INTRODUCERE Cel mai eident si fundamental fenomen pe cae îl obseãm în juul nostu este miscaea; expeientele au demonstat faptul cã miscaea unui cop este influentatã de copuile cae-l înconjoaã, adicã de inteactiunile cu acestea. Scopul fizicienilo si ingineilo este de a dispune lucuile astfel încât sub influenta inteactiunilo mutuale înte paticule sã se poducã un anumit tip de miscae. Rolul fizicianului este de a gãsi cauzele acesto miscãi ia olul ingineului este de a face miscãile utile cae sã conducã la usuaea ietii omului. Existã multe legi si pincipii geneale cae se aplicã la toate fomele de miscae indifeent de natua inteactiunilo. Acestea împeunã cu teoia cae le stã la bazã alcãtuiesc mecanica. Mecanica, cae este o stiintã a miscãii, este deasemenea si stiinta impulsului, a fotei si a enegiei. Mecanica este un domeniu fundamental al fizicii. CINEMATICA CAPITOLUL II II.. Cinematica punctului mateial II...Sisteme de efeintã Notiunea de deplasae a unui cop se defineste numai în apot cu alte copui; de aceea deplasaea este elatiã. Deoaece deplasaea este legatã de pozitie, atunci se obeste despe pozitia ecipocã dinte copui. Copul de efeintã se consideã fix si fatã de el se studiazã miscaea alto copui (ex. Pãmântul, Soaele). De copul de efeintã este legat igid un sistem de coodonate (SC) ca de exemplu sistemul catezian otogonal de tei axe. Acest sistem de coodonate împeunã cu ceasonicul pentu mãsuaea timpului constituie sistemul de efeintã (SR) sau epe. 39
În geneal, oice sistem de efeintã este admis pentu descieea miscãii unui cop, însã pactic se alege acel sistem SR astfel încât fenomenul studiat sã fie descis cât mai simplu si pe înteles. În studiul cinematicii, punctul mateial deine un mobil, adicã un punct geometic cae se deplaseazã. La miscaea de tanslatie, toate punctele se miscã identic si de aceea miscaea unui singu punct al copului caacteizeazã miscaea întegului cop, indifeent de dimensiunile acestuia. Sistemele de efeintã inetiale sunt SR în cae este alabil pincipiul inetiei (ex. Sistemul heliocentic al lui Copenic). SR legat de Pãmânt nu este iguos inetial datoitã otatiei diune a Pãmântului, da abateile sunt mici, se pot neglija, consideând pactic SR legat de Pãmânt ca fiind inetial. SR absolut este sistemul de coodonate astonomic legat de stelele fixe si nebuloasele îndepãtate si timpul sideal. Confom pincipiului inetiei toate SR inetiale sunt absolut echialente nici unul din ele nu poate fi consideat fix sau absolut. De aceea, pincipiile mecanicii clasice afimã cã nu existã un spatiu absolut cae sã poatã fi luat dept SR. Mai mult, teoia elatiitãtii aatã cã spatiul si timpul sunt legate înte ele si popietãtile lo sunt deteminate de mateie si miscae. Necesitatea existentei SR este eidentiatã pin umãtoul exemplu: se consideã doi obseatoi O si O si o paticulã P. se utilizeazã sistemele de efeintã Oxyz si O x y z. Dacã O si O sunt în epaus unul fatã de celãlalt, ei obseã aceeasi miscae a paticulei P. Dacã, însã O si O sunt în miscae elatiã unul fatã de celãlalt, obseaea miscãii paticulei P a fi difeitã. Exemplu. Putem pesupune cã cei doi obseatoi sunt situati unul pe Soae (Oxyz) ia celãlalt pe Pãmânt (O x y z ) si ambii studiazã miscaea Lunii. Pentu obseatoul teestu în SR - O x y z Luna descie o taiectoie apoape ciculaã în juul Pãmântului, pe când, pentu obseatoul sola, în SR - Oxyz obita Lunii apae ca o linie ondulatã (Fig.II.) 4
II.. Taiectoia Taiectoia epezintã locul geometic al punctelo pin cae tece mobilul sau cuba descisã de mobil în timpul miscãii sale. Taiectoia poate fi ectilinie sau cubilinie (ciculaã) dupã SC utilizat. Pozitia mobilului la un moment dat este datã de ectoul de pozitie cae analitic în SC catezian otogonal ae expesia: = x i + y j + z k ( II. ) unde i = j = k = sunt esoii axelo. Se pesupune cã în fiecae moment mobilul (punctul mateial) ocupã pe taiectoie o pozitie bine deteminatã si cã aceastã pozitie aiazã în timp, în mod continu, adicã coodonatele mobilului x, y, z sunt functii finite, unifome si continue în timp. x = f (t) ; y = f (t) ; z = f 3 (t) sau 4
( t ) i + f ( t) j + f ( t )k = x i + y j + z k = f 3 (II.) Eliminaea timpului în ecuatiile de mai sus, duce la obtineea ecuatiei taiectoiei: F(x, y, z) = (II.3) ia coodonata cubilinie a mobilului este datã de expesia : s = f ( t ) (II.4) Sisteme de coodonate Rezolaea matematicã a poblemelo de fizicã ae neoie de un sistem de coodonate (SC) astfel ales încât opeatiile de calcul sã fie cât mai simple ia legea fizicã ezultatã sã fie expimatã cât mai simetic si concis. Existã sistemul de coodonate catezian (xyz) pola, cilindic. S.C. polae în spatiu (sfeice). Constituit din tei numee, ϕ, θ cae epezintã pozitia punctului pe supafata sfeei de azã aiabilã = OP (azã ectoae). Unghiul θ este deteminat de cãte diectia azei ectoae si diectia axei Oz, ia unghiul ϕ este deteminat de cãte diectia axei Ox si diectia deptei OP cae este poiectia azei ectoae pe planul xoy. II..3 Miscaea cubilinie II..3. Viteza. Consideãm un punct mateial (mobil) cae descie o taiectoie cubilinie (C) ca în figua II.4. La timpul t punctul mobil se gãseste în punctul A dat de ectoul de pozitie = OA ; la timpul t punctul mobil a fi în B cu = OB. În timp ce punctul mobil pacuge acul AB = s, deplasaea cae este un ecto ae expesia = AB. Din figuã se poate edea cã : = + si deci : 4
= ( ) + ( ) + ( ) = unde = x i + y j + zk º i = x i + y j + z k AB = - = i x - x j y - y k z - z i x + j y + z z (II.5) Rapotul dinte deplasaea si intealul de timp coespunzãto t poatã denumiea de itezã medie med aând expesia : = (II.6) med t Viteza medie este epezentatã pint-un ecto paalel cu deplasaea AB timpului (de la A B). Analitic med ae expesia : = x y i + j + k med t t k t (II.7) = aând sensul cesteii Când intealul de timp t tinde spe ( t ) punctul B se apopie de punctul A teptat pin B, B,. În acelasi timp = AB aiazã continu în mãime si diectie (, ) dupã iteza medie ( ' med, '' med ). La limitã,când punctul B se apopie foate mult de punctul A, = AB coada tinde spe tangenta ( AT) la taiectoia în punctul A si apotul ae o limitã unicã, functie continuã de timp (Fig. II.5). t Limita = lim t fi t d = (II.8) Fig. II.5 poatã denumiea de itezã instantanee (momentanã) a punctului mateial. Confom celo de mai sus în miscaea cubilinie, iteza instantanee este un ecto tangent la taiectoie (ezi figua II.5 ). Analitic, iteza instantanee se scie : dx = i + j dy + (II.9) k dz unde dx dy dz = ; = ; = ; ia ca aloae : = + + x y z x y z (II.) Pentu deteminaea elatiei dinte s si se pocedeazã astfel; fie un punct O abita ales pe taiectoia ( C ) (Fig.II.4). Cantitatea s = O A dã pozitia punctului mateial mãsuat pin deplasaea sa 43
în lungul cubei. Când punctul mateial se deplaseazã de la A spe B, deplasaea s este datã de lungimea acului AB ( s = acul AB) Înmultind si împãtind expesia itezei instantanee cu s se obtine: lim = t s s t = lim s lim s t s t (II.) La limita t din explicatia celo douã figui când B A (se apopie) atunci putem apoxima cã este apoximati egal cu s ( s ). Limita când s epezintã deci un ecto de mãime unitate si diectie tangent la s taiectoie. Deci lim s ds = τ (II.) ia lim = = (II.3) si atunci se scie sub s fi s t fi t foma: ds = τ = τ (II.4), unde ds τ dã diectia. = (ecuatia I.3) dã aloaea itezei ia ectoul unitate Putem spune acum, cã ds din miscaea cubilinie ae acelasi ol ca si dx din miscaea ectilinie, cu singua difeentã cã se intoduce un facto de diectie dat pin ectoul unitate (eso) τ dupã tangenta la taiectoie. II.3. Acceleatia În miscaea cubilinie,iteza se modificã ca mãime si ca diectie. Pin modificaea mãimii itezei punctul mateial poate fi acceleat sau încetinit. Deoaece iteza este un ecto tangent la taiectoie, modificaea diectiei itezei ae ca ezultat obtineea unei cube în mod continu. Fie un punct mateial cae se miscã pe o cubã (C) cae la timpul t ae iteza în punctul A ia la timpul t iteza în punctul B. modificaea ectoialã a itezei de la A spe B este indicatã pin în tiunghiul ectoilo : = + 44
De aici, ezultã cã acceleatia medie a med în intealul t este definitã pin : a = med t,( a med ) (II.5) cae epezintã un ecto paalel la. Fig. II.6 Expimaea analiticã : = i + j + k x y z = i + j + k atunci x y z a = i + j + k med t t t x y z (II.6) Pentu a cunoaste aiatia itezei în oicae moment se intoduce notiunea de acceleatie instantanee (momentanã) sau acceleatie a. Acceleatia instantanee epezintã limita cãte cae tinde acceleatia medie când intealul de timp tinde spe zeo, adicã d a = lim a = med lim = sau a = d (II.7) tfi tfi t Acceleatia este un ecto cae ae aceeasi diectie ca si aiatia instantanee a itezei. Deoaece iteza se modificã dupã cubua taiectoiei, acceleatia este meeu diijatã spe concaitatea cubuii si, în geneal, nu este nici tangentã, nici pependiculaã la taiectoie cum este indicat în figua II.7. Fig. II.7 Analitic sciem : 45
a i d j d k d x y z = + + unde d d x d d y d x y z a = = ; a = = ; a = = x y z sau d a = d z (II.8) ia ca mãime a = a + a + a x y z (II.9) Componentele tangentialã si nomalã ale acceleatiei Fie un punct mateial cae descie o taiectoie cubã. Pentu simplificae, popunem o cubã planã da ezultatele sunt alabile pentu miscaea pe o cubã oaecae. La un moment dat t punctul mateial se gãseste în punctul A aând iteza si acceleatia a. Deoaece a este diijatã spe concaitatea cubei poate fi descompusã înt-o componentã tangentialã la a t, paalelã la tangenta AT si numitã acceleatie tangentialã si o componentã nomalã a n paalelã la nomala AN si numitã acceleatie nomalã. Fig.II.8 Fig. II.9 Fiecae dinte aceste componente ae o semnificatie fizicã bine definitã : când punctul mateial se deplaseazã mãimea itezei se poate modifica si aceastã modificae este legatã de acceleatia 46
tangentialã. Deasemeni se poate modifica diectia itezei si aceastã modificae este legatã de acceleatia nomalã. Deci putem spune cã: - o modificae a mãimii itezei este legatã de acceleatia tangentialã, - o modificae a diectiei itezei este legatã de acceleatia nomalã. Expesiile acceleatiilo tangentiale si nomale În paagaful anteio am gãsit expesia itezei (fomula II.4) sub foma: ectoul unitate tangent la taiectoie. = τ unde τ este Pentu deteminaea acceleatiei plecãm de la definitia ei si obtinem : d d d a ( ) d τ = = τ = τ + = τ& + τ& (II. ) Dacã taiectoia este o deaptã ectoul τ a fi constant în mãime si diectie si ezultã d τ =. Dacã, însã, taiectoia este o cubã, se obtine o aloae difeitã de zeo pentu d τ. Pentu aceasta intoducem ectoul ρ nomal pe cubã si diijat spe concaitate. Notând cu Φ unghiul dinte tangenta la cubã în A si axa Ox (Fig.II.9), putem scie : τ = i cosφ + j sin Φ (II.) π π ρ = i cos Φ + Ł ł + j sin Φ Ł + ł = - Φ Φ i sin + jcos (II.) Deci dτ d d d d = - i sin Φ Φ + j cosφ Φ = Φ Φ (- i sin Φ + j cosφ) = ρ (II.3) Aceastã egalitate aatã cã ectoul d τ este nomal la cubã, ia d Φ d ds = Φ = dφ (II.4) ds ds unde ds este egal cu acul AA. Nomalele la cubã în A si A se întetaie în punctul C numit centu de cubuã de azã R. Cum ds = R dφ d Φ = ds R ia d Φ = R d τ. Deci, = ρ (II.5) R 47
Intoducând fomula (II.5) în expesia acceleatiei (II.), obtinem : d a = τ + ρ R (II.6) Pimul temen τ d epezintã un ecto tangent la cubã popotional cu deiata în apot cu timpul, a mãimii ectoului itezã ; acestui temen îi coespunde acceleatia tangentialã a t. Al doilea temen ρ R este un ecto nomal la cubã si îi coespunde acceleatia nomalã a n. Ca mãime (aloae) : d a = si a t n = R Deci mãimea acceleatiei în punctul A este : a = a + a = n t Ł R ł d + Ł ł (II.7) Discutii - Dacã miscaea cubilinie este unifomã ( = ct ) ezultã a t = ; adicã nu existã acceleatie tangentialã. - Dacã miscaea este ectilinie ( nu se modificã diectia ) R = ezultã a n =, adicã nu existã acceleatie nomalã. II..3.3. Deteminaea itezei si acceleatiei în sistemul de coodonate polae în plan Sciind poiectiile pe cele douã axe în coodonate polae (Fig.II.) se obtine: x = cosϕ (II.8) y = sinϕ 48
Fig.II. Fig. II. Fig. II. Expesia itezei (Fig.II.) = x& i + yj & (II.9) x& = & cosϕ - ϕ& sinϕ ϕ ϕ ϕ &y = &sin + & cos = & cosϕi - ϕ& sin ϕ i + & sinϕj + ϕ& cosϕ j = & cosϕi + sinϕj + ϕ& cosϕj - sinϕ i ( ) ( ) unde cosϕi + sinϕj = ρ si cosϕj - sinϕi = ε ezultã : = & ρ + ϕε & ( &) ( ϕ& ) = + = + ρ ε (II.3) Expesia acceleatiei (Fig. II.) a = & = && x i + && yj (II.3) & = && ρ+ & ρ & + & ϕε & + ϕε && + ϕε & & & ρ = -ϕ& sinϕi + ϕ& cosϕj & ε = -ϕ& sinϕj - ϕ& cosϕi ( ) & = && cos ϕ i + && sin ϕ j - & ϕ& sin ϕ i + & ϕ& ( cos ϕ j + & ϕ& cos ϕj) - & ϕ& sinϕi + + ϕ&& cosϕj - ϕ&& sinϕi - ϕ& sinϕj - ϕ& cosϕi a = && ρ + & ϕ& cosϕ sinϕi + ϕ&& cosϕi - sinϕj ϕ& sinϕj + cosϕi ( j - ) ( ) - ( ) (&& & ) ( && && ) a = ρ - ϕ + ρ + ϕ ε 49
a = ρa ρ + εa ε unde a = a ρ + a ε (II.3) Cazui paticulae Miscaea ectilinie ) Unifomã ( = ct., a = ) Miscaea punctului mateial este ectilinie dacã taiectoia sa este o deaptã. Consideãm axa Ox ca taiectoie. Pozitia punctului mateial este definitã pin deplasae sa x plecând de la un punct abita ales O, numit oigine. (Fig. II 3) În pincipiu, deplasaea este legatã de timp pin elatia functionalã : x = f ( t ). În mod eident, x poate fi negati sau poziti. Pesupunem cã la timpul t punctul mateial este situat în pozitia A cu OA = x. La un moment ulteio t, punctul mateial este în punctul B cu OB = x. Se defineste iteza medie înte A si B ca fiind Fig.II.3 x x x = - = (II. 33) med t - t t Viteza medie înt-un anumit inteal de timp este egalã cu deplasaea medie pe unitatea de timp. Pentu deteminaea itezei instantanee, se consideã t atât de mic încât pactic nu se poduce nici o modificae a stãii de miscae în acest inteal de timp. Adicã : x dx = lim = lim = (II.34) med tfio t fi t adicã iteza instantanee este deiata deplasãii în apot cu timpul. Aplicând calculul integal obtinem ecuatia miscãii : x t dx = = x t t t x -x = (t - t ) x = x + (t -t ) (II.35) ) Vaiatã ( aiabil, a = ct. ) 5
În figua II.3 punctul mateial la momentul t este în punctul A si ae iteza ia la timpul t este în punctul B si ae itezea. Acceleatia medie este definitã pin : a med = '- t '- t = t (II.36) Acceleatia instantanee este aloaea limitã a acceleatiei medii când intealul de timp t deine foate mic ( t ), adicã : a d = lim a = lim = med tfi tfi t (II.37) Când miscaea ectilinie ae acceleatia constantã se spune cã miscaea este unifom aiatã. Dacã iteza ceste în aloae absolutã cu timpul, se spune cã miscaea este acceleatã (a> ) Dacã iteza desceste în aloae absolutã cu timpul, se spune cã miscaea este încetinitã (a<). Din expesia acceleatiei pin integae se obtine ecuatia itezei în miscaea unifom aiatã (acceleatã) : d = t a - = a t t t t = + a (t - t ) (II.38) Da cum t t t t [ ( )] ( ) x = x + = x + + a t - t = x + + a t - t t t t t sau x = x + ( t -t ) + / a ( t - t ) pentu t = ezultã x = x + t + / at (II.39) cae epezinzã ecuatia spatiului în miscaea unifomã acceleatã. În functie de deplasae, acceleatia ae expesia : 5
a d = = d dx Ł ł = d x Da d = a si se înmulteste sânga - deapta cu sau dx /, se obtine : d = a (dx/) = a dx sau d = a dx x ( x ) - = a x - Se obtine ecuatia lui Galilei: x = + a( x - x ) (II.4) Repezentaea ectoialã a itezei si a acceleatiei în MRUV >, a > <, a > Miscaea acceleatã ( >, a < a > ) <, a > Miscaea încetinitã ( a < ) Fig. II.4 5
Fig.II.5 Fig.II.6 Cãdeea libeã a copuilo Exemplu cel mai simplu de miscae cu acceleatie constantã este cãdeea unui cop pe Pãmânt. Neglijând ezistenta aeului, toate copuile aflate în acelasi punct de pe supafata Pãmântului cad cu aceeasi acceleatie indifeent de mãimea si geutatea lo. Dacã insã si distanta pacusã este micã în compaatie cu aza Pãmântului atunci acceleatia ãmâne constantã pe timpul cãdeii. Aceastã miscae idealizatã - neglijind ezistenta aeului si micsoaea acceleatiei cu altitudinea - poatã denumiea de cãdee libeã. Acceleatia unui cop în cãdee libeã se numeste acceleatie gaitationalã si se noteazã cu g. La supafata Pãmântului mãimea acceleatiei este de 9,8 m/s. Pe supafata Lunii acceleatia este datoatã în pincipal fotei de atactie execitate asupa unui obiect de cãte Lunã si nu de cãte Pãmânt. Pe Lunã g =,67 m/s ia pe Soae, g = 74 m/s. Deteminaea pozitiei si itezei unui cop în cãdee libeã Consideãm cã la momentul initial ( t = ) copul se aflã în epaus ( = ). Luãm oiginea O în punctul de plecae (Fig. II.7). Sã se calculeze timpul si iteza. a = g y = t + gt y = gt = + g t = gt 53
Fig.II.7 Auncaea pe eticalã a = - g y = t - gt = - gy ( II.4) = - gt La înãltimea maximã = aem : = - gt u t g u = y t gt g = - = - = max u u g g g Sau din ecuatia lui Galilei : = - gy max y g max = Auncaea dupã un unghi dat ( miscaea unui poiectil, Fig. II.8 ) 54
Consideãm a = g si g = - j g (II.4) La t =, = i + j unde x = cosα si y = sinα. x y La un moment oaecae t ecuatia itezei este de foma : ( ) = i + j = + at = - j gt sau = i x + j - j gt de unde x y y x = x si y = y - gt (II.43) cae aatã cã poiectia itezei dupã axa Ox este constantã; deci miscaea este unifomã (a = ) ia dupã Oy miscaea este identicã cu auncaea pe eticalã în sus. Mãimea itezei ezultante la timpul t este = + x y y ia unghiul dinte ezultanta itezei si oizontalã (Ox) este dat de tgα =. x Coodonatele poiectilului se deteminã din ecuatiile miscãii pe cele douã axe : at = t + 55
( x y ) = i x + j y = i + j t - j gt gt ; x = x t, y = t y x = tcosα, y = t sin α - gt (II.44) Pin eliminaea paametului t din cele douã elatii x si y se deteminã ecuatia taiectoiei. t = x cosα g y = xtgα - x = Ax - Bx cos α (II.45). Aceasta epezintã ecuatia unei paabole. (Fig.II.8). Pentu deteminaea înãltimii maxime y max se pune conditia ca y =, adicã din ecuatia itezei y = y - gt ezultã = t u sinα - gt u ezultã t sinα g u = ia y max = sin g α (II.46) Bãtaia (distanta pe oizontalã) x max, se obtine pin multiplicaea itezei pe oizontalã x, cu de douã oi timpul de ucae t u, adicã : sinα sinα cosα x = t = cosα = max x u g g sau x max = sin g α (II.47) Deoaece sinusul unui unghi ae aloaea maximã, atunci bãtaia este maximã la α = 45. 56
Demonstatia expeimentalã a popietãtilo miscãii poiectilului. (Fig.II.9) Consideãm o sfeã ( O ) si o bilã ( ). Sfea este auncatã dupã un unghi α ia bila cade libe din epaus; ambele ponesc în acelasi timp. Se constatã cã cele douã copui se ciocnesc independent de aloaea itezei initiale. Pentu a demonsta aceasta se obseã cã înãltimea initialã a bilei este x tgα si cã dupã timpul t ea cade pe distanta /gt. Înãltimea bilei în momentul ciocniii este deci: y = xtg - gt α Cum t epezintã si timpul sfeei sã pacugã distanta x pe oizontalã cu iteza constantã cosα, ezultã cã x = tcosα si eliminând timpul se obtine : moment t. x y = xtgα - g cos α cae coincide cu înãltimea la cae se gãseste bila la acelasi Miscaea ciculaã Este un caz paticula al miscãii cubilinii, în cae taiectoia este un cec (Fig.II.). Viteza tangentã la cec este pependiculaã la aza R = OA. Când se mãsoaã distanta pe cicumfeintã plecând din A gãsim cã s = Rθ cu R = ct.. 57
În acest caz ; θ ds = = R d = Rω, unde ω θ = d, numitã itezã unghiulaã si este egalã cu deiata unghiului în apot cu timpul. Unitatea de mãsuã pentu ω este ad / s. Vectoial, iteza unghiulaã este un ecto a cãui diectie este pependiculaã pe planul miscãii în sensul înaintãii unui tibuson (otatie spe deapta) în sensul în cae se deplaseazã punctul mateial. Din figua II. se ede cã R = sinα si cã θ ω = k d = θ& k. Putem scie = ω sinα sau ectoial : = ω (II.48) Dacã iteza unghiulaã a punctului mateial este aiabilã în timp acceleatia unghiulaã este definitã pin ectoul : ω ε = d (II.49) Deoaece miscaea ciculaã este planã si diectia lui ω ãmâne meeu aceeasi, putem scie : ε dω d θ = = = θ&& = ω& (II.5) În miscaea ciculaã, acceleatia tangentialã ae expesia : a t d d ( ω R ) ω = = = = R d R ε (II.5) si ectoial a = ε R (II.5) t ia acceleatia nomalã : 58
a n = = ω = ω R (II.53) R si ectoial : a = ω = ω ω R = -ω R (II.54) n ( ) 4 ia ca aloae aem : a = a + a = R ε + ω (II.55) n t Expesiile ectoiale ale elementelo miscãii ciculae se egãsesc în figua II.. Caz paticula - Miscaea ciculaã unifomã = ct ; ω = ct. ε = ω& = ; a t = ; a = R ω dθ θ = θ = θ t t ω θ - θ = ω (t - t ) θ =θ + ω (t - t ) (II.56) Dacã θ = si t = atunci θ = ωt pentu o otatie completã t = T, θ = π π = ωt de unde ω = π/t = πν. ªtiind cã ; ε d θ = = d ω ω ω d ω t = ε ω - ω = ε ( t - t ) ω = ω + ε ( t - t ) (II.57) t Integând în continuae obtinem : d θ = ω ω + ε - ( t t ) = 59
θ θ t t dθ = + = + t t [ ω ε( t- t )] ω ε ( - ) t t ε θ - θ = ω - + - ( t t ) ( t t ) ( ) ( ) θ = θ + ω t - t + ε t- t (II.58) elatia cae aatã pozitia unghiulaã θ la oice moment t. II.. Cinematica miscãii elatie a punctului mateial Intoducee Miscaea este o notiune elatiã si de aceea tebuie apotatã la un sistem de efeintã paticula ales de cãte obseato. Deoaece unii obseatoi pot alege sisteme de efeintã difeite, este impotant a cunoaste cum sunt coelate obseatiile efectuate de acesti obseatoi. De exemplu, multe obseatii efectuate pe Pãmânt sunt apotate la un sistem de efeintã cae este legat de Pãmânt si cae se deplaseazã odatã cu Pãmântul. În astonomie se pefeã miscaea apotatã la un cop ceesc - stele fixe. În fizica atomicã este descisã miscaea electonilo în apot cu nucleul. Deci, obseatoul îsi alege un sistem de efeintã în cae poate colecta date cât mai uso si pe cae le poate apoi analiza. II... Tansfomãile lui Galilei Un acelasi eeniment poate fi analizat din douã SR difeite în cae se gãsesc doi obseatoi difeiti. Eenimentul este caacteizat pin cele tei coodonate spatiale la cae se adaugã timpul t ca o coodonatã tempoalã. De fiecae obseato este legat un SR popiu ( adicã SC, iglã, ceasonic ). Fiecae obseato poate mãsua coodonatele aceluiasi eeniment pin popiile sale instumente si poate stabili legi pe 6
baza acesto infomatii. Scopul mãsuãtoilo este de a gãsi o legãtuã înte coodonatele acestui eeniment pentu cei doi obseatoi, adicã de a gãsi tansfomãile de coodonate cae dau teceea de la un SR la altul. Pin aceasta se poate aãta cae aspecte ale fenomenelo si legilo sunt elatie, adicã dependente de SR si cae sunt absolute, inaiante, adicã independente de SR. Demonstatie Sã consideãm douã SR, S(Oxyz) si S (O x y z ) si doi obseatoi O si especti O (Fig.II.3). Pesupunem cã cei doi obseatoi se deplaseazã unul fatã de celãlalt înt-o miscae de tanslatie unifomã. Obseatoul din O ede cã obseatoul din O se deplaseazã cu iteza = ct. ia cel din O ede cã obseatoul din O se deplaseazã cu iteza -. Pentu obseatoul O putem scie cã : = OO ' + ' da OO' = t ezultã = - OO' = - t (II.59) În mecanica clasicã se consideã cã lungimile si timpul mãsuate în difeite SR sunt aceleasi, au caacte absolut, inaiant. Aceastã consideae, ne pemite a aãta cã ezultatele mãsuãtoilo de lungime si de timp nu depind de miscaea instumentelo de mãsuã (iglã, ceasonic) si nici de miscaea obiectelo mãsuate. Relatia, = - t expimã legãtua dinte coodonatele unui eeniment mãsuate în sistemul S si coodonatele aceluiasi eeniment mãsuate in sistemul S, dã teceea de la un SR la altul deplasat ectiliniu unifom fatã de pimul. Expimaea analiticã a elatiei ectoiale (ll.59) este : 6
x = x - t, y = y, z = z, t = t (ll.6) cae epezintã tansfomãile lui Galilei pe axe în pesupuneea cã axele Ox si O x sunt paalele ia deplasaea obseatoului O fatã de O se face dupã aceastã axã. Tansfomãile lui Galilei sunt alcãtuite din 3 ecuatii spatiale la cae se mai adaugã ecuatia tempoalã t = t pentu a emaca faptul cã cei doi obseatoi O si O utilizeaza acelasi timp (ceasonic). Deiând ecuatia ectoialã (ll.59) se obtine expesia itezei de foma: = - sau analitic: x = x -, y = y, z = t si a acceleatiei = a a deoaece = ct., analitic : (II.6) a x = a x, a y = a y, a z = a z (II.6) Deci acceleatia este aceeasi pentu toti obseatoii O si O (toate SR) în miscaea ectilinie unifomã de tanslatie, adicã acceleatia este un inaiant. Caz paticula. Dacã acceleatia este egalã cu zeo în SRS, adicã paticula este în epaus sau în MRU fatã de S ezultã cã acceleatia este egalã cu zeo în oice alt SRS deplasat ectiliniu, unifom fatã de pimul. Acest lucu înseamnã cã paticula a fi în epaus sau în MRU în toate sistemele de efeintã aflate în tanslatie unifomã unele fatã de altele. II.. Miscaea de ototanslatie II... Se consideã un punct mateial mobil M si tei sisteme cateziene de efeintã : un sistem fix Oxyz, un sistem cae efectuiazã o miscae de tanslatie fatã de cel fix, notat cu O x y z si un sistem mobil cae efectuiazã o miscae de otatie cu iteza unghiulaã ω în juul sistemului O x y z, notat cu O x y z. Oiginile ultimilo douã sisteme de efeintã coincid (O se confundã cu O ) Fig. II.4. 6
Miscaea punctului mateial M în apot cu sistemul fix Oxyz - poatã denumiea de punct mateial de miscae absolutã. Miscaea punctului mateial M în apot cu sistemul mobil O x y z - poatã denumiea de punct mateial de miscae elatiã. Miscaea sistemului O x y z fatã de sistemul fix Oxyz - poatã denumiea de punct mateial de miscae de tanspot Consideând cã timpul este acelasi si constant în oice sistem de efeintã (t = t = t ), putem scie cã miscaea absolutã a punctului mateial M este deteminatã de ecuatiile paametice : x = x(t) y = y(t) z = z(t) ; cã miscaea elatiã este datã de ecuatiile : x = x (t) y = y (t) z = z (t) ; ia miscaea de tanspot este datã de ecuatiile : x = x (t) y = y (t) z = z (t). Din figua II.4 se obseã cã ectoial cele tei sisteme sunt legate pin elatia : = + (II.63) 63
II... Compunea itezelo Se deieazã ecuatiile ectoiale în apot cu timpul : & = & + & (II.64) unde & = ; & = ; = x t + y j + z k a si pin deiae obtinem : & & & & = i x + j y + k z + x& i + y& j + z& k ` (II.65) La început am consideat cã sistemul mobil O x y z se oteste în juul oiginii O pesupusã fixã cu iteza unghiulaã ω. Tot în miscae ciculaã cu ω se gãsesc si ectoii unitate i, j, k. De aceea pin analogie cu elatia ectoialã = ω, deiatã în apot cu timpul a ectoilo unitate epezintã iteza unui punct situat la distanta unitate de O si cae se deplaseazã cu o miscae ciculaã cu iteza unghiului, ω. În acest caz putem scie : = ω si d i d j dk & = i = & = j = = & k = ω i ω j ω k (II.66) Deci expesia : (II.67) & & & i x + j y + k z = ω i x + ω j y + ω k z = ω i x + j y + k z = ω ( ) ( ) ( ) ( ) Ia x& i + y& j + zk & = (II.68) 64
epezintã iteza elatiã a punctului mateial M cae ia nastee din miscaea acestui punct M în apot cu sistemul mobil O x y z si cae ezultã din deiata localã a ectoului de pozitie. În final ezultã : & = + ω (II.69) Înlocuind elatiile (II.68) si (II.69) în elatia(ii.64) ezultã : = + + ω (II.7) a cu a - iteza absolutã, - iteza elatiã si = + ω - iteza t de tanspot. Deci elatia dinte iteze (II.7) deine de foma : a = + t (II.7) adicã,în miscaea elatiã de ototanslatie a punctului mateial M ectoul itezã absolutã este egal cu suma ectoialã a itezei elatie si de tanspot. (Fig.II.5)..3 Compuneea acceleatiilo Am gãsit cã elatia finalã dinte iteze este de foma : = + + ω (II.7) a ia pentu obtineea acceleatiei se deieazã în apot cu timpul si aem : & & & & = + + ω + ω & (II.73) a unde a = &, a = &, ω & = ε, & = + ω.reamintind cã a si au expesiile: = x i + y j + z k, = x& i + y& j + z& k atunci deiata lui este : & = && x i + && y j + && z k + x& & i + y& & j + & z k & Fãcând aceleasi consideatii ca la compuneea itezelo ezultã : && x i + && y j + && z k = a (II.74) & & & & & & x i + y j + z k = x& ( ω i ) + y& ( ω j ) + z& ( ω k ) = ω x i + y j + z k = ω ( & & & & & & ) (II.75) 65
Deci & = a + ω (II.76) Peluând si ultimul temen din ecuatia (II.7) : ω & = ω + ω = ω + ω ω ( ) ( ) Rezultã în final expesia acceleatiei absolute : a = a + a + ω + ε + ω + ω ω sau ( ) a a = a + a + ω (II.77) a t ε ω ω (II.78) unde a = a + + ( t ) a c = ω - acceleatia Coiolis (II.79) În final elatia dinte acceleatii este de foma : a = a + a + a (II.8) t c Din elatia (II.79) se obseã cã acceleatia Coiolis este pependiculaã pe axa de otatie cu iteza unghiulaã ω si pe iteza elatiã (ezi Fig.II.4) ; apae numai în miscae de otatie a SR O x y z si când miscaea elatiã pezintã o componentã tansesalã pe axa de otatie. De aceea acceleatia Coiolis este un efect de supapunei înte miscaea elatiã si cea de tanspot. Din cauza acceleatiei Coiolis, un cop cae se deplaseazã înt-o diectie oaecae pe supafata Pãmântului sufeã o deiatie în plan oizontal spe deapta fatã de sensul de miscae în emisfea nodicã si spe stânga în emisfea sudicã. Discutii. - Dacã ω = ezultã a c =, a = a t si miscaea de tanspot a sistemului mobil O x y z fatã de sistemul fix Oxyz este o miscae de tanslatie. - Dacã = ezultã a c = si pozitia punctului mateial M fatã de sistemul mobil O x y z nu se modificã în timp - Dacã ω ezultã a c =. II.3 Cinematica solidului igid 66
Acest capitol studiazã miscaea în timp a unui solid igid, fãã însã a lua în consideatie cauzele miscãii. Solidul igid poate executa douã miscãi simple : - de tanslatie; - de otatie. Celelalte miscãi ca : miscaea de ototanslatie, miscaea plan - paalelã si miscaea genealã se obtin pin combinaea celo douã miscãi simple. II.3.. Miscaea de tanslatie Miscaea în cae oice deaptã legatã igid de solid se miscã paalel cu ea însãsi - poatã denumiea de miscaea de tanslatie. Rezultã cã taiectoiile, itezele si acceleatiile tutuo punctelo mateiale din cae este constituit igidul sunt identice înte ele. De aceea, miscaea de tanslatie este complet deteminatã de miscaea unui singu punct abita ales al solidului (se aplicã modelul punctului mateial). Viteza si acceleatia de tanslatie sunt deci ectoi libei al cão punct de aplicatie poate fi ales în oice punct al copului. Dacã taiectoiile descise sunt depte paalele înte ele ezultã cã miscaea de tanslatie este ectilinie. Dacã taiectoiile descise sunt cube plane ezultã cã miscaea de tanslatie este cubilinie. Fie un solid igid cae executã o miscae de tanslatie cubilinie oaecae în apot cu un sistem de efeintã fix Oxyz. Solidul igid este legat de sistemul de efeintã O x y z la cae axele sale ãmân paalele, tot timpul miscãii sale, cu axele sistemului fix Oxyz. Se alege ca oigine a acestui sistem un punct O din masa solidului igid cae poatã numele de pol de efeintã mobil. (Fig.II.6). Sistemul igid aflat în miscae de tanslatie fatã de sistemul de efeintã Oxyz posedã 3 gade de libetate pin coodonatele x,y, z ale punctului O ( ). 67
II.3.. Compuneea itezelo Se consideã un punct oaecae M apatinând solidului igid. Relatia dinte ectoii de pozitie fatã de M este: = + ' (II.8) ia pin deiae în apot cu timpul se obtine: d d d ' = + da d =, & = &, '= ezultã: = (II.8) Aceasta înseamnã cã itezele tutuo punctelo mateiale ale solidului igid sunt în oice moment identice cu iteza polului de efeintã mobil O ; deci în oice moment toate punctele mateiale ale solidului igid cae executã o miscae de tanslatie au aceeasi itezã. II.3... Compuneea acceleatiilo Deiând în apot cu timpul expesia itezei se obtine: a = a (II.83) adicã : acceleatiile tutuo punctelo mateiale cae constituie solidul igid sunt în oice moment identice cu acceleatia polului de efeintã mobil notat O. Deci pentu solidul igid cae executã o miscae de tanslatie în oice moment toate punctele mateiale ale sale posedã aceeasi acceleatie. II.3.. Miscaea de otatie Miscaea în cae toate punctele solidului desciu cu aceeasi itezã unghiulaã cecui paalele ale cão cente sunt situate pe o deaptã numitã axã de otatie - poatã denumiea de miscae de otatie. Fie un S.R si o axã fixã de otatie ( ). S.R. executã o miscae de otatie în juul axei fixe ( ). Se consideã un punct mateial M din solidul igid cae se aflã în miscae de otatie în juul axei fixe ( ). Taiectoia punctului mateial este ciculaã, situatã înt-un plan nomal pe axa de otatie ( ), aând centul în punctul C si aza R ca fiind distanta de la punctul mateial M si axa fixã ( ). Toate punctele mateiale cae constituie solidul igid executã taiectoii ciculae. (Fig.II.7) 68
Se consideã douã puncte mateiale M si M situate pe o deaptã (D) paalelã cu ( ). Din figuã se obseã cã: ' = + λω (II.84) Deoaece = ω atunci ' = ω ' (II:85) sau înlocuind ectoul ' din elatia (II.84) se obtine : ' = ω ( + λω) = ω + ω λω = = ' (II:86) Deci : adicã în oice moment punctele mateiale ale solidului igid situate pe o deaptã D au aceeasi itezã. Deoaece = ω ia scala = ω sinα = ω R, adicã = ωr Rezultã, deci, cã aloile itezelo punctelo mateiale apatinând solidului igid si situate pe o deaptã D si cae intesecteazã aceastã axã, cesc popotional cu distanta R de la aceste puncte mateiale la axa de otatie. (Fig.II.8) II.3... Compuneea itezelo 69
Consideãm un sistem de efeintã fix Oxyz, o axã de otatie fixã ( ) la distanta de oiginea sistemului O si un punct mateial M al solidului igid (Fig.II.9) Sciind: M = ω O' M = ω ' ( II. 87 ) epezintã iteza în punctul M al ectoului de otatie instantanee ω,ia din figuã se obseã cã: = + ' '= - ( II.88 ) Expesiile analitice ale ectoilo de mai sus, sunt: = i + j + k M x y z = i x + jy + kz = i x + jy + kz ( II.89 ) ω = i ω + jω + kω x y z ω - ecto de otatie instantanee Înlocuind expesiile ( II.89 ) în ( II.87 ), ezultã: 7
i j k ω ' = ω ( - ) = ω ω ω = i[ ω ( z - z ) - ω ( y - y )] + x y z y z x - x y - y z - z (II.9) j x - x - z - z + k y - y - x - x = i + j + k [ ] [ ω ( ) ω ( )] ω ( ) ω ( ) z x x y x y z de unde x = ω y ( z - z ) - ω z ( y - y ) y = ω z ( x - x ) - ω x ( z - z ) z = ω x ( y - y ) - ω y ( x - x ) (II.9) Veificaea conditiei de compatibilitate a itezelo Consideãm douã puncte M si M cu, ectoi de pozitie si cu itezele si. = ω ( ) înmultim scala cu ( ) ( )( ) ( ) ( ) - - = ω [ - - ] = - si ezultã : Discutii ) Dacã axa de otatie ( ) este paalelã cu axa Oz ezultã : ω x = ; ω y = ; ω z = si O coincide cu O ia elatiile pentu iteze dein de foma : x = - ωy ; y = ωx ; z = ) Dacã axa de otatie ( ) este paalelã cu axa Oz ezultã x = -ω (y - y ) y = ω (x - x ) z = În cazul geneal aloaea itezei punctului mateial M este : = + + x y z 7
ia unghiuile dinte ectoul itezã si axele sistemului Oxyz au expesiile : x y z cosα = ; cos β = ; cos γ = Compuneea acceleatiilo Pin deiaea în apot cu timpul a expesiei ectoiale a itezei = ω se obtine : sau a = ω& + ω & (II.9) a = ε + ω ω ( ) Dacã se consideã un segment de deaptã (D) paalel cu ( ) si un punct mateial M la distanta λω de M (Fig.3) aând = + λω (II.93) si acceleatia a = ε + ω ( ω ) = ε ( + λω) + ω [ ω ( + λω) ] = = ε + ε λω + ω ω + ω ω λω = ε + ω ω ( ) ( ) ( ) (II.94) 7
si deci a = a (II.95), adicã toate punctele mateiale ale solidului igid situate pe un segment de deaptã (D) paalel cu ( ) (axa de otatie) au în oice moment t aceeasi acceleatie a. Sciind din nou expesia acceleatiei: a = ε + ω ( ω ) unde a = ε epezintã acceleatia de otatie cae se mai poate ot scie : a = a ot τ unde a τ = τεr si ω ( ω ) = a = a ax ν acceleatia axipetã. Scala ezultã : a = νω R ν Deci a = a + a τ ν (II.96) epezentate în figua (Fig.3) Expesia aloii acceleatiei a : a = ε R + ω R = R ε + ω 4 4 a τ ε tgϕ = = a ω ν 73
Aceste elatii scalae aatã cã ectoii acceleatiei a coespunzãtoi tutuo punctelo mateiale M situate pe deapta D sunt paaleli înte ei fomând acelasi unghi ϕ cu deapta D cae depinde numai de paametii cinematici ω si ε ai miscãii de otatie ai solidului igid în juul axei ( ). (Fig.3) Expesia analiticã a acceleatiei Expesia acceleatiei (II.94) aplicatã la notatiile din Fig.II 33 si expesiile analitice ale ectoilo componenti se pot scie sub foma: a = ε ' + ω ω = - ' ( ') [ ] a = ε ( - ) + ω ω ( - ) (II.97) a = i a + j a + ka x y z ε = i ε + jε + kε x y z = i x + j y + kz = i x + jy + kz ω = i ω + jω + kω x y z Efectuând opeatiile pe ând din expesia (II.97) se obtine : 74
i j k ε - = ε ε ε ( ) x y z x - x y - y z - z = i ε z - z - ε y - y + j ε x - x - ε z - z + k ε y - y - ε x - x [ ( ) ( )] ( ) ( ) = [ ] [ ( )] ( ) y z z x x y (II.98) si al doilea temen: [ ( )] ( ) [ ] ( ) ω ω - = ω - ω - ω - (II.99) ia [ x y z ] ( x y z ) [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) i[ ω x ( x x ) ω x ω y ( y y ) ω xω z ( z z ) ] j[ ω xω y ( x x ) ω y ( y y ) ω yω z ( z z ) ] + k ω ω ( x x ) + ω ω ( y y ) + ω z z ω ω = ω x x + ω y y + ω z z i ω + j ω + kω = = + + + + + + + [ x z y z ] z ( ) ] (II.) ω - = ω - + ω - + ω - (II.) ( ) i ( x x ) j ( y y ) k ( z z ) Reenind la elatia ectoialã (II.97), expesia analiticã finalã este de foma: ε ( ) + ω [ ω ( )] = ε ( ) + [ ω ( )] ω ω ( ) = i { εy ( z z ) ε z ( y y ) + ω x [ ω x ( x x ) + ωy ( y y ) + ω z ( z z )] ω ( x x )} + + j{ ε z ( x x ) εx ( z z ) + ω y [ ωx ( x x ) + ωy ( y y ) + ω z ( z z )] ω ( y y )} + + k ε y y ε x x + ω ω x x + ω y y + ω z z ω z z { x ( ) y ( ) z [ x ( ) y ( ) z ( )] ( )} Deci expesiile analitice ale acceleatiei din elatia (II.97) sunt: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) a = ε z - z - ε y - y + ω ω x - x + ω y - y + ω z - z - ω x - x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z x x y z a = ε x - x - ε z - z + ω ω x - x + ω y - y + ω z - z - ω y - y y z x y x y z a = ε y - y - ε x - x + ω ω x - x + ω y - y + ω z - z - ω z - z z x y z x y z 75
Discutii Dacã axa de otatie coincide Oz atunci ω x = ; ω y = ; ω z = ω ; x = ε x = ; ε y = ; ε z = ε ; y = a x = -ε y - ω x a y = εx - ω y a z = si ca aloae a = a + a + a x y z z = ia unghiuile dinte ectoul acceleatie si axele sistemului ae expesiile: a a a x y z cosα = ; cos β = ; cos γ = a a a Aplicatie Un cub igid de muchie l se oteste în juul diagonalei OF cu iteza unghiulaã ω = εt. Sã se calculeze iteza si acceleatia la un moment dat a âfuilo B si D ale cubului.(fig.ii.34) Fig.II.34 Aplicând elatiile de compunee a itezelo si acceleatiilo ectoial si analitic ezultã: 76
3 = ω ; ω = ωu = ω i + j + k 3 a = ε + ω ( ω ) ( ) unde u este esoul lui OF 3 ω = ω + + 3 ( i j k ) 3 &ω = ε = ε( + + i j k ) 3 = l( i + j) ; = lk B D i j k = 3 l t ( - i + j) = 3 ε ω ω ω B 3 z ; 3 = 3 lεt ( i - j D ) 3 a = - lε l ( + l t t ) i + ε ε ( - εt ) j + ε 3 3 k B 3 3 3 a = lε ( + l l t t ) i - ε ε ( - εt ) j - ε 3 3 k D 3 3 3 Un solid igid se oteste în juul axei (x = y = z) cu iteza unghiulaã ω. Sã se detemine iteza si acceleatia unui punct oaecae A al solidului igid. Notãm u esoul axei de otatie. ω 3 ω = ω = + + u i j k 3 ( ) 3 ( u = i + j + k ) 3 = x i + y j + z k ; A = ω A A A A A A i j k = 3 3 3 3 ω ω = ω i z - y + ωj x - z + ω k y 3 3 3 3 3 3 - x x y z A A A 3 3 ( ) ( ) ( ) A A A A A A a = ε + ω ω A A ( ) 3 ε = ε = ε + + u i j k 3 ( ) 77
i j k ε ε ε ε ε ε ε = = i z - y + j x - z + k y - x 3 3 3 3 3 3 x y z A A A ( A A ) ( A A ) ( A A ) ω = ( ω A ) i j k ω ω ω 3 3 3 ω ω ω ( z - y ) ( x - y ) ( y - x A A A A A A ) 3 3 3 = ω ( ω ) - ω A Miscaea de ototanslatie a solidului igid Definitie: miscaea de ototanslatie este miscaea cae ezultã din combinaea unei miscãi de tanslatie ectilinie efectuatã în lungul axei fixe ( ) cu o miscae de otatie efectuatã în juul axei fixe ( ). Altã definitie: miscaea de ototanslatie este miscaea în cae douã puncte mateiale apatinând solidului igid ãmân tot timpul miscãii pe o deaptã fixã ( ). Sã consideãm un sistem de efeintã fix Oxyz, o axã fixã cae tece pin oiginea sistemului Oxyz. Punctul mateial M cae apatine solidului igid executã o miscae de ototanslatie fatã de axa fixã. Taiectoia acestui punct M fatã de axa fixã este o cubã cae face pate dint-un cilindu cicula dept cu axa de simetie fixã ( ) ia ca azã, distanta de la punctul mateial M la axa fixã.(fig.ii.35) Deteminaea itezelo În miscaea elatiã de ototanslatie a punctului mateial s-a definit iteza de tanspot ca aând expesia : t = + ω (II.) unde este iteza de tanslatie ia ω = ot este iteza de otatie. Deci: M = t = + = + ω (II.3) 78
Expesia analiticã = i + j + k x y z ω = i ω + jω + kω x y z = i x + jy + kz = i + j + k ox y z Relatia (II.3) scisã analitic, deine de foma: i j k ω = ω ω ω = i zω - yω + j xω - zω + k yω - xω ( ) ( ) ( ) x y z y z z x x y x y z ω + = i zω - yω + j xω - zω + k yω - xω + i + j + k = i z - y + + j x - z + + k y - x + ( ) ( ) ( ) ( ω ω ) ( ω ω ) ( ω ω y z x z x y x y z ) y z z x x y x y z unde: x = zω y - yω z + y y = xω z - zω x + y z = yω x - xω y + z Dacã se noteazã cu R distanta de la punctul M la axa fixã ( ) atunci modulul itezei este: = ω R + o Când R = ezultã =, adicã la oice moment t axa fixã ( ) costituie locul geometic al punctelo mateiale cae au iteza minimã egalã cu. Deteminaea acceleatiilo Tot din miscaea elatiã de ototanslatie a punctului mateial, expesia acceleatiei de tanspot este : a = a = a + ε + ω ω t ( ) unde a este acceleatia de tanslatie. Deci acest punct mateial M în miscae de ototanslatie este : a = a + a unde a = ε + ω ( ω ) M ot ot 79
Expesia analiticã a acceleatiei a a = i a + ja + ka x y z ε = i ε + jε + kε x y z De la miscaea de otatie calculul lui a ot a condus la : a = ε + ω ( ω ) = ε + ( ω ) ω - ω ot Analitic ezultã : [( ε ε ) ω ( ω ω ω ) ω ] j[ ( ε x ε z ) ω ( ω x ω y ω z ) ω y z x y x y z ] k ( ε y ε x ) ω ( ω x ω y ω z) ω z x y z x y z a = i z - y + x + y + z - x + ot y z x x y z + - + + + - + [ ] + - + + + - Deci a = a + a ot este : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a = ε z - ε y + ω ω x + ω y + ω z - ω x + a x y z x x y z x a = ε x - ε z + ω ω x + ω y + ω z - ω y + a y z x y x y z oy a = ε y - ε x + ω ω x + ω y + ω z - ω z + a z x y z x y z z (II.4) Modulul acceleatiei punctului M în miscaea de ototanslatie este : ( ω ε ) 4 a = + R + a Dacã R = ezultã a = a, adicã la un moment t axa fixã ( ) de ototanslatie constituie locul geometic al punctelo cae au acceleatia minimã si egalã cu a Cazui paticulae ale miscãii de ototanslatie 8
Miscaea elicoidalã. Un solid igid descie o miscae elicoidalã dacã existã o deaptã solidaã cu el cae îsi pãsteazã în tot timpul miscãii supotul fix, deaptã numitã axa miscãii elicoidale. Se consideã un sistem SR fix Oxyz astfel încât axa Oz sã fie axa miscãii elicoidale si un SR mobil O x y z solida cu SR a cãui axã O z coincide cu Oz. Oiginea O a SR mobil se deplaseazã în lungul axei Oz.(Fig.II.36) Compuneea itezelo Am ãzut cã: = + ω (din miscaea de ototanslatie a solidului igid ) A cu expesiile analitice: ω = ωk = & = & k = k = k = x i + y j + z k ezultã: i j k = k + ω = - iωy + j ω x + k A x y z Da cum: = i + j + k A x y z atunci x = -ωy ; y = ωx ; z = Discutie - Nu existã puncte mateiale ale solidului igid în cae iteza sã fie nulã. - Punctele mateiale situate pe o deaptã paalelã cu axa miscãii elicoidale au aceeasi itezã deoaece în expesiile poiectiilo itezelo x, y, z, nu inteine coodonata z. - Poiectia z a unui punct mateial oaecae pe diectia axei miscãii elicoidale este constantã. Compuneea acceleatiilo 8
a = a + ε + ω ( ω ) ; a = & = a k ; ε = εk = ω& k Discutie - Nu existã puncte mateiale ale solidului igid în cae acceleatia sã fie egalã cu zeo. - Punctele mateiale situate pe o deaptã paalelã cu axa miscãii elicoidale au aceeasi acceleatie (a x, a y, a z - nu inteine z ). - Poiectia acceleatiei a z pe diectia axei miscãii elicoidale este constantã: p a ct a Oz z = = Miscaea de suub. Repezintã un caz paticula al miscãii elicoidale, unde pentu o otatie dθ în juul axei elicoidale îi coespunde o deplasae dz popotionalã, adicã: dz = k dθ Dacã se noteazã pasul suubului cu p pentu o otatie completã θ = π, ezultã pin integaea elatiei de mai sus : p π dz = k dθ unde p = k π k Aplicatie p p a = & = & = π ω π ε p = π sau z p p p = = z = = π θ ; & π θ & π ω Un suub aând pasul p si aza exteioaã R înainteazã înt-o piulutã fixã astfel cã deplasaea în lungul axei se face cu o acceleatie constantã a. Sã se detemine iteza si acceleatia unui punct de la peifeia suubului. = + = a t ω p π = ω ω = π p π π ω = ωr = = p R a Rt p 8
πa Rt = ( a t) + Ł p ł πr = a t + Ł p ł - cae epezintã expesia itezei. Pentu deteminaea acceleatiei plecãm de la elatia: a = a + ω + ω ( ω ) ω = εr = πa p R π πa t ω ( ω ) = ω R = R = R Ł p ł Ł p ł a 4 πar πat πr πt = a + + R = a + + R Ł p ł Ł p ł Ł p ł Ł p ł 4 - epezintã expesia acceleatiei. Miscaea plan paalelã a solidului igid. Se spune cã un solid igid executã o miscae plan paalelã sau paalelã cu un plan atunci când în timpul miscãii tei puncte necoliniae apatinând solidului igid ãmân pemanent situate înt-un plan fix din spatiu. Exemplu. O placã deptunghiulaã (P) executã o miscae plan paalelã în planul Π. Placa (P) tece din pozitia în pozitia astfel: (Fig.II.37) 83
a) pint-o succesiune de douã miscãi simple si anume o tanslatie ectilinie cae tanspune placa din pozitia în pozitia umatã de o miscae de otatie efectuatã în juul axului nomal pe planul Π si tecând pin coltul A al plãcii; b) pint-o miscae de otatie în juul unui ax fix pependicula pe planul Π. Se defineste centul instantaneu de otatie I ca fiind punctul apatinând plãcii (P) a cãui itezã la un moment dat t este nulã. Deteminaea itezelo Se consideã sistemul de efeintã Oxy ca fiind fix si sistemul de efeintã O x y mobil, solida legat de placa (P) cae este mobilã. Fie O polul de efeintã mobil cae apatine plãcii (P), - iteza acestui pol cae epezintã iteza de tanslatie a miscãii plan paalele a plãcii (P), w - iteza unghiulaã coespunzãtoae miscãii de otatie în juul polului O a miscãii plan paalele a plãcii (P). Se aleg pe placa (P) punctele O, A si I ca fiind centul instantaneu de otatie cu ectoii de pozitie coespunzãtoi în apot cu cele douã sisteme de coodonate.(fig.ii.38) Deci : = + (II.5) A & & = + & A & & = = A A & = ω ; = + ω (II.6) A Aceastã fomulã expimã iteza A a unui punct oaecae A cae apatine plãcii (P) în functie de 84
iteza a polului de efeintã mobil O si de iteza unghiulaã ω la momentul t. Tanspunând punctul A în centul instantaneu de otatie I a cãui itezã I = se obtine : = + ω sau = + ω (II.7) I si înmultind ectoial la stânga cu ω se obtine: = ω + ω ω sau ( ) = ω + ω ω - ω ( ) Da, deoaece ω ezultã ω = si ezultã : = ω - ω de unde ω = si cum = + I ω ezultã : ω = + (II.8) I ω elatie cae deteminã pozitia centului instantaneu de otatie I în functie de iteza a polului de efeintã mobil O si de iteza unghiulaã ω la un moment t. Scãzând elatiile se obtine: = + ω A = + ω (II.9) ezultã: = ω - = ω A ( ) Relatia obtinutã, = ω (II.), A deoaece din figuã se obseã cã : = + aatã cã se pot detemina itezele plãcii (P) la oice moment t pin impimaea unei iteze de otatie a plãcii în juul centului instantaneu de otatie I. ConcluzieViteza unghiulaã ω ce deteminã itezele miscãii plan paalele a plãcii (P) nu depinde de pozitia polului de efeintã mobil O la un moment t. Deci ω constituie un inaiant ectoial fatã de pozitia polului de efeintã mobil O la un moment t. Expesia analiticã a itezelo ( ω = ct ) = + ω ( - A A ) (II.) = i + j + k A Ax Ay Az 85
= i + j + k x y z = ix + j y + kz A A A A = i x + j y + kz I I I I Sã calculãmiteza pe axã în punctul A: i j k = + ω unde ω = ω ( - ) = ω ω ω A A x - x y - y z - z + = = - A A = - I = + ω = + ω - ( ) ( I ) ( I ) = x - ω y - y = + ω x - x y ( ) ( ) = - ω y - y Ax x A = + ω x - x Ay y A = ω ; = - = ω - ( ) A A I A A I ( ) ω( ) = -ω y - y ; = x - x ; Ax A I Ay A I ( I ) ( I ) = - ω y - y x Din expesiile = + ω x - x y A A A se obtine = - ωy + ω y si ezultã: x I y I ωy = - ω x x = y + ω si x I y = x - (II.) ω unde y I si x I epezintã coodonatele centului instantaneu de otatie I în apot cu sistemul de efeintã fix Oxy. Deteminaea acceleatiilo Plecând de la elatia = + ω pin deiae în apot cu timpul se obtine : A & = & + ω& + ω & A 86
& & & = a, = a, ω = ε A A ω & = ω ( ω ) = ( ω ) ω - ω ω = pentu cã ω^ ezultã ω & = -ω. Deci Da ( ) a = a + ε - ω (II.3) A Tanspunând punctul A în centul instantaneu de otatie I cu I = ezultã = + ε - ω a si pin înmultie ectoial stânga cu ε se obtine : = ε + ε ε - ε ω ( ) ( ) a ε ε = ε ε - ε ( ) ( ) si cum ( ) ε = ε = ω - ia a ezultã : 4 = ε a - ε - ω + ω a de unde ε a + ω a = 4 ω + ε si deci : ε a + ω a = + = + I 4 ω + ε (II.4) Locul geometic al centului instantaneu al acceleatiilo fatã de planul fix (Π) este o cubã denumitã centoidã fixã a acceleatiilo. Locul geometic al centului instantaneu al acceleatiilo fatã de placa mobilã (P) este o cubã denumitã centoidã mobilã a acceleatiilo. Din scãdeea celo douã elatii : a = a + ε - ω A ezultã a ( ) ( ) = a + ε - ω = ε - - ω - A si deci o altã expesie pentu acceleatie este : a = ε - ω (II.5) A 87
Concluzie. iteza unghiulaã ω si acceleatia unghiulaã ε ce deteminã miscaea plan paalelã a plãcii (P) nu depind de pozitia polului de efeintã mobil O la un moment t. Deci ω si ε constituie inaianti ectoiali în apot cu pozitia polului de efeintã mobil O la un moment t. 88