ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 6 Μαρτίου 8 Ασκηση Εστω E ένας διανυσµατικός χώρος υπεράνω του σώµατος K, και f : E E ένας ενδοµορφισµός του E Εστω x και y δύο ιδιοδιανύσµατα του f τα οποία αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιµές του f Αν a, b K και ab, να δείξετε ότι το διάνυσµα a x + b y δεν είναι ιδιοδιάνυσµα της f Λύση Υποθέτουµε αντίθετα ότι το a x+b y είναι ιδιοδιάνυσµα της f που αντιστοιχεί σε κάποια ιδιοτιµή µ της f Από την υπόθεση τα x και y είναι δύο ιδιοδιανύσµατα της f που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές κ και λ αντίστοιχα, µε κ λ Οπως γνωρίζουµε αυτό σηµαίνει ότι τα διανυσµατα x και y είναι γραµµικά ανεξάρτητα Επειδή ab, ϑα έχουµε a b, και τότε : f(a x + b y) µ(a x + b y) af( x) + bf( y) aµ x + bµ y aκ x + bλ y aµ x + bµ y (aκ aµ) x + (bλ bµ) y ( x, y : γραµµικά ανεξάρτητα) a(κ µ) και b(λ µ) (a b) κ µ και λ µ κ µ λ Άρα καταλήξαµε σε άτοπο αφού γνωρίζουµε ότι κ λ Συνεπώς το διάνυσµα a x + b y δεν είναι ιδιοδιάνυσµα της f Ενας ενδοµορφισµός f : E E του K-διανυσµατικού χώρου E καλείται οµοθεσία µε λόγο λ, όπου λ K, αν : x E : f( x) λ x δηλαδή f λid E Προφανώς για µια οµοθεσία f : E E µε λόγο λ, κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα του f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Ασκηση Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρου E () Αν ο ενδοµορφισµός f είναι οµοθεσία µε λόγο λ, τότε το λ είναι η µόνη ιδιοτιµή του f και κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα του f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ () Αν κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα του f, να δειχθεί ότι η f είναι οµοθεσία Λύση () Επειδή f( x) λ x, για κάθε x E, έπεται ότι το λ είναι ιδιοτιµή του f και κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα του f που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ Αν κ K είναι επίσης µια ιδιοτιµή του f µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x, τότε x και ϑα έχουµε f( x) κ x Επειδή f( x) λ x, έπεται ότι κ x λ x, δηλαδή (λ κ) x Επειδή x έπεται ότι κ λ Άρα το λ είναι η µόνη ιδιοτιµή του f

() Αν κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα του E είναι ιδιοδιάνυσµα του f, τότε για κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα x E, υπάρχει αριθµός λ x K έτσι ώστε : f( x) λ x x Εστω x και y δύο µη-µηδενικά διανύσµατα του E Τότε ϑα έχουµε f( x) λ x x και f( y) λ y y Θα δείξουµε ότι : λ x λ y ιακρίνουµε περιπτώσεις : (αʹ) Τα διανύσµατα x και y είναι γραµµικά εξαρτηµένα Τότε υπάρχει κ K έτσι ώστε : y κ x Τότε : f( y) λ y y και f( y) f(κ x) κf( x) κλ x x λ x κ x λ x y λ y y λ x y (λ y λ x ) y (ϐʹ) Τα διανύσµατα x και y είναι γραµµικά ανεξάρτητα y λ x λ y Τότε ϑα έχουµε και το διάνυσµα x + y το οποίο είναι µη-µηδενικό, διότι αν x + y, τότε τα διανύσµατα x, y είναι γραµµικά εξαρτηµένα και αυτό είναι άτοπο Από την υπόθεση τότε υπάρχει αριθµός λ x+ y K έτσι ώστε : f( x + y) λ x+ y ( x + y) Συνοψίζοντας, υπάρχουν αριθµοί λ x, λ y, λ x+ y K έτσι ώστε : f( x) λ x x, f( y) λ y y, f( x + y) λ x+ y ( x + y) Από την τελευταία σχέση προκύπτει ότι : f( x) + f( y) λ x+ y x + λ x+ y y λ x x + λ y y λ x+ y x + λ x+ y y ( λ x λ x+ y ) x + ( λ y λ x+ y ) y Από την γραµµική ανεξαρτησία των x και y έπεται ότι : λ x λ x+ y λ y Άρα ο αριθµός λ x K έτσι ώστε f( x) λ x x, για κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα x είναι κοινός για όλα τα µη-µηδενικά διανύσµατα Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει ότι υπάρχει ένας αριθµός λ K έτσι ώστε f( x) λ x, για κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα x E Αν x, τότε προφανώς f( ) λ Άρα f( x) λ x, για κάθε διάνυσµα x E, και εποµένως ο f είναι οµοθεσία µε λόγο λ Ασκηση 3 () Αν A και B είναι δύο n n πίνακες µε στοιχεία από ένα σώµα K, τότε : Tr(AB) Tr(BA) () Να δειχθεί ότι όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο ίχνος (3) Να δειχθεί ότι αν A και B είναι πίνακες, τότε οι πίνακες AB και BA έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο : P AB (t) P BA (t) (4) Αν ο πίνακας A ή ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος, να δειχθεί ότι οι πίνακες AB και BA είναι όµοιοι, και άρα : P AB (t) P BA (t) (5) Να δειχθεί ότι αν A και B είναι n n πίνακες, τότε γενικά οι πίνακες AB και BA δεν είναι όµοιοι (6) Να δειχθεί ότι οι πίνακες AB και BA έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές Λύση () Γνωρίζουµε ότι το στοιχείο στην (i, i) ϑέση του πίνακα AB, i n, είναι το εξής : n (AB) ii a ki b ik k Αποδεικνύεται γενικότερα ότι για τυχόντες n n πίνακες A και B, οι πίνακες AB και BA έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο : P AB(t) P BA(t)

3 Εποµένως : Tr(AB) n (AB) ii i n i k n a ki b ik n k i Παρόµοια, το στοιχείο στην (k, k) ϑέση του πίνακα BA, k n, είναι το εξής : n (BA) kk b ik a ki Εποµένως : Tr(BA) i n (BA) kk k n k i n b ik a ki ( ) n b ik a ki ( ) Από τις σχέσεις ( ) και ( ) έπεται ότι : Tr(AB) Tr(BA) () Εστω A και B δύο όµοιοι πίνακες Τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P AP B Χρησιµοποιώντας το µέρος (), ϑα έχουµε : Tr(B) Tr(P AP ) Tr((P A)P ) Tr(P (P A)) Tr((P P )A) Tr(I n A) Tr(A) Ο τελευταίος ισχυρισµός προκύπτει από το γεγονός ότι όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο (3) Από το µέρος (), έχουµε Tr(AB) Tr(BA) Επειδή προφανώς AB BA, έπεται ότι P AB (t) t Tr(AB) + AB t Tr(BA) + BA P BA (t) (4) Αν ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, τότε υπάρχει ο αντίστροφός του A και τότε : A (AB)A (A A)BA I n BA BA και αυτό σηµαίνει ότι οι πίνακες AB και BA είναι όµοιοι Παρόµοια εργαζόµαστε αν ο πίνακας B είναι αντιστρέψιµος (5) Θεωρούµε τους πίνακες Τότε AB A και B A και BA O Αν οι πίνακες AB και BA είναι όµοιοι, τότε υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P ABP BA O και τότε πολλαπλασιάζοιντας από τα αριστερά µε τον P και από τα δεξιά µε τον P προκύπτει ότι AB O και αυτό είναι άτοπο Άρα οι πίνακες AB και BA δεν είναι όµοιοι (6) Εστω λ µια ιδιοτιµή του AB µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα X Τότε X O και (AB)X λx (αʹ) Αν λ, τότε AB A B B A BA και εποµένως το λ είναι ιδιοτιµή του πίνακα BA (ϐʹ) Αν λ, τότε : (AB)X λx B(AB)X B(λX) (BA)(BX) λ(bx) Αν BX O, τότε ABQ και εποµένως λx O Επειδή X O, έπεται ότι λ, δηλαδή το είναι ιδιοτιµή του AB και αυτό είναι άτοπο Άρα BX O και εποµένως το µη-µηδενικό διάνυσµα-στήλη BX είναι ιδιοδιάνυσµα του BA µε αντίστοιχη ιδιοτιµή λ Ετσι δείξαµε ότι κάθε ιδιοτιµή του AB είναι ιδιοτιµή του BA Παρόµοια προκύπτει ότι κάθε ιδιοτιµή του BA είναι ιδιοτιµή του AB Άρα οι πίνακες AB και BA έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές Υπενθυµίζουµε ότι το λ είναι ιδιοτιµή ενός πίνακα M αν και µόνο αν ο πίνακας M δεν είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν M

4 Ασκηση 4 Θεωρούµε τον ακόλουθο πίνακα πραγµατικών αριθµών : A 3 3 3 4 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές του A και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; Λύση Βρίσκουµε πρώτα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A Εχουµε : t 3 3 P A (t) A ti 3 t ( t) t 3 4 t 3 4 t (t ) (t ) Άρα οι ιδιοτιµές είναι λ πολλαπλότητας δύο και λ πολλαπλότητας ένα Για τον ιδιόχωρο V() λύνουµε το παρακάτω σύστηµα : 3 3 x y 3 3 z Από τις εξισώσεις 3y + 3z και y + z έπεται ότι y z Εποµένως V() x y R 3 y z x y R 3 x, y R x + y R 3 x, y R z y, Εύκολα διαπιστώνουµε ότι τσύνολο, είναι γραµµικά ανεξάρτητα και άρα αποτελεί ϐάση του ιδιοχώρου V() Ιδιαίτερα ϐλέπουµε ότι dim R V() πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ Για τον ιδιόχωρο V() έχουµε το ακόλουθο σύστηµα : 3 3 3 x y 3 z και άρα { x 3y + 3z 3y + z y 3 z x 3z 3 3 z z Συνεπώς έχουµε : V() x y R 3 y x z 3 x, z x 3 x R 3 x R x R 3 x R 3 x 3 3 3 Άρα µια ϐάση του ιδιοχώρου V() είναι το σύνολο 3 Ιδιαίτερα ϐλέπουµε ότι dim R V() 3 πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ Από γνωστό κριτήρριο, έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος

5 Ασκηση 5 Θεωρούµε τον ενδοµορφισµό του R-διανυσµατικού χώρου R 3 : και τον ενδοµορφισµό 3 του C-διανυσµατικού χώρου C 3 : Λύση f : R 3 R 3, f(x, y, z) (x y, x + y, y z) f : C 3 C 3, f(x, y, z) (x y, x + y, y z) () Να ϐρεθούν και στις δυο περιπτώσεις, οι ιδιοτιµές του f καθώς και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι () Και στις δύο περιπτώσεις, να διαγωνοποιηθεί, αν αυτό είναι εφικτό, ο ενδοµορφισµός f () Θεωρούµε τον ενδοµορφισµό f : R 3 R 3, f(x, y, z) (x y, x + y, y z) ϑεωρούµε την κανονική ϐάση B { e (,, ), e (,, ), e 3 (,, ) } του R 3, και προσδιο- ϱίζουµε τον πίνακα A MB B (f) του f στη ϐάση B Εχουµε : f( e ) f(,, ) (,, ) f( e ) f(,, ) (,, ) A MB B (f) f( e 3 ) f(,, ) (,, ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του f είναι t P f (t) A ti 3 t ( t) t t t ( t)(t t + ) Επειδή η διακρίνουσα του τριωνύµου t t + είναι αρνητική, ίση µε 4, έπεται ότι το τριώνυµο t t + δεν έχει πραγµατικές ϱίζες Εποµένως η µόνη ϱίζα του P f (t) υπεράνω του R είναι η λ αλγεβρικής πολλαπλότητας ίσης µε, και ο ενδοµορφισµός f δεν διαγωνοποιείται Για τον ιδιόχωρο V( ) λύνουµε το παρακάτω οµογενές σύστηµα : x y x y x + y x y και z R z y Εποµένως έχουµε : V( ) { (x, y, z) R 3 x y και z R } { (,, z) R 3 z R } { z(,, ) R 3 z R } (,, ) και άρα το σύνολο {(,, )} αποτελεί ϐάση του ιδιοχώρου V( ) () Θεωρούµε τον ενδοµορφισµό f : C 3 C 3, f(x, y, z) (x y, x + y, y z) ϑεωρούµε την κανονική ϐάση B { e (,, ), e (,, ), e 3 (,, ) } του C 3, και προσδιο- ϱίζουµε τον πίνακα A MB B (f) του f στη ϐάση B Εχουµε : f( e ) f(,, ) (,, ) f( e ) f(,, ) (,, ) A MB B (f) f( e 3 ) f(,, ) (,, ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του f είναι t P f (t) A ti 3 t ( t) t t t ( t)(t t + ) 3 Αν και πρόκειται για διαφορετικές απεικονίσεις, συµβολίζουµε χάριν απλότητας και στις δύο περιπτώσεις τους ενδοµορφισµούς µε το ίδιο σύµβολο, επειδή έχουν τον ίδιο τύπο ορισµού

6 Επειδή η διακρίνουσα του τριωνύµου t t + είναι ίση µε 4 <, και εργαζόµαστε υπεράνω του σώµατος C των µιγαδικών αριθµών, έπεται, από τον τύπο προσδιορισµού των ϱιζών δευτεροβάθµιας εξίσωσης, ότι το τριώνυµο t t + έχει δύο µιγαδικές ϱίζες : λ + i και λ 3 i Εποµένως οι ϱίζες του P f (t) υπεράνω του C είναι οι εξής : όλες µε αλγεβρική πολλαπλότητα ίση µε διαγωνοποιείται υπεράνω του C Εχουµε ήδη προσδιορίσει µια ϐάση λ, λ + i, λ 3 i Εποµένως από γνωστό Θεώρηµα, ο ενδοµορφισµός f C ɛ (,, ) για τον ιδιοχώρο V( ) Για τον ιδιοχώρο V( + i) λύνουµε το παρακάτω οµογενές σύστηµα : ( + i) ( + i) x y i i x y ( + i) z i z ( i)x y x z x + ( i)y y ( + i)z x y z ( + i)z z + i y ( + i)z z C z z Εποµένως έχουµε : και άρα το σύνολο V( + i) { (x, y, z) C 3 x z, y ( + i)z, z C } { ( z, ( + i)z, z) C 3 z C } { z(, + i, ) C 3 z C } (, + i, ) C { ɛ (, + i, ) } αποτελεί ϐάση του ιδιοχώρου V( + i) Για τον ιδιοχώρο V( i) λύνουµε το παρακάτω οµογενές σύστηµα : ( i) ( i) x y + i + i x y ( i) z + i z ( + i)x y x z x + ( + i)y y ( i)z x y z ( i)z z i y + ( + i)z z C z z Εποµένως έχουµε : και άρα το σύνολο V( i) { (x, y, z) C 3 x z, y ( i)z, z C } { ( z, ( i)z, z) C 3 z C } αποτελεί ϐάση του ιδιοχώρου V( i) { z(, i, ) C 3 z C } (, i, ) C 3 { ɛ 3 (, i, ) }

7 Τότε το σύνολο C C C C 3, δηλαδή το σύνολο C { ɛ (,, ), ɛ (, + i, ), ɛ 3 (, i, ) } είναι µια ϐάση του C 3 και ο πίνακας του f στη ϐάση C ο διαγώνιος πίνακας : MC C (f) + i i Ασκηση 6 Βρείτε τις ιδιοτιµές και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα A 3 M 3 (R) Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; Λύση Βρίσκουµε πρώτα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο Εχουµε : t 5 t 5 t 5 t Γ P A (t) 3 t Γ +Γ +Γ 3 3 t (5 t) 3 t t t t Σ Σ Σ (5 t) Σ 3 Σ 3 Σ t (5 t)( t) t Άρα οι ιδιοτιµές είναι λ 5 πολλαπλότητας ένα και λ πολλαπλότητας δύο Για τον ιδιόχωρο V(5) λύνουµε το παρακάτω σύστηµα : 3 x y 3x + y + z x y + z 3 z x + y 3z Εχουµε : 3 Γ Γ 3 3 3 3 Γ Γ Γ Γ 3 Γ 3 +3Γ 3 4 8 4 8 Γ 3 Γ 3 +Γ 3 4 8 Από τις εξισώσεις x + y 3z και 4y + 8z έπεται ότι x z και y z Εποµένως V(5) x y R 3 x z και y z z z R 3 z R z z και άρα το σύνολο αποτελεί µια ϐάση του ιδιοχώρου V(5) Για τον ιδιοχώρο V() έχουµε το ακόλουθο σύστηµα : x y x y z z και άρα V() x y R 3 x y z y z y R 3 y, z R, z z

8 Προφανώς τα διανύσµατα-στήλες, ϐάση του ιδιοχώρου V() είναι γραµµικά ανεξάρτητα και εποµένως αποτελούν µια Επειδή για την ιδιοτιµή λ 5 έχουµε dim R V(5) αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ 5, και ια την ιδιοτιµή λ έχουµε dim R V() αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ, έπεται ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 7 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του πίνακα A M 3 (R) 4 4 () Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Είναι ο πίνακας διαγωνοποιήσιµος υπεράνω του σώµατος C, όταν ϑεωρηθεί ως πίνακας µιγαδικών αριθ- µών ; Λύση () Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι : t P A (t) A ti 3 t 4 4 t ( t)(t t + 6) Η µόνη πραγµατική ιδιοτιµή είναι η λ διότι το πολυώνυµο t t + 6 έχει αρνητική διακρίνουσα, ίση µε 3 Εποµένως ο πίνακας A δεν διαγωνοποιείται υπεράνω του R Για τον ιδιοχώρο V(), ϑεωρούµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : (A I 3 )X O x + y z x y + z 4 4 4x 4y Εποµένως { x y + z x y { y z x y V() x R 3 x R X x x x x () Υπεράνω του σώµατος των µιγαδικών αριθµών C, το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του A γράφεται ως : ( ) ( ) P A (t) ( t)(t t + 6) (t ) t + i 3 t i 3 και εποµένως ο πίνακας A, υπεράνω του C, έχει τρεις διακεκριµένες ιδιοτιµές : λ, λ + i 3, λ 3 i 3 και εποµένως είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 8 Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και οι αντίστοιχοι ιδιοχώροι του ενδοµορφισµού f : R [t] R [t], P (t) f(p (t)) P (t) P (t) Είναι διαγωνοποιήσιµος ο ενδοµορφισµός f;

9 Λύση Ο πίνακας του f στην κανονική ϐάση B {, t, t } του R [t] είναι ο ακόλουθος : f() + t + t f(t) t ( ) + t + t A M B f(t ) t t + ( ) t + t B (f) Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του f είναι t P f (t) A ti 3 t ( t)3 t Άρα ο f έχει ως µόνη ιδιοτιµή την λ µε αλγεβρική πολλαπλότητα τρία Για τον ιδιόχωρο V() λύνουµε το παρακάτω οµογενές σύστηµα : a b b c και a R c Εποµένως έχουµε : V() { a + bt + ct R [t] b c και a R } { a a R } και άρα ϐάση του ιδιοχώρου V() αποτελούν τα σταθερά πολυώνυµα και ιδιαίτερα dim R V() Επειδή για τη µόνη ιδιοτιµή λ έχουµε dim R V() 3 αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ, έπεται ότι ο ενδοµορφισµός f δεν είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 9 Αν λ είναι µια ιδιοτιµή ενός ενδοµορφισµού f : E E ή ενός πίνακα A M n (K), να δείξετε ότι το λ m είναι ιδιοτιµή του ενδοµορφισµού f m ή του πίνακα A m αντίστοιχα, m Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f m(λ m ) ή των ιδιοχώρων V A (λ) και V A m(λ m ) αντίστοιχα ; Λύση Εστω λ µια ιδιοτιµή του ενδοµορφισµού f : E E Τότε υπάρχει διάνυσµα x E έτσι ώστε f( x) λ x, και ϑα έχουµε : f ( x) f(f( x)) f(λ x) λf( x) λλ x λ x Επειδή x, ο αριθµός λ είναι ιδιοτιµή της f είχνουµε µε επαγωγή στο n ότι για κάθε m ισχύει ότι f m ( x) λ m x Υποθέτουµε ότι αυτή η σχέση ισχύει για κάθε k < m, δηλαδή Τότε ϑα έχουµε : k < m : f k ( x) λ k x ( ) f m ( x) f(f m ( x)) ( ) f(λ m x) λ m f( x) λ m λ x λ m x ( ) Άρα πράγµατι f m ( x) λ m x Επειδή το x, έπεται ότι ο αριθµός λ m είναι ιδιοτιµή του f m µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x Εστω x V f (λ), δηλαδή f( x) λ x Τότε f m ( x) λ m x και άρα το διάνυσµα x V f m(λ m ) Εποµένως : V f (λ) V f m(λ m ) Αν A M n (K) είναι ένας n n πίνακας, τότε τα αντίστοιχα συµπεράσµατα προκύπτουν µε χρήση του ενδοµορφισµού f A : K n K n, f A (X) AX και χρησιµοποιώντας ότι : f m A f A m

Η παραπάνω σχέση προκύπτει µε επαγωγή ως εξής : Υποθέτουµε ότι : δηλάδή, X K n : f k A (X) f A k(x) Ak X Τότε ϑα έχουµε, X K n : k < m : f k A f A k ( ) f m A (X) f A (f m A (X)) ( ) f A (A m X) A(A m X) A m X f A m(x) f m A f A m Άρα fa m f Am, m Εποµένως αν λ είναι µια ιδιοτιµή του A µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα X, τότε f A (X) AX λx Σύµφωνα µε ότι έχουµε ήδη αποδείξει για ενδοµορφισµούς, προκύπτει ότι το λ m είναι ιδιοτιµή του f A m µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα X, δηλαδή f A m(x) A m X λ m X, και άρα το λ m είναι ιδιοτιµή του A m µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα X Τέλος όπως και παραπάνω έχουµε µια σχέση έγκλεισης : V A (λ) V A m(λ) Ασκηση Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρου E, όπου dim K E <, και A M n (K) ένας n n πίνακας Να δειχθεί ότι ο ενδοµορφισµός f, αντίστοιχα ο πίνακας A, είναι αντιστρέψιµος αν και µόνον αν για κάθε ιδιοτιµή λ του f, αντίστοιχα του A, ισχύει ότι : λ () Αν ο f είναι ισοµορφισµός, να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (αʹ) Το λ K είναι ιδιοτιµή του f (ϐʹ) λ και το λ είναι ιδιοτιµή του f Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V f (λ) και V f (λ ); () Αν ο A είναι αντιστρέψιµος, να δείξετε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (αʹ) Το λ K είναι ιδιοτιµή του A (ϐʹ) λ και το λ είναι ιδιοτιµή του A Ποιά είναι η σχέση των ιδιοχώρων V A (λ) και V A (λ ); Λύση Εστω λ µια ιδιοτιµή της f Τότε υπάρχει µη-µηδενικό διάνυσµα x E µε f( x) λ x Αν λ, τότε ϑα έχουµε f( x) x και άρα x Ker(f) Αυτό είναι άτοπο διότι ο ενδοµορφισµός f είναι ισοµορφισµός και άρα Ker(f) { } Εποµένως λ Αντίστροφα, έστω ότι για κάθε ιδιοτιµή λ του f, ισχύει : λ Αν x Ker(f), τότε f( x) x και εποµένως το είναι ιδιοτιµή του f µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x Αυτό είναι άτοπο από την υπόθεση και εποµένως Ker(f) { } Άρα ο f είναι µονοµορφισµός και εποµένως ο f είναι ισοµορφισµός διότι dim K E < Παρόµοια δείχνουµε τον ισχυρισµό για τον πίνακα A χρησιµοποιώντας τοβ ενδοµορφισµό f A : K n K n, f A (X) AX () (α ) (ϐ ) Εστω λ µια ιδιοτιµή της f Επειδή ο f είναι ισοµορφισµός, όπως είδαµε παραπάνω έχουµε λ και υπάρχει µη-µηδενικό διάνυσµα x E µε f( x) λ x Επειδή ο ενδοµορφισµός f είναι ισοµορφισµός υπάρχει ενδοµορφισµός f : E E έτσι ώστε f f Id E f f Τότε : f( x) λ x f (f( x)) f (λ x) x λf ( x) f ( x) λ x και άρα το λ είναι ιδιοτιµή της f µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το x (ϐ ) (α ) Αντίστροφα, αν λ και ο αριθµός λ είναι ιδιοτιµή του f µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα x, τότε f ( x) λ x f(f ( x)) f(λ x) x λ f( x) f( x) λ x Συνεπώς το λ είναι ιδιοτιµή του f µε αντίστοιχο ιδιοδιάνυσµα το x Τέλος, από τα παραπάνω έπεται άµεσα ότι V f (λ) { x E f( x) λ x} { x E f ( x) λ x} V f (λ ) () Εργαζόµαστε µε τον ενδοµορφισµό f A : K n K n, όπως στην προηγούµενη Άσκηση Ασκηση () Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρου E Αν ο f είναι ισοµορφισµός, τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα :

Λύση (αʹ) Ο f είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐʹ) Ο f είναι διαγωνοποιήσιµος Επιπρόσθετα να δειχθεί ότι αν B είναι µια ϐάση του E στην οποία ο πίνακας του f είναι διαγώνιος, τότε ο πίνακας του f στη ϐάση B είναι διαγώνιος Ποιά είναι η σχέση των πινάκων M B B (f) και M B B (f ); () Εστω A M n (K) είναι ένας n n πίνακας Αν ο A είναι αντιστρέψιµος, τότε τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (αʹ) Ο A είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐʹ) Ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Επιπρόσθετα να δειχθεί ότι αν P είναι ένας αντιστρέψιµος πίνακας έτσι ώστε ο πίνακας P AP είναι διαγώνιος, τότε ο πίνακας P A P είναι επίσης διαγώνιος Ποιά είναι η σχέση των πινάκων P AP και P A P ; () Εστω ότι ο f είναι διαγωνοποιήσιµος Εστω ότι λ, λ,, λ n είναι οι ιδιοτιµές του f, και έστω B { } e, e,, e n µια ϐάση του E στην οποία ο πίνακας του f είναι διαγώνιος Τότε f( ei ) λ i e i, i n Από την Άσκηση έπεται ότι λ i, οι αριθµοί λ i είναι ιδιοτιµές του f, και ισχύει ότι : f ( e i ) λ e i, i n Αυτό σηµαίνει ότι ο f είναι διαγωνοποιήσιµος διότι ο E έχει µια ϐάση η οποία αποτελείται από ιδιοδιανύσµατα του f Επιπρόσθετα έχουµε : λ λ λ Εποµένως : MB B (f) λ n και MB B (f λ ) λ n M B B (f ) M B B (f) Αντίστροφα, αν ο f είν αι διαγωνοποιήσιµος, τότε όπως µόλις δείξαµε ϑα έχουµε ότι ο (f ) f είναι διαγωνοποιήσιµος, και αν B είναι µια ϐάση του E στην οποία ο πίνακας του f είναι διαγώνιος, τότε ο πίνακας του f στη ϐαση B είναι διαγώνιος και MB B(f) MB B(f ) () Αν ο A είναι διαγωνοποιήσιµος, και λ, λ,, λ n είναι οι ιδιοτιµές του A, τότε λ i, i n, διότι ο πίνακας A είναι αντιστρέψιµος, και υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : λ λ λ λ λ P A P (P A P ) λ n λ n λ P A λ P (P A P ) λ n λ λ n Ασκηση Να ϐρεθούν οι ιδιοτιµές και ϐάσεις των αντίστοιχων ιδιοχώρων του πίνακα A 3 3 M 3 (R) 3 Ακολούθως να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P AP να είναι διαγώνιος Ποιά είναι η n-οστή δύναµη του πίνακα A;

Λύση Εχουµε : 3 t 3 t Γ P A (t) 3 t 3 Γ 3 +Γ 3 t 3 t (4 t) 3 t 3 t 4 t 4 t Σ Σ Σ 3 3 t (4 t) t (4 t) 3 t t (t 4) (t ) Άρα οι ιδιοτιµές είναι λ 4 πολλαπλότητας δύο και λ πολλαπλότητας ένα Για τον ιδιόχωρο V(4) λύνουµε το παρακάτω οµογενές σύστηµα : x y x y z z και άρα V(4) x y R 3 x y z z y z y R 3 y, z R z y + R 3 y, z R, Το σύνολο, είναι γραµµικά ανεξάρτητο και συνεπώς αποτελεί ϐάση του ιδιόχωρου V(4) Εποµένως : dim V(4) αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ 4 () R Για τον ιδιόχωρο V() έχουµε : x y z και άρα Εποµένως : x + y z x + y + z x + y + z x z και y z V() x y R 3 x z και y z z R 3 z R z dim R V() αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ () Άρα από τις σχέσεις () και () έπεται ότι ο πίνακας A διαγωνοποιείται Εποµένως η ένωση των ϐάσων των ιδιοχώρων V(4) και V() είναι µια ϐάση C,,

του R 3 Ο αντιστρέψιµος πίνακας P που ψάχνουµε είναι ο πίνακας µετάβασης MB C από τη κανονική ϐάση B,, του R 3 στη ϐάση C,, Τότε άµεσα έχουµε : P Εποµένως, ϐρήκαµε αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε : P AP 4 4 ( ) Εύκολα υπολογίζουµε τον αντίστροφο πίνακα του P : P 3 3 και τότε από τη σχέση ( ) έπεται ότι A P 4 4 P A n P 4 n 4 P P 4n 4 n P 4n 4 n 3 n+ + n n + n n+ + n 3 n + n n+ + Ασκηση 3 Θεωρούµε τον πίνακα A 3 M 3 (R) 3 Να ϐρεθεί ο πίνακας A m, m Λύση Εχουµε : 3 t P A (t) A ti 3 t ( t) 3 t 3 t 3 t ( t) (4 t) και άρα οι ιδιοτιµές είναι λ πολλαπλότητας δύο και λ 4 πολλαπλότητας ένα Οπως στη προηγούµενη άσκηση, λύνοντας τα κατάλληλα οµογενή συστήµατα, ϐρίσκουµε : V(), και V(4) Επειδή dim R V() και dim R V(4) έπεται ότι ο πίνακας A διαγωνοποιείται Συνεπώς υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P AP να είναι διαγώνιος Γνωρίζουµε τότε ότι ο πίνακας P είναι ο

4 πίνακας µετάβασης από την κανονική ϐάση του χώρου των στηλών R 3 στη ϐάση του R 3 η οποία σχηµατίζεται από τις στήλες των διανυσµάτων των ϐάσεων των ιδιοχώρων Εποµένως ϑα έχουµε : P έτσι ώστε Τότε και άρα P AP 4 A P P A P P P P 4 4 4 A P P 4 A m A m P 4 m P m 4 m m 4 m (πράξεις) m + m m m m m m m + m Ασκηση 4 Ποιές συνθήκες πρέπει να ικανοποιούν οι αριθµοί α, β, γ, δ, ɛ, ζ, έτσι ώστε ο πίνακας 3 α β γ A 3 δ ɛ 4 ζ 4 να είναι διαγωνοποιήσιµος ;

5 Λύση Εχουµε : 3 t α β γ P A (t) A ti 4 3 t δ ɛ 4 t ζ (3 t) (4 t) 4 t και άρα οι ιδιοτιµές είναι λ 3 πολλαπλότητας δύο και λ 4 πολλαπλότητας δύο Για να διαγωνοποιείται ο πίνακας A ϑα πρέπει οι ιδιοτιµές του να ανήκουν στο R, κάτι που προφανώς ισχύει, και : dim R V(3) και dim R V(4) Για τον ιδιόχωρο V(3) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : α β γ x δ ɛ y ζ z w και επειδή α β γ dim R V(3) 4 r δ ɛ ζ έπεται ότι dim R V(3) αν και µόνο αν η ϐαθµίδα α β γ r δ ɛ ζ Εύκολα κάνοντας στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του παραπάνω πίνακα (διαδικασία η οποία δεν αλλάζει τη ϐαθµίδα ενός πίνακα), έχουµε : α β γ α δ ɛ ζ και άρα α β γ α r δ ɛ ζ r α () Για τον ιδιόχωρο ιδιόχωρο V(4) έχουµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : α β γ x δ ɛ y ζ z w και άρα έχουµε ότι dim R V(4) αν και µόνο αν η ϐαθµίδα α β γ r δ ɛ ζ

6 Κάνοντας στοιχειώδεις πράξεις στις στήλες (διαδικασία η οποία δεν αλλάζει τη ϐαθµίδα ενός πίνακα), έχουµε : α β γ δ ɛ ζ ζ και άρα α β γ r δ ɛ ζ r ζ ζ () Από τις σχέσεις () και () έπεται ότι : ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος α ζ Ασκηση 5 Θεωρούµε τον πίνακα A 4 3 M 3 (R) 5 Να δειχθεί ότι : A 593 A 5 A Λύση Εχουµε : t 4 3 P A (t) A ti 3 t 5 t ( t) t 3 t ( t)(t )(t + ) και άρα οι ιδιοτιµές είναι λ, λ και λ 3, όλες πολλαπλότητας ένα Άρα ο πίνακας A έχει τρεις διακεκριµένες ιδιοτιµές και εποµένως ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Με τη γνωστή διαδικασία εύκολα ϐρίσκουµε : V() 7 6, V(), V( ) 3 Συνεπώς υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας έτσι ώστε P 7 3 6 P AP Τότε A 593 P 593 P P P A

7 και όµοια A 5 A Άρα, έχουµε 4 : A 593 A 5 4 3 4 8 6 4 3 A 5 4 5 Ασκηση 6 Βρείτε τις ιδιοτιµές καθώς και τους αντίστοιχους ιδιοχώρους του πίνακα A i i i i M 3 (C) i i () Είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ; () Αν ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος, τότε : (αʹ) Να ϐρεθεί αντιστρέψιµος 3 3 πίνακας µιγαδικών αριθµών P έτσι ώστε ο πίνακας P AP να είναι διαγώνιος (ϐʹ) Να ϐρεθεί ο πίνακας A 8 Λύση Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι : t i i P A (t) A ti 3 i t i i i t t3 3t i (t 3 + 3t + i) Παρατηρούµε ότι P A ( i) ( ( i) 3 + 3( i) + i) ) ( i 3i + i ) Άρα το i είναι ϱίζα του P A (t) και εποµένως µπορούµε να γράψουµε P A (t) (t + i)(t + at + b) για κάποιους µιγαδικούς αριθµούς a, b Μετά από πράξεις, η παραπάνω σχέση γράφεται : a + i (t 3 + 3t + i) (t 3 + (a + i)t + (b + ai)t + bi) b + ai 3 bi i { a i b Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι P A (t) (t + i) (t i) Εποµένως οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι : { λ i πολλαπλότητας λ i πολλαπλότητας έχουµε τις ιδιοτιµές : λ i απλή και λ i πολλαπλότητας δύο 4 Β τρόπος: Από το Θεώρηµα των Cauley-Hamilton το οποίο ϑα δούµε σε επόµενη ενότητα, έχουµε ότι ο πίνακας A µηδενίζεται από το χαρακτηριστικό του πολυώνυµο, δηλαδή P A(A) Εποµένως, επειδή P A(t) t 3 + t, ϑα έχουµε : A 3 + A A 3 A Άρα έχουµε : A 593 A 3 97+ (A 3 ) 97 A A 97 A A 99 A 3 66+ A 67 A 3 + A 3 A 3 7+ A 9 (A 3 ) 3 A 3 A και A 5 (A 3 ) 5 A 5 A 3 + A 3 A A 3 A Συνεπώς : A 593 A 5 A A A

8 Ο ιδιοχώρος V( i): Θα έχουµε : V( i) X x x C 3 (A ( i)i 3 )X O X x x C 3 (A + ii 3 )X O x 3 Θεωρούµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : (A + ii 3 )X O i i i i i i x x i(x + x + x 3 ) x + x + x 3 i i i x 3 Άρα ϑα έχουµε : V( i) x x C 3 x + x + x 3 x x C 3 x 3 x x x 3 x x C 3 x, x C x + x C 3 x, x C x x x x x + x C 3 x, x C, Επειδή προφανώς οι στήλες, είναι γραµµικά ανεξάρτητες, έπεται ότι το σύνολο B, είναι µια ϐάση του ιδιοχώρου V( i) Ο ιδιοχώρος V(i): Θα έχουµε : V(i) X x x C 3 (A (i)i 3 )X O X x x C 3 (A ii 3 )X O x 3 x 3 Θεωρούµε το οµογενές γραµµικό σύστηµα : (A ii 3 )X O i i i i i i x x i i i x 3 x 3 x 3 ix + ix + ix 3 ix ix + ix 3 ix + ix ix 3 Πολλαπλασιάζοντας κάθε εξίσωση του (Σ) µε i, προκύπτει το ισοδύναµο οµογενές γραµµικό σύστηµα x x ix 3 (Σ ) x + x x 3 x x + x 3 Εκτελώντας στοιχειώδεις πράξεις στις γραµµές του πίνακα του συστήµατος (Σ ) ϐλέπουµε εύκολα ότι η ισχυρά γ-κλιµακωτή µορφή του είναι ο πίνακας (Σ)

9 και εποµένως το σύστηµα (Σ ) είναι ισοδύναµο µε το { (Σ x x 3 ) x x 3 x x x 3 Άρα ϑα έχουµε : V(i) x x C 3 x x x 3 x x C 3 x C x C 3 x C x 3 x Εποµένως το σύνολο είναι µια ϐάση του ιδιοχώρου V(i) B () Παρατηρούµε ότι οι ιδιοτιµές λ i (πολλαπλότηατς ) και λ i (πολλαπλότητας ) του A ανήκουν στο σώµα των µιγαδικών αριθµών C και { dim C V( i) πολλαπλότητα της λ i dim C V(i) πολλαπλότητα της λ i Εποµένως σύµφωνα µε γνωστό Θεώρηµα ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Οπως γνωρίζουµε τότε η ένωση B B B,, των ϐάσεων B και B των ιδιοχώρων V( i) και V(i) αντίστοιχα είναι µια ϐάση του C-διανυσµατικού χώρου C 3 () (αʹ) Ο πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P AP να είναι διαγώνιος, και τότε αναγκαστικά ϑα έχουµε P AP i i i i είναι ο πίνακας µετάβασης από την κανονική ϐάση του C 3 στη ϐάση B που ϐρήκαµε στο µέρος () Γνωρίζουµε τότε ότι ο πίνακας P είναι ο πίνακας ο οποίος σχηµατίζεται από τις στήλες των διανυσµάτων της ϐάσης B: P (ϐʹ) Από τη σχέση P AP i, προκύπτει ότι : A P i P i P P A n i n P n P A n i n P ( )n ( ) n P n Εύκολα υπολογίζουµςε ότι : P 3

Εποµένως : A n i n ( )n ( ) n n 3 A n in n + ( ) n n ( ) n n ( ) n n ( ) n n + ( ) n n ( ) n 3 n ( ) n n ( ) n n + ( ) n Επειδή, όπως µπορύµε να δούµε εύκολα i 8 ϑα έχουµε : A n 8 + n n n 8 + n 3 n n 8 + Ασκηση 7 Να ϐρεθούν αναγκαίες και ικανές συνθήκες τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν τα ώστε ο πίνακας A µ 3 ν να είναι διαγωνοποιήσιµος µ, ν R, έτσι Λύση Εχουµε : t P A (t) A ti 3 t µ ( t) t µ 3 ν t ν t ( t) (ν t) Εποµένως οι ιδιοτιµές του πίνακα A είναι οι λ και λ µ Επειδή δεν γνωρίζουµε τις πολλαπλότητες των ιδιοτιµών, διακρίνουµε τις ακόλουθες περιπτώσεις : () Εστω ν Τότε έχουµε την ιδιοτιµή λ µε πολλαπλότητα τρια Για να είναι ο A διαγωνοποιήσιµος ϑα πρέπει dim R V() 3 Οµως από το οµεγενές σύστηµα µ x y 3 z έπεται άµεσα ότι : r, αν µ µ 3, αν µ dim R V() 3 3, αν µ dim R V() 3 3, αν µ Άρα για ν και τυχόν µ R ο πίνακας A δεν διαγωνοποιείται () Εστω ν Τότε έχουµε τις ιδιοτιµές λ πολλαπλότητας δυο και λ ν πολλαπλότητας ένα Σε αυτή τη περίπτωση για να είναι ο πίνακας A διαγωνοποιήσιµος ϑα πρέπει dim R V() Εχουµε το οµογενές σύστηµα : µ x y 3 ν z και άρα r αν µ µ 3 ν αν µ Εποµένως για ν και µ ο πίνακας A διαγωνοποιείται dim R V() 3, αν µ dim R V() 3, αν µ

Ασκηση 8 () Να εξετασθεί αν οι πίνακες A και B 3 3 είναι όµοιοι () Να εξετασθεί αν οι πίνακες A 3 και B 3 3 ν είναι όµοιοι Λύση () Εχουµε : t P A (t) A ti 3 t ( t)(t )(t 3) 3 t Οι ιδιοτιµές είναι λ, λ και λ 3 3 πολλαπλότητας ένα Άρα ο πίνακας A έχει τρεις διακεκριµένες ιδιοτιµές και εποµένως διαγωνοποιείται Ετσι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P AP 3 Αυτό σηµαίνει ότι οι πίνακες A και B είναι όµοιοι () Από την Άσκηση 3 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος και έχει ως ιδιοτιµές τους αριθµούς λ µε πολλαπλότητα δύο και λ 4 µε πολλαπλότητα ένα Εποµένως είναι όµοιος µε τον πίνακα 4 Από την Άσκηση 7 γνωρίζουµε ότι αν ν, τότε ο πίνακας B είναι διαγωνοποιήσιµος και έχει ως ιδιοτιµές τους αριθµούς λ µε πολλαπλότητα δύο και λ 4 µε πολλαπλότητα ένα Εποµένως είναι όµοιος µε τον πίνακα Τότε, επειδή οι πίνακες A και B είναι όµοιοι µε τον πίνακα έπεται ότι 5 οι πίνακες A και B είναι όµοιοι Αν ν, τότε από την Άσκηση 7 γνωρίζουµε ότι ο πίνακας B δεν είναι διαγωνοποιήσιµος Τότε οι πίνακες A και B δεν είναι όµοιοι Πράγµατι, αν οι πίνακες A και B είναι όµοιοι, έπεται ότι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας Q έτσι ώστε Q AQ B Επειδή ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος, έπεται ότι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P AP, και τότε : Q AQ B Q P P Q B (P Q) (P Q) B (P Q)B(P Q) (Q P ) B(Q P ) δηλαδή ο πίνακας B είναι όµοιος µε τον διαγώνιο πίνακα και άρα είναι διαγωνοποιήσιµος Αυτό είναι άτοπο και άρα οι πίνακες A και B δεν είναι όµοιοι Εποµένως αν ν οι πίνακες A και B είναι όµοιοι και αν ν οι πίνακες A και B δεν είναι όµοιοι a b Ασκηση 9 () Εστω A ένας πίνακας µε στοιχεία από ένα σώµα K Να δειχθεί ότι : c d P A (t) t (a + d)t + (ad bc) t Tr(A)t + Det(A) 5 Υπενθυµίζουµε ότι η σχέση οµοιότητας n n πινάκων είναι µια σχέση ισοδυναµίας στο σύνολο Mn(K)

όπου Tr(A) a + d είναι το ίχνος του A και Det(A) ad bc είναι η οριζουσα του A, και : A (a + d)a + (ad bc)i A Tr(A)A + Det(A)I O 3 () Να ϐρεθεί η n-οστή δύναµη του πίνακα A (3) Να δειχθεί ότι ο πίνακας ( ), αν a A a είναι όµοιος µε τον πίνακα, αν a όπου a R (4) Να εξετασθεί αν οι πίνακες A και B είναι όµοιοι, στις ακόλουθες περιπτώσεις : (αʹ) (ϐʹ) (γʹ) (δʹ) Λύση () Υπολογίζουµε εύκολα : P A (t) A ti a t c δηλαδή : A A A A, B 3, B 5 3 6, B 6 6, B 6 3 4 3 3 ( ) 4 b d t ad at dt + t bc t (a + d)t + (ad bc) P A (t) t Tr(A)t + A και παρόµοια : A a b a b a b (a + d)a + (ad bc)i (a + d) + (ad bc) c d c d c d ( a ) + bc ab + bd (a + d)a (a + d)b ad bc ca + dc cb + d + (a + d)c (a + d)d ad bc ( a + bc a ) ad + ad bc ab + bd ab bd ac + cd ac cd cb + d ad d O + ad bc δηλαδή : () Για τον πίνακα A ( 3 P A (A) A Tr(A)A + A O ) έχουµε Tr(A) και Det(A) Από το µέρος () έπεται ότι : A I O A I A n (3) ιακρίνουµε περιπτώσεις : (αʹ) Εστω ότι a Τότε A I είναι ο µοναδιαίος πίνακας { I, αν n : άρτιος A, αν n : περιττός

3 (ϐʹ) Εστω ότι a Τότε υπάρχει ο αριθµός a και ϑεωρούµε τον πίνακα a a ο οποίος είναι προφανώς αντιστρέψιµος µε P Θα έχουµε : P a a a AP Αυτό σηµαίνει ότι οι πίνακες A και είναι όµοιοι (4) Οι πίνακες (αʹ) A, B 3 3 δεν είναι όµοιοι διότι A 3 6 B, και γνωρίζουµε ότι όµοιοι πίνακες έχουν την ίδια ορίζουσα (ϐʹ) Οι πίνακες A, B 5 3 4 3 δεν είναι όµοιοι, διότι αν και έχουν την ίδια ορίζουσα : χαρακτηριστικό πολυώνυµο : P A (t) t 3t 5 και P B (t) t 4t 5 και γνωρίζουµε ότι όµοιοι πίνακες έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο (γʹ) Οι πίνακες 6 3 A, B 6 έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο P A (t) t 5t + 6 P B (t) A 5 B, δεν έχουν το ίδιο και άρα το ίδιο ίχνος και την ίδια ορίζουσα Επειδή t 5t+6 (t )(t 3), έπεται ότι οι πίνακες A και B έχουν τις ίδιες ιδιοτιµές λ και λ 3, και οι δύο µε πολλαπλότητα ( ένα, ) και άρα και οι δύο είναι διαγωνοποιήσιµοι και άρα είναι όµοιοι µε τον διαγώνιο πίνακα Επειδή 3 δύο πίνακες οι οποίοι είναι όµοιοι µε έναν τρίτο πίνακα είναι και µεταξύ τους όµοιοι, έπεται ότι οι πίνακες A και B είναι όµοιοι (δʹ) Οι πίνακες 6 A, B 6 4 έχουν το ίδιο ίχνος και την ίδια ορίζουσα, και εποµένως από το µέροις () έχουν το ίδιο χαρακτη- ϱιστικό πολυώνυµο, το οποίο από το µέρος (3) είναι το t 5t + 6 (t )(t 3) Τότε όπως και στο µέρος (γ ) έπεται ότι οι πίνακες A και B είναι όµοιοι Ασκηση Εστω A και B δύο όµοιοι πίνακες Να δειχθεί ότι οι πίνακες A και B είναι όµοιοι Ισχύει το αντίστροφο ; Λύση Επειδή οι πίνακες A και B είναι όµοιοι, υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε P AP B Τότε P A P P AI AP P AP P AP B B B Άρα οι πίνακες A και B είναι όµοιοι

4 Το αντίστροφο δεν ισχύει : Θεωρούµε τους πίνακες I και B Τότε A I B και εποµένως οι πίνακες A και B είναι ίσοι και άρα όµοιοι Οµως οι πίνακες A και B δεν είναι όµοιοι διότι, για παράδειγµα, έχουν διαφορετική ορίζουσα : A B Ασκηση Εστω οι µιγαδικοί αριθµοί a+bi και a bi, όπου a, b R Να δειχθεί ότι οι αριθµοί a+bi και a bi είναι ιδιοτιµές ενός πίνακα A M (R) και ακολούθως να ϐρεθεί αντιστρέψιµος πίνακας µιγαδικών αριθµών P έτσι ώστε : P a + bi A P a bi Λύση Αν b, τότε a + bi a bi a R, και τότε µπορούµε να επιλέξουµε ως πίνακα A και ως αντιστρέψιµο πίνακα P τους πίνακες a A και P a Από τώρα και στο εξής, υποθέτουµε ότι b Ιδιαίτερα τότε έχουµε ότι : a + bi a bi a + bi Ο διαγώνιος πίνακας έχει χαρακτηριστικό πολυώνυµο a bi P (t) t I (a + bi) t (a bi) t (a + bi)(a bi) ( (a + bi) + (a bi))t + t t at + (a + b ) Άρα το χαρακτηριστικό πολυώνυµο P (t) του έχει πραγµατικούς συντελεστές Αν A είναι ένας πίνακας πραγµατικών αριθµών έτσι ώστε P AP για κάποιον αντιστρέψιµο πίνακα µιγαδικών αριθµών P, τότε γνωρίζουµε ότι οι όµοιοι πίνακες A και έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυµο και εποµένως P A (t) t at + (a + b ) Επειδή P A (t) t Tr(A)t + A, έπεται ότι : Tr(A) a και A a + b Με ϐάση την παραπάνω ανάλυση, ϑεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών a b A b a για τον οποίο ισχύει ότι Tr(A) a και A a + b Οι ϱίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του A είναι τότε οι µιγαδικοί αριθµοί : λ, a ± (a) 4(a + b και άρα οι ιδιοτιµές του A είναι οι µιγαδικοί αριθµοί a ± b λ a + bi και λ a bi a ± ib a ± ib Επειδή οι ιδιοτιµές του A είναι διακεκριµένες, έπεται ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Εύκολα ϐλέπουµε ότι το διάνυσµα i είναι µια ϐάση του ιδιοχώρου V(a + bi), και το διάνυσµα ( i)

5 είναι µια ϐάση του ιδιοχώρου V(a bi) Άρα το σύνολο { (, i i)} είναι µια ϐάση του C, και εποµένως, ϑέτοντας 6 P i i αποκτούµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα για τον οποίο ισχύει ότι P a + bi A P a bi Ασκηση Εστω A ένας διαγωνοποιήσιµος n n πίνακας πραγµατικών αριθµών και υποθέτουµε ότι οι µόνες ιδιοτιµές του είναι οι αριθµοί και Να δειχθεί ότι : A I n Λύση Επειδή ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος, έπεται ότι υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε ο πίνακας P AP : να είναι διαγώνιος Αναγκαστικά τότε τα στοιχεία στη διαγώνιο του είναι οι ιδιοτιµές του A, δηλαδή οι αριθµοί και Προφανώς όµως το τετράγωνο ενός διαγώνιου πίνακα µε διαγώνια στοιχεία τους αριθµούς και, όπως ο, είναι ίσο µε τον µοναδιαίο n n πίνακα I n Ετσι I n Τότε όµως : P AP A P P A P P P I n P P P I n Ασκηση 3 Να προσδιορισθούν όλοι οι πίνακες πραγµατικών αριθµών οι οποίοι έχουν ως ιδιοτιµές τους αριθµούς και µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα : ( ( ) ) και Λύση Εστω A ένας πίνακας πραγµατικών αριθµών ο οποίος έχει ως ιδιοτιµές τους αριθµούς και µε αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα : ( και ) Επειδή A έχει διακεκριµένες ιδιοτιµές, έπεται ότι ο A είναι διαγωνοποιήσιµος Επειδή οι ιδιοτιµές του A είναι απλές, δηλαδή πολλαπλότητας, έπεται ότι οι ιδιοχώροι V() και V( ) είναι µονοδιάστατοι και εποµένως το διάνυσµα είναι µια ϐάση του V() και το διάνυσµα είναι µια ϐάση του V( ) Άρα το σύνολο {, είναι µια ϐάση του R, και εποµένως, ϑέτοντας P ( )} 6 Θα µπορούσαµε να εργασθούµε και διαφορετικά : Αναζητώντας πίνακα πραγµατικών αριθµών A έτσι ώστε P AP, ισοδύναµα αναζητούµε αντιστρέψιµο πίνακα µιγαδικών αριθµών P έτσι ώστε ο πίνακας A : P P να είναι πίνακας πραγµατικών x y αριθµών Θέτοντας P M z w (C) πρέπει να έχουµε ότι A xw yz και P P να είναι πίνακας πραγµατικών αριθµών

6 αποκτούµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα για τον οποίο ισχύει ότι P A P A P Υπολογίζουµε εύκολα ότι : P P και τότε : 6 A 6 Εύκολα επαληθεύουµε οτι ο πίνακας έχει ως ιδιοτιµές τους αριθµούς και µε αντίστοιχα ( ( ιδιοδιανύσµατα και ) ) Ασκηση 4 Υποθέτουµε ότι το χαρακτηριστικό πολυώνυµο ενός n n διαγωνοποιήσιµου πίνακα A είναι το () Να ϐρεθεί το n () Να ϐρεθεί η ϐαθµίδα του πίνακα A P A (t) t 3 (t ) (t ) 5 (t + ) 4 Λύση Γνωρίζουµε ότι ο ϐαθµός του χαρακτηριστικού πολυωνύµου P A (t) είναι deg P A (t) n Επειδή P A (t) t 3 (t ) (t ) 5 (t + ) 4, έπεται ότι : Προφανώς οι ιδιοτιµές του A είναι οι : () λ µε πολλαπλότητα 3, () λ µε πολλαπλότητα, (3) λ 3 µε πολλαπλότητα 5, (4) λ 4 µε πολλαπλότητα 4 n deg P A (t) 3 + + 5 + 4 4 Επειδή ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος, έπεται ότι : () dim K V() 3 πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ, () dim K V() πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ, (3) dim K V() 5 πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ 3, (4) dim K V( ) 4 πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ 4 Γνωρίζουµε ότι η ϐαθµίδα του πίνακα A συµπίπτει µε τη ϐαθµίδα της γραµµικής απεικόνισης δηλαδή : f A : K 4 K 4, Απο τη Θεµελιώδη Εξίσωση ιαστάσεων έπεται ότι : f A (X) AX r(a) r(f A ) dim K Im(f A ) dim K Im(f A ) 4 dim K Ker(f A ) Προφανώς όµως : Ker(f A ) V() και εποµένως από τις παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι : r(a) 4 dim K V() 4 3

7 Ασκηση 5 Να εξετασθούν ως προς τη διαγωνοποίηση οι πίνακες πραγµατικών αριθµών : A (), A, A 3, A 4, A n Λύση Θα εργαστούµε αναλύοντας τη γενική περίπτωση του n n πίνακα A n Υπολογίζουµε το χαρακτηριστικό πολυώνυµο τοιυ πίνακα A n : t t t Σ Σ +Σ + +Σ P An (t) A n ti n n t t n t n t t t n t t t Γ Γ Γ, Γ 3 Γ 3 Γ, (n t),γ n Γ n t t t n t t t t t (n t) ( ) n (n t)t n t t Άρα P An (t) ( ) n t n (n t) και εποµένως οι ιδιοτιµές του A n είναι οι λ n µε πολλαπλότητα και λ µε πολλαπλότητα n Για τον ιδιοχώρο V(n) παρατηρούµε ότι αν E, τότε : n n A n E n n ne n Άρα το διάνυσµα E είναι ένα ιδιοδιάνυσµα του A n το οποίο αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή λ n ιδιοτιµή λ είναι απλή έπεται ότι το σύνολο E είναι µια ϐάση του V(n) Για τον ιδιοχώρο V() παρατηρούµε ότι V() { X K n A n X } Λ(Σ) Επειδή η

8 είναι το σύνολο λύσεων του οµογενούς συστήµατος (Σ) A n X O, δηλαδή x x x n x + x + + x n Η γενική λύση του (Σ) είναι η V x x x x x n K n x, x,, x n K x x + x x + + x n x n K n x, x,, x n K x + x + + x n K n x, x,, x n K E, E 3,, E n Προφανώς οι στήλες E, E 3,, E n είναι γραµµικά ανεξάρτητες και εποµένως αποτελούν ϐάση του ιδιοχώρου V() Εποµένως dim K V() n πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ Από τα παραπάνω έπεται ότι ο πίνακας A n είναι διαγωνοποιήσιµος και εποµένως το σύνολο E, E, E 3,, E n είναι µια ϐάση του K n Τότε ϑέτοντας P

9 αποκτούµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα P έτσι ώστε : n P A n P Ασκηση 6 Εστω A ένας n n πίνακας πραγµατικών αριθµών και υποθέτουµε ότι οι µόνες ιδιοτιµές του A είναι οι,, 7, και 3, πιθανόν µε κάποιες πολλαπλότητες Να δειχθεί ότι ο πίνακας A + I n είναι αντιστρέψιµος Λύση Αν ο πίνακας A + I n δεν είναι αντιστρέψιµος, τότε γνωρίζουµε ότι A + I n Θεωρούµε το χαρακτη- ϱιστικό πολυώνυµο του A: P A (t) A ti n Αν A + I n, τότε ο αριθµός λ είναι ϱίζα του χαρακτηριστικού πολυωνύµου του A: P A ( ) A ( )I n A + I n και εποµένως ο αριθµός λ είναι ιδιοτιµή του A Αυτό είναι άτοπο από την υπόθεση, και εποµένως A + I n, δηλαδή ο πίνακας A + I n είναι αντιστρέψιµος Ασκηση 7 Να ϐρεθεί ένας 3 3 πίνακας πραγµατικών αριθµών A για τον οποίο τα διανύσµατα στήλες X, Y, Z είναι ιδιοδιανύσµατα του A µε αντίστοιχες ιδιοτιµές, και 3 Λύση Από υπόθεση οι ιδιοτιµές λ, λ, και λ 3 3 του πίνακα A είναι πραγµατικές, όλες µε πολλαπλότητα ένα Συνεπώς ο A διαγωνοποιείται και άρα υπάρχει αντιστρέψιµος πίνακας P έτσι ώστε : P AP 3 Επειδή από την υποθεση οι στήλες X, Y, και Z είναι ιδιοδιανύσµατα του A που αντιστοιχούν στις ιδιοτιµές,, και 3 αντίστοιχα, έπεται ότι οι µη-µηδενικές στήλες X, Y, και Z ανήκουν στους ιδιοχώρους V(), V(), και V(3) αντίστοιχα Επειδή ο πίνακας A διαγωνοποιείται, από το κριτήριο διαγωνοποίησης, η διάσταση των ιδιοχώρων V(), V(), και V(3) είναι ίση µε την πολλαπλότητα της αντίστοιχης ιδιοτιµής η οποία είναι ίση µε Άρα dim R V() dim R V() dim R V(3) Αυτό σηµαίνει 7 ότι οι στήλες X, Y, και Z αποτελούν ϐάσεις των ιδιοχώρων V(), V(), και V(3) αντίστοιχα Γνωρίζουµε τότε από τη Θεωρία ότι η ένωση αυτών των ϐάσεων αποτελεί µια ϐάση C X, Y, Z του χώρου των στηλών R 3 Γνωρίζουµε τότε από τη ϑεωρία ότι ο αντιστρέψιµος πίνακας P σχηµατίζεται από τις στήλες των διανυσµάτων της ϐάσης C του R 3 και εποµένως : P Τότε ϑα έχουµε : P AP A P P 3 3 }{{} πράξεις 4 5 4 5 7 Σε έναν K-διανυσµατικό χώρο E διάστασης dimk E, κάθε µη-µηδενικό διάνυσµα είναι ϐάση του E

3 Ασκηση 8 Εστω f : E E ένας ενδοµορφισµός του K-διανυσµατικού χώρου E, όπου dim K E < Αν να δειχθεί ότι ο f είναι διαγωνοποιήσιµος E Ker(f) Im(f) () (αʹ) Αν f Id E, να δείξετε ότι ο f είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐʹ) Αν f f, να δείξετε ότι ο f είναι διαγωνοποιήσιµος () Εστω A M n (K) (αʹ) Αν A I n, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐʹ) Αν A A, να δείξετε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Λύση Εστω ότι E Ker(f) Im(f) Εστω B { e, e,, e k } µια ϐάση του Ker(f) την οποία συµπλη- ϱώνουµε σε µια ϐάση B { e, e,, e k, e k+,, e n } του E Γνωρίζουµε τότε ότι το σύνολο B { ɛ k+ f( e k+ ), ɛ k+ f( e ),, ɛ n f( e n ) } µια ϐάση του Im(f) Επειδή E Ker(f) Im(f), έπεται ότι το σύνολο C { e, e,, e k, ɛ k+ f( e k+ ), ɛ k+ f( e ),, ɛ n f( e n ) } είναι µια ϐάση του E Επειδή : f( e i ), i k, και f( ɛ j ) f(f( e j )) f ( e j ) f( e j ) ɛ j, k + j n έπεται ότι ο πίνακας της f στη ϐάση C είναι διαγώνιος, τα πρώτα k στοιχεία της διαγωνίου είναι ίσα µε µηδέν, και τα υπόλοιπα n k είναι ίσα µε Εποµένως ο ενδοµορφισµός f είναι διαγωνοποιήσιµος () (αʹ) Θεωρούµε του υπόχωρους του E: V + { x E f( x) x } και V { x E f( x) x } Από την Άσκηση 9 του Φυλλαδίου γνωρίζουµε ότι αν f Id E, τότε : E V + V Εποµένως, αν B { e, e,, e k } είναι µια ϐάση του V+ και B { e k+, e k+,, e n } είναι µια ϐάση του V, τότε το σύνολο B B B είναι µια ϐάση του E Ο πίνακας του f στη ϐάση B είναι διαγώνιος, τα πρώτα k στοιχεία της διαγωνίου είναι ίσα µε, και τα υπόλοιπα n k είναι ίσα µε Εποµένως ο ενδοµορφισµός f είναι διαγωνοποιήσιµος (ϐʹ) Από την Άσκηση 8 του Φυλλαδίου γνωρίζουµε ότι αν f f, τότε : E Ker(f) Im(f) Εποµένως, σύµφωνα µε την παραπάνω ανάλυση, ο ενδοµορφισµός f είναι διαγωνοποιήσιµος () Υπενθυµίζουµε ότι κάθε πίνακας A M n (K) επάγει έναν ενδοµορφισµό f A : K n K n, f A (X) A X και ο πίνακας A διαγωνοποιείται αν και µόνο αν η γραµµική απεικόνιση f A είναι διαγωνοποιήσιµη Αν A I n τότε έπεται εύκολα ότι fa Id K n και αν A A τότε έχουµε fa f A Συνεπώς και στις δυο περιπτώσεις από το ερώτηµα () έχουµε ότι ο πίνακας A είναι διαγωνοποιήσιµος Ασκηση 9 Θεωρούµε τη γραµµική απεικόνιση : f : R 3 R 3, f(x, y, z) (x + kz, ky, ky + z) Να ϐρεθούν οι τιµές του k R για τις οποίες η f είναι διαγωνοποιήσιµη Λύση Βρίσκουµε πρώτα το πίνακα της f στη κανονική ϐάση B { (,, ), (,, ), (,, ) } του R 3 Εχου- µε : f(,, ) (,, ) f(,, ) (, k, k) A Μ B B (f) k k f(,, ) (k,, ) k Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του f είναι t k P f (t) A ti 3 k t ( t) k t k t k t ( t)(k t)( t)

3 Εποµένως οι ιδιοτιµές του f είναι οι ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : λ, λ, λ 3 k () Αν k και k, δηλαδή k και k, τότε έχουµε ότι ο f έχει τρεις διακεκριµένες ιδιοτιµές : λ, λ, λ 3 k Συνεπώς, ο f είναι διαγωνοποιήσιµος () Εστω ότι k, δηλαδή k Τότε η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ είναι δύο και η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ είναι ένα Για να είναι ο f διαγωνοποιήσιµος ϑα πρέπει dim R V() και dim R V() Υπενθυµίζουµε ότι αν έχουµε µια ιδιοτιµή λ σε ένα διανυσµατικό χώρο E πεπερασµένης διάστασης, τότε ισχύει dim R V(λ) αλγεβρική πολλαπλότητα της λ Άρα πράγµατι έχουµε dim R V() Για τον ιδιόχωρο V() έχουµε : x y y z z Τότε V() {(x,, ) x R} (,, ), το διάνυσµα (,, ) είναι µια ϐάση του V() και άρα dim R V() Εποµένως, στη περίπτωση όπου το k ο f δεν είναι διαγωνοποιήσιµος (3) Εστω ότι k, δηλαδή k Τότε η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ είναι ένα, ενώ η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιµής λ είναι δύο Άρα για να είναι η f διαγωνοποιήσιµη ϑα πρέπει dim R V() και dim R V() Οπως παραπάνω, ισχύει ότι dim R V() Για τον ιδιόχωρο V() έχουµε : x y x z και y z Τότε V() {(x,, x) x R} (,, ), το διάνυσµα (,, ) είναι µια ϐάση του V() και άρα και άρα dim R V() Εποµένως, στη περίπτωση όπου το k ο ενδοµορφισµός f δεν είναι διαγωνοποιήσιµος Άρα, συνοψίζοντας, δείξαµε ότι : Ο ενδοµορφισµός f είναι διαγωνοπιήσιµος k, Ασκηση 3 Να προσδιορισθεί ο n-οστός όρος της ακολουθίας Fibonacci (F n ) n, όπου F, F, F n+ F n + F n, n Λύση Θεωρούµε τον πίνακα πραγµατικών αριθµών A Τότε, n : Fn A F n ( Fn F n ) F n F n + F n ( Fn F n+ )

3 Εποµένως : Fn Fn Fn A AA A F n+ F n F Fn A n F Fn 3 A n F n A n F A F n F A A F n F F Άρα ϑα έχουµε : Fn A F n n+ A 3 Fn 3 F n Εποµένως για να προσδιορίσουµε τον n-οστό όρο F n της ακολουθίας Fibonacci, αρκεί να προσδιορίσουµε τη n-οστή δύναµη A n του πίνακα A και να εκτελέσουµε τον πολλαπλασιασµό ( ) Για τον προσδιορισµό της n-οστής δύναµης A n του πίνακα A εξετάζουµε αν ο πίνακας A διαγωνοποιείται Το χαρακτηριστικό πολυώνυµο του πίνακα A είναι : P A (t) A ti t t t t Οι ϱίζες του τριωνύµου t t είναι οι λ + 5 και λ 5 Εποµένως ο πίνακας A έχει δύο διακεκριµένες ιδιοτιµές και άρα διαγωνοποιείται Σηµειώνουµε ότι έχουµε Για τον ιδιόχωρο V(λ ) έχουµε : ( λ x λ y ) λ i λ i, i { λ x + y x + ( λ )y ( x y) ( λ ) διότι ϑέτοντας y λ x στη δεύτερη εξίσωση έχουµε x + ( λ )λ x x( + ( λ )λ ) x( + λ λ ) x( ) και άρα ικανοποιείται και η δεύτερη εξίσωση Εποµένως : { } { ( } ( x V(λ ) R xλ x R x R λ) x R λ) Εργαζόµενοι παρόµοια, για τον ιδιόχωρο V(λ ) προκύπτει άµεσα ότι : ( V(λ ) λ) ϐάση Τότε από τη ϐάση {( λ)} του R Εποµένως ϑέτοντας του ιδιοχώρου V(λ ) και τη ϐάση C {(, λ) P ( λ)} λ λ προκύπτει ένας αντιστρέψιµος πίνακας για τον οποίο ισχύει ότι : P λ A P λ Υπολογίζουµε εύκολα ότι P λ 5 λ {( λ)} και τότε ϑα έχουµε : n A n λ P P λ λ n ( 5 λ ) λ λ λ n λ ( ) του ιδιοχώρου V(λ ) προκύπτει η

( λ λ n + λ λ n λ n ) λn 5 λ λ n+ + λ λ n+ λ n+ λ n+ Άρα η n-οστή δύναµη του πίνακα A είναι : A n ( λ λ n + λ λ n λ n ) λn 5 λ λ n+ + λ λ n+ λ n+ λ n+ Από τη σχέση ( ) προκύπτει τότε ότι : Fn A F n ( λ λ n + λ λ n λ n ) ( λn n+ 5 λ λ n+ + λ λ n+ λ n+ λ n+ ) ( λ n λ n ) 5 λ n+ λ n+ Με άλλα λόγια έχουµε, n : F n λn λn 5 ( + ) n ( 5 ) n 5 5 33 Ασκηση 3 Εστω (x n ) n, (y n ) n και (z n ) n ακολουθίες πραγµατικών αριθµών οι οποίες συνδέονται µε τις παρακάτω αναγωγικές σχέσεις, n : x n x n y n x n 3y n z n z n x n + 4y n + 3z n Να ϐρεθούν οι ακολουθίες, αν γνωρίζουµε ότι : x, y 3, z Λύση Από τις αναγωγικές σχέσεις έχουµε : x n y n 3 x n y n () z n 4 3 z n Θέτουµε Τότε αφού A 3 4 3 x n A x n y n z n y n z n από τη σχέση () έπεται ότι x n y n A x n y n A x n y n A n x y z n z n z n z x n A n x () Συνεπώς από τη παραπάνω σχέση αρκεί να ϐρούµε το πίνακα A n Εχουµε : t P A (t) A ti 3 3 t ( t) 3 t 4 3 t 4 3 t ( t) (t + ) και άρα οι ιδιοτιµές είναι λ πολλαπλότητας δύο και λ πολλαπλότητας ένα Εύκολα ϐρίσκουµε : V(), και V( ) y n z n y z

34 Επειδή dim R V() και dim R V( ) έπεται ότι ο πίνακας A διαγωνοποιείται Συνεπώς ϑέτοντας P αποκτούµε έναν αντιστρέψιµο πίνακα για τον οποίο ισχύει ότι P AP Τότε A P P A n P n P και εκτελώντας τους παραπάνω πολλαπλασιασµούς ϐρίσκουµε A n + ( ) n+ ( ) n+ + ( ) n+ + ( ) n+ ( ) n + ( ) n+ Άρα από τη σχέση () και τη περιγραφή του πίνακα A n έχουµε : x n y n A n 3 + ( ) n+ ( ) n+ + ( ) n+ 3 + ( ) n+ ( ) n + ( ) n+ z n πράξεις x n y n 9( ) n 6 z n 9( ) n +