ( t + ϕ ) cos( t + ϕ) + i sin( t + ϕ). eeg võime väljvektori (.3.) vldd kompleksse suuruse kudu A Re A e i( t + ϕ ) Re A e e iϕ i t. (.3.) uurust, mis ei sisld enm tedolevt jlist sõltuvust, küll g mplituudi j fsi, nimettkse kompleksseks mplituudiks A A e i ϕ. (.3.3) Väljvektori A (smuti sklrse prmeetri) võime vldd tem kompleksse mplituudi kudu A Re Ae i t. (.3.4) Kun üleminek kompleksselt mplituudilt vstv prmeetri momentväärtusele on lihtne, ksuttkse komplekssete mplituudide meetodit väg lildselt. Ksutme komplekssete mplituudide meetodit Mwelli võrrndisüsteemi puhul. Väljendme välj j väljllikte prmeetrid komplekssete mplituudide kudu: i t i t i t rot (Re e ) (Re De ) + Re je t rot (Re e i div (Re D div (Re Be it t it ) ) Re ρ e ) (Re B t it it ) (.3.5) 6
Kun Mwelli võrrndsüsteem on linersete diferentsilvõrrndite süsteem, siis rhuldvd sed nii komplekssed suurused kui k nende rel- j imginrosd. Ajline sõltuvus tndub võrrnditest välj. Arvestdes, et ntud juhul i t sme Mwelli võrrndsüsteemi kujul rot id + j rot ib. (.3.6) div D ρ div B Kompleksseid mplituude ksutdes võib välj kirjutd k mterilsed võrrnded (.4.) D B. (.3.7) j σ dsi viime sisse kompleksse dielektrilise läbitvuse. Teisendme esimest võrrndit (.3.6) ksutdes (.3.7) rot i + σ rot σ. i( i ) eeg komplekssele dielektrilisele läbitvusele vstb suurus ~ σ σ ' i'' i ( i ), (.3.8) σ kus j ''. uhet " σ ' tgσ (.3.9) nimettkse konurg tngensiks. On näh, et tgσ σ j j n ***Konurg tngens määrb juhitvusvoolude j nihkevoolude suhte.*** Kod on seotud inult juhtivusvooludeg. muti näitb suhe (.3.9), ks domineerivd keskkonn metllilised või dielektrilised omdused. Nii kod kui k keskkonn iseloom sõltuvd mitte inult keskkonn prmeetritest vid k sgedusest. Kui >> σ, domineerivd nihkevoolud, välj seos juhtivusvoolug on nõrk, kod väikesed. uhteliselt kõrgetel sgedustel domineerivd elektromgnetilise välj linelised omdused. 7
Kui << σ, domineerivd juhtivusvoolud, väljd on tugevlt seotud juhtivusvooludeg j on om struktuurilt srnsed llisvoolu väljle. Nihkevoolud on juhtivusvooludeg võrreldes väikesed, tegemist on kvsisttsionrsete protsessideg. Ksutdes kompleksset dielektrilist läbitvust võime I Mwelli võrrndile nd kuju rot i ~, mis on srnne Mwelli II võrrndi kujule süsteemis (.3.6). Üldjuhul on k mgnetiline läbitvus kompleksne suurus. Näiteks ferromgneetikute puhul tekivd kod mgnetiseerumisel j seoses hüstereesig fsinihe ϕ M vektorite j B vhel i M B ϕ ~ e B iϕm, ~ ~ e. Üldjuhul ~ ' i ". Ksutdes kompleksseid keskkondde läbitvusi, võib võrrndisüsteemi (.3.6 teisendd kujule rot i ~ (.3.) rot i ~ eosed (.3.) kujutvd Mwelli võrrndisüsteemi komplekskujul. III j IV võrrnd lngevd süsteemist välj, kun nd ei ole enm sõltumtud, vid on tulettvd I j II võrrndist. õltumtute võrrndite rvu vähenemine väljvõrrndite süsteemis on selettv selleg, et eelddes perioodilist sõltuvust jst me kitsendsime vdeldvte nähtuste dipsooni..4 Pidevuse võrrnd Otseseks järelduseks Mwelli võrrnditest on nn. pidevuse võrrnd. Võtme divergentsi I võrrndi mõlemst poolest D div rot div + div j. t Kun div rot j Mwelli III võrrndist D ρ div t t sme pidevuse võrrndi kujul ρ div j +. (.4.) t ***Juhtivusvoolu tiheduse välj llikks on muutuv lengutihedus.*** Vtleme voolutiheduse välj ruumi mingis oss, mis ei sisld muutuvid lenguid. ρ iis j div j. t 8
Järelikult vool ks puudub üldse või on vdeldvsse ruumi sisenevte voolujoonte rvug. Järeldus on õige k ig teise ruumios koht, milles puuduvd muutuvd lengud. eeg voolujooned on pidevd. Pidevuse võrrndist tuleneb lengu jäävuse sedus. Integreerime võrrndi.3. ruumis V div jdv dv t ρ Vstvlt Gussi vlemile Kun V V div jdv V jds. jds I j ρdv q, q sme I t. Lengu muutus ruumis V võrdub sellest ruumist väljuv voolug. Järelikult lengu hulk on jääv. edus, mid tvliselt vdeldkse kui iseseisvt, on tulettv Mwelli võrrnditest. V 9
3 Piiritingimused lektromgnetilise välj võrrndid sisldvd ruumilisi tuletisi väljtugevuse j induktsioonivektoritest. t need tuletised oleksid määrtud, pevd nii väljvektorid kui k keskkonn prmeetrid olem pidevd funktsioonid koordintidest. Tegelikkuses tuleb sgeli kokku puutud juhusteg, kus keskkonn prmeetrite pidevuse nõue on rikutud. Veelgi enm sellised olukorrd esinevd sgedsti j omvd elektromgnetismis suurt tähtsust. Näiten võib tuu metllpinnd, mis puutuvd kokku õhug või mõne teise dielektrikug. Väljvõrrndeid ei ole sellistel juhtudel otseselt võimlik ksutd. Teoori peb g võimldm lhendd ülesndeid väljde rvutmiseks k juhtudel, kui keskkonn prmeetrid muutuvd hüppeliselt. Järelikult on vjlikud täiendvd tingimused, mis seoksid välj j induktsioonivektoreid khe keskkonn piiril. elliseid tingimusi nimettkse piiritingimusteks. Joon. 3. Ngu kõik teisedki elektromgnetvälj seduspärsused, tulettkse k piiritingimused Mwelli võrrnditest. Ks siin ei teki vstuolu - need võrrndid ei tööt ju siis, kui keskkonn prmeetrid järsult muutuvd? elleks, et tulemuseni jõud, ksuttkse erilist võtet. Kõigepelt eeldtkse, et khe keskkonn piir (vt. joon. 3.) omb lõplikku pksust mille ultuses keskkonn prmeetrite muutus väärtuselt, väärtuseni, on pidev. Keskkonn prmeetrite pidev muutuse korrl võib piiritsoonis ksutd Mwelli võrrndeid. dsi lähendtkse piiritsooni pksus nullile. dud seosed väljtugevuse j induktsioonivektorite komponentide vhel nnvdki piiritingimused khe keskkonn piiril. elline lähenemine on tüüpiline ülesnnete lhendmisel, mis sisldvd nn. hüppeid. lektri- j mgnetvälj seosed llikteg on Mwelli võrrndites erinevd. rinevd on k väljde hoovusi või keeriseid kirjeldvd seosed. ellepärst on loomulik eeldd, et piiritingimused elektri- j mgnetvälj, g k nende väljde puutuj- j ristkomponentide joks keskkondde erlduspinnle on erinevd. 3. lektriväljde vektorite piiritingimused Joon. 3. n n h Vtleme kõigepelt elektrilise induktsioonivektori j väljtugevuse normlkomponentide muutust khe keskkonn piiril. elleks ehitme läbi khe keskkonn kokkupuutepinn silindri kõrguseg h j põhj pindlg (vt. joon. 3.), mis sub osliselt mõlems keskkonns. Üldjuhul võib khe keskkonn erlduspinns sud pindleng q'.
Pindlengu tihedus q ρ' lim ', (3..) kus q on pinnelemendil suv pindleng. ilindri kõrguse h ultuses toimub dielektrilise läbitvuse muutus suuruselt suuruseni. ilindri ristlõige vlitkse külllt väike, et luged väljvektorite j teiste suuruste jotust ultuses ühtlseks. dsi, lähtudes III Mwelli võrrndist, rvutme elektrilise induktsiooni voo läbi silindri pinn ' D' ds ρ dv. (3..) Kun silindri sees on inult keskkondde erlduspinnl suv pindleng, siis Ksutdes suuruste ühtlst jotust ' V ρdv ρ'. V ultuses, kirjutme võrrndi 3.. välj kujul D n + D n + Ψ ρ'. (3..3) iin tähistb indeks vstvid suurusi esimeses, indeks teises keskkonns j Ψ külg on induktsiooni voog läbi silindri külgpinn. Nüüd lähendme h. iis k Ψ kül g j n n n kus n on keskkondde erlduspinn norml. Võrrndist 3..3 sme ( D D ) n ρ ' (3..4) või D D ρ'. (3..4) n n ***lektrilise induktsiooni vektori normlkomponendi muutus khe keskkonn piiril võrdub pindlengu tiheduseg erlduspinnl.*** Kui keskkondde erlduspinnl pindlengud puuduvd, s.t. ρ', siis D kül g D. (3..5) n n ***lektrilise induktsiooni vektori normlkomponent khe keskkonn piiril ei muutu.*** Tingimustest (3..5) sme vstvd seosed k elektrivälj tugevuse normlkomponentide joks, n n n n. (3..6) ***lektrivälj tugevuse normlkomponent khe keskkonn piiril muutub pöördvõrde-liselt nende keskkondde dielektrilisele läbitvusele.*** Vtleme nüüd elektrivälj tugevuse j induktsioonivektori puutujkomponentide muutust khe keskkonn piiril. elleks lõikme khe keskkonn erlduspinn läbi tspinng P, mis on risti erlduspinn elemendig punktis. Pinnl P võtme täisnurkse kontuuri L (A B C D), mis läbib jotuspind (joon. 3.3). Kontuuri pikkus
l AB CD on prlleelne erlduspinn j pinn P lõikejoone puutujg punktis τ (ühikvektor) j on külllt väike, et luged väljvektorite j teiste suuruste jotust ühtlseks l ultuses. Kontuuri kõrgus h AD BC on prlleelne erlduspinn normlig punktis n (ühikvektor). Ühikvektorid n, τ j norml pinnle P punktis N on omvhel risti τ [ Nn] Arvutme elektrivälj tugevuse tsirkultsiooni piki kontuuri L, ksutdes II Mwelli võrrndit integrlkujul dl Bds, (3..7) t L kus ' l h on ristküliku A B C D pindl. Arvestdes integreeritvte suuruste ühtlst jotust, võime 3..7 kirjutd kujul: ' B l l C t N l h τ τ + K (3..8) kus C K on tsirkultsioon piki kontuuri kõrgust. Kui h, siis k C K. Võrrndi prem pool sisldb mgnetilise induktsiooni vektori voo muutust läbi pinn '. Ilmselt pinn vähenemiseg nullini muutub k induktsioonivektori voog läbi pinn nulliks j võrrndi prem pool B t N l h. Kui h, sme võrrndist 3..8 tingimuse ( ) τ (3..9) või (3..) τ τ ***lektrilise induktsiooni vektori puutujkomponent khe keskkonn piiril muutub võrdeliselt keskkondde dielektrilistele läbitvustele.*** 3. Mgnetvälj vektorite piiritingimused Vtleme erldi mgnetvälj norml- j puutujkomponente khe keskkonn piiril, ksutdes punktis 3. ksuttule nloogilist lähenemisviisi. Mgnetvälj normlkomponentide piiritingimuste tuletmisel vtleme smuti silindrit läbi khe keskkonn erlduspinn (joon. 3.). Lähtudes Mwelli IV võrrndist rvutme mgnetilise induktsiooni vektori voo läbi silindri pinn ': ' B ds (3..) elddes integreeritvte suuruste ühtlst jotust sme 3. kujul Bn + Bn + ΨM kül g, (3..)
kus Ψ M kül g on mgnetilise induktsiooni voog läbi silindri külgpinn. Kui h siis k Ψ M kül g j n n n. eosest 3.. sme sel juhul Järelikult ( B B ) n (3..3) B B (3..4) n n ***Mgnetilise induktsiooni vektori normlkomponent khe keskkonn piiril ei muutu.*** ee reegel lngeb kokku vstv seoseg elektrivälj joks juhul, kui on tegemist mittemetlliliste keskkonddeg. Vstv seos mgnetvälj tugevuse normlkomponendi joks oleks/on n n (3..5) ***Mgnetvälj tugevuse vektori normlkomponent khe keskkonn piiril muutub pöördvõrdeliselt nende keskkondde mgnetilistele läbitvustele.*** ❶ ❷,, τ A D n B P Joon. 3.3 C N Mgnetvälj tugevuse j induktsioonivektori puutujkomponentide piiritingimused tulettkse Mwelli I võrrndist, vdeldes kontuuri L läbi khe keskkonn erlduspinn (vt. joon. 3.3) D jds (3..6) t dl ds + L ' kus ' on ristküliku ABCD pindl, AD on h j AB on l elddes integreeritvte suuruste ühtlst jotust, sme D τ l τ l + Ckõrg ( + j) N l h (3..7) t kus C kõrg on mgnetvälj tsirkultsioon mööd ristküliku kõrgust h. Kui h D siis k C kärg j N l h. t Teine liige võrrndi preml poolel jn l h võib tingimusel h käitud erinevlt ks muutud nulliks või omd mingit lõplikku piirväärtust. Kui lim j h l h sme võrrndist 3..7 tingimusel h seose ( j piiritingimuse mgnetvälj puutujkomponendile ) τ (3..8) τ τ (3..9) ***Mgnetvälj puutujkomponent khe keskkonn piiril ei muutu.*** 3
Vstv tingimus mgnetilise induktsiooni vektori puutujkomponendile on B B τ τ (3..) ***Mgnetilise induktsiooni vektori puutujkomponent khe keskkonn piiril muutub võrdeliselt nende keskkondde mgnetilisele läbitvusele.*** Kui teine liige võrrndi preml pool omb lõplikku piirväärtust, siis tingimused 3..8-3.. muutuvd. A Piirväärtus nnb pindvoolu tiheduse j' m lim h j h l l j' eeg teine liige preml pool kujutb endst pindvoolu ristkomponenti pinnle P: (3..) lim jn h h j' N (3..) Pindvoolude puhul mgnetvälj puutujkomponendi piiritingimus on järgmine või ( ) τ j' N (3..3) τ τ j' N (3..4) ***Mgnetvälj puutujkomponendi muutus khe keskkonn piiril võrdub temg ristsuunlise pindvoolu tiheduseg.*** 3.3 Kokkuvõte piirtingimustest Piirtingimused elektriliste j mgnetiliste vektorite joks on srnsed. Kui on tegemist keskkonddeg, mille pinnl puuduvd pindvoolud j pindlengud (dielektrikud, suhteliselt väikese elektrijuhitvuseg keskkonnd), s.t. C ρ ' j', ρ' m siis induktsioonivektorite normlkomponendid on pidevd, väljtugevuste normlkomponendid muutuvd g pöördvõrdeliselt läbitvusele D B n n D B n n ; ; n n n n Väljtugevuse vektorite puutujkomponendid on pidevd, välj induktsioonivektorite puutujkomponendid muutuvd g võrdeliselt läbitvusele: D D π π ; τ τ 4
B B τ τ ; τ τ lektrijuhi pinnl tekkivd pindlengud j pindvoolud. Pindlengud muudvd inult elektrilise induktsiooni vektori normlkomponenti D n Dn ρ'. Pindvoolud muudvd inult mgnetvälj tugevuse puutujkomponenti τ τ j' N. σ σ Idelsel elektrijuhil on lõpmtult suurt elektrijuhtivus, s.t. σ. Idelses juhis vhelduvd elektromgnetilised väljd ei s eksisteerid - n idelne juht lühistb elektrivälj är. muti ei s oll idelse juhi sees elektrosttilist välj - lengud jotuvd juhi pinnl nii, et summrne väli τ juhis võrdub nullig. Vstsel korrl liiguksid need ❶ ❷ lengud välj mõjul edsi. eeg idelne juhi Joon. 3.4 puhul muutuvd kõik väljkomponendid tei-ses keskkonns nulliks (joon. 3.4). n τ n τ Ksutdes piiritingimusi, vldme väljkomponendid esimeses keskkonns, rvestdes, et idelse juhi pinnl on pindlengud j pindvoolud: τ, (seosest 3.., kui τ ) ρ' n (seosest 3..4, kui τ ) τ j N (seosest 3..4, kui τ ) j n (seosest 3..5, kui n ) ***eeg idelse elektrijuhi pinnl on elektriväli risti pinng j mgnetiväli pinng prlleelne.*** Oluline on märkid, et ***mgnetvälj puutujkomponent võrdub temg ristsuunlise pindvoolu tiheduseg.*** Ngu tvliselt, on mgnetväli risti temg seotud elektrivoolug. lektrivool omkord, vstvlt Ohmi sedusele, on prlleelne elektrivälj tugevusele. Loomulikult, idelses elektrijuhis voolutihedus muutuks lõpmtu suureks j sed sedust sellisel kujul ei ole võimlik ksutd (muutub ju elektrivälj juhile prlleelne komponent juhi pinnl võrdseks nullig). Kun mgnetväli on omkord lti risti elektriväljg, on sellele ristsuunline vool elektriväljg smsuunline. Piiritingimused kehtivd lti, igsugustes süsteemides j igsugustel tingimustel. Neid muut ei ole võimlik. Nii on elektromgnetilise line levil liinis välj struktuur selline, et piiritingimused on utomtselt täidetud. Metllist liinis sb elektriväli oll inult risti seintele. Kui on olem k elektrivälj pikikomponent, siis see muutub sein ääres võrdseks nullig. Nii tekib liinis keerulisem struktuurig line, mis omb väljtugevuse miinimume j mksimume liini ristlõikes. Piiritingimused määrvd välj käitumise nii metllist kui k dielektrikust süsteemides. 5
4. Väljvektorite linevõrrndid Mwelli I j II võrrnd kirjeldvd seoseid js muutuvte elektri- j mgnetväljde vhel. lektrilise induktsiooni muutus tekitb mgnetvälj, vhelduv mgnetväli tekitb omkord elektrivälj jne.: rot ( t); rot ( t) t t Vhelduvd elektri- j mgnetväli ergutvd teineteist. ee sjolu ongi luseks elektromgnetilise välj j energi levimisele ruumis. Mwelli I j II võrrnd sisldvd g nii elektri- kui k mgnetvälj vektoreid, kusjuures mõlemd väljtugevused on ühes j sms võrrndis sees j neid ei s lhutd. elliste võrrndite ksutmine leviprotsessi kirjeldmiseks on ebmugv. Tuletme võrrndi, mis iseloomustks smuti elektromgnetilise energi levimist ruumis, kuid sisldks inult ühe, ks elektri- või mgnetvälj vektori. ellise võrrndi võib tuletd Mwelli võrrndisüsteemist. Võtme luseks I Mwelli võrrndi j võtme rootori selle mõlemst poolest: rot + j rot t rot rot rot + rot j t Ksutme vektorsmsust rot rot grd div võrrndist rot j IV võrrndist div t t rot j + rot j t (4..) j sendme Mwelli II (4..) dud seos on linevõrrnd mgnetvälj vektori joks. Linevõrrndi elektrivälj vektori joks sme, lähtudes II Mwelli võrrndist rot t rot rot rot t Teisendme, ksutdes vektorsmsust j I Mwelli võrrndit grd div + t t III Mwelli võrrndist sendme ρ div j muudme märgid: j 6
ρ grd + t (4..3) Tulemuseks on linevõrrnd elektrivälj vektori joks. Linevõrrndi tüüpiline kuju sisldb teisi ostuletisi mööd eg j ruumi, koordinte, kirjelddes seeg protsesse, mis muutuvd üheegselt nii js kui ruumis. Aeg j ruum on võrrndis sees sümmeetriliselt. elle võrrndi premt poolt nimettkse k d'almberti opertoriks, neljmõõtmelise ruumi teiseks ruumtuletiseks, kusjuures neljndks mõõtmeks on eg. Aeg on immginrne koordint, sellepärst oleks esimene tuletis mööd neljndst koordinti immginrne j teine tuletis on miinusmärgig. Võrrndi preml pool on väljllikd, voolu- j lengutihedused. Väljvektorite linevõrrndis on llikd sees ebmugvl kujul, nende funktsioonide kudu. ellepärst ksuttkse väljvektorite linevõrrndeid tvliselt siis, kui uuritkse välju ilm lliktet ruumis. Allikd võrduvd siis nullile j võrrnd muutub homogeenseks. Ilm llikid rvestmt on võimlik sd välj struktuur j selle omdused, määrmtuks jääb välj mplituud. Nii ksuttkse homogeenset linevõrrndit näiteks liinis, kus line levib, kuid llikd puuduvd. dsi vtleme hrmoonilisi elektromgnetilisi protsesse ilm voolude j lengutet ruumis. Läheme võrrndites (4..) j (4..3) üle komplekssetele mplituudidele eelddes, et, j ρ, seljuures komplekssel kujul: t ~~ + ~~ + j t. me linevõrrndid (4..4) ed võrrndit nimettkse elmholi võrrndiks. Linevõrrnd hrmooniliste protsesside joks sisldb inult ühe prmeetri (kui vdeld voolude j lengutet ruumi) ~ ~ k Arvu (4..5) k ~~ *** nimettkse linervuks. Ains prmeetrin linevõrrndis on linerv määrv tähtsuseg suurus, tem iseloom määrb elektromgnetilise line omdused.*** Vtleme elektrivälj linevõrrndit (4..4) kõige lihtsml juhul, kui väli muutub inult mööd ühte koordinti. iis tspinns on välj väärtused konstntsed. ellist smfsiliste väljtugevuste pind nimettkse line frondiks. Antud juhul front kujutb tspind. el juhul on tegemist nn. tspinnlise lineg. Kun ; sme linevõrrndi kujul + k (4..6) Z 7
ee on hrmooniliste võnkumiste võrrnd piki koordinti j selle võrrndi lhendi üldkuju ik ik * e + e sisldb kks vstssuuns liikuvt linet. Minnes komplekselt mplituudilt üle relsele väljtugevusele, sme Re ' cos + ' " ( t kz ) + cos( t kz ) (4..7) elektromgnetilise line, mis liigub piki koordinti. rmoonilise funktsiooni rgument sisldb nii eg kui koordinti. Nii ngu linevõrrndis on sümmeetriliselt sees jline j ruumiline sõltuvus, nii on see k selle võrrndi lhendis. Ajline sõltuvus äärb väljtugevuse hrmoonilise muutuse kindls ruumi punktis kui const. Ruumiline sõltuvus kirjeldb line fsi ruumilist jotust, ntud juhul piki koordinti, kindll jmomendil, kui tconst. K üldjuhul on linevõrrndi lhendiks elektromgnetiline line, sellepärst sed võrrndit nimettksegi linevõrrndiks. 4. Potentsilide linevõrrndid Väljvektorite linevõrrndid sisldvd preml pool väljllikid, voolu- j lengutihedusi. eosed väljllikteg ei om g prktiliseks ksutmiseks mugvt kuju. ellepärst ksuttkse elektromgnetiliste väljde sidumiseks väljllikteg spetsilseid mõisteid, nn. elektrodünmilisi potentsile. lektrodünmilised potentsilid ise on määrtud väljllikteg j ning potentsilide kudu võib vldd väljvektorid j j, ρ A, ϕ lektrodünmilised potentsilid viikse sisse selliselt, et lihtsustd väljde rvutmist ntud väljllikte järgi. Vstvlt Mwelli IV võrrndile div B Vektorsmsusest on ted, et div rot Järelikult võime k vektori B vldd mingi teise vektori rootorin B rot A (4..) kus A on välj mgnetiline potentsil ehk elektrodünmiline vektorpotentsil. Väljvektori võib vldd vektorpotentsili A kudu. Asendme (4..) II Mwelli võrrndisse: rot A (4..) A rot rot A rot t + t Vektorsmsusest rot grd B järeldub, et mingi sklrse suuruse grdiendin võib vldd k vektori 8
A + grd ϕ (4..3) t iin on ϕ välj elektriline potentsil ehk sklrne elektrodünmiline potentsil. Kerge on näh, et sttilise välj puhul, kui A lngeb ϕ kokku elektrosttilise t potentsilig. Üldjuhul A grd ϕ (4..4) t Toome sisse elektrodünmiliste potentsilide linevõrrndid. Vektorpotentsili linevõrrndi võib tuletd I Mwelli võrrndist. Avldme Mwelli I võrrndisse väljvektorid potentsilide kudu seostest (4..) j (4..4): Ksutme vektorsmsust: A rot + t A rot rot A grdϕ + + t t grd div A A A t α ϕ grd t j + grd div A + j j A + t ϕ t j (4..5) Vektorpotentsil A toodi sisse seoseg (4..), määrtes tem rootori. elleg ei ole g vektor veel üheselt määrtud. Kun vektori diverigents j rootor on teineteisest sõltumtud, võib vektorpotentsili diverigentsile püstitd täiendv tingimuse ϕ div A (4..6) t ellise nn. klibreerimistingimuse sissetoomine lihtsustb tunduvlt võrrndit 4..5. Vektorpotentsili linevõrrndi sme kujul A A t j (4..7) Linevõrrndi sklrse potentsili joks sme Mwelli III võrrndist: senddes sii seosest (4..4), div ρ, div grd ϕ div A t Asenddes div A seosest (4..6), sme tedes et ρ div grd ϕ ϕ : ϕ ρ ϕ (4..8) t 9
ee on linevõrrnd sklrse potentsili joks. Väljpotentsilide linevõrrndid on mittehomogeensed d'almbert'i võrrndid: vskul pool linevõrrndi tüüpiline kuju, teised tuletised sümmeetriliselt mööd eg j koordinte, preml pool väljllikd. rinevus väljvektorite linevõrrnditest seisneb selles, et potentsilide võrrndites llikd on sees lihtsiml võimlikul kujul. Ruumis, kus voolud j lengud puuduvd, s.t. ρ j j, j, sme homogeensed d'almbert'i võrrndid A A t (4..9) ϕ ϕ t Kun potentsilid tuukse sisse spetsilselt väljde sidumiseks llikteg, ei ksutt prktiliselt homogeenseid linevõrrndeid potentsilide joks. Kui on tegemist hrmooniliste elektromgnetiliste võnkumisteg, on otstrbeks üle minn välj potentsilide komplekssetele mplituudidele A iϕ iϕ A ϕ A e j ϕ ϕ e j. Linevõrrndid komplekssete mplituudide joks svd kuju A + ~~ A ~ j ρ ϕ + ~~ ϕ (4..) Nende võrrndite lhendite üldkuju tspinnlise line puhul on smsugune ngu võrrnditel (4..7) väljtugevuste joks: kks vstssuuns levivt linet. rinevus seisneb selles, et kui võrrndites (4..7) jääb mplituud põhimõtteliselt määrmtuks (llikd puuduvd), siis nüüd on llikte järgi võimlik potentsililine mplituud üheselt määrt. Potentsilide linevõrrndeis esineb smuti üksinus prmeeter, mis ühtib väljvektorite linevõrrndis esinev prmeetrig. elleks prmeetriks on linerv K ~ ~. 3
5 ttilised j sttsionrsed väljd lektromgnetilisi välju kirjeldvd üldjuhul Mwelli võrrndid mterilsed võrrndid väljpotentsilide linevõrrndid rot rot div D ρ div B D B Α t j σ + t A t j j ϕ ρ ϕ t rijuhtudel, kui neis võrrndeis domineerivd tetud liikmed j os liikmeist on tähtsusetud (või muutuvd nulliks), on tegemist tetud elektromgnetiliste väljde eriliigig. Nii eristtkse kolme väljde lliiki.. ttilised väljd on liikumtute lengute väljd, neis väljdes puudub vool. el juhul ρ const j t. ttsionrsed väljd on llisvoolu väljd. el juhul ρ const j const. t 3. Kvsisttsionrsed väljd on suhteliselt mdlsgeduslikud vhelduvvoolu väljd. el juhul jlisi tuletisi sisldvd liikmed on väg väikesed j väljde omdused ei erine prktiliselt sttsionrsete väljde omdustest. Kvsisttsionrsuse tingimus << j. t Kui on tegemist üllnimettud väljliikideg, siis Mwelli võrrndsüsteemis muutuvd liikmed, mis seovd omvhel elektrilisi j mgnetilisi nähtusi, väikeseks j neid võib mitte rvestd. el juhul elektri- j mgnetväli ei ole omvhel seotud j Mwelli.. 3
võrrndsüsteem jguneb elektrivälj: rot, div D ρ j mgnetvälj võrrndeiks: j ( või rot ) rot, div B. 5. ttilised väljd lektrosttilises väljs ρ const j j väli ei muutu js, s.t. t lektrosttilist välj kirjeldvd üldisest süsteemist üllminitud tingimustel sdud võrrndid rot (5..) div B ρ (5..) D. (5..3) Kun on tegemist potentsilse väljg j võib sisse vii elektrosttilise potentsili grd ϕ. (5..4) lektrosttiline potentsil lngeb kokku sklrse elektrodünmilise potentsilig A grd ϕ, t A kui on täidetud sttilise (või sttsionrse) välj tingimus j. t Asendme (5..4) võrrndisse (5..) ρ ρ div grd ϕ ; ϕ. (5..5) Oluline on märkid, et võrrnd (5..5) tuleneb otseselt linevõrrndist sklrse ρ ϕ potentsili joks (5..8) sttilise lengu puhul. Kui, siis ilmselt k t t j teine liige linevõrrndi vskul poolel muutub nulliks. dud võrrnd (5..5) on sklrne Poissoni võrrnd. elle võrrndi lhendi üldkuju on ted j vldub nn. llik funktsiooni ρ kudu r ρ ϕ dv 4π r V ( 5..6 ) Lhendi vstvust tegelikkusele on kerge näidt, lähtudes Gussi teoorist punktlengu joks. muti on kerge näidt, et punktlengu erijuhul lhendi üldkuju (5..6) tndub Coulombi sedustele. Vtleme viimst vrinti. Punktlengu puhul rconst j ρdv q. V Punktlengu elektrosttiline potentsil 3
lektrosttilise välj tugevus grd q ϕ ( 5..7 ) 4π r q ϕ grd 4π r kus n on rdilselt suuntud ühikvektor. Järelikult q n 4π r ( 5..8 ) mis vstb Coulombi sedusest sdud elektrivälj tugevusele (vt... ). Piiritingimused elektrosttilises väljs vstvd üldistele piiritingimustele (vt. p. 3) j D n D ' τ τ n ρ Juhtiv keskkonn sees muutub elektrosttiline väli nulliks, sest muidu tekiks vool j σ j väli ei oleks enm sttiline. Välj puudumist juhtiv keskkonn sees võib seletd selleg, et sel vblt liikuvd ühenimelised lengud tõukuvd j setuvd juhi pinnl nii, et nende väljd juhi sees kompenseeruvd. Järelikult tekib pindleng ρ τ järeldub, et n τ ρ' n elektrosttiline väli on suuntud risti juhtiv keskkonn pinng. Juhi pind on seeg ekvipotentsilne pind, kus ϕconst. Ig isoleeritud juhtivt keh võib iseloomustd mhtuvuseg C, mis näitb lengu hulk, mis kulub keh potentsili tõstmiseks ühe ühiku võrr q C [ F]. ( 5..9 ) ϕ 5. ttsionrsed väljd 5.. Allisvoolumgnetväli Allisvoolu mgnetvälj vlemid sdkse üldiselt elktromgnetilise välj vlemitest tingimusel, et j const. J : t rot j (5..) div B (5..) B (5..3) Kun div B, on tegemist solenoidlse väljg, mid võib kujutd mingi vektori rootorin (kun div rot ): B rot A 33
Kun A on mgnetiline vektorpotentsil, sm mis elektrodünmiline vektorpotentsil (vt. 4..). Kun Vektor ei ole üheselt määrtud om rootorig, võib esitd täiendvd tingimused sellel vektori divergentsile. Kun llisvoolu mgnetväli ei om llikid, võib eeldd, et k mgneetilise potentsili väli on lliktevb, s.t. div A (5..4) ϕ mle nõudele tndub k üldine klibreerimistingimus (4..6), kui. t Asendme potentsili kudu võrrndis (5..) rot rot A grd div A A j Ksutdes tingimust (5..4), sme Poissoni vektorvõrrndi A j (5..5) dud võrrnd tuleneb otseselt elektrodünmilise vektorpotentsili linevõrrndist (4..7) llisvoolu puhul. Kui j const, siis ilmselt ei muutu js k A väljpotentsil j teine liige linevõrrndi vskult poolt lngeb välj. t Poissoni vektorvõrrndi lhendi üldkuju on ted j vldub llik funktsiooni j kudu r j A dv (5..6) 4π r Mgnetiliselt potentsililt võib üle minn mgnetväljle seoses 4.. bil: j rot A rot dv 4π r 5.. Allisvoolu elektriväli V j V (5..7) Kun llisvool sb eksisteerid inult elektrijuhtivust omvs keskkonns σ, vtleme k väljvõrrndeid juhtivs keskkonns, eelddes, et j const j ρ protsessid ei muutu js. Järelikult k j ρ const. t t Juhtivusvoolu omdusi kirjeldvd üldisttud omdused Ohmi sedus.3. j pidevuse võrrnd.3.. Allisvoolu elektrivälj võrrndid on Kun rot, on tegemist potentsilse väljg rot (5..) div j (5..) j σ (5..) grd ϕ j sklrne potentsil ϕ lngeb kokku elektrosttilise välj potentsilig. 34