Ανάλυση υναµικής ιεργασιών

Ανάλυση υναµικής ιεργασιών Αντιπροσώπευση µε το Μοντέλο Κατάστασης- Χώρου (State-Space Space Models) υναµική Γραµµικών Συστηµάτων 1ης και 2ης Τάξης Συστήµατα SISO και MIMO Ο Μετασχηµατισµός Laplace για Γραµµικά Συστήµατα Το Πεδίο Συχνοτήτων για Γραµµικά Συστήµατα 1

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Με τον όρο κατάσταση ενός συστήµατος αναφερόµαστε στο παρελθόν, παρόν, και µέλλον ενός συστήµατος.! Μαθηµατικά,, η κατάσταση ενός συστήµατος εκφράζεται µε τις µεταβλητές κατάστασης.! Τα µοντέλα κατάστασης-χώρου (state-space space models) αντιπροσωπεύουν µεταβατικά στο χρόνο συστήµατα που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 1ης τάξης.! Εδώ θεωρούµε γραµµικά συστήµατα µε σταθερούς (χρονικά ανεξάρτητους) συντελεστές. 2

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Θεωρούµε σύστηµα µε δύο εισόδους, u(t) και d(t), µοναδική µεταβλητή κατάστασης, x(t), και µοναδική µεταβλητή εξόδου, y(t).! Η σχέση µεταξύ τους είναι (σε µορφή κατάστασης-χώρου χώρου) ( ) dx t = ax t + b1u 1t + b2u2 t dt yt cxt du t du t () () () () = () + () + () 1 1 2 2 3

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Παρατηρούµε ότι: η συνήθης διαφορική εξίσωση είναι 1ης τάξης η µεταβλητή κατάστασης σχετίζεται µε τις διάφορες εισόδους µέσω αυτής της διαφορικής εξίσωσης η µεταβλητή εξόδου είναι µια αλγεβρική συνάρτηση της µεταβλητής κατάστασης (εδώ είναι γραµµική συνάρτηση) και πιθανόν και των µεταβλητών εισόδου. 4

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Σε ορισµένες περιπτώσεις απαιτείται να περιγραφεί η µεταβλητή εξόδου από διάφορες µεταβλητές κατάστασης µε εξισώσεις 1ης τάξης συµβαίνει όταν το φυσικό σύστηµα παρουσιάζει συµπεριφορά τάξης ανώτερης από την 1η! Στην περίπτωση αυτή το µοντέλο περιγράφεται µε εξισώσεις πινάκων... 5

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Στην περίπτωση αυτή έχουµε για n µεταβλητές κατάστασης και m εισόδους όπου ( t) dx dt = Ax + y c x d u () t bu() t () t T T = () t + () t x1 u1 b11, b1, m c1 d1 a11, $ a1, x= = b= c= d=!, u!,! #!,!,!, A=! #! x u b b c d n m m, 1 $ mm, n m an1 $ a 6 n, n, n

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Παράδειγµα: θερµαινόµενο δοχείο Vρ C dt wc ( T T) p = p i + Q % dt διατυπώνουµε σε µορφή µοντέλου κατάστασης-χώρου... 7

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Έχουµε a dt dt έτσι ώστε w V T w V T 1 = + V C Q i + % ρ ρ ρ w V b w V b 1 = ; = = V C c = d = d 1 ; 2 ; 1; 1 2 = 0 ρ ρ ρ p p 8

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Σχόλια: στην περίπτωση αυτή είναι βολικό να θέσουµε τη µεταβλητή εξόδου, y, ίση µε τη µεταβλητή κατάστασης, x (εδώ και τις δύο ίσες µε τη θερµοκρασία T) σηµειωτέον ότι το σύστηµα αυτό δεν απαιτεί πολλαπλές µεταβλητές κατάστασης για την αντιπροσώπευση της µεταβλητής εξόδου! Το επόµενο παράδειγµα δείχνει πώς ένα σύστηµα ανώτερης τάξης (µετρητής πίεσης) οδηγεί σε µορφή πίνακα για την εξίσωση κατάστασης-χώρου χώρου... 9

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Ο ρυθµός µεταβολής στη θέση z του ελατηρίου σε µετρητή πίεσης µε πτυσσόµενο τύµπανο (φύσα) συσχετίζεται µε την πίεση P που εφαρµόζεται στο διάφραγµα της βαλβίδας µέσω! Σχόλια: 2 τ 2 dz 2 2 dt dz + ξτ + z = dt K P p πρόκειται για συνήθη διαφορική εξίσωση 2ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές 10

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Εισαγωγή των εξής µεταβλητών: dx1 x1 = z, x2 = dt! Τότε η αρχική συνήθης διαφορική εξίσωση µπορεί να επαναδιατυπωθεί σαν δύο: dx K 2 2ξτ 1 p = x x 2 2 2 1 + 2 P dt τ τ τ dx1 = x2 dt 11

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Στην περίπτωση αυτή x = x A b 0 1 0 1 ; = 2ξτ = x 1 ; K p ; 2 2 2 τ τ 2 τ c = 1 d = 0 ; 0 0 12

Μοντέλα Κατάστασης-Χώρου! Παρόµοια, µπορούν να διατυπωθούν µοντέλα κατάστασης-χώρου για συστήµατα µε πολλαπλές εισόδους - πολλαπλές εξόδους (MIMO) και για µη γραµµικά συστήµατα.! Η αντιπροσώπευση συστηµάτων στο πεδίο του χρόνου, συµπεριλαµβανοµένων και των µοντέλων κατάστασης-χώρου χώρου, θεωρείται χρήσιµη για ανάλυση και σχεδιασµό µε Η/Υ (computer- aided analysis and design) ότι µπορεί να δώσει µια πιο πλήρη εικόνα του συστήµατος χρήσιµη στη βασισµένη σε µοντέλα ρύθµιση του συστήµατος. 13

Γραµµικά Συστήµατα 1ης Τάξης! Γενική µορφή (σταθεροί συντελεστές): τ K p Xt () τ dy dt + Y = () K X t : χρονική σταθερά : ενίσχυση (gain) µόνιµης κατάστασης : συνάρτηση φορτίου p 14

Γραµµικά Συστήµατα 1ης Τάξης! Παραδείγµατα (i) Θερµαινόµενο δοχείο: Vρ w dt dt + T = T wc Q i + 1 % p τ ρ = V w K pti, = 1 K = 1, % wc pq p 15

Γραµµικά Συστήµατα 1ης Τάξης! Παραδείγµατα... (ii) Ισοθερµοκρασιακός αντιδραστήρας CSTR w V dca p w + CA = + 2k VC dt w+ 2k VC 0 Ass, 0 Ass, C p A0 τ= w + V K 2k 0 VC Ass, p = w w+ 2k 0 VC, Ass 16

Γραµµικά Συστήµατα 1ης Τάξης! Γενική επίλυση συστήµατος 1ης τάξης µε σταθερούς συντελεστές: () = exp c K X() t Yt t + 1 τ t dt τ c 1 = σταθερά ολοκλήρωσης (εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες) p exp 17

Γραµµικά Συστήµατα 1ης Τάξης! Για τον ισοθερµοκρασιακό αντιδραστήρα CSTR: θεωρούµε βηµατική µεταβολή στη συγκέντρωση εισόδου από σε τότε C A0 C + C A0 A0 C A = C + A t =0 w w CA0 + 2k VC 0 Ass, 1 exp ( + 2 ) w k VC t 0 V Ass, 18

Γραµµικά Συστήµατα 1ης Τάξης! Χρονική µεταβολή της συγκέντρωσης µετά από βηµατική µεταβολή στο C A0 2 1.5 perturbation component C A 1 0.5 0 initial (baseline) value 0 2 4 6 8 10 Time (min) 19

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Τα γραµµικά συστήµατα 2ης τάξης έχουν τη γενική µορφή τ 2 2 dy 2 2 dt dy + ξτ + Y = dt () K X t p ξ : συντελεστής απόσβεσης 20

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Συστήµατα µε εσωτερική δυναµική 2ης τάξης είναι σπάνια στις χηµικές διεργασίες (συνήθως πρόκειται για µετρητές πίεσης και άλλα τέτοια µηχανικά στοιχεία).! 2 συστήµατα 1ης τάξης σε σειρά (ή κάπως αλλιώς συζευγµένα) µπορούν να προκαλέσουν δυναµική απόκριση 2ης τάξης.! Συστήµατα 1ης τάξης µε ρυθµιστές µπορούν να συµπεριφερθούν σαν συστήµατα 2ης τάξης. 21

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Η επίλυση αποτελείται από δύο µερικές λύσεις: λύση της οµογενούς µορφής της συνήθους διαφορικής εξίσωσης (συµπληρωµατική επίλυση) ειδική λύση (εξαρτάται από τη συνάρτηση δύναµης) 22

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Να προσδιοριστεί η συµπληρωµατική λύση θεωρώντας τη χαρακτηριστική εξίσωση του συστήµατος: τ 2 2 s + 2ξτs+ 1= 0! Να προσδιοριστούν οι ρίζες της εξίσωσης... 23

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Έστω s 1 και s 2 οι ρίζες, τότε η συµπληρωµατική λύση δίνεται από ( ) Y t = c e + c e C st 1 2 s t 1 2 όπου ξ s = ± i τ ξ 2 τ 1 24

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Περιπτώσεις: 2 πραγµατικές και διακριτές ρίζες (ξ > 1) 2 πραγµατικές και ίσες ρίζες (ξ = 1) µιγαδικές συζυγείς ρίζες (ξ < 1) 25

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Περίπτωση 1: over-damped system (ξ > 1) καταλήγει σε 2 πραγµατικές, διακριτές ρίζες ( ) Y t = c e + c e C st 1 2 η λύση αποτελείται από 2 εκθετικούς όρους µε διαφορετικές χρονικές σταθερές,, 1/s 1 και 1/s 2 s t 1 2 26

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Περίπτωση 2: σύστηµα critically damped system (ξ = 1) καταλήγει σε 2 πραγµατικές, ίσες ρίζες ( ) = ( + ) Y t c c t e C 1 2 st η λύση αποτελείται από 2 εκθετικούς όρους µε ίσες χρονικές σταθερές,, 1/s, αλλά ο ένας όρος πολλαπλασιάζεται µε t 27

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Περίπτωση 3: under-damped damped system (ξ( < 1) καταλήγει σε µιγαδικές συζυγείς ρίζες 2 ξ 1 ξ ξ 1 ξ s1 = + i s2 = i τ τ τ τ ξt 2 Y () C t = e c t c t + 2 1 ξ 1 ξ τ 1 cos 2 sin τ τ 2 χαρακτηρίζεται από ταλαντώσεις συνοδευόµενες από εκθετική απόσβεση (ενίσχυση) 28

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης! Σηµείωση: ένα σύστηµα είναι ευσταθές όταν οι πραγµατικοί όροι όλων των ριζών της χαρακτηριστικής εξίσωσης είναι αρνητικοί (οι πραγµατικοί όροι τους είναι οι εκθετικοί). 29

Γραµµικά Συστήµατα 2ης Τάξης Under-damped damped ευσταθές Under-damped damped ασταθές 1 3 C A 0 C A 0-1 -3 Time (min) Time (min) 30

Συστήµατα SISO και MIMO! Συστήµατα SISO (Single( Input - Single Output) Έστω η γενική γραµµική συνήθης διαφορική εξίσωση: n a dy n dt n n 1 + d Y a ay n dt n +... 1 1 + 1 = () X t! περιέχει µία είσοδο,, ή συνάρτηση βάρους,, (X(t)),(! περιέχει µία έξοδο,, (Y(t)).( 31

Συστήµατα SISO και MIMO! Παράδειγµα: Ισοθερµοκρασιακός αντιδραστήρας CSTR w + V dca p w + CA = 2k VC dt w+ 2k VC 0 Ass, 0 Ass, C p A0! Είσοδος: C A0! Έξοδος: C A 32

Συστήµατα SISO και MIMO! MISO: Multiple Input - Single Output a dy n n n dt n 1 d Y + an 1 +... + ay = X t + X t n 1 1 1 2 dt () ()! περιέχει µία έξοδο (Y) και πολλαπλές εισόδους (X 1, X 2 ) 33

Συστήµατα SISO και MIMO! Παράδειγµα: Θερµαντήρας αναδευόµενου δοχείου Vρ w dt dt! Είσοδοι: T i και! Έξοδος: T + T = T wc Q i + 1 % 1 wc Q % p p 34

Συστήµατα SISO και MIMO! MIMO: Multiple Input - Multiple Output Έστω το συζευγµένο ζεύγος των εξής συνήθων διαφορικών εξισώσεων 1ης τάξης dy dt dy dt 1 2 () () + a Y + a Y = X t + X t 11, 1 12, 2 11, 12, () () + a Y + a Y = X t + X t 21, 1 22, 2 21, 22,! Περιέχει πολλαπλές εισόδους ( X 1,1, X 1,2, X 2,1, X 2,2 ) και πολλαπλές εξόδους (Y 1, Y 2 ) 35

Συστήµατα SISO και MIMO! Παράδειγµα: Μη-ισοθερµοκρασιακός αντιδραστήρας CSTR dt dt Να βρεθούν οι είσοδοι και οι έξοδοι. dc dt A w ( ) V C C k e E/ RT = C A0 A 0 w ( ) ( ) V T T HR k 0 C E RT UA = + 0 / 2 e C CV T A ρ ρ! Σηµείωση: Τα συστήµατα MIMO, SISO, κλπ. δεν είναι απαραίτητα γραµµικά P 2 A P ( T ) J 36

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Εφαρµόζεται σε γραµµικές συνήθεις διαφορικές εξισώσεις µε σταθερούς συντελεστές (πρέπει να γραµµικοποιηθεί το σύστηµα πρώτα).! Ιδιαίτερα χρήσιµος για το χαρακτηρισµό συστηµάτων που περιγράφονται µε µεταβλητές απόκλισης (ή διαταραχής).! Αποτελεί την κύρια βάση για την ανάλυση της κλασικής θεωρίας ρύθµισης και αυτόµατου έλεγχου. 37

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Ορισµός µετασχηµατισµού Laplace () () [ ] st () Fs= Lft = e ftdt 0 38

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Σηµαντικές ιδιότητες του µετασχηµατισµού Laplace: παράγωγοι L df dt sf() s f t = =0! Αν ορίσουµε το f µε τις µεταβλητές απόκλισης γύρω από την αρχική συνθήκη, τότε L df dt = () sf s 39

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Παρόµοια για παραγώγους ανώτερης τάξης L d n f n dt n 1 n d f = sfs () n dt... 1 f t = 0 t = 0 40

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Μετασχηµατισµός Laplace για ολοκληρώµατα: L t 0 f t dt = 1 s Fs () () 41

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Θεώρηµα τελικής τιµής: lim t ( ) = lim sf( s) f t s 0 42

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Θεωρούµε µετατόπιση της συνάρτησης στο πεδίο χρόνου κατά t 0 : [ ( )] = st ( ) 0 0 [ ] L f t t e L f t 43

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Η συνάρτηση f (t) και η µετατοπισµένη συνάρτηση f(t-t 0 ) f(t) f(t-t 0 ) t 0 44

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Σηµείωση: : η µετατόπιση της συνάρτησης είναι σηµαντική στο χαρακτηρισµό του νεκρού χρόνου (υστέρηση µεταφοράς).! Νεκρός χρόνος προκύπτει παρουσία σωληνώσεων, χρόνου µεταφοράς σηµάτων, κλπ., και επιβραδύνει την καταγραφή απόκρισης από τις συσκευές µέτρησης. 45

Ο Μετασχηµατισµός Laplace! Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Laplace βρίσκεται µε τη χρήση αθροίσµατος µερικών κλασµάτων. 46

ΗΣυνάρτηση Μεταφοράς! Θεωρούµε το σύστηµα 1ης τάξης για τις µεταβλητές διαταραχής: τ dy dt p () p p + y = K y t! Ο µετασχηµατισµός Laplace δίνει ( ) + ( ) = ( ) τsy s Y s K X s p p 47

ΗΣυνάρτηση Μεταφοράς! Η παραπάνω σχέση µπορεί να γραφεί ως ( τs+ 1) Y( s) = K X( s) () ( ) Ys X s () = Gs = p K p τs + 1 or! Το G(s) αναφέρεται σαν συνάρτηση µεταφοράς του Y ως προς X. 48

ΗΣυνάρτηση Μεταφοράς! Η συνάρτηση µεταφοράς περιγράφει τη δυναµική απόκριση της εξόδου Y για µεταβολή στην είσοδο X.! Η συνάρτηση µεταφοράς ορίζεται µε τις µεταβλητές απόκλισης (εξαλοίφει τις αρχικές συνθήκες από τη διατύπωση). 49

ΗΣυνάρτηση Μεταφοράς! Οι συναρτήσεις µεταφοράς συνήθως αποτελούνται από αριθµητές που είναι πολυώνυµα και πιθανόν εκθετικούς όρους (αν υπάρχουν υστερήσεις µεταφοράς), και παρονοµαστές που αποτελούνται από πολυώνυµα. 50

ΗΣυνάρτηση Μεταφοράς! Αιτιατό και Αυστηρά Οριζόµενες Συναρτήσεις Μεταφοράς: Το γεγονός ότι η έξοδος (αριθµητής) προκαλείται από την είσοδο (παρονοµαστής) οδηγεί στο να έχει ο παρονοµαστής της συνάρτησης µεταφοράς ανώτερη τάξη µεγέθους από τον αριθµητή σε συστήµατα που απαντώνται στην πράξη. Αφού οι παρούσες αποκρίσεις δεν µπορούν να επηρεαστούν από µελλοντικά γεγονότα, οι πιθανοί εκθετικοί όροι στον αριθµητή πρέπει να έχουν αρνητικούς εκθέτες (όπως στην περίπτωση της µετατόπισης συνάρτησης στο πεδίο s). 51

ΗΣυνάρτηση Μεταφοράς! Οι ρίζες του πολυωνύµου του αριθµητή αναφέρονται σαν µηδενικά της συνάρτησης µεταφοράς.! Οι ρίζες του παρονοµαστή αναφέρονται σαν οι πόλοι της συνάρτησης µεταφοράς.! Ενίσχυση µόνιµης-κατάστασης είναι η τιµή µόνιµης κατάστασης του λόγου Y/X που πετυχαίνεται µετά από διαταραχή εισόδου στο X. 52

ιαγράµµατα Βαθµίδων! Οι σχέσεις µέσω των συναρτήσεων µεταφοράς παριστάνονται συχνά µε τη χρήση διαγραµµάτων βαθµίδων (block diagrams): Είσοδος X(s) Συνάρτηση Μεταφοράς G(s) Έξοδος Y(s) 53

ιαγράµµατα Βαθµίδων! Πλεονεκτήµατα των διαγραµµάτων βαθµίδων: προσφέρουν µέθοδο για το συνδυασµό των επί µέρους συναρτήσεων µεταφοράς σε ολικές συναρτήσεις µεταφοράς προσφέρουν χρήσιµη εποπτική αναπαράσταση σχέσεων αιτίας-αιτιατού αιτιατού στο σύστηµα βοηθούν στην κατανόηση σχετικά µε το πώς επηρεάζουν τα διάφορα στοιχεία του συστήµατος τη γενική συµπεριφορά του. 54

ιαγράµµατα Βαθµίδων! Ορθή και µη ορθή άλγεβρα διαγραµµάτων βαθµίδων: Επιτρεπτό Μη επιτρεπτό X Y G Y(s)=G(s)X(s) X 2 X 1 G Y 55

ιαγράµµατα Βαθµίδων! Ορθή και µη ορθή άλγεβρα διαγραµµάτων βαθµίδων: X 1 Επιτρεπτό Μη επιτρεπτό X 3 X G Y 1 X 2 Y 2 X 1 (s) + X 2 (s) = X 3 (s) 56

ιαγράµµατα Βαθµίδων! Ορθή και µη ορθή άλγεβρα διαγραµµάτων βαθµίδων: Επιτρεπτό Μη επιτρεπτό X 3 X 1 X 1 X 3 X 2 X 1 (s) = X 2 (s) = X 3 (s) X 2 [X 1 (s)][ X 2 (s)] = X 3 (s) 57

Συνήθεις ιατάξεις Βαθµίδων! ιάταξη κατά σειρά X 0 X 1 X 2 X 3 X n-1 X n G 1 G 2 G 3 G n X X n 0 () s () s () () () () = G1 s G2 s... Gn s = Π Gi s n i= 1 58

Συνήθεις ιατάξεις Βαθµίδων! Παράλληλη διάταξη G 1 X 1 X 0 X 3 G 2 X 2 ( s) () s X3 X3 = X1 + X2 = G1X0 + G2X0 = G + G X 0 1 2 59

Συνήθεις ιατάξεις Βαθµίδων! ιάταξη ανακύκλωσης X 0 X 1 X 2 G 1 X 3 G 2 X X G X G[ X X ] G[ X G X ] 2 G1 2 = 1 1 = 1 0 + 3 = 1 0 + 2 2 = X 1 GG 0 ( s) () s 1 2 60

Συνήθεις ιατάξεις Βαθµίδων! ιάταξη ανατροφοδότησης X 0 X 1 X 2 G 1 X 3 G 2 ( s) () s X X G X G[ X X ] G[ X G X ] 2 G1 2 = 1 1 = 1 0 3 = 1 0 2 2 = X 1 + GG 0 1 2 61

Συχνοτική Απόκριση! Περιγράφει τη δυναµική συµπεριφορά µιας διεργασίας σε απόκριση περιοδικής εισόδου (περιοδική = ηµιτονοειδής είσοδος: X t = Asin ωt ). ( ) ( )! Θεωρούµε µόνο αποκρίσεις γραµµικών συστηµάτων µεγάλης χρονικής διάρκειας (δηλ( δηλ., µετά το τέλος της αρχικής µεταβατικής περιόδου, όταν και η απόκριση του συστήµατος είναι επίσης περιοδική - και το σύστηµα θεωρείται ευσταθές). 62

Συχνοτική Απόκριση! Η έξοδος για τέτοια συστήµατα παραµένει της ίδιας συχνότητας, αλλά µπορεί να υποστεί µεταβολές και στο εύρος και στη διαφορά φάσης του σήµατος. 63

2 0-2 0 Συχνοτική Απόκριση! Λόγος Ευρών και ιαφορά Φάσεων Είσοδος Έξοδος B A Λόγος Ευρών: B A P` P ιαφορά Φάσης: 2π P ` P 64

Συχνοτική Απόκριση! Χρησιµοποιούνται ειδικά διαγράµµατα του λόγου ευρών συναρτήσει της συχνότητας και της διαφοράς φάσης συναρτήσει της συχνότητας, που αναφέρονται ως διαγράµµατα Bode: διάγραµµα log(λόγος ευρών) µε log(συχνότητα συχνότητα) [ ή 20log(λόγος ευρών) µε log(συχνότητα συχνότητα) ) ] διάγραµµα log(διαφορά φάσης) µε log(συχνότητα συχνότητα). 65

Συχνοτική Απόκριση! Άλλος τρόπος παρουσίασης των ίδιων δεδοµένων είναι µε το διάγραµµα Nyquist (θα το εξετάσουµε στο κεφάλαιο ανάλυσης ευστάθειας). Παράδειγµα µε το λογισµικό MATLAB: κατασκευή διαγράµµατος Bode για ένα σύστηµα που περιγράφεται από την εξής συνάρτηση µεταφοράς Ys () = as 2 1 + bs + 1 66