Shefferjeva polinomska zaporedja

Shefferjeva polinomska zaporedja Marko Razpet Matematični kolokviji Ljubljana, 23. marca 2006 Page 1 of 63

Predstavljen bo osnovni koncept umbralnega računa, kakršnega sta razvila Gian-Carlo Rota in Steven Roman. Njun umbralni račun je sistematičen študij Shefferjevih polinomskih zaporedij, ki ustrezajo parom danih formalnih potenčnih vrst, pri čemer je uporabljena preprosta tehnika moderne algebre. Pokazano bo, kako poiščemo konstante, ki povezujejo dve Shefferjevi polinomski zaporedji, in podanih bo nekaj znanih in preprostih primerov, v katerih nastopajo Stirlingova in Lahova števila. Kot zgled za uporabo umbralnega računa bo predstavljen primer preštevanja mrežnih poti. Page 2 of 63 Gian-Carlo Rota (1932 1999)

Rojeni 23. marca J. Vega (1754 1802) P. S. Laplace (1749 1827) E. A. Noether (1882 1935) H. Whitney (1907 1989) Umrli 23. marca I. Lah (1896 1979) T. A. Skolem (1887 1963) Page 3 of 63

F polje s karakteristiko 0; F[x] polinomi spremenljivke x s koeficienti v F p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0 F[x] a 0, a 1,..., a n 1, a n F; a n 0 : n = deg p(x) F[[t]] formalne potenčne vrste spremenljivke t s koeficienti v F f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 +... = a k t k F[[t]] Page 4 of 63 Red vrste f(t) 0 je najmanjši indeks k, za katerega je a k 0. Za red ničelne vrste vzamemo.

Običajne operacije s polinomi in vrstami. Pomemben je produkt: f(t) = a 0 + a 1 t + a 2 t 2 +... = a k t k F[[t]] g(t) = b 0 + b 1 t + b 2 t 2 +... = b k t k F[[t]] f(t)g(t) = a 0 b 0 + (a 0 b 1 + a 1 b 0 )t +... = c n t n F[[t]] n=0 c n = a 0 b n + a 1 b n 1 +... + a n 1 b 1 + a n b 0 = a k b n k Vrsta f(t) reda 0 je obrnljiva v algebrskem smislu. Njen inverz označimo z 1/f(t) = f(t) 1. Velja: f(t)f(t) 1 = 1. Page 5 of 63

Če ima vrsta f(t) red več od 1, je f(t) lahko argument druge vrste g(t): h(t) = g(f(t)) Vrsta f(t) reda 1 je obrnljiva v kompozicijskem smislu. Njen kompozicijski inverz označimo z f(t) in je tudi reda 1. Velja torej: f( f(t)) = f(f(t)) = t Vrstam reda 1 pravimo tudi vrste tipa delta. Redi potenc f(t) k take vrste z rastočim k naraščajo. Ugodno je zapisati vrsto f(t) F[[t]] v eksponencialni obliki: Page 6 of 63 f(t) = a k tk

Za dani vrsti je produkt: f(t) = c n = a k tk, g(t) = b k tk c n f(t)g(t) = n! tn n=0 ( ) n a k b n k, n = 0, 1, 2,... k Page 7 of 63

Vsako vrsto f(t) F[[t]] lahko obravnavamo kot linearni funkcional na F[x]: f(t) x n = a n, n = 0, 1, 2,... Obratno, za vsak linearni funkcional L na F[x] obstaja natanko določena vrsta f(t) F[[t]], tako da je za vsak p(x) F[x]: L p(x) = f(t) p(x) f(t) = L x k t k Page 8 of 63

f(t)g(t) x n = ( ) n f(t) x k g(t) x n k, n = 0, 1, 2,... k S tem postane F[[t]] algebra umbralna algebra. Razvoja vrste in polinoma: h(t) F[[t]] = h(t) = h(t) x k t k Page 9 of 63 Zadnja vrsta je končna. p(x) F[x] = p(x) = t k p(x) x k

Če je red vrste f k (t) F[[t]] enak k in velja f k (t) p(x) = f k (t) q(x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta p(x), q(x) F[x], potem je p(x) = q(x). Če je stopnja polinoma p k (x) F[x] enaka k in velja f(t) p k (x) = g(t) p k (x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta f(t), g(t) F[[t]], potem je f(t) = g(t). Page 10 of 63

Formalni odvod poljubne vrste f(t) = je vrsta Velja: f (t) = k=1 a k ktk 1 = a k tk F[[t]] a k+1 f(t) xp(x) = f (t) p(x) t k F[[t]] za vsak p(x) F[x]. Za vsak a F in za vsak p(x) F[x] pa še f(t) p(ax) = f(at) p(x) Page 11 of 63

Če je f(t) tipa delta, torej reda 1, ustreznemu funkcionalu pravimo funkcional tipa delta. f(t) je tipa delta f(t) 1 = 0 in f(t) x 0 Page 12 of 63 Steven Roman

Primeri funkcionalov Za eksponentno vrsto je za vsak p(x) F[x]: t k x n = n!δ n,k, k, n = 0, 1, 2,... t k p(x) = p (k) (0), k = 0, 1, 2,... exp(yt) = y k tk, y F exp(yt) p(x) = p(y) Page 13 of 63

exp(yt) 1 p(x) = p(y) p(0) t exp(yt) p(x) = p (y) (1 t) 1 p(x) = 0 p(u) exp( u) du Page 14 of 63 (exp(yt) 1)/t p(x) = y 0 p(u) du

Vsako vrsto f(t) F[[t]] imamo lahko za linearni operator na F[x]. Označimo: x k = x(x 1)(x 2)... (x k+1), x k = x(x+1)(x+2)... (x+k 1) za naraven k 1 in posebej za k = 0: x 0 = 1, x 0 = 1 V primeru delovanja potence t k na potenco x n, kjer je n = 0, 1, 2,..., definiramo: t k x n = n k x n k Page 15 of 63

Delovanje razširimo linearno na poljubno vrsto a k f(t) = tk F[[t]] Ker je imamo: f(t)x n = ( ) n = nk k ( ) n a k x n k k Operator f(t) polinomom ne poveča stopnje. Zato ni vsak linearni operator na F[x] predstavljiv z neko vrsto f(t) F[[t]], na primer operator množenja z x. Page 16 of 63

Če je vrsta f(t) F[[t]] tipa delta, pravimo, da je tudi kot operator tipa delta. Linearni operator A na F [x] je predstavljiv z vrsto f(t) F[[t]] natanko tedaj, ko A komutira s kakim operatorjem tipa delta. Na splošno velja: [f(t)g(t)]p(x) = f(t)[g(t)p(x)] = f(t)g(t)p(x) = g(t)f(t)p(x) Če red vrste f(t) presega stopnjo polinoma p(x), je f(t)p(x) = 0. Page 17 of 63

Analogno kot za funkcionale na F[x] velja tudi: Če je red vrste f k (t) F[[t]] enak k in velja f k (t)p(x) = f k (t)q(x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta p(x), q(x) F[x], potem je p(x) = q(x). Če je stopnja polinoma p k (x) F[x] enaka k in velja f(t)p k (x) = g(t)p k (x) za k = 0, 1, 2,..., kjer sta f(t), g(t) F[[t]], potem je f(t) = g(t). Page 18 of 63

Če se srečata vrsti f(t) in g(t) v vlogi operatorja in funkcionala, velja: f(t)g(t) p(x) = g(t) f(t)p(x) = f(t) g(t)p(x) Page 19 of 63 Umbra (lat.) senca

Primeri operatorjev Za eksponentno vrsto je za vsak p(x) F[x]: t k x n = n k x n k, k, n = 0, 1, 2,... t k p(x) = p (k) (x), k = 0, 1, 2,... exp(yt) = y k tk, y F exp(yt)p(x) = p(x + y) Page 20 of 63

(exp(yt) 1)p(x) = p(x + y) p(x) t exp(yt)p(x) = p (x + y) (1 t) 1 p(x) = 0 p(x + u) exp( u) du Page 21 of 63 [(exp(yt) 1)/t]p(x) = x+y x p(u) du

Shefferjevo polinomsko zaporedje (s n (x)) n=0, kjer je s n (x) F[x] in deg p n (x) = n za n = 0, 1, 2,... pripada urejenemu paru formalnih potenčnih vrst (g(t), f(t)), pri čemer je g(t) F[[t]] reda 0 in f(t) F[[t]] reda 1 (vrsta tipa delta). Pri tem velja: g(t)f(t) k s n (x) = n!δ n,k za vse n, k = 0, 1, 2,... Shefferjevo polinomsko zaporedje (p n (x)) n=0 para (1, f(t)) je pridruženo vrsti tipa delta f(t). Pri danem paru (g(t), f(t)) velja povezava g(t)s n (x) = p n (x) za n = 0, 1, 2,... Page 22 of 63

Razvoja vrste in polinoma: h(t) F[[t]] = h(t) = h(t) s k (x) g(t)f(t) k p(x) F[x] = p(x) = Zadnja vrsta je končna. g(t)f(t) k p(x) s k (x) Page 23 of 63

Zamenjajmo x k s k (x), h(t) = h(t) x k Dobimo prejšnja razvoja t k g(t)f(t) k v razvojih t k, p(x) = t k p(x) x k h(t) = p(x) = h(t) s k (x) g(t)f(t) k p(x) g(t)f(t) k s k (x) Page 24 of 63

Med drugim velja za vsak y F razvoj: exp(yt) s k (x) exp(yt) = g(t)f(t) k Iz tega dobimo exp(yt) = s k (y) g(t)f(t) k in nazadnje rodovni funkciji Shefferjevih in pridruženih polinomov: [g( f(t))] 1 exp(y f(t)) s k (y) = t k exp(y f(t)) = p k (y) t k Page 25 of 63

Razvoja sta potreben in zadosten pogoj za to, da je polinomsko zaporedje (s n (x)) n=0 Shefferjevo za par (g(t), f(t)) oziroma da je polinomsko zaporedje (p n (x)) n=0 pridruženo vrsti f(t) tipa delta. Ker velja enakost g(t)f(t) k f(t)s n (x) = g(t)f(t) k+1 ns n 1 (x) za vse nenegativne k in n, imamo: f(t)s n (x) = ns n 1 (x), f(t)p n (x) = np n 1 (x) To sta analogiji za odvod: tx n = nx n 1. Splošno: f(t) k s n (x) = n k s n k (x), f(t) k p n (x) = n k p n k (x) Page 26 of 63

Delovanje operatorja na polinom s n (x): h(t) = h(t)s n (x) = = h(t) s k (x) h(t) s k (x) g(t)f(t) k g(t)f(t) k s n (x) = h(t) s k (x) n k g(t)s n k (x) = ( ) n = h(t) s n k (x) p k (x) k Page 27 of 63

Imamo: h(t)s n (x) = h(t)p n (x) = ( ) n h(t) s n k (x) p k (x) k ( ) n h(t) p n k (x) p k (x) k V posebnem primeru dobimo za vsak y F: exp(yt)s n (x) = exp(yt)p n (x) = ( ) n exp(yt) s n k (x) p k (x) k ( ) n exp(yt) p n k (x) p k (x) k Page 28 of 63

Imamo Shefferjevo identiteto s n (x + y) = ( ) n s n k (y)p k (x) k in binomsko formulo pridruženih polinomov: ( ) n p n (x + y) = p n k (y)p k (x) k Pogoja p n (0) = 1 p n (x) = δ n,0 in f(t)p n (x) = np n 1 (x) Page 29 of 63 sta potrebna in zadostna za to, da je polinomsko zaporedje (p n (x)) n=0 pridruženo vrsti f(t) tipa delta.

Z uporabo funkcionala [g( f(t))] 1 exp(y f(t)) na potenco x n dobimo: s n (y) = [g( f(t))] 1 exp(y f(t) x n = 1 = [g( 1 f(t))] f(t) k x n y k Tako imamo eksplicitno za Shefferjeve in pridružene polinome: 1 s n (x) = [g( 1 f(t))] f(t) k x n x k, n = 0, 1, 2,... p n (x) = 1 f(t) k x n x k, n = 0, 1, 2,... Page 30 of 63

V posebnem primeru h(t) = t dobimo iz splošne formule ( ) n h(t)s n (x) = h(t) s n k (x) p k (x) k rekurzijo za odvod Shefferjevega in pridruženega polinoma: n 1 ( ) n s n(x) = t s n k (x) p k (x) k p n(x) = n 1 ( ) n t p n k (x) p k (x) k Page 31 of 63

Z delovanjem operatorja g(t) 1 na obeh straneh enačaja prejšnje formule dobimo: n 1 ( ) n s n(x) = t p n k (x) s k (x) k Iz splošnega razvoja polinomov g(t)f(t) k p(x) p(x) = s k (x) dobimo v posebnem primeru: xs n (x) = n+1 g(t)f(t) k xs n (x) s k (x) Page 32 of 63

Upoštevamo enakost h(t) xp(x) = h (t) p(x) : xs n (x) = xs n (x) = n+1 Končna rekurzija: n+1 [g(t)f(t) k ] s n (x) s k (x) [g (t)f(t) k + kg(t)f(t) k 1 f (t)] s n (x) xs n (x) = + ( ) n k 1 n+1 [( ) n g (t) s n k (x) + k ] g(t)f (t) s n k+1 (x) s k (x) s k (x) Page 33 of 63

Za pridružene polinome dobimo v posebnem primeru rekurzijo: Dvojnost: xp n (x) = n+1 s n(x) = s n(x) = ( ) n f (t) p n k+1 (x) p k (x) k 1 n 1 n 1 ( ) n t s n k (x) p k (x) k ( ) n t p n k (x) s k (x) k Page 34 of 63

Primeri exp(yt) = f(t) = f(t) = i(t) = t y k tk = p n (x) = x n Binomska formula za pridružene polinome ( ) n p n (x + y) = p n k (x)p k (y) k preide v znano, klasično: (x + y) n = ( ) n x n k y k k Page 35 of 63

f(t) = exp(t) 1, f(t) = log(1 + t), exp(y log(1 + t)) = (1 + t) y y k exp(y log(1 + t)) = tk = p n (x) = x n Binomska formula za pridružene polinome ( ) n p n (x + y) = p n k (x)p k (y) k preide v: (x + y) n = ( ) n x n k y k k Page 36 of 63

f(t) = 1 exp( t), f(t) = log(1 t) exp( y log(1 t)) = (1 t) y y k exp( y log(1 t)) = tk = p n (x) = x n Binomska formula za pridružene polinome preide v: (x + y) n = ( ) n x n k y k k Uporabili smo spodnje in zgornje faktorialne polinome: x n = x(x 1)... (x n + 1) x n = x(x + 1)... (x + n 1) Page 37 of 63

x n = ( 1) n ( x) n, x 0 = x 0 = 1 x n = ( 1) n ( x) n (exp(t) 1)x n = (x + 1) n x n = nx n 1 (1 exp( t))x n = x n (x 1) n = nx n 1 Page 38 of 63

Laguerrovi polinomi L n (α) (x) so Shefferjevi polinomi za par (g(t), f(t)), kjer je g(t) = (1 t) α 1, f(t) = f(t) = t(t 1) 1 Parameter α F je red zaporedja Laguerrovih polinomov. Rodovna funkcija: (1 t) α 1 exp(yt(t 1) 1 ) = L (α) n (y) t k Page 39 of 63 Za α = 1 dobimo pridružene polinome L n (x) = L ( 1) n (x) za vrsto f(t) = t(t 1) 1 in rodovno funkcijo: exp(yt(t 1) 1 ) = L k (y) t k

V operatorskem smislu velja g(t)s n (x) = p n (x), torej v tem primeru: Sheffereva identiteta: Binomska formula: L (α) n (x) = (1 t) α+1 L n (x) L (α) n (x + y) = L n (x + y) = ( ) n L (α) n k k (x)l k(y) ( ) n L n k (x)l k (y) k Page 40 of 63

Z eksplicitno formulo za pridružene polinome dobimo: Razvijmo: p n (x) = L n (x) = 1 f(t) k x n x k 1 t k (t 1) k x n x k (t 1) k = ( 1) k (1 t) k = ( 1) k ( 1) j ( k)j j! j=0 t j Page 41 of 63

Posebej je t k (t 1) k x n = (t 1) k t k x n = n k (t 1) k x n k t k (t 1) k x n = ( 1) k n k ( 1) n k ( k) n k = ( 1) k n k k n k Tako imamo: L n (x) = n k k n k ( x) k Nazadnje predelamo L n (x) v obliko: ( ) n! n 1 L n (x) = ( x) k = k 1 L(n, k)( x) k Page 42 of 63

Števila L(n, k) = n! ( ) n 1 k 1 so Lahova števila, objavljena leta 1955 (I. Lah, Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der mathematischen Statistik, Mitteilungsbl. Math. Statist., vol. 7 (1955), pp. 203 212). 0 1 2 3 4 5 n 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 2 6 24 120 2 0 0 1 6 36 240 3 0 0 0 1 12 120 4 0 0 0 0 1 20 5 0 0 0 0 0 1 k Ivo Lah (1896 1979) Page 43 of 63

Za vrsto f(t) F[[t]] tipa delta definiramo umbralni operator Λ f na F[x] s predpisom: Λ f x n = p n (x), n = 0, 1, 2,... Polinomi p n (x) so pri tem pridruženi vrsti f(t). Če imamo še vrsto l(t) tipa delta, definiramo umbralni operator Λ l s predpisom: Λ l x n = q n (x), n = 0, 1, 2,... Polinomi q n (x) so pri tem pridruženi vrsti l(t). Page 44 of 63

Umbralni račun pove, da velja naslednje pravilo kompozituma: Λ f Λ l = Λ l f Vrsti (l f)(t) = l(f(t)) pa je pridruženo polinomsko zaporedje (q n ( p (x))) n=0. Očitno je Λ i = I, identični operator na F[x]. Posledica: Λ 1 f = Λ f Page 45 of 63

Pri tem je polinom q n ( p (x)) umbralni kompozitum polinoma q n (x) s polinomi p n (x) v naslednjem smislu: če je q n (x) = α n,k x k potem je q n ( p (x)) = α n,k p k (x) Page 46 of 63

Velja namreč: Λ l x n = q n (x) = α n,k x k Torej: (Λ f Λ l )x n = Λ f q n (x) = α n,k Λ f x k = (Λ f Λ l )x n = Λ l f x n = q n ( p (x)) α n,k p k (x) Polinomi q n ( p (x)) so pridruženi kompozitumi (l f)(t). Page 47 of 63

Laguerrovi polinomi L n (x) so pridruženi vrsti f(t) = t(t 1) 1, ki je sama sebi inverz: (f f)(t) = i(t) = t. Vrsti i(t) = t pa so pridružene navadne potence x n. Zato velja: L n ( L (x)) = x n Imejmo vrsti f(t) in l(t) tipa delta. Prvi naj bodo pridruženi polinomi p n (x), drugi pa polinomi q n (x). Problem povezovalnih konstant sprašuje po takih konstantah c n,k F, za katere za vse nenegativne n velja enakost: p n (x) = c n,k q k (x) Page 48 of 63

Z umbralnimi operatorji lahko zapišemo: Λ f x n = c n,k Λ l x k Λ f l x n = Λ lλ f x n = c n,k x k = t n (x) Torej so polinomi t n (x) pridruženi vrsti F (t) = f( l(t)). Znano pa je, da so polinomi, ki so pridruženi vrsti F (t) oblike: t n (x) = 1 F (t) k x n x k Page 49 of 63

Tako imamo končno: c n,k = 1 F (t) k x n = 1 (l( f(t))) k x n Podobno rešujemo problem povezovalnih konstant za Shefferjeve polinome. Če so polinomi s n (x) Shefferjevi za par (g(t), f(t)) in r n (x) Shefferjevi za par (h(t), l(t)), potem so povezovalne konstante c n,k v enakosti s n (x) = c n,k r k (x) oblike: c n,k = 1 [h( f(t))][g( f(t))] 1 (l( f(t))) k x n Page 50 of 63

Ideja je v vpeljavi Shefferjevih operatorjev Λ g, f, ki so definirani s predpisom: Λ g, f x n = s n (x) kjer so polinomi s n (x) Shefferjevi za par (g(t), f(t)). Sestavljajo se po pravilu Λ g, f Λ h, l = Λ g(h f), l f Za inverzni operator pa dobimo Λ 1 g, f = Λ (g( f)) 1, f Page 51 of 63

Primeri Polinomi p n (x) = x n so pridruženi vrsti f(t) = exp(t) 1, za katero je f(t) = log(1 + t), polinomi q n (x) = x n pa vrsti l(t) = t. Povezovalne konstante c n,k povezujejo takole: x n = c n,k x k Page 52 of 63

Po splošni formuli je potem: c n,k = 1 [log(1 + t)] k x n = s(n, k) To so Stirlingova števila prve vrste. Polinomi p n (x) = x n so pridruženi vrsti f(t) = t, polinomi q n (x) = x n pa vrsti l(t) = exp(t) 1. Povezovalne konstante c n,k povezujejo takole: x n = c n,k x k Page 53 of 63

Po splošni formuli je potem: c n,k = 1 [exp(t) 1] k x n = S(n, k) To so Stirlingova števila druge vrste. Polinomi p n (x) = x n so pridruženi vrsti f(t) = 1 exp( t), za katero je f(t) = log(1 t), polinomi q n (x) = x n pa vrsti l(t) = exp(t) 1. Povezovalne konstante c n,k povezujejo takole: x n = c n,k x k Page 54 of 63

V tem primeru je F (t) = l( f(t)) = t(1 t) 1 = t(t 1) 1 in po splošni formuli je c n,k = ( 1)k [t k (t 1) k x n Spomnimo se Laguerrovih polinomov 1 L n (x) = t k (t 1) k x n x k v katerih je 1 t k (t 1) k x n = ( 1) k L(n, k) Torej so povezovalne konstante Lahova števila: c n,k = L(n, k) Page 55 of 63

Lahova števila povezujejo polinome x n in x n : x n = L(n, k)x k oziroma po zamenjavi x x in s formulama tudi ( x) n = ( 1) n x n, ( x) n = ( 1) n x n x n = ( 1) n k L(n, k)x k Page 56 of 63

Primer uporabe pri preštevanju mrežnih poti j 3 2. 1 0 0 1 2 3 4 Dovoljeni koraki: (1, 0), (0, 1), (1, 1). Naj r(i, j) označuje število mrežnih poti od točke (0, 0) do točke (i, j), pri tem pa vse poti potekajo po področju i 0, j 0. Veljajo rekurzija r(i, j) = r(i 1, j) + r(i, j 1) + r(i 1, j + 1) in pogoja r(0, j) = 1, r(i, 1) = δ i,0. i Page 57 of 63

Vzamemo pridružene polinome p n (x) vrste f(t), kjer je Pri tem je p 0 (x) = 1 in f(t) = t(1 + t) 1 (2 + t) 1 f(t)p n (x) = t(1 + t) 1 (2 + t) 1 p n (x) = np n 1 (x) Nato definiramo za i 0 števila: r(i, j) = 1 i! (1 + t)j+1 p i (x) Page 58 of 63

Najprej je za vsak j in r(0, j) = (1 + t) j+1 1 = 1 + (j + 1)t +... 1 = 1 Nazadnje imamo za i, j 1: r(i, 1) = 1 i! 1 p i(x) = δ i,0 u(i, j) = r(i, j) r(i 1, j) r(i, j 1) r(i 1, j + 1) = = 1 i! (1 + t)j+1 p i (x) 1 (i 1)! (1 + t)j+1 p i 1 (x) 1 i! (1 + t)j p i (x) 1 (i 1)! (1 + t)j+2 p i 1 (x) Page 59 of 63

Združimo prvi in tretji ter drugi in četrti člen: u(i, j) = = 1 i! t(1 + t)j p i (x) 1 (i 1)! (2 + t)(1 + t)j+1 p i 1 (x) Sedaj prvi člen zapišemo v obliki: 1 i! t(1 + t)j p i (x) = 1 i! (2 + t)(1 + t)j+1 t(1 + t) 1 (2 + t) 1 p i (x) oziroma 1 i! t(1 + t)j p i (x) = 1 (i 1)! (2 + t)(1 + t)j+1 p i 1 (x) Page 60 of 63

Torej je u(i, j) = 0 in števila r(i, j) zadoščajo vsem pogojem. Nazadnje dobimo s tako imenovano transferno formulo p n (x) = x(t/f(t)) n x n 1 ki velja za n 1 in izraža eksplicitno vrsti f(t) pridružene polinome p n (x), tudi naša števila r(i, j) = j + 1 i 1 ( )( ) i + j i 2 k+1 i! k k + 1 za i 1. Page 61 of 63

S transferno formulo dobimo Laguerrove polinome L n (x) = x(t 1) n x n 1 = x ( 1) knk tn k x n 1 = = ( 1) knk (n 1)n k x k = = n! ( ) n 1 ( x) k = k 1 n!(n 1)! (k 1)!(n k)! ( x)k = L(n, k)( x) k Page 62 of 63

Literatura 1. I. Niven: Formal power series, Amer. Math. Monthly 76 (1969), pp. 871 889. 2. S. Roman: The Umbral Calculus, Academic Press, Orlando et al. 1984. Page 63 of 63