GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile importante duse pe bază coincid într-un triunghi dreptunghic, mediana din vârful unghiului drept este jumătate din ipotenuză. într-un triunghi dreptunghic care are un unghi de º, cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză. dacă ΔBC dreptunghic teorema înălţimii: D BD DC dacă ΔBC dreptunghic formula înălţimii: D B C BC dacă ΔBC dreptunghic teorema catetei: B BD BC dacă ΔBC dreptunghic teorema lui Pitagora: B²+C²BC² reciproca teoremei lui Pitagora: dacă pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două atunci Δ este dreptunghic numere Pitagorice: numerele naturale care verifică teorema lui Pitagora de exemplu tripletul (,4,) sau (,,),... teorema lui Thales: dacă EF BC E F EB FC teorema fundamentală a asemănării: dacă EF BC, atunci ΔEF~ΔBC, adică E F EF B C BC raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare B C teorema bisectoarei în orice Δ, dacă D este bisectoare BD DC teoremei lui Pitagora generalizată: a b + c - bccos b + c -a teorema cosinusului: cos bc a b c teorema sinusurilor: R sin sin B sin C c m a b b + c a teorema medianei: m - a 4 a Mediana determină triunghiuri echivalente (de aceeaşi arie) B M C RII TRIUNGHI bh lh D h formula înălţimii l absinu D p( p a)( p b)( p c), p a b c - - - ++ D abc de unde scoatem formula pentru raza cercului circumscris triunghiului D 4R p r D de unde scoatem formula pentru raza cercului înscris în triunghi r p triunghiul echilateral abc R 4 a a a a D înălţimea triunghiului echilateral h, R, r 4 6
triunghiul dreptunghic c c PTRULTERE Paralelogram: D înălţimea triunghiului dreptunghic l h, l l sinu Dreptunghi: L l D d Romb:, l l sinu l.sinu Pătrat: Trapez: l, Patrulater oarecare: TRIGONOMETRIE h c c, d diagonala pătratului d l ( B + b) h B+ b, l h, l m m d sin d u, u unghiul dintre diagonale ip ip R, c + c -ip r Valorile funcţiilor trigonometrice în primul cadran : x o 6 o 4 4 o 6 o 9 o sinx cosx tgx / ctgx / Pentru unghiurile obtuze aplicăm formulele sin xsin x, exemple: sin sin 6, sin sin 4 cos xcos x, exemple: cos cos4, cos cos tgx tg x, exemple: tg tg6, tg tg4 ctgx ctg x, exemple: ctg tg6, ctg tg4 Reţinem: un unghi este obtuz dacă şi numai dacă cosu < PROBLEME. Se consideră triunghiul BC având aria egală cu. Să se calculeze sin ştiind că B6 şi C.. Se consideră triunghiul BC cu B4, C 7 şi BC. Să se calculeze cos B.
. Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că C, m( BC) şi B4. 4. Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că B C, m( ).. Să se afle raza cercului circumcris triunghiul BC ştiind că B şi m( C). 6. Fie triunghiul dreptunghic BC şi D mijlocul ipotenuzei BC. Să se calculeze lungimea laturii B ştiind că C6 şi D. 7. Se consideră triunghiul BC cu B, C şi BC. Să se calculeze cos B. 8. Se consideră triunghiul BC cu B, C6 şi BC7. Să se calculeze cos. 9. Să se calculeze aria triunghiul BC ştiind că B, C şi m( BC) 6.. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC ştiind că B6, C şi m( BC) 6.. Să se afle raza cercului circumcris triunghiul BC ştiind că BC8 şi m( ) 4.. Se consideră triunghiul BC de arie egală cu 6, cu B şi BC8. Să se calculeze sin B.. Se consideră triunghiul BC de arie egală cu 7. Să se calculeze lungimea laturii B ştiind că C şi că m( ). 4. Să se calculeze perimetrul triunghiului BC, ştiind că B, BC4 şi m( B) 6.. Să se calculeze perimetrul triunghiului BC, ştiind că B, C4 şi m( ) 6. 6. Să se calculeze lungimea înăţimii din în triunghiul BC ştiind că B, C4 şi BC. 7. Raza cercului circumscris triunghiului BC este, iar BC. Să se calculeze sin. 8. Să se determine numărul real x pentru care x, x+7 şi x+8 sunt lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic. 9. Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B6, C8 şi BC.. Să se calculeze sin, ştiind că în triunghiul BC se cunosc B4, BC şi m( C) 6.. Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că B, C6 şi m ( ˆ).. Să se demonstreze că în orice triunghi dreptunghic de arie S şi ipotenuza de lungime a este adevărată identitatea a sin BsinC S.. Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MN6, NP4 şi m( MNP). 4. Să se verifice că într-un triunghi dreptunghic BC ( m( ) 9 ) are loc relaţia sin B sin C.. În triunghiul MNP se cunosc MN4, NP6 şi m( MNP) 4. Să se calculeze aria triunghiului MNP. 6. Să se determine aria unui triunghi BC în care B, C6 şi m( ) 6. 7. În triunghiul MNP se cunosc MN, MP şi m( M) 6. Să se calculeze lungimea laturii NP. 8. Un triunghi dreptunghic are ipotenuza de lungime 6. Să se determine lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei. 9. În triunghiul BC se cunosc BC6 şi BC 6. Să se calculeze cos B.. Să se calculeze aria unui triunghi dreptunghic care are un unghi cu măsura de 6 şi ipotenuza de lungime 8.. Se consideră triunghiul BC în care B8, C4 şi m( ) 4. Să se calculeze aria triunghiului.. Să se calculeze aria trunghiului MNP ştiind că MN, NP4 şi m( MNP) 6.. Să se calculeze aria unui triunghi echilateral care are lungimea înălţimii egală cu. 4. Se consideră triunghiul BC în care B8, C8 şi m( ). Să se calculeze aria triunghiului BC.
. Să se calculeze perimetrul unui triunghi echilateral care are aria egală cu. 6. Triunghiul BC are BBC şi C. Să se determine cos. 7. Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC ştiind că BC, m ( BC) şi m( BC) 4. 8. Să se calculeze cosinusul unghiului, în triunghiul BC, ştiind că B, C şi BC6. 9. Să se calculeze cos B, ştiind că lungimile laturilor triunghiului BC sunt B6, C8 şi BC. 4. Să se arate că într-un triunghi BC dreptunghic în are loc relaţia cos B cos C. 4. Să se calculeze aria triunghiului BC, ştiind că BC4 şi m( ) 6. 4. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC ştiind că m( ) 9 m( B) şi B 4. 4. Să se determine lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic ştiind că suma acestora este şi produsul lor este. 44. Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC ştiind că B, BC şi m( B) 6. 4. Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că BC şi m( ). 46. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC, ştiind că BC şi m( ). 47. Să se calculeze aria triunghiului BC ştiind că C, BC6 şi m( C) 6. 48. Să se calculeze lungimea laturii B a triunghiului BC ştiind că BC6, C m( C ) 4. 49. Să se calculeze lungimile catetelor triunghiului BC, ştiind că m( ) 9, m( B ) 6 şi că lungimea ipotenuzei este egală cu 8.. Să se calculeze lungimea laturii C a triunghiului BC, ştiind căm( B ) 4 m( C ) şi că B.. Să se calculeze lungimile catetelor unui triunghi dreptunghic ştiind că aria acestuia este 8, iar măsura unui unghi este egală cu 4.. Să se calculeze aria paralelogramului BCD, ştiind că B8, BC şi m( BCD ).. Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului BCD ştiind că B6 şi BC. 4. Să se determine lungimile catetelor B şi C ale triunghiului dreptunghic BC, ştiind că sin B şi BC.. Să se calculeze aria dreptunghiului BCD ştiind că C şi m( BC ) 6. Triunghiul BC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului este R. Să se calculeze lungimea laturii B. 7. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului BC, ştiind că sin şi că lungimea razei cercului circumscris triunghiului este egală cu 4. 8. Să se calculeze cos în triunghiul BC, ştiind că B, BC şi C4. 9. Se consideră triunghiul dreptunghic BC în şi cos B. Să se calculeze sin C. 6. Ştiind că triunghiul are BC, C şi B, să se calculeze cos. 6. Să se calculeze raza cercului circumscris triunghiului BC, ştiind că BC4 şi că măsura unghiului este de. 6. Să se calculeze aria triunghiului MNP dacă MNNP6 şi m( MNP ). 4
6. Să se demonstreze că, dacă triunghiul BC este dreptunghic în, atunci are loc relaţia B C sin B cos B. BC 64. Să se determine aria triunghiului BC, în care B4, c6 şi m( BC ) 4. 6. Să se determine sin( BC) în hexagonul regulat BCDEF. 66. Să se determine aria triunghiului BC, ştiind că BC şi m( BC ). 67. Să se calculeze sin în triunghiul BC, ştiind că BC, iar lungimea razei cercului circumscris triunghiului este egală cu. 68. Să se calculeze aria paralelogramului BCD, ştiind că B8, BC şi m( BCD ). 69. Să se calculeze cosinusul unghiului ascuţit format de diagonalele dreptunghiului BCD ştiind că B6 şi BC. 7. Să se determine lungimile catetelor B şi C ale triunghiului dreptunghic BC, ştiind că sin B şi BC. 7. Să se calculeze aria dreptunghiului BCD ştiind că C şi m( BC ) 7. Triunghiul BC este dreptunghic în C, iar raza cercului circumscris triunghiului este R. Să se calculeze lungimea laturii B. 7. Să se calculeze lungimea laturii BC a triunghiului ascuţitunghic BC ştiind că B6, C şi că aria triunghiului BC este egală cu. V4 74. Triunghiul BC are B şi lungimea razei cercului circumscris egală cu. Să se calculeze lungimea laturii C. V 7. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC ştiind că C şi 6 B 6. 76. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul BC care are lungimile laturilor egale cu, 4 şi. V7 77. Fie triunghiul BC. Să se calculeze lungimea înălţimii corespunzătoare laturii BC ştiind că B, C4 şi BC. V8 78. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC dacă, B şi 4 6 B 6. V 79. Triunghiul BC are B4, BC şi C6. Să se arate că mb m C. V 8. Triunghiul BC ascuţitunghic are C şi lungimea razei cercului circumscris egală cu. Să se determine măsura unghiului B. V4 8. Să se calculeze perimetrul triunghiului BC ştiind că B 6, B şi C. V7 4 6 8. În triunghiul BC punctele M, N, P sunt mijloacele laturilor. Fie H ortocentrul triunghiului MNP. Să se demonstreze că HBHCH. V 8. Să se calculeze aria unui paralelogram BCD cu B6, D8 şi m DC o. V 84. Fie BC un triunghi care are B, C şi BC7. Să se calculeze cos. V6 8. Să se calculeze perimetrul triunghiului BC ştiind că B 4, C şi m BC 6 o. V8 86. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul care are lungimile laturilor 4, şi 7. V4
87. Să se calculeze lungimea medianei duse din în triunghiul BC, ştiind că B, C şi BC4. V46 88. Triunghiul BC are lungimile laturilor B, BC7 şi C8. Să se calculeze m. V 89. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris în triunghiul care are lungimile laturilor, 7 şi 8. V 9. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC ştiind că BC şi cos. V4 9. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris unui triunghi dreptunghic care are catetele de şi. V6 9. Triunghiul BC are B, C4 şim 6 o. Să se calculeze lungimea medianei duse din. V7 9. Fie triunghiul BC care are BC şi BC6. Să se calculeze distanţa de la centrul de greutate al triunghiului BC la dreapta BC. V8 94. Să se determine numerele naturale a pentru care numerele a, a+ şi a+ sunt laturile unui triunghi obtuzunghic. V6 9. Să se calculeze aria triunghiului BC în care MBC4, unde M este mijlocul lui (BC), iar m MC O. V7 96. Triunghiul BC are lungimile laturilor B, BC şi C7. Să se calculeze lungimea razei cercului înscris în triunghiul BC. V87 97. Fie BC un triunghi cu sin, sin B şi BC 4. Să se calculeze aria triunghiului BC. V96 98. Fie BC un triunghi care are BC8 şi cos. Să se calculeze lungimea razei cercului circumscris triunghiului BC. V97 99. Fie triunghiul BC dreptunghic în cu B, BC.Calculaţi lungimea segmentului BM unde M este mijlocul segmentului C Bac9. Triunghiul BC are lungimile laturilor B6, BC şi C. Să se calculeze lungimea înălţimii [ D ]. Bac. Calculați raza cercului circumscris triunghiului BC dreptunghic în știind că BC8. Bac.Triunghiul BC are lungimile laturilor B, C şi B C. Să se calculeze 8 lungimea înălţimii corespunzătoare laturii [ C ]. Sim 4. Calculaţi raza cercului înscris în triunghiul BC, știind că B 6, C 8 și BC. Sim 4. Se consideră dreptunghiul BCD cu B și BD 6. Calculaţi aria triunghiului BC.Sim 6