Câmp de probabilitate II

1 Sistem complet de evenimente 2 Schema lui Poisson Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) 3 4

Sistem complet de evenimente

Definiţia 1.1 O familie de evenimente {A i, i = 1, 2,..., n } formează un sistem complet de evenimente dacă au loc proprietăţile: (i) P(A i ) > 0, i {1, 2,..., n}; (ii) A i A j =, i j; n (iii) E = A i. i=1 Dacă E = {e 1,, e n } este finită, atunci mulţimea evenimentelor elementare {e i }, i = 1, 2,..., n formează un sistem complet de evenimente. Dacă A este un eveniment, atunci A şi A formează un sistem complet de evenimente.

Formula probabilităţii totale Teorema 1.1 Dacă {A i, i = 1, 2,..., n } este un sistem complet de evenimente şi X K este un eveniment arbitrar, atunci P(X) = Demonstraţie. n X = X E = X ( A i ) = P(X) = i=1 n i=1 n P(A i ) P(X A i ). (1.1) i=1 n (X A i ), (X A i ) (X A j ) =, i j i=1 P(X A i ) = n P(A i ) P(X A i ). i=1

Formula lui Bayes Teorema 1.2 Dacă {A i, i = 1, 2,..., n} este un sistem complet de evenimente şi X K este un eveniment arbitrar, atunci pentru orice i = 1, 2,..., n are loc Demonstraţie. P(A i X) = P(A i) P(X A i ). (1.2) n P(A j ) P(X A j ) j=1 P(A i X) = P(X A i) P(X) = P(A i) P(X A i ). n P(A j ) P(X A j ) j=1

Exemplu Sistem complet de evenimente Într-un canal de comunicaţii se transmite 0 sau 1 cu probabilităţile p şi respectiv q = 1 p. Recepţionerul face erori de decizie cu probabilitatea ε. Să se determine cu ce probabilitate se recepţionează 1. Dacă semnalul recepţionat este 1, cu ce probabilitate a fost transmis 0? A 0 ="s-a transmis 0"; A 1 ="s-a transmis 1" {A 0, A 1 } formează un sistem complet de evenimente. A ="s-a recepţionat 1". P(A) = P(A 0 ) P(A A 0 )+P(A 1 ) P(A A 1 ) = p ε+(1 p) (1 ε). P(A 0 A) = P(A 0) P(A A 0 ). P(A)

Schema lui Poisson Se dau n urne U 1, U 2,..., U n care conţin bile albe şi bile negre în proporţii date. Din fiecare urnă U i, i = 1, n se extrage câte o bilă. p i = prob. ca bila extrasă să fie albă U i q i = prob. ca bila extrasă să fie neagră, p i + q i = 1. A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". Atunci P(A) = coeficientul lui x k din polinomul n (p i x + q i ) = (p 1 x + q 1 ) (p 2 x + q 2 )... (p n x + q n ) (2.1) i=1

Condiţii ale unui experiment Poisson: 1. Există n efectuări în condiţii diferite ale unui experiment. 2. Fiecare experiment are exact două rezultate posibile. 3. Probabilităţile celor două rezultate sunt diferite pe parcursul repetărilor. 4. Repetările sunt independente una de cealaltă.

Exemplu Sistem complet de evenimente Trei semnale sunt recepţionate corect cu probabilităţile 0, 8; 0, 7 şi respectiv 0, 9. Să se determine cu ce probabilitate două semnale sunt recepţionate corect. coeficientul lui x 2 din polinomul P(A) = 0, 398. (0, 8 x + 0, 2) (0, 7 x + 0, 3) (0, 9 x + 0, 1).

Schema lui Bernoulli (a bilei revenite) Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre, extragem cu repunere n bile, n a + b. Atunci A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". p = "schema binomială" P(A) = C k n p k q n k, (2.2) a a + b, q = b a + b ; 0 k a.

Condiţii ale unui experiment binomial (cu întoarcere): 1. Există n repetări identice ale unui experiment. 2. Fiecare repetare are exact două rezultate posibile. 3. Probabilităţile celor două rezultate rămân constante pe parcursul repetărilor. 4. Repetările sunt independente una de cealaltă.

Exemplu Sistem complet de evenimente Se aruncă două zaruri de 10 ori. Care este probabilitatea ca de 4 ori să apară suma 7? p = 6 36 = 1 6, q = 5 6, n = 10, k = 4 ( ) 1 4 ( ) 5 6 P(A) = C10 4. 6 6

Schema lui Bernoulli cu mai multe stări Dintr-o urnă cu bile de s N culori, extragem cu repunere n bile. Probabilitatea de a extrage k i bile de culoare i, i = 1, 2,..., s, k 1 + + k s = n este p n;k1,k 2,...,k s = n! k 1! k 2!... k s! pk 1 1 pk 2 2... pks s, (2.3) p i este probabilitatea de a extrage o bilă de culoare i, p 1 + p 2 +... + p s = 1.

Exemplu Sistem complet de evenimente Se aruncă un zar de 10 ori. Care este probabilitatea ca exact de 2 ori să apară faţa cu un punct şi exact de 3 ori să apară faţa cu două puncte? Avem: n = 10, k 1 = 2, k 2 = 3, k 3 = 5, p 1 = 1 6, p 2 = 1 6, p 3 = 4 6 = 2 3, iar probabilitatea cerută este: ( ) 10! 1 2 ( ) 1 3 ( ) 2 5 2! 3! 5!. 6 6 3

Schema hipergeometrică (a bilei neîntoarsă) Dintr-o urnă cu a bile albe şi b bile negre, extragem fără repunere n bile, n a + b. Atunci A = "se obţin k bile albe (şi evident n k bile negre)". P(A) = Ck a C n k b Ca+b n. (2.4)

Schema hipergeometrică cu mai multe stări Într-o urnă sunt bile de s N culori, a i bile au culoarea i, i = 1, 2,..., s. Extragem fără repunere n bile. Probabilitatea de e extrage k i bile de culoarea i, k 1 + k 2 +... + k s = n este p k 1,k 2...k s a 1,a 2...,a s = Ck 1 a s a 1 C k 2 a 2... C ks C k 1+k 2 +...+k s a 1 +a 2 +...+a s (2.5)

Exemplu Sistem complet de evenimente Intr-un lot de 100 de articole se află 80 corespunzătoare, 15 cu defecţiuni remediabile şi 5 rebuturi. Alegem 6 articole. Cu ce probabilitate 3 articole sunt bune, 2 cu defecţiuni remediabile şi 1 articol este rebut? 1) extragerile se fac cu repunere: cazul schemei Bernoulli generalizată ( ) 6! 80 3 P(A) = 3! 2! 1! 100 ( 15 100 2) extragerile se fac fără repunere: cazul schemei hipergeometrice generalizată P(A) = C3 80 C2 15 C1 5 C100 6. ) 2 ( ) 5 1. 100

σ-algebră Sistem complet de evenimente Definiţia 3.1 Fie E o mulţime oarecare nevidă şi fie K P(E), K. Mulţimea de părţi K se numeşte σ-algebră dacă satisface următoarele condiţii: (i) A K A K; (ii) A n K, n N avem A n K.

Proprietăţi 1. E, K. K A K A K 2. A n K, n N avem A n K. A A = E K = E K A n K A n K A n = A n K 3. A, B K A \ B K. A \ B = A B K. A n K.

Def. funcţia de probabilitate; Kolmogorov Definiţia 3.2 Fie E o mulţime şi fie K o σ-algebră de părţi ale lui E. O funcţie P : K [ 0, 1 ] care satisface următoarele proprietăţi: (i) P(E) = 1; (ii) (A n ) n K, A n A m =, n m avem ( ) P A n = P(A n ), se numeşte probabilitate. (E, K, P) se numeşte câmp infinit de probabilitate.

Având cunoscută măsura unui domeniu din R, R 2 sau R 3 vom avea în vedere în cele ce urmează probleme ce implică probabilităţi geometrice în care factorul aleator depinde de măsura domeniului considerat. Presupunem că un "punct aleator" se află într-un domeniu posibil E R n, n = 1, 2, 3 iar probabilitatea ca acesta să se afle într-un anumit domeniu, depinde de mărimea µ (măsura) acestui domeniu; mărimea este o lungime (n = 1), o arie (n = 2) sau respectiv un volum (n = 3). Probabilitatea ca "punctul aleator" să se afle într-un domeniu favorabil D E este P(D) = µ(d) µ(e). (4.1)

Exemplu Sistem complet de evenimente Pe cadranul unui osciloscop, care este un pătrat cu latura a > 0 apare aleator un semnal luminos. Cu ce probabilitate acesta apare la o distanţă d a faţă de centrul ecranului? 2 Domeniul posibil este interiorul pătratului cu aria a 2. Domeniul favorabil este interiorul cercului cu centrul 0 şi raza a 2, al cărui centru coincide cu centrul pătratului. Deci P = ( a 2 π 2) a 2 = π 4.

Exemplu Sistem complet de evenimente O bandă magnetică are lungimea de 200 m şi conţine două mesaje înregistrate pe două piste; pe prima pistă se află un mesaj de 30 m, iar pe a doua de 50 m, ale căror poziţii pe bandă nu se cunosc precis. Din cauza unei defecţiuni, după primii 80 m trebuie îndepărtaţi 10 m de bandă. Găsiţi probabilităţile evenimentelor: A "nici o înregistrare nu este afectată"; B "prima înregistrare este afectată şi a doua nu"; C "a doua înregistrare este afectată şi prima nu"; D "ambele înregistrări sunt afectate".

Fie x, y coordonata la care poate începe prima respectiv a doua înregistrare; x [0, 170], y [0, 150]. pentru ca prima înregistrare să nu fie afectată, trebuie ca x [0, 50] [90, 170], pentru cea de-a doua trebuie ca y [0, 30] [90, 150]. Pentru fiecare eveniment considerat probabilitatea se calculează ca raportul ariei domeniului marcat corespunzător din figură şi aria domeniului total posibil (vezi figura (1)). Figure:

Exemplu Sistem complet de evenimente Două semnale de lungime t < 1 2 sunt transmise în intervalul de timp [0, 1]; fiecare poate să înceapă în orice moment al intervalului [0, 1 t]. Dacă semnalele se suprapun, chiar şi parţial, se distorsionează şi nu pot fi receptate. Găsiţi probabilitatea ca semnalele să fie recepţionate fără distorsionări.

Fie x momentul la care poate să înceapă primul semnal şi y momentul începerii celui de-al doilea. Domeniul posibil este un pătrat de latură 1 t. Pentru a nu se distorsiona transmiterea este necesar ca distanţa dintre momentele de începere ale semnalelor să fie mai mare decât lungimea unui semnal, deci iar domeniul favorabil este A = { (x, y); x y > t }. Probabilitatea cerută este (1 2t)2 (1 t) 2.