Α.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ T.E. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμογών: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης Εαρινό εξάμηνο 6/7
Άσκηση Μόνιμα σφάλματα & ευστάθεια συστημάτων //7. Δίνεται το παρακάτω κλειστό σύστημα: α Βρείτε το μόνιμο σφάλμα e μέσω του θεωρήματος τελικής τιμής Lalace για είσοδο: i u t ii u t t και iii u t t. β Προσδιορίστε για κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις την απλούστερη συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή ώστε το μόνιμο σφάλμα να είναι e. για είσοδο u t t και u t t : i ii Σε όλες τις περιπτώσεις διερευνήστε την καταλληλότητα του ελεγκτή ως προς την ευστάθεια του συστήματος βάσει του κριτηρίου Ruth. Λύση α Μόνιμο σφάλμα i u t και : e E ii u t t και : e E iii : u t t και
.. E e β Προσδιορισμός ελεγκτή : i Είναι E E Y E Για t t u και πρέπει ώστε. e. E e Οπότε. Διερεύνηση ευστάθειας: Το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: Y και χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Q ή O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές Για t t u και πρέπει ώστε. e
... E e Οπότε. Διερεύνηση ευστάθειας: Το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: Y και χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Q ή O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι:. Οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές. ii Είναι E E Y E Για t t u και πρέπει ώστε. e. E e
.. Οπότε.. Για t t u και πρέπει d ώστε. e. E e d Οπότε.. d d Διερεύνηση ευστάθειας: Το κλειστό σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς: 6 Y Χαρακτηριστικό πολυώνυμο 6 Q ευσταθές Άρα για ή d το κλειστό σύστημα ευσταθές d.. Έστω ανοιχτό σύστημα με πόλους: και. Βρείτε με το κριτήριο Ruth ελεγκτή αναλογίας ώστε το κλειστό σύστημα ελέγχου να είναι ευσταθές. Τι θα αλλάξει με την προσθήκη μιας ρίζας/μηδενιστή z. Λύση Συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού συστήματος με και : 6 Συνάρτηση μεταφοράς κλειστού συστήματος: 6 Ο πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι:
c 6 6.6 c 6 7.6 7. Συνθήκη ευστάθειας: 7. Συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού συστήματος με και z : 6 Συνάρτηση μεταφοράς κλειστού συστήματος: 6 Ο πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: 6 6. Συνθήκη ευστάθειας:. Εξετάστε την ευστάθεια των παρακάτω πολυωνύμων εφαρμόζοντας το κριτήριο Ruth. Όπου απαιτείται προσδιορίστε τον αριθμό των ασταθών πόλων και τη συνθήκη ευστάθειας. α Q 6 6 β Q 77 γ Q 77 δ Q a. Σχεδιάστε στο επίπεδο a το πεδίο ευστάθειας του συστήματος. 6
Λύση α Q 6 6 ο πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: c d c d 6 6 6 6 οπότε θεωρούμε 6 6 c c 6 6 6 6 Δύο εναλλαγές στα πρόσημα των συντελεστών του πίνακα: από c d και από d άρα ασταθείς πόλοι. β Q 77 ο πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: c d 77 η εναλλαγή 77 69 c 69 7.7 η εναλλαγή d c 96.7 7. c 7.7 Δύο εναλλαγές στα πρόσημα των συντελεστών του πίνακα άρα ασταθείς πόλοι. 7
γ Q 77 ο πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: c d 77 77 69 c 69 Πρέπει c άρα: 7. 7 d c c 69 Πρέπει d άρα: 69 7. 9. δηλαδή. 9. δ Q a a c a a a c a a a a a 9 a Πρέπει c άρα: a a a a 9 9 Ενδεικτικές τιμές για την εξίσωση a a και πεδίο ευστάθειας: 9
a - -..... -. Άσκηση Τόπος ριζών //7 Σχεδιάστε τον τόπο ριζών των συστημάτων με συνάρτηση μεταφοράς: α β γ δ ε Βρείτε ασύμπτωτες σημεία διακλάδωσης/θλάσης όπου υπάρχουν σημεία τομής με τον φανταστικό άξονα αν υπάρχουν γωνία εξόδου από πόλους και συνθήκη ευστάθειας. Στα σημεία διακλάδωσης όπου υπάρχουν προσδιορίστε την τιμή του κέρδους. Λύση α Το σύστημα έχει n πόλους: και m ρίζες: z z z n m άρα μία ασύμπτωτος:. και. n m d Σημεία διακλάδωσης: δηλαδή d 6 6 με λύσεις: αποδεκτό αποδεκτό. 6 j απορρίπτονται Το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές για όλες τις τιμές του. 9
β 6 P Q Το σύστημα έχει n πόλους: και m ρίζες: z z n m άρα μία ασύμπτωτος με. d Σημεία διακλάδωσης: δηλαδή d 6 6 6 με λύσεις: αποδεκτό Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Q Q P 6.9 αποδεκτό.. 7 j απορρίπτονται 6 6 Στο σημείο διακλάδωσης: Q 6.9.9.9.. Οπότε. 9 6.9...6 τρίτος πόλος. 6 στο κόκκινο τμήμα.7
γ 6 P Q Το σύστημα έχει n πόλους: και m ρίζες: z z n m άρα μία ασύμπτωτος με. d Σημεία διακλάδωσης: δηλαδή d 6 6 με λύσεις: αποδεκτά. απορρίπτεται Σημεία τομής με το φανταστικό άξονα: Q Q P 9.6 αποδεκτό 6 Για j : Q j j 6j j 6j οπότε πρέπει: Re Q j και mq j 6 ή 6 Οπότε η εξίσωση γίνεται: 6. Η εξίσωση γίνεται:.
Το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές για.. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Q Q P 6 Στο σημείο διακλάδωσης: Q 9.6.9.9 9.9 9.9 Οπότε. 9 6.9 9.9 9.9. τρίτος πόλος. στο μπλε τμήμα.77 δ P Q Το σύστημα έχει n πόλους: j και m ρίζες: z n m άρα μία ασύμπτωτος με. d Σημεία διακλάδωσης: δηλαδή d 6 6 με λύσεις: αποδεκτό. 9 αποδεκτό.. 7 j απορρίπτονται
Γωνία εξόδου από πόλο j : z είναι άρα tan 9 9 9 z tan Το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές. Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Q Στο σημείο διακλάδωσης: Q.9 9.9 9.9.. Οπότε 9. 9 9.9... τρίτος πόλος. στο μπλε τμήμα 9.
ε P Q Το σύστημα έχει n πόλους: και m ρίζες: z n m άρα μία ασύμπτωτος με. d Σημεία διακλάδωσης: δηλαδή d με λύσεις:. 6 αποδεκτά. 6 απορρίπτεται Γωνία εξόδου από πόλους: z z είναι άρα z z Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: Q Q P Στο σημείο διακλάδωσης: Q.6 6.9 6.9.97.97 Οπότε 6. 9 9.9.97.97.7 πόλος. 7. ασταθής στο κόκκινο τμήμα
Άσκηση Τόπος ριζών Σύνθεση με τη μέθοδο του τόπου ριζών και την αναλυτική μέθοδο //7 Δίνεται σύστημα με συνάρτηση μεταφοράς 7. α Σχεδιάστε τον τόπο ριζών. Προσδιορίστε ασύμπτωτες σημεία διακλάδωσης σημεία τομής με τον φανταστικό άξονα συνθήκη ευστάθειας κλπ. β Βρείτε ελεγκτή Lead με συνάρτηση μεταφοράς ώστε το κλειστό σύστημα ελέγχου να έχει επιθυμητούς πόλους. 6 j. Υπολογίστε τους συντελεστές συστήματος. του ελεγκτή καθώς και τους δύο άλλους πόλους του κλειστού i Με τη μέθοδο του τόπου ριζών υπολογισμός γωνιών και μέτρων με τα αντίστοιχα κριτήρια. ii Με την αναλυτική μέθοδο σύγκριση χαρακτηριστικών πολυωνύμων. iii Σχεδιάστε τον τόπο ριζών του νέου συστήματος με συνάρτηση μεταφοράς ' 7. Προσδιορίστε ασύμπτωτες σημεία διακλάδωσης/θλάσης φανταστικό άξονα αν υπάρχουν συνθήκη ευστάθειας κλπ. σημεία τομής με τον Λύση α Τόπος ριζών: 7 7 P Q Το σύστημα έχει n πόλους: και m ρίζα: z 7 z n m άρα ασύμπτωτες:.. και. 9 n m d Σημεία διακλάδωσης: δηλαδή d 7 9 με λύσεις:. 7 αποδεκτό 9. 9. 7 απορρίπτονται
Σημεία τομής με το φανταστικό άξονα: Q Q P 7 Για j είναι: Q j j j 7 j j 7 οπότε πρέπει: Re Q j 7 και mq j ή Οπότε η εξίσωση γίνεται: 7 Η εξίσωση γίνεται: 7. 6 7 Το κλειστό σύστημα είναι ευσταθές για όλες τις τιμές του. 6
β_i Προσδιορισμός ελεγκτή Lead με τη μέθοδο του τόπου ριζών Επιθυμητοί πόλοι:. 6 j Υπολογισμός του πόλου με το κριτήριο γωνιών: z z είναι άρα tan.6 tan.. 6 tan.. z tan. 6. z tan. 6. 6..6... 6 tan tan.6..6 Υπολογισμός του με το κριτήριο μέτρων: z z.7.7.6.. 6.7.7 Εφόσον.6. 7 7 6.. άρα z 6. 6.7 z.. 7. ελεγκτής Lead 7
Χαρακτηριστικό πολυώνυμο: ' 7 P Q Q Q P 9 9 Για οι πόλοι. του συστήματος είναι:. 6 j. 6. 6. β_ii Προσδιορισμός ελεγκτή Lead με την αναλυτική μέθοδο Συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόχου: 7 Πραγματικό χαρακτηριστικό: Q Q 9 9 Επιθυμητό χαρακτηριστικό πολυώνυμο με επιθυμητούς πόλους. 6 j και διορθωτικό πολυώνυμο a a : Q Q ' '.6 a. a a a.a.6.a.6a.6a! ' Πρέπει Q Q άρα a. a. a.a.6.a.6a 9.6a a. από από....6. 6. 9 Επιλύοντας τις και προκύπτει: και. Επίσης από και προκύπτει: a 7. και a. Οπότε ο ελεγκτής είναι:. Από το διορθωτικό πολυώνυμο a a 7.. προκύπτουν οι άλλοι δύο πόλοι του συστήματος:. 7 και. και είναι ευσταθείς. Τα αποτελέσματα επαληθεύονται και από τη μέθοδο του τόπου ριζών.
β_iii Νέος τόπος ριζών: 7 9 9 ' Το σύστημα έχει n πόλους: και m ρίζες: z z 7 n m άρα ασύμπτωτες: z z. και. 9 n m Σημεία διακλάδωσης: d d δηλαδή 9 6 με λύσεις: 9 7.9 9 6 7 6... j απορρίπτονται. αποδεκτό Για. οι δύο από τους πόλους είναι οι επιθυμητοί. 6 j. 9
Άσκηση Αρμονικά διαγράμματα Nyquit 6//7 Σχεδιάστε τα διαγράμματα Nyquit των συστημάτων με συνάρτηση μεταφοράς: α β γ δ ε Υπολογίστε κατά περίπτωση ασύμπτωτες σημεία τομής με τον πραγματικό και τον φανταστικό άξονα κλπ. Επίσης υπολογίστε συνθήκη ευστάθειας και περιθώριο κέρδους του κλειστού συστήματος και επαληθεύστε τα αποτελέσματα με το κριτήριο Ruth. Λύση α P με n m και τύπος a Q έχουμε και a n m 9 [ m n m n m a n a ] [ ] για j : j j j j j j j j j j 6 j 6
όπου 6 Re j και 6 m j 6 για : Re j και m j 6 για : Re j και m j Επαλήθευση ευστάθειας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: Q Q P O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: Οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές. β P με n m και τύπος a Q έχουμε και a 7 n m 9 [ m n m n m a n a ] [ ] για j j 6 j j j 6 j : j j j j j 6 όπου Re j και m j
για για : Re j και m j και m j : Re j Τομή με πραγματικό άξονα y m j για άρα Για. 6 Re j. είναι: 7 x Περιθώριο κέρδους:. x.7.. Επαλήθευση ευστάθειας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: Q Q P 6 O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: 6 6 6. Οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές για.. γ P με n m και τύπος a Q έχουμε a 9 n m 9
και [ m n m n m a n για j : ] [ ] a j j j j j j j j j j j j j j όπου Re j και m j για για : Re j και m j Re και m j : j Επαλήθευση ευστάθειας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: Q O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι:. Οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές.
δ P με Q n m και τύπος a έχουμε και a n m 9 [ m n m n m a n a ] [ ] για j j j j j : j j j όπου Re j και m j για : Re j και m j για : Re j και m j Τομή με φανταστικό άξονα x Re j για άρα.. 77. Για..77.77 77 είναι: y m. j.77 Τομή με πραγματικό άξονα y m j για άρα.. Για. είναι: x Re. j
Περιθώριο κέρδους: x. Επαλήθευση ευστάθειας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: Q O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές. ε P με n m και τύπος a Q έχουμε και a 7 n m [ m n m n m a n a ] [ ] για j j j 6 j j : j j 6 j 6 όπου Re j και m j για : Re j και m j για : Re j και m j Τομή με φανταστικό άξονα x Re j για άρα 6. 9. Για 6. 6 9 είναι: y m. j 6.9 Τομή με πραγματικό άξονα y m j για 6 άρα Για. είναι:. x Re. j
Περιθώριο κέρδους: x Επαλήθευση ευστάθειας: Χαρακτηριστικό πολυώνυμο κλειστού συστήματος: Q 6 O πίνακας και οι συντελεστές Ruth είναι: 6 6 6.. οπότε το κλειστό σύστημα ευσταθές. 6