Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης Σελίδ πό 3 Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Α Μιγδικοί ριθμοί Πότε δυο μιγδικοί είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός είι ίσος με ; Δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi είι ίσοι, κι μόο γ κι δ Δηλδή ισχύει: i γ δi γ κι δ Επειδή i, έχουμε i Πώς ορίζοτι οι πράξεις με μιγδικούς ριθμούς ; κι Γι τη πρόσθεση δύο μιγδικώ ριθμώ i κι γ δi έχουμε: ( i) ( γ δi) ( γ) ( δ) i Γι τη φίρεση του μιγδικού ριθμού γ δi πό το i, επειδή ο τίθετος του μιγδικού γ δi είι ο μιγδικός γ δi, έχουμε: Δηλδή ( i) ( γ δi) ( i) ( γ δi) ( γ) ( δ) i ( i) ( γ δi) ( γ) ( δ) i Γι το πολλπλσισμό δύο μιγδικώ i κι γ δi έχουμε: Δηλδή είι : ( i)( i) ( i) i( i) i i ( i)( i) i i i i i ( ) ( )i ( i)( γ δi) ( γ δ) ( δ γ) i Τέλος, γι εκφράσουμε το πηλίκο γ i δi, όπου δi γ, στη μορφή λi κ, πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: Δηλδή, γ i δi ( ( γ i)( γ δi)( γ δi) δi) ( γ δ) γ ( γ δ δ) i γ γ δ δ γ γ δ i δ Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ πό 3 γ i δi γ γ δ δ γ γ δ i δ 3 Τι οομάζουμε συζυγή εός μιγδικού ριθμού i κι τι ιδιότητες έχει ; Συζυγή του μιγδικού ριθμού i λέμε το ριθμό i Ο συζυγής του συμολίζετι επίσης κι με i Είι δηλδή : i i Επειδή είι κι i i, οι ριθμοί i, i λέγοτι συζυγείς μιγδικοί 4 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω συζυγώ ριθμώ κι ποδείξετε ότι Στο μιγδικό επίπεδο οι εικόες M (, ) κι M (, ) δύο συζυγώ μιγδικώ i κι i είι σημεί συμμετρικά ως προς το πργμτικό άξο M() 4 Ο Γι δύο συζυγείς μιγδικούς ριθμούς i κι i μπορούμε εύκολ, με εκτέλεση τω πράξεω, διπιστώσουμε ότι: i M () Α i κι γ δi είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: 3 4 5 6 Θεώρημ 5Ν ποδειχθεί ότι : Απόδειξη Η πόδειξη της ιδιότητς γίετι ως εξής : Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Α i κι γ δi, τότε έχουμε : ( i) ( γ δi) ( γ) ( δ) i ( γ) ( δ) i ( i) ( γ δi) Σελίδ 3 πό 3 6 Πώς υπολογίζουμε τις δυάμεις του i ; ( γ) ( δ) i ( i) ( γ δi) Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4 ρ υ, όπου ρ είι το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, υ i i 4 ρ υ i i 4 ρ υ ( 4 ρ i ) i υ ρ i υ i υ i, υ -, υ i, υ 3 Θεώρημ 7 Ν λύσετε στο σύολο τω μιγδικώ ριθμώ τη εξίσωση κι με,, R Απόδειξη Έστω η εξίσωση γ, με,, R κι Μετσχημτίζουμε τη εξίσωση, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετργώω, στη μορφή: όπου Δ, 4 Δ 4γ είι η δικρίουσ της εξίσωσης Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: Α Δ, τότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: Α Δ, τότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: Α Δ, τότε, επειδή ( )( ) i ( ) i 4 4 ( ), Δ, η εξίσωση γράφετι: i Δ Άρ οι λύσεις της είι: i Δ,, οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί Ν ποδείξετε το πρκάτω κριτήριο : Γι έ μιγδικό ριθμό ισχύει ότι: Ο είι πργμτικός, κι μόο Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Ο είι φτστικός, κι μόο Απόδειξη Επφίετι στο μθητή ως άσκηση Σελίδ 4 πό 3 8 Τι λέμε μέτρο εός μιγδικού ριθμού ; 5 Έστω M (, ) η εικό του μιγδικού i στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του τη πόστση του M πό τη ρχή, δηλδή M(,) M Ο a 9 Ν γράψετε τις ιδιότητες του μέτρου μιγδικού ριθμού Ισχύει ότι : Θεώρημ Ν ποδείξετε ότι : Απόδειξη Έχουμε: ( )( ) κι επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ 5 πό 3 ) Τι εκφράζει γεωμετρικά το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ, δηλδή ο ριθμός ) Τι πριστάει η εξίσωση, ; γ) Τι πριστάει η εξίσωση ; ) Το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους Δηλδή: M M ) ) Η εξίσωση (, πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K( ) κι κτί γ) Η εξίσωση πριστάει τη μεσοκάθετο του τμήμτος με άκρ τ σημεί A( ) κι B( ) Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ 6 πό 3 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Β Γεικό μέρος τω συρτήσεω Τι λέμε σύολο τιμώ μις συάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύολο A ; Σύολο τιμώ της f λέμε το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της f σε όλ τ δηλδή: f ( A) { f ( ) γι κάποιο A} A Είι Το σύολο τιμώ της f στο A συμολίζετι με f (A) Τι λέμε γρφική πράστση μις συάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύολο A ; Γρφική πράστση της f λέμε το σύολο τω σημείω M (, ) γι τ οποί ισχύει f (), δηλδή το σύολο τω σημείω M (, f ( )), με A Σχόλι - Η γρφική πράστση της f κι συμολίζετι συήθως με C f - Η εξίσωση, λοιπό, f () επληθεύετι μόο πό τ σημεί της C f Επομέως, η f () είι η εξίσωση της γρφικής πράστσης της f - Οτ δίετι η γρφική πράστση C f μις συάρτησης f, τότε: ) Το πεδίο ορισμού της f είι το σύολο Α τω τετμημέω τω σημείω της C f ) Το σύολο τιμώ της f είι το σύολο f (A) τω τετγμέω τω σημείω της C f γ) Η τιμή της f στο A είι η τετγμέη του σημείου τομής της ευθείς κι της C f (Σχ 8) = 8 C f f(α) C f f( ) C f A(,f( )) Α () () (γ) - Ότ δίετι η γρφική πράστση C f, μις συάρτησης f μπορούμε, επίσης, σχεδιάσουμε κι τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω f κι f Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
) Η γρφική πράστσης της συάρτησης f είι συμμετρική, ως προς το άξο, της γρφικής πράστσης της f, γιτί ποτελείτι πό τ σημεί M (, f ( )) που είι συμμετρικά τω M (, f ( )), ως προς το άξο (Σχ 9) Σελίδ 7 πό 3 9 =f() Μ(,f()) ) Η γρφική πράστση της f ποτελείτι πό τ τμήμτ της C f που ρίσκοτι πάω πό το άξο κι πό τ συμμετρικά, ως προς το άξο, τω τμημάτω της C f που ρίσκοτι κάτω πό το άξο υτό (Σχ ) = f() Μ (, f()) = f() =f() 3 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω σικώ συρτήσεω 3 ) f ( ) ) f ( ), γ) ( ) δ) f ( ), ε) f ) (, g ( ) f, Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : ) Η πολυωυμική συάρτηση f ( ) a> )Η πολυωυμική συάρτηση a< f ( ), a= > γ) Η πολυωυμική συάρτηση 3 f ( ), < Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ 8 πό 3 3 > < δ) Η ρητή συάρτηση f ( ), 4 > < ε) Οι συρτήσεις f ( ), g ( ) 5 4 Ν χράξετε τις γρφικές πρστάσεις τω πρκάτω συρτήσεω : ) f (), f (), f () ) f ) (, γ) f ) log Οι γρφικές πρστάσεις φίοτι πρκάτω : (, ) Οι τριγωικές συρτήσεις : f ( ) ημ, f ( ) συ, f ( ) εφ Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
6 Σελίδ 9 πό 3 π π =ημ () π π =συ () π/ π/ 3π/ =εφ (γ) Υπεθυμίζουμε ότι, οι συρτήσεις f ( ) ημ κι f () συ είι περιοδικές με περίοδο T π, εώ η συάρτηση f ( ) εφ είι περιοδική με περίοδο T π ) Η εκθετική συάρτηση f ) (, 7 > () << () Ιδιότητες Υπεθυμίζουμε ότι: Α, τότε: Α, τότε: γ) Η λογριθμική συάρτηση f ) log (, Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ πό 3 8 > () << () Ιδιότητες Υπεθυμίζουμε ότι: ) log 4) log ( ) log log ) log log κι 5) log log log 3) log κι k log 6) log κlog 7) Α, τότε: log log, εώ, τότε ln 8) e, φού e ln log 5 Πότε δύο συρτήσεις f,g λέγοτι ίσες ; Δύο συρτήσεις f κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει f ( ) g( ) log 6 Πώς ορίζοτι οι πράξεις της πρόσθεσης, φίρεσης, γιομέου κι πηλίκου δύο συρτήσεω f,g ; Ορίζουμε ως άθροισμ τύπους f g, διφορά f - g, γιόμεο fg κι πηλίκο f g δύο συρτήσεω f, g τις συρτήσεις με ( f g)( ) f ( ) g( ), ( f g)( ) f ( ) g( ) ( fg )( ) f ( ) g( ), f g ( ) f ( ) g( ) Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Το πεδίο ορισμού τω τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της g f g (), δηλδή το σύολο Σελίδ πό 3 f g, f g κι fg είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω f κι g είι το A B, εξιρουμέω τω τιμώ του που μηδείζου το προομστή { A κι B, με g () } 7 Τι λέμε σύθεση της συάρτησης f με τη συάρτηση g ; Α f, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της f με τη g, κι τη συμολίζουμε με g f, τη συάρτηση με τύπο ( gof )( ) g( f ( )) A f f(a) f() B g(b) 4 g f g g( f()) A Σχόλι ) Το πεδίο ορισμού της g f ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της f γι τ οποί το f () ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο A { A f ( ) } B Είι φερό ότι η gof ορίζετι, A, δηλδή f ( A) B ) Γεικά, f, g είι δύο συρτήσεις κι ορίζοτι οι gof κι fog, τότε υτές δ ε ε ί ι υ π ο χ ρ ε ω τ ι κ ά ίσες Α f, g, h είι τρεις συρτήσεις κι ορίζετι η ho (gof ), τότε ορίζετι κι η ( hog) of κι ισχύει ho ( gof ) ( hog) of Τη συάρτηση υτή τη λέμε σύθεση τω f, g κι h κι τη συμολίζουμε με hogof Η σύθεση συρτήσεω γεικεύετι κι γι περισσότερες πό τρεις συρτήσεις 8 Πότε μι συάρτηση f λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ σε έ διάστημ Δ ; Η συάρτηση f λέγετι γησίως ύξουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: f ( ) f ( ) Η συάρτηση f λέγετι γησίως φθίουσ σ έ δ ι ά σ τ η μ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: f ( ) f ( ) Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
9 Πότε μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέμε ότι προυσιάζει στο o πότε ολικό ελάχιστο ; Σελίδ πό 3 Aολικό μέγιστο κι Μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A (ολικό) μέγιστο, το f ), ότ ( f ) f ( ) γι κάθε A ( Προυσιάζει στο A (ολικό) ελάχιστο, το f ), ότ ( f ) f ( ) γι κάθε A ( Πότε μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού A λέγετι ; Μι συάρτηση f :A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε, A ισχύει η συεπγωγή: Σχόλι Α, τότε ( ) f ( ) ) Μι συάρτηση f :A R είι συάρτηση συεπγωγή: f, κι μόο γι οποιδήποτε, A ισχύει η f ( ) f ( ), τότε Είι φερό πό το ορισμό της συάρτησης ότι ισχύει η ισοδυμί : f ( ) f ( ) ) Από το ορισμό προκύπτει ότι μι συάρτηση f είι, κι μόο : - Γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ της η εξίσωση f ( ) έχει κριώς μι λύση ως προς - Δε υπάρχου σημεί της γρφικής της πράστσης με τη ίδι τετγμέη Αυτό σημίει ότι κάθε οριζότι ευθεί τέμει τη γρφική πράστση της f το πολύ σε έ σημείο - Α μι συάρτηση είι γησίως μοότοη, τότε είι συάρτηση " " Το τίστροφο γεικά δε ισχύει Υπάρχου δηλδή συρτήσεις που είι λλά δε είι γησίως μοότοες 34 Πράδειγμ Η συάρτηση η συάρτηση λλά δε είι γησίως μοότοη, g ( ) (Σχ 34)είι,, =g() Πότε μι συάρτηση f με πεδίο ορισμού A τιστρέφετι κι πώς ; Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Μι συάρτηση f :A με f ορίζετι πό τη σχέση : Σχόλι Σελίδ 3 πό 3 R τιστρέφετι, κι μόο είι Η τίστροφη συάρτηση της f που συμολίζετι f () f () ) Ισχύει ότι : f ( f ( )), A κι f ( f ( )), f ( A ) ) Η τίστροφη της f έχει πεδίο ορισμού το σύολο τιμώ f (A) της f, κι σύολο τιμώ το πεδίο ορισμού Α της f γ) Οι γρφικές πρστάσεις C κι C τω συρτήσεω f κι που διχοτομεί τις γωίες κι f είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ 4 πό 3 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Γ Όρι συρτήσεω Ποι πρότση συδέει το όριο της f στο o κι τ πλευρικά όρι της f στο Ισχύει ότι : Α μι συάρτηση f είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής, ) (, ), τότε ισχύει η ισοδυμί: ( o ; Πρτηρήσεις στο όριο f ( ) f ( ) f ( ) ) Ισχύει ότι : () f ( ) ( f ( ) ) () f ( ) f ( h h) ) Τους ριθμούς f ( ) κι f ( ) τους λέμε πλευρικά όρι της f στο κι συγκεκριμέ το ριστερό όριο της f στο, εώ το δεξιό όριο της f στο γ) Γι ζητήσουμε το όριο της f στο, πρέπει η f ορίζετι όσο θέλουμε κοτά στο, δηλδή η f είι ορισμέη σ έ σύολο της μορφής, ) (, ) ή, ) ή (, ) ( Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης (Σχ 39, 39) ή μη ήκε ι σ υτό ( Η τιμή της f στο, ότ υπάρχει, μπορεί είι ίση με το όριό της στο (Σχ 39) ή διφορετική πό υτό δ) Ισχύει ότι κι c c Πότε λέμε ότι μι συάρτηση f έχει κοτά στο o μι ιδιότητ Ρ ; Μι συάρτηση f λέμε ότι έχει κοτά στο μι ιδιότητ Ρ, ότ ισχύει μι πό τις πρκάτω τρεις συθήκες: ) Η f είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής, ) (, ) κι στο σύολο υτό έχει τη ιδιότητ Ρ ( ) Η f είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής, ), έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής (, ) ( γ) Η f είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής (, ), έχει σ υτό τη ιδιότητ Ρ, λλά δε ορίζετι σε σύολο της μορφής, ) ( Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
3 Ν γράψετε τις ιδιότητες τω ορίω ορίου στο o Σελίδ 5 πό 3 Γι το όριο ισχύου οι πρκάτω ιδιότητες : ) Θεώρημ ο Α f ( ) Α f ( ) ) Θεώρημ ο, τότε f () κοτά στο, τότε f () κοτά στο Α οι συρτήσεις f, g έχου όριο στο κι ισχύει f ( ) g( ) κοτά στο, τότε f ( ) g( ) γ) Θεώρημ 3ο Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω f κι g στο, τότε: ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) ( κf ( )) κ f ( ), γι κάθε στθερά κ R 3 ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) 4 f ( ) g( ) f ( ), εφόσο g( ) g( ) 5 f ( ) f ( ) 6 k f ( ) k f ( ), εφόσο f () κοτά στο δ) Θεώρημ 4ο Έστω τώρ το πολυώυμο P( ) κι P( ) P( ) R Είι τότε : Έστω η ρητή συάρτηση Θ είι τότε f () P() Q(), όπου P(), Q() πολυώυμ του κι R με Q( ) P( ) P( ) Q( ) Q( ), όπου Q ( ) ε) Θεώρημ 5ο Κριτήριο πρεμολής Έστω οι συρτήσεις f,g,h Α h() f () g() κοτά στο κι τότε h() g(), f () Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
στ) Ισχύει ότι Σελίδ 6 πό 3 ημ, γι κάθε RΗ ισότητ ισχύει μόο ότ ημ ημ ημ συ συ συ 4 Πώς υπολογίζουμε το όριο της σύθετης συάρτησης f g στο o Α θέλουμε υπολογίσουμε το όριο της σύθετης συάρτησης τότε εργζόμστε ως εξής: Θέτουμε u g() Υπολογίζουμε ( υπάρχει) το u g( ) κι 3 Υπολογίζουμε ( υπάρχει) το f ( u) u Α g ( ) u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: u f ( g( )) f ( u) 5 Ν γράψετε τις ιδιότητες του άπειρου ορίου στο o u u f g στο σημείο,δηλδή το f ( g( )) Όπως στη περίπτωση τω πεπερσμέω ορίω έτσι κι γι τ άπειρ όρι συρτήσεω, που ορίζοτι σε έ σύολο της μορφής, ) (, ), ισχύου οι πρκάτω ισοδυμίες: ( ) f ( ) f ( ) f ( ), ) f ( ) f ( ) f ( ) γ) Α f ( ), τότε f () κοτά στο, εώ f ( ), τότε f () κοτά στο δ) Α f ( ), τότε ( f ( )), εώ f ( ), τότε ( f ( )) ε) Α f ( ) στ) Α f ( ) ή, τότε f ( ) κι f () κοτά στο, τότε f ( ), εώ f ( ) κι f () κοτά στο, τότε f ( ) ζ)α f ( ) ή, τότε f ( ) η) Α f ( ), τότε k f ( ) θ) i) κι γεικά, * N Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
ii), N κι, N Σελίδ 7 πό 3 ι) Γι το άθροισμ κι το γιόμεο ισχύου τ πρκάτω θεωρήμτ : ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο θροίσμτος) Α στο το όριο της f είι: R R - - κι το όριο της g είι: - - - τότε το όριο της f g είι: - - ; ; ΘΕΩΡΗΜΑ ο (όριο γιομέου) Α στο R, το όριο της f είι: κι το όριο της g είι: τότε το όριο της f g είι: > < > < + + - - + + - - + - + - + - + - - + ; ; + - - + Σχόλιο Οι πρκάτω μορφές λέγοτι προσδιόριστες μορφές : ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ) ( ),, 6 Ν γράψετε τις ιδιότητες γι το όριο στο άπειρο ) Γι το υπολογισμό του ορίου στο ή εός μεγάλου ριθμού συρτήσεω χρειζόμστε τ πρκάτω σικά όρι: κι, N * -,, άρτιος περιττός κι, * ) Γι τη πολυωυμική συάρτηση P( ), με ισχύει: γ) Γι τη ρητή συάρτηση P ( ) ( ) κι P ( ) ( ) f ( ) κ κ κ κ,, ισχύει: f ( ) κι f ( ) κ κ κ κ κ Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
δ) Γι το όριο εκθετικής - λογριθμικής συάρτησης ισχύει ότι Σελίδ 8 πό 3 log im Α (Σχ 6), τότε, log =a =log a 6 Α (Σχ 6), τότε log, log =a 6 Σχόλι Γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης f στο, πρέπει η f είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής (, ) Γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης f στο πρέπει η f είι ορισμέη σε διάστημ της μορφής (, ) Γι τ όρι στο, ισχύου οι γωστές ιδιότητες τω ορίω στο με τη προϋπόθεση ότι: οι συρτήσεις είι ορισμέες σε κτάλληλ σύολ κι δε κτλήγουμε σε προσδιόριστη μορφή =log a Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ 9 πό 3 Η θεωρί στ Μθημτικά κτεύθυσης : Ορισμοί Ιδιότητες - Προτάσεις Θεωρήμτ Αποδείξεις Δ Συέχει συάρτησης Ορισμός Πότε μι συάρτηση f λέγετι συεχής στο ; Έστω μι συάρτηση f κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η f είι συεχής στο, ότ f() f( ) Σχόλιο: Ισοδύμ, θ λέμε ότι η f είι συεχής στο, ότ Πότε μι συάρτηση f δε είι συεχής στο ; f() f( ) Mι συάρτηση f δε είι συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ: ) Δε υπάρχει το όριό της στο ή ) Υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της, f( ) στο σημείο Ορισμός 3 Πότε μι συάρτηση f λέγετι πλώς συεχής; Μί συάρτηση f που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση Ορισμός 4 Ποιές συρτήσεις είι γωστό ότι είι συεχείς; Κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ είι συεχής, φού γι κάθε ισχύει P( ) P( ) P Κάθε ρητή συάρτηση είι συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει Q P( ) P( Q( ) Q( Οι συρτήσεις f ( ) ημ κι g( ) συ είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει ημ ημ ) ) κι συ συ Τέλος, ποδεικύετι (χωρίς όμως πιτείτι η πόδειξη πό τους μθητές) ότι: Οι συρτήσεις f ) ( κι g ) log (, είι συεχείς Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ πό 3 5 Θεώρημ Από το ορισμό της συέχεις στο κι τις ιδιότητες τω ορίω προκύπτει ότι: Α οι συρτήσεις f κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: f g, c f, όπου c, f g, f g, f κι f με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ που περιέχει το 6 Θεώρημ Α η συάρτηση f είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο f ( ), τότε η σύθεσή τους gof είι συεχής στο Ορισμός 7 Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ (, ) ; Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ (, ), ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του (, ) (Σχ 63) Ορισμός 8 Πότε μι συάρτηση f λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ] ; Μι συάρτηση f θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του (, ) κι επιπλέο f ( ) f ( ) κι f ( ) f ( ) (Σχ 63) 63 ( ) a () [ ] a () Σχόλιο: Μι συάρτηση f μπορεί είι συεχής στο διάστημ [,] κι μη είι συεχής υποχρεωτικά συεχής στο σημείο του πεδίου ορισμού της Δ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ 9 Θεώρημ Bolano Έστω μι συάρτηση f, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι, επιπλέο, ισχύει f ( ) f ( ), τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, (, ) τέτοιο, ώστε f ( ) Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ πό 3 Δηλδή, υπάρχει μι, τουλάχιστο, ρίζ της εξίσωσης f () στο οικτό διάστημ (, ) ή λλιώς, η γρφική πράστση της f τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο (γεωμετρική ερμηεί) ΣΧΟΛΙΑ Από το θεώρημ του Bolano προκύπτει ότι: Α μι συάρτηση f είι συεχής σε έ διάστημ Δ κι δε μηδείζετι σ υτό, τότε υτή ή είι θετική γι κάθε Δ ή είι ρητική γι κάθε Δ, δηλδή διτηρεί πρόσημο στο διάστημ Δ (Σχ 65) 65 f()> a a f()< () Μι συεχής συάρτηση f διτηρεί πρόσημο σε κθέ πό το διστήμτ στ οποί οι διδοχικές ρίζες της f χωρίζου το πεδίο ορισμού της 66 () + ρ + + ρ ρ 3 ρ 4 ρ 5 Πως μπορούμε προσδιορίσουμε το πρόσημου μις συεχούς συάρτησης f ; ) Βρίσκουμε τις ρίζες της f ) Σε κθέ πό τ υποδιστήμτ που ορίζου οι διδοχικές ρίζες, επιλέγουμε έ ριθμό κι ρίσκουμε το πρόσημο της f στο ριθμό υτό Το πρόσημο υτό είι κι το πρόσημο της f στο τίστοιχο διάστημ Θεώρημ εδιάμεσω τιμώ (γείκευση του θεωρήμτος του Bolano) Έστω μι συάρτηση f, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [, ] Α: η f είι συεχής στο [, ] κι f ( ) f ( ) τότε, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω f () κι f () υπάρχει ές, τουλάχιστο (, ) τέτοιος, ώστε f ( ) η Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ πό 3 ΑΠΟΔΕΙΞΗ Ας υποθέσουμε ότι f ( ) f ( ) Τότε θ ισχύει f ( ) η f ( ) (Σχ 67) Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g ( ) f ( ) η, [, ], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [, ] κι g ( ) g( ), φού g ( ) f ( ) η κι g ( ) f ( ) η Επομέως, σύμφω με το θεώρημ του Bolano, υπάρχει (, ) τέτοιο, ώστε g ) f ( ), οπότε f ( ) η ( η 67 f() B(,f()) η =η f(a) Α(,f()) a ΣΧΟΛΙΟ Α μι συάρτηση f δε είι συεχής στο διάστημ [, ], τότε, όπως φίετι κι στο διπλό σχήμ, δε πίρει υποχρεωτικά όλες τις εδιάμεσες τιμές f() η f(a) 68 =η a Πρότση Η εικό f (Δ) εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης f είι διάστημ 69 ( ) a () ( ) a () [ ) a (γ) Στη ειδική περίπτωση που το Δ είι έ κλειστό διάστημ [, ], ισχύει το πρκάτω θεώρημ Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4
Σελίδ 3 πό 3 3 Θεώρημ (Μέγιστης κι ελάχιστης τιμής) Α f είι συεχής συάρτηση στο [, ], τότε η f πίρει στο [, ] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m (Σχ 69δ) Δηλδή, υπάρχου [, ] τέτοι, ώστε, m f ) κι M f ), ισχύει, ( ( m f ( ) M, γι κάθε [, ] Μ m Μ m [ ] a (δ) ΣΧΟΛΙΟ Από το πρπάω θεώρημ κι το θεώρημ εδιάμεσω τιμώ προκύπτει ότι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης f με πεδίο ορισμού το [, ] είι το κλειστό διάστημ [ m, M], όπου m η ελάχιστη τιμή κι Μ η μέγιστη τιμή της 7 Γι πράδειγμ, η συάρτηση f ( ) ημ, [, π] έχει σύολο τιμώ το [,], φού είι συεχής στο [, π ] με m κι M 3π/ π/ π π 4 Α μι συάρτηση f είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ (, ), τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ ( Α, Β) (Σχ 7), όπου Α f ( ) κι B f ( ) Α, όμως, η f είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο (, ), τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ ( B, A) (Σχ 7) 7 B Α A Β ( ) a () ( ) a () Πηγή: lisariblogspotcom/ 3//4