Discretizarea semnalelor 1 Cap1. Discretizarea semnalelor 1.1. Semnale şi descrieri spectrale în timp continuu 1.1.1. Introducere Principial un semnal reprezintă un purtător de informaţie şi energie, putând fi descris numai cu ajutorul unei mărimi fizice de tip activ (curent/tensiune electrice, forţă/presiune mecanice, undă electromagnetică, etc). Evoluţia temporală a unui semnal este de tip funcţie continuă ce poate fi predictivă (deterministă) sau nu (aleatorie, cu descriere statistică). Descrierea sintetică cea mai folosită pentru evoluţia temporală a semnalelor este descrierea frecvenţială (sau spectrală), care se raportează la aproximarea respectivei evoluţii folosind un set infinit de funcţii periodice elementare (de ex. sinusoide). 1.1.. Descrierea spectrală a evoluţiei temporale a semnalelor deterministe 1.1..1. Serii ourier 1.1..1.1. Introducere Descrierea de tip serie ourier face parte din metodele de aproximare a evoluţiei semnalelor de durată finită care, folosind seturi ortogonale de funcţii, realizează minimizarea erorii medii pătratice de aproximare. Obs1: dacă x( este un semnal de durată finită (definit în I t =[t 1,t ) cu t -t 1 =T 0 fini şi de energie finită, iar Φ= {φ k (, k=1..n} este un sistem de funcţii ortogonale în I t, t I t descrierea N x( = a k k ( k = 1 ~ ϕ, cu a = x ( t * ) ϕ ( t ) / ϕ ( t ) ϕ ( t ), aproximează x( după criteriul erorii medii pătratice k k k k t x t ~ [ ( ) x ( ] dt minime; t D t * ϕ k ( ϕl ( = ϕk ( ϕl ( dt reprezintă produsul scalar. t1 Seria ourier - ce permite descrierea unor funcţii de timp, reale sau complexe, defi-nite într-un interval T 0 finit sau periodice de perioadă T 0 - are la bază setul complet jπkt / T al func-ţiilor exponenţiale armonice, Φ { e 0 E =, k Z}, cu Z mulţimea nr. întregi; componen-tele setului, de tip funcţii periodice, sunt legate armonic deoarece au frecvenţele (k/t 0 ) multipli întregi al aceleiaşi valori, 0 =1/T 0, numită frecvenţă fundamentală. 1.1..1.. Descrierea unei evoluţii de durată finită A. Unui semnal x(, de durată finită (definit în I t =[t 1,t ) cu t -t 1 =T 0 fini ce înde-plineşte condiţiile Dirichlet sau este de energie finită, i se asociază seria ourier exponen-ţială (SE): ~ t j k t x( = a k e π 1+ T0 1 0 jπk, cu = 0t ak x( e dt, 0 =1/T 0. (1.1.1) T k = 0 t 1 1
Discretizarea semnalelor jψ Coeficienţii dezvoltării a k sunt mărimi complexe, a k k = ak e. Mulţimile de perechi SAB={( a k, k 0 ), k Z } şi SB={( ψ k, k 0 ), k Z } se numesc spectrul de amplitudine, respectiv spectrul de fază; spectrele sunt de tip discret (numindu-se spectre de bare ) şi bilaterale (k are valori pozitive şi negative). B. Condiţia de energie finită pentru x(, sau echivalent x( de pătrat integrabilă în I t, asigură că energia semnalului diferenţă, x(- ~ x ( t ) este nulă, dar nu şi că egalitatea lui x(= ~ x ( t ) este valabilă pentru orice t din It. Condiţiile Dirichlet (în I t x(: are un număr finit de extreme şi discontinuităţi de speţa I; este absolut integrabilă) asigură x(= ~ x ( t ) pentru orice punct în care x( este continuă; în jurul oricărui punct de discontinuitate, ~ x ( t ) are oscilaţii (de ambele părţi ale punctului) cu o supracreştere de cca 9% (fenomenul Gibbs). Condiţiile Dirichlet implică condiţia de energie finită nu şi invers, ambele condiţii fiind de tip suficient. * C. Dacă x( este reală atunci a k = a k, ( a -k = a k, ψ k = ψ k ), iar a 0 real; rezul-tă că SAB este de tip par iar SB de tip impar; în plus SE se poate rescrie sub forma: ~ x ( = a0 + Ak cos( k0t + ψ k ) k = 1 π, cu Ak = ak, k N ; (1.1.1 ) descrierea este numită seria ourier trigonometrică (ST); spectrele de amplitudine şi de fază {(a 0, 0), (A k, k 0 ), k=1..}, {(0, 0), ( ψ, k 0 ), k=1..} sunt discrete şi unilaterale. k 1.1..1.3. Descrierea unei evoluţii periodice A. Deoarece ~ x ( t ) din (1.1.1) este periodică de perioadă T0 ; ~ x ( t ) poate fi considerat şi descrierea prelungirii periodice a lui x(, x p ( = x( t + rt0 ) r= condiţiile de convergenţă se referă la evoluţia pe o perioadă a lui x p (., caz în care Componentele din dezvoltarea (1.1.1 ) a lui x p ( se numesc astfel: a 0 valoarea medie sau componenta de c.c.; Ak cos( π k0t + ψ k ) -armonici (cea cu k=1 este armonica fundamentală, restul armonicilor constituind reziduul deforman. B. Pentru x p ( periodic de perioadă T 0, se defineşte funcţia de autocorelaţie, T0 / ϕ x( τ ) = x( x( t + τ ) dt ; tinând cont de (1.1.1) rezultă: jπk τ ϕx( τ ) = ak e 0. T0 / k = C. Semnalele periodice au energie infinită dar puterea lor medie pe o periodă, P x, D t+ T 1 0 definită prin Px = xp t dt T ( ) este finită. Se constată că P x = ϕx(0) = ak ce 0 t k = permite observaţiile: concentrarea energiei semnalului x p ( doar în armonici; descrierea spectrală a funcţiei de autocorelaţie poate fi interpretată ca fiind un spectru de putere.
Discretizarea semnalelor 3 1.1.3. Transformata ourier 1.1.3.1. Definire A. Pentru x(, definită pe (-,) -unde este de energie finită sau îndeplineşte con-diţiile Dirichlet- se asociază o descriere frecvenţială de forma unei sume infinite de compo-nente spectrale (spectru continuu de frecvenţă) cu amplitudinea X() d, frecvenţa fiind în domeniul (, ); X() numită funcţia de densitate spectrală (fds), este o mărime complexă. Relaţiile prin care se defineşte X(), respectiv se descrie x(, se numesc transformatele ourier directă (Td) /inversă (Ti): jπt jπt X ( ) = x( e dt,, x( = X ( ) e d. (1.1. a, b) Condiţiile alternative de existenţă a transf. ourier sunt de tip suficient, condiţia de energie finită fiind mai puţin restrictivă. Dacă x( este reală atunci X(-)=X*(); dacă x( este reală şi pară X() este reală, iar dacă x( este reală şi impară X() este imaginară. αt Obs: Pentru x( ce îndeplineşte x( e dt <, cu α -abscisa de convergenţă, st (con-diţie mai slabă decât cea de absolut integrabilă), se defineşte X ( s) = x( e dt -trans-formata Laplace (s frecvenţa complexă, s=σ+jπ) utilă pentru analiza regimurilor tranzi-torii. Pentru σ=0 ceea ce înseamnă regim sinusoidal- X(s) devine fds. B. Se reţin următoarele corespondenţe reprezentative prin transformata ourier: jπt 1b) întârzierea în timp / frecvenţă: ( ) 0 jπ x t t0 e X ( ) / ( ) 0t X 0 e x( ; b) Td a prod. algebric, x( y(, este produsul de convoluţie în frecvenţă, X ( T ) Y ( ). D 3b) Td a produsului de convoluţie x( y( = x( τ ) y( t τ ) dτ este X ( ) Y ( ) ; D C. Deoarece energia E x a lui x( Ex = x( dt = X ( ) d (Parseval), D mărimea Sxx ( ) = X ( ) poate fi interpretată ca densitate spectrală de energie, fiind o mărime reală (şi pară pt. semnale reale). D. Pentru x(, reală şi de energie finită, se defineşte funcţia de autocorelaţie, ϕ x (τ), D ϕ x ( τ ) = x( x( t + τ ) dt ; ϕ x (τ) este maximă pentru τ=0 şi ϕ x (0)=E x. Td a lui ϕ x (τ) este chiar densitatea spectrală de energie. 1.1.3.. Generalizare A. Definiţiile clasice ale transformatelor ourier se extind, folosind teoria distribuţiilor, la funcţiile de tip impuls (în domeniile timp sau frecvenţă) şi la funcţiile periodice, categorii ce nu îndeplinesc condiţiile de energie finită.
Discretizarea semnalelor 4 B. Impulsul unitate (Dirac), ( δ, definit prin x ( δ ( t t0) dt = x( t0) - numită propri-etatea de filtrare, are Td X δ ()=1; funcţia treaptă unitate, 1( are Td X u ()= δ (). ( j t j 0t olosind 1b) rezultă: 0 0 ) π π δ t t e şi e δ ( 0) ; C. Pentru x p ( periodică de perioadă T 0, cu SE descrisă prin (1.1.1), rezultă, folo-sind 1b), Td de forma: X p( ) = akδ ( k0 ) ; deci se conservă descrierea k spectrală discretă a semnalelor periodice. Ti definită prin (1.1. b) dă, folosind, proprietatea de filtare a impulsului Dirac, chiar SE definită prin (1.1.1). Td a funcţiei de autocorelaţie a lui x p ( este numită densitate spectrală de putere. Φ x( ) = ak ( k0 ) k = δ fiind 1.1.4. Descrierea spectrală a evoluţiilor tempoare de tip aleator A. Un semnal de tip aleator, X(, este caracterizat statistic privind: evoluţia valori-lor posibile la un moment oarecare t 1, X t1 ={x k (t 1 ), k=1..n}; o evoluţie temporală posibilă {x k (, t I t }. Descrierea statistică valorică a lui X t1 şi se face complet prin p 1 (x; t 1 ) -densitatea de probabilitate, iar sintetic prin media statistică, μ X ( t 1 ), dispersia (varianţa) σ X ( t1 ), funcţia de autocorelaţie statistică R XX ( t1, t1 + τ ). Pentru o evoluţie temporală posibilă a lui X(, x k ( -descrisă pe intervalul finit I t de deschidere T prin {x k (, t I t }, se definesc media statistică temporală, x k şi funcţia de au-tocorelaţie temporală, ϕ k ( t, t + τ ). Obs3: Dacă p 1 (x; t 1 ) nu depinde de t 1, X( se numeşte staţionar în sens strict; dacă media statistică este constantă iar funcţia de autocorelaţie nu depinde decât de τ, X( se numeşte staţionar în sens larg (SSL); dacă descrierile statistice valorice sunt identice cu cele statistice temporale X( se numeşte ergodic, el putând fi complet descris statistic prin valorile statistice temporale de pe o singură evoluţie temporală x k ( oricare ar fi aceasta. B. Singura modalitate de descriere spectrală a semnalelor aleatoare reale şi de tip SSL este prin intermediul densităţii spectrale de putere (PSD) defintă (teorema Wiener- Hincin) ca fiind transformata ourier a funcţiei de autocorelaţie statistică; se generalizează astfel legătura autocorelaţie-densitate de energie/putere de la semnalele deterministe. C. Dacă semnalul este ergodic, egalitatea autocorelaţiei statistice cu cea temporală, permite ca folosind un set de valori luate într-un interval I t, de deschidere T, T / 1 {x 1T (, t I t }, şi calculând funcţia de autocorelaţie RXT ( τ ) = x1 T ( x1t ( t + τ ) dt, să se T T / determine PSD, notată S X (), ca fiind transformata ourier a lui R X (τ)=r XT (τ) T. Dacă R X (τ) este absolut integrabilă, atunci:
Discretizarea semnalelor 5 jπτ jπτ SX ( ) = RX ( τ ) e dτ şi RX ( τ ) = SX ( ) e d ; (1.1.5) PSD este reală, nenegativă şi simetrică după ; semnalul a cărei PSD este constantă pe întreg domeniul de frecvenţă se numeşte zgomot alb. D. Pentru două semnale aleatoare X(, Y(, ergodice, se defineşte, cu o relaţie si-milară lui R X (τ), funcţia de intercorelaţie ( crosscorelation ) R XY (τ). Similar lui (1.1.5) se definşte transformata ourier a lui R XY (τ), S XY (), numită den-sitatea interspectrală de putere; se arată că: S YX ()= S * XY (). Mărimea Γ()= S XY () /(S x () S Y ()) se numeşte funcţia de coerenţă a semnalelor X(, Y(, fiind pozitivă şi nesupraunitară. Obs4: Dacă răspunsul un obiect la o excitaţie aleatoare de tip ergodic, x 1T (, este y 1T (, atunci H() funcţia de transfer (sau funcţia de sistem) a obiectului se poate determina cu: H ( ) = S ( ) / S ( ) ; modul lui H(s) se poate determina şi cu XY X H ( ) = SY ( ) / SX ( ). Precizia acestor descrieri este dată prin funcţia de coerenţă a lui x 1T ( cu y 1T (; o valoarea cât mai apropiată de 1 este indică absenţa unor zgomote suprapuse la intrare şi/sau ieşirea obiectului. 1.. Eşantionarea semnalelor 1..1. Descrierea în timp continuu a eşantionării ideale A. Discretizarea temporală a unui semnalului continuu, înseamnă păstrarea numai a valorilor semnalului la momente de timp predefinite (numite punctele de eşantionare ). Dacă intervalul de timp între două puncte succesive de eşantionare (numit pas sau perioadă de eşantionare) este constant, eşantionarea se numeşte uniformă. Dacă eşantionarea este fără erori în descrierea (valorică şi temporală) a punctelor de eşantionare ea se consideră ideală (sau teoretică). B. Eşantionarea ideală şi uniformă, cu perioada de eşantionare T e, a semna-lului continuu, x(, are ca rezultat semnalul discontinuu x es ( dat prin setul valoric, {x(kt e ), k Z }, cu Z mulţime de numere întregi. C. Descrierea în timp continuu a lui x es ( se poate face numai folosind teoria distribuţiilor. Pentru aceasta se defineşte operatorul numit "pieptenele Dirac", δ Te(, ce descrie o succesiune de impulsuri unitate decalate cu pasul T e : Te ( t ) = δ ( t kt e ) k = δ. (1.1.1) Transformata ourier a lui δ Te( este { δte( } = e δe( ), deci o funcţie periodică cu pasul e =1/T e ( e este numită frecvenţa de eşantionare). D. Prin aplicarea multiplicativă a pieptenului Dirac asupra evoluţiei continue x( se obţine evoluţia eşantionată x es (: xes ( = x( Te( = δ x( kte ) δ ( t kte ), (1.1.) ig.1.1.1. Eşantionarea ideală k = δ Te ( -Te 1 x( Te x es( t t t
Discretizarea semnalelor 6 ceeace înseamnă un set de impulsuri distribuite echi-distant, cu pasul T e, descris grafic în fig.1.1.1. E. Transformata ourier a lui x es (, dă funcţia de densitate spectrală, fds, a semnalului eşantionat: X es ( ) x( kte ) k = jπkte e =. (1.1.3) X es () este o funcţie periodică cu perioada e, având prima perioadă definită prin valorile de pe intervalul [- e /, e/], X e0 ()= X es ( ), sau prin cele de pe [ e /, e / ] intervalul [0, e], X e1 ()= X es ( ). [0, ] e Deoarece transformata ourier a unui produs algebric este produsul de convoluţie al transformatelor ourier, din (1.1.) rezultă, pentru X es (): { x ( } = X ( ) ( ) = X ( n ) X es ( ) es e e e = δ e, (1.1.4) n= cu X() transformata ourier a lui x(; relaţia (1.1.4) indică faptul că spectrul de frecvenţă al semnalului eşantionat este rezultatul sumării repetărilor periodice (cu pasul e ) ale spectrului lui x(. 1... Eşantionarea ideală a unui semnal cu bandă limitată Un semnal x( este cu de bandă limitată (band limited) dacă există M >0 aşa încât transformata sa ourier, X(), să fie zero pentru orice M. M se numeşte banda de frecvenţă a lui x(. 1...1. Teorema eşantionării (Shannon) 1...1.1. Enunţ Un semnal analogic x( cu banda de frecvenţă M, este descris integral de se-tul complet de eşantioane (prelevat uniform de pe întreaga axă a timpului), dacă frecvenţa de eşantionare ( e =1/T e ) este cel puţin egală cu dublul lui M : e M (1.1.5) Obs: Valoarea NQ = e /, numită frecvenţa Nyquist reprezintă limita superioară a spectrului lui x( ce poate fi reconstituit folosind eşantioanele prelevate cu e. 1...1.. Consecinţe pentru un semnal real A. Pentru un semnal real cu bandă de frecvenţă limitată (cu spectrul de amplitudine, X(), de tip par şi limitat la M ), se poate construi, pe baza relaţiei (1.1.4), spectrul X es (f) pentru e M (fig.1.1..a) şi pentru e < M (fig.1.1.b); se constată următoarele: a) dacă e M, atunci spectrul lui x( poate fi obţinut din evoluţia lui X es () cu în [- e /, e /], ceea ce este echivalent cu trecerea lui x es ( printr-un filtru trece jos ideal de reconstrucţie (TJIR) cu frec-venţa de tăiere e / şi modul 1/ e ; b) dacă e < M atunci reconstrucţia spec-trului lui x(, folosind X es (), nu mai este posibilă deoarece zona "decupată" de a-plicarea TJIR asupra X es () este diferită de X(). B. Reconstituirea, folosind TJIR, din X es () a lui X(), fără respectarea con-diţiei (1.1.5) determină, rezultat al ames-tecului spectal descris în fig.1...b, apa-riţia în spectrul semnalului reconstituit a unor componente spectrale false. eno-nomenul este numit: - în engleză, aliasing pentru a semnala că semnalul reconstituit va fi altul decât ce real;
Discretizarea semnalelor 7 - în franceză "repliement"=oglindire, ce descrie mecanismul de alterare a spectrului semnalului real (componetele spectrale parazite apar prin oglindirea celor reale de frecvenţă înaltă în zona frecvenţelor joase ale spectrului real); - în română se foloseşte frecvent denumirea din engleză, iar uneori termenul de aliere (ceeace înseamnă un amestec de componente reale şi false ce nu mai pot fi identificate exac. 1...1.3. Particularizări A. Pentru două semnale x( şi y(, cu bandă de frecvenţă limitată la Mx respectiv My, frecvenţa minimă pentru reconstrucţia produsului x( y( din eşantioanele sale este ( Mx + My ). B. Pentru un semnal sinusoidal de frecvenţă 0, e trebuie să fie strict mai mare decât 0 datorită problemelor de T ig.1.1. Exemple de construcţie a X es (): a) e M ; b) e < M M 0 + X k cos(π kxt + k ) k = 1 reconstrucţie ce pot apare (ex. când valorile eşantionate corespund trecerii prin zero ale semnalului eşantiona. C. Pentru un semnal periodic, x T (, cu perioda T x şi cu spectrul de armonici limitat la armonica M, seria ourier, x ( = X ϕ, are M+1 mă-rimi necunoscute {X 0, (X k, ϕ k ) k=1..m}; deci pentru evaluare spectrală sunt necesare cel puţin N min =M+1 eşantioane distincte distribuite pe o perioadă. Prelevarea celor N eşantioane distincte se poate face: i) printr-o eşantionare în timp real (cu perioada de eşantionare T e =T x /N min ); ii) printr-o eşantionare în timp dilatat (cu perioada de eşantionare T e =m T X +Δ, cu m fiind număr natural, iar Δ = T x / Nmin ). Tehnica de eşantionare în timp dilatat" numită tehnica sampling, se foloseşte curent pentru achiziţia sau vizualizarea semnalelor periodice de înaltă frecvenţă. Obs: folosirea a M* de eşantioane distribuite echidistant pe o perioadă, permite calculul unei descrieri spectrale cu un număr de armonici egal cu Întreg{(M*-1)/}. D. Dacă x( este un semnal aleatoriu, descrierea spectrală a acestuia se face nu prin tranformata ourier a unui segment din x(, aceasta având o evoluţie alea-toare, ci prin densitatea spectrală de putere (PSD power spectral density) definită ca tranformata ourier a funcţiei de covarianţă a lui x(. De aceea teorema eşan-tionării pentru un semnal aleator se aplică spectrului definit de densitatea spectrală de putere a semnalului respectiv. 1..3. Esantionarea ideală a unui semnal de tip trece-bandă A. Dacă un semnal de bandă limitată are frecvenţa inferioară a benzii de frecvenţă nenulă el se numeşte de tip trece-bandă ( bandpass ); dacă D =[ 1, ], cu 1 0 este banda de frecvenţă a semnalului, se arată că este posibilă reconstrucţia spectrului iniţial din cel al semnalului eşantionat chiar şi atunci când frecvenţa de eşantionare, e,... X() - M X es () TJIR A A e - - e - e / e / e e X es ()...... - e - e M A e e 1/ e e e a) b)...
Discretizarea semnalelor 8 este sub, cum cere teorema lui Shannon. Se notează cu c frec-venţa centrală (sau purtătoarea), c =( 1 + )/, şi cu Ba= = - 1 deschiderea benzii de frecvenţă. B. Se consideră semnalul real x( de tip trece bandă cu spectrul X() dat în fig.1.1. 3 prin ariile A şi A. Spectrul semnalului eşantionat rezultă prin periodizarea lui X() faţă de axe virtuale aşezate la orice mutipluu întreg de e. Pentru ca din spectrul semnalului eşantionat să se poată reconstitui X(), se ceree ca periodizarea zonelor de tip A faţăă de multipli pozitivi ai lui e să nu se supra-punăă peste zona A din X(). În fig. 1.1.3 se dau, pentru valorile succesive m e şi (m+1) e, prin B şi C, posibile poziţii limită ale periodizării zonei A care nu afectează zona iniţială A. Re-zultăă condiţionările: X() m e -1 1, (m+ 1) e -, e ( - 1 ). Acestee relaţii sunt determinate respectiv din A B A C condiţiile:c1) B să fie la stânga sau cel mult (m+1) e tangent cu A după verticala din 1 ; c) C săă - -1 1 m e fie la dreapta sau cel mult tangent cu A dupăă ig. 1.1.3. Explicaţii pentru condiţionarea verticala din ; c3) între mijloacelee lui C şi B eşantionării semnalului tip trece bandă să fie cel puţin Ba. olosind c rezultă pentru e condiţiile: ( c -Ba)/m e ( c +Ba)/(m+1) şi e Ba (1.1.6) Reconstrucţia benziii utile se face prin intermediul unui filtru trece banda cu deschiderea e -Ba şi cu frecvenţa centrală (m+1/) e - c. Ex: pentru c =0MHz şi Ba=5MHz, există mai multe valori posible pentru e, infe-rioaree lui 45MHz (după Shanonn), care nu alterează banda utilăă (17,5...,5)MHz; dacă m=1 val. minimă este e =17,5MHz, dacă m= val. minimă este e =15MHz, iar pentru m=3, val. minimă estee e =11,5MHz. Valoarea concretă se alege aşa încât operaţiile de reconstituire, prin filtrare, a spectrului iniţial să fie mai comode. Dacă c >> >Ba orice e sub jumătate din c şi care este superioară lui Ba poate fi folosităă pentru eşantionare; de ex. pentru c =0MHz şi Ba=1MHz, după (1.1.6) poate fi folosităă e =,05MHz. 1..4.. Reconstrucţia semnalului analogic din setul de eşantioane 1..4..1. Definire, variante A. Reconstrucţia lui x( din setul de eşantioane {x(kte)} înseamnă posibilita-teaa determinării lui x( ( pentru orice t kt e e. B. Tehnica ideală de reconstrucţie are la bază identitatea spectrală a semna-lului eşantionat x es ( trecut ptin filtrul ideal de reconstrucţie (TJIR din fig.1.1.. a) şi semnalul originar x(. C. Alte tehnici de reconstrucţie a unei dependenţe, x(, dată tabelar prin {x(kt e ), k întreg} sunt aproximările polinomiale, x(t*) cu t* kt e fiind fie rezultatul unei extrapolări (ce foloseşte numai eşantioane anterioare lui t* *) fie a unei a) b) interpolări (ce foloseşte eşantioanele ig.1.1.4.caracteristicile de frecvenţă (a) şi răs- atât anterioare cât şi ulterioare lui t*) ). punsul la impuls (b) pentru TJIR
Discretizarea semnalelor 9 Aproximarea polinomială poate fi de tip uniform (ex. Lagrange, sau Spline) sau în medie (cu metoda celor mai mici pătrate şi polinoame orto-gonale, de obicei de tip Cebâşev). 1..4... Reconstrucţia ideală Reconstrucţia idealăă este descrisă în domeniul spectral prin aplicarea, asupraa spectrului lui X es (), a filtrului trece jos ideal de recon-strucţie (TJIR din fig.1..a) având frecvenţa de tăiere e / şi amplitu-dinea 1/ e în banda de trecere. Caracteristica de amplitudine şi funcţia pondere ale TJIR sunt respectiv: H TJIR ( ) = Te rect( / e ) exp( πjt0 ) ), htjir ( t ) = sinc[ ( t t0) / Te ], (1.1.7) descriind un transfer, fără distorsiuni valorice (dar cu o întârziere t 0 ) numai a compo- nentelor spectralee din [- e /, e /] numită bandă de trecere- (fig.1.1.4); funcţia sinus- cardinal este definită prin sinc a = [sin( π a)] / πa. Aplicarea TJIR asupra lui X es (), ceea ce implică un semnal reconstruit de-scriss spectral prin: X rec ( ) = X es ( ) H TJIR (), conduce la relaţia de reconstrucţie: x rec ( = x es ( h TJIR ( = x( kt e ) sinc[(t - kt e - t0)/te ] ; (1.1.8) k = x rec ( este identic cu x(t-t 0 0), deci x( întârziat cu t 0 ; se observă căă reconstrucţia idealăă foloseşte pentru orice t toată secvenţă (infinită) de eşantioane. Obs: relaţia (1.1.8) a dat lui TJIR şi denumirea de sinc interpolator. Pentru orice t 0 finit TJIR estee de tip necauzal (funcţia pondere fiind nenulă la t<0), deci relaţia (1.1.8) poate fi utilizată practicc numai în procesări off-line. Deoarece (1.1.8) se poate evalua numeric doar pe un număr finit de eşan- tioane, se cere ca h TJIR ( să fie limitată în timp; pentru ca aceastăă limitare tem-porală ă să nu producă distorsiuni de reconstrucţie mari limitareaa se face prin aplicarea asupraa funcţiei pondere a lui TJIR a unei ferestre temporale nedreptunghiulare de tip Hann, Hamming sau Kaiser. 1..4..3. Reconstrucţia prin extrapolare de ordin zero A. Varianta cea mai simplă de reconstrucţie analitică estee extrapolarea de ordin zero (EXTR-Z) sau eşantiona- re cu menţinere, descrisă grafic în fig.1.1. 5 -în care x( semnalul analogic, x ext0 ( rezultatu extrapolării teoretice de ordinul zero-. Obs: nu se recomandă utilizarea unui ig.1.1.5 Principiul extrapolării de ord. zero expolator de ordinul unu (reconstrucţie după pantă), deoarece acesta este foarte sensibil la zgomot (datorită efectului sau deriva-tiv). B. Se arată că pentru a putea obţine o eroare de reconstruţie mică prin extra- polareaa de ordin zero se cere ca: i) frecvenţa de eşantionare e e, să fie mult pestee dublul frec-venţei maxime de interes, M (e=(50..00 e 0) M ); ii) extrapolatorului să-i urmezee un filtru analo-gic de tip trece jos, numit filtru de netezire, prin care se eliminăă componentele spectrale de înaltă frecvenţă ce depăşesc e / şi se compen-seazăă atenuarea extrapolatorului din banda de frecvenţă utilă. C. Tehnica EXTR-Z permite reconstrucţia în timp real fărăă folosirea unui bloc numeric de calcul ci doar prin intermediul unui convertor numeric-analogic (ce primeşte, la începutul fie-cărei perioade de eşantionare valoarea eşan-tionată) urmat, eventual, de un filtru de netezire.
Discretizarea semnalelor 10 1..4..4. Reconstrucţia de tip interpolare lineară A. Interpolarea lineară este cea mai simplă interpolare de tip uniform; pentru calcul lui x(t*), cu t* din [nt e, (n+1)t e ], se foloseşte relaţia de aproximare: x Apr rox1 ( t * nte t *) = x ( nt e ) + { x[( n + 1) T e ] x ( nte )} (1.1.9) T Obs: Reconstrucţia prin (1..9) impune o întârziere implicită, egală cu T e, între valo-rilox1(, ca corespondente de pe x( şi x Apro în fig.1.1. 6. B. Implementarea reconstrucţiei prin interpolarea lineară cere, principial, un bloc numeric de calcul al pantei de aproximare şi un integrator analogic; la ele se poate asocia un filtru de netezire. Tehnica este folosită în sistemul de afişare pe tub catodic, al unor osciloscoape cu memorie numerică. 1.3. Cuantificarea 1.3.1.. Definiri ig.1..1.6. Reconstrucţia prin interpouniformă lare lineară A. Cuantificarea, realizată fizic de un convertor analogic-numeric, estee o regu-lăă ce face posibilă descrierea, cu un număr finit de valori, SetQ={x q, q=1..mq}, a unei evoluţiii continue x(; regula implică: i) segmentarea, după o lege prestabilită, a domeniului valorilor mărimii continue x(, DoIn, în M q subintervale succesive {SubIn k, k= =1..M q }; ii) asocierea, oricărei valori dintr-un subinterval SubIn k, cu o valoare unică, xq, q care, de obicei, este valoarea mediană a lui SubIn k (cuantificare prin rotunjire) sau, mai rar, valoarea cu modul minim a acestuia (cuantificare prin trunchiere). Obiectul ce implementează regula de cuantificare dată mai sus, numit generic cuantificator, are ca intrare pe x(, ca ieşire setul de valori SetQ, dependenţa ieşire- intrare, x q (x), fiind o funcţie discontinuă de tip semisegmente aşezate în scarăă (nu-mităă generic funcţie scară şi definind un obiect nelinear). B. Legea de cuantificare cea mai răspândită este de tip uniform, când toate SubIn k au aceeaşi deschidere, Δ=DeIn/M q, DeIn fiind deschiderea lui DoIn (modulull diferenţei valorilor extreme) ). x q Valoarea Δ se numeşte nivel (pas) de cu- antificare sau rezoluţia absolută a cuantificării. Ex: Pentru o lege de cuantificare prin rotunjire de tip uniform şi un DoIn bipolar dependenţa 3 x q (x) din jurul originii este descrisă prin -5 / -3 / - / x coresponden-ţele:... / - 3 / 5 / x q =-Δ pentru x [-5Δ/, -3Δ/) x q =-Δ pentru x [-3Δ/, -Δ/) - -3 x q =0 pentru x [-Δ/, Δ/) x q =Δ pentru x [Δ/, 3Δ/) ig.1.1.11. Cuantificare x q =Δ pentru x [3Δ/, 5Δ/ /) prin rotunjire...; e
Discretizarea semnalelor 11 grafic dependenţa este ca în fig 1.1.11. Se observă cum sunt alocate valorile de gra-niţă ale semisegmentelor succesive precum şi că toate x q sunt multiplii întregi de Δ. C. Un convertor analogic-numeric, CAN, realizează nu numai operaţia de cuantificare ci şi pe aceea de codificare a numerelor întregi prin care se defineşte mări-mea de ieşire a cuantificatorului funcţie de rezoluţia absolută a cuantificării; mărimea de ieşire a unui CAN este o mărime numerică ce, într-o varietate de cod binar, de-scrie un set succesiv de numere întregi. 1.3.. Zgomotul de cuantificare pentru cuantificare uniformă 1.3..1. Definire şi descriere statistică A. Diferenţa între valoarea mărimii rezultate prin cuantificare, x q, şi valoarea mărimii de cuatificat, x, se numeşte eroare de cuantificare: e q =x q -x. (1.1.11) B. Atunci când modulul erorii de cuantificare a unei evoluţii x( este inferior jumătăţii pasului de cuantificare, e q /, eroarea de cuantificare se numeşte zgomot granular ( granular noise ), notându-se n q. Dacă eroarea de cuantificare are şi valori cu modul peste /, procesul de cuantificare este compromis (eroarea de cuantificare numindu-se overload noise ). C. Pentru analiza un cuantificator, obiect de tip nelinear, se foloseşte un mo-del linear echivalent, definit, în timp continuu respectiv în timp discret prin: x q (=x(+n q (, x q [n]=x[n]+n q [n] (1.1.1) C. Pentru zgomotul de cuantificare de tip granular, n q, se definesc: valoarea medie, μ q, şi dispersia (valoarea medie pătratică sau puterea), σ q. O valoare medie μ q nenulă indică prezenţa unei componente continue în n q, numită eroare de zero; teoretic aceasta apare doar în cazul cuantificării prin trunchiere. B. Dacă: i) pasul de cuantificare este mic; ii) evoluţia mărimii cuantificate, x(, determină ca valorile succesiv cuantificate să difere cu mai puţin decât un pas de cuantificare, atunci zgomotul de cuantificare n q este de tip granular, staţionar şi uniform distribuit în intervalul [- /, /]; densitatea sa de probabilitate, p(n q ), este constantă şi egală cu 1/. Pentru un zgomot granular uniform distribuit evoluţia valorică n q (x) şi densita-tea sa de probabilitate p(n q ) sunt ca în fig.1.1.1; valoarea dispersiei este: Δ / 1 Δ / σ q = p( n ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = Δ /1 Δ / q nq d nq Δ n Δ / q d nq. (1.1.13) 1.3... Raportul semnal-zgomot şi gama dinamică a cuantificatorului A. Efectul cuantificării lui x(, deci n q n q al folosirii lui x q ( pentru x(, este descris / / temporal prin zgomotul granular, n q ( iar x p(n q ) sintetic prin raportul dispersiilor (puterilor) 1/ lui x( şi n q (, numit raport semnalzgomot de cuantificare: - / - / SNRR = σ σ. (1.1.14) ig.1.1.1. Descrierea zgomotului granular q x / q Obs: dacă x( este periodică valoarea ei medie pătratică, σ x, este identică cu pătra-tul valorii efective adevărate (True Root Rean Square) a ei, X ef. olosind (1.1.13) valoarea, în db, a raportului semnal-zgomot (mărimile raportate fiind de tip putere) este:
SNR Discretizarea semnalelor 1 [ db] = 10 log10 SNRR 0lg( σ / Δ) + 10.. (1.1.15) q db q x 8 B. Cum valorile cuantificate sunt multiplii întregi de, x q =V q Δ, dacă se folo-seşte pentru V q o descriere binară cu N biţi atunci deschiderea domeniului de valori pentru x( se poate aproxima cu DesX= N ; notând cu a raportul, DesX/ σ x din (1.1.15) rezultă: SNR q db 6,0 N 0 lga + 10. 8 [ db] ; (1.1.16) Pentru cazurile tipice de semnale cuantificate se obţine: dacă x( este sinusoidal, deoarece DesX este X ef, iar σ x =X ef, rezultă că a din (1.1.16) este deci: ( SNR q db ) sin 6,0 N + 1, 77 [ db] ; (1.1.16 ) dacă x( este aleatoriu cu distribuţie gaussiană, deoarece domeniul valorilor este practic [-3 σ x, 3 σ x ], DesX fiind 6σ x, rezultă: ( SNRq db ) gauss 6,0 N 4, 76 [ db] (1.1.16 ) C. SNR q poate fi o măsură directă a gamei dinamice a cuantizorului, deoarece zgomotul de cuantizare este singurul ce limitează valoarea minimă a semnalului de intrare în cuantificator; din (1.1.16) rezultă că fiecare bit suplimentar folosit în descrierea valorii lui x q creşte gama dinamică a cuantificatorului cu 6dB. Obs: Acordând valorile obţinute pentru SNR q cu rezoluţiile de prelucrare impuse în diverse domenii, se recomandă pentru N valorile: 4 în domeniul televiziunii industri-ale, 8..1 în domeniul prelucrării numerice a semnalelor video şi acustice, 1..16 în domeniul măsurărilor de precizie şi al prelucrării de înaltă fidelitate a sunetului. 1.3..3. Reducerea influenţei zgomotului granular de cuantificare A. Atunci când o evoluţie temporală, x(, este eşationată cu e, zgomotul granular de cuantificare afectează uniform întreaga banda de frecvenţă utilă, B u =[- e /, e /]; de aceea densitatea de putere a zgomotului, definită ca raportul între puterea lui şi deschiderea benzii de frecvenţă pe care o afectează, va fi: D q = σ q / e. B. Deoarece puterea zgomotului ce afectează un subdomeniu din B U este dependentă de deschiderea acelui subdomeniu, rezultă că la cuantificarea lui x( cu banda de frecvenţă utilă B x =[- x, x ], puterea zgomotului de cuantificare ce-l afectează va fi: σ qx = σ q x / e ; aceasta implică cresterea raportului semnal zgomot, dat de (1.1.16), cu termenul suplimentar 10lg( e / x ). Pentru e =4 x rezultă o creştere a lui lui SNR q cu 6dB, ceea ce este echivalent cu creşterea cu un bit a nivelului de discretizare (dat prin N din relaţia 1.1.16); această constatare stă la baza tehnicii oversampling ce permite creşterea nivelului de discretizare valorică prin creşterea frecvenţa de eşantionare peste dublul frecven-ţei maxime a semnalului eşantionat ( x ). Valoarea uzuală de oversampling nu depă-şeşte 56, ceea ce înseamnă o contribuţie de max. 4 biţi. Obs: utilizarea tehnicii de oversampling implică, după obţinerea descrierilor lui x q cu numărul sporit de biţi, eliminarea eşantioanelor redundante, echivalent cu revenirea la banda de frevenţă de interes B x şi la frecvenţa de eşantioane minim necesară ( x ). Operaţia se numeşte decimare, şi presupune numai procesare numerică (de tip filtrare numerică). C. Cuantificarea diferenţei (differential cuantization) este o tehnică eficientă de reducere a influenţei zgomotului de cuantificare de tip granular. În esenţă ea presu-
Discretizarea semnalelor 13 pune nu cuantificarea lui x( ci a diferenţei, d(=x(-x P (, x P ( fiind o predicţie a lui x(, generată din informaţii anterioare date de cuantificator. 1C. Cea mai simplă modalitate de implementarea a tehnicii de cuantificare a diferen-ţei o reprezintă modulatorul delta (DM, delta modulation) ce foloseşte un cuantifica-tor pe un bit ( ieşirea descriind doar semnul intrării); predicţia x P ( este generată din valoarea predicţiei anterioare la care se adaugă sau se scade pasul de cuantificare, după cum semnul diferenţei d( cuantificată anterior a fost pozitiv respectiv negativ. Dacă variaţia lui x( este asociată corect cu rata de cuantificare se poate ca eroarea de cuantificare să nu fie decât de tip zgomot granular. C. Varianta eficientă de folosire a cuantificării diferenţei este modulatorul sigma-delta, care nu cuantifică diferenţa d( ci integrala acesteia; cuantificatorul folosit este în continuare pe un bit (ce descrie semnul intrării), la intrarea integratorului ajunge mărimea de cuantificat plus sau minus (după semnul intrării în cuantizor). Combinând tehnica de oversampling cu modulatorul delta-sigma se reduce influenţa zgomotului de cuantizare; la fiecare dublare a raportului e/x rezultă o scădere a influenţei zgomotului de cuantizare echivalent cu adaugarea a 1.5 biţi la nivelul de cuantizare al modulatorului (sau.5 biţi dacă se folosesc două celule de cuantizare într-o buclă globală). Se pot astfel obţine rezoluţii echivalente de 16..4 biţi. D. Se arată că dacă mărimea de intrare într-un cuantificator este constantă se poate reduce eroarea de cuantificare, sub nivelul celei de la cuantificarea unică (izolată), dacă se suprapune peste mărimea de intrare un zgomot aleator centrat (cu val. medie zero) şi se face medierea valorilor de ieşire ale cuantificatorului. Numărul valorilor mediate trebuie să fie mare (10..30), iar semanlul aleator -de tip gaussian sau zgomot alb- trebuie să aibă eroarea medie pătratică, în jurul jumătăţii pasului de cuantizare Δ; tehnica se numeşte cuantificare cu netezire ( dither quantization ).
Discretizarea semnalelor 14 Cap1. Discretizarea semnaelor 1.1. Semnale şi descrieri spectrale în timp continuu... 1 1.1.1. Introducere... 1 1.1.. Descrierea spectrală a evoluţiei temporale a semnalelor deterministe... 1 1.1.3. Transformata ourier... 3 1.1.4. Descrierea spectrală a evoluţiilor tempoare de tip aleator... 4 1.. Eşantionarea semnalelor... 5 1..1. Descrierea în timp continuu a eşantionării ideale... 5 1... Eşantionarea ideală a unui semnal cu bandă limitată... 6 1..3. Esantionarea ideală a unui semnal de tip trece-bandă... 7 1..4. Reconstrucţia semnalului analogic din setul de eşantioane... 8 1.3. Cuantificarea... 10 1.3.1. Definiri... 10 1.3.. Zgomotul de cuantificare pentru cuantificare uniformă... 11