Curs Itervale de îcredere Am văzut cum poate fi estimat u parametru folosid datele furizate de u eşatio Parametrul di populaţie u este, î geeral, egal cu statistica calculată cu ajutorul eşatioului Ne puem problema cât este de buă această estimare, adică vom calcula aşa umita marjă de eroare Presupuem că studiem vâscozitatea uei aumite substaţe Pri studierea uui eşatio s-a costatat că media acestei caracteristici este ˆµ = x = 000 Dacă cosiderăm u alt eşatio este aproape imposibil să obţiem aceeaşi estimare umerică petru media vâscozităţii Nu putem spue imic despre relaţia ditre cele două medii Problema pe care o puem este următoarea: valoarea reală a vâscozităţii este cuprisă ître 900 şi 00 sau ître 990 şi 00? Răspusul la această îtrebare afectează deciziile ulterioare legate de acest proces Margiile uui iterval plauzibil petru valorile mediei costituie u iterval estimat Acest iterval ude băuim că este situată valoarea reală a parametrului populaţiei studiate se umeşte iterval de îcredere Itervalul de îcredere costă di: - u iterval, obţiut cu ajutorul datelor furizate de o selecţie, - u ivel de îcredere, care reprezită probabilitatea ca itervalul să acopere valoarea reală a parametrului Nivelul de îcredere se precizează De regulă se cosideră 090 sau mai mult Se dă de obicei α, ude ivelul de îcredere este α 095 corespude pragului de semificaţie α = 005 Defiiţia 0 Se umeşte iterval de îcredere petru u parametru θ asociat uei populaţii orice iterval I = a, b petru care se poate estima probabilitatea ca θ I Dacă α este u umăr cupris ître 0 şi şi dacă P θ I α, se spue că I este u iterval de îcredere petru θ cu u ivel de îcredere α sau echivalet, cu u ivel de îcredere α 00% sau cu eroare sub α00% Î cele ce urmează vom costrui itervale de îcredere umai petru caracteristici care urmează o distribuţie ormală Itervale de îcredere petru medie î cazul cuoscut Presupuem că realizăm o selecţie populaţie a cărei caracteristică studiată urmează o distribuţie ormală, N m,, cu cuoscut, m ecuoscut Situaţia este mai puţi îtâlită î realitate deoarece î mod ormal atât media cât şi dispersia sut ecuoscute Totuşi vom prezeta î cotiuare şi acest caz
Costrucţia itervalului de îcredere Fie x, x,, x valorile variabilelor de selecţie X, X,, X obţiute ditr-o populaţie care urmează o distribuţie ormală, N m,, > 0 cuoscut, m ecuoscut Ştim că Z = X m N0, Di această cauză putem scrie, evidet z > 0, P Z z = α α = P m X z, X + z α = Φ z Φ z α = Φ z Φ z = α Notăm cu z α valoarea pozitivă a lui z obţiută di relaţia Φ z = = α Petru determiarea acestei valori se foloseşte tabelul petru fucţia lui Laplace a se vedea Aexa sau programele Matlab sau Mathematica De îdată ce selecţia a fost realizată şi a fost calculată media de selecţie x = x i se obţie itervalul, x z α, x + z α Sutem tetaţi să spuem că α este probabilitatea ca acest iterval să cupridă valoarea exactă a lui m, dar această afirmaţie u este corectă Trebuie să ţiem seama de faptul că îtervalul de îcredere este u iterval aleator, el depide de selecţia făcută, deci extremităţile sale sut v a Pri urmare iterpretarea corecta a lui α este următoarea: dacă, facem u umăr foarte mare de selecţii şi calculăm de fiecare dată îtervalul de îcredere cu ivelul de îcredere α, atuci α 00% di aceste itervale vor coţie valoarea exactă petru m Observăm că itervalul de îcredere petru m este cetrat î estimaţia puctuală x Câd creşte se obţie u iterval mai scurt petru acelaşi coeficiet de îcredere U iterval de îcredere mai scurt idică o mai mare îcredere î x ca estimaţie a lui m Exemplul Puctajele obţiute de studeţi care au promovat exameul de matematică şi care cuatifică cuoştiţele lor sut: {64, 6, 76, 8, 66, 76, 7, 7, 74, 7, 7, 73, 70, 75, 77, 84, 9, 86, 6, 58, 78, 80, 79, 84, 83, 8, 66, 68, 68, 8, 84, 78, 76, 69, 77, 58, 6, 8, 85, 58, 78, 84, 94, 88, 77, 78, 88, 9, 70, 7, 78, 58, 65, 53, 60, 49, 68, 74, 7, 66, 68, 7, 73, 70, 85, 78, 65, 54, 5, 78, 89, 66, 68, 95, 94, 99, 8, 8, 9, 88, 99, 8, 8} Se presupue că se cuoaşte = 099 Să se costruiască itervalele de îcredere petru medie cu ivelele de îcredere de 90%, 95% şi 99% 83 Rezolvare Am calculat x = x i = 75060 83 Calculăm itervalele de îcredere cu ivelul de îcredere de 90%, 95% şi 99% Petru 90% avem α = 0 şi Atuci, coform, itervalul I = x z α Φ z = 005 z = 6449 z α = 6449, x + z α = 730760; 770445
este u iterval de îcredere petru m cu 90% ivel de îcredere Petru 95% avem α = 005 şi Φ z = 005 z α = 9599 Itervalul de îcredere petru m este I = x 9599, x + 9599 = 76960; 77445 Petru 99% avem α = 00 şi Φ z = 0005 z α petru m este I = x 5758, x + 5758 = 5758, itervalul de îcredere = 79530; 78675 Observăm că dacă, de exemplu, ivelul de îcredere este 095, atuci z α = 9599 trebuie să lase la dreapta sa o arie egală cu α = 005, iar la stâga o arie egală cu α = 005 = 0975 Z Această modalitate de determiare a itervalului de îcredere se poate sitetiza î testul Algoritmul testului Z Presupuem dată o selecţie de valori idepedete de volum ditr-o populaţie de medie m ecuoscută şi dispersie > 0 cuoscută Pasul Se calculează x Pasul Se cosideră statistica Z = X m Pasul 3 Petru u ivel de îcredere prescris α 00% se determiă z α > 0 astfel îcât Φ z α = α Pasul 4 Se determiă itervalul de îcredere petru m x z α, x + z α Comparăm itervalele obţiute î exemplul de mai sus î fucţie de ivelul de îcredere 3
α 00% x z α α z α, x + z α 90% 005 6449 730760; 770445 95% 005 9599 76960; 77445 99% 0005 5758 79530; 78675 Di tabel se observă că lugimea itervalului este ivers proporţioală cu ivelul de îcredere Am putea spue că 95% ditre studeţi au puctajele cuprise î itervalul 76960; 77445? Această iterpretare u este corectă deoarece valoarea exactă a mediei u este cuoscută şi afirmaţia m 76960; 77445 poate fi corectă sau u deoarece itervalul de îcredere costruit este aleator, el bazâdu-se pe o selecţie aleatoare Iterpretarea corectă este: dacă facem u umăr mare de selecţii şi de fiecare dată calculăm itervalul de îcredere petru medie cu ivelul de îcredere de 95%, atuci î 95% di aceste itervale vor coţie valoarea corectă a mediei Deci metoda folosită e permite să obţiem itervale petru medie care vor coţie î 95% di cazuri valoatrea corectă Alegerea ivelului de îcredere este arbitrară Ne puem problema ce se îtâmplă dacă mărim ivelul de îcredere, de exemplu, la 99%? Este rezoabil să dorim să mărim ivelul de îcredere Î acest caz, petru exemplul cosiderat, itervalul de îcredere va fi 79530; 78675, deci va fi mai mare decît î cazul ivelului de 95% Dacă dimesiuea eşatioului şi abaterea medie pătratică sut păstrate costate, atuci u ivel mai îalt de îcredere atrage u iterval de îcredere mai mare Lugimea itervaluilui de îcredere este o măsură a preciziei estimării Di cele prezetate rezultă că precizia este ivers proporţioală cu ivelul de îcredere Este preferabil să obţiem u iterval de îcredere cît mai scurt petru o problema pusă, dar cu u ivel de îcredere adecvat U mod de a atige acest scop este alegerea dimesiuii eşatioului astfel îcât cu ajutorul acestei selecţii să putem obţie u iterval de îcredere de lugime specificată şi cu ivelul de îcredere dat Itervalele de îcredere studiate pâă acum sut bilaterale î sesul că dădeau ca rezultat u iterval îchis Dacă există o iformaţie relativă la valoarea medie de forma că aceasta u este limitată superior, atuci itervalul de îcredere devie de forma x z α, şi este u iterval de îcredere uilateral Î acest caz P Z > z = α P m x z, = α Φ z = α Φ z = α Notăm cu z α valoarea obţiută di relaţia Φ z = α O situaţie similară are loc dacă valoarea medie u este limitată iferior, itervalul de îcredere fiid, x + z α, iar valoarea z α se obţie di relaţia Φz = α Itervale de îcredere petru medie î cazul ecuoscut Presupuem că populaţia studiată are o distribuţie ormală cu media m şi dispersia ecuoscute Facem o selecţie de dimesiue Fie x, x,, x valorile variabilelor de 4
selecţie X, X,, X Putem calcula media de selecţie x = modificată s = x i x x i şi dispersia de selecţie Vrem să calculăm u iterval de îcredere petru m Dacă dispersia este cuoscută, ştim că Z = X m urmează o distribuţie ormală Dacă este ecuoscut o procedură ormală este de a îlocui cu s Statistica devie acum T = X m s O îtrebare logică care se pue este următoarea: care este efectul îlocuirii lui cu s asupra distribuţiei statisticii T? Dacă este suficiet de mare, răspusul la această îtrebare este: efectul este destul de mic şi putem cosidera că urmează o distribuţie ormală stadard Î geeral trebuie să fie cel puţi 40 Teorema limită cetrală are loc petru 30, dar mărirea eşatioului recomadată este la cel puţi 40, deoarece îlocuirea lui cu s î Z coduce la modificări suplimetare ale distribuţiei Î acest caz itervalul de îcredere se costruieşte astfel: Pasul Se calculează x = x i şi s = Pasul Se cosideră statistica Z = x m s x i x Pasul 3 Petru u ivel de îcredere prescris α 00% se determiă z α > 0 astfel îcât Φ z α = α Pasul 4 Se determiă itervalul de îcredere petru m, x z α s, x + z α s Dacă este mic, cum se îtâmplă î multe probleme di igierie, trebuie folosită distribuţia Studet petru costruirea itervalului de îcredere Testul Studet Presupuem că populaţia studiată are o distribuţie ormală cu media m şi abaterea medie pătratică ecuoscute Facem o selecţie de dimesiue, mic Vrem să calculăm u iterval de îcredere petru m Teorema Fie X, X,, X idepedete, care urmează o distribuţie ormală cu media m şi dispersia Fie x, x,, x, x = x i şi fie s = x i x, ude x reprezită media de selecţie, s reprezită abaterea medie de selecţie Statistica T = X m s urmează o distribuţie Studet cu grade de libertate Î tabelul di Aexă petru fucţia de repartiţie a distribuţiei Studet pe prima liie sut date valorile lui α iar pe coloaă sut trecute gradele de libertate Astfel calculăm F t α, = P T t α, = tα, fxdx = α, ude f x este desitatea de probabilitate a distribuţiei Studet Petru valorile egative se foloseşte faptul că F t α, = F t α, 5
Deoarece distribuţia Studet este simetrică, avem t α, = t α,, ceea ce îseamă că î partea dreaptă a lui t α,, dar şi î partea stâgă a lui t α,, aria este α Petru orice α 0, se poate determia pragul t α, > 0 astfel îcât P T t α, = α Se alege t α, astfel îcât ariile colorate di figură să fie fiecare α Îlocuid T = X m, rezultă s X m P t α, s m x P t α, = α s t α,, x + s t α, = α Rezultă că itervalul x s t α,, x + s t α, este u iterval de îcredere petru media m cu coeficietul de îcredere 00 α% Algoritmul testului Studet mai este cuoscut sub deumirea de testul T Fie x, x,, x o selecţie de variabile de selecţie X, X,, X iid ditr-o populaţie ormală cu media m şi dispersia ecuoscute Pasul Se calculează x = x k şi s = k= Pasul Se cosideră statistica T = X m s k= x k x Pasul 3 Petru u coeficiet de îcredere prescris α 00% se determiă di tabelul fucţiei de repartiţie Studet sau cu ajutorul softurilor umărul t α, > 0 astfel îcât P T t α, = α Pasul 4 Se determiă itervalul de îcredere petru m, x s t α,, x + s t α, 6
Exemplul Cosiderăm u eşatio de 36 studeţi care au obţiut puctajele: 64, 6, 76, 8, 66, 74, 7, 7, 73, 70, 75, 77, 84, 9, 86, 6, 58, 80, 79, 84, 83, 6, 78, 84, 94, 88, 77, 58, 65, 53, 60, 49, 68, 74, 78, 98 Să se stabilească itervale de 90%, 95% şi 99% îcredere petru media puctajelor obţiute Rezolvare Folosim testul Z Rezultă x = 737778, s = 608 Statistica T este distribuită Studet cu 35 grade de libertate a se cosulta aexa cu tabelul valorilor fucţiei de repartiţie Studet î fucţie de gradele de libertate Petru 90% îcredere deci eroare sub 0% avem t 005 = 68957 Itervalul cerut are capetele 737778 ± 68957 608 36, adică 70509; 770466 Petru 95% îcredere deci eroare sub 5% avem t 005 = 030 Itervalul cerut are capetele 737778 ± 030 608 36, adică 69850; 777054 Petru 99% îcredere deci eroare sub % avem t 0005 = 738 Itervalul cerut are capetele 737778 ± 738 608 36, adică 68508; 790475 s Şi î acest caz putem costrui itervale de îcredere de forma x t α,, sau s, x + t α, petru itervale de îcredere uilaterale 3 Itervale de îcredere petru dispersie Ueori este ecesar calculul itervalului de îcredere petru dispersia uei caracteristici studiate Dacă populaţia este modelată de o distribuţie ormală putem aplica itervalele descrise î cotiuare Teorema 3 Fie variabilele de selecţie X, X,, X iid idepedete şi idetic distribuite cu X Nm,, media m şi dispersia ecuoscute Statistica χ = s urmează o distribuţie hi-pătrat cu grade de libertate Defiim x α, ca fiid puctul petru care este satisfăcută iegalitatea P xα, χ x α, = ftdt = α, 3 ude f t este desitatea de probabilitate a distribuţiei χ Probabilitatea căutată este aria situată la stâga lui x α, di figura următoare Petru a ilustra modul de utilizare a tabelului de valori ale fucţiei de repartiţie hipătrat observăm că pe prima coloaă sut trecute gradele de libertate iar pe liie sut trecute valorile lui α De exemplu, petru = 0 şi α = 005 obţiem x 005,0 = 83, iar x 005,0 = 394 Deci P χ x 005,0 = 005, P χ x 095,0 = 005, x 005,0 = 83, iar x 005,0 = 394 7
Petru costrucţia itervalului de îcredere petru dispersie se foloseşte statistica χ = s χ Petru α 0, dat determiăm x α şi x α astfel îcât P x α χ x α = α 4 Numerele x α şi x α u sut uic determiate şi de obicei se aleg astfel îcât x α = x α/, şi P χ α x α/, =, iar x α = x α/, şi P χ α x α/, = Semificaţia valorilor x α/, şi x α/, poate fi vazută î figura următoare Îlocuid χ = s î 4 şi obţiem: s P x α/, x α/, = α 5 Relaţia 5 poate fi rearajată astfel: s P x α/, 8 s = α 6 x α/,
Am obţiut astfel u iterval de îcredere petru dispersie Algoritmul de determiare a itervalului de îcredere petru dispersie Fie x, x,, x o selecţie de valori petru variabilele de selecţie X, X,, X iid ditr-o populaţie ormală cu media m şi dispersia ecuoscute Pasul Se calculează x = x k şi s = x k x k= Pasul Se alege statistica χ = s k= despre care se ştie că urmează o distribuţie χ cu grade de libertate Pasul 3 Petru u ivel de îcredere prescris α 00% se determiă, di tabelul valorilor fucţiei de repartiţie χ cu grade de libertate sau cu ajutorul softurilor Matlab sau Mathematica, umerele x α/, şi x α/, astfel îcât P χ α x α/, = Pasul 4 Se determiă itervalul petru şi s x α/,, P χ α x α/, = s şi rezultă itervalul de îcredere x α/, Observaţia 3 Este posibil să determiăm itervale emărgiite iferior sau superior petru dispersie cu u aumit ivel de îcredere α 00% Acestea sut, s, x α, s respectiv, x α, Exemplul 33 Reluăm Exemplul petru dispersie Dorim să costruim itervale de îcredere Rezolvare Avem = 83 Calculăm s = 357 Cosiderăm statistica χ s 8 = = 8s Petru ivelul de îcredere de 90% avem x 095,83 = 633 şi x 005,83 = 0439 Itervalul de îcredere petru dispersie este 0468, 70068 Petru ivelul de îcredere de 95% avem x 0975,83 = 588446 şi x 005,83 = 08937 Itervalul de îcredere petru dispersie este 96998, 7957 Petru ivelul de îcredere de 99% avem x 0995,83 = 57674 şi x 0005,83 = 876 Itervalul de îcredere petru dispersie este 890006, 005 Exemplul 34 Media erorilor de măsurare a lugimilor uor baghete metalice este de 3 mm Presupuem că aceste erori respectă legea ormală cu media 3 mm şi dispersia ecuoscută Se face o selectie de volum 6: {-, 4, 4,,3,} Se cere u iterval de estimaţie petru dispersie cu ivel de îcredere de 90% Rezolvare Avem = 6, m = 3 Calculăm s = 3 3 + 4 3 + 4 3 + 3 + +3 3 + 3 = 6 3 = 8666 7 Cosiderăm statistica χ 5 = s = 5s 9
Petru ivelul de îcredere de 90% avem x 095,5 = 4548 şi x 005,5 = 0705 Itervalul de îcredere petru dispersie este 34858; 698 Se observă că itervalul este destul de mare, deci precizia petru dispersie este mică, chiar dacă apare cu probabilitate mare 4 Itervale de îcredere petru proporţii Petru o populaţie a cărei membri pot fi clasificaţi î fucţie de o aumită caracteristică î două categorii: fie p probabilitatea de a aparţie uei categorii, umit succes şi p probabilitatea de a aparţie celeilalte categorii, umită eşec Parametrul p poată deumirea de proporţia populaţiei şi ipotezele asupra lui p se fac umărâd succesele, X = X i, ude X i : 0 p p Atuci ˆP = X u estimator puctual al lui p Reamitim că şi p sut parametrii uei distribuţii biomiale Mai mult, statistica P urmează o distribuţie ormală cu media p şi p p dispersia dacă p u este aproape de 0 sau şi dacă este relativ mare Aceasta îseamă că petru a folosi această aproximare este ecesar ca p 5, p 5 Teorema 4 Dacă este astfel îcăt p 5, p 5, atuci Z = X p p p = urmează aproximativ o distribuţie ormală stadard ˆP p p p Petru a costrui u iterval de îcredere petru p, observăm că P z α Z z α = α sau P z α ˆP p p p z α = α, ude z α > 0 astfel îcât Φ z α = α Această relaţie poate fi rearajată astfel: P ˆP z α p p p ˆP + z α p p = α p p Catitatea se umeşte eroarea stadard a estimatorului puctual ˆP Deoarece margiile itervalului coţi p care este ecuoscut, o soluţie satisfăcătoare este îlocuirea sa cu ˆP Astfel obţiem ˆP P ˆP z ˆP α p ˆP ˆP + z ˆP α α 0
Aceasta coduce la determiarea uui iterval de îcredere cu ivelul de îcredere de α00% şi acesta este ˆP ˆP z ˆP α, ˆP ˆP + z ˆP α Exemplul 4 Se presupue ca la 85 de autoturisme de o aumită marcă se studiază arborele cotit după u aumit timp de fucţioare Se costată că la 0 automobile acesta prezeta defecte ce impuea îlocuirea lui Să se determie u estimator puctual al umărului ce reprezită ce proporţie ditre automobilele de acest tip prezită această deficieţă Să se iterpreteze acest rezultat şi să se estimeze ce proporţie ditre automobilele de acest tip prezită această deficieţă Rezolvare Petru fiecare autoturism studiat, se obţie rezultatul că arborele cotit este defect sau u Putem aplica modelul Beroulli şi estimatorul de verosimilitate maximă va fi: ˆP = 0 = 07 655 85 Eroarea stadard a estimatorului puctual este ˆP ˆP = 0 85 0 85 85 = 0034946 Nu este foarte clar cum iterpretăm această valoare de 0034 946 Este această estimare foarte exactă, exactă sau u? Costruim u iterval de îcredere cu u ivel de îcredere de 95% bazat pe valoarea observată 07 655 ˆP z α 07 6 96 ˆP ˆP p ˆP + z α ˆP ˆP, 07 6 088 85 p 07 6 + 96 00495 p 0864 07 6 088 85, Cocluzia: î 95% di cazuri probabilitatea ca automobilul să prezite defectul studiat este cuprisă î itervalul 0049534, 0864 4 Alegerea dimesiuii eşatioului Deoarece ˆP este u estimator puctual al lui p, putem defii eroarea de estimare a lui p pri ˆP de forma E = p ˆP Observăm că sutem aproximativ α00% siguri că ˆP ˆP această eroare este mai mică decât z α Î exemplul aterior sutem 95% siguri că ˆP = 0 = 07 655 diferă de valoarea exactă a lui p cu mai puţi de 85 95996 0 85 0 85 85 = 0069 084 Î situaţiile î care dimesiuea eşatioului poate fi aleasă, putem lua astfel îcât să fim aproximativ α00% siguri că eroarea este mai mică decât o valoare specificată E Dacă cosiderăm E = z α a eşatioului ˆP ˆP = şi rezolvăm ecuaţia î raport cu obţiem ca dimesiue z α ˆP ˆP + 7 E
O estimare a lui p este ecesară Petru aceasta se poate lua u eşatio prelimiar, se calculează ˆP şi apoi folosid relaţia 7 putem determia câte observaţii mai trebuie făcute petru a obţie petru p o estimare satisfăcătoare O altă soluţie este de a ţie seama că p p şi atuci 4 z α = + 8 4 E Exemplul 43 Reluăm Exemplul 4 Cât de mare trebuie luat eşatioul astfel îcât să fim 95% siguri că eroarea pe care o facem câd folosim ˆP ca estimator a lui p să fie mai mică decât 005? Rezolvare Folosid ˆP = 0 găsim 85 z α = ˆp ˆp + = E 96 0 005 85 0 85 + = 60 Dacă vrem să fim cel puţi 95% siguri că eroarea pe care o facem câd folosim ˆP ca estimator a lui p să fie mai mică decât 005 putem folosi formula 8 z α = + = 96 + = 385 4 005 4 E Observăm că dacă avem o iformaţie privid valoarea lui p, chiar ditr-u eşatio prelimiar, obţiem o dimesiue mai mică a eşatioului meţiâd precizia estimării şi ivelul de îcredere Este posibil să determiăm itervale deschise emărgiite iferior sau superior petru proporţia p cu u aumit ivel de îcredere α 00% Acestea sut, ˆP ˆP + z ˆP α, ˆP ˆP ˆP zα, 5 Predicţia Î uele situaţii sutem iteresaţi î a prevedea următoarele valori ale variabilei de selecţie Vom vedea cum se determiă u iterval de predicţie cu α00% ivel de îcredere petru următoarea valoare a uei variabile de selecţie care urmează o distribuţie ormală Fie x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid ditr-o populaţie ormală cu media m şi dispersia Dorim să prevedem valoarea variabilei de selecţie X + la o sigură observaţie viitoare U puct de predicţie este x Eroarea de predicţie este X + x Media erorii de predicţie este M X + x = m m = 0, iar dispersia este D X + x = + = +, deoarece X + este idepedetă de media x Predicţia X + x este ormal distribuită şi atuci Z = X + X are o distribuţie + ormală stadard Dacă îlocuim pri s obţiem T = X + x care are o distribuţie Studet cu s + grade de libertate Obţiem astfel itervalele de predicţie cu α00% ivel de îcredere P t α, X + x + t α, = α
şi respectiv x z α + X + x + z α + x t α, s + X + x + t α, s + Exemplul 5 Se studiază o caracteristică pe = uităţi statistice şi se obţi valorile: 98, 54, 4, 95, 0, 85, 4, 88, 49, 79, 76, 36, 75, 7, 67, 9, 54, 9, 58, 4, 54, 4 Să se determie itervalul de predicţie petru cea de a 3-a valoare şi itervalul de îcredere petru media valorilor obţiute, ivelul de îcredere fiid de 95%, iar caracteristica urmează o repartiţie ormală Rezolvare Calculăm şi obţiem x = 37 şi s = 355 Itervalul de îcredere petru medie este = x s t α,, x + s t α, = 3736 355358 0796, 3736 + 355358 0796 = 38, 589 Itervalul de predicţie cu 95% îcredere este x t α, s +, x + t α = 373 079 3553 Rezultă că 64860 X 3 0943, s + = +, 373 + 079 3553 = 64860; 0943 = + = Remarcăm că itervalul de predicţie este cosiderabil mai lug decât cel de îcredere Lugimea itervalului de îcredere, petru, tide la zero pe câd lugimea itervalului de predicţie tide la t α, s 6 Itervale de toleraţă petru caracteristici ce urmează o distribuţie ormală Defiiţia 6 Itervalul de toleraţă este u iterval statistic î care, cu u ivel de îcredere dat, caracteristica studiată a uei populaţii ia valori cu o probabilitate de acoperire specificată Capetele itervalului de toleraţă se umesc limite de toleraţă Î cazul itervalului de toleraţă se cuoaşte distribuţia pe care o urmează caracteristica şi, evetual, se cuosc parametrii distribuţiei şi se determiă itervalul cu o probabilitate de acoperire şi cu u aumit ivel de îcredere Diferă de itervalul de îcredere deoarece acesta di urmă furizează limite petru u aumit parametru al populaţiei, ecuoscut, de ex medie, dispersie umai cu u aumit ivel de îcredere Î igierie se specifică, de obicei, limitele de toleraţă, de acceptibilitate ale caracteristicii uui produs şi u reflectă îtotdeaua valoarea obţiută pri măsurători 3
Exemplul 6 Studiem o categorie de procesoare Di istoricul studiului procesoarelor de acest tip se ştie că frecveţa procesoarelor urmează o distribuţie ormală cu media m = 600 megahertzi şi abaterea medie pătratică = 30 megahertzi Să se determie u iterval de toleraţă petru frecveţa procesoarelor cu u ivel de îcredere de 95% şi cu o probabilitate de acoperire de 95% Dacă media şi dispersia sut cuoscute, itervalul de toleraţă se defieşte de forma m z α, m + z α, î fucţie de ivelul de îcredere 00 α % Probabilitatea de acoperire este α Î exemplul dat, petru u ivel de îcredere de 95% avem itervalul 55065; 64935 m z α = 600 96 30 = 54 m + z α = 600 + 96 30 = 6588 Ele reprezită valorile acceptate petru frecveţa procesoarelor Dacă m şi u sut cuoscuţi, putem folosi x şi s petru a calcula itervalul de toleraţă, x z α s, x + z α s Este de aşteptat ca î acest caz, datorită itroducerii lui x şi s, probabilitatea de acoperire să fie mai mică decât α cu u ivel de îcredere de α 00% Soluţia este de a îlocui pe z α cu o valoare care să asigure u ivel de îcredere de α 00% U iterval de toleraţă care să aibă probabilitatea de acoperire p petru o caracteristică care urmează o distribuţie ormală, cu u ivel de îcredere de α 00% este x ks, x + ks, ude k este u factor de toleraţă U exemplu de calcul al factorului de toleraţă este dat de Howe, W G 969 Formula factorului de toleraţă dată de Howe este k = + z +α/ χ p, Algoritmul de calcul al factorului de toleraţă, î fucţie de proporţia p şi de probabilitatea γ, este: Se determiă z +p/ astfel îcât dacă Z urmează o distribuţie ormală, P Z z +p/ = + p/; Se determiă χ α, astfel că dacă χ urmează o distribuţie hi-pătrat cu grade de libertate, P χ χ α, = α; 3 Se îlocuiesc î formula lui k 7 Itervale de îcredere petru caracteristicile a două populaţii care urmează o distribuţie ormală Pâă acum au fost prezetate moduri de costrucţie ale itervalelor de îcredere petru u parametru corespuzător uei sigure populaţii Vom extide î cotiuare aceste rezultate î cazul a două populaţii idepedete care urmează distribuţii ormale Presupuem că avem o populaţie care urmează o distribuţie ormală cu media m şi dispersia, iar cea de a doua populaţie urmează o distribuţie ormală cu media m şi dispersia Itervalele vor fi costruite pe baza a două eşatioae de volum respectiv Fie x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid di prima populaţie distribuită ormal şi x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iir di a doua populaţie distribuită ormal 4
7 Itervale de îcredere petru difereţa mediilor a două populaţii ale căror dispersii sut cuoscute Costruim itervale de îcredere, cu ivelul de îcredere α 00%, petru difereţa mediilor a două populaţii care urmează o distribuţie ormală şi ale căror dispersii sut cuoscute Facem următoarele ipoteze: Se cosideră două populaţii idepedete care urmează o distribuţie ormală cu dispersiile cuoscute; Se cosideră x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid di prima populaţie; 3 Se cosideră x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid di a doua populaţie U estimator logic petru difereţa mediilor, m m este difereţa ditre mediile statistice ale celor două eşatioae, X X, ude X = X i şi X = X i Folosid proprietăţile mediei şi dispersiei obţiem că M X X = M X M X = m m, D X X = D X + D X = + Ţiâd seama de presupuerile făcute şi de rezultatele aterioare putem afirma Propoziţia 7 Statistica Z = X X m m + 9 urmează o distribuţie ormală stadard Observaţia 7 Dacă sut îdepliite codiţiile Teoremei limită cetrală petru cele două populaţii, atuci rezultatul Propoziţiei 7 se păstrează Ţiâd seama de rezultatul Propoziţiei 7 putem scrie P Dacă x = P P z α/ Z z α/ = α z α/ X X m m + z α/ X X z α/ + m m X X +z α/ x i şi x = u ivel de îcredere α %, este = α + = α x i atuci u iterval de îcredere petru m m, cu x x z α/ +, x x + z α/ + 0 5
Exerciţiul Fie variabilele de selecţie X, X,, X iid care urmează o legea ormală Nm, şi reprezită îcasările î mii lei ale uui laţ de magazie di orasul A şi variabile de selecţie X, X,, X iir care urmează o legea ormală Nm, şi reprezită îcasările î mii lei ale uui alt laţ de magazie di oraşul B Presupuem că cele două selecţii sut idepedete S-au efectuat două sodaje, respectiv petru X şi X şi s-au obţiut următoarele date: petru X : 65, 4, 86, 0, 88, 96, 5 şi petru X : 5, 30, 34, 43, 308, 38 Cu u ivel de îcredere de respectiv 090%, 095%, 099% vrem să costruim itervale de îcredere petru difereţa mediilor, m m dacă = 5, = 3, cuoscute Rezultă că itervalul de îcredere petru difereţa mediilor îcasărilor cu u ivel de îcredere de 90% este 389678, 90 Observaţia 73 Şi î acest caz putem costrui itervale de îcredere de forma x x z α/ +, sau,x x +z α/ + petru difereţa mediilor Alegerea dimesiuii eşatioului Dacă dispersiile sut cuoscute şi dimesiuile eşatioaelor sut egale, = =, putem determia dimesiuea eşatioului astfel îcât eroarea pe care o facem îlocuid m m cu x x să fie mai mică decât E cu u ivel de îcredere α 00% Deoarece rezultă m m x x z α/ + E zα/ E +, N 7 Itervale de îcredere petru difereţa mediilor a două populaţii ale căror dispersii sut ecuoscute Extidem rezultatele aterioare petru cazul î care cele două populaţii urmează o distribuţie ormală şi dispersiile sut ecuoscute Dacă volumele eşatioaelor şi depăşesc valoarea de 40, rezultatul aterior poate fi utilizat Dacă eşatioaele sut mai mici atuci costrucţia itervalului de îcredere se bazează pe distribuţia Studet Costruim itervalul de îcredere cu ivelul de îcredere egal cu 00 α %, petru difereţa mediilor a două populaţii ale căror dispersii sut ecuoscute Două situaţii diferite trebuie tratate: Cazul î care dispersiile sut ecuoscute, dar egale = =, Cazul î care dispersiile sut ecuoscute şi diferite Cazul = = Se cosideră x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid di prima populaţie şi x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid di a doua populaţie Fie mediile de selecţie X = X i şi X = X i şi dispersiile de selecţie S = S = Xi X 6 Xi X şi
Observăm că M X X = M X M X = m m, deci X X este u estimator edeplasat petru difereţa mediilor Dispersia lui X X este D X X = D X + D X = + = + Combiăm cele două dispersii de selecţie S şi S petru a forma u estimator al lui Acest estimator, otat S p, se defieşte astfel: Obsevăm că S p poate fi scris astfel Sp = S + S + S p = + S + + S = λs + λ S, ude 0 < λ Sp este o combiaţie liiară de cele două dipersii de selecţie î care λ depide doar de dimesiuea eşatioaelor, şi Dacă = = atuci Sp este media aritmetică a celor două dispersii de selecţie Ştim că Z = X X m m urmează o distribuţie ormală stadard Îlocuid + cu S p obţiem următorul rezultat: Propoziţia 74 Statistica T = X X m m S p + urmează o distribuţie Studet cu + grade de libertate Atuci P t α/, + T t α/, + = α P t α/, + X X m m t α/, = α S p + P X X t α/, + S p + m m Dacă x = X X + t α/, + S p + = α x i şi x = x i şi s = x i x şi s = x i x atuci u iterval de îcredere petru m m, cu u ivel de îcredere de 00 α % este x x t α/,+ s p +, x x + t α/, + s p + Cazul 7
Î uele situaţii u putem presupue că dispersiile ecuoscute sut egale Şi î acest caz putem găsi u iterval de îcredere petru difereţa mediilor, cu u ivel de îcredere de 00 α% folosid faptul că T = X X m m S + S urmează aproximativ o distribuţie Studet cu ν grade de libertate, ude s + s ν = s + s Dacă ν u este îtreg, se rotujeşte pri lipsă la cel mai apropiat îtreg Itervalul de îcredere, î acest caz, este x x t α/,ν S + S, x x + t α/,ν S + S 73 Itervale de îcredere petru raportul dispersiilor a două populaţii Costruim itervale de îcredere, cu ivelul de îcredere α 00%, petru raportul mediilor a două populaţii care urmează o distribuţie ormală şi ale căror medii şi dispersii sut ecuoscute Facem următoarele ipoteze: Se cosideră două populaţii idepedete care urmează o distribuţie ormală; Se cosideră x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid di prima populaţie; 3 Se cosideră x, x,, x o selecţie de valori petru variabile de selecţie X, X,, X iid di a doua populaţie Fie S şi S dispersiile de selecţie ale celor două populaţii Propoziţia 75 Statistica F = S / S / urmează o F-distribuţie cu grade de libertate la umărător şi grade de libertate la umitor Defiiţia 76 Desitatea de probabilitate a F-distribuţiei cu u grade de libertate la umărător şi v grade de libertate la umitor este Γ u+v u u/ v x u/ fx = Γ u Γ v u u+v/, 0 < x < v x + Propoziţia 77 Media şi dispersia F-distribuţiei sut: M X = v, petru v >, v D X = v u + v u v, petru v > 4 v 4 8
Graficul desităţii de probabilitate petru u = v = 5 este dat î figura următoare Graficul F-distribuţiei este foarte asemăător cu graficul distribuţiei hi-pătrat Cei doi parametri asigură o flexibilitate a formei Valorile fucţiei de repartiţie a F-distribuţiei pot fi calculate cu ajutorul tabelului di Aexa 4 Fie f α,u,v puctul î care vrem să calculăm valoarea fucţiei de repartiţie cu u grade de libertate la umărător şi v grade de libertate la umitor Atuci F u,v f α,u,v = f α,u,v fxdx = α Exemplul 78 Petru u = 5 şi v = 0 să se calculeze f α,u,v = 333 Î tabel la itersecţia liiei v = 0 şi coloaei u = 5 se găseşte, î tabelul corespuzător lui α = 005 valoarea 333 F 5,0 333 = 095 Tabelul coţie probabilităţile petru valorile lui α egale cu 05, 0, 005, 005, 00 74 Itervale de îcredere petru difereţa proporţiilor a două populaţii Presupuem că avem două eşatioae de dimesiui şi respectiv extrase di două populaţii X şi X reprezetâd umărul de observaţii care aparţi uei clase care se studiază Mai mult, presupuem aproximarea distribuţiei biomiale cu distribuţia ormală este aplicabilă populaţia să aibă măcar 0 elemete, astfel îcât estimatorii proporţiilor ˆP = X / şi ˆP = X / urmează o distribuţie ormală Propoziţia 79 Statistica este distribuită aproximativ ormal stadard Z = ˆP ˆP p p p p + p p 9
Determiăm itervalul de îcredere P z α/ Z z α/ = α P z α/ ˆP ˆP p p z α/ = α p p + p p Dacă ˆp şi ˆp sut proporţiile obţiute di observaţiile făcute asupra celor două eşatioae, atuci z α/ ˆp ˆp p p ˆp ˆp + ˆp ˆp ˆp ˆp z α/ ˆp ˆp + ˆp ˆp z α/ p p ˆp ˆp + z α/ ˆp ˆp + ˆp ˆp Exerciţiul U cercetăror este iteresat dacă persoaele care au făcut psihologia sut capabile să rezolve o problemă care implică o aumită judecată Cercetătorul este iteresat î a estima difereţa ditre proporţiile persoaelor di cele două populaţii care pot rezolva problema Prima populaţie are 00 membrii di care 65 au rezolvat problema, iar a doua populatie are 0 di care doar 45 au rezolvat problema Să se costruiască u iterval de îcredere petru difereţa proporţiilor cu u ivel de îcredere de 99% Itervalul de îcredere este 0068644, 04374 Acest iterval u iclude 0, este pozitiv, ceea ce îseamă că î prima populaţie avem o mai mulţi cercetători care pot rezolva problema 0