Θεωρία Πιθανοτήτων, εαρινό εξάμηνο 207- Λύσεις του έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων Αν η συνεχής τμ X έχει συνάρτηση κατανομής F X και συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X, να βρείτε τις αντίστοιχες συναρτήσεις F Y και f Y της συνεχούς τμ Y X + b και να αποδείξετε ότι E(Y E(X + b και Vr(Y 2 Vr(X Γνωρίζουμε ότι Άρα, όταν > 0 έχουμε F X ( ( F Y (y P (Y y P X y b Κάνουμε αλλαγή μεταβλητής s t + b και τότε: F Y (y f X (t dt για κάθε y Τώρα ορίζουμε την συνάρτηση f Y : R R με τύπο f Y (y f X y b F X f X (t dt ( ( s b f X ds (2 (3 Βλέπουμε ότι η f Y έχει μη-αρνητικές τιμές, διότι η f X έχει μη-αρνητικές τιμές Επίσης, η ιδιότητα f X( d συνεπάγεται f Y (y dy f X dy f X ( d με την αλλαγή μεταβλητής y + b Άρα η f Y είναι συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας και έχουμε από τις (2 και (3 ότι F Y (y y f Y (s ds για κάθε y Άρα η Y είναι συνεχής τμ με συνάρτηση κατανομής την F Y η οποία σχετίζεται με την F X μέσω της (: F Y (y F X ( y b για κάθε y Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f Y της Y σχετίζεται με την f X μέσω της (3: f Y (y f X( y b Τώρα, πάλι με αλλαγή μεταβλητής, έχουμε Επίσης, E(Y E(Y 2 yf Y (y dy f X ( d + b y 2 f Y (y dy 2 2 f X ( d + 2b 2 E(X 2 + 2bE(X + b 2, yf X dy f X ( d E(X + b y 2 f X dy ( + bf X ( d ( + b 2 f X ( d f X ( d + b 2 f X ( d
οπότε Vr(Y E(Y 2 E(Y 2 2 E(X 2 + 2bE(X + b 2 (E(X + b 2 2 E(X 2 2 E(X 2 2 Vr(X Στην προηγούμενη διαδικασία υποθέσαμε ότι > 0 Στην περίπτωση < 0 πρέπει να επαναλάβουμε, προσέχοντας τις αλλαγές που θα γίνουν στις ανισότητες στην ( καθώς και στις αλλαγές μεταβλητής στα διάφορα ολοκληρώματα Κάντε το εσείς 2 Αν η τμ X ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, b], αποδείξτε ότι η τμ Y X b ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0, ] Το ότι η X ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [, b] σημαίνει ότι έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f X με τύπο f X ( { b, αν < < b 0, αν < ή b < Από την Y b X b βλέπουμε ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε το αποτέλεσμα της προηγούμενης άσκησης με το b στην θέση του και το b στην θέση του b Τότε η σχέση (3 θα γίνει στην περίπτωσή μας: f Y (y (b f X ((b y + Χρησιμοποιώντας τον τύπο της f X, παίρνουμε {, αν 0 < y < f Y (y 0, αν y < 0 ή < y Άρα η τμ Y ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο διάστημα [0, ] 3 Το ποσό X της μικρότερης προσφοράς σε μειοδοτικό διαγωνισμό για την κατασκευή ενός δρόμου με κόστος κατασκευής k ακολουθεί την ομοιόμορφη κατανομή στο [3k/, 7k/] (i Ποιά είναι η πιθανότητα να κερδίσει τον διαγωνισμό εργοληπτική εταιρεία που υποβάλλει προσφορά κατασκευής με ποσό [3k/, 7k/]; (ii Αν η ζημιά της εργοληπτικής εταιρείας όταν χάνει τον διαγωνισμό είναι b να υπολογισθεί το ποσό [3k/, 7k/] της προσφοράς κατασκευής που πρέπει να υποβάλει ώστε να μεγιστοποιήσει το αναμενόμενο κέρδος της (i Η εργοληπτική εταιρεία θα κερδίσει τον διαγωνισμό όταν η προσφορά που κάνει είναι μικρότερη από την τιμή της X (δηλαδή της μικρότερης προσφοράς που κάνουν οι ανταγωνιστές Η πιθανότητα αυτή είναι: ( ( P (X > P X, 7k ] 7k 7k 3k 7 k (ii Η εταιρεία κερδίζει τον διαγωνισμό με πιθανότητα 7 k και τότε το κέρδος της είναι Y k Η εταιρεία χάνει τον διαγωνισμό με πιθανότητα ( 7 k k 3 και τότε το κέρδος της είναι Y b Η τμ Y είναι διακριτή με πιθανές τιμές k και b και αντίστοιχες πιθανότητες f Y ( k 7 k, f Y ( b k 3 Άρα το αναμενόμενο κέρδος είναι ( 7 E(Y ( k ( + ( b k k 3 k 2 + 2 k b k + 3b 7k
Η παράγωγος του E(Y ως προς είναι και μηδενίζεται όταν 2 k + k b k k b Βλέπουμε εύκολα ότι η παράγωγος είναι > 0 όταν < k b και είναι < 0 όταν > k b Άρα το E(Y αυξάνει γνήσια αριστερά του k b και φθίνει γνήσια δεξιά του k b Τώρα έχουμε τρεις περιπτώσεις, ανάλογα με την θέση του k b σε σχέση με το διάστημα [ 3k, 7k ] Περίπτωση : 3k k b 7k ή, ισοδύναμα, 3k b 5k ή, ισοδύναμα, b 5k (διότι b > 0 Τότε το E(Y μεγιστοποιείται όταν k b Περίπτωση 2: k b 3k ή, ισοδύναμα, b 5k Τότε το E(Y μεγιστοποιείται όταν 3k Περίπτωση 3: 7k k b ή, ισοδύναμα, b 3k Αυτό δεν υφίσταται Ο χρόνος ζωής X ενός προϊόντος ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέση τιμή µ > 0 Ποιός πρέπει να είναι ο χρόνος εγγύησης > 0 που πρέπει να προσφέρει ο κατασκευαστής ώστε με πιθανότητα 0, 95 το προϊόν να διατηρείται πέρα από τον χρόνο εγγύησης; Πρέπει: Ισοδύναμα, P (X 0, 95 f X ( d 0, 95 Επειδή f X ( λe λ, όπου µ E(X λ, η συνθήκη γράφεται Ισοδύναμα: µ log 00 95 0, 95 λ 0, 0526 µ e λ d e λ e /µ 5 Ο χρόνος λειτουργίας κινητήρα αεροπλάνου ακολουθεί εκθετική κατανομή με μέση τιμή µ > 0 Για πτήση αεροπλάνου πρέπει να λειτουργούν τουλάχιστον δύο από τους τέσσερις κινητήρες του Ποιά είναι η πιθανότητα να φτάσει στον προορισμό του το αεροπλάνο μετά από πτήση χρονικής διάρκειας ; Αν X είναι ο χρόνος λειτουργίας ενός κινητήρα, τότε f X ( λe λ και µ E(X λ Τότε P (X λ e λt dt e λ e /µ Για να μην φτάσει στον προορισμό του το αεροπλάνο, πρέπει ο χρόνος λειτουργίας τριών ή και των τεσσάρων κινητήρων του να είναι < Η πιθανότητα αυτού του ενδεχομένου είναι ( ( P (X < + P (X < 3 P (X ( e /µ + ( e /µ 3 e /µ 3 Άρα η πιθανότητα να φτάσει στον προορισμό του το αεροπλάνο είναι ( e /µ ( e /µ 3 e /µ 6e 2/µ e 3/µ + 3e /µ 3
6 Έστω ότι η ποσότητα X ενός προϊόντος που πωλείται σε μία ημέρα ακολουθεί την κατανομή Γ με μέση τιμή 000 μονάδες και τυπική απόκλιση 2000 μονάδες Αν η διαθεσιμότητα του προϊόντος σε μία ημέρα είναι 6000 μονάδες, βρείτε την πιθανότητα ο πωλητής να μην ανταποκριθεί στην ζήτηση Έχουμε f X ( λ Γ( e λ και E(X 000, λ Άρα και λ /000 Η πιθανότητα που θέλουμε είναι P (X > 6000 6 6000 6 f X ( d λ Γ( λ 2 Vr(X 20002 6000 3 e λ d 3! 3 e d 6e 6 0, 055 6000λ 3 e d 7 Μία μηχανή κατασκευάζει βίδες των οποίων το μήκος X ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 0mm και τυπική απόκλιση mm Μία βίδα θεωρείται ελαττωματική αν το μήκος της (σε mm είναι εκτός του διαστήματος [39, ] Ποιό είναι το ποσοστό των ελαττωματικών βιδών που παράγει η μηχανή; Κανονικοποιούμε την X: η τμ Z X 0 X 0 ακολουθεί την κανονική κατανομή N(0, Το να είναι το X εκτός του διαστήματος [39, ] ισοδυναμεί με το να είναι το Z εκτός του διαστήματος [, ] Η αντίστοιχη πιθανότητα είναι P ( Z 2P (Z 2 e 2 /2 d 0, 37 Άρα το ποσοστό των ελαττωματικών βιδών είναι 3, 7% Έστω ότι η αντοχή X ενός υφάσματος ακολουθεί κανονική κατανομή με μέση τιμή 50 και τυπική απόκλιση 2 Ένα τόπι υφάσματος αποφέρει κέρδος 5 ευρώ αν X > 7 και κέρδος 6 ευρώ αν X 7 Να υπολογισθεί το αναμενόμενο κέρδος ανά τόπι υφάσματος Κανονικοποιούμε την X: η τμ Z X 50 2 ακολουθεί την κανονική κατανομή N(0, Τότε και P (X > 7 P (Z >, 5 P (Z <, 5,5 e 2 /2 d P (X 7 P (X > 7,5 e 2 /2 d Άρα έχουμε κέρδος Y 5 με πιθανότητα P (X > 7 και κέρδος Y 6 με πιθανότητα P (X 7 Άρα το Y είναι διακριτή τμ με πιθανές τιμές 5 και 6, οπότε το αναμενόμενο κέρδος είναι E(Y 5 P (X > 7 + 6 P (X 7 6 + 9,5 e 2 /2 d, 39
9 (i Αν η στμ X ακολουθεί την εκθετική κατανομή με παράμετρο λ > 0, αποδείξτε ότι P (X + y X P (X y για κάθε, y 0 (ii Αν η δτμ ακολουθεί την γεωμετρική κατανομή με πιθανότητα επιτυχίας p, αποδείξτε ότι P (X k + m X k P (X m για κάθε k, m 0,, 2, 3 (i Είναι f X ( λe λ και άρα P (X f X (t dt λ e λt dt e λ Το ενδεχόμενο X + y και X είναι το ίδιο με το ενδεχόμενο X + y Άρα P (X + y X P (X + y και X P (X P (X + y P (X e λ(+y e λ e λy P (X y (ii Τώρα f X (k ( p k p, οπότε P (X k + nk ( p n p ( p k p + n0 ( p n ( pk p ( p ( pk Πάλι το ενδεχόμενο X k + m και X k είναι το ίδιο με το ενδεχόμενο X k + m Άρα P (X k + m X k P (X k + m και X k P (X k P (X k + m P (X k ( pk+m ( p k ( p m P (X m 5