III. Dabas enegja III.. Knetnė enegja. III.. Dabas. III. 3. Konsevatyvos jėgos (potencalnės). III.4. Potencnė enegja šonų jėgų lauke. III.5. Enegjos tvemės dėsns mechankoje. III.6. Enegjos dspacja. III.. Knetnė enegja Uždaoje sstemoje šleka nepaktę tys fzkna dydža: enegja, mpulsas mpulso momentas. Todėl galoja attnkama tys tvemės dėsna - enegjos, mpulso mpulso momento tvemės dėsns. Je gaunam š Nutono lygčų. Tačau tvemės dėsna ya bendesn negu Nutono dėsna. Tvemės dėsna gežta galoja tada, ka Nutono dėsna negaloja. Je galoja elatyvstnėje mechankoje. Uždaoje sstemoje egzstuoja tokos koodnačų gečų funkcjos, kuos judėjmo metu šleka nepaktusos. Šos funkcjos vadnamos judėjmo ntegalas. taško). aba Rasme šuos judėjmo ntegalus. Panagnėkme papasčausą sstemą, sudaytą š venos dalelės (veno matealojo Užašome dalelės judėjmo lygtį F = ma F = m dv. () dt F - jėgų atstojamoj, vekant matealųjį tašką. Padaugnkme () lygtį š dalelės judėjmo pokyčo ds aba m dv dt vdt (3) lygtį įašome į () gauname: m dv vdt = Fds () dt = mvdv = md v 3 = d mv = v dt, gauname (3)
d mv = F ds. (4) Je sstema uždaa, t.y. F= 0, ta d mv = 0, o pats dyds E k = mv = const. (5) Šs dyds vadnamas matealojo taško knetne enegja. Je matealuss taškas zoluotas, jo knetnė enegja ya judėjmo ntegalas. Padaugnkme (5) lygtes skatklį vadklį š m Ča mv = p. E k = m mv m = p m. (6) Je matealųjį tašką veka jėga F, knetnė enegja nebus pastov. Šuo atveju š (4) lygtes matome, kad knetnės enegjos peaugs pe laką dt lygus Fds sandauga (ds - dalelės poslnks pe laką dt). Dyds da = Fds (7) vadnamas dabu, kuį atleka jėga F kelyje ds (ds ya poslnko d s moduls). Skalanę sandaugą (7) galme užašyt pe jėgos pojekcją į judėjmo kyptį, t.y. da = F s ds. (8) Iš ča ašku, kad dabas apbūdna enegjos pokytį, kuį sukela jėgos vekmas. Sunteguojame (4) lygtį šlga kokos nos tajektojos nuo taško k : d mv = Fds. Kaė pusė eška knetnės enegjos sktumą taškuose (t.y. knetnės enegjos peaugį kelyje - ): Dyds E k - E k = mv - mv = Fds. (9) 33
A = Fds = Fsds (0) ya jėgos F atlekamas dabas kelyje -, jį galme žymėt A. Matealųjį tašką vekančų atstojamųjų jėgų dabas lygus knetnės enegjos pokyču: A = E k - E k. () Iš () lygtes seka, kad enegja matuojama tokas pat venetas kap dabas. III.. Dabas Panagnėkme dydį vadnamą dabu konkečau. (7) lygtį galma peašyt: da = Fds = F cos α ds. () α F s F Ča α - kampas tap jėgos kyptes taško judėjmo kyptes. Je α < 90 (cos α > 0), dabas tegamas, A> 0; je kampas α > 90 (cos α < 0), dabas negamas, A< 0; je kampas α = 90 (cos α = 0), dabas neatlekamas, A = 0. Ta odo, kad mechankoje supatmas ape dabą skas nuo butno supatmo ape dabą (aumenų įtempmo dabas). Pavyzdys. Lakant sunkų daktą aba jį nešant hozontala kyptm, žmogus naudoja daug pastangų, t.y. atleka dabą. Tačau dabas, kap fzkns mechankos dyds šuo atveju lygus nulu. Nubažome jėgos pojekcjos F s pklausomybę nuo matealojo taško padėtes tajektojoje, t.y. F s = f(s). 34
F s F s ds s Iš pavekslėlo matome, kad elementaus dabas da = F s ds lygus užbūkšnuoto stačakampo plotu, o dabas kelyje - lygus fgūos, apbotos keve F s, vetkaloms tesėms ašm s, plotu. Panaudosme šį ezultatą apskačuot dabu atlekamam defomuojants spyuokle. Spyuokle takome Huko dėsnį F x tamp. = - kx. ) Spyuoklę tempame laba lėta, kad jėga F so., kua mes vekame spyuoklę, būtų lyg F tamp.. Tada F x šo. = - F x tamp. = kx. F x šo. = f(x). -x F so. -x F x рo kx kx x -kx kx x x Fso. 35
Iš pavekslėlo matyt, kad dabas, kuį eka atlkt štempant spyuoklę dydžu x lygus tempant ją. A = kx. () Suspaudžant spyuoklę dydžu x, atlekamas toko pat ddumo ženklo dabas, kap Analtška dabą galme apskačuot: x A = F 0 x so. dx x = kxdx = kx 0. Tegul kūną venu metu veka keletas jėgų, kuų atstojamoj ya F = F. Dabas da, atlekamas atstojamosos jėgos kelyje ds, užašomas: da = F ds = F ds = da. (3) Ta eška, kad kelų jėgų atstojamosos atlekamas dabas lygus kekvenos jėgos atska atlekamų dabų algebne suma. Elementaų poslnkį d s galme užašyt tap: Todėl elementaų dabą galme užašyt d s = vdt. da = Fv dt. (4) Tada dabas, atlekamas pe lako tapą nuo t k t, užašomas t A = Fv dt. (5) t Dabas, atlekamas pe lako venetą vadnamas gala. Je pe lako venetą dt atlekamas dabas da, ta gala lyg P = da dt. (6) (6) lygtyje vetoje da įašome (4) lygtį gauname: P = Fv. (7) Gala ya lyg jėgos vektoaus gečo vektoaus skalane sandauga. Dabo galos veneta: [SI] - [A] = J = N m; [CGS] - [A] = eg = dyn cm. [SI] - [P] = W = J/s; [CGS] - [P] = eg/ s. 36
III. 3. Konsevatyvosos jėgos (potencalnės) Jėga F, vekant matealųjį tašką aba slenkantį kūną, vadnama konsevatyvąja aba potencalne, je tos jėgos atlktas dabas A -, pekelant tašką š bet kuos padėtes () į (), nepklauso nuo to, koka tajektoja buvo pekelama. a A -a- = A -b- = A -. b lygus 0. Konsevatyvosos jėgos dabas, judant tašku uždaa tajektoja L, pvz. -a--b- ( Fds) = A -a- + A -b- = 0. ( ) L Konsevatyvųjų jėgų pavyzdža gal būt vsuotnės taukos jėga, tampumo jėga, įelektntų kūnų elektostatnės sąvekos jėgos. Vsos jėgos, kuoms netnka ( ) sąlyga, vadnamos nekonsevatyvosoms. Būdngas pavyzdys ya tntes jėgos. Šos jėgos vsada nukeptos judėjmu pešnga kyptm, t.y. cos α = -. Todėl tntes jėgų dabas, judant kūnu uždaa tajektoja, vsada negamas nekada nelygus 0. III.4. Potencnė enegja šonų jėgų lauke Je matealųjį tašką aba kūnų sstemą veka konsevatyvosos jėgos, ta galma įvest tos sstemos potencnės enegjos sąvoką. Iš tkųjų, tokos sstemos dabas A -, atlekamas, kečant jos dalų tapusavo padėtį aba sstemos padėtį šonų kūnų atžvlgu, nepklausoma nuo to, kap sstema buvo pevesta š padnės būsenos () į galnę (). Dabas A - lygus sstemos enegjos sumažėjmu tame pocese: A - = - E = E - E. Je sstemos padėts buvo pakesta, nekečant vsų sstemos kūnų gečų, ta tų kūnų knetnė enegja lko nepaktus. Vadnas dabas A - lygus sstemos enegjos, ku vadnama potencne enegja, sumažėjmu. 37
Potencnė enegja pklauso tk nuo sstemos dalų tapusavo padėtes nuo jų padėtes šonų kūnų atžvlgu. Todėl potencnę enegją katas vadname padėtes enegja. Panagnėkme kūnų, tap kuų veka taukos jėgos, sstemos potencnę enegją. Pvz., mkme sstemą, kuą sudao Žemė m masės kūnas, pakeltas į aukštį h vš Žemės pavšaus. Sstemos Žemė - kūnas potencnės enegjos pokyts matuojamas taukos jėgų dabu, atlekamu, kūnu lasva kntant ant Žemės. Je kūnas knta vetkala, ta: - E p = E p - E p0 = mgh. Ča E p0 - sstemos potencnė enegja, ka h = 0. Lakome, kad ka h = 0, E p0 = 0, ta E p = mgh. Je kūnas knta l lgo nuožulnąja plokštuma, sudaanča kampą α su vetkale (h = l cos α), ta taukos jėgų dabas ya lygus: A = mgl cos α = mgh. Vadnas, taukos jėgų dabas pklauso nuo kelo padno galno taškų aukščų sktumo. Iš ča gauname, kad taukos jėgos atlktas dabas, judant uždaa tajektoja -a--b-, lygus 0, nes tajektojos padns galns taška sutampa. III.5. Enegjos tvemės dėsns mechankoje M. Lomonosovas (748 m.) nuodė, kap tesnga eka supast venos fomos judėjmo vsmą ktos fomos judėjmu. Js sufomulavo medžagos masės tvemės dėsnį chemnuose vsmuose be matejos judėjmo tvemės dėsnį. Paėjus 00 m. po M. Lomonosovo, P. Majes G. Helmholcas kekybška sufomulavo enegjos tvemės dėsnį. Js fomuluojamas tap: Uždaoje sstemoje venų ūšų enegja gal vst ktų ūšų enegja, gal peet š veno kūno į ktą, bet bendas jos keks neskeča. Enegjos tvemės dėsns ya venas š pagndnų gamtos dėsnų, galojančų tek makoskopnų kūnų, tek elementaų dalelų sstema. Js tega, kad judėjmas gamtoje ya amžnas nesunaknamas, o tk š venos fomos vsta kta. Galma įodyt, kad uždaoje kūnų sstemoje, kuoje sąvekos tap kūnų ya potencalnės (konsevatyvosos), mechannė enegja nevsta ktos ūšes enegja. 38
Tokos sstemos vadnamos uždaoms konsevatyvosoms sstemoms, joms galoja mechannės enegjos tvemės dėsns: uždaos konsevatyvosos sstemos judėjmo metu mechannė enegja neskeča. E = E k + E p = const. Šą lygybę lengva patknt, pvz., tuo atveju, ka kūnas lasva knta ant Žemės. Panagnėkme, kap mechannės enegjos tvemės dėsns takomas dvejų utulų absoluča tampaus centno smūgo skačavmu. Absoluča tampu vadnamas toks smūgs, ka susduančų kūnų sstemos mechannė enegja nevsta ktų ūšų enegja. Takme, kad du m m masės absoluča tampūs utula k smūgo juda gečas v v, nukeptas vena kyptm šlga utulų centų lnjos, be to v > v. m m m m u v v u Reka ast utulų gečus u u po smūgo. Šam uždavnu spęst panaudosme du tvemės dėsnus. Pagal mechannės enegjos tvemės dėsnį tume: m v v u u + E + m + E = m ' + E m ' p p p + + E p. ( ) Tegul utula juda hozontala plokštuma, todėl jų potencnė enegja Žemės taukos lauke neknta, t.y. Tada š ( ) gauname Pagal judeso keko tvemės dėsnį E p + E p = E p + E p. m v + m v = m u + m u. () m v + m v = m u + m u. Centno smūgo atveju vektoa v, v, u, u nukept vena tese, todėl mpulso tvemės dėsnį galme peašyt pojekcjoms į x ašį: m v + m v = m u + m u. 39
Išspendę () () lygts, gauname: () u u = = ( m ) v m + m m v + m ( m ) v m + m m v Reka atsmnt, kad (3) fomulėse gečų v v ženkla gal būt tek venod, tek sktng pklausoma nuo vektoų v v kypčų: a) je utulų masės venodos (m = m = m), ta u = v u = v, t.y. utula smūgo metu paskeča gečas; b) je m >> m, ta u v - v u v.; c) je m >> m, be to antass utulys k smūgo nejudėjo (v = 0), ta u = - v u = 0, t.y. pmass utulys atšoka nuo nejudančo masyvaus utulo juda į pešngą pusė geču u = - v. + m (3) III.6. Enegjos dspacja Kūnų sstema vadnama dspatyvąja, jegu jos mechannė enegja palapsnu mažėja, nes vsta ktų fomų (nemechanne) enegja. Toks pocesas vadnamas enegjos dspacja (šskladymu). Panagnėkme dvejų judančų utulų enegjos dspacją centno absoluča netampaus smūgo atveju. Rasme sstemos mechannės enegjos pokytį centno absoluča netampaus smūgo atveju. Bendo abejų utulų gečo skatnė vetė po smūgo gaunama š judeso keko tvemės dėsno: m v + m v = (m + m )u. Gets u po smūgo v v u = m + m m + m. 40
Je utula juda gulsčąja plokštuma, ta jų potencnė enegja E p Žemės taukos lauke nepaskeča. Vsa mechannė enegja k smūgo Po smūgo j bus lyg: aba įašus u šašką: E E E m v v = + m + E p. = ( m + m ) u ( mv + mv ) ( m + m ) + E = + E. Vsos mechannės enegjos pokyts dėl netampaus smūgo: Petvakus, gauname E = E E = ( m v + mv ) ( m + m ) - m v - m v ( ) ( m + m ) E = - mm v v p p < 0. Tuo būdu, netampaus smūgo metu vsa sstemos mechannė enegja sumažėja, t.y. dals jos šssklado. Šs ezultatas nepeštaauja enegjos tvemės dėsnu. Tap ya todėl, kad absoluča netampaus smūgo metu susduantej kūna defomuojas. Ta defomacja šleka po kūnų smūgo, todėl j vadnama lekamąja defomacja. E = E + E; E = A.. Kūnams defomuot atlekamas dabas A, kus, kap gaunama š ekspementų, ya tksla lygus vsos sstemos mechannės enegjos sumažėjmu: A = E = m m + ( ) ( ) m m v v Je antass kūnas k smūgo nejudėjo (v = 0), ta A = ( ). mm m m v m m E = k. + m + 4
Netampus smūgs naudojamas dvejopems tkslams. Pmas - kūnų foma pakest (metalo kalmas štampavmas, kūnų smulknmas kt.). Šas atvejas svabu, kad kuo ddesnė pmojo kūno knetnės enegjos dals būtų sunaudojama dabu, t.y., kad nejudančo kūno masė m (pvz., pekalo metalo gabalo) būtų daug katų ddesnė už smogančo kūno masę m (pvz., kūjo masę). Antas tkslas - pvest kūną paslnkt po smūgo nugalėt paspešnmą (polų kalmas į žemę, vnų įkalmas kt). Šuo atveju naudnga, kad defomacja sunaudotas dabas būtų kuo mažesns, kad vsa abejų kūnų knetnė enegja po smūgo E = ( m + m ) būtų ddžausa. Tam eka, kad smogančo kūno masė m (plaktuko, kaltuvo) būtų daug katų ddesnė už antojo kūno masę m (vnes, polaus). u 4