ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλει: Οµάδ Μθηµτικώ της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ευτέρ, 7 Μ ου Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω f μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [, β]. Α G είι μι πράγουσ της f στο [, β], τότε ποδείξετε ότι: β f(t) dt = G(β) G() Μοάδες 7 A. Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής του Διφορικού Λογισμού (Θ.Μ.Τ.) Μοάδες A. Πότε λέμε ότι μι συάρτηση f είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, β] του πεδίου ορισμού της; Μοάδες A. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθού, γράφοτς στο τετράδιό σς δίπλ στο γράμμ που τιστοιχεί σε κάθε πρότση τη λέξη Σωστό, η πρότση είι σωστή, ή Λάθος, η πρότση είι λθσμέη. ) Η εξίσωση z z = ρ, ρ> πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K(z) κι κτί ρ, όπου z, z μιγδικοί ριθμοί. β) Α lim f() <, τότε f() < κοτά στο γ) Ισχύει ότι: ημ γι κάθε R συ δ) Ισχύει ότι: lim = ε) Μι συεχής συάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό τ διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζου το πεδίο ορισμού της. Μοάδες ΑΠΑΝΤΗΣΗ A. Σελ. -5 (Σχολ. Βιβλίο) Α. Σελ. 6 (Σχολ. Βιβλίο) Α. Σελ. (Σχολ. Βιβλίο) Α. ) Λ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Σ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς z γι τους οποίους ισχύει: (z )(z ) + z = B. Ν ποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος τω εικόω τω μιγδικώ z, είι κύκλος με κέτρο K(,) κι κτί ρ = (μοάδες 5) Στη συέχει, γι κάθε μιγδικό z που ήκει στο πρπάω γεωμετρικό τόπο, ποδείξετε ότι z (μοάδες ) Μοάδες 8 B. Α οι μιγδικοί ριθμοί z, z που ήκου στο πρπάω γεωμετρικό τόπο είι ρίζες της εξίσωσης w +βw+γ=, με w μιγδικό ριθμό, β,γ R, κι Im(z ) - Im(z) = τότε ποδείξετε ότι: β = κι γ = 5 Μοάδες 9 B. Θεωρούμε τους μιγδικούς ριθμούς ο,, οι οποίοι ήκου στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήμτος Β. Α ο μιγδικός ριθμός v ικοποιεί τη σχέση: + + + ο = ποδείξετε ότι: < Μοάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ z + z = Β. (z )(z )+ z = (z )( z )+ z = z = ω > ω = ω +ω = ή ω= z =, άρ ο γ.τ τω εικόω τω μιγδικώ z ω =,πορ. είι κύκλος C κέτρου Κ(,) κι κτίς ρ=. O y A K(, M(z) B Έστω Μ(z) κι η ΟΚ τέμει το C στ σημεί Α,Β ισχύου: (ΟΑ) (ΟΜ) (ΟΒ) (ΟΚ) ρ z (ΟΚ)+ρ z + z. Άρ, z. C
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ος τρόπος Έχουμε z =, όμως z z z z + z z άρ z Β. Αφού z,z ρίζες της ω +βω+γ=, β,γ R είι z= z κι πό Vietta ισχύου z+z= β (), zz=γ () Έχουμε κόμη ότι: Im( z) Im(z) = Im( z) ( Im(z)) = Im(z ) = Im( z ) = Im(z)=±. Έχουμε N(z) C z = (Re(z) ) +(±) = (Re(z) ) = Re(z)=. Άρ z=+i κι z= i ή z= i κι z=+i. H () = β β= () + =γ γ=5 B. v +v +v+ο= v =v +v+ο άρ v = v + v + ο (Re( z ) ) + Im(z) i = (Re(z) ) +(Im(z)) = v + v + o v + v +, άρ v ( v + v +) v ( v + v +) ( v )( v + v +) ( v + v +) v v + v + v v + v < + Άλλος τρόπος: Είι = ο, οπότε Επειδή,,,, ισχύει + + + +, άρ Α, τότε επίσης, άρ = + + + + + () + +, άρ + + επειδή, ισχύει + + + + άρ + + > + +, οπότε φού ισχύει + +, γκί < Άλλος τρόπος: + + + ο = () Α = τότε ο =, άτοπο άρ () + + + = =
= - - - ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ + + () Επειδή,,,, 6 Έστω. Είι + + +6 + =6 < () Από (),(): <, τόπο, άρ <. Άλλος τρόπος: Είι + + + ο = = ο = ο + + ο + + άρ θέτω =ω, ω ω ω (ω ) (ω +ω+)+ (ω ) (ω +ω+) <, Δ> άρ ω= < ΘΕΜΑ Γ Θεωρούμε τις συρτήσεις f,g :R R, με f πργωγίσιμη τέτοιες ώστε: (f () + ) (f () + ) =, γι κάθε R f () = κι g() = + Γ. Ν ποδείξετε ότι: f () = +, R Γ. Ν βρείτε το πλήθος τω πργμτικώ ριζώ της εξίσωσης f (g()) = Γ. Ν ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστο έ o π, τέτοιο ώστε: f(t dt = f π εφo ) π o Μοάδες 9 Μοάδες 8 Μοάδες 8 ΑΠΑΝΤΗΣΗ Γ. Είι (f () + ) (f () + ) =, R Θέτουμε: w()=f()+, R 5
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ w ()=f ()+, R Ισχύει, w() w ()= w() w ()= (w ()) =( ), R Άρ, w ()= + c, R w () = c f () = c c= Άρ, w ()= +, R. w ()= + γι κάθε R, άρ w(), R κι επειδή w()=f()+ συεχής στο R η w θ έχει στθερό πρόσημο στο R. w()=f()=>, οπότε w() >, R Άρ, w()= +, R f()+ = + f() = +, R Γ. Ισχύει: + > + > + > + > f()>, R Είι, f ()= + + f() =. + + Άρ f ()<, R f γ.φθίουσ στο R, οπότε η f είι στο R. f: Είι f (g()) = f (g()) = f() g()= + = + = Θέτουμε: h()= +, R h ()= 6 + 6=6(+) h ()= = ή = + h () + + h A=(, ] h(a)=( lim h(), h( )]=(, ], άρ h(), γι κάθε (, ] άρ η h() δε έχει ρίζ στο Α. Β=[,] h(β)=[h(), h( )]=[, ], άρ h(), γι κάθε [, ] άρ η h() δε έχει ρίζ στο Β. Γ=[,+ ) h(γ)=[h(), lim h())=[, + ), άρ επειδή το [, + ) θ υπάρχει [, + ) + ώστε h()=, άρ έχει μοδική ρίζ στο Γ. Άρ, τελικά η h() έχει μοδική ρίζ στο R. Γ. Θεωρούμε τη συάρτηση w()= f(t) dt f π εφ, έ, Η w είι συεχής στο π, π π 6
w()= f(t) dt >, γιτί f(t) > κι π ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ π < w π π = f() εφ = f() < w() w π <, άρ πό Θ. Bolzano υπάρχει τουλάχιστο έ o π, τέτοιο ώστε: w() = ΘΕΜΑ Έστω f : (, + ) R μι πργωγίσιμη συάρτηση γι τη οποί ισχύου: Η f είι γησίως ύξουσ στο (, + ) f () = 5h) f( h) lim = h h Θεωρούμε επίσης τη συάρτηση g()= dt, (, + ) κι > Ν ποδείξετε ότι: Δ. f () = (μοάδες ), κθώς επίσης ότι η f προυσιάζει ελάχιστο στο o=. (μοάδες ). Μοάδες 6 Δ. η g είι γησίως ύξουσ (μοάδες ), κι στη συέχει, λύσετε τη ίσωση στο R 8 + 6 8 + 5 g (u)du > + 6 + 5 g(u)du Δ. η g είι κυρτή, κθώς επίσης ότι η εξίσωση ( ) dt = (f() )( ), > έχει κριβώς μι λύση. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μοάδες 9 Μοάδες Δ. Η f είι πργωγίσισμη στο (, + ) άρ κι στο o= οπότε h) f() h) lim = f'() επειδή f()= θ έχουμε lim = f'() Ισχύει h h h h 5h) f( h) lim = άρ h h 7
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5h) + f( h) lim = άρ h h 5h) f( h) 5h) f( h) lim = h h h άρlim 5 = h + 5h h () 5h) u= 5h u) Τώρ lim lim = f'() λόγω () κι h 5h h u u f( h) lim h h u= h = u h u u) lim =f () λόγω () άρ πό () έχουμε 5f ()+f ()= h u 6f ()= f ()=. Επειδή f είι γήσι ύξουσ γι < θ είι f ()<f () δηλδή f ()< άρ η f είι γήσι φθίουσ στο (, ] κι γι > θ είι f ()>f () δηλδή f ()> άρ η f είι γήσι ύξουσ στο [, + ). Οπότε στο o= η f προυσιάζει ολικό ελάχιστο στο f()=. Δ. Είι g()= dt, (, + ) κι > κι επειδή είι συεχής στο (, f() + ) είι πργωγίσιμη (, + ) με g ()= κι επειδή πό (Δ) f()> κι > είι g ()>, (, + ) άρ g γήσι ύξουσ στο (, + ). Θέλουμε 8 + 6 8 + 5 g (u)du > + + 6 + 5 g(u)du + Θεωρούμε φ()= g (t)dt, >. φ()= g (t)dt + g(t)dt = g(t)dt + + g(t)dt φ ()= g()+g(+)=g(+) g()> γιτί +> κι g είι γήσι ύξουσ. Άρ η φ είι γήσι ύξουσ γι > κι η δοσμέη ίσωση γράφετι φ(8 +5)>φ( +5) κι επειδή φ είι γήσι ύξουσ θ έχουμε ισοδύμ 8 +5> +5 8 > 8 > ( )> κι επειδή > έχουμε > < < << εκτός πό = που ισχύει η ισότητ. f() Δ. Είι g ()= πό (Δ) κι επειδή είι πηλίκο πργωγίσιμω είι f'()( ) (f() ) πργωγίσιμη με g ()= ( ) H f στο [, ] με > είι πργωγίσιμη άρ σύμφω με το f() f() Θ. Μ. Τ. ξ (, ) ώστε f (ξ)= ( )f (ξ)=f() οπότε f'()( ) ( )f'(ξ) f'() f'(ξ) g () = = επειδή ξ< κι ( ) f γ. ύξουσ f (ξ)<f () άρ f () f (ξ)> οπότε g ()> γι > που σημίει ότι η g είι κυρτή στο (, + ). 8
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Η εξίσωση έχει προφή ρίζ τη = κι η εξίσωση γράφετι ισοδύμ, f() φού > dt = ( ) ή g()=g ()( ) () Η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της g στο (, g()) ή (, ) είι ψ g()=g () ( ) ή ψ= g () ( ) κι επειδή είι κυρτή η g τ σημεί της Cg θ είι όλ πάω πό τη Cg εκτός του σημείου επφής άρ g()> g () ( ) οπότε η () έχει μοδική ρίζ =. ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ Τ σημεριά θέμτ χρκτηρίζοτι πιτητικά κόμ γι τους πολύ κλά προετοιμσμέους μθητές. Συγκεκριμέ ο βθμός δυσκολίς του θέμτος Β ξεπεράει το βθμό δυσκολίς όλω τω υπόλοιπω ερωτημάτω. Τ υπόλοιπ θέμτ γι τιμετωπισθού πλήρως πιτού υξημέη κριτική κι συθετική ικότητ πό τους υποψηφίους. Κτά συέπει, κρίουμε ότι θ μειωθεί σημτικά το ποσοστό τω ρίστω. 9