PROGRAMA PENTRU OLIMPIADA DE MATEMATICĂ, VALABILĂ PENTRU CLASA A V-A, ÎN ANUL ȘCOLAR 2017 2018. PENTRU CLASELE VI XII, RĂMÂN VALABILE PROGRAMELE INTRATE ÎN VIGOARE ÎNCEPÂND CU ANUL ȘCOLAR 2013 2014 Programa olimpiadei de matematică petru clasa a V-a î aul şcolar 2017-2018 Î programa de olimpiadă sut icluse, î mod implicit, coţiuturile programelor şcolare petru disciplia matematică di clasele aterioare. Î programa prevăzută petru etapa aţioală sut icluse î mod implicit, coţiuturile programelor de olimpiadă de la etapele aterioare. Numere aturale. Operaţii cu umere aturale. Factorul comu. Teorema împărţirii cu rest. Reguli de calcul cu puteri. Compararea puterilor. Ultima cifră. Pătrate perfecte. Cuburi perfecte. Metode aritmetice de rezolvare a problemelor Metoda reducerii la uitate. Metoda comparaţiei. Metoda figurativă. Metoda mersului ivers. Metoda falsei ipotezei. Divizibilitatea umerelor aturale Divizor; multiplu; divizori comui; multipli comui. Criterii de divizibilitate cu: 2, 5, 2, 5, 10, 3 şi 9; umere prime; umere compuse. Scrierea umerelor aturale ca produs de factori primi Fracţii ordiare. Fracţii zecimale (coţiutul programei şcolare) Elemete de geometrie şi uităţi de măsură (coţiutul programei şcolare) Note 1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeţeaă, aţioală), autorul problemelor di cocurs va utiliza coţiutul prezetei programe petru olimpiadă. 2. Temele propuse vor cupride atât coţiuturile obligatorii petru toţi elevii, cât şi coţiuturile suplimetare. 3. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme (fără demostraţie coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare. 4. Cuoştiţele suplimetare faţă de programa şcolară, pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă.
INSPECTORATUL ŞCOLAR JUDEŢEAN IALOMIŢA Programa olimpiadei de matematică petru clasele VI - VIII î aul şcolar 2013-2014 Petru fiecare clasă, î programa de olimpiadă sut icluse, î mod implicit, coţiuturile programelor de olimpiadă di clasele aterioare. Petru fiecare clasă, î programa prevăzută petru etapa aţioală sut icluse î mod implicit, coţiuturile programelor de olimpiadă de la etapele aterioare. Cuoştiţele suplimetare faţă de programa şcolară, marcate cu text îcliat î prezeta programă, pot fi folosite î rezolvarea problemelor de olimpiadă. Clasa a Vl-a ALGEBRĂ 1. Numere aturale Proprietăţile divizibilităţii î ℕ. Criteriile de divizibilitate cu: 2; 5; 10; 2; 5; 3; 9; 7; 11; 13. Numere prime. Numere compuse. Teorema fudametală a aritmeticii. C.m.m.d.c. şi c.m.m.m.c. Numere prime ître ele. [a,b] (a,b) = a b ; a b c şi (a,b) = 1 a c; Dacă (a,b) = d x,y ϵ ℕ astfel îcât (x,y) = 1 şi a = dx,b =dy; Dacă [a,b] = m x,y ϵ ℕ astfel îcât (x,y) = 1 şi m = ax,m=by. 2. Numere raţioale pozitive Operaţii cu umere raţioale pozitive. Media aritmetică poderată a uor umere raţioale pozitive Ecuaţii î mulţimea umerelor raţioale pozitive. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor/ iecuaţiilor 3. Rapoarte şi proporţii Rapoarte. Proporţii. Procete. Mărimi direct proporţioale. Mărimi ivers proporţioale. Şir de rapoarte egale. Proporţioalitate directă. Proporţioalitate iversă. 4. Rapoarte şi proporţii Elemete de orgaizare a datelor; reprezetarea datelor pri grafice; probabilităţi. 5. Numere îtregi Operaţii î ℤ. Modulul uui umăr îtreg. Puterea uui umăr îtreg cu expoet umăr atural. Reguli de calcul cu puteri. Ecuaţii şi iecuaţii î ℤ. Probleme care se rezolvă cu ajutorul ecuaţiilor/iecuaţiilor Divizibilitatea î ℤ. Proprietăţi ale divizibilităţii î ℤ. GEOMETRIE 1. Puct. Dreaptă. Semidreaptă. Segmet. 2. Ughi
Teorema directă şi teorema reciprocă a ughiurilor opuse la vârf 3. Cogrueţa triughiurilor şi cazul L.U.U. 4. Perpedicularitate Drepte perpediculare, oblice. Distaţa de la u puct la o dreaptă. Bisectoarea uui ughi; proprietatea bisectoarei; cocureţa bisectoarelor ughiurilor uui triughi Mediatoarea uui segmet; proprietatea mediatoarei; cocureţa mediatoarelor laturilor uui triughi Îălţimea î triughi, cocureţa îălţimilor Criteriile de cogrueţă ale triughiurilor dreptughice: IC, IU, CC, CU 5. Paralelism Teorema directă şi teorema reciprocă a liiei mijlocii a uui triughi 6. Proprietăţi ale triughiurilor Teorema: Îtr-u triughi dreptughic, lugimea catetei care se opue ughiului de 30 este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. Teorema: Îtr-u triughi dreptughic, lugimea mediaei corespuzătoare ipoteuzei este jumătate di lugimea ipoteuzei. Teorema reciprocă. Iegalităţi geometrice: Iegalitatea triughiului. Îtr-u triughi, la latura mai mare se opue ughiul mai mare, şi reciproc. Teorema perpedicularelor şi a oblicelor. ALGEBRĂ Clasa a VlI-a 1. Mulţimea umerelor raţioale 2. Mulţimea umerelor reale Modulul uui umăr real. Proprietăţile modulului. Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real Reguli de calcul cu radicali. Raţioalizarea umitorilor. Formula radicalilor dubli şi următoarele rezultate: a) Dacă a, b ϵ Q * şi p.q ϵ Q * astfel îcât p a + q bϵ Q, atuci - a ϵq şi b ϵq. b) Dacă a ϵ Q * şi x ϵ R Q, atuci a+x ϵ R Q şi a x ϵ R Q. 3. Calcul algebric şi următoarele rezultate: a) a -b = (a-b)(a -1 +a -2 b+... +ab -2 +b -1 ), ude a,b ϵ R şi ϵn; b) a +b = (a+b)(a -1 +a -2 b+... +ab -2 +b -1 ), ude a,b ϵ R şi ϵn, impar; c) (a + b) = Ma+b,ude a,bϵz şi ϵ N*
d) (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac + bd) 2 + (ad - bc) 2 (idetitatea lui Lagrage)
4. Ecuaţii şi iecuaţii Iegalităţi. Sume. Probleme de maxim si de miim a) a 2 + b 2 2ab ; a 2 +b 2 +c 2 ab+bc + ca, petru orice a.b.c. ϵr ; b) a b + b a 2 petru orice a, b > 0 c) 1 a1 + 1 a1 + + 1 a1 i = 1, şi N* a 1 a 2 a a 1+a 2 + +a a 1 2 +a 2 2 + +a 2, a i > 0, (iegalitatea mediilor); d) (a 2 1 + a 2 2 + + a 2 ) (b 2 1 + b 2 2 + + b 2 ) (a 1 b 1 + a 2 b 2 + + a b ) 2, a i, b i R, i = 1, şi N* (iegalitatea Cauchy - Buiakovski - Schwarz). 5. Elemete de orgaizare a datelor GEOMETRIE 1. Patrulatere 2. Asemăarea triughiurilor Teorema lui Thales. Teorema reciprocă a teoremei lui Thales. Teorema paralelelor echidistate. Teorema paralelelor eechidistate. Liia mijlocie î triughi; proprietăţi. Cetrul de greutate al uui triughi; proprietăţi. Liia mijlocie î trapez; proprietăţi. Teorema fudametală a asemăării. Criterii de asemăare a triughiurilor. Teorema bisectoarei (iterioare, exterioare) şi teorema reciprocă. 3. Probleme de coliiaritate. Probleme de cocureţă Teorema lui Meelaos; teorema reciprocă. Teorema lui Ceva; teorema reciprocă. 4. Relaţii metrice
Teorema lui Pitagora geeralizată. Teorema cosiusului. Teorema siusurilor. Teorema mediaei: m a 2 = 2(b2 +c 2 ) a 2 4 Arii: A = p(p a)(p b)(p c); A = a b si C Apatrulater covex = d 1 d 2 si (d 1, d 2 ) 2 2 ; A = abc 4R ; 5. Cercul Patrulater iscriptibil. Patrulater circumscriptibil. Codiţii de iscriptibilitate, codiţii de circumscriptibilitate Dreapta lui Simso. Cercul lui Euler 6. Probleme elemetare de loc geometric ALGEBRĂ Clasa a VlII-a 1. Mulţimea umerelor reale Partea îtreagă şi partea fracţioară a uui umăr real. Ecuaţii. Modulul uui umăr real. Ecuaţii Itervale. Operaţii cu itervale. Iecuaţii Formulele de calcul prescurtat. Rapoarte de umere reale reprezetate pri litere. Operaţii 2. Fucţii 3. Ecuaţii, iecuaţii şi sisteme de ecuaţii GEOMETRIE 1. Pucte, drepte, plae. Paralelism
Teoreme de paralelism; teorema lui Meelaos î spaţiu; teorema reciprocă teoremei lui Meelaos; teorema lui Thales î spaţiu; axe de simetrie ale paralelipipedului dreptughic; axa de simetrie a piramidei patrulatere regulate; simetria faţă de u pla; secţiui axiale î corpurile care admit axe de simetrie 2. Proiecţii ortogoale pe u pla Perpediculara comuă a două drepte; reciprocele teoremelor celor trei perpediculare; pla mediator; pla bisector 3. Calcul de arii si volume (prisma, piramida, truchiul de piramidă) 4. Corpuri rotude 5. Probleme elemetare de loc geometric NOTE. 1. La toate etapele olimpiadei de matematică (locală, judeţeaă, aţioală), autorul problemelor di cocurs va utiliza coţiutul prezetei programe petru olimpiadă. 2. Temele propuse vor cupride atât coţiuturile obligatorii petru toţi elevii, cât şi coţiuturile suplimetare. 3. Folosirea corectă de către elevi, î redactarea soluţiei, a uor teoreme fudametale, fără demostraţie (de exemplu: teorema lui Steier, teorema lui Ptolemeu, teorema lui Fermat şi pricipiul iducţiei matematice etc.) coduce la acordarea puctajului maxim prevăzut î baremele de corectare.