CONTRIBUȚII LA MODELAREA SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE COMPLEXE

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCȚII BUCUREŞTI FACULTATEA DE CONSTRUCȚII CIVILE INDUSTRIALE ŞI AGRICOLE CONTRIBUȚII LA MODELAREA SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE COMPLEXE TEZĂ DE DOCTORAT Conducător ştiințific Prof. univ. dr. ing. VALERIU BĂNUȚ Doctorand Ing. TUDOR MACAV BUCUREŞTI

Pentru îndrumarea pină de grijă şi rigurozitate adresez sentimente de ce mai înat respect şi recunoştință conducătoruui ştiințific prof. univ. dr. ing. Vaeriu Bănuț. De asemenea doresc să eprim sincere muțumiri coegior din Catedra de Mecanică Statica şi Dinamica Construcțiior în specia prof. univ. dr. ing. Iordan Petrescu pentru începuturie în studiu modeării cu eemente finite conf. univ. dr. ing. Mircea Eugen Teodorescu pentru sprijinu în domeniu cacuuui geometric neiniar. Muțumesc prof. univ. dr. ing. Mihai Budescu şi prof. univ. dr. ing. Doina Ştefan pentru aprecierie făcute cu promptitudine asupra prezentei teze. Muțumesc doamnei decan prof. univ. dr. ing. Daniea Preda pentru suportu acordat pe parcursu eaborării ucrării de doctorat. În fina muțumesc famiiei şi prietenior care m-au susținut şi încurajat permanent.

CUPRINS INTRODUCERE CAPITOLUL. PRINCIPALELE PROBLEME ALE MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE 7.. Aspecte fundamentae 7... Sistem mode fizic mode matematic 7... Simpificarea modeeor matematice 7... Importanța studiuui modeării sistemeor dinamice structurae 8.. Aspectee modeării sistemeor dinamice structurae 8... Introducere 8... Modearea inerțiaă 9... Modearea disipativă... Modearea deformabiității.. Probeme practice ae modeării sistemeor dinamice structurae... Principaee probeme practice ae modeării sistemeor dinamice structurae... Deimitarea de mediu înconjurător probemă esențiaă a modeării sistemuui dinamic CAPITOLUL. INFLUENȚA DISTRIBUȚI RIGIDITĂȚILOR MASELOR ŞI ÎNCĂRCĂRILOR DINAMICE ASUPRA MODELULUI DE CALCUL 6.. Condensarea gradeor de ibertate 6... Divizarea în submatrice a matricei de rigiditate 6... Condensarea consecventă 7... Condensarea prin transformări eementare 7.. Infuența distribuției rigiditățior sistemuui dinamic structura asupra stabiirii modeuui de cacu 9... Introducere 9... Sistemu dinamic structura anaizat 9... Constatări şi comentarii 6... Concuzii 8 i

.. Infuența distribuției maseor şi încărcărior dinamice asupra modeuui de cacu 9... Introducere 9... Sistem dinamic structura simetric cu masa distribuită uniform 9... Sistem dinamic structura cu o masă disproporționată... Infuența încărcărior dinamice asupra modeuui de cacu.. Concuzii CAPITOLUL. INFLUENȚA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZĂRII ASUPRA RĂSPUNSULUI DINAMIC.. Aspecte fundamentae în metoda eementeor finite... Principiu metodei eementeor finite... Case şi tipuri de eemente finite... Funcții de aproimare în coordonate gobae... Generarea funcțiior de aproimare... Eementu unidimensiona bară 5... Eementu triunghiuar iniar 7... Funcții de aproimare în coordonate naturae 5..5. Eemente izoparametrice 5..6. Condiții de convergență şi compatibiitate 5.. Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra modurior proprii de vibrație determinate prin cacu 55... Introducere 55... Sistemu dinamic structura P+ 56... Acătuirea sistemuui 56... Modee dinamice studiate 56... Formee proprii de vibrație 59... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra vaorior proprii cacuate 6...5. Concuzii 65... Sistemu dinamic structura P+ 68... Acătuirea sistemuui 68... Modee dinamice studiate 68... Formee proprii de vibrație 7... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra vaorior proprii cacuate 8...5. Concuzii 8.. Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic 85... Introducere 85 ii

... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic a acțiunea forțeor armonice 85... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic a acțiunea seismică 86... Metoda de cacu apicată 86... Rezutate obținute 86... Concuzii 86 CAPITOLUL. ABORDAREA TEORETICĂ A PROBLEM MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE SRUCTURALE 9.. Aspecte fundamentae 9... Introducere 9... Modee geometric uniforme şi dinamic uniforme 9.. O proprietate a sistemeor dinamice modeate cu eemente finite 96... Enunțu proprietății şi condiții de apicare 96... Structuri spațiae acătuite din eemente de tip grindă cu secțiune constantă 98.. Vibrații ongitudinae... Souția anaitică... Souția cu eemente finite cu mase concentrate... Souția cu eemente finite cu matricea maseor consecventă 5.. Vibrații de torsiune 9... Souția anaitică 9... Souția cu eemente finite şi caracteristici inerțiae concentrate... Souția cu eemente finite şi matricea inerțiaă consecventă.5. Vibrații transversae 6.5.. Souția anaitică 6.5.. Souția cu eemente finite cu matricea maseor consecventă.5.. Souția cu eemente finite şi matricea maseor diagonaă 9 CAPITOLUL 5. ABORDAREA PRACTICĂ A PROBLEM MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE SRUCTURALE 5.. Aspecte fundamentae 5... Introducere 5... Aspecte anaizate în abordarea practică a modeării sistemeor dinamice structurae iii

5.. Vibrațiie ongitudinae ae sistemuui cu egături 5 5... Souția anaitică 5 5... Souția cu eemente finite şi mase concentrate 6 5... Souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă 7 5.. Vibrațiie transversae ae sistemuui cu egături 9 5... Souția anaitică 9 5... Souția cu eemente finite şi masee concentrate 5... Souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă 5.. Evauarea erorior pusațiior proprii de vibrație intermediare ae sistemeor cu egături 5... Erorie intermediare efective 5... Procedeu iniar de interpoare a erorior 5... Metoda poinomuui de interpoare Lagrange 7 5... Procedeu funcției putere 5 5.5. Infuența erorior pusațiior proprii asupra eactității răspunsuui dinamic a acțiuni armonice 5 5.5.. Introducere 5 5.5.. Răspunsu dinamic staționar 55 5.5.. Concuzii 58 CAPITOLUL 6. CALCULUL DINAMIC GEOMETRIC NELINIAR 6 6.. Introducere 6 6... Ipoteze 6 6... Specificu cacuuui de ordinu II 6 6.. Principiie cacuuui dinamic geometric neiniar 6 6... Cacuu dinamic iniar şi geometric neiniar 6 6... Ecuația mişcării 6 6.. Matricea de rigiditate geometrică a barei 6 6... Bara dubu articuată 6 6... Bara dubu încastrată 65 6.. Vibrațiie sistemuui cu egături 67 6... Sistemu dinamic structura anaizat 67 6... Souția de referință 68 6... Souția cu eemente finite şi mase concentrate 69 iv

6.5. Evauarea erorior perioadeor proprii de vibrație intermediare 7 6.5.. Erorie intermediare efective 7 6.5.. Procedeu iniar de interpoare a erorior efective 7 6.5.. Metoda poinomuui de interpoare Lagrange 7 6.5.. Procedeu funcției putere 77 6.6. Creşterea perioadei proprii fundamentae de vibrație în funcție de creşterea raportuui P/P cr 8 6.7. Concuzii 8 CAPITOLUL 7. CONSIDERAȚII FINALE 8 7.. Contribuții personae 8 7.. Vaorificarea ucrării şi direcții viitoare de cercetare 8 BIBLIOGRAFIE 8 v

INTRODUCERE Modeu de cacu a unui sistem structura este modeu fizic căruia i se ataşează un mode matematic. În dinamica structurior acesta este modeu dinamic. Anaiza dinamică prin cacu a unui sistem structura se referă a modeu dinamic. Modearea sistemeor dinamice structurae compee în domeniu iniar şi neiniar de comportare este o probemă cuprinzătoare care incude mai mute direcții de cercetare. O contribuție care se doreşte a fi semnificativă pentru rezovarea acestei probeme trebuie să eprime principii care şi simpe de modeare matematică. Obiectu tezei de doctorat î reprezintă modearea sistemeor dinamice structurae compee în cacuu dinamic iniar şi în cacuu dinamic geometric neiniar. Din mutitudinea aspecteor acestei probeme unee sunt abordate în prezenta ucrare iar atee sunt propuse ca direcții viitoare de cercetare. Un criteriu eficient de modeare dinamică a sistemeor structurae î reprezintă modurie proprii de vibrație. Variația modurior proprii reprezintă măsura infuenței diferițior factori asupra răspunsuui dinamic a structurior. Probema determinării vaorior şi vectorior proprii de vibrație ocupă ocu centra în dinamica structurior. Modurie proprii de vibrație caracterizează sintetic sistemu structura din punct de vedere dinamic independent de acțiunie ce se eercită asupra sa. O proprietate remarcabiă a sistemeor dinamice uniforme ibere în discretizarea cu eemente finite este că eroarea ceei mai înate pusații proprii a sistemuui coincide sau este apropriată cu eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement finit. În afara studiuui acestor sisteme ibere care constituie o abordare teoretică a probemei în prezenta ucrare este anaizată această proprietate pentru sistemee cu egături şi aceasta reprezintă o abordare practică a probemei modeării sistemeor dinamice structurae. Această abordare practică este apicată atât sistemeor dinamice structurae cu comportare iniară cât şi sistemeor dinamice structurae cu comportare geometric neiniară. Lucrarea este structurată în o introducere şapte capitoe şi bibiografia. În Introducere se prezintă aspectee generae ae modeării sistemeor dinamice structurae compee obiectu tezei de doctorat şi o descriere succintă a conținutuui tezei de doctorat. Capitou este intituat Principaee probeme ae modeării sistemeor dinamice structurae şi conține chestiuni fundamentae aspectee modeării sistemeor dinamice structurae şi probemee practice ae modeării sistemeor dinamice structurae.

Sunt definite noțiunie de sistem mode mode fizic mode matematic mode de cacu şi mode dinamic. Sunt prezentate metode de simpificare ae modeeor matematice şi se abordează necesitatea şi importanța studiuui modeării sistemeor dinamice structurae. Ca aspecte ae modeării sistemeor dinamice structurae sunt considerate modearea inerțiaă incusiv egătura dintre matricea maseor diagonaă şi funcțiie de aproimare din metoda eementeor finite modearea disipativă şi modearea deformabiității. În fina sunt prezentate numeroase probeme practice ae modeării sistemeor dinamice structurae cu evidențierea probemei deimitării de mediu înconjurător a modeuui sistemuui dinamic. Capitou este intituat Infuența distribuției rigiditățior maseor şi încărcărior dinamice asupra modeuui de cacu şi conține condensarea gradeor de ibertate infuența distribuției rigiditățior sistemuui dinamic structura asupra stabiirii modeuui de cacu infuența distribuției maseor şi încărcărior dinamice asupra modeuui de cacu şi concuzii. În ucrare se prezintă trei procedee de condensare a gradeor de ibertate. Pe baza condensării prin transformări eementare de tip Gauss Jordan autoru a întocmit o subrutină în MATHCAD pe care a utiizat-o în numeroase apicații numerice din teza de doctorat. Se studiază infuența rigiditățior disproporționate din acătuirea sistemeor structurae asupra comportării dinamice a acestora. Se fac comparații sugestive cu sistemee care au rigidități uniforme. Se anaizează în detaiu această infuență atât asupra modurior proprii joase cât şi asupra ceor înate. O contribuție originaă adusă prin acest capito este reprezentată de introducerea factoruui de ampificare dinamică pentru cuantificarea interacțiunii dintre modurie proprii de vibrație. Astfe pentru modurie proprii înate pusațiie de vibrație din modurie proprii joase reprezintă pusații ae acțiunii şi factoru de ampificare dinamică este supraunitar. Pentru modurie proprii inferioare pusațiie acțiunii sunt pusațiie de vibrație din modurie proprii superioare iar factoru de ampificare dinamică este subunitar. Recomandărie privind modearea sistemeor dinamice cu rigidități disproporționate reprezintă o ată contribuție adusă prin ucrarea de doctorat. Astfe se recomandă ca părție deosebit de feibie ae sistemuui structura să nu fie considerate în anaiză. Dacă este posibi acestea vor fi considerate ca eemente uşoare şi vor fi tratate separat. În caz contrar rețeaua de eemente finite trebuie să fie îndesită în aceste zone feibie. Printr-o abordare unitară se pune în evidență faptu că aceeaşi feibiizare dinamică a unei zone a structurii rezută în urma creşterii maseor şi încărcărior dinamice în zona respectivă. Capitou este intituat Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic şi conține aspecte fundamentae în metoda

eementeor finite infuența graduui de rafinare a discretizării asupra modurior proprii de vibrație infuența graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic şi concuzii. Sunt prezentate principiu metodei eementeor finite case şi tipuri de eemente finite funcții de aproimare în coordonate gobae funcții de aproimare în coordonate naturae eemente izoparametrice condiții de convergență şi compatibiitate. Pentru studiu infuenței graduui de rafinare a discretizării asupra modurior proprii de vibrație se efectuează două studii de caz: sistem dinamic structura P+ cu două deschideri şi trei travei având două pane verticae de simetrie unu ongitudina şi ceăat transversa; sistem dinamic structura P+ având de asemenea două pane de simetrie. Pentru ambee sisteme dinamice structurae s-au adoptat patru modee dinamice: primu mode dinamic are nodurie coincidente cu nodurie efective ae structurii rezutând: - 7 eemente finite din care eemente de tip pacă şi 58 eemente de tip grindă pentru sistemu dinamic structura P+ - eemente finite pentru sistemu P+ a doiea mode dinamic se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae primuui mode rezutând: - 6 eemente finite pentru sistemu P+ din care 8 eemente de tip pacă şi 6 eemente de tip grindă - 8 eemente finite pentru sistemu P+ a treiea mode dinamic se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae modeuui precedent ceea ce a condus a: - eemente finite pentru sistemu P+ - 88 eemente finite pentru sistemu P+ a patruea mode dinamic rezută prin înjumătățirea dimensiunior eementeor finite ae modeuui precedent obținându-se: - 6 eemente finite pentru sistemu P+ - 7 eemente finite pentru sistemu P+ S-au desprins următoaree concuzii: configurațiie primeor 6 forme proprii de vibrație ae sistemuui P+ şi a primeor ae sistemuui P+ nu sunt infuențate de gradu de rafinare a discretizării; pentru aceste moduri proprii de vibrație se repetă tripetu de forme proprii ongitudina transversa torsiune generaă;

simetria sistemeor dinamice spațiae permite verificarea vectorior proprii de vibrație obținuți prin cacu nu numai caitativ dar şi cantitativ; erorie reative ae perioadeor proprii de vibrație scad odată cu creşterea graduui de rafinare a discretizării ; în ansambu erorie reative ae perioadeor proprii cresc de a modurie proprii joase spre modurie proprii superioare. Partea finaă a capitouui este consacrată studiuui infuenței graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic determinat prin cacu. Acțiunea dinamică a fost reprezentată de acceerograma N S a cutremuruui din martie 977 înregistrată a INCERC Bucureşti durata acțiunii şi a răspunsuui cacuat fiind de secunde. Acceerația terenuui a fost apicată pe direcția ongitudinaă atât a sistemuui dinamic structura P+ cât şi a sistemuui dinamic structura P+. Sunt prezentate trei categorii de rezutate: variația în timp a depasării reative față de poziția nedeformată a panşeuui superior depasărie reative maime ae fiecărui panşeu pe direcția ongitudinaă şi depasărie reative de nive maime. Modeee dinamice mai grosiere au condus a depasări cacuate mai mici cu până a 78%. Acest fapt este descoperitor nu numai în cazu utiizării primuui mode dinamic dar chiar şi a ceui de-a doiea care este mai rafinat. Un at rezutat privind răspunsu dinamic pus în evidență de studiie de caz efectuate este că eroarea perioadei proprii de vibrație se regăseşte ampificată de câteva ori în răspunsu dinamic a acțiunea seismică (eroarea perioadei proprii respective este de 575%). Capitou este intituat Abordarea teoretică a probemei modeării sistemeor dinamice structurae şi conține: aspecte fundamentae o proprietate a sistemeor dinamice modeate cu eemente finite vibrații ongitudinae vibrații de torsiune şi vibrații transversae. Se definesc modeee geometric uniforme şi dinamic uniforme [57]. Definiția modeuui dinamic uniform este egată de formee proprii de vibrație. Aceste forme sunt acătuite din porțiuni cu conveitatea în aceaşi sens. Porțiunie pot fi: - buce separate de puncte de infeiune; - suprafețe separate de inii de infeiune; - porțiuni tridimensionae separate de suprafețe de infeiune. Un mode a structurii este dinamic uniform dacă fiecare porțiune de acest fe are aceaşi număr de puncte nodae ae rețeei de eemente finite. Se prezintă o proprietate a erorii ceei mai înate pusații proprii a sistemeor dinamice uniforme modeate cu eemente finite. Această eroare poate fi obținută înaintea efectuării oricărei anaize dinamice. Enunțu proprietății:

Eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui sistem dinamic uniform iber în discretizarea cu eemente finite coincide cu eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement finit. În iteratura de speciaitate [] proprietatea este demonstrată pentru vibrațiie ongitudinae cu mase concentrate ae sistemuui uniform de eemente articuate. În ucrarea de doctorat proprietatea este demonstrată pentru: vibrațiie ongitudinae cu matricea maseor consecventă ; vibrațiie de torsiune cu caracteristici inerțiae concentrate; vibrațiie de torsiune cu matricea inerțiaă consecventă. De asemenea această proprietate este studiată pentru vibrațiie transversae cu matricea maseor consecventă şi diagonaă. În toate cazurie abordate comparația a fost făcută cu souția anaitică a sistemuui iber continuu. Capitou 5 este intituat Abordarea practică a probemei modeării sistemeor dinamice structurae şi conține: aspecte fundamentae vibrațiie ongitudinae ae sistemuui cu egături vibrațiie transversae ae sistemuui cu egături evauarea erorior pusațiior proprii de vibrație intermediare ae sistemeor cu egături infuența erorior pusațiior proprii asupra eactității răspunsuui dinamic a acțiuni armonice. Sunt anaizate următoaree vibrații ae sistemeor cu egături prin prisma proprietății enunțate a pusațiior proprii de vibrație: vibrații ongitudinae souția cu eemente finite şi mase concentrate; vibrații ongitudinae souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă ; vibrații transversae souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă ; vibrații transversae souția cu eemente finite şi matricea maseor diagonaă. De asemenea în acest capito sunt studiate următoaree probeme practice: evauarea erorior pusațiior proprii intermediare ae sistemeor cu egături prin interpoare iniară; evauarea erorior pusațiior proprii intermediare ae sistemeor cu egături prin metoda poinomuui de interpoare Lagrange; evauarea erorior pusațiior proprii intermediare ae sistemeor cu egături prin procedeu funcției putere. S-a anaizat ampificarea erorior pusațiior proprii în răspunsu dinamic a sistemeor structurae a acțiuni armonice. Studiu efectuat reprezintă o sinteză din iteratura de speciaitate fiind prezentată acuratețea răspunsuui dinamic staționar 5

pentru mai mute fracțiuni din amortizarea critică şi mai mute erori ae pusațiior proprii de vibrație. Pentru raportu dintre pusația acțiunii şi pusația proprie ega cu zero factoru de ampificare a erorior este ega cu. Se face deosebire între zona rezonanței adică intervau raportuui pusațiior cuprins între 8 şi şi vecinătatea rezonanței în care raportu ceor două pusații este aproimativ ega cu unitatea. În vecinătatea rezonanței ampificarea erorii pusației proprii în răspunsu dinamic este nuă iar ampificarea maimă a erorii are oc în zona rezonanței şi este aproimativ egaă cu coeficientu dinamic (factoru de ampificare dinamică). Eroarea maimă a componentei tranzitorii a răspunsuui dinamic este aproimativ egaă cu eroarea maimă a răspunsuui dinamic staționar. Capitou 6 este intituat Cacuu dinamic geometric neiniar şi cuprinde ipotezee simpificatoare adoptate specificu cacuuui de ordinu II principiie cacuuui dinamic geometric neiniar matricea de rigiditate geometrică a barei vibrațiie sistemuui cu egături evauarea erorior perioadeor proprii de vibrație intermediare creşterea perioadei proprii fundamentae de vibrație în funcție de creşterea raportuui P/P cr şi concuzii. În cacuu dinamic geometric neiniar au fost parcurse etapee de studiu din cacuu dinamic iniar. În funcție de diferite rapoarte P/P cr s-au determinat erorie perioadeor proprii de vibrație. Pentru interpoarea erorior acestora s-au utiizat următoaree procedee: procedeu iniar de interpoare; metoda poinomuui de interpoare Lagrange; procedeu funcției putere. În cacuu dinamic geometric neiniar aceste procedee se apică într-un mod diferit față de cacuu dinamic iniar datorită mai aes modificării semnificative a perioadei proprii fundamentae de vibrație. Au fost propuse epresii adecvate comportării dinamice geometric neiniare atât în procedeu iniar cât şi în procedeu funcției putere şi în metoda poinomuui de interpoare Lagrange. Creşterea perioadei proprii fundamentae de vibrație impică scăderea accentuată a rigidității structurii odată cu creşterea raportuui P/P cr. În acest capito se generaizează studiu comportării dinamice geometric neiniare de a modu propriu fundamenta de vibrație a toate modurie proprii de vibrație ae modeuui dinamic anaizat. Capitou 7 este intituat Considerații finae şi cuprinde contribuții personae vaorificarea ucrării şi direcții viitoare de cercetare. Bibiografia conține 59 de tituri. 6

CAPITOLUL PRINCIPALELE PROBLEME ALE MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE.. ASPECTE FUNDAMENTALE... Sistem mode fizic mode matematic Sistemu este un ansambu de eemente componente caracterizat printr-o structură internă ordonată şi deimitat de mediu înconjurător. Modeu este o reprezentare a aspecteor esențiae ae unui sistem. Modeu permite descrierea cunoştințeor asupra sistemuui într-o formă utiizabiă. Modeu fizic este o copie sau o anaogie care se comportă simiar cu sistemu rea. Modeu fizic rezută în urma apicării unor simpificări. Modeu matematic este un sistem de reații matematice care descriu comportarea unui sistem fizic rea. Modeu matematic poate fi construit pe modeu fizic. Modeu de cacu a structurii este modeu fizic căruia i se ataşeaza un mode matematic. În Dinamica structurior acesta este modeu dinamic. Anaiza prin cacu a acțiunea dinamică a unei structuri se referă a modeu dinamic şi nu a sistemu dinamic rea [5].... Simpificarea modeeor matematice Utiizarea modeeor dinamice compee are mai mute dezavantaje egate de costu anaizei memoria necesară mânuirea dateor de intrare interpretarea rezutateor şi efectu nefavorabi a erorior de rotunjire şi trunchiere. Pe de ată parte utiizarea ceor mai mici dimensiuni pentru modeee dinamice poate conduce a rezutate incorecte şi mai mut se poate pierde evidențierea anumitor fenomene. Simpificarea modeeor matematice se reaizează prin : reducerea dimensiunii modeuui; concentrarea caracteristicior distribuite din ecuațiie diferențiae cu derivate parțiae obținându-se în acest fe sisteme de ecuații diferențiae ordinare; negijarea variabiitații în timp a unor parametri; iniarizarea reațiior acțiune-răspuns din ecuațiie diferențiae neiniare obținându-se ecuații diferențiae iniare. 7

... Importanța studiuui modeării sistemeor dinamice structurae Modearea specifică sistemeor dinamice este o probemă esențiaă în reaizarea sistemeor structurae. Principaee etape în reaizarea acestor tipuri de sisteme sunt: concepția sistemuui dinamic; modearea sistemuui dinamic; anaiza şi proiectarea; eecuția; investigarea eperimentaă a sistemuui dinamic. După modearea şi anaiza sistemuui dinamic se poate ajunge a concuzia că este necesară revizuirea concepției acestui sistem. Toate construcțiie reprezintă sisteme dinamice. Sistemee structurae sunt supuse acțiunior dinamice care provin din procese tehnoogice industriae seisme naturae sau artificiae rafae de vânt mijoace de transport etc. Toți parametrii care intervin trebuie modeați în aşa fe încât fenomenee care au oc în sistemu structura să poată fi refectate si evauate cât mai fide. Totodată prin modeare trebuie să se ofere posibiitatea ca fenomenee dinamice să fie abordate satisfăcător din punct de vedere matematic. O aterare a caracteristicior de definire ae sistemuui dinamic poate conduce nu numai a rezutate ineacte ci chiar a fasificarea fenomeneor reae. Necesitatea studiuui mai rezută din: compeitatea probemei dinamice în raport cu probema statică ținând seama de datee de intrare performanțee cacuatoruui şi datee de ieşire; avantajee deosebite ae modeeor simpificate de anaiză față de modeee etinse ae sistemeor dinamice; gama argă de dimensiuni posibie ae modeuui dinamic între modeee simpificate şi cee deosebit de compee... ASPECTELE MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE... Introducere În anaiza dinamică a structurior se modeează sistemu şi acțiunie şi se determină răspunsu dinamic. Modearea sistemuui dinamic se referă a următoaree trei aspecte principae: modearea inerțiaă; modearea disipativă; modearea deformabiității. 8

... Modearea inerțiaă Modearea inerțiaă se referă a distribuția maseor care matematic se refectă în matricea maseor. Ce mai simpu mod de definire a proprietățior inerțiae ae oricărei structuri este acea de a presupune că întreaga masă este concentrată în puncte unde sunt definite depasări din transație. Procedura uzuaă de definire a puncteor cu masa ocaizată în fiecare nod este de a presupune ca întreaga structură este împărțită în eemente nodurie servind drept puncte de coneiune. Pentru o structură în care sunt definite doar grade de ibertate de transație matricea maseor concentrate are în genera o formă diagonaă m [ M ] m în care sunt atâtea eemente câte grade de ibertate are sistemu dinamic. Eementee nediagonae m ij ae acestei matrice sunt nue deoarece o acceerație a oricărei mase produce o forță de inerție doar în ace punct. Dacă pentru un punct specificăm mai mut de un grad de ibertate de transație masa aceuiaşi punct va fi asociată fiecărui grad de ibertate. Pe de ată parte masa asociată oricărui grad de ibertate de rotație va fi zero din cauza presupunerii că masa este concentrată în puncte fără inerție de rotație. Drept urmare matricea maseor concentrate este o matrice diagonaă care va incude eemente zero pe diagonaă pentru grade de ibertate de rotație în genera. A doiea mod de definire a proprietățior masice se reaizează printr-un procedeu simiar cu anaiza eementeor matricei de rigiditate. Acest mod de definire conduce a matricea consecventă a maseor. Se consideră de eempu o grindă în pan gradee de ibertate fiind transațiie ( ) si rotirie ( ) etremitățior acestei grinzi; considerăm de asemenea că depasărie puncteor barei sunt definite de aceeaşi funcții de interpoare f i () utiizate a deducerea rigidității eementeor. Aceste funcții de interpoare sunt: f ( ) f ( ) L L L f f m ii ( ) ( ) L L m nn L L (.) 9

E I L Fig... Coordonatee funcțiior de interpoare Prin aceste funcții de interpoare deformata eementuui poate fi eprimată funcție de depasărie nodae: u( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) (.) Dacă bara este supusă unei acceerații unghiuare unitate a capătu din stânga ( =) acceerațiie puncteor barei vor fi: u ( ) f ( ) (.) Cunoscând aceste acceerații cunoaştem şi forțee de inerție corespunzătoare acestor acceerații: f I ( ) m( ) f ( ) (.) Apicând principiu ucruui mecanic virtua putem evaua de eempu reacțiunea verticaă din etremitatea stângă a barei: L Vst u s st f I ( ) u ( ) d (.5) Eprimând depasărie virtuae verticae în funcție de poinoamee de interpoare şi înocuind forța de inerție cu epresia găsită anterior rezută: L m m( ) f( ) f( ) d (.6) Prin anaogie orice coeficient nediagona a matricei maseor m ij a unui segment de bară poate fi evauat prin epresia echivaentă: L mij m( ) fi ( ) f j ( ) d (.7) Forma simetrică a acestei epresii arată că matricea maseor este simetrică. În cazu în care se utiizează aceeaşi funcții de interpoare foosite a cacuu coeficiențior de rigiditate se ajunge a matricea consecventă a maseor. Anaiza dinamică foosind o matrice consecventă a maseor necesită un efort de cacu mai mare decât în cazu matricei maseor concentrate din două motive:

a) prezența mutor termeni nediagonai (cuparea maseor) a foosirea matricei consecvente ; b) gradee de ibertate rotații pot fi eiminate într-o anaiză cu mase concentrate (prin procedeu de condensare statică). După ce au fost determinați coeficienții submatriceor maseor ae eementeor structurii matricea maseor întreguui ansambu poate fi găsită prin eact aceaşi procedeu de suprapunere precum ce utiizat pentru determinarea matricei de rigiditate. Matricea maseor va avea aceeaşi configurație adică aceeaşi poziții ae coeficiențior nenui ca şi matricea de rigiditate. Sunt de precizat două observații:. În cazu în care se utiizează o matrice diagonaă a maseor masee structurii pot fi concentrate numai în anumite puncte nodae situație în care număru eementeor nue de pe diagonaa matricei [M] creşte.. În cazu în care masee se concentrează în nodurie structurii şi se adoptă ipoteza deformațiior aiae nue ae bareor pot eista eemente secundare nenue ae matricei [M] (m ij pentru i j) dacă gradee de ibertate antrenează mase concentrate comune.... Modearea disipativă Energia indusă de acțiunie dinamice este disipată de sistemee dinamice structurae prin fenomenu de amortizare. Amortizarea depinde în genera de: - capacitatea de amortizare interna a materiauui; - configurația structurii şi gradu de nedeterminare statică; - egăturie eterioare şi interioare ae sistemuui structura. În cazu amortizării vâscoase matricea de amortizare [C] poate fi considerată o combinație iniară a matriceor de inerție şi de rigiditate: [ C ] [M M] [K K] (.8) unde şi sunt constante care se determină pe baza cunoaşterii fracțiunior din amortizărie critice modae ν i şi ν j care corespund pusațiior proprii ω i şi ω j. Reația [ C] [ M ] p i a ([ M ] i [ K]) generaizeaza epresia precedentă pentru p fracțiuni ν i (i = p). i (.9)

... Modearea deformabiității Modearea deformabiității sistemuui dinamic structura se referă a evauarea proprietățior de rigiditate. În cazu sistemeor cu comportare eastică iniară coeficienții de rigiditate sunt constanți pe când în situația sistemeor cu comportare neiniară aceşti coeficienți sunt variabii. Modearea deformabiității sistemuui dinamic structura incude şi discretizarea în eementee componente precizarea geometriei acestora precum şi a egăturior interioare si eterioare ae sistemuui. O trăsătură comună tuturor sistemeor discretizate în eemente finite este număru mare de coeficienți nui din matricea de rigiditate. Aceasta se datorează faptuui că fiecare nod are puține eemente comune cu ate noduri. Cu cât structura este mai dezvotată cu atât procentu de coeficienți nui este mai mare. Memorarea ei se poate face în formă compactă ceea ce permite pe ânga memorarea unor matrice de dimensiuni mari evitarea operațiior care impică zerouri... PROBLEME PRACTICE ALE MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE... Principaee probeme practice ae modeării sistemeor dinamice structurae În raport cu aspectee fundamentae ae modeării sistemeor dinamice structurae se ridică printre atee următoaree probeme practice:. Deimitarea modeuui sistemuui dinamic de mediu înconjurător. De eempu în practica inginerească se întânesc ansamburi secundare uşoare asociate unor sisteme structurae primare. Deimitarea ansamburior secundare de structura primară se încadreaza în acest gen de probeme.. Stabiirea dimensiunii modeuui dinamic.. Posibiitatea decupării anumitor subsisteme din sistemu dinamic.. Posibiitatea izoării anumitor eemente din sistem pentru a fi anaizate separat. 5. Opțiunea între noduri principae şi ae de coordonate principae. În particuar aceasta se referă a condensarea matricei de rigiditate. 6. Identificarea situațiior în care este posibiă modearea sistemuui dinamic structura spația ca un sistem pan. 7. Stabiirea raportuui dintre modeu pan şi modeu spația a sistemuui dinamic structura. 8. Stabiirea graduui de acuratețe a anaizei care se justifică în cazu aegerii unui mode pan. 9. Infuența negijării anumitor deformații asupra rezutateor anaizei dinamice.. Studiu posibiității concentrării maseor sistemuui dinamic structura.. Opțiunea între o matrice diagonaă a maseor şi o matrice consecventă.

. Opțiunea între o anaiză dinamică iniară şi considerarea comportării neiniare a sistemuui structura.. Aegerea curbei histeretice în cazu anaizei neiniare.. Opțiunea între modee aeatoare şi deterministe în anaiza sistemeor dinamice structurae. 5. Modearea sistemeor dinamice cu rigidități disproporționate. 6. Modearea sistemeor dinamice cu mase disproporționate. 7. Investigarea posibiității obținerii unor rezutate cu acuratețe ridicată utiizând modee dinamice reduse. 8. Anaiza erorior în cazu utiizării modeeor simpificate. 9. Aprecierea cumuării erorior de rotunjire şi trunchiere în anaiza dinamică a sistemeor pentru care s-au reaizat modee compee.. Stabiirea criteriior de modeare a sistemeor dinamice.. Verificarea eperimentaă a criteriior de modeare.... Deimitarea de mediu înconjurător probemă esențiaă a modeării sistemuui dinamic Probema deimitării modeuui sistemuui structura de mediu înconjurător are un domeniu de apicare mut mai divers decât s-ar putea considera a prima vedere. Printre atee această probemă se referă a : - deimitarea ansamburior secundare de structura suport; - decuparea anumitor subsisteme din sistemu dinamic; - izoarea anumitor eemente din sistem pentru a fi anaizate separat; - incuderea în anaiză a anumitor eemente considerate nestructurae ; - adoptarea unor modee pane pentru sistemu dinamic structura. În cee ce urmează se studiază posibiitatea izoării unui eement din sistemu dinamic printr-un eempu simpu. În figura. s-a reprezentat un sistem dinamic acătuit dintr-un stâp şi o rigă sistemu având doua mase concentrate: m m m m m I I I / m I / Fig... Sistemu dinamic structura

Se anaizează posibiitatea izoării rigei din sistemu dinamic structura prin cuprinderea între două situații imită: - riga cu o încastrare si un reazem simpu (figura. a); - riga dubu încastrată (figura.b). m m I I I I Fig... Situații imită ae eementuui izoat Aceste situații imită rezută intuitiv: stâpu îi asigură rigei un anumit grad de încastrare a etremitatea din dreapta. Pusațiie proprii de vibrație ae sistemuui dinamic structura se noteaza cu si pusația proprie a rigei cu o încastrare şi un reazem simpu cu iar pusația proprie a rigei dubu încastrate cu. În urma cacueor efectuate s-au obținut: 7 998 m m a) b) 5 m Pusațiie proprii de vibrație ae sistemuui dinamic structura şi ae eementuui izoat sunt reprezentate în figura.: m Fig... Pusațiie proprii ae sistemuui şi eementuui izoat Se observă că pusațiie proprii de vibrație ae sistemuui dinamic structura nu sunt situate ambee în intervau ( ) determinat de cee doua situații imită ae eementuui izoat pusația afându-se în afara acestui interva. Epicația constă în faptu că în cea de-a doua formă proprie de vibrație a sistemuui dinamic în capătu din dreapta a rigei se reaizează o supraîncastrare adică nodu se roteşte orar în timp ce masa m se depasează în jos. În genera în ocu

articuației poate eista o subarticuare. Situațiie imită din Statica construcțiior nu pot fi apicate în Dinamica structurior. Această constatare este importantă printre atee a studiu păcior care se izoează din sistemu dinamic structura. 5

CAPITOLUL INFLUENȚA DISTRIBUȚI RIGIDITĂȚILOR MASELOR ŞI ÎNCĂRCĂRILOR DINAMICE ASUPRA MODELULUI DE CALCUL.. CONDENSAREA GRADELOR DE LIBERTATE Dintre probemee practice ae modeării sistemeor dinamice structurae în acest capito se anaizează cee egate de infuența distribuției rigiditățior maseor şi încărcărior dinamice asupra modeuui matematic a sistemuui dinamic structura mode care să fie utiizat pentru cacuu răspunsuui dinamic a diferite acțiuni incusiv acțiunea seismică. De asemenea se prezintă şi ate aspecte ae modeării inerțiae şi ae deformabiității structurior. În vederea efectuării apicațiior numerice se condensează gradee de ibertate ae sistemuui dinamic structura.... Divizarea în submatrice a matricei de rigiditate Prin condensare matricea de rigiditate [K] eprimată în coordonatee totae se reduce a matricea de rigiditate [R] eprimată în coordonatee dinamice adică acee coordonate pe direcțiie cărora prin modeu de cacu adoptat se pot dezvota forțe de inerție. Se notează cu indicii: e = coordonatee care se eimină; d = coordonatee care se păstrează în anaiza dinamică. Sistemu ecuațiior de echiibru static eprimate prin egaitatea forțeor devine: [ K] [ K] ee de [ K] [ K] ed dd { { } } e d {} { F} d (.) unde { } d { } (.) sunt coordonatee dinamice (depasări). Prin identificare cu sistemu redus de ecuații [ R ]{ } { F} (.) unde { F} d { F} (.) se obține epresia matricei de rigiditate dinamică [R]: [ R ] [ K] [ K] [ K] [ K] (.5) dd 6 de ee ed

... Condensarea consecventă Operațiie din reația (.5) pot fi obținute prin transformare de coordonate: T [ R] [ A] [ K][ A] (.6) ceea ce permite operarea simutană asupra matricei maseor [M] utiizând o epresie simiară ceei din reația (.6) şi aceeaşi matrice de transformare [A]. Matricea [A] are acătuirea: [ E] [ A ] (.7) [ I] unde [ E ] K] [ ee [ K] ed (.8) iar [I] este matricea unitate. Obținerea reației (.5) din reația (.6) poate fi verificată direct.... Condensarea prin transformări eementare [ K ] ee [ K] ed Matricea inițiaă [K] [ K] de [ K ] dd. operații eementare asupra iniior zero zero [E] Matricea finaă [R] zero [R] Fig... Condensarea prin transformări eementare 7

Matricea de rigiditate [R] poate fi obținută din matricea de rigiditate [K] prin transformări eementare de tip Gauss Jordan efectuate asupra iniior aşa cum se arată în figura.. Se efectuează transformări de tip Gauss Jordan până când în ocu submatricei [K] ee se obține matricea unitate iar în ocu submatricei [K] de se obține submatricea nuă. Atunci în poziția submatricei [K] dd se va afa matricea [R] aşa cum rezută prin compararea sistemuui de ecuații (.) cu configurația finaă a matricei [K] din figura.. În pus în ocu submatricei [K] ed din figura. se obține submatricea [E] care permite revenirea a coordonatee eiminate: { } e [EE ]{ } d (.9) Subrutina în MATHCAD întocmită de autor pentru apicațiie numerice este următoarea: S SK NE 9 ND NT NE ND SK for S k NE pivot SK k k for j k NT SK k j SK k j pivot for i NT SK i k otherwise AJ SK if i k i k SK i k for SK i j j k NT SK i j AJ SK k j return SK R submatri ( SK NE NT NE NT ) În această subrutină s-au utiizat următoaree notații: S matricea de rigiditate [K]; NE număru coordonateor care se eimină e. În subrutină NE este cu o unitate mai mic decât număru acestor coordonate; ND număru coordonateor dinamice d. 8

.. INFLUENȚA DISTRIBUȚI RIGIDITĂȚILOR SISTEMULUI DINAMIC STRUCTURAL ASUPRA STABILIRII MODELULUI DE CALCUL... Introducere Se anaizează modearea sistemeor dinamice structurae acătuite din eemente având diferite rigidități. Pentru a pune în evidență infuența rigiditățior cu vaori disproporționate masa sistemuui se consideră constantă. Variația modurior proprii de vibrație este măsura variației răspunsuui dinamic a structurior a orice acțiuni. De aceea drept criteriu de apreciere a fideității modeeor dinamice s-au aes modurie proprii de vibrație.... Sistemu dinamic structura anaizat Se anaizează sistemu dinamic structura simpu din figura.a. Sistemu este acătuit din două eemente de ungimi egae. Eementu de a partea superioară are momentu de inerție centra principa a secțiunii transversae I iar eementu de a partea inferioară I. Masa distribuită pe unitatea de ungime este μ atât pentru eementu inferior cât şi pentru eementu superior. Pentru studiu vibrațiior proprii transversae masa sistemuui dinamic se concentrează în zece secțiuni situate a distanțe egae. Primee nouă mase sunt egae iar utima are vaoarea pe jumătate (figura.b). Coordonatee dinamice sunt reprezentate în figura.c. Sistemu dinamic structura are de coordonate generae rotiri şi transații astfe încât matricea de rigiditate [K] este de tipu (). Întrucât se ia în considerare numai inerția a transație se eimină gradee de ibertate a rotire utiizând subrutina prezentată în paragrafu... Rezută matricea de rigiditate [R] de tipu () din reația (.). [ ] E R I 88876.7-968. 7797.6-959.88 77.8-8.789 8.959 -.559.6 -.5-968. 659.5-7889.7 89.6-76.76 69.768-7.58 5.6955 -.9.9 7797.6-7889.7 66.8-95757.98 6.67-76.65 66.78-69.76.5-7.79-959.88 89.6-95757.98 9967.665-786. 886.9-7.5 6.89-58. 6.87 77.8-76.76 6.67-786. 87.68-768.679 69. - 687.768.97-7. - 8.789 69.768-76.65 886.9-768.679 87.85-876.885 767.89-9.787 98.6 8.959-7.58 66.78-7.5 69. - 876.885 65.577-75.86 76.76-696.69 -.559 5.6955-69.76 6.89-687.768 767.89-75.86 5.796-95.699 585.665.6 -.9.5-58..97-9.787 76.76-95.699 9878.8-66. -.5.9-7.79 6.87-7. 98.6-696.69 585.665-66. 67.7 (.) 9

m m 9 9 E I μ / m 8 m 7 8 7 m 6 6 m 5 5 m E I μ / m m m a) Sistemu dinamic b) Modeu dinamic Fig... c) Coordonate dinamice Cu această matrice de rigiditate şi cu matricea maseor diagonaă s-au determinat cee zece moduri proprii de vibrație. Acestea sunt reprezentate în figurie...5.6 şi.7 cu inie continuă (cuoarea roşu). Cu inie întreruptă (cuoarea abastru) s-au reprezentat formee proprii de vibrație ae sistemuui dinamic structura considerat cu momentu de inerție I de a bază până a vârf. Normaizarea vectorior proprii de vibrație ae sistemuui dinamic structura s-a efectuat astfe: s-au raportat toate eementee vectoruui a eementu cu cea mai mare vaoare absoută. Întrucât pentru unee eemente ae vectorior proprii rezută vaori foarte mici în raport cu unitatea de eempu -5 vectorii proprii s-au redat cu şase zecimae tocmai pentru a pune în evidență anumite fenomene egate de sistemee dinamice structurae cu rigidități disproporționate.

{ } 599 9 57 99 79 9 66 869 767 E I { } 6687-68 - 88-8 - 997-76 - 689-86 - 56566 E I a) b) Fig... Primee două moduri proprii de vibrație

{ } 8875 5576 5 6 6 865 66-5 - 75-58 E I { } 999576-585 - 97-56 - 97-59 57 96699-88 - 8 E I a) b) Fig... Modurie proprii de vibrație şi

{ } 5 87699-8 - 85-6999 - 87-9 - 79-7665 89678-675 E I 5 6 { } 6 6576 9 9 86 6686-5 - 87-97 57695-6 E I a) b) Fig..5. Modurie proprii de vibrație 5 şi 6

{ } 7 87658-7578 - 889-857 - 58-89 - 5878-77 E I 7 8 { } 8 6 98-9586 - 977 685-7 5-58 79-6 E I a) b) Fig..6. Modurie proprii de vibrație 7 şi 8

{ } 9 596 - - 759 85896-766 877-7 78-9 66 E I 9 { } 69-99 - 8869 55-6 7-8 8-55 9 E I a) b) Fig..7. Modurie proprii de vibrație 9 şi 5

... Constatări şi comentarii În continuare se epun anumite constatări privind modurie proprii de vibrație. Din eaminarea formeor proprii şi mai eficient a vectorior proprii rezută că acestea respectă configurația formeor proprii ae sistemeor de aceaşi tip dar fără discontinuități pronunțate ae rigidității în ceea ce priveşte număru schimbărior de semn ae eementeor vectoruui propriu număr ega cu ce a puncteor de anuare a formei proprii de vibrație: - în forma proprie fundamentaă (figura..a) toate ordonatee sunt în aceaşi sens deci zero puncte de anuare; - în forma proprie (figura..b) eistă un singur punct de anuare ceea ce revine a o schimbare de semn în eementee vectoruui propriu { } ; - forma proprie (figura..a) are două puncte de anuare; - forma proprie (figura..b) are trei puncte de anuare; - forma proprie 5 (figura.5.a) are patru puncte de anuare; - forma proprie 6 (figura.5.b) are cinci puncte de anuare; - forma proprie 7 (figura.6.a) are şase puncte de anuare; - vectoru propriu { } 8 are şapte schimbări de semn ae eementeor ui; forma proprie corespunzătoare este reprezentată în figura.6.b; - vectoru propriu { } 9 are opt schimbări de semn; - vectoru propriu { } are nouă schimbări de semn. În primee şase moduri proprii de vibrație formee proprii sunt mai pronunțate în partea superioară a sistemuui structura adică în zona feibiă. În utimee patru moduri proprii de vibrație formee proprii sunt mai pronunțate în partea inferioară a sistemuui structura adică în zona cu rigiditate mai mare. În toate formee proprii de vibrație număru buceor este mai mare în zona feibiă cu ecepția utimeia în care acest număr este ega. Raportu dintre cea mai înată şi cea mai joasă pusație proprie a modeuui dinamic a sistemuui structura este: 6 675 (.) 5 şi Se vor mai utiiza rapoartee: 8 8 89 89 666 6 (.) (.) 6

ataşate modurior proprii de vibrație şi 8 caracteristice pentru anaiza care se efectuează. În continuare se fac câteva comentarii asupra constatărior prezentate: În modearea sistemeor dinamice structurae sunt necesare mai mute puncte de concentrare ae maseor pe aceeaşi ungime în zona feibiă în raport cu zona cu rigiditate mai mare. Dacă în anaiza dinamică sunt considerate şi zonee deosebit de feibie atunci rețeaua de eemente finite trebuie să fie deosebit de fină în aceste zone. În cee ce urmează se dă epicația configurației formeor proprii din modurie joase în contrast cu modurie proprii superioare. Sistemu dinamic structura vibrează în toate modurie proprii fiecare mod având o pondere mai mare sau mai mică în răspunsu dinamic structura. În modurie proprii joase sistemu dinamic structura are perioadee proprii T T ungi şi pusații proprii mici. În aceste moduri proprii sunt accentuate vibrațiie zonei feibie a sistemuui dinamic structura. μ * ν = 5 8 6 8 666 θ ω Fig..8. Factoru de ampificare dinamică şi modurie proprii de vibrație ae sistemeor cu eemente de diferite rigidități 7

În modurie proprii superioare sistemu dinamic are perioade proprii T 9 T scurte şi pusații proprii 9 mari. În aceste moduri proprii sunt accentuate vibrațiie zonei cu rigiditate mare. Zona feibiă mai entă în ceea ce priveşte vibrațiie nu poate urmări vibrațiie rapide ae zonei cu rigiditate mare. De aceea în modurie proprii 8 9 şi zona feibiă practic stă pe oc. Fenomenu poate fi pus şi mai bine în evidență dacă se consideră coeficientu dinamic sau factoru de ampificare dinamică. În figura.8 s-a reprezentat acest factor pentru o fracțiune din amortizarea critică de 5%. În figura.8 reprezintă pusația acțiunii iar reprezintă pusația proprie a sistemuui dinamic. În modu propriu 8 pusația 8 reprezintă o pusație a acțiunii pentru modu propriu reprezentat de 8 666 (.) iar ampificarea dinamică este practic nuă ( 666) (.5) astfe încât partea feibiă practic stă pe oc. În modu propriu pusația reprezintă o pusație a acțiunii pentru modu propriu 8 reprezentat de 8 8 8 6 (.6) iar ampificarea dinamică este aproimativ egaă cu ( 6) (.7) astfe încât partea cu rigiditate mai mare are depasări dar acestea nu sunt ampificate dinamic (figura.a). Aceste considerente reprezintă o contribuție originaă a tezei de doctorat.... Concuzii. În modearea sistemeor cu eemente având rigidități disproporționate este de recomandat ca părție deosebit de feibie ae sistemuui structura să nu fie considerate în anaiză. Dacă este posibi acestea vor fi considerate eemente uşoare şi vor fi tratate separat. Dacă totuşi aceste eemente feibie sunt incuse în modeu de cacu cu care se efectuează anaiza dinamică atunci rețeaua de eemente finite trebuie să fie îndesită în aceste zone feibie. 8

. În modurie proprii de vibrație cu frecvențe înate zonee feibie ae sistemuui structura caracterizate de perioade ungi nu pot urmări vibrațiie rapide cu aceste frecvențe şi practic nu se deformează. Acest fenomen poate fi pus în evidență prin intermediu factoruui de ampificare dinamică ceea ce reprezintă o contribuție originaă a tezei de doctorat. Reciproc în modurie proprii joase porțiunie cu rigiditate pronunțată nu au depasărie ampificate dinamic.. INFLUENȚA DISTRIBUȚI MASELOR ŞI ÎNCĂRCĂRILOR DINAMICE ASUPRA MODELULUI DE CALCUL... Introducere Se anaizează întâi infuența distribuției maseor asupra modurior proprii de vibrație şi impicit asupra stabiirii modeuui de cacu. Pentru a pune în evidență infuența maseor cu vaori disproporționate rigiditatea sistemuui dinamic structura se consideră constantă. Sistemu dinamic structura este studiat în două variante: una cu masa uniformă şi ceaată cu o masă supimentară cu vaoare deosebit de mare.... Sistem dinamic structura simetric cu masa distribuită uniform Sistemu dinamic structura este reprezentat în figura.9a. Masa este distribuită uniform şi are vaoarea μ pe unitatea de ungime. De asemenea moduu de rigiditate a încovoiere este constant. Modeu dinamic a sistemuui din figura.9b conține mase concentrate egae. Se negijează inerția a rotație a acestor mase astfe încât coordonatee dinamice din figura.9c corespund ceor transații. Matricea de rigiditate totaă [K] de tipu () a fost condensată a matricea de rigiditate dinamică [R] de tipu () cu ajutoru subrutinei prezentate în paragrafu... Matricea maseor [M] rezută ca o matrice diagonaă cu cee zece eemente diagonae egae cu μa astfe încât se obține matricea [M] - [R] prezentată în continuare. Cough R.W. [] a demonstrat că rezutatee obținute prin utiizarea unei matrice de inerție diagonae sunt foarte apropiate de cee obținute utiizând o matrice de inerție consecventă. Vaorie proprii i i ( i ) şi pusațiie proprii de vibrație i ( i ) corespund ceor cooane ae matricei modae [Φ]. Primee 6 moduri proprii de vibrație sunt reprezentate în figurie. şi.. Utimee moduri proprii sunt o caracteristică a modeuui dinamic şi mai puțin a sistemuui dinamic. 9

masă distribuită μ moduu de rigiditate a încovoiere L=a a) Sistemu dinamic m m m m m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 m b) Modeu dinamic 5 6 7 8 9 c) Coordonatee dinamice Fig..9

85 a 5 a 998 a Fig..

66 a 5 a 6 7 6 a Fig..

Din eaminarea figurior. si. rezută că: forma proprie este simetrică; forma proprie este antisimetrică; forma proprie este simetrică; forma proprie este antisimetrică; forma proprie 5 este simetrică; forma proprie 6 este antisimetrică. Această caracteristică a formeor proprii de vibrație reprezintă şi o verificare a corectitudinii rezutateor.... Sistem dinamic structura cu o masă disproporționată Sistemu dinamic structura prezintă o masă concentrată de 99μa în afara masei distribuite. Această masă concentrată este situată în poziția a patra astfe încât m a (.8) Sistemu dinamic structura este reprezentat în figura.a modeu dinamic în figura.b iar coordonatee dinamice în figura.c. Datorită masei m mari în raport cu ceeate mase inia a -a a matricei [ M ] [ R] are eemente mai mici decât ceeate inii. Sunt prezentate în continuare toate cee vaori proprii i i ( i ) (.9) precum şi pusațiie proprii de vibrație i (i ) şi vectorii proprii de vibrație incuşi în matricea modaă [Φ]. Asimetria distribuției maseor produce asimetria tuturor formeor proprii de vibrație aşa cum rezută din figurie. şi.. Masa concentrată disproporționată produce feibiizarea dinamică a sistemuui structura aşa cum rezută şi din figura.5 în care sunt prezentate comparativ pusațiie proprii de vibrație. Întrucât eistă o singură masă cu vaoare deosebit de mare aceasta se depasează într-un singur mod propriu de vibrație ce mai feibi şi anume modu propriu fundamenta. Acest fapt este pus în evidență de formee proprii de vibrație din figurie. şi.. În formee proprii 5 ordonata a patra este practic nuă. În această poziție se afă masa concentrată. Această masă joacă rou unui voant.

masă distribuită μ 99μa modu de rigiditate a încovoiere a L=a a) Sistemu dinamic 7a m m m m m 5 m 6 m 7 m 8 m 9 m b) Modeu dinamic 5 6 7 8 9 c) Coordonatee dinamice Fig.. 5

6

a 88 a 997 a Fig.. 7

a 5 68 5 a 6 85 6 a Fig.. 8

Fig..5 9

Eistă totuşi un mod propriu care nu este infuențat de masa concentrată cu vaoarea mare. Acesta este modu propriu. În forma proprie sistemu dinamic cu masa distribuită uniform are ordonata a patra nuă (figura.). În consecință şi pusația proprie rămâne neschimbată (figura.5).... Infuența încărcărior dinamice asupra modeuui de cacu Modeu de cacu a sistemuui dinamic structura este infuențat nu numai de distribuția rigiditățior şi a maseor dar şi de distribuția încărcărior dinamice. O forță concentrată impică un nod a rețeei de eemente finite în punctu de apicație a acestei forțe iar dacă forța dinamică are vaori importante rețeaua de eemente finite trebuie să fie mai deasă în vecinătatea acesteia. O masă concentrată de vaoare importantă conduce a o forță de inerție importantă în ace punct teoretic fapt cuantificat prin feibiizarea dinamică a zonei. Aceaşi efect î are o încărcare dinamică importantă... CONCLUZII Cee trei aspecte ae modeării sistemuui dinamic structura abordate în prezenta ucrare şi anume infuența asupra modeuui de cacu a distribuției rigiditățior distribuției maseor distribuției încărcărior dinamice trebuie considerate împreună. Creşterea feibiității dinamice a sistemuui dinamic structura poate fi determinată de: creşterea feibiității zonei respective; creşterea maseor în acea zonă; creşterea încărcărior dinamice. Se pot trage următoaree concuzii referitoare a zonee cu feibiitate dinamică mai mare decât a ceorate zone ae sistemuui structura: formee proprii de vibrație sunt mai pronunțate; bucee formeor proprii sunt mai dese; sunt necesare mai mute puncte de concentrare a maseor pe aceeaşi ungime suprafață sau voum decât în ceeate zone; îndesirea rețeei de eemente finite ae modeuui trebuie să fie cu atât mai pronunțată cu cât feibiitatea dinamică a zonei este mai pronunțată; încărcărie dinamice impică o îndesire a rețeei de eemente finite şi datorită concentrărior de eforturi.

CAPITOLUL INFLUENȚA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZĂRII ASUPRA RĂSPUNSULUI DINAMIC.. ASPECTE FUNDAMENTALE ÎN METODA ELEMENTELOR FINITE... Principiu metodei eementeor finite [5] Probemee mecanicii mediior continue au de obicei două formuări matematice echivaente: o formuare diferențiaă şi una variaționaă. În cazu formuării diferențiae souția probemei se obține prin integrarea sistemuui de ecuații cu derivate parțiae care descriu fenomenu ținând seama de condițiie de margine. În cazu formuării variaționae souția probemei se obține prin căutarea unei funcții care să minimizeze sau să facă staționară o funcționaă supusă a aceeaşi condiții de margine. Funcționaa este un scaar scrisă sub formă integraă: E D F( u u ) dd G( u u ) d (.) în care D este un domeniu având granița u este funcția necunoscută iar F şi G sunt operatori dați. Dacă E este funcționaa asociată probemei descrisă de ecuațiie A ( u) cu derivate parțiae A u) A ( u) în interioru domeniuui D şi de condițiie ( B ( u) de margine B u) B ( u) pe granița a domeniuui atunci condiția de ( staționar a funcționaei ( E pentru o variație foarte mică u a funcției) poate fi pusă sub următoarea formă: T T E u Au ( ) dd u B( u) d (.) D Pentru ca egaitatea (.) să eiste independent de creşterea u a funcției este necesar ca A ( u) pe D şi B ( u) pe adică să fie satisfăcut sistemu de ecuații care descrie fenomenu şi condițiie de margine asociate. Găsirea unei funcții u care să satisfacă condiția de staționar E este dificiă iar în cazu granițeor mai compicate este chiar imposibiă. Pentru a evita acest inconvenient se caută o souție aproimativă de forma: u u N z) a N ( z) a N ( z) (.) sau ( N a n n

u Ni ( z) a i unde N i (z) sunt funcții de aproimare aese convenabi iar a i sunt parametrii independenți. Funcțiie de aproimare N i se definesc şi sunt continue pe întregu domeniu eistând maree inconvenient privind găsirea unor funcții adecvate care să conducă a o souție acceptabiă a probemei. Metoda eementeor finite porneşte tot de a formuarea variaționaă a probemei. Pentru a depăşi inconvenientu de definire a funcțiior de aproimare domeniu de studiu se împarte într-o serie de subdomenii denumite eemente finite. Conectarea acestora se reaizează într-un număr finit de puncte situate pe granița eementeor denumite puncte nodae sau noduri. Funcționaa E din epresia (.) se scrie ca o sumă a integraeor pe domeniie eementeor finite: m E FdD Gd ( FdD Gd ) (.) D e D e e unde D e este domeniu unui eement iar e este granița eementuui care coincide cu granița domeniuui. Funcțiie de aproimare N i (z) se definesc şi au anumite proprietăți de continuitate numai pe domeniu unui eement având de această dată forme simpe. Parametrii independenți a i se aeg ca fiind vaorie funcției u în punctee nodae devenind vaorie nodae u i. Funcționaa se eprimă a niveu eementuui în funcție de vaorie nodae corespunzătoare nodurior eementuui iar prin sumarea (.) se obține funcționaa E în funcție de vaorie nodae din întregu domeniu. În cazu funcționaeor cuadratice (funcțiie F şi G se eprimă sub formă de poinoame în u şi derivate ae ui u până a ordinu II) funcționaa se poate pune sub forma simpă: T T E { u} [ K]{ u} { u} { R} (.5) Definirea funcționaei ca o sumă a contribuțiior eementeor conduce a: m m T T E Ee ( { u} [ k]{ u} { u} { r}) (.6) e e unde k este matricea caracteristică a unui eement iar r este vectoru asociat. În reația (.5) u semnifică vectoru vaorior nodae din întreg domeniu iar în reația (.6) u semnifică vectoru vaorior din nodurie unui eement. Din condiția de staționaritate rezută un sistem de ecuații agebrice iniare: E E u u E [ K]{ u} { R} (.7) u n

Rezovarea sistemuui (.7) permite evauarea vaorior nodae u i. În funcție de acestea pentru fiecare eement finit pe baza funcțiior de aproimare se găsesc vaorie funcției u şi ae mărimior derivate în orice punct a domeniuui. Avantajee metodei sunt următoaree: eprimarea funcționaei a niveu eementuui şi cacuu matriceor caracteristice k devine un proces standard uşor de impementat în programe de cacu; asambarea sistemuui urmează reguie simpe de sumare a matriceor şi vectorior; simetria matricei coeficiențior K uşurează mut rezovarea sistemuui.... Case şi tipuri de eemente finite [5] Probemee de câmp (câmpu depasărior câmpu tensiunior câmpu termic etc.) pot fi încadrate în case de continuitate C C...C n ( C n variabia de câmp şi derivatee sae de ordinu n sunt continue pe frontiera dintre eemente; derivata de ordinu n+ este continuă pe eement dar discontinuă pe frontieră). Casa de continuitate care trebuie asigurată a o rezovare în eemente finite depinde de ordinu derivateor care apar în epresia de sub semnu integraă a funcționaei. Dacă ordinu derivateor conținute este k atunci pentru obținerea unei souții aproimative care se apropie de souția eactă pe măsura dimensiunior eementeor se cer îndepinite: condiția de compatibiitate a frontiera comună dintre două eemente trebuie asigurată o continuitate de casă C k- condiția de competitudine în interioru eementuui trebuie asigurată o continuitate de casă C k În cazu eementeor de casă C dacă variabia de câmp este un scaar atunci fiecărui nod i se ataşează câte o necunoscută (vaoarea nodaă a funcției). Dacă variabia de câmp este un vector atunci fiecărui punct i se ataşează ca necunoscute vaorie nodae ae componenteor vectoruui. Necunoscutee ataşate noduui mai poartă denumirea improprie de grade de ibertate. Un eement finit a discretizării are un anumit număr de noduri prin intermediu cărora este conectat cu eementee vecine. Definirea funcției necunoscute pe domeniu eementuui se face prin intermediu funcțiior de aproimare (cee mai foosite fiind cee poinomiae). Între configurația eementuui şi funcțiie de aproimare eistă o interdependență bine definită (număru coeficiențior poinomiai trebuie să fie ega cu număru nodurior eementuui). Eementee finite sunt departajate prin casa de continuitate pe care o asigură şi prin tipu acestora eprimat prin gradu funcțiior de aproimare. Primu aspect are impicații asupra gradeor de ibertate nodae iar ce de-a doiea asupra număruui de noduri ataşate eementuui. Terminoogia din domeniu denumeşte un eement sub forma eement de casă C k cu funcții de aproimare de grad n. Eementee de casă C cu funcții de aproimare de gradu I sunt denumite uzua eemente iniare. Eementee de casă C cu funcții de aproimare de gradu II sunt denumite uzua eemente pătratice.

... Funcții de aproimare în coordonate gobae [5]... Generarea funcțiior de aproimare Se admite aproimarea poinomiaă a funcției necunoscute pe domeniu eementuui. Prezentarea moduui de generare a funcțiior de aproimare se va face pe suportu eementuui patruater iniar. Se consideră eementu finit din figura. ae cărui noduri sunt descrise de coordonatee i i în sistemu goba de coordonate. Fig... Eement finit patruater Aproimarea poinomiaă a funcției are forma: a a a a u ) ( a a a a (.8) Condiția ca în nodurie... vaoarea funcției să capete vaorie nodae u... u se scrie sub forma: a a a a u a a a a u a a a a u a a a a u a a a a a a a a a a a a a a a a (.9) care scrisă sub formă matriceaă devine: ] [ a a a a a a a a u u u u (.) (u) ( ) ( ) ( ) ( ) (v) v() u() O

Matricea este o matrice de constante conținând coordonatee nodurior eementuui. Prin inversare se obțin coeficienții poinomiai: a u a a a [ ] u u u [ ] { u} (.) unde u este vectoru vaorior nodae necunoscute. Scriind reația (.8) sub formă matriceaă şi înocuind vectoru coeficiențior poinomiai din (.) se obține reația: u u u ( ) [ ][ ] (.) u din care se pune în evidență matricea funcțiior de aproimare: [ N ( )] [ ][ ] (.) Procedeu are mari inconveniente de ordin practic. Inversarea matricei Φ mai aes în cazu eementeor finite cu mute grade de ibertate este o operație dificiă necesitând timp de cacu sporit şi introducând singuarități. O ată categorie de dezavantaje este egată de cacuu matriceor eementae când integrarea numerică pe un domeniu V oarecare aşa cum apare e definit de geometria eementuui este de asemenea o probemă dificiă.... Eementu unidimensiona bară Este un eement uniaia definit de nodurie şi în panu O cu secțiunea transversaă A şi moduu de easticitate E (figura.). u v s(d) u v u O Fig... Eement iniar unidimensiona 5

Lungimie proiecțiior barei pe ae şi ungimea barei sunt: L L L L L (.) Variația depasării în ungu barei d(s) se aproimează printr-un poinom de gradu I: a d ( s) a as [ s] (.5) a Depasărie nodae sunt d şi d referitoare a aa s şi respectiv (u v ) şi (u v ) în sistemu goba de coordonate. Legătura dintre depasărie d şi proiecțiie u şi v pe sistemu O este dată de reația: L L d u v L L Coeficienții poinomuui de aproimare se determină din condiția ca depasarea d(s) să capete vaorie nodae d şi d a nodurie barei: d d( ) a d d ( L) a a L Înocuind a şi a din epresiie de mai sus poinomu (.5) devine: s s s d d ( s) d ( d d ) (.6) L L L d unde se pune în evidență matricea funcțiior de aproimare Deformația specifică aiaă s rezută prin derivare: dd ( s) d s [ B]{ ds L L d } s s [ N]. L L (.7) În această reație apare matricea B de derivate ae funcțiior de aproimare iar este notația vectoruui depasărior nodae. Pentru a cacua matricea de rigiditate în sistemu goba O se evauează matricea B în raport cu acest sistem. Depasărie nodae se scriu sub forma: d L L L L u v d L L L L u v (.8) iar înocuind aceste epresii în reația (.7) se obține: u v s [ L ] L L L (.9) L u v 6

din care se pune în evidență matricea B din sistemu goba: [ B] [ L ] L L L (.) L În epresia matricei de rigiditate a eementuui ([ k ] [ B] [ E][ B] dv ) matricea E se reduce a un singur eement moduu de easticitate E iar matricea B este o constantă şi iese de sub semnu integraă. Deoarece voumu unui eement este A*L matricea de rigiditate a eementuui rezută în fina sub forma: L AE L [ k] [ L ] L L L L L L V T (.) Vectorii de încărcare a niveu eementuui nu se mai cacuează încărcărie fiind apicate în noduri sub formă de forțe concentrate.... Eementu triunghiuar iniar Este un eement bidimensiona de formă triunghiuară definit de nodurie ocae în panu O. Vectoru depasare are două componente pe nod u şi v (figura.). ( ) v u v u v ( ) u ( ) O Fig... Eement iniar triunghiuar Variația depasării pe domeniu eementuui se aproimează printr-un poinom incompet de gradu I: a d ( ) a a (.) a a [ ] a 7

8 Coeficienții de aproimare se determină din condiția ca în nodurie şi d() să capete vaorie nodae şi : } ]{ [ a a a a { ] a [ a a a (.) Prin inversare se obține dependența acestora de vaorie nodae şi geometria eementuui: ] [ } { a (.) unde: ] [ A (.5) este o matrice constantă cu A notându-se aria triunghiuui. Dependența depasării de vaorie nodae rezută prin înocuirea epresiei (.) în reația poinomuui de aproimare (.): ] ][ [ ) ( d (.6) care proiectată pe aee O şi O conduce a: ] ][ [ ) ( u u u u ] ][ [ ) ( v v v v (.7) Deformațiie specifice din interioru eementuui rezută din reațiie cunoscute din teoria pana a easticității: ) ] [ ] ([ ] [ ] [ ) [ ( v v v u u u v u v v v A v u u u A u

{ } În formă matriceaă acestea se scriu: sau sub formă restrânsă: { } [ B]{ } (.8) ceea ce pune în evidență matricea deformație specifică depasare. După cum se observă B =ct şi deci deformațiie specifice sunt constante pe domeniu eementuui. De aceea denumirea eementuui este eement triunghiuar cu deformație constantă. Matricea de rigiditate a eementuui: T [ k ] [ B] [ E][ B] dv V Matricea Hooke generaizată E are pentru materiae izotrope una dintre formee: u v u v u v - stare de efort pan: E [ E ] - stare de deformație pană: [ E ] ( E( )( ) ) ( ) Eementu de voum dv are forma dv t dd unde t este grosimea eementuui (t= în cazu stării de deformație pană). Matricee B şi E fiind matrice de constante rezută epresia matricei de rigiditate sub forma: T [ k] [ B] [ E][ B] ta (.9) Vectoru forțeor nodae provenite din eforturie inițiae şi forțee masice este dat de reația: T T r } [ B] { } dv [ N] { f } dv (.) { V V 9

unde { } este vectoru eforturior inițiae iar { f } [ f f ] este vectoru forțeor masice ce acționează asupra unității de voum pe direcțiie şi. Prima integraă se evauează cu uşurință deoarece matricea B şi vectoru sunt constante pe eement. În cazu ceei de-a doua integrae deşi forțee masice sunt de obicei constante matricea funcțiior de aproimare depinde de şi. Dacă se consideră contribuția forțeor masice într-unu din nodu eementuui şi se efectuează integrarea rezută ca forțee de voum (egae cu f ta) se repartizează ceor trei noduri ae eementuui în părți egae. În ceea ce priveşte forțee distribuite pe atura eementuui acestea se repartizează a noduri sub formă de forțe concentrate.... Funcții de aproimare în coordonate naturae Nodurie unui eement finit sunt identificate prin două sisteme de numerotare unu goba pentru întreg domeniu discretizat şi unu oca pentru fiecare eement în parte. Este convenabiă asocierea sistemuui oca de noduri cu un sistem oca de cordonate. La rându or coordonatee ocae pot fi normae (e: carteziene) sau naturae. Coordonatee naturae sunt un fe de coordonate normaizate (raportarea coordonateor gobae a mărimi caracteristice eementuui ungimi sau arii). În cazu în care se utiizează coordonatee naturae iar originea sistemuui coincide cu centru de greutate a eementuui atunci domeniu de variație a coordonateor naturae asociate eementuui este -. Se vor prezenta coordonatee naturae pentru patruateru oarecare în cazu bidimensiona (figura.). Reațiie dintre coordonatee naturae (st) şi coordonatee gobae () sunt date de epresiie: T [( [( s)( s)( t) t) ( ( s)( s)( t ) t) ( ( s)( s)( t ) t) ( ( s )( s)( t ) t ) ] ] (.) ( ) t ( ) (-) t () O ( ) s ( ) (--) (-) Fig... Patruateru oarecare în coordonate naturae s 5

Într-o scriere mai concisă reațiie de transformare au forma: i i i i L L (.) unde L ( ss )( tt ) i i i ( i i ) fiind coordonatee noduui i în sistemu iar (s i t i ) fiind coordonatee noduui i în sistemu st. În cadru coordonateor naturae funcțiie de aproimare N i pot fi deduse mai uşor. Se ține seama de faptu că funcțiie de aproimare au proprietatea N i = pentru nodu i şi N i = pentru ceeate noduri. Epresiie funcțiior de aproimare pentru eementu pan patruater sunt: Eement iniar ( noduri) Ni ( s t) ( ssi )( tti ) cusi ti i i N ( s t) i N ( s t) i N ( s t) i Eement pătratic (8 noduri) ( ssi )( tti )( ssi tti ) ( s )( tti ) ( ss )( t ) i pentrunodurie cu pentrunodurie 6 8as pentrunodurie 5 7as i s t i i t i t N N N i i i ( 9 ( 9 ( ss ss tt i i i Eement cubic ( noduri) )( )( )( tt )[9( s t s i )( )( 9tt i 9ss i t ) ) ) ] pentrunodurie cus t pentrunodurie pentrunodurie 7 8 5 6 9 i i cus cut i i t s i i Avantaju eprimării funcțiior de aproimare în coordonate naturae este evident: pentru orice eement finit indiferent de geometria particuară a acestuia funcțiie de aproimare sunt unice bine definite şi uşor de verificat intuitiv...5. Eemente izoparametrice Eementee izoparametrice utiizează sistemu de coordonate naturae pentru definirea funcțiior de aproimare şi integrarea Gauss proprie domeniuui de variație a acestor coordonate pentru evauarea matriceor eementae. Pentru trecerea din sistemu goba de coordonate z în sistemu natura de coordonate st se foosesc reații de transformare de forma (.) în care funcțiie L i (str) se aeg identice cu funcțiie de aproimare N i (str). Această identitate dintre reațiie de 5

transformare de coordonate şi de aproimare a variabiei pe domeniu eementuui a dat denumirea de izoparametrie. În cee ce urmează se va prezenta eementu izoparametric D iniar. (v) v s=- u t t=+ v u v v u s=+ s t=- u O (u) Fig..5. Eementu izoparametric D iniar Se consideră eementu patruater cu noduri din figura.5 având 8 grade de ibertate şi anume depasărie u i v i în fiecare nod i. În sistemu de coordonate naturae st funcțiie de aproimare au forma dată de reațiie: N ( s )( t ) N ( s )( t ) (.) N ( s )( t ) N ( s)( t ) iar componentee vectoruui depasare se eprimă prin intermediu acestora în funcție de vaorie nodae: u( s t) Nu N u N u N u v( s t) Nv N v Nv N v (.) Într-o formă restrânsă aceeaşi reații devin: u u N d( s t) (.5) v N N N Trecerea din sistemu de coordonate goba z în sistemu natura st se face utiizând tot funcțiie de aproimare: N N N N N N N N (.6) N N N N v u v 5

5 În formă matriceaă reația (.6) se scrie sub forma: ) ( ) ( N N N N N N N N t s t s (.7) Pentru cacuu matriceor şi vectorior caracteristici eementuui este necesar sa se eprime şi matricea [B] în sistemu natura st această matrice eprimând egătura dintre deformațiie specifice şi depasărie nodae - {ε}=[b]{δ}. Deformațiie specifice {ε} conțin derivate ae depasărior u şi v în raport cu coordonatee gobae şi. t u t u t u s u s u s u t u t u t u s u s u s u Utiizând notațiie ( )s derivată parțiaă în raport cu s ( ) derivată parțiaă în raport cu etc. reațiie dintre derivate pot fi scrise sub formă matriceaă : J t t s s t s ) ( ) ( ] [ ) ( ) ( ) ( ) ( (.8) unde [J] este matricea Jacobianuui transformării. Ținând seama de reația (.7) Jacobianu se poate scrie sub forma: )] ( [ N N N N N N N N t s J t t t t s s s s (.9) care se poate epicita cu uşurință ținând seama de (.). Prin inversarea reației (.8) se pot eprima derivatee în raport cu şi în funcție de cee în raport cu s şi t: ] [ ] [ ) ( ) ( ] [ ) ( ) ( [ ( ( [ ( ( J J t s J (.)

u u v v Pe baza reației (.) se determină derivatee depasărior u şi v: J J u s J J u t J v J s J J v J J J J J J J J t N N s t N N s t N N s t N N s t N N s t N N s t N N s t N N s t u v u v Ținând seama de epresiie deformațiior specifice: u u { } se obține matricea [B(st)]. v v Sub forma prezentată matricee [N(st)] şi [B(st)] sunt cunoscute şi pot fi evauate numeric în orice punct a eementuui. În epresia vectoruui de încărcare {r} mai intervin {σ } {f} şi {p}. Primii doi vectori sunt uzua constanți pe domeniu eementuui. Presiunea {p} acționează pe una sau mai mute aturi ae eementuui. Admițând că variația acesteia pe atură este descrisă tot de funcțiie de aproimare în funcție de vaorie presiunii a noduri termenu din {r} corespunzător forțeor nodae din presiune capătă forma p T i [ N( s t)] [ N( s t)] ds unde i şi j sunt nodurie care definesc atura S p j încărcată iar p i şi p j sunt vaorie presiunii a noduri. Pentru matricee şi vectorii eementuui se obțin integraee: V F( s t) dd F( s t)det[ J ( s t)] dsdt (.)..6. Condiții de convergență şi compatibiitate O souție obținută prin intermediu metodei eementeor finite este o soutie aproimativă. Domeniu de studiu este discretizat şi variația reaă a funcției necunoscute este înocuită cu variații ocae pe domeniu eementeor în funcție de vaorie nodae. Dacă souția se ameiorează succesiv tinzând către souția eactă atunci când dimensiunie eementeor se reduc (număru gradeor de 5

ibertate creşte) atunci convergența este asigurată. Convergența se reaizează dacă funcțiie de aproimare satisfac anumite condiții. Acestea sunt: funcțiie de aproimare trebuie să conducă a deformații specifice nue atunci când depasărie nodurior eementuui corespund unei mişcări de soid rigid; funcțiie de aproimare trebuie să conducă a deformații specifice constante pe domeniu eementuui dacă încărcărie (sau depasărie) nodurior corespund unei stări de deformație specifică constantă; funcțiie de aproimare trebuie să conducă a vaori finite ae deformațiior specifice a granițee dintre eemente. În afara acestor condiții pentru obținerea unor souții care să conveargă monoton către souția eactă pe măsură ce număru de grade de ibertate creşte mai trebuie îndepinite criteriie: Compatibiitatea între eemente. La granițee dintre ee eementee trebuie să rămână în contact fără să se separe sau să se suprapună. În cazu păcior pane sau curbe se cere de asemenea ca tangentee a suprafața medie deformată să fie identice a graniță. Lipsa de direcții preferențiae în eement. Sub acțiunea unor forțe cu orientare fiă față de eement răspunsu acestuia trebuie să fie identic indiferent de orientarea ui față de sistemu goba de coordonate z. În cazu eementeor izoparametrice care au de fapt cea mai argă utiizare condițiie de convergență şi compatibiitate sunt riguros îndepinite funcțiie de aproimare fiind aese ținând seama de aceste condiții... INFLUENȚA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZĂRII ASUPRA MODURILOR PROPRII DE VIBRAȚIE DETERMINATE PRIN CALCUL... Introducere În rezovarea oricărei structuri aegerea modeuui este o probemă fundamentaă deoarece întreaga anaiză se referă a mode şi nu a structură. Descrierea anaitică a comportării unui sistem dinamic se eprimă pe baza unui mode matematic. Modeu matematic devine identic cu modeu dinamic atunci când toate caracteristicie de definire ae sistemuui dinamic sunt compet precizate din punct de vedere fizic. O aterare a caracteristicior de definire poate conduce a rezutate nu numai incorecte ci chiar a fasificarea fenomeneor reae. Teza de doctorat abordează sistemee dinamice structurae cu comportare iniară. Indiferent dacă se efectuează anaiza modaă a răspunsuui dinamic sau dacă ecuațiie diferențiae se integrează direct variația modurior proprii de vibrație este măsura variației răspunsuui dinamic a structurior a orice acțiuni. De aceea în prezenta teză se acordă o atenție deosebită infuenței graduui de rafinare a discretizării asupra modurior proprii de vibrație determinate prin cacu. 55

În cee ce urmează se anaizează doua sisteme dinamice structurae utiizând programu de cacu SAP. Pentru a pune în evidență infuența graduui de rafinare a discretizării în eemente finite asupra vaorior şi formeor proprii de vibrație determinate prin cacu se vor considera numai sistemee structurae fără eemente nestructurae şi fără încărcărie care ar putea modifica masa sistemeor.... Sistemu dinamic structura P+... Acătuirea sistemuui Sistemu structura cu două niveuri este reprezentat în figura.6. Acesta are două deschideri şi trei travei.sistemu are două pane verticae de simetrie unu ongitudina şi unu transversa. Stâpii intermediari au secțiunea transversaă de cm iar cei marginai 55 cm. Rigee transversae au secțiunea de 56 cm iar cee ongitudinae de 55 cm. Păcie peste parter şi peste etaj au grosimea de cm. Moduu de easticitate ongitudina are vaoarea N/mm iar coeficientu ui Poisson μ=. Păcie sunt deformabie nu numai pe direcție verticaă dar şi în panu or. De asemenea eementee de tip grindă (rigee şi stâpii) au şi deformații aiae.... Modee dinamice studiate Toate modeee dinamice anaizate sunt spațiae şi respectă cee două pane de simetrie ae sistemuui structura. Structura are baza fiă iar stâpii sunt încastrați a partea inferioară. Modeu dinamic A (figura.6). Nodurie modeuui dinamic A coincid cu nodurie efective ae structurii şi sunt în număr de astfe încât număru coordonateor este (în afara ceor de a bază care sunt bocate). Număru eementeor finite este de 7 din care eemente tip pacă şi 58 eemente tip grindă. Modeu dinamic B (figura.7). Modeu dinamic B se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae modeuui A. Număru nodurior este de 9 număru coordonateor este de 56 (în afara ceor de a bază care sunt bocate). Număru eementeor finite este de 6 din care 8 de eemente de tip pacă şi 6 eemente de tip grindă. 56

Modeu dinamic C (figura.8). Modeu dinamic C se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae modeuui B. Număru nodurior este de număru coordonateor este de 98 (în afara ceor de a bază care sunt bocate). Număru eementeor finite este de. Modeu dinamic D (figura.9). Modeu dinamic D se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae modeuui C. Număru nodurior este de 8 număru coordonateor este de 68 (în afara ceor de a bază care sunt bocate). Număru eementeor finite este de 6. De menționat că divizarea unui eement de tip grindă în mai mute eemente finite de aceaşi tip nu modifică modu de comportare a acestuia deşi raportu dintre ungime şi dimensiunea secțiunii transversae scade. Gr. 55 Pacă cm Gr. 56 Gr. 55 St. 55 L m o n g i t u d i n a St. 55 m m St. 55 St. 55 Gr. 56 St. Gr. 56 St. 55 m m Vertica 6 m 6 m Transversa Fig..6. Sistemu structura P+. Modeu dinamic A 57

Gr. 55 Pacă cm Gr. 56 Gr. 55 St. 55 L m o n g i t u d i n a St. 55 m m St. 55 St. 55 Gr. 56 St. Gr. 56 St. 55 m m Vertica 6 m 6 m Transversa Fig..7. Sistemu structura P+. Modeu dinamic B Gr. 55 Pacă cm Gr. 56 Gr. 55 St. 55 L m o n g i t u d i n a St. 55 m St. 55 m St. 55 Gr. 56 St. Gr. 56 St. 55 m m Vertica 6 m 6 m Transversa Fig..8. Sistemu structura P+.Modeu dinamic C 58

Gr. 55 Pacă cm Gr. 56 Gr. 55 St. 55 L m o n g i t u d i n a St. 55 m St. 55 Gr. 56 Gr. 56 m Vertica m St. 55 St. St. 55 m Fig..9. Sistemu structura P+.Modeu dinamic D... Formee proprii de vibrație 6 m 6 m Transversa Primee 6 forme proprii de vibrație obținute pentru modeee dinamice A B C şi D sunt reprezentate în figurie... respectiv.. Aceste forme proprii au următoaree configurații: forma proprie transație ongitudinaă; în primu mod de vibrație nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția ongitudinaă; modu propriu este modu propriu fundamenta pentru panu vertica ongitudina. forma proprie transație transversaă; în a doiea mod propriu de vibrație nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția transversaă; modu propriu este modu propriu fundamenta pentru panu vertica transversa. forma proprie torsiune generaă; în a treiea mod propriu de vibrație sistemu dinamic spația se roteşte în juru aei verticae de intersecție a ceor doua pane de simetrie; modu propriu este modu propriu de torsiune fundamenta. forma proprie transație ongitudinaă; în modu propriu nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția ongitudinaă; modu propriu este a doiea mod propriu pentru panu vertica ongitudina. forma proprie 5 transație transversaă; în modu propriu de vibrație 5 nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția transversaă; modu propriu 5 este a doiea mod propriu pentru panu vertica transversa. 59

forma proprie 6 torsiune generaă; în modu propriu de vibrație 6 nodurie sistemuui dinamic spația se depasează în pan orizonta în juru aei verticae de intersecție a paneor de simetrie şi anume panşeu peste parter se roteşte într-un sens iar panşeu peste etaj se roteşte în sens contrar deşi fiecare panşeu este deformabi în panu său; modu propriu 6 este a doiea mod propriu de torsiune a sistemuui spația. Se poate trage concuzia că tripetu ongitudina transversa torsiune se repetă din trei în trei forme proprii de vibrație (pentru primee 6 moduri proprii). Acest rezutat s-a obținut printr-o predimensionare dinamică a sistemuui dinamic spația. Gradu de rafinare a discretizării în eemente finite nu infuențează configurația primeor 6 forme de vibrație. Aceste forme proprii au aceeaşi configurație pentru toate modeee dinamice considerate: ABC şi D. Simetria sistemuui dinamic spația permite verificarea formeor proprii de vibrație obținute prin cacu nu numai din punct de vedere caitativ dar şi cantitativ.... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra vaorior proprii cacuate Vaorie proprii determinate prin cacu pentru modeee dinamice A B C şi D sunt comparate în tabeu.. S-au considerat primee vaori proprii şi anume perioadee proprii de vibrație şi frecvențee proprii de vibrație. S-au determinat erorie acestor vaori proprii în raport cu modeu dinamic D care are ce mai mare grad de rafinare a discretizării în eemente finite. Se constată următoaree: erorie reative scad odată cu creşterea graduui de rafinare a discretizării; astfe perioada proprie funamentaă are eroarea reativă de 575% a modeu A 78% a modeu B şi 5% a modeu dinamic C; în ansambu erorie reative ae vaorior proprii cresc de a modurie proprii joase spre modurie proprii superioare; erorie reative ae frecvențeor proprii de vibrație sunt diferite de erorie perioadeor proprii de vibrație; astfe pentru modeu dinamic A dacă erorie reative ae perioadeor proprii T 7 T 8 şi T 9 sunt în intervau [5%; 586%] erorie reative ae frecvențeor proprii f 7 f 8 şi f 9 sunt în intervau [896%;96%]; pentru modeu dinamic B erorie aceoraşi perioade proprii sunt în intervau [7%; 7%] iar erorie frecvențeor proprii sunt în intervau [%; 98%] adică această deosebire scade. Perioadee proprii de vibrație sunt reprezentate în figura.. 6

Fig... Sistemu structura P+. Primee 6 moduri proprii de vibrație obținute cu modeu dinamic A 6

Fig... Sistemu structura P+. Primee 6 moduri proprii de vibrație obținute cu modeu dinamic B 6

Fig... Sistemu structura P+. Primee 6 moduri proprii de vibrație obținute cu modeu dinamic C 6

Fig... Sistemu structura P+. Primee 6 moduri proprii de vibrație obținute cu modeu dinamic D 6

Pentru a pune în evidență importanța probemei acurateței frecvențeor proprii de vibrație în determinarea răspunsuui dinamic a structurior se consideră acțiunea unei forțe perturbatoare armonice produsă de o maşină industriaă rotativă cu turația de rot/min. Frecvența acțiunii este de 6667 Hz iar direcția ei este transversaă. În modu propriu 5 transversa frecvența proprie este de 88 Hz pentru modeu D şi de 87 Hz pentru modeu A (eroare reativă de 9%). Factoru de ampificare dinamică pentru o fracțiune din amortizarea critică de % este 76 6667 6667 88 88 pentru modeu dinamic D şi 6667 87 6667 87 87 pentru modeu dinamic A. Eroarea reativă a factoruui de ampificare dinamică este 87 76 6% 76 adică eroarea răspunsuui dinamic staționar se ampifică de cca. ori....5. Concuzii În acest paragraf s-a studiat infuența graduui de rafinare a discretizării în eemente finite a unui sistem dinamic structura P+ asupra modurior proprii de vibrație determinate prin cacu. S-au considerat patru modee dinamice: A cu noduri efective B cu 9 noduri efective C cu noduri efective D cu 8 noduri efective modeee BC şi D obținându-se prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite din modeu precedent. Se desprind următoaree concuzii: configurația primeor 6 forme proprii de vibrație ae sistemuui dinamic spația nu este infuențată de gradu de rafinare a discretizării; pentru aceste moduri de vibrație se repetă tripetu de forme proprii ongitudina-transversa-torsiune generaă; simetria sistemuui dinamic spația permite verificarea formeor proprii de vibrație obținute prin cacu nu numai caitativ dar şi cantitativ; 65

Tabeu.. Sistemu structura P+ Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra vaorior proprii cacuate Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Nr. mod Perioada Perioada Perioada Perioada proprie propriu ε% ε% ε% proprie (s) proprie (s) proprie (s) (s) 5588-575 7787-78 778-5 7759 996-99 -8 995-689 88 89-77 595 7-5 79-8 797-79 5 5 78-7 7-99 6 788 8 65 69-75 88 7 6756-586 658 7 679-6 8 57-58 5867 7 56-56 9 57-5 5796 56-5655 6756-87 5 9 5566-566 57-897 5 75 59-5 57-598 95 78-7579 Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Nr. mod Frecvența Frecvența Frecvența Frecvența proprie propriu ε% ε% ε% proprie (Hz) proprie (Hz) proprie (Hz) (Hz) 85 6 697 8 685 7 689 9 6 97 98 7 887 75-89 7-86 78 8 88 5 8 87 8 8 866 5 87-9 858 85 7 88 6 856-9558 -66 979 76 9796 7 5 69 58-566 56 8 599 896 79-98 7758 77 9 76 96 75-9 778 5 7776 775 995 887-85 99 97 885 9595 98-6 999 98 896 85-89 5 8 66

Fig... Sistemu structura P+ Variația perioadeor proprii de vibrație 67

erorie reative ae vaorior proprii scad odată cu creşterea graduui de rafinare a discretizării; în ansambu erorie reative ae vaorior proprii cresc de a modurie proprii joase spre modurie proprii superioare; eroarea reativă a răspunsuui dinamic poate fi accentuată în raport cu eroarea reativă a frecvențeor şi perioadeor proprii de vibrație.... Sistemu dinamic structura P+... Acătuirea sistemuui Sistemu structura cu patru niveuri este reprezentat în figura.5. Acesta are doua deschideri şi trei travei şi prezintă de asemnea două pane verticae de simetrie. Stâpii intermediari au secțiunea transversaă de 5555 cm iar cei marginai de 55 cm. Rigee transversae au secțiunea de 56 cm iar cee ongitudinae de 55 cm. Păcie de a toate niveurie au grosimea de cm ca şi în cazu structurii P+şi sunt deformabie atât norma pe pan cât şi în panu or.... Modee dinamice studiate Toate modeee dinamice anaizate sunt spațiae şi respectă simetria în raport cu panee verticae menționate. Structura are baza fiă iar stâpii sunt încastrați a partea inferioară. Modeu dinamic A (figura.5). Nodurie modeuui dinamic A coincid cu nodurie efective ae structurii şi sunt în număr de 8 astfe încât număru coordonateor este 88 (în afara ceor de a bază care sunt bocate). Număru eementeor finite este de. Modeu dinamic B (figura.6). Modeu dinamic B se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae modeuui A. Număru nodurior este de 88 număru coordonateor este de 8 (în afara ceor de a bază care sunt bocate). Număru eementeor finite este de 8. Modeu dinamic C (figura.7). Modeu dinamic C se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae modeuui B. Număru nodurior este de 66 număru coordonateor este de 96 (în afara ceor de a bază care sunt bocate). Număru eementeor finite este de 88. Modeu dinamic D (figura.8). Modeu dinamic D se obține prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite ae modeuui C. Număru nodurior este de 6 număru coordonateor este de 6 (în afara ceor de a bază care sunt bocate). 68

Număru eementeor finite este de 7. Pacă cm Gr. 55 St. 55 m m m L o n g i t u d i n a Gr. 56 St. 5555 m m m m Vertica 6 m 6 m Transversa Fig..5. Sistemu structura P+. Modeu dinamic A Pacă cm Gr. 55 St. 55 m m m L o n g i t u d i n a Gr. 56 St. 5555 m m m m Vertica Fig..6. Sistemu structura P+. Modeu dinamic B 69 6 m 6 m Transversa

Paca cm Gr. 55 St. 55 m m m L o n g i t u d i n a Gr. 56 St. 5555 m m m m Vertica 6 m 6 m Transversa Fig..7. Sistemu structura P+. Modeu dinamic C Paca cm Gr. 55 St. 55 m m m L o n g i t u d i n a Gr. 56 St. 5555 m m m m Vertica 6 m 6 m Transversa Fig..8. Sistemu structura P+. Modeu dinamic D 7

... Formee proprii de vibrație Primee forme de vibrație obținute pentru modeee dinamice A B C şi D sunt reprezentate în figurie.9.....6. Aceste forme proprii au următoaree configurații: forma proprie transație ongitudinaă în toate cee patru modee dinamice; în primu mod de vibrație nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția ongitudinaă; modu propriu este modu propriu fundamenta pentru panu vertica ongitudina. forma proprie transație transversaă în toate cee patru modee dinamice; în a doiea mod propriu de vibrație nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția transversaă; modu propriu este modu propriu fundamenta pentru panu vertica transversa. forma proprie torsiune generaă în toate cee patru modee dinamice; în a treiea mod propriu de vibrație sistemu dinamic spația se roteşte în juru aei verticae de intersecție a ceor doua pane de simetrie; modu propriu este modu propriu de torsiune fundamenta. forma proprie transație ongitudinaă în toate cee patru modee dinamice; în modu propriu nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția ongitudinaă; modu propriu este a doiea mod propriu pentru panu vertica ongitudina. forma proprie 5 transație transversaă în toate cee patru modee dinamice; în modu propriu de vibrație 5 nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția transversaă; modu propriu 5 este a doiea mod propriu pentru panu vertica transversa. forma proprie 6 torsiune generaă în toate cee patru modee dinamice; în modu propriu de vibrație 6 nodurie sistemuui dinamic spația se depasează în pan orizonta în juru aei verticae de intersecție a paneor de simetrie şi anume panşeee peste parter şi etaju I se rotesc într-un sens iar panşeu peste etaju III se roteşte în sens contrar; modu propriu 6 este a doiea mod propriu de torsiune a sistemuui spația. forma proprie 7 transație ongitudinaă în toate cee patru modee dinamice A B C şi D; modu propriu de vibrație 7 este a treiea mod propriu pentru panu vertica ongitudina. forma proprie 8 transație transversaă în toate cee patru modee dinamice A B C şi D; în modu propriu de vibrație 8 nodurie sistemuui dinamic au transații orizontae pe direcția transversaă; modu propriu 8 este a treiea mod propriu pentru panu vertica transversa. forma proprie 9 - torsiune generaă în toate cee patru modee dinamice A B C şi D; panşeu peste parter se roteşte într.un sens panşeu peste etaju II se roteşte în sens contrar iar panşeu peste etaju III se roteşte contrar panşeuui peste etaju II; modu propriu de vibrație 9 este a treiea mod propriu de torsiune a sistemuui spația. 7

Fig..9. Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 6 obținute cu modeu dinamic A 7

Fig... Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 7 obținute cu modeu dinamic A 7

Fig... Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 6 obținute cu modeu dinamic B 7

Fig... Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 7 obținute cu modeu dinamic B 75

Fig... Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 6 obținute cu modeu dinamic C 76

Fig... Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 7 obținute cu modeu dinamic C 77

Fig..5. Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 6 obținute cu modeu dinamic D 78

Fig..6. Sistemu structura P+. Modurie proprii de vibrație 7 obținute cu modeu dinamic D 79

forma proprie transație ongitudinaă în toate cee patru modee dinamice A B C şi D; modu propriu de vibrație este a patruea mod propriu pentru panu vertica ongitudina; panşeee peste parter şi etaju II au transații ongitudinae într-un sens iar panşeee peste etajee I şi III au transații ongitudinae în sens contrar. forma proprie este diferențiată în funcție de modeu dinamic (figurie... şi.6); modeu A pune car în evidență a patra formă proprie de vibrație în panu vertica transversa şi anume panşeee peste parter şi etaju II au transații transversae într-un sens iar panşeee peste etajee I şi III în sens contrar; în modeee B C şi D aceste transații transversae sunt insoțite de depasări verticae ae nodurior păcior. forma proprie este de asemenea diferențiată în funcție de modeu dinamic (figurie... şi..6); modeu A pune în evidență a patra formă proprie de torsiune a sistemuui dinamic spația; panşeee peste parter şi etaju II se rotesc într-un sens iar cee peste etajee I şi III în sens contrar; în modeee BC şi D această formă de torsiune generaă este insoțită de depasărie nodurior interioare ae păcior. Se poate şi aici concuziona că tripetu ongitudina-transversa-torsiune se repetă din trei în trei moduri proprii de vibrație. În cazu sistemuui structura P+ acest fapt este vaabi pentru primee 9 moduri proprii. Acest rezutat s-a obținut de asemenea printr-o predimensionare dinamică a sistemuui structura spația. În ceea ce priveşte formee proprii de vibrație şi configurația acestora se diferențiază în funcție de modeu dinamic adoptat şi anume modeu A are nodurie ecusiv în nodurie efective ae structurii astfe încât nu poate pune în evidență depasărie nodurior interioare ae păcior ceea ce reaizează modeee B C şi D. Simetria sistemuui dinamic spația permite verificarea formeor proprii de vibrație obținute prin cacu atât din punct de vedere caitativ cât şi cantitativ.... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra vaorior proprii cacuate Vaorie proprii determinate prin cacu pentru modeee dinamice A B C şi D sunt comparate în tabeee. şi.. S-au considerat primee de vaori proprii şi anume perioadee proprii de vibrație şi frecvențee proprii de vibrație. S-au determinat erorie acestor vaori proprii în raport cu modeu dinamic D care are ce mai mare grad de rafinare a discretizării în eemente finite. Se constată următoaree: erorie reative scad odată cu creşterea graduui de rafinare a discretizării; astfe perioada proprie fundamentaă are eroarea reativă de 967% a modeu A % a modeu B şi 8% a modeu dinamic C; erorie perioadeor proprii se încadrează în intervau [;9%] a modeu A [;98%] a modeu B şi [;87%] a modeu C; erorie frecvențeor proprii se încadrează 8

în intervau [;%] a modeu A [;866%] a modeu B şi [;86%] a modeu C. în ansambu erorie reative ae vaorior proprii cresc de a modurie proprii joase spre modurie proprii superioare Variația perioadeor proprii de vibrație este reprezentată în figura.7....5. Concuzii În acest paragraf s-a studiat infuența graduui de rafinare a discretizării în eemente finite a unui sistem dinamic structura P+ asupra modurior proprii de vibrație determinate prin cacu. S-au considerat patru modee dinamice: A cu 8 noduri efective B cu 8 noduri efective C cu 66 noduri efective D cu 6 noduri efective modeee BC şi D obținându-se prin reducerea a jumătate a dimensiunior eementeor finite din modeu precedent. Se desprind următoaree concuzii: configurația primeor forme proprii de vibrație nu este infuențată de gradu de rafinare a discretizării; pentru aceste moduri de vibrație se repetă tripetu de forme proprii ongitudina-transversa-torsiune generaă; simetria sistemuui dinamic spația permite verificare caitativă şi cantitativă a formeor proprii de vibrație determinate prin cacu; erorie reative ae vaorior proprii scad odată cu creşterea graduui de rafinare a discretizării în eemente finite; în ansambu erorie reative ae vaorior proprii cresc de a modurie proprii joase spre modurie proprii superioare. 8

Tabeu.. Sistemu dinamic structura P+. Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra perioadeor proprii de vibrație determinate prin cacu Nr. Mod propriu Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Perioada proprie (s) ε% Perioada proprie (s) ε% Perioada proprie (s) ε% Perioada proprie (s) 585-967 586-588 -8 58986 97-5 9586 8 956 6 9875 899 55 69 6 596 6 57567 6867-59 797-69 7977-9 75 5 55 5 5 588 7 577 6 57 78 78 5 978 5 97 7 879-7 87-6 8758-87567 8 86 7 87 5 865 6 859 9 87 96 759 66 777 5 7 66 598 56789 5676-56765 5967 77 5695 56 55657 5 5567 57 6 556 97 58 9 5666 86-5 7 57 5 99-977 57 6 899 5 879 5 69-576 599 76 8857 5 866 6 5969-5 59 88 8 8 869 7 8-676 976 69 757 759 8 67-6 879 8 7 8 6995 9 967-57 87 8 55 66 59 79-86 78 698 667 6 8 576-9 688 89 9 57 5 8-9 687 77 9 68 7-7 5667 98 98 6 7 7-689 597 9 8 87 55 8

Tabeu.. Sistemu dinamic structura Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra frecvențeor proprii de vibrație determinate prin cacu Nr. mod propriu Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Frecventa proprie (Hz) ε% Frecventa proprie (Hz) ε% Frecventa proprie (Hz) ε% Frecventa proprie (Hz) 8787 7 779 7 8 697 5 9-8 95-6 7 77-55 5-58 776-6 855 6 6 5858 69 578 9 57758 5 65-65788 -5 658-7 65888 6 6665-76 785-75 -5 7867 7 5 7 8 6 8 87-58 8-5 8-7 56 9 78-69 8-6 565-5 65 66-565 769-5 76 767 6758-678 77-5 7967-6 7977 75-6 896-89 858-8 86 897 5 875-9 - 9 5579 6 95-578 9-5 5 5 775 69 965-5 68-9 569 6 78 9 998-7 66-8 76 7 87 65-8 - 8 88 555 96-68 77-8 79 9 9 56 5-76 6-65 8 959 6-65 88-6 5 75 55-765 99-57 89 65-687 9-68 7 89 7 898-866 89-6 97 996 678 5-88 95-86 8

Fig..7. Sistemu structura P+. Variația perioadeor proprii de vibrație 8

.. INFLUENȚA GRADULUI DE RAFINARE AL DISCRETIZĂRII ASUPRA RĂSPUNSULUI DINAMIC... Introducere Răspunsu dinamic a sistemeor structurae poate fi determinat prin anaiză modaă sau prin integrarea directă a sistemuui ecuațiior diferențiae. În anaiza modaă a răspunsuui dinamic sistemu ecuațiior diferențiae se decupează în ecuații independente corespunzătoare câte unui mod propriu de vibrație. Fiecare ecuație diferențiaă se rezovă fie anaitic dacă pentru acțiunea dinamică eistă o eprimare anaitică a răspunsuui fie prin integrare numerică. Integrarea directă a sistemuui ecuațiior diferențiae se efectuează fără a transforma acest sistem într-o ată formă şi constă în apicarea unor metode numerice de integrare denumite metode pas-cu-pas. Indiferent de metoda de cacu apicată pentru determinarea răspunsuui dinamic caitatea modeuui dinamic adoptat pentru sistemu structura este reprezentată de acuratețea modurior proprii de vibrație. Modificărie modurior proprii se regăsesc în modificărie răspunsuui dinamic indiferent de acțiunea dinamică ce se eercită asupra sistemuui structura şi indiferent dacă se consideră comportarea iniară sau neiniară a structurii.... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic a acțiunea forțeor armonice Forțee dinamice armonice provin în specia din funcționarea maşinior industriae cu eemente rotative. În paragrafu... s-a considerat acțiunea unei forțe perturbatoare armonice pentru o turație de rot/min forță apicată pe direcția transversaă a sistemuui dinamic structura P+. În modu propriu 5 transversa frecvența proprie de vibrație este de 888 Hz (pentru modeu dinamic de referință şi anume modeu D) ceea ce reprezintă o turație echivaentă de 5 rot/min. Factoru de ampificare dinamică pentru o fracțiune din amortizarea critică de % este 76. În modeu dinamic A a aceuiaşi sistem structura frecvența proprie de vibrație pentru modu propriu 5 transversa are o eroare reativă de cca. %. Eroarea reativă a factoruui de ampificare dinamică este de cca. % adică eroarea răspunsuui dinamic staționar şi permanent se ampifică de cca. ori. 85

... Infuența graduui de rafinare a discretizării asupra răspunsuui dinamic a acțiunea seismică... Metoda de cacu apicată S-a apicat metoda de cacu dinamic iniar. În această metodă acțiunea seismică este reprezentată prin acceerograme înregistrate în diferite condiții de ampasament şi/sau prin acceerograme artificiae. În prezentu referat s-a utiizat acceerograma N-S a cutremuruui din martie 977 înregistrată a INCERC Bucureşti durata acțiunii (şi a răspunsuui cacuat) fiind de s. Acceerația terenuui a fost apicată pe direcția ongitudinaă atât sistemuui dinamic structura P+ cât şi sistemuui dinamic structura P+.... Rezutate obținute Se prezintă trei categorii de rezutate: variația în timp a depasării reative (față de poziția nedeformată a sistemuui structura) a panşeuui superior pe direcție ongitudinaă (figura.8 şi figura.9); depasărie reative maime ae fiecărui panşeu pe direcția ongitudinaă (tabeu.); depasărie reative de nive maime (tabeu.5). Depasărie reative maime ae ceor două sisteme dinamice structurae sunt prezentate în figurie. şi..... Concuzii La ambee sisteme structurae P+ şi P+ pentru perioada proprie fundamentaă T determinată cu modeu dinamic de referință D spectru seismic de răspuns este crescător. Modeee dinamice mai grosiere şi anume C B şi A au condus a depasări cacuate mai mici cu până a 78% deoarece perioadee proprii de vibrație T cacuate sunt mai mici (cu până a 575% a P+ şi cu până a 967% a P+). Acest fapt este descoperitor nu numai în cazu utiizării modeuui dinamic A dar chiar şi a modeuui dinamic mai rafinat B (depasări cacuate mai mici cu 87% a P+). Eroarea perioadei proprii de vibrație se regăseşte ampificată de câteva ori în răspunsu dinamic a acțiunea seismică. 86

a) b) c) d) Fig..8. Sistemu structura P+. Variația în timp a depasărior reative: a) Modeu A b) Modeu B c) Modeu C d) Modeu D. 87

a) b) c) d) Fig..9. Sistemu structura P+. Variația în timp a depasărior reative: a)modeu A b) Modeu B c)modeu C d) Modeu D 88

Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Nr. Nive Depasare reativă maimă (m) ε% Depasare reativă maimă (m) ε% Depasare reativă maimă (m) ε% Depasare reativă maimă (m) 587 5 7 87 799 6 779 8 78 5 86 59 78 a) Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Nr. Nive Depasare reativă maimă (m) ε% Depasare reativă maimă (m) ε% Depasare reativă maimă (m) ε% Depasare reativă maimă (m) 7 6 85 8 8589 86 77 96 9 657 79 597 78 6 85 995 6 765 89 85 5 875 b) Tabeu.. Depasări reative maime. a) Sistemu structura P+ b) Sistemu structura P+ 89

Nr. Nive Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Δr/h ε% Δr/h ε% Δr/h ε% Δr/h 55 5 7785 87 875 6 98 75 8 8 85 555 5 65 a) Modeu dinamic A Modeu dinamic B Modeu dinamic C Modeu dinamic D Nr. Nive Δr/h ε% Δr/h ε% Δr/h ε% Δr/h 855 6 5 8 75 575 56 9 9 6 67 795 9875 5 565 6 7 655 95 87 575 9 5895 6 59875 b) Tabeu.5. Depasări reative de nive maime a) Sistemu structura P+ b) Sistemu structura P+ 9

Fig... Sistemu structura P+. Depasărie reative maime 9

Fig... Sistemu structura P+. Depasărie reative maime 9

CAPITOLUL ABORDAREA TEORETICĂ A PROBLEM MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE.. ASPECTE FUNDAMENTALE... Introducere Modeu de cacu a unui sistem structura este modeu fizic căruia i se ataşează un mode matematic. În dinamica structurior acesta este modeu dinamic. Anaiza dinamică prin cacu a unui sistem structura se referă a modeu dinamic. Un criteriu eficient de modeare dinamică a sistemeor structurae î reprezintă modurie proprii de vibrație. Variația modurior proprii reprezintă măsura infuenței diferițior factori asupra răspunsuui dinamic a structurior. Probema determinării vaorior şi vectorior proprii de vibrație ocupă ocu centra în dinamica structurior. Modurie proprii de vibrație caracterizează sintetic sistemu structura din punct de vedere dinamic independent de acțiunie ce se eercită asupra sa []. Erorie vaorior proprii se regăsesc ampificate în răspunsu dinamic a sistemuui structura. Pentru estimarea acestei ampificări se pot apica norme vectoriae norme matriceae etc. Totuşi această abordare oferă numai imite superioare ae erorii răspunsuui dinamic în funcție de eroarea vaorior proprii. În capitou s-au prezentat cazuri practice privind reația dintre eroarea vaorior proprii şi eroarea răspunsuui dinamic determinat prin cacu în cazu unor sisteme structurae ae construcțiior. În capitoee şi 5 se generaizează o proprietate a sistemeor dinamice structurae modeate cu eemente finite proprietate demonstrată pentru un caz particuar în ucrarea []. Această proprietate permite determinarea directă şi imediată a erorii ceei mai înate frecvențe proprii a unui sistem structura modeat cu eemente finite. Erorie ceorate frecvențe proprii incusiv cee joase pot fi eprimate în funcție de aceasta. În capitou 5 a tezei de doctorat se propun reații de egătură între eroarea frecvenței proprii cea mai înată şi ceeate frecvențe proprii de vibrație. Proprietatea referitoare a acuratețea ceei mai înate vaori proprii se va studia pentru: vibrațiie aiae cu mase concentrate (cazu citat []); vibrații aiae cu matricea maseor consecventă ; vibrații de torsiune cu matricea de inerție diagonaă; vibrații de torsiune cu matricea de inerție consecventă ; vibrații transversae (de încovoiere) cu matricea maseor diagonaă; vibrații transversae (de încovoiere) cu matricea maseor consecventă. Aceste dezvotări sunt apicabie modeeor dinamic uniforme. 9

... Modee geometric uniforme şi dinamic uniforme [57] În cee ce urmează se precizează deosebirea dintre un mode geometric uniform şi un mode dinamic uniform. Uniformitatea geometrică se referă a discretizarea structurii în eemente finite de aceaşi tip şi aceeaşi dimensiuni geometrice. În genera pot fi modeate geometric uniform numai structurie care au ee însee o anumită reguaritate geometrică. Câteva eempe sunt prezentate în figura.. În figura.a s-a reprezentat o grindă dreaptă de secțiune constantă. În modearea geometric uniformă discretizarea s-a făcut astfe încât nodurie n să fie dispuse a distanțe egae. În figurie. b şi c s-au reprezentat un cadru pan şi respectiv spația pentru care nodurie modeuui dinamic coincid cu nodurie efective ae structurii. În figura.d paca a fost discretizată în eemente finite dreptunghiuare egae iar în figura.e pentru studiu vibrațiior normae a panu rețeei de grinzi nodurie modeuui dinamic au fost considerate în nodurie efective ae rețeei. Uniformitatea dinamică generaizează noțiunea de uniformitate geometrică. Se pot obține modee dinamic uniforme şi pentru structuri care nu prezintă o reguaritate geometrică. Definiția modeuui dinamic uniform este egată de formee proprii de vibrație. Aceste forme sunt acătuite din porțiuni cu conveitatea în aceaşi sens; porțiunie pot fi: buce sau semiunde separate de puncte de infeiune ; suprafețe separate de inii de infeiune; porțiuni tridimensionae separate de suprafețe de infeiune. Un mode a structurii este dinamic uniform dacă fiecare porțiune de acest fe are aceaşi număr de puncte nodae ae rețeei de eemente finite. În figura. s-a reprezentat o grindă dreaptă cu secțiunea bh în zonee marginae şi bh în zona centraă. Momentu de inerție a secțiunii transversae în zona centraă este de opt ori mai mare decât în zonee marginae pe când masa distribuită numai de două ori. Cee puncte nodae din figura.b sunt distribuite astfe pe forma proprie din figura.c: câte un nod pe porțiunie marginae cu conveitatea în aceaşi sens AB BC CD EF FG şi GH şi şase noduri pe porțiunea centraă DE. Modeu devine dinamic uniform dacă pe porțiunea centraă DE se prevede un singur nod. 9

... n (n+) a a) b) c) d) e) Fig... Câteva modee geometric uniforme Întrucât formee proprii de vibrație nu sunt caracteristici de definire ae sistemuui deci nu sunt disponibie a începutu anaizei se poate admite în mod aproimativ că modeu este dinamic uniform dacă rapoartee dintre coeficienții de rigiditate şi de inerție principai au aceaşi ordin de mărime. În genera structurie pot fi uniformizate în procesu de modeare chiar dacă prezintă tipuri diferite de deformații. 95

a) b a h h b 5a =a b a h 5 6 7 8 9 b) A B C F G H D E c) Fig... Definirea modeuui dinamic uniform.. O PROPRIETATE A SISTEMELOR DINAMICE MODELATE CU ELEMENTE FINITE... Enunțu proprietății şi condiții de apicare [] Se prezintă o proprietate a erorii ceei mai înate pusații proprii a sistemeor dinamice modeate cu eemente finite. Această eroare poate fi obținută înaintea efectuării oricărei anaize dinamice. Enunțu proprietății: Eroarea ε n a ceei mai înate pusații proprii a unui sistem dinamic uniform iber în discretizarea cu eemente finite coincide cu eroarea p a ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement finit. n p (.) Această proprietate este reprezentată schematic în tabeu.. În tabeu.. erorie ε... ε i... ε n sunt considerate în raport cu vaorie proprii ω... ω i... ω n ae sistemuui dinamic iber iar... p sunt considerate în raport cu vaorie proprii... p ae unui singur eement. Proprietatea este vaabiă pentru sistemee dinamice modeate cu o rețea uniformă de eemente finite. În egaitatea. n este număru gradeor de ibertate dinamică ae sistemuui dinamic adică număru coordonateor asociate maseor iar p este număru coordonateor eementuui cu forțe de inerție adică cee asociate maseor. 96

Prima poziție din tabeu. se referă a vibrațiie ongitudinae ae unui sistem de eemente articuate. Poziția a doua se referă a vibrațiie transversae ae unui sistem de grinzi. Poziția a treia se referă a rețee de eemente triunghiuare în stare pană de tensiune. Tabeu. Sistemu dinamic Eementu finit Proprietatea n p... k... n i i n n n...... n- n i i n n....... n i i n n- n n 6 6 6 5 n 6 În iteratura de speciaitate [] proprietatea este demonstrată numai pentru vibrațiie ongitudinae cu mase concentrate ae sistemuui uniform de eemente articuate. În paragrafee. şi. ae ucrării de doctorat proprietatea este demonstrată pentru: vibrații ongitudinae cu matricea maseor consecventă ; vibrații de torsiune cu caracteristici inerțiae concentrate; vibrații de torsiune cu matricea inerțiaă consecventă. De asemenea în paragrafu.5 această proprietate este studiată pentru: vibrații transversae cu matricea maseor consecventă ; vibrații transversae cu matricea maseor diagonaă. 97

Această proprietate este vaabiă pentru sisteme dinamice ibere. Dacă sistemu dinamic are egături atunci egaitatea. se transformă în genera în inegaitatea: n p (.) Eroarea ε n este mai apropiată de p dacă număru puncteor nodae cu egături este mic față de număru tota a puncteor nodae ae sistemuui discret iber.... Structuri spațiae acătuite din eemente tip grindă de secțiune constantă Eementu component este reprezentat în figura.. Eementu tip grindă are coordonate care pot fi grupate astfe: - aee şi 7 vibrații ongitudinae - aee şi vibrații de torsiune - aee 6 8 vibrații transversae în panu O - aee 5 9 vibrații transversae în panu Oz Tipurie de vibrații sunt anaizate în paragrafee.. şi.5 din punctu de vedere a proprietății enunțate în secțiunea... În capitou 5 proprietatea enunțată este anaizată pentru sistemee dinamice cu egături iar în capitou 6 studiu se apică în cacuu dinamic geometric neiniar. 98

7 9 8 O z 5 6 Fig... Eement component de tip grindă 99

.. VIBRAȚII LONGITUDINALE Aceste vibrații se referă a aee de coordonate şi 7 din figura..... Souția anaitică Bara de secțiune constantă este reprezentată în figura.. Moduu de easticitate ongitudina este E aria secțiunii transversae A şi masa pe unitate de ungime μ. Pentru vibrațiie ibere fără amortizare ecuația diferențiaă a mişcării este [] []: u( t) u( t) EA (.) t unde u( t) este depasarea pe direcția aiaă. N(t) d EAμ N(t) u Fig... Bară de secțiune constantă cu vibrații aiae rezută că unde Utiizând souția: u( t) ( ) ( t) (.) ( t) ( t) (.5) " ( ) c ( ) (.6) EA c (.7) c Souția pentru forma proprie este: ( ) ) C cosc C sin c (.8) Cee două condiții imită de satisfăcut sunt: N ( ) EA '() (.9) N ( ) EA '( ) (.) Rezută C (.) sin c (.) de unde c i (.) Vaorie proprii vor fi: EA EA i c i ( i ) (.)

şi formee proprii corespunzătoare ( i ) cos( i ) (.5) Modurie proprii de vibrație determinate anaitic sunt prezentate în figura.5. a) EA b) / / c) / / EA d) EA /6 /6 /6 e) /8 /8 /8 /8 5 EA f) 5 6 EA / / / / / Fig..5. Modurie proprii ae sistemuui continuu... Souția cu eemente finite cu mase concentrate În figura.6.a bara uniformă care vibrează ongitudina este modeată cu un eement finit cu două mase concentrate. Pentru matricea de rigiditate s-au utiizat funcțiie de formă f ( ) şi f ( ) din figura.6.b :

f ( ) (.6) f ( ) (.7) A rezutat matricea de rigiditate: [ K ] EA (.8) E A a) f ( ) f ( ) b) f ( ) f ( ) c) / / EA d) Fig..6. Un eement finit Concentrarea maseor a cee două capete ae eementuui finit revine a utiizarea funcțiior de formă din figura.6.c: pentru f ( ) (.9) pentru

Rezută: pentru f ( ) (.) pentru [ M ] (.) Utiizarea unor funcții de formă diferite a matricea maseor față de matricea de rigiditate reprezintă o inconsecvență în cazu concentrării maseor a noduri. Probema modurior proprii: [ K ]{ } [ M ]{ } (.) unde {Φ} este un vector propriu şi ω pusația proprie corespunzătoare are souția: EA (.) EA Souția anaitică pentru este astfe că eroarea va fi : % 6% (.) A doiea mod propriu de vibrație este prezentat în figura.6.d. În figura.7.a bara uniformă s-a modeat cu două eemente finite cu masa concentrată în trei puncte. Matricee de rigiditate şi a maseor sunt: EA [ K] [ M ] (.5) Probema vectorior proprii (.) conduce a: 8 EA EA (.6) Utimu mod propriu de vibrație este reprezentat în figura.7.b. Eroarea utimei vaori proprii este: % 6.% (.7)

/ / a) EA b) Fig..7. Sistemu modeat cu două eemente finite În figura.8.a bara uniformă s-a modeat cu trei eemente finite cu masa concentrată în patru puncte. Utimu mod de vibrație este reprezentat în figura.8.b. Eroarea utimei vaori proprii este: 6 % 6.% (.8) 6 / / / 6 a) 6 6 EA b) Fig..8. Sistemu modeat cu trei eemente finite Se consideră cazu genera în care bara uniformă este modeată cu (n-) eemente finite. Atunci sistemu dinamic are n grade de ibertate. Presupunem ca n este un număr par. Ecuația (.) pentru utimu mod propriu de vibrație va fi:

( n ) EA Rezută: n ( n ) zero n n ( ) zero (.9) EA n (.) Souția anaitică are epresia (.) în care i=n şi eroarea utimei pusații proprii va fi: n n ( n ) ( n ) % % 6% n (.) ( n ) n În concuzie eroarea n a utimei pusații proprii a sistemuui dinamic este egaă cu eroarea a utimei pusații proprii a unui singur eement finit. Proprietatea s-a demonstrat pentru orice număr n par. Dacă n este impar vectoru propriu { } n din reația (.9) are în utima poziție vaoarea şi egaitatea (.9) rămâne vaabiă.... Souția cu eemente finite cu matricea maseor consecventă În figura.9.a bara uniformă care vibrează ongitudina este modeată cu un eement finit având două grade de ibertate dinamică. 5

E A μ a) f ( ) / / f ( ) f ( ) f ( ) b) 6 EA c) Fig..9. Sistemu modeat cu un eement finit Pentru determinarea matricei de rigiditate s-au utiizat funcțiie de formă f ( ) şi f ( ) din figura.9.b. Aceasta este: EA [ K ] Pentru determinare matricei maseor se utiizează aceeaşi funcții de formă f ( ) şi f ( ) din figura.9.b. Matricea maseor rezută: [ M ] (.) 6 Utiizarea aceoraşi funcții de formă pentru matricea de rigiditate şi pentru matricea maseor reprezintă o consecvență. De aceea matricea maseor se va numi consecventă. Probema modurior proprii (.) conduce a: EA 6 (.) EA Souția anaitică pentru este 6 astfe că eroarea va fi : 6 % 7% (.) A doiea mod propriu de vibrație este prezentat în figura.9.c. În figura..a bara uniformă s-a modeat cu două eemente finite.

/ / a) 6 98 EA b) Fig... Sistemu modeat cu două eemente finite Matricee de rigiditate şi a maseor sunt: EA [ K] [ M ] (.5) Probema modurior proprii (.) conduce a: EA 6 EA 6 98 (.6) Utimu mod propriu este reprezentat în figura..b. Eroarea utimei vaori proprii este: 698 % 7% (.7) În figura..a bara uniformă s-a modeat cu trei eemente finite. Utimu mod propriu de vibrație este reprezentat în figura.8.b. Eroarea utimei vaori proprii este: 9 % 7% (.8) / / / a) 9 EA b) Fig... Sistemu modeat cu trei eemente finite 7

8 Se consideră cazu genera în care bara uniformă este modeată cu (n-) eemente finite. Atunci sistemu dinamic are n grade de ibertate. Presupunem că n este un număr par. Ecuația (.) pentru utimu mod propriu va fi: ) 6( ) ( n EA n n 6 n (.9) Rezută că: ) ( EA n n n (.) Souția anaitică are epresia (.) în care n i n şi eroarea utimei pusații proprii va fi: 7% ) ( ) ( ) ( % ( ) ) n n n n n n n (.) În concuzie eroarea n a utimei pusații proprii a sistemuui dinamic este egaă cu eroarea a utimei pusații proprii a unui singur eement finit. Proprietatea s-a demonstrat pentru orice număr n par. Dacă n este impar vectoru propriu n } { n } din reația (.9) are în utima poziție vaoarea şi egaitatea (.9) rămâne vaabiă.

.. VIBRAȚII DE TORSIUNE... Souția anaitică Bara de secțiune constantă este reprezentată în figura.. Moduu de easticitate transversa este G şi momentu de inerție a torsiune I t. Momentu de inerție mecanic în raport cu centru de greutate a secțiunii transversae pe unitatea de ungime este J. Pentru vibrațiie ibere fără amortizare ecuația diferențiaă a mişcării este [8]: ( t) ( t) GI t J (.9) t unde φ(t) este rotirea secțiunii transversae în juru aei ongitudinae a barei [5]. M t (t) φ GI t J M t (t) d Fig... Bară omogenă de secțiune constantă supusă a vibrații de torsiune ibere fără amortizare rezută că unde Utiizând souția: ( t) () ( t) (.) ( t) " ( ) c ( t) c GI J t ( ) (.) (.) (.) Souția pentru forma proprie este: () C cosc C sin c (.) Cee două condiții imită de satisfăcut sunt: M t ( ) GI t '() (.5) M ( ) GI t t '( ) (.6) Rezută de unde C (.7) c (.8) sin 9

c i (.9) a) b) / / GI t J c) / / GI t J d) GI t J /6 /6 /6 e) 5 GI t J /8 /8 /8 /8 f) 5 6 GI t J / / / / / Fig... Modurie proprii de vibrație ae barei continue Vaorie proprii vor fi: GIt GIt i c i ( i ) (.5) J J şi formee proprii corespunzătoare i ( ) cos( i ) ) (.5) Modurie proprii de vibrație determinate anaitic sunt prezentate în figura.. Eistă o anaogie perfectă cu vibrațiie ongitudinae.

... Souția cu eemente finite şi caracteristici inerțiae concentrate În figura..a se prezintă bara supusă a vibrații de torsiune modeată cu un eement finit având masee concentrate în cei doi voanți de a etremități. Matricee de rigiditate şi inerțiaă vor fi: GI t [ K] (.5) J [ M ] (.5) G I t J J a) GI t J b) Fig... Sistemu modeat cu un eement finit Probema modurior proprii (.) are souția: GI t (.5) J GI Souția anaitică pentru este t astfe că eroarea va fi : J % 6% (.55) A doiea mod propriu de vibrație este prezentat în figura.b. În figura.5a bara uniformă s-a modeat cu două eemente finite cu masa concentrată în trei voanți circuari. Matricee de rigiditate şi inerțiaă sunt: GIt J [ K] [ M ] (.56)

Probema vaorior proprii (.) conduce a: 8GI t GIt (.57) J J Utimu mod propriu este reprezentat în figura.5.b. G I t J J / / J a) GI t J b) Fig..5. Sistemu modeat cu două eemente finite Eroarea utimei vaori proprii este: % 6.% (.58) În figura.6.a bara uniformă s-a modeat cu trei eemente finite cu masa concentrată în patru voanți circuari. Utimu mod propriu de vibrație este reprezentat în figura.6.b. Eroarea utimei vaori proprii este: 6 % 6.% (.59) G I t J 6 J J / / / J 6 a) 6 GI t J b) Fig..6. Sistemu modeat cu trei eemente finite Se consideră cazu genera în care bara uniformă este modeată cu (n-) eemente finite. Atunci sistemu dinamic are n grade de ibertate. Presupunem ca n este un număr par. Ecuația (.) pentru utimu mod propriu de vibrație va fi:

( n ) GI Rezută că t n J ( n ) zero zero (.6) GIt n ( n ) (.6) J Souția anaitică are epresia (.5) în care i=n şi eroarea utimei pusații proprii va fi: n n ( n ) ( n ) % % 6% n (.6) ( n ) n În concuzie eroarea n a utimei pusații proprii a sistemuui dinamic iber este egaă cu eroarea a utimei pusații proprii a unui singur eement finit. Proprietatea s-a demonstrat pentru orice număr n par. Dacă n este impar vectoru propriu { } n din reația (.6) are în utima poziție vaoarea şi egaitatea (.6) rămâne vaabiă.... Souția cu eemente finite şi matricea inerțiaă consecventă În figura.7a bara uniformă ce vibrează a torsiune este modeată cu un eement finit având două grade de ibertate. Pentru determinarea matriceor de rigiditate şi inerțiaă s-au utiizat funcțiie de formă f ( ) şi f ( ) din figura.9.b. Aceste matrice sunt:

[ K] GI t J [ M ] (.6) 6 Utiizarea aceoraşi funcții de formă atât pentru matricea de rigiditate cât şi pentru matricea inerțiaă reprezintă o consecvență. De aceea matricea inerțiaă se va numi consecventă. Probema modurior proprii (.) conduce a: GIt 6 (.6) J G I t J a) / / 6 GI t J b) Fig..7. Sistemu modeat cu un eement finit GI Souția anaitică pentru este t astfe că eroarea va fi : J 6 % 7% (.65) A doiea mod propriu este reprezentat în figura.7.b. În figura.8a bara uniformă s-a modeat cu două eemente finite. Matricee de rigiditate şi inerțiaă sunt: [ K] GI t [ M ] J (.66) Probema modurior proprii (.) conduce a: GIt GIt 6 6 98 (.67) J J

Utimu mod propriu este reprezentat în figura.8.b. Eroarea utimei vaori proprii este: 698 % 7% (.68) G I t J a) / / Fig..8. Sistemu modeat cu două eemente finite GI t J 6 98 b) În figura.9a bara uniformă s-a modeat cu trei eemente finite. Utimu mod propriu de vibrație este reprezentat în figura.9.b. Eroarea utimei vaori proprii este: 9 % 7% (.69) G I t J a) /6 /6 /6 9 GI t J b) Fig..9. Sistemu modeat cu trei eemente finite Se consideră cazu genera în care bara uniformă este modeată cu (n-) eemente finite. Atunci sistemu dinamic are n grade de ibertate. Presupunem că n este un număr par. Ecuația (.) pentru utimu mod propriu a modeuui dinamic va fi: 5

( n ) GI t Rezută că: n J 6( n ) (.7) GIt ( n ) (.7) n n J Souția anaitică are epresia (.5) în care i n şi eroarea utimei pusații proprii va fi: ( n ) ( n ) n n n % n ( n ) 7% (.7) În concuzie eroarea n a utimei pusații proprii a sistemuui dinamic este egaă cu eroarea a utimei pusații proprii a unui singur eement finit. Proprietatea s-a demonstrat pentru orice număr n par. Dacă n este impar vectoru propriu { } n din reația (.7) are în utima poziție vaoarea şi egaitatea (.7) rămâne vaabiă..5. VIBRAȚII TRANSVERSALE.5.. Souția anaitică Bara de secțiune constantă este reprezentată în figura.. Moduu de easticitate ongitudina este E momentu de inerție a secțiunii I şi masa pe unitatea de ungime μ. Se vor studia vibrațiie transversae în panu O din figura. astfe încât momentu de inerție a secțiunii va fi considerat în raport cu aa 6

Oz. Studiu vibrațiior în panu Oz se va face anaog considerând momentu de inerție a secțiunii în raport cu aa O. M(t) T(t) d E I μ Fig... Bară omogenă de secțiune constantă supusă a vibrații transversae ibere fără amortizare Pentru vibrațiie ibere fără amortizare ecuația diferențiaă a mişcării este [9] [5] [6]: ( t) ( t) (.7) t T(t) M(t) unde: Se utiizează souții particuare de forma: ( t) ( ) (tt ) (.7) Rezută: (t( t ) (tt ) (.75) d ( ) a d ( ) (.76) a (.77) Ecuația (.75) va avea souția: ( t ) c sin t c cos t Asin( t ) (.78) ( ) adică vibrațiie ibere descrise de souția particuară (.7) reprezintă o mişcare armonică de pusație ω corespunzătoare unui mod propriu de vibație a sistemuui determinat de funcția formei proprii de vibrație Φ() şi de pusația ω [9]. Ecuația (.76) este o ecuație diferențiaă omogenă cu coeficienți constanți. Souția generaă a acestei ecuații este: ( ) ) C cha C sha C cosa C sin a (.79) ( C Se defineşte drept vector de stare z într-o secțiune [9] vectoru format cu depasarea transversaă Φ considerată cu semnu minus rotirea θ momentu încovoietor M şi forța tăietoare T adică: z ) { M T (.8) ( } ( ) 7

Convenția de semne pozitive a parametrior de stare în secțiunea este reprezentată în figura.. θ M Fig... Convenția de semne a parametrior de stare în secțiunea Prin derivarea succesivă a epresiei (.79) în raport cu variabia se obțin cee patru constante de integrare în funcție de vectoru de stare în origine: ' a( C sh a C ch a C sin a C cosa) '' ''' Φ() M T a ( C ch a a ( C sh a C C sh a ch a C cosa C sin a C C Φ() T sin a) cosa) (.8) M T Cu epresiie (.8) vectoru de stare în secțiunea se poate scrie: cha sh a cosa sin a C a sh a acha asin a acosa a cha a sh a a cosa a sin a a sh a a cha a sin a a cosa C C C (.8) sau cu notațiie simboice ae cacuuui matricea: z ( ) B ( ) e (.8) Vectoru e se poate determina în funcție de vectoru de stare în origine z() făcând în ecuația (.8) = adică: z ( ) B () e (.8) în care matricea B() este: a a B( ) (.8) a a a Rezovând ecuația matriceaă (.8) vectoru e este ega cu e B () z() (.8) în care B - () inversa matricei B() este: 8 a

B a ( ) a a (.85) a a a În acest fe vectoru de stare în secțiunea devine: z( ) B ( ) B () z() U ( ) z() (.86) Matricea U() se numeşte matrice de transfer şi are epresia: F ( a) F ( a) F ( a) F ( a) a a a af ( a) F ( a) F ( a) F ( a) U ( ) a a (.87) a F ( a) af ( a) F ( a) F ( a) a a F ( a) a F ( a) af ( a) F ( a) În matricea (.87) s-au notat: F ( a) ( cha cosa) F ( a) ( sh a sin a) F ( a) F ( a) ( cha ( sh a cosa) sin a) (.88) Dacă se consideră o bară şi notând capetee barei i-şi i vectoru de stare în capătu i a barei se poate eprima în funcție de vectoru de stare în capătu i- cu ajutoru matricei de transfer U i U ( a a) (.89) sub forma: z i U i zi (.9) Se consideră bara iberă din figura. pentru care vectorii de stare în secțiunie = şi = sunt respectiv: z { } (.9) z { } Cu reația (.9) vectoru de stare z se poate scrie: 9

z F ( a) af ( a) a F ( a) a F ( a) F a ( a) F ( a) af ( a) a F ( a) F ( a) a F ( a) a F ( a) af ( a) F ( a) a F ( a) a F ( a) a F ( a) (.9) Condițiie de forță tăietoare nuă (T =) şi moment încovoietor nu (M =) în capătu a barei se eprimă din reația (.9) astfe: a F ( a) af ( a) (.9) a F ( a) a F ( a) Când bara este deformată după un mod propriu de vibrație Φ şi θ sunt diferite de zero. Condiția matematică ca sistemu de ecuații (.9) să admită souții nebanae este ca determinantu sistemuui să fie nu: a F ( a) af ( a) (.9) a F ( a) a F ( a) sau dezvotând determinantu şi simpificând cu a E I : F a) F ( a) F ( a) (.95) ( Înocuind funcțiie din ecuația (.95) cu epresiie or din reațiie (.88) ecuația devine: ( ch a cosa) ( sha sin a)( sha sin a) (.96) sau efectuând cacuee: cha (.97) cosa ) Ecuația (.97) admite o infinitate de souții a j unde din reația (.77): a j j j... (.98) Reația (.98) indică faptu că un sistem cu masa distribuită continuu are o infinitate de moduri de vibrație. Rezovând ecuația trigonometrică (.97) se obțin rădăcinie: a j ( j ) j... (.99)

( j ) j... (.) j Funcția formeor proprii de vibrație se determină corespunzător rădăcinior a j ae ecuației (.97). Aceasta este pentru bara iberă a capete: ch a cosa j j ( ) ( ch a j cosa j ) ( sh a j sin a j ) (.) sh a sin a.5.. Souția cu eemente finite cu matricea maseor consecventă În figura..a bara uniformă ce vibrează transversa este modeată cu un eement finit având patru grade de ibertate dinamică. Pentru determinarea matricei de rigiditate s-au utiizat funcțiie de formă f ( ) f ( ) f ( ) şi f ( ) din figura..b. Aceasta este: 6 6 j j 6 6 [ K ] (.) 6 6 6 6 Pentru determinarea matricei maseor se utiizează aceeaşi funcții de formă f ( ) f ( ) f ( ) şi f ( ) din figura..b. Aceasta rezută: 56 5 [ M ] 5 56 (.) unde μ este masa pe unitatea de ungime. Rezută următoaree pusații proprii de vibrație: 68 9 65 (.) Souția anaitică pentru este 667 astfe că eroarea va fi: anaitic cacu 667 965 % 86% (.5) 667 anaitic A patruea mod de vibrație este prezentat în figura..c.

E I μ a) f () f( ) f () f () f ( ) f ( ) b) f () f ( ( ) ) / / 9 65 9 c) Fig... Sistemu modeat cu un eement finit În figura. bara uniformă s-a modeat cu două eemente finite. E I μ 6 / / 5 Fig... Sistemu modeat cu două eemente finite Matricee de rigiditate şi inerțiaă sunt:

[ K] 8 [ M ] 8 56 5 5 5 5 56 (.6) Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 78 5 755 6 85 (.7) Souția anaitică pentru 6 este 9986 astfe că eroarea 6 va fi: 6 anaitic 6 cacu 9986 85 % 6 9986 6 anaitic 7% (.8) În figura. bara s-a modeat cu trei eemente finite. E I μ 6 7 / / 5 / 8 Fig.. Sistemu modeat cu trei eemente finite

Matricie de rigiditate şi inerțiaă sunt: 9 9 9 9 8 9 9 9 8 9 9 9 7 ] [ K 9 56 5 9 8 5 5 9 8 5 5 9 5 56 6 ] [ M (.9) Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 8 7 6 5 58 76 6 6 8 7 6 5 5 6 (.) Souția anaitică pentru 8 este 7 astfe că eroarea 8 va fi: 9% 7 58 7 % 8 8 8 8 5 anaitic cacu anaitic 8 an 8 ca 8 an % 8 (.)

5 În figura.5 bara s-a modeat cu patru eemente finite. Fig..5. Sistemu modeat cu patru eemente finite Matricee de rigiditate şi inerțiaă sunt: 8 8 8 8 8 8 8 8 6 ] [ K (.) E I μ / 5 6 / 7 8 / / 9

[ M ] 68 56 5 6 5 5 6 6 5 5 6 6 5 5 6 6 5 56 6 Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 6 5 8 9 5 6 9 9 7 97 9969 (.) Souția anaitică pentru este 7 astfe că eroarea va fi: anaitic cacu 7 9969 % 98% (.) 7 anaitic În figura.6 bara s-a modeat cu cinci eemente finite. 6

E I μ 6 7 /5 5 8 /5 /5 /5 9 /5 Fig..6. Sistemu modeat cu cinci eemente finite Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 8 687 5 8 78 555 6 9 9 68 59 Souția anaitică pentru este 88 7 965 astfe că eroarea va fi: (.5) anaitic cacu 88 59 % 55% (.6) 88 anaitica În figura.7 bara s-a modeat cu şase eemente finite. E I μ 6 7 5 8 9 /6 /6 /6 /6 /6 /6 Fig..7. Sistemu cu şase eemente finite Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 7

7 678 89 6 8 5 66 6 77 86 9 6 686 8 55 (.7) Souția anaitică pentru este 5 astfe că eroarea va fi: anaitica cacu 5 86 % % (.8) 5 anaitica Tabeu. Eroarea utimei pusații proprii de vibrație a modeuui dinamic cu eemente finite şi matricea maseor consecventă în cazu vibrațiior transversae. Nr. grade de 6 8 iberta te Eroa rea % =86% ε 6 =7% ε 8 =9% ε =98% ε =55% ε =% În studiu vibrațiior transversae grinda a fost modeată cu un număr crescător de eemente finite. Eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement finit în raport cu souția anaitică este =86%. Erorie ceei mai înate pusații proprii a sistemuui dinamic iber în discretizarea cu două trei patru... eemente finite în raport cu souția anaitică sunt de aproimativ %. Rezută că egaitatea (.) devine inegaitate: n p (.9) ceea ce reprezintă o reație acoperitoare din punct de vedere a acurateței souției cu eemente finite şi matricea maseor consecventă. 8

.5.. Souția cu eemente finite şi matricea maseor diagonaă Matricea maseor consecventă se poate diagonaiza în feu următor [9]: - se adună eementee de pe diagonaa matricei maseor corespunzătoare gradeor de ibertate de transație suma notându-se cu α; - se împart eementee diagonaei a α înmuțindu-se totodată cu masa totaă a eementuui; - tuturor eementeor nediagonae i se atribuie vaoarea zero. Rezută: 9 [ M ] 78 unde μ este masa pe unitatea de ungime iar este ungimea eementuui. Se consideră bara uniformă din figura..a modeată cu un eement finit având patru grade de ibertate. Matricea de rigiditate este dată de reația (.). Matricea maseor diagonaă va fi matricea dată de reația (.). Rezută următoaree pusații proprii de vibrație: 9 7 (.) 9 Souția anaitică pentru este 667 astfe că eroarea va fi: (.) anaitic cacu 667.7 % 67% (.) 667 anaitic Se consideră bara modeată cu două eemente finite (figura.). Matricea de rigiditate este dată de reația (.6). Matricea maseor rezută: 9 78 [ M ] 56 (.) 9 9

Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 996 5 776 6 887 (.) Souția anaitică pentru 6 este 9986 astfe că eroarea 6 va fi: 6 anaitic 6 cacu 9986 887 % 556% (.5) 6 9986 6 anaitic Se consideră bara modeată cu trei eemente finite (figura.). Matricea de rigiditate este dată de reația (.9). Matricea maseor rezută: 9 9 78 [ M ] 9 (.6) 78 9 9 9 Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 6 7 8 85 5 8 98 6 5 (.7) Souția anaitică pentru 8 este 7 astfe că eroarea 8 va fi: 8 anaitic 8 cacu 7 98 % 59% 8 (.8) 7 8 anaitic

Se consideră bara modeată cu patru eemente finite (figura.5). Matricea de rigiditate este dată de reația (.). Matricea maseor rezută: 9 [ M ] 6 78 8 78 8 78 (.9) 8 9 6 Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 88 58 5 8 86 96 6 9 998 89 Souția anaitică pentru este 7 7 68 59 astfe că eroarea va fi: (.) anaitic cacu 7 59 % 58% (.) 7 anaitic Se consideră bara modeată cu cinci eemente finite (figura.6). Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 958 98 5 8 979 558 56 6 9 6 57 7 9 ()

Souția anaitică pentru este 88 astfe că eroarea va fi: anaitic cacu 88 57 % 97% (.) 88 anaitica Se consideră bara modeată cu şase eemente finite (figura.7). Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: 7 56 5 575 7768 5 8 9786 96 6598 7867 Souția anaitică pentru este 5 6 9 5 9 79 astfe că eroarea va fi: (.) anaitic cacu 5 7867 % 899% (.5) 5 anaitica Tabeu. Eroarea utimei pusații proprii de vibrație a modeuui dinamic cu eemente finite şi matricea maseor diagonaă în cazu vibrațiior transversae. Nr. grade de 6 8 ibert ate Eroa rea =67% ε 6 =556% ε 8 =59% ε =58% ε =97% ε =899% % În studiu vibrațiior transversae grinda a fost modeată cu un număr crescător de eemente finite. Eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement finit în raport cu souția anaitică este =67%.

Erorie ceei mai înate pusații proprii a sistemuui dinamic iber în discretizarea cu două trei patru... eemente finite în raport cu souția anaitică sunt de aproimativ 5%. Rezută că egaitatea (.) devine inegaitate: (.6) n p ceea ce reprezintă o reație acoperitoare din punct de vedere a acurateței souției cu eemente finite şi matricea maseor diagonaă.

CAPITOLUL 5 ABORDAREA PRACTICĂ A PROBLEM MODELĂRII SISTEMELOR DINAMICE STRUCTURALE 5.. ASPECTE FUNDAMENTALE 5... Introducere În capitou s-au anaizat vibrațiie proprii ae sistemeor dinamice ibere şi anume: - vibrații ongitudinae cu mase concentrate; - vibrații ongitudinae cu matricea maseor consecventă ; - vibrații de torsiune cu caracteristici inerțiae concentrate; - vibrații de torsiune cu matricea inerțiaă consecventă ; - vibrații transversae cu matricea maseor consecventă ; - vibrații transversae cu matricea maseor diagonaă. În toate aceste tipuri de vibrații proprii souția obținută prin modearea cu eemente finite a fost comparată cu souția anaitică. S-a obținut egătura dintre eroarea sistemuui dinamic şi eroarea unui singur eement finit. Această egătură este vaabiă pentru sistemu dinamic iber. Însă sistemee dinamice structurae ae construcțiior sunt sisteme cu egături. Rezută că o abordare practică a probemei modeării sistemeor dinamice structurae trebuie să se refere a vibrațiie sistemeor cu egături. 5... Aspecte anaizate în abordarea practică a modeării sistemeor dinamice structurae Se anaizează următoaree vibrații ae sistemeor cu egături: - vibrații ongitudinae souția cu eemente finite şi mase concentrate; - vibrații ongitudinae souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă ; - vibrații transversae souția cu eemente finite şi mase concentrate; - vibrații transversae souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă. Nu s-au anaizat separat vibrațiie a torsiune deoarece eistă o anaogie perfectă între acestea şi vibrațiie ongitudinae. De asemenea în acest capito sunt studiate următoaree probeme practice: evauarea erorior pusațiior proprii intermediare ae sistemeor cu egături utiizând diferite metode (metoda poinoameor de interpoare Lagrange procedeu funcției putere etc.);

infuența erorior pusațiior proprii asupra acurateței răspunsuui dinamic a acțiuni armonice. 5.. VIBRAȚIILE LONGITUDINALE ALE SISTEMULUI CU LEGĂTURI 5... Souția anaitică Se va anaiza bara de secțiune constantă fiată a un capăt (figura 5.). Moduu de easticitate ongitudina este E aria secțiunii transversae A şi masa pe unitatea de ungime μ. Pentru vibrațiie ibere fără amortizare ecuația diferențiaă a mişcării este []: u( t ) u( t ) EA (5.) t unde u( t) este depasarea pe direcția aiaă. EAμ u d Fig. 5.. Bară de secțiune constantă cu vibrații aiae Souția pentru forma proprie este dată de reația (.8): ( ) C cosc C sinc ( Cee două condiții imită de satisfăcut sunt: ( ) N( ). (5.) Rezută: cos c 5 7 (5.) ci Pusațiie proprii ae sistemuui sunt: EA EA i c i ( i ) (5.) 5

6 5... Souția cu eemente finite şi mase concentrate Acest caz este abordat şi în referința bibiografică []. Se consideră sistemu discretizat în zece eemente finite de aceeaşi ungime. Rezută matricea de rigiditate: ] [ EA K (5.5) şi matricea maseor: ] [ M (5.6) Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt:

7 569 5 75 998 EA EA EA EA 5 8 669 99 88 EA EA EA EA Souția anaitică pentru este 9 85 6 9 765 5 95 EA EA EA astfe că eroarea va fi: (5.7) anaitic c cacu 9 85 9 98 % 9 % (5.8) 9 85 anaitic Eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement iber cu mase concentrate este p 6 %. Rezută că în cazu sistemuui cu egături şi cu mase concentrate eroarea n 9% este mai mică decât eroarea unui singur eement iber: n p (5.9) 5... Souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă Se consideră sistemu discretizat în zece eemente de aceeaşi ungime. Matricea de rigiditate rămâne neschimbată adică este cea precizată în reația (5.5). Utiizând matricea (.) a unui singur eement rezută următoarea matrice consecventă a maseor: 7

[ M ] 6 (5.) Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: EA 57 EA 756 858 7 55 EA 76 EA EA 5 8 5 EA 85 EA 6 9 9 99 EA EA EA (5.) În comparație cu modeu dinamic cu mase concentrate în cazu utiizării matricei consecvente a maseor pusațiie proprii sunt mai mari decât cee date de rezovarea anaitică. Această observație este vaabiă şi în cazu sistemuui dinamic iber. EA Souția anaitică pentru este 985 8 astfe că eroarea va fi: anaitic cacu 9 85 % 5 % (5.) 9 85 anaitic Eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement iber cu matricea maseor consecventă este p 7%. Rezută că în cazu sistemuui cu egături şi cu matricea maseor consecventă eroarea

n 5 % este mai mare decât eroarea unui singur eement iber. 5.. VIBRAȚIILE TRANSVERSALE ALE SISTEMULUI CU LEGĂTURI 5... Souția anaitică Se va anaiza bara de secțiune constantă fiată a un capăt. Moduu de easticitate ongitudina este E momentu de inerție a secțiunii transversae I şi masa pe unitatea de ungime μ. M(t) θ(t) T(t) Φ(t) d Fig. 5.. Bară de secțiune constantă cu vibrații transversae În paragrafu.5.. se prezintă ecuația diferențiaă a mişcării (.7). Pentru bara fiată a un capăt vectorii de stare în secțiunie = şi = sunt respectiv: z { M T} (5.) { } z E I μ T(t) Φ(t) M(t) θ(t) z Foosind reația (.9) vectoru de stare z se va scrie: F ( a ) F ( a ) F ( a ) F ( a ) a a a af ( a ) F ( a ) F ( a ) F ( a ) a a a F ( a ) af ( a ) F ( a ) F ( a ) a a F ( a ) a F ( a ) af ( a ) F ( a ) M T (5.) Condițiie de forță tăietoare nuă (T =) şi moment încovoietor nu (M =) în capătu a barei se eprimă din reația (5.) astfe: F ( a )M F ( a )T a (5.5) af ( a )M F ( a )T Când bara este deformată după un mod transversa de vibrație M şi T sunt diferite de zero. Condiția matematică ca sistemu de ecuații (5.5) să admită souții nebanae este ca determinantu sistemuui să fie nu: 9

sau: F ( a ) F ( a ) a F ( a ) af ( a ) (5.6) F ( a ) F ( a )F ( a ) (5.7) Înocuind funcțiie din ecuația (5.7) cu epresiie or din reațiie (.88) ecuația devine: ( cha cos a ) ( sha sina )(sha sina ) (5.8) sau: ch a (5.9) cos a Ecuația (5.9) admite o infinitate de souții a j de forma (.98). Rezovând ecuația trigonometrică (5.9) se obțin rădăcinie: 875 69 a a a j ( j ) j... (5.) j ( j ) j... (5.) Funcția formeor proprii de vibrație se determină corespunzător rădăcinior a j ae ecuației (5.9). Aceasta este pentru bara fiată a un capăt: cha j cos a j j ( ) cha j cos a j ( sha j sin a j ) (5.) sha sin a 5... Souția cu eemente finite şi masee concentrate Se consideră bara din figura 5. discretizată în zece eemente de aceeaşi ungime cu masee concentrate. Deoarece se ia în considerare numai inerția a transație se eimină gradee de ibertate a rotire utiizând subrutina prezentată în paragrafu... Rezută matricea de rigiditate [R] de tipu () din reația (5.): R E I 88.6-97. 798.9-85.6799.969-9.57.76-6.59.688 -.778-97. 675.9-79.78 99.8798-5.77.689-86.565.767-5.76977.965 798.9-79.78 76.95-7.89 78.58-99.96795.9986-85.7996.7999 -.57-85.6799 99.8798-7.89 55.77-78.7 76.85-99.79 9.77679-79.99.8.969-5.77 78.58-78.7 5.89-77.6 75.5597-9.77 98.68-9.797 j - 9.57.689-99.96795 76.85-77.6 5.8-7.769 5.779 -.7 85.57967 j.76-86.565.9986-99.79 75.55-7.769.757-6.5 55.858-69.569-6.59.767-85.7996 9.77679-9.77 5.779-6.5.9-958.7 58.687.688-5.76977.7999-79.99 98.68 -.7 55.85-958. 9877.55-66.7 -.778.965 -.57.8-9.7 85.579-69.569 58.68-66.7 67.6955 (5.)

Toate masee concentrate au aceeaşi vaoare cu ecepția ceei din capătu consoei care are vaoarea pe jumătate. Matricea maseor [M] este o matrice diagonaă. Matricea [M] - [R] este proporționaă cu matricea [R] din reația (5.) cu ecepția utimei inii. Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt: ω 5 μ ω 69 μ ω 6 μ ω ω 7 659 8 μ μ ω 5 ω 8 959 95 μ μ ω 6 ω 9 887 5957 μ μ (5.) ω 6677 μ În cazu sistemeor cu egături utiizarea maseor concentrate conduce a pusații proprii mai mici decât cee date de rezovarea anaitică. Souția anaitică pentru este 897 astfe că eroarea va fi: ω anaitic ω cacu 89 7 667 7 ε% 5 % ω 89 7 anaitic 5... Souția cu eemente finite şi matricea maseor consecventă (5.6) Se consideră bara din figura 5. discretizată în zece eemente de aceeaşi ungime utiizând matricea maseor consecventă. Pusațiie proprii de vibrație obținute prin cacu sunt:

7 6 9 56 5 969 7678 66 785 5 8 7 5 6 56 7 6 69 59878 6 9 5 67 7 795 8 58 EA 568 87 (5.7) Şi în cazu sistemeor cu egături foosirea matricei maseor consecventă conduce a pusații proprii mai mari decât cee date de rezovarea anaitică. Souția anaitică pentru este 75 9 astfe că eroarea va fi: ω anaitic ω cacu 75 9 5987 8 ε% 59 6% ω 75 9 anaitic (5.8) Eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement iber cu matricea maseor consecventă este 86% p. Rezută că în cazu sistemuui cu egături şi cu matricea maseor consecventă eroarea n 596% este mai mare decât eroarea unui singur eement iber.

5.. EVALUAREA ERORILOR PULSAȚIILOR PROPRII DE VIBRAȚIE INTERMEDIARE ALE SISTEMELOR CU LEGĂTURI 5... Erorie intermediare efective Erorie pusațiior proprii de vibrație intermediare efective s-au determinat în raport cu souția anaitică. Pentru vibrațiie ongitudinae erorie pusațiior proprii sunt prezentate în tabeu 5. iar pentru vibrațiie transversae în tabeu 5.. Modu propriu de vibrație Tabeu 5. Erorie efective în vibrațiie ongitudinae Vibrații ongitudinae mase concentrate Vibrații ongitudinae matricea maseor consecventă 77 % 857 % 976 % 9766 % 556 % 5859 % 966 % 58 % 5 8896 % 86886 % 6 987 % 779 % 7 69 % 6876 % 8 578668 % 9575 % 9 7795 % 9785 % 9969 % 5565 % Erorie pusațiior proprii de vibrație din cee două tabee sunt redate în vaoare absoută. De remarcat că atât în vibrațiie ongitudinae cât şi în cee transversae pusațiie determinate cu modeu dinamic având mase concentrate sunt mai mici decât pusațiie date de souția anaitică iar în modeu dinamic cu matricea maseor consecventă acestea sunt mai mari decât cee oferite de souția anaitică.

Tabeu 5. Erorie efective în vibrațiie transversae Vibrații transversae cu mase concentrate Vibrații transversae cu matricea maseor consecventă Modu Modu Modu propriu propriu propriu Eroarea Eroarea de de de Eroarea vibrație vibrație vibrație 5685 % 85 % 98 % 566 % 8 % 7 % 587 % 56 % 685 % 56658 % 9685 % 866 % 5 6769 % 5 597 % 5 559 % 6 597 % 6 5977 % 6 9877 % 7 78655 % 7 9978 % 7 5765 % 8 779 % 8 669 % 8 5668 % 9 65588 % 9 76 % 9 67 % 5999 % 8699 % 59596 % În paragrafee următoare se interpoează erorie intermediare efective din tabeee 5. şi 5. în funcție de eroarea n % a utimei pusații proprii a modeuui dinamic prin următoaree metode şi procedee: - procedeu iniar de interpoare; - metoda poinomuui de interpoare Lagrange; - procedeu funcției putere. 5... Procedeu iniar de interpoare a erorior intermediare Un mod de evauare aproimativ a erorior pusațiior proprii de vibrație intermediare este de a considera variația acestora iniară pornind de a vaoarea zero a vaoarea ε n. În figurie 5. 5. 5.5 5.6 se prezintă variația efectivă a erorior pusațiior proprii de vibrație intermediare prin inia curbă. Variația iniară conduce a următoarea reație simpă de evauare: i ˆ % % (5.9) ˆ i n S-au utiizat notațiie: n % - eroarea efectivă a utimei pusații proprii a modeuui dinamic; i - indicee moduui propriu curent; n

ˆ i % - eroarea interpoată a pusației proprii de vibrație i. În vederea interpoării iniare dreapta de interpoare porneşte de a punctu care nu reprezintă un mod propriu de vibrație ci numai un punct prin care trece această dreaptă. În acest fe poate fi estimată şi eroarea pusației proprii fundamentae care deşi are vaoare mică este diferită de zero. ε % ε n % = % εˆ i % ε i % i n MODUL PROPRIU ε % Fig. 5.. Interpoare iniară în cazu vibrațiior ongitudinae cu mase concentrate ε i % εˆ i % ε n % = 5 % i n MODUL PROPRIU Fig. 5.. Interpoare iniară în cazu vibrațiior ongitudinae cu matricea maseor consecventă 5

ε % ε n % = 5 % εˆ i % ε i % i n MODUL PROPRIU Fig. 5.5. Interpoare iniară în cazu vibrațiior transversae cu mase concentrate ε % ε n % = 595 % εˆ i % i ε i % n MODUL PROPRIU Fig. 5.6. Interpoare iniară în cazu vibrațiior transversae cu matricea maseor consecventă 6

În cazu vibrațiior ongitudinae cu mase concentrate % 6 (5.) n % unde p este eroarea ceei mai înate pusații proprii a unui singur eement. Aşa cum rezută din figura 5. interpoarea iniară este acoperitoare în acest caz. În cazu vibrațiior ongitudinae cu matricea maseor consecventă n 5 % 7% p (5.) În pus erorie modurior proprii 5... 9 sunt subapreciate prin interpoarea iniară (figura 5.). Cea mai mare subapreciere a erorii este a modu propriu 8: 8 8 8 9 5% 5 % 7 5% (5.) Eroarea totaă a pusației proprii a moduui 8 va fi de 7%. Totuşi trebuie uat în considerare faptu că p din acest caz are o vaoare mică ( 7 % față de 6 % în cazu precedent). În cazu vibrațiior transversae cu mase concentrate vom considera eroarea p de a modeu de cacu cu matricea maseor consecventă şi rezută: n % 8 6% p 7 p 5 (5.) astfe încât erorie din toate modurie proprii sunt acoperitoare (figura 5.5). În cazu vibrațiior transversae cu matricea maseor consecventă 59 5% 8 (5.) n 6% p dar curba erorior efective se afă sub dreapta de interpoare (figura 5.6). Erorie obținute cu dreapta de interpoare care trece prin punctee (; %) şi (; 86 %) trebuie supimentate cu i i (595% 86%) 9% (5.5) n n 5... Metoda poinomuui de interpoare Lagrange Este necesară prezentarea câtorva aspecte matematice. Teoremă []. Fie f :[ a b] R şi n ( n ) noduri din intervau [a b]. Atunci eistă un poinom unic P n de gradu n care interpoează funcția f în nodurie i i n ( f ( i ) P n ( i ) i n). Acest poinom se numeşte poinomu de interpoare a ui Lagrange. Poinomu de interpoare a ui Lagrange are următoarea epresie:

( ) P ( ) (5.6) n n n j f ( i ) i j j ( i j ) i Metoda poinomuui de interpoare Lagrange permite o aproimare mai apropiată de curbee efective decât procedeu iniar de interpoare. În concordanță cu uniformitatea sau neuniformitatea curbei efective se aeg mai puține sau mai mute puncte nodae prin care să treacă poinomu de interpoare Lagrange. În toate cee patru cazuri s-au aes ca puncte nodae originea sistemuui de coordonate şi punctu corespunzător utimuui mod propriu cacuat: ) ( ) ( n n Datorită faptuui că poinomu de interpoare Lagrange trece prin origine e are termenu iber nu în toate cee patru cazuri studiate. Pentru vibrațiie ongitudinae cu mase concentrate întrucât curba efectivă este uniformă (figura 5.7) s-au aes numai trei puncte nodae: ( ) (5; 8896) (; 9969) Poinomu de interpoare Lagrange are epresia: ( 5)( ) ( )( ) P ( ) 8896 ( 5)( ) (5 )(5 ) 9969 ( ( )( )( 5) 5) Rezută: (5.7) P( ) 76 9 (5.8) unde reprezintă indicee moduui propriu de vibrație. Pentru vibrațiie ongitudinae cu matricea maseor consecventă întrucât curba efectivă este mai compeă (figura 5.8) s-au aes cinci puncte nodae: ( ) (; 857) (; 58) (8;9575) (;5565) Rezută următoru poinom de interpoare Lagrange: P( ) 5568 87989 767 (5.9) Pentru vibrație transversae cu mase concentrate (figura 5.9) s-au aes patru puncte nodae: ( ) (; 5685) (6; 597) (; 5999) S-a obținut: P( ) 59 65 8 (5.) 8

ε % ε n % = % n MODUL PROPRIU Fig. 5.7. Metoda poinomuui de interpoare Lagrange în cazu vibrațiior ongitudinae cu mase concentrate ε % ε n % = 5 % n MODUL PROPRIU Fig. 5.8. Metoda poinomuui de interpoare Lagrange în cazu vibrațiior ongitudinae cu matricea maseor consecventă 9

ε % ε n % = 5 % n MODUL PROPRIU Fig. 5.9. Metoda poinomuui de interpoare Lagrange în cazu vibrațiior transversae cu mase concentrate ε % ε n % = 595 % n MODUL PROPRIU Fig. 5.. Metoda poinomuui de interpoare Lagrange în cazu vibrațiior transversae cu matricea maseor consecventă 5

Pentru vibrațiie transversae cu matricea maseor consecventă (figura 5.) s-au aes cinci puncte nodae: ( ) (5; 597) (9; 76) (7; 5765) (; 59596) A rezutat: P( ) 88986 55 7657 565 (5.) În figurie 5.7 5.8 5.9 şi 5. curba efectivă este reprezentată prin inie continuă iar poinomu de interpoare Lagrange prin inie întreruptă. De menționat că în modurie proprii joase eroarea este deosebit de mică (de eempu figura 5.) ceea ce impune atenție a seectarea puncteor nodae şi a număruui de zecimae cu care se operează în determinarea poinomuui. 5... Procedeu funcției putere Acest procedeu este eficient şi simpu de apicat în cazu vibrațiior cu mase concentrate (figurie 5. şi 5.). Funcția de interpoare are epresia: b i ai (5.) i unde i este indicee moduui propriu iar i este eroarea pusației proprii i în raport cu souția anaitică. Funcția (5.) trece prin origine. Constantee a şi b se determină prin eprimarea erorii efective pentru două moduri proprii de vibrație diferite i şi j. b j a j (5.) Din egaităție (5.) şi (5.) rezută: Epresia eponentuui va fi: Din reația (5.) se obține: b j j i og 5 j i og b j j og og i i (5.) (5.5) i a (5.6) b i Utiizând i 5 şi j în cazu vibrațiior ongitudinae cu mase concentrate a rezutat epresia simpă : i % i (5.7)

ε % ε n % = % n MODUL PROPRIU Fig. 5.. Procedeu funcției putere în cazu vibrațiior ongitudinae cu mase concentrate ε % ε n % = 5 % n MODUL PROPRIU Fig. 5.. Procedeu funcției putere în cazu vibrațiior transversae cu mase concentrate 5

Practic se negijează primu termen de a poinomu de interpoare Lagrange din reația (5.8). Curba (5.7) este reprezentată cu inie întreruptă în figura 5.. Pentru vibrațiie transversae cu mase concentrate funcția putere va fi: Curba (5.8) este reprezentată cu inie întreruptă în figura 5.. (5.8) 5.5. INFLUENȚA ERORILOR PULSAȚIILOR PROPRII ASUPRA EXACTITĂȚII RĂSPUNSULUI DINAMIC LA ACȚIUNI ARMONICE 5.5.. Introducere i Se studiază infuența erorior răspunsuui dinamic în funcție de erorie pusațiior proprii ae sistemuui structura. Studiu referitor a încărcărie armonice permite estimarea erorior răspunsuui dinamic a ate tipuri de acțiuni care se eercită asupra sistemuui structura. Un eempu tipic de sistem dinamic structura supus încărcărior armonice î constituie fundațiie de maşini (figura 5.) []. Datorită imitărior severe ae ampitudinior vibrațiior aceste sisteme structurae au o comportare iniar eastică. % i 8 Fig. 5.. Fundația de maşini în cadre spațiae de beton armat Ecuația mişcării pentru un singur grad de ibertate este: m ( t) c ( t) r ( t) F sin t (5.9) 5

unde F este ampitudinea forței armonice iar pusația acesteia. Ecuația (5.9) poate fi eprimată astfe: F ( t) ( t) ( t) sin t (5.5) m în care (t) este depasarea instantanee iar fracțiunea din amortizarea critică: c m (5.5) Ecuația (5.5) este o ecuație diferențiaă ordinară de ordinu a doiea cu coeficienți constanți neomogenă şi are souție unică în condiții inițiae date. Se va considera: ( ) () (5.5) Souția generaă a ecuației neomogene este suma dintre souția generaă o (t) a ecuației omogene şi o souție particuară a ecuației neomogene: ( t) ( t). ( t) (5.5) unde o p n p. n ( t) ST sin( ( t ) (5.5) F F ST (5.55) r este depasarea statică produsă de forța F şi (5.56) este factoru de ampificare dinamică. Unghiu este definit prin Souția ecuației omogene este []: tg (5.57) unde t o ( t) ST e sin( ( t ) (5.58) 5

tg (5.59) Depasarea p. n ( t) reprezintă răspunsu staționar iar o (t) răspunsu tranzitoriu. 5.5.. Răspunsu dinamic staționar Ampitudinea răspunsuui staționar rezută din (5.5): F o ( ) (5.6) m Se studiază vaoarea absoută a erorii reative o ( ) ( ) ( o ) o ( ) (5.6) unde este eroarea pusației proprii anaizată în paragrafee precedente dar eprimată în raport cu unitatea şi nu în procente. Epresia (5.6) este o funcție de şi. S-au anaizat erorie ae răspunsuui staționar pentru fracțiunie din amortizarea critică 5 şi (5.6) şi erorie pusațiior proprii % % şi % (5.6) Rezutatee sunt centraizate în tabeu 5.. S-au înregistrat erorie în procente pentru (acțiune statică) (vecinătatea rezonanței) precum şi 95 şi 5 care se afă în zona rezonanței: 8 (5.6) În zona rezonanței erorie răspunsuui dinamic sunt maime. În vecinătatea rezonanței acestea sunt nue deoarece erorie trec de a vaorie pozitive a cee negative şi s-a considerat vaoarea absoută a acestora. 55

Tabeu 5. Erorie răspunsuui dinamic în funcție de erorie pusațiior proprii 95 5 % 5% % % % 58 % - 5 % 69 % % % 86 % - 676 % 7 % % 6 % 569 % - 96 % 5 % % % % - 9 % 67 % % % % - 98 % 75 % % 6 % 77 % - 5 % 5 % % % 6 % - 5 % 67 % % % 58 % - 5 % 656 % % 6 % 65 % - 6 % % Factoru de ampificare a erorior pusațiior proprii Tabeu 5. 95 5 % 5% % 58-5 69 86-676 7 7-87 7-9 67-98 75 9-5 7 6-5 67 58-5 656 55-7 56

În tabeu 5. s-a redat factoru de ampificare a erorior pusațiior proprii de vibrație: % e (5.65) % În figurie 5. 5.5 şi 5.6 [] este reprezentată eroarea în funcție de raportu în intervau (5.66) pentru trei perechi (ν ε%). Pentru răspunsu tranzitoriu se obțin curbe simiare. În figura 5.7 s-a reprezentat un detaiu a zonei de rezonanță ( 8 ) pentru ν %= % şi ε %= % []...96.7 u).8..7...6.8...6.8. Fig. 5.. Eroarea η în funcție de raportu ν = 5 şi ε = % pentru..8 u) u)..6...6.8...6.8.5 Fig. 5.5. Eroarea η în funcție de raportu ν = şi ε = % pentru 57

..96.7 u).8. 6....6.8...6.8 Fig. 5.6. Eroarea η în funcție de raportu ν = 5 şi ε = % pentru. ) ).8..6.75.8.8.89.9.98..7..6. Fig. 5.7. Eroarea η în funcție de raportu pentru ν = şi ε = % în zona rezonanței 5.5.. Concuzii Eroarea maimă a răspunsuui staționar este în zona rezonanței. Aici factoru de ampificare a erorior pusațiior proprii este de aproimativ e (5.67) unde este fracțiunea din amortizarea critică raportată a unitate. Pentru vaoarea. În vecinătatea rezonanței factoru de ampificare a erorior pusațiior proprii are 58

eroarea răspunsuui dinamic este aproimativ nuă. Eroarea maimă a răspunsuui tranzitoriu este aproimativ egaă cu eroarea maimă a răspunsuui staționar. Observație În cacuu răspunsuui dinamic a acțiunea seismică prezentat în capitou eroarea de 575% a perioadei proprii fundamentae de vibrație pe direcția ongitudinaă (tabeu.) pe care este apicată acțiunea seismică s-a transmis în răspunsu dinamic ca eroare de 78% (tabeu..a). Factoru de ampificare a erorii este de: 78% 8 (5.68) 575% Pe de ată parte eroarea pusației proprii de vibrație pentru o fracțiune din amortizarea critică de % este ampificată în zona rezonanței conform reației (5.67) de e 5 (5.69) ori. Acest fapt reprezintă o verificare practică a moduui de transmitere a erorii de a pusația proprie de vibrație a răspunsu dinamic. 59

CAPITOLUL 6 CALCULUL DINAMIC GEOMETRIC NELINIAR 6.. INTRODUCERE 6... Ipoteze Cacuu geometric neiniar se referă a următoaree probeme []: - cacuu structurior ținând seama de efectu forțeor aiae asupra eforturior şi depasărior sau cacuu de ordinu II propriu-zis; - cacuu structurior cu depasări mari; - cacuu de stabiitate. Ipotezee simpificatoare ae cacuuui geometric neiniar sunt []: - materiau se consideră iniar eastic adică eistă proporționaitate între eforturie unitare şi deformațiie specifice; - reația forță depasare este o reație neiniară; - depasărie structurii pot fi mici sau mari însă rotirea de corp rigid a v j vi bareor trebuie să fie mică (figura 6.a); - deformațiie eementeor sunt mici (q q q în figura 6.b); - reația deformație specifică depasare este neiniară; - se admite ipoteza ui Bernoui. θ i θ j v i i u i j u j v j a) q q i q j b) Fig. 6.. 6

6... Specificu cacuuui de ordinu II Se consideră bara încastrată a un capăt de ungime moment de inerție I şi modu de easticitate E (figura 6..a) încărcată în capătu iber cu forța transversaă H şi forța aiaă P. H P Δ II H P M I M II a) b) c) d) Fig. 6. este este În cacuu de ordinu I momentu încovoietor în secțiunea din încastrare H H (figura 6..b) iar săgeata a capătu iber este I. În cacuu de ordinu II momentu încovoietor în secțiunea din încastrare M I M II H P (6.) II deoarece se ia în considerare infuența deformațiior asupra eforturior. Depasarea Δ II se determină integrând ecuația fibrei medii deformate: M ' ' (6.) unde M este momentu încovoietor din secțiunea curentă şi are forma H P (6.) M deoarece originea sistemuui de ae s-a considerat în capătu iber. P Notând k şi introducând în reația (6.) se obține ecuația H ' ' k (6.5) a cărei souție este 6

H C sin k C cosk P (6.6) Constantee C şi C se determină din următoaree condiții a imită: - pentru - pentru ' Epresia rotirii este ' H C k cosk Ck sin k P (6.7) Din reațiie (6.6) şi (6.7) se obține C C H Pk cosk (6.8) Depasarea secțiunii curente este H sin k P k cosk (6.9) iar momentu încovoietor în aceeaşi secțiune conform reației (5.) are epresia: sin k M H (6.) vcosv P unde s-a introdus notația v k. Depasarea maimă Δ II se obține pentru H sin k H ( tgv v) II (6.) P k cosk v sau II I ( v) (6.) ( tgv v ) Funcția ( v) reprezintă infuența forței aiae asupra mărimii v depasării maime. Momentu încovoietor din încastrare conform reației (6.) devine tgv M II H M I ( v ) (6.) v tgv unde ( v) este funcția de corecție ce introduce infuența forței aiae v asupra momentuui încovoietor maim. În cacuu de ordinu II atât depasărie cât şi eforturie se determină în funcție de caracteristicie barei (E I ) şi de forța aiaă. 6

În cacuu de ordinu I reația între forța orizontaă şi depasarea Δ I se eprimă astfe H K I I unde K I (6.) Eprimând aceeaşi reație în cacuu de ordinu II se obține H K II II unde K II K I ( ( v) ( ( v) (6.5) Funcția β (v) este supraunitară deoarece în intervau v tangenta creşte mai repede decât parametru v. Rezută că pe măsură ce forța aiaă creşte rigiditatea barei scade şi ajunge să aibă (teoretic) vaoarea zero pentru o depasare egaă cu infinit []. 6.. PRINCIPIILE CALCULULUI DINAMIC GEOMETRIC NELINIAR 6... Cacuu dinamic iniar şi geometric neiniar Cacuu geometric neiniar prin specificu său consideră infuența deformațiior asupra răspunsuui structurii forțee fiind apicate static. Cu ate cuvinte se cuantifică infuența modificării geometriei sistemuui structura asupra rigidității sae. Concuzia imediată a cacuuui static geometric neiniar este aceea că rigiditatea sistemuui structura nu este o caracteristică proprie a acestuia (cum apărea în cacuu de ordinu I) ci depinde de mărimea încărcărior [6]. Din cacuu dinamic iniar eastic rezută că pusațiie şi perioadee de vibrație sunt caracteristici dinamice proprii ae sistemuui structura deci nu depind de niveu încărcărior care acționează asupra acestuia. Dacă rigiditatea sistemuui dinamic structura depinde de niveu încărcărior este firesc ca şi pusațiie şi perioadee vibrațiior să depindă de încărcări deoarece structura vibrează având încărcărie apicate asupra sa. În acest capito se prezintă infuența modificării geometriei sistemuui dinamic structura asupra pusațiior şi perioadeor de vibrație. 6... Ecuația mişcării În cacuu iniar eastic condiția de echiibru dinamic instantaneu conduce a următoarea formă a ecuației mişcării: [ M ]{ } [ C]{ } [ K]{ } { F( t)} (6.6) unde [K] este matricea de rigiditate a structurii respectiv matricea de rigiditate eastică: K ] [ K ] (6.7) [ E 6

În cacuu static geometric neiniar echiibru static conduce a reația [ K ]{ } { F} (6.8) unde [K] reprezintă de asemenea matricea de rigiditate a structurii dar conține şi efectu modificării geometriei structurii şi are forma: K ] [ K E ] [ K ] (6.9) [ G unde [K G ] este matricea de rigiditate geometrică. În acest capito se va considera că matricea [K G ] este matricea de rigiditate tangentă. Ținând seama de (6.9) reația (6.6) devine: [ M]{ } [ C]{ } ([ K ] [ K ]){ } { F( t)} (6.) E G { Prin particuarizare din (6.) se obține sistemu de ecuații a vibrațiior ibere neamortizate: [ M]{ } ([ K ] [ K ]){ } { F( t)} (6.) E G { 6.. MATRICEA DE RIGIDITATE GEOMETRICĂ A BAR 6... Bara dubu articuată În figura 6. se prezintă bara dubu articuată în cacuu pan. Fig. 6. Matricea de rigiditate geometrică va avea forma []: N [ k G ] (6.) unde N este forța aiaă. Pentru bara dubu articuată în cacuu spația matricea de rigiditate geometrică este []: 6

65 ] [ N k G 6... Bara dubu încastrată În figura 6. se prezintă bara dubu încastrată în cacuu pan. Fig. 6. Matricea de rigiditate geometrică va avea forma []: 5 5 6 5 6 5 5 6 5 6 ] [ N k G (6.) unde N este forța aiaă. 5 6