LUCRAREA 5 STRUCTURI DE FILTRE NUMERICE. EFECTELE FORMATELOR FINITE DE REPREZENTARE A NUMERELOR 5.. Structuri pentru filtre cu răspuns infinit la impuls. Fie funcţia de transfer ( ) H M b = = N = + a = ( ) ( ) B A (5.) În domeniul timp, filtrul poate fi caracteriat prin ecuaţia cu diferenţe finite: M N yn= [ ] bxn [ ] ayn [ ] (5.) = = Această ecuaţie permite calculul unui eşantion al ieşirii pe baa a M eşantioane ale intrării şi a N eşantioane anterioare ale ieşirii. Modul în care este calculată ieşirea (întâi partea nerecursivă şi apoi partea recursivă etc.) poate fi repreentat grafic sub forma unei structuri cu unităţi de înmulţire, adunare şi elemente de întâriere. 99
5... Forma directă Pornind de la ecuaţia cu diferenţe finite (5.) operaţiile prin care se calculeaă ieşirea filtrului pot fi repreentate în structuri de tipul forma directă sau forma directă ca în figurile 5. şi 5. prin simpla identificare a coeficienţilor a şi b. x[ n] b wn [ ] yn [ ] x[ n ] b a yn [ ] x[ n ] b a yn [ ] x[ n M] b M a N yn [ N] Figura 5.. Forma directă x[ n] b yn [ ] a b a b a N b N Figura 5. Forma directă
5... Forma cascadă ( ) Funcţia de transfer poate fi factoriată sub forma: b ( )( ) b + b + b H = = H ( ) P * P P,,,, = * (5.3) = ( p )( p ) = + a, + a, = unde sunt erourile iar p sunt polii funcţiei de transfer grupaţi în perechi complex conjugate pentru obţinerea funcţiilor de transfer de ordin cu coeficienţi reali H ( ). Dacă funcţia de transfer are erouri sau poli reali atunci se poate face o descompunere şi cu polinoame de ordin. Reultă o realiare în cascadă, repreentată în figura 5.3. x[ n] y H ( ) [ n] y H ( ) [ n ] yp[ n] = y[ n] H P () Figura 5.3. Realiarea în cascadă Fiecare din filtrele componente, având o funcţie de transfer de ordinul, poate fi realiată în una din formele directe sau. Funcţiile MATLAB psos, şi tfsos permit determinarea funcţiilor de transfer de ordin (Second Order Sections) pentru descompunerea în forma cascadă. Sintaxe: [SOS,G]=tfsos(B,A) obţine o matrice SOS care conţine coeficienţii secţiunilor de ordin pentru factoriarea funcţiei de transfer H ( ). B repreintă vectorul coeficienţilor numărătorului B( ) iar A repreintă vectorul coeficienţilor numitorului A( ). SOS este o matrice de forma SOS = [ b b b a a b b b a a... bl bl bl al al ] unde fiecare linie din matrice conţine coeficienţii unei structuri de ordin. b, + b, + b, H ( ) = + a + a,,
G este un scalar care repreintă câştigul global al sistemului. Dacă G nu este specificat acesta este inclus în prima secţiune. [SOS,G]=psos(Z,P,K) obţine o matrice SOS care conţine coeficienţii secţiunilor de ordin pentru factoriarea funcţiei de transfer H ( ). Z repreintă vectorul erourilor, P repreintă vectorul polilor, iar K repreintă câştigul descompunerii polierouri. Polii şi erourile trebuie să fie daţi în perechi complex conjugate. G este un scalar care repreintă câştigul global al sistemului. Dacă G nu este specificat acesta este inclus în prima secţiune. 5..3. Forma paralel În acest ca se porneşte de la descompunerea în fracţii simple a funcţiei H ( ). Presupunând coeficienţii funcţiei de transfer a, b R, fracţiile simple (cu numitor de gradul ) au în general coeficienţi complecşi. Grupând însă fracţiile corespunătoare perechilor de poli complex conjugaţi, reultă funcţiile H p( ) de gradul, cu coeficienţi reali, a, p, b, p R. Funcţia de transfer poate fi scrisă sub forma: P b + b P H C C H p + a + a (5.4), p, p ( ) = + = + ( ) p=, p, p p= Se obţine schema din figura 5.4. H( ) y[ n] x[ n] H ( ) y[ n] () H p yp[ n] C yn [ ] Figura 5.4. Realiarea în paralel
Funcţia MATLAB residue realieaă descompunerea în fracţii simple B( ) a funcţiei de transfer H( ) =. Ea poate fi aplicată în două sensuri: A( ) [R,P,K]=residue(B,A) B( ) descompune în fracţii simple funcţia H( ) = definită de vectorii A( ) coeficienţilor B şi A astfel: B ( ) r rn = + + + + + A ( ) p pn R şi P sunt vectori coloană care conţin reiduurile şi, respectiv, polii. K este un vector linie pentru termenii liberi (dacă ordinul numărătorului este mai mare decât al numitorului). Dacă p j este un pol multiplu de ordin m, descompunerea în fracţii simple va conţine termeni de forma: rj rj+ rj+ m + + + m p j p p ( j ) ( j ) [B,A]=residue(R,P,K) reface funcţia de transfer H ( ) din descompunerea în fracţii simple. Astfel, pentru obţinerea descompunerii în structura paralel cu coeficienţi reali, se poate aplica următoarea metodă (numai dacă polii sunt ordonaţi în perechi complex conjugate). [r,p,]=residue(b,a) [b,a]=residue(r(:),p(:),[]) [b,a]=residue(r(3:4),p(3:4),[]) etc... 3
5..4. Forma latice Sintea funcţiei de transfer a unui filtru RII: B( ) Y( ) H( ) = A( ) = X( ) (5.5) în forma latice se face completând structura latice recursivă cu o structură în scară (figura 5.5). x[ n] y[ n] y [ n] N N N N cn cn cn c c Figura 5.5. Realiarea în forma latice-scară yn [ ] În figură apar pe lângă nodurile de intrare x[ n ] şi de ieşire yn [ ] încă două noduri y[ n ] şi y[ n ]. Se demonstreaă că funcţiile parţiale de transfer asociate acestor două ieşiri sunt: H ( ) Y( ) X( ) A( ) = = (5.6) N Y ( ) A( ) A( ) H( ) = = = (5.7) X( ) A( ) A( ) Din ecuaţia (5.6) reultă că în caul unei funcţii de transfer numai cu poli structura latice nu are şi structura în scară, iar ieşirea filtrului va fi y[ n ]. În ecuaţia (5.7) s-a notat cu A ( ) polinomul reciproc al numitorului A( ) obţinut din polinomul A( ) prin inversarea ordinii coeficienţilor. N A ( ) = a + a + + a (5.8) N N 4
Evident funcţia H ( ) este o funcţie trece-tot şi aceasta poate fi sintetiată în forma latice fără structura în scară, ieşirea filtrului fiind y[ n ]. Sintea structurii latice pentru o funcţie de transfer RII se face pornind de la coeficienţii a, a,..., a N ai numitorului A( ) şi se obţin coeficienţii de reflexie,..., N după algoritmul recursiv: for j = :: N a N, j end for i= N: -: i = a, i, i for j = :: i- a end end = a = a j a = a i, j i i, i j i, j i Calculul coeficienţilor scară c,..., c N se face, de asemenea, recursiv folosind şi coeficienţii b, b,..., b N ai numărătorului B( ). cn = bn for l = N, N,, end N c b ca = l l i i, i l i=+ l Funcţia MATLAB tflatc calculeaă coeficienţii structurii latice. Sintaxe: [K,C]=tflatc(B,A) returneaă vectorul K ce conţine coeficienţii de reflexie i şi vectorul C ce conţine coeficienţii structurii scară c i pentru un filtru RII cu coeficienţii numărătorului aflaţi în vectorul B şi coeficienţii numitorului aflaţi în vectorul A normaţi la a. 5
K=tflatc(B) returneaă vectorul K ce conţine coeficienţii de reflexie i pentru un filtru RFI cu coeficienţii funcţiei de transfer aflaţi în vectorul B normaţi la b. K=tflatc(,A) returneaă vectorul K ce conţine coeficienţii de reflexie i pentru un filtru RII numai cu poli, cu coeficienţii numitorului aflaţi în vectorul A normaţi la a. Observaţie. Dacă în urma calculelor unul din coeficienţii de reflexie va fi egal cu atunci funcţia tflatc va genera eroare (deoarece termenul i care apare la numitor este ). Invers, se poate obţine funcţia de transfer pornind de la coeficienţii de reflexie şi coeficienţii structurii scară folosind funcţia latctf. Detalii se pot obţine cu help latctf. Exemplu: Fie sistemul RII având funcţia de transfer: B( ) (.5 + )( +.5 )(. +.8 ) H( ) = = 3 4 A ( ) +.5 +. +.5 Sintetiaţi structurile pentru formele cascadă, paralel şi latice. // Polinomul de la numitor este: a=[.5..5]; // Polinomul de la numărător se obţine din erourile funcţiei de transfer. =[-; -.5]; =roots([ -..8]); // Deoarece primul termen liber este.5, polinomul trebuie înmulţit cu.5. b=.5*poly([; ]) b =.5.5 -.5.75.5 // Forma cascadă [SOS,G]=tfsos(b,a) 6
SOS =..5...56.4564. -..8. -.6.955 G =.5 Reultă descompunerea în cascadă: +.5 + +.5 +.456 H( ) = G H ( ) H ( ) =.5. +.8. +.95 // Forma paralel [r,p,]=residue(b,a) r = -.654 -.639 +.74i -.639 -.74i -.58 p = -.9.53 +.938i.53 -.938i -.45 = 3. Se observă că există reiduuri şi poli complecşi. Deoarece dorim o structură cu coeficienţi reali vom grupa perechea de valori complex conjugate într-o funcţie de transfer de ordin cu coeficienţi reali: [b,a]=residue(r(:3),p(:3),[]) b = -.659.378 a =. -.6.955 Reultă descompunerea în paralel: r B( ) r4 H( ) = + + + = p A ( ) p 4.65.6 +.3.58 = + + + 3 +.. +.9 +.4 7
// Coeficienţii formei latice se obţin direct: [,c]=tflatc(b,a) =.36 -.794.667.5 c = -.3898 -.4985 -.333..5 Observaţii: Valorile exacte ale coeficienţilor obţinuţi mai sus au mult mai multe ecimale decât cele afişate în MATLAB în formatul short. În practică, din caua repreentării numerelor pe un număr finit de biţi apar diferenţe (trunchieri) ale valorilor coeficienţilor faţă de cele simulate. În exemplul anterior se poate observa că sistemul este instabil, fie prin faptul că un pol este în modul mai mare ca, fie folosind testul Schür-Cohn pentru coeficienţii de reflexie se observă ca coeficientul 3 e supraunitar. E. Exerciţii: Fie sistemele RII având funcţiile de transfer: 3 4 3.6 +.3 +.4.. H( ) = 3 4.8 + 3.5.75 +.45 3 3 ( + 3 4 )( ). H( ) = 4 6.8 +.66 +.35 3. H( ) = 3 4.7 +.9 +.8 +.4 3.4.7.75 + 4. H( ) = 3.75.7 +.4 j.95 π / 4 j.95 π / 4 j.5 π / 4 j.5 π / 4 (.9 e )(.9 e )(.9 e )(.9 e ) 5. H( ) = jπ /4 jπ /4 jπ /4 jπ /4 (.95 e )(.95 e )(.9 e )(.9 e ) Sintetiaţi şi desenaţi structurile pentru formele directă şi, cascadă, paralel, latice. 8
5.. Efectele repreentării numerelor pe un număr finit de biţi 5... Repreentarea în complement faţă de Pentru repreentarea numerelor cu semn se folosesc formatele: - semn şi modul (bitul cel mai semnificativ repreintă semnul, următorii repreintă modulul); - complement faţă de ; - complement faţă de ; Datorită utiliării foarte largi a repreentării în complement faţă de în schemele de prelucrare numerică, ne vom opri asupra acestei repreentări. În acest format, un număr x se repreintă în binar cu B+ biţi ca mai jos:.... B b b b... b B B i i i= B ( ) i x= b bb... b = b + b, b {,} (5.9) Evident, primul bit b joacă rolul de bit de semn căci pentru b =, x, iar pentru b =, x<. Numărul maxim repreentabil este: x Numărul minim repreentabil: =... = = = (5.) B B i B max ( ) i= x = (...) = (5.) min B deci se pot repreenta numere x [, ] [,). Ele pot fi stocate în registre de B+ biţi. Opusul unui număr este: y = x= ( bbb... b B ) + B (5.) unde supralinierea repreintă negatul logic pentru fiecare bit b al lui x. 9
Exemplu: Repreentarea pe 3+ biţi a numerelor.375,.75,.3. 3 3 3.375 =.375 = 3 8 = /8 + / 8 = + = 3.375 = +.65 = +.65 8 / 8 = + 5/8 = + + = sau.375 = + = + =.3 =.3 8 8 =.4 8 = / 8 = = =.5 unde. înseamnă parte întreagă. Se observă că numărul.3 se poate repreenta pe 3 biţi + bit de semn ca fiind adică.5. Apare deci o eroare de cuantiare datorită limitării numărului de biţi. Se poate limita numărul de biţi prin două metode: prin trunchiere sau prin rotunjire. Pentru evitarea depăşirii formatului de repreentare, numerele în modul supraunitar sunt limitate (saturate) la valorile minimă sau maximă repreentabile. Figura 5.6. a) Cuantiarea prin trunchiere b) Cuantiarea prin rotunjire Se observă că eroarea de cuantiare este mai mică prin rotunjire decât prin trunchiere. Funcţia cuantiorului prin rotunjire cu saturaţie este: Δ x / Δ +.5, x < f( x) = Δ, x (5.3), x < unde Δ este pasul de cuantiare pentru o repreentare în virgulă fixă pe B+ biţi: Δ = B (5.4)
5... Reguli de scalare pentru evitarea depăşirii capacităţii registrelor În caul utiliării aritmeticii cu virgulă fixă, în complement faţă de doi, operaţia de scalare este necesară pentru a nu se depăşi capacitatea registrelor. Aceasta implică două aspecte:. Scalarea funcţiei de transfer H ( ) prin înmulţirea cu o constantă subunitară s, astfel încât semnalul la ieşirea filtrului yn ( ) să fie în modul subunitar, în condiţiile preciate pentru semnalul de intrare x( n ).. Scalarea semnalului are drept scop reducerea probabilităţii depăşirii în nodurile interne ale filtrului. Aceasta se realieaă reducând semnalul prin multiplicarea cu o constantă subunitară. Acest tip de scalare trebuie compensată în final, astfel încât funcţia de transfer a filtrului să nu se schimbe. Există mai multe tipuri de scalare. În lucrarea de faţă se utilieaă numai regulile L şi L.. Scalarea funcţiei de transfer H ( ) În caul regulii L se calculeaă cu relaţia: = h[ ] (5.5) = Dacă, depăşirea este exclusă. Daca >, se poate lua s drept coeficient de scalare şi se va realia de fapt funcţia scalată: H ( ) = s H( ) (5.6) s În caul regulii L pentru scalarea funcţiei de transfer se impune: j ( e ω ) max H (5.7) ω s Aceasta înseamnă ca filtrul nu trebuie să amplifice la nici o frecvenţă. Ca urmare se calculeaă j = max H e ω (5.8) ω ( )
Dacă, nu este necesară scalarea funcţiei de transfer. Dacă >, se poate lua s.. Scalarea semnalului Pentru fiecare din nodurile care trebuie analiate m [, M] coeficienţii m în caul regulii L cu relaţia:, se determină h n = (5.9) [ ] m in, m n= sau în caul regulii L cu relaţia: in, m j ( ) = max H e ω (5.) m dacă m în nodul respectiv nu poate apare depăşirea. dacă m > se noteaă cu sm =. m În final se ia drept coeficient de scalare ω { } s = s s s (5.) min,,... m În relaţiile (5.9) şi (5.) s-a notat cu Hin, m( ) funcţia de transfer de la nodul de intrare la nodul notat cu m în interiorul schemei. Hin, m( ) se poate determina cu regula lui Mason: H, ( ) = in m i PΔ Δ i i (5.) unde: (5.3) Δ= + + Li LL i j LL i jl i i, j i, j, Reamintim că în această expresie, L i repreintă transmitanţa buclei i a grafului, prima sumă se referă la toate buclele grafului, a doua la perechile de bucle neadiacente, a treia la grupurile de câte trei bucle neadiacente şi aşa mai
departe. P i repreintă transmitanţa căii i de la nodul sursă la nodul m, suma de la numărător fiind efectuată pentru toate aceste căi. În fine, Δ i se obţine din Δ eliminând termenii ce corespund unor bucle adiacente căii i. x[ n] s [4] b [5] s yn [ ] [3] [] a b [6] [8] [] a b [7] Figura 5.7. Scalarea funcţiei de transfer şi a semnalului Să considerăm funcţia de transfer H ( ) realiată în forma directă (figura 5.7): b + b + b H( ) = (5.4) + + a a Presupunem că funcţia de transfer este scalată şi să vedem cum trebuie realiată scalarea semnalului. Din secţiunea din stânga (recursivă) vor trebui analiate şi scalate Hin, m( ) pentru ieşirile sumatoarelor (nodurile 3 şi 4) şi ieşirile multiplicatoarelor numai dacă a, a sunt de modul supraunitar (nodurile şi ). Pentru ona din dreapta (nerecursivă) nu este necesar să se facă o analiă deoarece, pentru adunarea în complement faţă de, dacă H ( ) a fost scalat, reultatul va fi corect şi ieşirea va fi de modul subunitar, chiar dacă apar depăşiri în unele etape intermediare de calcul. Trebuie calculate Hin, m( ) funcţiile de transfer de la intrare la nodul m numai pentru partea recursivă. De exemplu pentru ieşirea primului sumator (vei figura 5.7, nodul 4) funcţia de transfer este: H ( ) = = = A ( ) ( a a ) in,4 Li i=, (5.5) 3
Dacă vom scala semnalul astfel ca ieşirea primului sumator (nodul 4) să fie subunitară atunci nu mai este necesară analia scalării pentru restul sumatoarelor din partea recursivă. Se determină coeficientul de scalare s conform formulei (5.) care se ia de obicei de forma m, spre a nu fi necesare circuite de înmulţire suplimentare. La ieşire, se compenseaă scalarea prin înmulţire cu /s, astfel încât funcţia de transfer să nu se schimbe. Aşa cum s-a preciat, funcţia H ( ) era scalată, deci ieşirea yn [ ] va fi de modul subunitar indiferent de s. Exemplu: Se consideră funcţia de transfer.34,9 +,34 H( ) =,3579 +,6367. Scalarea funcţiei de transfer H ( ) în sensul L În acest scop se creeaă vectorii linie b şi a, care conţin coeficienţii polinoamelor de la numărătorul, respectiv numitorul funcţiei de transfer H ( ). Răspunsul la impuls hn ( ) se determină în MATLAB cu funcţia imp: b=[.34 -.9.34]; a=[ -.3579.6367]; h=imp(b,a); Se calculeaă coeficientul = h( n) cu care trebuie realiată scalarea. n= Dacă > se ia s = / şi H s( ) = sh( ). Scalarea funcţiei de transfer se realieaă prin împărţirea coeficienţilor numărătorului cu. _=sum(abs(h)) if _> bs=b/_ end _ = 3.8 bs =.7 -.3.7 4
. Scalarea funcţiei de transfer H ( ) în sensul L. j Cu funcţia freq se obţine răspunsul în frecvenţă H ( e ω ) echidistante din domeniul ω [, π ). în 5 puncte [H,w]=freq(b,a,5); Se calculeaă coeficientul = max H( e jω ) cu care trebuie realiată scalarea. Dacă > se ia s = / şi H s( ) = sh( ). Scalarea funcţiei de transfer se realieaă prin împărţirea coeficienţilor numărătorului cu. _inf=max(abs(h)) if _inf> bsinf=b/_inf end _inf =.3338 bsinf =.33 -.39.33 3. Scalarea semnalului în nodurile structurii în care pot să apară depăşiri. Analia se face pe funcţia de transfer scalată H s ( ) = sh( ). Considerăm realiarea în forma directă (figura 5.7) la care pentru scalarea semnaului vom analia numai ieşirea primului sumator (nodul 4). Numitorul funcţiei H ( ) in,4 va fi A( ) adică vectorul a. La numărător conform formulei (5.5) vom avea: bin_4= În funcţie de regula de scalare folosită se va calcula coeficientul m şi se va determina coeficientul de scalare s. 5
E. Exerciţii:. Se consideră funcţia de transfer cos( π /8) + H( ) =, ρ =.9 ρcos( π /8) + ρ a) Scalaţi funcţia H ( ) în sensul L cu ajutorul programului MATLAB. b) Considerând că funcţia este sintetiată în forma directă, identificaţi nodurile susceptibile a conduce la depăşiri şi realiaţi scalarea semnalului pentru fiecare nod folosind regula L. Desenaţi structura obţinută. c) Reluaţi punctele a) şi b) pentru regula L. d) Reluaţi, considerând că funcţia este sintetiată în forma directă.. Se consideră funcţia de transfer 3 4,7935,36 +,55769,36 +,7935 H( ) = 3 4,76579 +,53445,844378 +,3864 a) Scalaţi funcţia H ( ) în sensul L cu ajutorul programului MATLAB. b) Descompuneţi funcţia de transfer scalată H s( ) în forma cascadă. Scalaţi în sensul L funcţiile de transfer de ordin obţinute. Desenaţi structura obţinută. c) Considerând funcţiile de transfer de ordin din structura cascadă sintetiate în forma directă, identificaţi nodurile susceptibile a conduce la depăşiri şi realiaţi scalarea semnalului pentru fiecare nod folosind regula L. Desenaţi structura obţinută. d) Reluaţi punctele anterioare folosind regula L. Tema de casă. Sintetiaţi (cu ajutorul Matlab-ului) următoarele structuri pentru filtrul digital RII proiectat la tema anterioară: a) Forma directă I şi II. b) Forma cascadă (cu celule în forma directă II cu coeficienţi reali). c) Forma paralel (cu celule în forma directă II cu coeficienţi reali).. d) Forma latice (standard). Scrieţi programul şi valorile numerice obţinute. Desenaţi structurile obţinute.. Considerând filtrul digital RII proiectat anterior, folosind structura şi regula de scalare din tabel, realiaţi scalarea funcţiei de transfer şi a semnalului astfel ca să eliminaţi posibilitatea apariţiei depăşirilor în orice nod din structură. Se consideră implementarea structurilor de ordin cu forma directă II. Scrieţi programul şi determinaţi factorii de scalare şi coeficienţii celulelor de ordin. Repreentaţi structura scalată. 6