ANALIZA SPECRALĂ A SEMNALELOR ALEAOARE. Scopul lucrării Se sudiază caracerizarea în domeniul frecvenţă a semnalelor aleaoare de ip zgomo alb şi zgomo roz şi aplicaţiile aceseia la deerminarea modulelor răspunsurilor în frecvenţă ale unor siseme liniare şi invariane în imp.. Inroducere Modelarea maemaică a zgomoelor care apar în dispoziivele şi circuiele elecronice, dar şi a semnalelor vehiculae de sisemele de ransmisie a informaţiei au necesia inroducerea noţiunii de semnal aleaor, echivalenă cu noţiunea de proces aleaor sau sochasic din eoria probabiliăţilor. Penru a defini un semnal aleaor se consideră o eperienţă oarecare. Prin rezulaul unei eperienţe se înţelege una din posibiliăţile de realizare a aceseia. Mulţimea rezulaelor posibile se va numi în coninuare spaţiul eşanioanelor şi va fi noa cu S. Un semnal aleaor ese deci o colecţie de semnale uzuale în imp coninuu, numie raiecorii sau realizări. Procesele aleaoare sun semnale, cu două proprieăţi:. ele sun funcţii de imp. ele sun aleaoare, în sensul că înaine de a realiza un eperimen, nu ese posibil să descriem eac forma de undă ce se va genera. s s Spaţiul realizărilor posibile, S ( ) ( k ) s n ( ) n ( ) τ k ( k ) ( ) n k Figura. Un ansamblu de realizări posibile
Spaţiul realizărilor posibile conţine, ca punce realizările procesului, ca funcţii de imp. Un asfel de spaţiu sau mulţimea funcţiilor de imp se numeşe proces sochasic sau proces aleaor. Ese eviden că se consideră noţiunile de disribuţii în probabiliae ale diferielor evenimene posibile. Evenimenul, sau realizarea, consiuie producerea unui anume semnal. 3. Procese saţionare Fiecărui punc s din spaţiul S i se va asocia o funcţie, cu duraa limiaă în imp: Duraa se mai numeşe şi inervalul de observare. Dacă puncul s ese fia, limiaă) sau funcţie eşanion: j ( s, ), () s = s, funcţia de imp ( s, ) se mai numeşe şi realizare (de duraă j ( ) (, j) = s () În figura se araă o mulţime de funcţii eşanion (realizări) ( ) = k, mulţimea de valori: { j j,,, n} { ( k), ( k),, n( k) } = { ( k, s), ( k, s),, ( k, sk) } =. Fiând impul, (3) ese o variabilă aleaoare. Prin urmare, un proces poae fi privi ca şi o mulţime de variabile aleaoare, indeae după imp: { (, s )} procesul se noează simplu cu ().. Penru simplificarea noaţiilor nu se evidenţiază s şi Se consideră un proces aleaor sric saţionar ( ). Prin definiţie media procesului ( ) ese speranţa maemaică a variabilei aleaoare ( ) şi se noează cu ( ) : () () { } ()( ) = E = p d unde p () ese densiaea de repariţie a variabilei aleaoare ( ), penru fia. (4) Penru un proces sric saţionar ese valabilă egaliaea: ( ) adică media unui asfel de proces ese o consană. = (5) Se consideră în coninuare două momene fiae, şi repariţie comună a variabilelor aleaoare ( ) şi ( ) produs, ( ) şi ( ) ese: şi fie ( ) ( )( ) p densiaea de,,. Aunci media variabilei aleaoare
( ) ( ) = E{ ( ) ( )} ( ) ( )( ), =,, p dd Funcţia care asociază fiecărei perechi (, ) valoarea ( ), ( ) saisică a semnalului aleaor şi se noează (, ) Dacă () R : (, ) ( ), ( ) (6) se numeşe funcţie de corelaţie R = (7) ese un proces aleaor sric saţionar, ( ) ( )( ) p depinde numai de diferenţa,, şi nu de valorile absolue ale impului. Prin urmare, avem: (, ) ( ) ( ) R = R = R τ,, (8) Proprieăţile funcţiei de auocorelaţie. Valoarea medie păraică a procesului aleaor ( ) ese valoarea funcţiei de auocorelaţie calculaă în origine:. Auocorelaţia ese o funcţie pară: R { } ( 0) ( ) R = E (9) ( τ ) R ( τ ) =, τ R (0) 3. Funcţia de auocorelaţie R ( ) R τ are un maim în origine: ( ) R ( 0) τ, τ R () Analiza specrală a semnalelor aleaoare nu se poae face asupra raiecoriilor individuale, penru că acesea sun semnale de puere finiă, dar aceasă analiză se poae face pe crierii saisice şi energeice. Fie, în aces scop, ( ) n, cu n fia, o raiecorie a semnalului aleaor. Se consideră raiecoria runchiaă: şi ( ) () n ( ), < = 0, in res ω ransformaa sa Fourier. Densiaea specrală medie de puere a acesui semnal, S ( ω ), se obţine împărţind densiaea sa energeică ( ) Se observă că S ( ) S ( ω) = ( ω) ω la duraa semnalului: () (3) ω ese, penru ω fia, o variabilă aleaoare, definiă pe câmpul S. Noând cu m{ } operaorul de mediere şi făcând se obţine o funcţie de ω : 3
{ } F( ω) = lim m S ( ω) = m ω { } lim ( ) numiă densiaea specrală de puere a semnalului aleaor. (4) Conform eoremei Wiener-Hincin, funcţia de corelaţie saisică şi densiaea specrală de puere formează o pereche Fourier: F { R( τ )} F( ω) F ( ω ) ese o funcţie pară (vezi relaţia 0) şi poziivă: F = (5) F ( ω) 0, ω R (6) ( ω) F( ω) =, ω R (7) 4. Procese ergodice Speranţa maemaică E{ } ese o mediere de ansamblu, pe oae realizările unui proces aleaor (). Se mai poae obţine un al ip de medie, efecuaă în lungul procesului, o medie realizaă pe un eşanion al procesului şi efecuaă în imp. Aceasă mediere poae fi mai uşor implemenaă, moiv penru care se doreşe să şie dacă eisă vreo legăură înre mediile saisice şi mediile emporale. Se consideră o realizare a procesului ( ), funcţia eşanion ( ), inervalul de observare fiind de la la. Se consideră că () ese un proces saţionar. Media emporală a lui ( ) ese: = d ( ) () Ese eviden, că ( ) ese o variabilă aleaoare, depinzând de realizarea ( ) duraa a inervalului de observare. Media sa saisică ese: adică Prin urmare ( ) E{ ( ) } = E{ () } d d = = E { ( ) } ese o esimare neabăuă a mediei (8) curenă şi de (9) = (0) Se spune că procesul () ese ergodic în medie, dacă sun saisfăcue două condiţii:. Media emporală ( ). inde spre media saisică, ( ), când, adică: lim = () 4
. Dispersia lui ( ) :, considera ca variabilă aleaoare, inde spre zero, aunci când { ( )} lim var = 0 () O ală medie de ineres ese auocorelaţia. Se poae defini o medie emporală penru esimarea auocorelaţiei: R R ( τ, ) = ( + τ) ( ) d ( τ, ) ese o variabilă aleaoare, dependenă de realizarea ( ) inervalului de mediere. (3) şi de lungimea a Se spune, că procesul () ese ergodic în auocorelaţie dacă sun saisfăcue două condiţii:. lim R ( τ, ) = R ( τ ). { R ( τ ) } lim var, = 0 Penru a avea deci proprieăţile de ergodiciae rebuie ca procesul să fie saţionar Reciproca nu ese adevăraă. 5. Semnale aleaoare în siseme liniare Se consideră un sisem cu răspunsul la impuls h ( ) presupus real. Dacă la inrarea acesui sisem se aduce un semnal aleaor saţionar şi ergodic, aunci semnalul de la ieşire ese o un semnal saţionar şi ergodic şi: unde S ( ω ), SY ( ) Y ( ω) ( ω) ( ω) S = H S (4) ω sun densiăţile specrale de puere ale semnalelor de inrare, respeciv de la ieşire, iar H ( ω ) ese răspunsul în frecvenţă al sisemului. 6. Zgomoul alb Analiza de zgomo a sisemelor de comunicaţii se bazează de obicei, pe o formă de zgomo idealizaă, numiă zgomo alb, a cărei densiae specrală de puere ese independenă de frecvenţă. Adjecivul alb se foloseşe în sensul în care se spune că lumina albă conţine în specrul vizibil componene de diverse culori, cu aceeaşi inensiae. O realizare a zgomoului alb se noează cu w () şi densiaea specrală de puere a procesului ese: N SW ( ω ) = Parameru N 0 se raporează de obicei, eajul de inrare al receporului şi se eprimă cu: o (5) 5
N = k (6) 0 e unde e fiind emperaura echivalenă de zgomo a receporului. Funcţia de auocorelaţie a zgomoului alb ese: Se vede că ( ) 0 W N RW τ δ τ o ( ) = ( ) R τ = penru τ 0. Ca urmare, două eşanioane prelevae din zgomoul alb, indiferen câ de apropiae sun ele în imp, sun necorelae. Dacă, în plus, zgomoul alb ese şi gaussian, eşanioanele sun şi saisic independene. Zgomoul alb ar avea puerea medie infiniă şi deci el nu ese realizabil fizic. Ese, mai curând, un concep ce uşurează mul calculele şi conduce la rezulae foare apropiae de cele din pracică. (7) Semnalele reale se numesc colorae şi au forme diferie penru funcţiile de corelaţie şi cea de densiae specrală de puere. Câ imp un semnal are o funcţie de corelaţie îngusă, banda de densiae specrală a puerii ese largă şi în aces caz semnalul ese mai apropia de zgomoul alb. Dacă funcţia de corelaţie ese largă, banda specrală a semnalului ese îngusă şi semnalul ese mai apropia de un semnal periodic (deerminis). Desfăşurarea lucrării. Să se găsească şi să se reprezine grafic densiaea specrală de puere al secvenţei n sin 0.* * pi * n.5* randn,3 n = 3 3. [ ] = ( ) + ( ) cu [ ] n=0:3; s=sin(0.**pi*n); v=randn(,3); =s+v; r=corr(,'biased'); fs=ff(s); fr=ff(r,3); subplo(3,,); sem(n,s,'r'); label('n'); ylabel('s(n)'); subplo(3,,); sem(n,v,'k'); label('n'); ylabel('v(n)'); subplo(3,,3); sem(n,,'r'); label('n'); ylabel('(n)'); subplo(3,,4); sem(n,r(,3:63),'k'); label('k, imp'); ylabel('r(n)'); subplo(3,,5); sem(n,abs(fs),'k'); label('frecvena'); ylabel('s_s(e^{j\omega}'); subplo(3,,6); sem(n,abs(fr),'k'); label('frecvena'); ylabel('s_(e^{j\omega}'); 6