ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Το σύολο C τω µιγδικώ ριθµώ είι έ υπερσύολο του συόλου R τω πργµτικώ ριθµώ, στο οποίο: Επεκτείοτι οι πράξεις της πρόσθεσης κι του πολλπλσισµού έτσι, ώστε έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως κι στο R, µε το µηδέ () είι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης κι το έ () το ουδέτερο στοιχείο του πολλπλσισµού, Υπάρχει έ στοιχείο i τέτοιο, ώστε i =, Κάθε στοιχείο z του C γράφετι κτά µοδικό τρόπο µε τη µορφή z = + i, όπου, R ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ + i = γ + δi = γ κι = δ + i = = κι = ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ Κάθε µιγδικό ριθµό z= + i µπορούµε το τιστοιχίσουµε στο σηµείο M (, ) εός κρτεσιού επιπέδου Ές µιγδικός z = + i πριστάετι επίσης κι µε τη διυσµτική κτί, OM uuuur, του σηµείου M (, ) ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ(+,-,, ) Γι τη πρόσθεση δύο µιγδικώ ριθµώ + i κι γ + δiέχουµε: ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i Γι τη φίρεση του µιγδικού ριθµού γ + δi πό το + i, επειδή ο τίθετος του µιγδικού γ + δi είι ο µιγδικός γ δi, έχουµε: ( + i) ( γ + δi) = ( + i) + ( γ δi) = ( γ ) + ( δ ) i ηλδή: ( + i) ( γ + δi) = ( γ ) + ( δ ) i M(,) ή Μ(z) Ο a Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Γρφική πράστση πρόσθεσης: Α M (, ) κι M (, ) γ δ είι οι εικόες τω + i κι γ + δi τιστοίχως στο µιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισµ ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i πριστάετι µε το σηµείο M ( + γ, + δ ) uuuur uuuur uuuuur Εποµέως, OM = OM + OM, δηλδή: M(+γ, +δ) M (γ,δ) M (,) Ο Η διυσµτική κτί του θροίσµτος τω µιγδικώ + i κι γ + δi είι το άθροισµ τω διυσµτικώ κτίω τους Γρφική πράστση διφοράς: Επίσης, η διφορά ( + i) ( γ + δi) = ( γ ) + ( δ ) i πριστάετι µε το σηµείο N( γ, δ ) uuur uuuur uuuuur Εποµέως, ON = OM OM, δηλδή: Ο Μ (γ,δ) Μ (,) Ν( γ, δ) 3 Η διυσµτική κτί της διφοράς τω µιγδικώ + i κι γ + δi είι η διφορά τω διυσµτικώ κτίω τους Γι το πολλπλσισµό δύο µιγδικώ + i κι γ + δi έχουµε: ( + i)( γ + δi) = ( γ + δi) + i( γ + δi) = γ + δi + γ i + ( i)( δi) = = γ + δ + γ + δ = γ + δ + γ δ = ( γ δ ) + ( δ + γ ) ηλδή: ( + i)( γ + δi) = ( γ δ ) + ( δ + γ ) i i i i i i i Ειδικότερ, έχουµε: ( + i)( i) = + Ο ριθµός i λέγετι συζυγής του + i κι συµολίζετι µε + i ηλδή: + i = i Μ 3 ( γ, δ) Επειδή είι κι i = + i, οι + i, i λέγοτι συζυγείς µιγδικοί + i Τέλος, γι εκφράσουµε το πηλίκο, όπου γ + δi, γ + δi στη µορφή κ + λi, πολλπλσιάζουµε τους όρους του κλάσµτος µε το συζυγή του προοµστή κι έχουµε: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 + i ( + i)( γ δi) ( γ + δ ) + ( γ δ ) i γ + δ γ δ = = = + i γ + δi ( γ + δi)( γ δi) γ + δ γ + δ γ + δ + i γ + δ γ δ ηλδή, = + i γ + δi γ + δ γ + δ ΥΝΑΜΗ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι δυάµεις εός µιγδικού z µε εκθέτη κέριο ορίζοτι όπως κριώς οι δυάµεις τω πργµτικώ ηλδή: z =, µε z z z = z = z z, z = 443 z z z z φορές =, όπου Ν *,z z, υ = i, υ = = = = = = = -, υ = i, υ = 3 4ρ+ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i i i i ( i ) i i i ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ : Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Γι έ µιγδικό ριθµό z=+i ορίζουµε ως συζυγή του ριθµού z το µιγδικό z = i Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Στο µιγδικό επίπεδο οι εικόες M (, ) κι M (, ) δύο συζυγώ µιγδικώ z = + i κι z = i είι σηµεί συµµετρικά ως Ο προς το πργµτικό άξο M(z) 4 Ισχύει: ( z ) ορισµού) = z (φού ( i) = + i µε εφρµογή του M (z) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 4 Γι δύο συζυγείς µιγδικούς ριθµούς z = + i κι z = i ισχύει : z + z = z z = i Α z = + i κι z = γ + δi είι δυο µιγδικοί ριθµοί, τότε: z + z = z + z z z = z z 3 z z = z z z z = z z 4 Οι ιδιότητες υτές µπορού ποδειχτού µε εκτέλεση τω πράξεω Γι πράδειγµ έχουµε: Απόδειξη της : z + z = ( + i) + ( γ + δi) = ( + γ ) + ( + δ ) i = ( + γ ) ( + δ )i = ( i) + ( γ δi) = z + z 5 z + z + L+ z = z + z + L + z (Γείκευση της ) 6 z z z = z z z (Γείκευση της 3) 7 ( z ) = ( z ) ( είι z = z = = z = z, κι εφρµόσουµε τη ιδιότητ 6) ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: z + z + γ = µε,,γ R, > Tότε η εξίσωση έχει δύο πργµτικές λύσεις: ± z, = = Tότε έχει µι διπλή πργµτική λύση: z = < Tότε, επειδή = = =,η εξίσωση γράφετι: ( )( ) i ( ) i 4 4 ( ) i z + = Άρ οι λύσεις της είι: ± i z, =, οι οποίες είι συζυγείς µιγδικοί ριθµοί Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 5 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑ ΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 5 Ορίζουµε ως µέτρο του z τη πόστση του M πό uuuur τη ρχή O, δηλδή z = OM = + z M(,) Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Ο a ύο προφείς ιδιότητες πό τ πρπάω είι: z = z = z = z z = z z Α z, z είι µιγδικοί ριθµοί, τότε z z = z z z z = z z Απόδειξη: Πράγµτι, έχουµε: z z = z z z z = z z ( z z)( z z) = z z z z z z z z = z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύµη ρχική Αάλογ ποδεικύετι κι η δεύτερη ιδιότητ Γεικά, ποδεικύετι ότι : z z z = z z z κι = z z Από τη γωστή µς τριγωική ισότητ κι πό τη γεωµετρική ερµηεί του θροίσµτος z + z κι της διφοράς z z δύο µιγδικώ προκύπτει ότι: z z z + z z + z λλά κι ότι z z z z z + z Επίσης, είι uuur φερό ότι το µέτρο του διύσµτος ON είι ίσο µε το µέτρο του διύσµτος Ο M 3 ( z ) M (z ) M (z ) N(z z ) M(z +z ) 6 Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 6 uuuuuur M M Εποµέως: Το µέτρο της διφοράς δύο µιγδικώ είι ίσο µε τη πόστση τω εικόω τους ηλδή: ( MM ) = z z Η εξίσωση z z = ρ, µε ρ> κι z = + i πριστάει το κύκλο µε κέτρο το σηµείο Κ ( z) κι κτί ρ Ειδικά η εξίσωση z = ρ, µε ρ> πριστάει κύκλο µε κέτρο τη ρχή τω ξόω Ο(,) κι κτί ρ Ο K(, ) Η εξίσωση z z = z z, όπου z = + i, z = + i, πριστάει τη µεσοκάθετο του Β τµήµτος µε άκρ τ σηµεί Α ( ) κι ( ) z z B(, ) A(, ) Η έοι της πργµτικής συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Ο Έστω Α έ υποσύολο του R Οοµάζουµε πργµτική συάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α µι διδικσί (κό) f, µε τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ µόο πργµτικό ριθµό Το οοµάζετι τιµή της f στο κι συµολίζετι µε f ( ) Ισότητ συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ ύο συρτήσεις f κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισµού Α κι γι κάθε A ισχύει f ( ) = g( ) ( ηλδή το ίδιο τύπο) Έστω τώρ f, g δύο συρτήσεις µε πεδί ορισµού Α, Β τιστοίχως κι Γ έ υποσύολο τω Α κι Β Α γι κάθε Γ ισχύει f ( ) = g( ), τότε λέµε ότι οι συρτήσεις f κι g είι ίσες στο σύολο Γ Ο Γ 678 B A Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 7 Πράξεις µε συρτήσεις Ορίζουµε ως άθροισµ f + g, διφορά f - g, γιόµεο f g κι πηλίκο f g δύο συρτήσεω f, g τις συρτήσεις µε τύπους ( f + g)( ) = f ( ) + g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) ( f g)( ) = f ( ) g( ) f ( ) = g f ( ) g( ) Το πεδίο ορισµού τω f πεδίω ορισµού D f κι + g, f g κι f g είι η τοµή D f Dg τω D g τω συρτήσεω f κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισµού της f g είι το D f Dg, εξιρουµέω τω τιµώ του που µηδείζου το προοµστή g( ), δηλδή το σύολο { A κι B, µε ( ) } Σύθεση συρτήσεω ΟΡΙΣΜΟΣ g δηλδή D D { g( ) } f = Α f, g είι δύο συρτήσεις µε πεδίο ορισµού Α, Β τιστοίχως, τότε οοµάζουµε σύθεση της f µε τη g, κι τη συµολίζουµε µε gof, τη συάρτηση µε τύπο ( gof )( ) = g( f ( )) g f(a) B A f f() g(b) go f g g( f()) A Το πεδίο ορισµού της gof ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισµού της f γι τ οποί το f ( ) ήκει στο πεδίο ορισµού της g ηλδή είι το σύολο A = { A f ( ) A } Είι φερό ότι η gof ορίζετι gof f g A, δηλδή f ( A) B gof Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Μοοτοί συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ 8 Μι συάρτηση f λέγετιf() : γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: f ( ) < f ( ) γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η µ του πεδίου ορισµού της, ότ γι οποιδήποτε, µε < ισχύει: f ( ) > f ( ) Ακρόττ συάρτησης ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α θ λέµε ότι: Προυσιάζει στο A (ολικό) µέγιστο, το f ( ), ότ f ( ) f ( ) γι κάθε A Προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ( ), ότ f ( ) f ( ) γι κάθε A Συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f : A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή:, τότε ( ) f ( ) f ( ) Με πγωγή σε άτοπο ποδεικύετι ότι: Μι συάρτηση f : A R είι συάρτηση, κι µόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: f f ( ) = ( ), τότε = Ατίστροφη συάρτηση Έστω µι συάρτηση f : A R Α υποθέσουµε ότι υτή είι, τότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιµώ, f ( A ), της f υπάρχει µοδικό στοιχείο του =f() O Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 9 πεδίου ορισµού της Α γι το οποίο ισχύει f ( ) = Εποµέως ορίζετι µι συάρτηση g: f ( A) R µε τη οποί κάθε f ( A) τιστοιχίζετι στο µοδικό A γι το οποίο ισχύει f ( ) = Από το τρόπο που ορίστηκε η g προκύπτει ότι: έχει πεδίο ορισµού το σύολο τιµώ f ( A ) της f, έχει σύολο τιµώ το πεδίο ορισµού Α της f κι ισχύει η ισοδυµί: f ( ) = g( ) = Αυτό σηµίει ότι, η f τιστοιχίζει το στο, τότε η g τιστοιχίζει το στο κι τιστρόφως ηλδή η g είι η τίστροφη διδικσί της f Γι το λόγο υτό η g λέγετι τίστροφη συάρτηση της f κι συµολίζετι µε f Εποµέως έχουµε f ( ) = f ( ) = A g()= f g f(a) =f() Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω f κι είι συµµετρικές ως προς τη ευθεί = που διχοτοµεί τις γωίες O κι O Όρι lim f ( ) =l lim f ( ) = lim f ( ) =l () () lim f ( ) =l lim( f ( ) l ) = lim f ( ) =l lim f ( + h) =l h ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΑΠΟ ΕΞΙΑ ΚΑΙ ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΣΤΟ R Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ σύολο της µορφής (, ) (, ), τότε ισχύει η ισοδυµί: lim f ( ) =l + lim f ( ) = lim f ( ) =l + ΟΡΙΟ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΕΞΙΑ ΣΤΟ R f Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ διάστηµ της µορφής (, ), λλά δε ορίζετι σε διάστηµ της µορφής (, ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) + ΟΡΙΟ ΜΟΝΟ ΑΠΟ ΑΡΙΣΤΕΡΑ ΣΤΟ R Α µι συάρτηση f είι ορισµέη σε έ διάστηµ της µορφής (, ), λλά δε ορίζετι σε διάστηµ της µορφής (, ), τότε ορίζουµε: lim f ( ) = lim f ( ) Όριο τυτοτικής - στθερής συάρτησης lim = lim c = c Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όριο κι διάτξη ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α Α lim f ( ) >, τότε f ( ) > κοτά στο (Σχ ) lim f ( ) <, τότε f ( ) < κοτά στο (Σχ ) ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α οι συρτήσεις f, g έχου όριο στο κι ισχύει f ( ) g( ) κοτά στο, τότε lim f ( ) lim g( ) Όρι κι πράξεις ΘΕΩΡΗΜΑ Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω f κι g στο, τότε: lim( f ( ) + g( )) = lim f ( ) + lim g( ) lim( κ f ( )) = κ lim f ( ), γι κάθε στθερά κ R Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 lim( f ( ) g( )) = lim f ( ) lim g( ) f ( ) lim f ( ) 4 lim =, εφόσο g ( ) lim g ( ) lim g ( ) 5 6 lim f ( ) = lim f ( ) lim k f ( ) = k lim f ( ), εφόσο f ( ) κοτά στο lim[ f ( )] = lim f ( ), * N lim = lim P ( ) = P ( ) P( ) P( ) =, εφόσο Q( ) lim Q ( ) Q ( ) Κριτήριο πρεµολής ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω οι συρτήσεις f, g, h Α h( ) f ( ) g( ) κοτά στο κι lim h( ) = lim g( ) =l, τότε : lim f ( ) Tριγωοµετρικά όρι ηµ, γι κάθε R (η ισότητ ισχύει µόο ότ = ) limηµ = ηµ limσυ = συ =l Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ) ) ηµ lim = συ lim = Όριο σύθετης συάρτησης lim f ( g( )) = lim f ( u) u u ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ (ΑΠΕΙΡΟ) ΟΡΙΟ ΣΤΟ R lim f ( ) = + lim f ( ) = lim f ( ) = + + lim f ( ) = lim f ( ) = lim f ( ) = + Ι ΙΟΤΗΤΕΣ Α Α Α Α lim f ( ) lim f ( ) = +, τότε f ( ) > κοτά στο, εώ =, τότε f ( ) < κοτά στο lim f ( ) = +, τότε lim f ( ) =, τότε lim( f ( )) =, εώ lim f ( ) = + ή, τότε lim( f ( )) = + lim = ( ) f lim f ( ) = κι f ( ) > κοτά στο, τότε εώ lim f ( ) = κι f ( ) < κοτά στο,τότε lim f ( ) lim ( ) f = +, = Α lim f ( ) = + ή, τότε lim f ( ) = + Α lim f ( ) = +, τότε lim k f ( ) = + Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 Α στο R ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο θροίσµτος) το όριο της f είι: R R + - + - κι το όριο της g είι: + - + - - + τότε το όριο της f Α στο R, + g είι: + - + - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γιοµέου) το όριο της f είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της fg είι: προσδιόριστες µορφές ( + ) ( + ), ( ) ( ), ± ± > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η f έχει στο + όριο το l κι γράφουµε lim f ( ) =l + το g( ) υξάετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η g έχει στο + όριο το + κι γράφουµε lim g( ) = + + το h( ) µειώετι περιόριστ Στη περίπτωση υτή λέµε ότι η h έχει στο + όριο το κι γράφουµε lim h( ) = Όριο πολυωυµικής κι ρητής συάρτησης Γι τη πολυωυµική συάρτηση + P( ) = + + L +, µε = ισχύει: lim P( ) = lim ( ) κι lim P( ) lim ( ) + Όριο ρητής συάρτησης: + Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 4 + + L+ + Γι τη ρητή συάρτηση f ( ) =, κ κ κ + κ + L+ +, ισχύει: κ lim f ( ) = lim + + κ κι lim f ( ) = lim κ κ κ Όρι εκθετικής - λογριθµικής συάρτησης Αποδεικύετι ότι: Α > (Σχ 6), τότε =a lim =, lim + = + =log a lim log =, lim log + = + O Α < < (Σχ 6), τότε =a lim = +, lim = lim log + = +, lim log + Πεπερσµέο όριο κολουθίς = Η έοι της κολουθίς είι γωστή πό προηγούµεες τάξεις Συγκεκριµέ: ΟΡΙΣΜΟΣ O =log a Ακολουθί οοµάζετι κάθε πργµτική συάρτηση * :N R ΟΡΙΣΜΟΣ Θ λέµε ότι η κολουθί ( ) έχει όριο το l R κι θ γράφουµε * lim =l, ότ γι κάθε ε >, υπάρχει N τέτοιο, ώστε γι κάθε > ισχύει l < ε Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισµός της συέχεις ΟΡΙΣΜΟΣ 5 Εστω µι συάρτηση f κι έ σηµείο του πεδίου ορισµού της Θ λέµε ότι η f είι συεχής στο, ότ lim f ( ) = f ( ) Μί συάρτηση f που είι συεχής σε όλ τ σηµεί του πεδίου ορισµού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Πράξεις µε συεχείς συρτήσεις ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: f f + g, c f, όπου c R, f g, g, f κι f µε τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστηµ που περιέχει το ΘΕΩΡΗΜΑ Α η συάρτηση f είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο f ( ), τότε η σύθεσή τους gof είι συεχής στο Συέχει συάρτησης σε διάστηµ κι σικά θεωρήµτ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f θ λέµε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστηµ (, ), ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, ) (Σχ) Μι συάρτηση f θ λέµε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστηµ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σηµείο του (, ) κι επιπλέο lim f ( ) = f ( ) κι lim f ( ) = f ( ) (Σχ) + Αάλογοι ορισµοί διτυπώοτι γι διστήµτ της µορφής (, ], [, ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 6 Θεώρηµ του Bolzano Στο διπλό σχήµ έχουµε τη γρφική πράστση µις συεχούς συάρτησης f στο [, ] Επειδή τ σηµεί A(,f()) κι B(, f ( )) ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της f τέµει το άξο σε έ τουλάχιστο σηµείο f() O f(a) a Α(,f()) B(,f()) ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση f, ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει f ( ) f ( ) <, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) = ηλδή, υπάρχει µι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης f ( ) = στο οικτό διάστηµ (, ) ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση f, η οποί είι ορισµέη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι f ( ) f ( ) τότε, γι κάθε ριθµό η µετξύ τω f ( ) κι f ( ) υπάρχει ές, τουλάχιστο (, ) τέτοιος, ώστε f ( ) = η ΑΠΟ ΕΙΞΗ Ας υποθέσουµε ότι f ( ) < f ( ) Τότε θ ισχύει f ( ) < η < f ( ) Α θεωρήσουµε τη συάρτηση g( ) = f ( ) η, [, ], πρτηρούµε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι f() g( ) g( ) <, η φού g( ) = f ( ) η < κι g( ) = f ( ) η > f(a) Α(,f()) Εποµέως, σύµφω µε το θεώρηµ του Bolzano, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g( ) = f ( ) η =, οπότε f ( ) = η O a B(,f()) =η Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 7 Η εικό f ( ) εός διστήµτος µέσω µις συεχούς κι µη στθερής συάρτησης f είι διάστηµ ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέγιστης κι ελάχιστης τιµής) Α f είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η f πίρει στο [, ] µι µέγιστη τιµή Μ κι µι ελάχιστη τιµή m (Σχδ) A µι συάρτηση f είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστηµ (, ), τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ ( Α, Β ) (Σχ), όπου Α = lim f ( ) κι B = lim f ( ) + Α, όµως, η f είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο (, ), τότε το σύολο τιµώ της στο διάστηµ υτό είι το διάστηµ ( B, A ) (Σχ) ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Μι συάρτηση f λέµε ότι είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο του f ( ) f ( ) πεδίου ορισµού της, υπάρχει το lim κι είι πργµτικός ριθµός Το όριο υτό οοµάζετι πράγωγος της f στο κι συµολίζετι µε f ( ) f ( ) f ( ) ηλδή: f ( ) = lim Η f είι πργωγίσιµη στο, κι µόο υπάρχου στο R τ f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) όρι lim, lim κι είι ίσ + Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΟΡΙΣΜΟΣ 8 Έστω f µι συάρτηση κι A(, f ( )) έ σηµείο της C f Α f ( ) f ( ) υπάρχει το lim κι είι ές πργµτικός ριθµός λ, τότε ορίζουµε ως εφπτοµέη της C f στο σηµείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ ηλδή τη f ( ) = f ( ) ευθεί µε εξίσωση : ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ Α µι συάρτηση f είι πργωγίσιµη σ έ σηµείο, τότε είι κι συεχής στο σηµείο υτό ΑΠΟ ΕΙΞΗ f ( ) f ( ) Γι έχουµε f ( ) f ( ) = ( ), οπότε f ( ) f ( ) lim[ f ( ) f ( )] = lim ( ) f ( ) f ( ) = lim lim( ) = f ( ) =,(φού η f είι πργωγίσιµη στο ) Εποµέως, lim f ( ) = f ( ), δηλδή η f είι συεχής στο ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΙΜΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Έστω f µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού έ σύολο Α Θ λέµε ότι: H f είι πργωγίσιµη στο Α ή, πλά, πργωγίσιµη, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο A Η f είι πργωγίσιµη σε έ οικτό διάστηµ (, ) του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη σε κάθε σηµείο (, ) Η f είι πργωγίσιµη σε έ κλειστό διάστηµ [, ] του πεδίου ορισµού της, ότ είι πργωγίσιµη στο (, ) κι επιπλέο ισχύει lim + f ( ) f ( ) R κι lim f ( ) f ( ) R Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 9 Έστω f µι συάρτηση µε πεδίο ορισµού Α κι A τo σύολο τω σηµείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιµη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο f ( ), ορίζουµε τη συάρτηση f : A R f ( ), η οποί οοµάζετι πρώτη πράγωγος της f ή πλά πράγωγος της f H πρώτη πράγωγος της f συµολίζετι κι µε df d που διάζετι τε εφ προς τε χι Γι πρκτικούς λόγους τη πράγωγο συάρτηση = f ( ) θ τη συµολίζουµε κι µε = ( f ( )) Α υποθέσουµε ότι το Α είι διάστηµ ή έωση διστηµάτω, τότε η πράγωγος της f, υπάρχει, λέγετι δεύτερη πράγωγος της f κι συµολίζετι µε f Επγωγικά ορίζετι η ιοστή πράγωγος της f, µε 3, κι ( ) συµολίζετι µε f ( ) ( ) ηλδή f = [ f ], 3 Πράγωγος µερικώ σικώ συρτήσεω Εστω η στθερή συάρτηση f ( ) πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = c, c R Η συάρτηση f είι =, δηλδή ( c ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι f ( ) f ( ) c c f ( ) f ( ) ισχύει: = = Εποµέως lim =, δηλδή ( c ) = Έστω η συάρτηση f ( ) R κι ισχύει f ( ) = Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο =, δηλδή ( ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ισχύει: = = Εποµέως lim = lim=, δηλδή ( ) = Έστω η συάρτηση f ( ) =, {,} N Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει v v =, δηλδή ( ) f ( ) = v Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του R, τότε γι ισχύει: Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου f ( ) f ( ) ( )( + + + ) = = = + + +, οπότε f ( ) f ( ) lim = lim( + + + ) = + + + =, δηλδή ( ) = Έστω η συάρτηση f ( ) στο (, + ) κι ισχύει = Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή ( ) = Απόδειξη: Πράγµτι, είι έ σηµείο του (, + ), τότε γι ισχύει: ( )( + ) ( )( ) ( )( ) f ( ) f ( ) = = = + + = +, οπότε f ( ) f ( ) lim = lim = +, δηλδή ( ) = Έστω συάρτηση f ( ) = ηµ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = συ, δηλδή ( ηµ ) = συ (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = συ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = ηµ, δηλδή ( συ ) = ηµ (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = e Αποδεικύετι ότι η f είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = e, δηλδή ( e ) = e (Χωρίς πόδειξη) Έστω η συάρτηση f ( ) = ln Αποδεικύετι ότι η f είι πργωγίσιµη στο (, + ) κι ισχύει (Χωρίς πόδειξη) f ( ) =, δηλδή (ln ) = Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, τότε η συάρτηση f + gείι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) Απόδειξη: Γι, ισχύει: ( f + g)( ) ( f + g)( ) f ( ) + g( ) f ( ) g( ) f ( ) f ( ) = = + g( ) g( ) Επειδή οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, έχουµε: ( f + g)( ) ( f + g)( ) f ( ) f ( ) g( ) g( ) lim = lim + lim = f ( ) + g ( ), δηλδή ( f + g) ( ) = f ( ) + g ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο, τότε κι η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: ( f g) ( ) = f ( ) g( ) + f ( ) g ( ) Απόδειξη: (Εκτός ύλης) Α f είι πργωγίσιµη συάρτηση σ έ διάστηµ κι c R, επειδή ( c ) =, σύµφω µε το θεώρηµ () έχουµε: ( cf ( )) = cf ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ 3 Α οι συρτήσεις f, g είι πργωγίσιµες στο κι g( ), τότε κι η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει: f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f g f g g = [ g( )] Η πόδειξη πρλείπετι (Εκτός ύλης) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Έστω η συάρτηση f ( ) πργωγίσιµη στο ( ) = =, * R κι ισχύει * N Η συάρτηση f είι ( ) =, δηλδή f * Απόδειξη: Πράγµτι, γι κάθε R () ( ) έχουµε: ( ) = = = = ( ) Έστω η συάρτήση f ( ) = εφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή συ στο R = R { συ = } κι ισχύει ( εφ) = συ Απόδειξη: Πράγµτι, γι κάθε R έχουµε: ηµ ( ηµ ) συ ηµ ( συ ) συ συ + ηµ ηµ ( εφ) = = = συ συ συ συ + ηµ = = συ συ Έστω η συάρτηση f ( ) = σφ Η συάρτηση f είι πργωγίσιµη f ( ) =, δηλδή ηµ στο R = R { ηµ = } κι ισχύει ( σφ) = ηµ ΘΕΩΡΗΜΑ 4 Α η συάρτηση g είι πργωγίσιµη στο κι η f είι πργωγίσιµη στο g( ), τότε η συάρτηση f g είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει ( f g) ( ) = f ( g( )) g ( ) Η συάρτηση f ( ) κι ισχύει =, R Z είι πργωγίσιµη στο (, + ) ( ) =, δηλδή f ( ) = ln Απόδειξη: Πράγµτι, = = e κι θέσουµε u = ln, τότε u u u ln έχουµε = e Εποµέως, = ( e ) = e u = e = = Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 Η συάρτηση f ( ) =, > είι πργωγίσιµη στο R κι ισχύει f ( ) = ln, δηλδή ( ) = ln Απόδειξη: Πράγµτι, έχουµε u = e Εποµέως, Η συάρτηση f ( ) = ln, ισχύει (ln ) = ln e = = κι θέσουµε u = ln, τότε = = = = u u ln ( e ) e u e ln ln * R είι πργωγίσιµη στο * R κι Απόδειξη: Πράγµτι >, τότε (ln ) = (ln ) =, εώ <, τότε ln = ln( ), οπότε, θέσουµε = ln( ) κι u =, έχουµε = ln u Εποµέως, = (ln u) = u = ( ) = u κι άρ (ln ) = ( u ) = u u ( εφu) = u συ u ( u) = u ( σφu) = u u ηµ u ( ηµ u) = συ u u u u ( e ) = e u ( συ u) = ηµ u u u u ( ) = ln u ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ (ln u ) = u u Α δύο µετλητά µεγέθη, συδέοτι µε τη σχέση = f ( ), ότ f είι µι συάρτηση πργωγίσιµη στο, τότε οοµάζουµε ρυθµό µετολής του ως προς το στο σηµείο τη πράγωγο f ( ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΗΜΑ (Rolle) 4 Α µι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ (, ) κι f ( ) = f ( ) τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ξ ) = Γεωµετρικά, υτό σηµίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της C στο M ( ξ, f ( ξ )) είι πράλληλη στο άξο τω f Μ(ξ,f(ξ)) Α(,f()) Β(,f()) O ξ ξ ΘΕΩΡΗΜΑ (Μέσης Τιµής ιφορικού Λογισµού ΘΜΤ) Α µι συάρτηση f είι: συεχής στο κλειστό διάστηµ [, ] κι πργωγίσιµη στο οικτό διάστηµ (, ) τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε: f ( ) f ( ) f ( ξ ) = Γεωµετρικά, υτό σηµίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ (, ) τέτοιο, ώστε η εφπτοµέη της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο M ( ξ, f ( ξ )) είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ M(ξ,f(ξ)) A(a,f(a)) Β(,f()) Συέπειες του Θεωρήµτος της Μέσης τιµής ΘΕΩΡΗΜΑ (Στθερής Συάρτησης) Ο a ξ ξ Έστω µι συάρτηση f ορισµέη σε έ διάστηµ Α η f είι συεχής στο κι f ( ) = γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είι στθερή σε όλο το διάστηµ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αρκεί ποδείξουµε ότι γι οποιδήποτε, f ( ) = f ( ) Πράγµτι ισχύει Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 5 Α =, τότε προφώς f ( ) = f ( ) Α <, τότε στο διάστηµ [, ] η f ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήµτος µέσης τιµής Εποµέως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) = f ( ) f ( ) () Επειδή το ξ είι εσωτερικό σηµείο του, ισχύει f ( ξ ) =,οπότε, λόγω της (), είι f ( ) = f ( ) Α <, τότε οµοίως ποδεικύετι ότι f ( ) = f ( ) Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι f ( ) = f ( ) ΠΟΡΙΣΜΑ Έστω δυο συρτήσεις f, g ορισµέες σε έ διάστηµ Α οι f, g είι συεχείς στο κι f ( ) = g ( ) γι κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε ΑΠΟ ΕΙΞΗ f ( ) = g( ) + c ισχύει: Η συάρτηση f g είι συεχής στο κι γι κάθε εσωτερικό σηµείο ισχύει ( f g) ( ) = f ( ) g ( ) = Εποµέως, σύµφω µε το πρπάω θεώρηµ, η συάρτηση f g είι στθερή στο Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε ισχύει f ( ) g( ) = c, οπότε f ( ) = g( ) + c Μοοτοί συάρτησης ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω µι συάρτηση f, η οποί είι σ υ ε χ ή ς σε έ διάστηµ Α f ( ) > σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είι γησίως ύξουσ σε όλο το Α f ( ) < σε κάθε ε σ ω τ ε ρ ι κ ό σηµείο του, τότε η f είι γησίως φθίουσ σε όλο το ΑΠΟ ΕΙΞΗ Αποδεικύουµε το θεώρηµ στη περίπτωση που είι f ( ) > Έστω, µε < Θ δείξουµε ότι f ( ) < f ( ) Πράγµτι, στο διάστηµ [, ] η f ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 6 f ( ) f ( ) Εποµέως, υπάρχει ξ (, ) τέτοιο, ώστε f ( ξ ) =, οπότε έχουµε: f ( ) f ( ) = f ( ξ )( ) Επειδή f ( ξ ) > κι >, έχουµε f ( ) f ( ) >, οπότε f ( ) < f ( ) Στη περίπτωση που είι f ( ) < εργζόµστε λόγως Ολοκληρωτικός Λογισµός Αρχική συάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της f στο () οοµάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ( ) = f ( ), γι κάθε ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω f µι συάρτηση ορισµέη σε έ διάστηµ Α F είι µι πράγουσ της f στο, τότε όλες οι συρτήσεις της µορφής : G( ) = F( ) + c, c R, είι πράγουσες της f στο κι κάθε άλλη πράγουσ G της f στο πίρει τη µορφή G( ) = F( ) + c, c R ΑΠΟ ΕΙΞΗ Κάθε συάρτηση της µορφής G( ) = F( ) + c, όπου c R, είι µι πράγουσ της f στο, φού G ( ) = ( F( ) + c) = F ( ) = f ( ), γι κάθε Έστω G είι µι άλλη πράγουσ της f στο Τότε γι κάθε ισχύου F ( ) = f ( ) κι G ( ) = f ( ), οπότε G ( ) = F ( ), γι κάθε Άρ, σύµφω µε το πόρισµ του Θεωρήµτος Στθερής Συάρτησης, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G( ) = F( ) + c, γι κάθε Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 7 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Α/Α Συάρτηση Πράγουσες f ( ) = G( ) = c, c R, f ( ) = G( ) = + c, c R 3 f ( ) 4 f ( ) 5 f ( ) 6 f ( ) 7 f ( ) 8 f ( ) = G( ) = ln + c, c R = G( ) + = + c, c R + G = + c c R = συ ( ) ηµ, G = + c c R = ηµ ( ) συ, = G( ) = εφ + c, c R συ = G( ) = σφ + c, c R ηµ 9 f ( ) = e G( ) = e + c, c R f ( ) = G( ) = + c, c R ln Σηµείωση: Οι τύποι του πίκ υτού ισχύου σε κάθε διάστηµ στο οποίο οι πρστάσεις του που εµφίζοτι έχου όηµ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΤΗΤΑΣ ΠΑΡΑΓΟΥΣΩΝ Α οι συρτήσεις F κι G είι πράγουσες τω f κι g τιστοίχως κι ο λ είι ές πργµτικός ριθµός, τότε: i) Η συάρτηση F + G είι µι πράγουσ της συάρτησης f + g κι ii) Η συάρτηση λf είι µι πράγουσ της συάρτησης λf Η έοι του ορισµέου ολοκληρώµτος Το όριο lim f ( ξκ ) οοµάζετι ορισµέο ολοκλήρωµ της κ= συεχούς συάρτησης f πό το στο, συµολίζετι µε f ( ) d κι διάζετι ολοκλήρωµ της f πό το στο ηλδή, Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 8 f ( ) d = lim f ( ξκ ) κ= Από τους ορισµούς του εµδού κι του ορισµέου ολοκληρώµτος προκύπτει ότι: Α f ( ) γι κάθε [, ], τότε το ολοκλήρωµ f ( ) d = f ( ) d f ( ) d = f ( ) d δίει το εµδό E( Ω ) του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f το άξο κι τις ευθείες = κι = (διπλό σχήµ ) ηλδή, f ( ) d = E( Ω) Εποµέως: Α f ( ), τότε f ( ) d O =f() Ω Ιδιότητες του ορισµέου ολοκληρώµτος ΘΕΩΡΗΜΑ ο (γρµµικότητ) Έστω f, g σ υ ε χ ε ί ς συρτήσεις στο [, ] κι λ, µ R Τότε ισχύου : λ f ( ) d = λ f ( ) d [ f ( ) + g( )] d = f ( ) d + g( ) d κι γεικά [ λ f ( ) + µ g( )] d = λ f ( ) d + µ g( ) d ΘΕΩΡΗΜΑ ο Α η f είι σ υ ε χ ή ς σε διάστηµ κι,, γ, τότε γ ισχύει: f ( ) d = f ( ) d + f ( ) d γ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο 9 Έστω f µι σ υ ε χ ή ς συάρτηση σε έ διάστηµ [, ] Α f ( ) γι κάθε [, ] κι η συάρτηση f δε είι πτού µηδέ στο διάστηµ υτό, τότε f ( ) d > = Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( ) f ( t) dt ΘΕΩΡΗΜΑ Α f είι µι συεχής συάρτηση σε έ διάστηµ κι είι έ σηµείο του, τότε η συάρτηση F( ) = f ( t) dt,, είι µι πράγουσ της f στο ηλδή ισχύει: f ( t) dt = f ( ), γι κάθε a ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ (Θεµελιώδες θεώρηµ του ολοκληρωτικού λογισµού) Έστω f µι συεχής συάρτηση σ έ διάστηµ [, ] Α G είι µι πράγουσ της f στο [, ], τότε f ( t) dt = G( ) G( ) ΑΠΟ ΕΙΞΗ Σύµφω µε το προηγούµεο θεώρηµ, η συάρτηση = είι µι πράγουσ της f στο [, ] F( ) f ( t) dt Επειδή κι η G είι µι πράγουσ της f στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε G( ) = F( ) + c () Από τη (), γι =, έχουµε G( ) = F( ) + c = f ( t) dt + c = c, οπότε c = G( ) Εποµέως, G( ) = F( ) + G( ), οπότε, γι =, έχουµε G( ) = F( ) + G( ) = f ( t) dt + G( ) κι άρ f ( t) dt = G( ) G( ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Μέθοδοι ολοκλήρωσης 3 Κτά πράγοτες f ( ) g ( ) d = [ f ( ) g( )] f ( ) g( ) d, όπου f, g είι συεχείς συρτήσεις στο [, ] Αλλγή µετλητής ( ή Ατικτάστση) u f ( g( )) g ( ) d = f ( u) du, όπου f, g είι u συεχείς συρτήσεις, u = g( ), du = g ( ) d κι u = g( ), u = g( ) ΕΜΒΑ ΟΝ ΕΠΙΠΕ ΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Στο ορισµό του ορισµέου ολοκληρώµτος είδµε ότι, µι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστηµ [, ] κι f ( ) γι κάθε [, ], τότε το εµδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι το άξο είι: E( ) f ( ) d Ω = Έστω, τώρ, δυο συρτήσεις f κι g, συεχείς στο διάστηµ [, ] µε f ( ) g( ) γι κάθε [, ] κι Ω το χωρίο που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες = κι = =f() =f() O =f() Ω Ω =g() Ω =g() Ω O () Πρτηρούµε ότι O () Ε( Ω ) = Ε( Ω ) Ε( Ω ) = f ( ) d g( ) d = ( f ( ) g( )) d O (γ) Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 Εποµέως, E( Ω ) = ( f ( ) g( )) d () Ο τύπος () ρέθηκε µε τη προϋπόθεση ότι: (i) f ( ) g( ) γι κάθε [, ] κι (ii) οι f, g είι µη ρητικές στο [, ] Θ ποδείξουµε, τώρ, ότι ο τύπος () ισχύει κι χωρίς τη υπόθεση (ii) Πράγµτι, επειδή οι συρτήσεις f, g είι συεχείς στο [, ], θ υπάρχει ριθµός c R τέτοιος ώστε f ( ) + c g( ) + c, γι κάθε [, ] Είι φερό ότι το χωρίο Ω (Σχ ) έχει το ίδιο εµδό µε το χωρίο Ω (Σχ ) =f() Ω =f()+c Ω =g()+c O () =g() Εποµέως, σύµφω µε το τύπο (), έχουµε: Ε( Ω ) = Ε( Ω ) = [( f ( ) + c) ( g( ) + c)] d = ( f ( ) g( )) d Άρ, E( Ω ) = ( f ( ) g( )) d Με τη οήθει του προηγούµεου τύπου µπορούµε υπολογίσουµε το εµδό του χωρίου Ω που περικλείετι πό το άξο, τη γρφική πράστση µις συάρτησης g, µε g( ) γι κάθε [, ] κι τις ευθείες = κι = Πράγµτι, επειδή ο άξος είι η γρφική πράστση της συάρτησης f ( ) =, έχουµε E( Ω ) = ( f ( ) g( )) d = [ g( )] d g( ) d = Εποµέως, γι µι συάρτηση g ισχύει g( ) γι κάθε [, ], τότε E( Ω ) = g( ) d O () O Ω =g() Ότ η διφορά f ( ) g( ) δε διτηρεί στθερό πρόσηµο στο [, ], τότε το εµδό Ω =g() =f() Ω 3 Ω Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός O γ δ

Μθηµτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου 3 του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις τω f, g κι τις ευθείες = κι = είι ίσο µε το άθροισµ τω εµδώ τω χωρίω Ω, Ω κι Ω 3 ηλδή, Ε( Ω ) = Ε( Ω ) + Ε( Ω ) +Ε( Ω 3) γ δ = ( f ( ) g( )) d + ( g( ) f ( )) d + ( f ( ) g( )) d γ γ δ = f ( ) g( ) d + f ( ) g( ) d + f ( ) g( ) d γ δ = f ( ) g( ) d Εποµέως, E( Ω ) = f ( ) g( ) d δ Κρφέρης Γεώργιος ΠΕ3 Μθηµτικός